江苏省高考数学 真题分类汇编 数列
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五、数列
(一)填空题 1、(2008江苏卷10)将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. . . . . . .
按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 .
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n -1 行共有正整数1+2+…+(n
-1)个,即22n n -个,因此第n 行第 3 个数是全体正整数中第22
n n
-+3个,即为
262
n n -+. 2、(2009江苏卷14)设{}n a 是公比为q 的等比数列,||1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=L ,若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中,则6q = . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。
{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--,四项24,36,54,81--成等比数列,公比为
3
2
q =-,6q = -9
3、(2010江苏卷8)函数y=x 2
(x>0)的图像在点(a k ,a k 2
)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5=_________ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(a k ,a k 2)处的切线方程为:2
2(),k k k y a a x a -=-当0y =时,解得2
k
a x =
, 所以1135,1641212
k
k a a a a a +=
++=++=。 4、(2011江苏卷13)设1271a a a =≤≤≤L ,其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列,
642,,a a a 成公差为1的等差数列,则q 的最小值是________.
【解析】由题意:23
1222112a a q a q a q =≤≤≤+≤≤+≤,
222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+
3223q a ≥+≥,而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++Q 的最小值分别为1,2,3;3min 3q ∴=
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力,本题属难题.
5、(2012江苏卷6) 现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 .
【解析】组成满足条件的数列为:.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种,其中小于8的取法共有6种,因此取出的这个数小于8的概率为
5
3. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时,关键弄清基本事件数和基本事件总数,本题要注意审题,“一次随机取两个数”,意味着这两个数不能重复,这一点要特别注意.
6、(2013江苏卷14)14.在正项等比数列}{n a 中,2
1
5=
a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n 的值为 。
答案: 14.12
(二)解答题
1、(2008江苏卷19).(Ⅰ)设12,,,n a a a L L 是各项均不为零的等差数列(4n ≥),且公差0d ≠,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当n =4时,求
1
a d
的数值;②求n 的所有可能值; (Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数n(n ≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列
12,,,n b b b L L ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
【解析】:本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
(1)①当n =4时, 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d =0。
若删去2a ,则2314a a a =⋅,即2
111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=,得
1
4a d =- 若删去3a ,则2214a a a =⋅,即2
111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=,得11a d
=
综上,得14a d
=-或11a
d =。
②当n =5时, 12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ,否则出现连续三项。
若删去3a ,则1524a a a a ⋅=⋅,即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得2
30d =,因
为0≠d ,所以3a 不能删去;
当n ≥6时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --L 中,由于不能删去首项或末项,若删去2a ,则必有132n n a a a a -⋅=⋅,这与0≠d 矛盾;同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅,这与0≠d 矛盾;若删去32,,n a a -L 中任意一个,则必有
121n n a a a a -⋅=⋅,这与0≠d 矛盾。(或者说:当n ≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必
有连续的三项)
综上所述,4n =。
(2)假设对于某个正整数n ,存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,......,21,其中
111,,x y z b b b +++(01x y z n ≤<<≤-)为任意三项成等比数列,则2111y x z b b b +++=⋅,即
2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+,化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+- (*)
由10b d ≠知,2
y xz -与2x z y +-同时为0或同时不为0
当2
y xz -与2x z y +-同时为0时,有x y z ==与题设矛盾。
故2
y xz -与2x z y +-同时不为0,所以由(*)得212b y xz
d x z y
-=+-
因为01x y z n ≤<<≤-,且x 、y 、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而1
b d
为有理数。 于是,对于任意的正整数)4(≥n n ,只要
1
b d
为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列。 例如n 项数列1,12+,122+,……,1(1)2n +-满足要求。
2、(2009江苏卷17)(本小题满分14分)
设{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,满足2222
23457,7a a a a S +=+=。
(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (2)试求所有的正整数m ,使得
1
2
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满分14分。
(1)设公差为d ,则2
222
2543
a a a a -=-,由性质得43433()()d a a d a a -+=+,因为0d ≠,所以430a a +=,即1250a d +=,又由77S =得176
772
a d ⨯+
=,解
得
15
a =-,
2d =,
(2)
(方法一)12m m m a a a ++=(27)(25)
23
m m m ---,设23m t -=, 则
12m m m a a a ++=
(4)(2)8
6t t t t t
--=+-, 所以t 为8的约数