24.3(2)三角形一边的平行线PPT课件
24-3数学九年级资料三角形一边的平行线（很好,很全,很详细）
24-3数学九年级资料三角形一边的平行线（很好,很全,很详细）24.3 三角形一边的平行线学习目标：1、通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题；2、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；3、掌握三角形一边的平行线性质定理的应用.主要概念：4、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题.主要概念：1、平行线分线段成比例定理用符号语言表示：AD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===. 2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ?=?=? .熟悉定理的几种变形井字型 A 字型 X 字型倒 A 字型畸形(O 无用)3、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例4、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 5、重心的性质三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍重心要掌握三点：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.2、作法：两条中线的交点.3 、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.6、三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.7、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 即：如图，如果或或则DE ∥BC .典型例题：【导入】1、同底等高的三角形的面积比是多少？（1：1）2、等底不等高的三角形的面积比是多少？（高之比）3、等高不等底的三角形的面积比是多少？（底之比）4、若cd ab =，（,,,ab c d 均不为零）则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式：，（让学生知道等积式转化到比例式可以有多种形式.）,,,,,,,.a d a c c b b d b c d b c a d ac bd b a d c a d a a c b d b c========EBC5、三角形的中位线有什么性质？（平行于底边且等于底边的一半）【例1】如图若DE ∥BC ，1AD BD=，能否得到1AEEC =?解：由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：1EAD EDB S ADS DB==；由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：EAD EDC S AES EC=. 因为DE ∥BC ，所以 EDB EDC S S ??=，所以EAD EDC S AES EC==1即 . 【例1拓展1】若将DE 向下平行移动能否得到？已知：ABC ?,直线l 与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，且l ∥BC .求证： .证明：联结EB ,CD 设E 到BA 的距离为h ，则11,22EAD EDB S AD h S DB h ??= =?, 得EAD EDB S ADS DB=，同理可得EAD EDC S AES EC=，1AD AE DB EC ==CAD AEDB EC=AD AEDB EC=CBCDE ∥BC ,.EDB EDC S S AD AE DB EC ∴=∴=请问：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？今后常用的有三个比例式：【拓展2】若DE 截在AB ,AC 的延长线上，或DE 截在BA ,CA 的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.符号语言：∵DE ∥BC , AD AEBD EC∴=, 用?符号书写：DE ∥BC ?强调在同一条线段上的比例关系.【例2】如图,已知DE ∥BC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE. 解∵DE ∥BC, ∴CEACBD AB =, 由AB =15,AC =10,BD =6,得,∴CE=4 . 【例2拓展练习】1、在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E . （1）已知4,3,5===AE DB AD ，求EC 的长.,,AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC===AB ADBC DE=BC15106CE=CE F （2）已知5,4,12===DB EC AC 求AD 的长. （3）已知=BD AD ：3：2，10=AC ，求AE 的长.2、如图，在⊿ABC 中，DE ∥BC ，S ⊿BCD ：S ⊿ABC =1：4，若AC =2，求EC 的长.B3、如图，已知，AB ∥CD ∥EF ，OA =14，AC =16，CE =8，BD =12，求OB 、DF 的长.4、如图，在⊿ABC, DG ∥EC ,EG ∥BC ,求证：2AE =AB ·AD.BC【例3】证明三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.CC分析：DE BC 中的DE 不在△ABC 的边BC 上，但从比例AD AEAB AC=可以看出，除DE外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将DE 移到BC 边上去得CF=DE ，然后再证明AD CFAB BC=就可以了，这只要过D 作DF ∥AC 交BC 于F ，CF 就是平移DE 后所得的线段. 已知：DE ∥BC ，求证BCDEAC AE AB AD ==. 证明：作DF ∥EC 交BC 于F ,DE ∥BC ,∴四边形DFCE 为平行四边形，得FC =DE , ∵DF ∥EC ,∴AB ADBCFC =, ∴DE AD BC AB=. DE ∥BC 得AD AE AB AC=,∴AC AEAB AD BC DE ==.如上图，当的延长线上时的延长线上或在CA BA AC AB DE ,,结论同样成立，得证。
三角形一边的平行线(二)
第3讲三角形一边的平行线（二）知识框架本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．3.1 三角形一边的平行线判定定理及推论我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确．如图，在ABC△中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD AEDB EC=，那么DE//BC吗？解析：要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE和BC上．如图，过点C作平行于AB的直线CF，交直线DE于点F，得四边形BCFD．证明：∵CF//AB∵AD AECF EC=（三角形一边平行线性质定理的推论）又∵AD AE DB EC=∵ AD ADCF DB=，得CF DB=．由CF//DB，CF DB=，可知四边形BCFD是平行四边形∵ DF//BC，即DE//BC．根据比例的性质可知，在关系式∵AD AEDB EC=、∵AD AEAB AC=、∵BD CEAB AC=中，由其中一个可推出其余两个．因此，以关系式∵、∵、∵之一为已知条件，都可推出DE//BC．这样，就得到以下定理：三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∵、∵、∵之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE //BC ．由此由得到：三角形一边的平行线判定定理的推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，那么能否得到DE //BC ，为什么？例1. 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC是 否平行． （1）3cm AD =，4cm DB =， 1.8cm AE =， 2.4cm CE =； （2）6cm AD =，9cm BD =，4cm AE =，10cm AC =； （3）8cm AD =，16cm AC =，6cm AE =，12cm AB =；（4）2AB BD =，2AC CE =．例2. 如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =__________．例1题图 例2题图例题分析例3. 如图，ABC △中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AFEB FC=； （B ）若AE AFEB FC=，则EF //BC ； （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC=；（D ）若AE EFAB BC=，则EF //BC ． 例4. 如图，点D 、F 在ABC △的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB=．求证：EF //DC ．例5. 点D 、E 分别在ABC △的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．例6.如图，M为AB的中点，EF//AB，联结EM、FM分别交AF、BE于点C和点D．求证：CD//AB．例7.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE与BD交于点G，又DF AD FC DF=．求证：四边形BEFG是平行四边形．3.2 平行线分线段成比例定理如图，已知ABC△，直线1l与边AB、AC分别相交于点D、E，直线2l与边AB、AC分别相交于点F、G，12////l l BC．那么所截得的线段是否成比例？解析：对于这个问题，只需讨论DF EGFB GC=是否成立即可．证明：如图，过点D作直线AC的平行线'l，设直线'l与BC、2l分别交于点'C、'G，则'DG EG=，''G C GC=.利用三角形一边的平行线的性质定理和等量代换，可得DF EGFB GC=．根据上述结论，在利用比例的性质，可知截得的线段成比例．如图，将ABC△的三边AB AC BC、、改为三条直线，则上述结论表述为：直线DB与EC被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．于是得到：平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．如图5，当直线2l过DB中点M，即DM MB=时，则EN NC=．也就是说：两直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．这是平行线分线段成比例定理的特例，也称为平行线等分线段定理．例1.如图，1l//2l//3l，3AB=，8AC=，10DF=，则EF的长为__________．例1题图知识精讲例题分析例2. 如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，则EF 的长为________．例3. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，5AC =，3BC =，则:AE DF =___________．例2题图 例3题图例4. 命题“梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 、F 在AB 、CD 上，且::AE EB DF FC =，则EF //BC ”是__________命题．（填“真”或“假”） 例5. 已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =．例6. 如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．例7. 如图，ABC △中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ，CO的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P 和点Q ．求证：（1）PO OQ =；（2）DE //BC ．例8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 作EF//AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．例9. 如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ，BC//EF ．求证：AF //CD ．例10.如图，M、N分别是ABC△两边AB、AC的中点，P是MN上任一点，延长BP、CP交AC、AB于K、H，求AH AKHB KC+的值．例11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE BC⊥于点E．（1）连接DE交OC于点F，作FG BC⊥于点G，求证：点G是线段BC的一个三等分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC的一个四等分点（要求保留作图痕迹,可不写作法及证明过程）．3.3 课堂检测1. 如图，ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知=3AD ，5AB =，2AE =，43EC =，由此判断DE 和BC 的位置关系是__________，理由是_________________________．2. 在ABC △中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件是（ ）（A ）23AB AD =，12EC AE =； （B ）23AD AB =，23DE BC =；（C ）23AD DB =，23CE AE =； （D ）43AD AB =，43AE EC =．3. 在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要使DE//AC ，则BE =__________． 4. 如图，ABC △中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ．5. 如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．7. 如图，在ABC △中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC 的中点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．8. 如图1，在菱形ABCD 中，点G 是CD 边上的一点，联结BG 交AC 于F ，过F 作FH//CD 交BC 于H ，可以证明结论FH FGAB BG=成立（不必证明）． （1）如图2，上述条件中，若点G 在CD 的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知4AB =，60ADC ∠=︒，9CG =，求线段BG 与FG 的长．BC=，在线段AB上9.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，4AB=，3取一点P，过点P作AC的平行线交BC于点E，连接EO，并延长交AD于点F，连接PF．（1）求证：PF//BD；（2）设的AP长为x，PEF△的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．3.4 课后作业1. 在A ∠的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，下列条件能判断BD //CE 的个数是（）．（1）3cm AB =，4cm BC =， 1.8cm AD =， 2.2cm DE =； （2）:2:3AB AD =， 1.8cm AE =， 1.2cm AC =； （3）5cm AB =，6cm BC =， 4.4cm AE =， 2.4cm DE =； （4）10cm AB =，15cm AC =，10cm BD =，15cm EC =． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个2.ADE △中，点B 和点C 分别在AD 、AE 上，且2AB BD =，2AC CE =，则:BC DE =_______．3. 已知点D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 的反向延长线上的点，如果25AD AB =， 当=AEAC_______时，BD //CE ． 4. 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =， 4.5BF =，25AD AE AC AB ==．求证：EF //AC ．5. 如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ）（A ）AO BO ABCO DO CD ==； （B ）AM BN MNCM DN AB ==； （C ）AE AB BF DE CD CF==；（D ）BD AC ABDN CM MN==． 6. 如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（ ）（A ）:2:1AE EC =； （B ）:2:5FG GD =； （C ）:2:5GF FD =；（D ）:1:2AG BC =第5题图 第6题图7. 如图，直线1l //2l //3l ，若5cm AB =，8cm BC =，2cm EG =，3cm GF =，求线段DE 与GC 的长．8. 如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =．9. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =． （1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．AB10. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF ⋅=⋅，BG HC GC DH ⋅=⋅，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH ⋅=⋅．11. 如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =， 求:AF BF 的值．12. 梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =．（1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．图（a ） 图（b ）。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.3 三角形一边上的平行线应用 课件
(1) (2) CE 2x AC 3 x
AE 2 CE 3
CE 2 AC 5
2x 2 3x 5
x 1 2
BD 1 AB 2
AD 1 DB
过D作BC的平行线，交AC于P
• 解答 • 返回
过D作BC的平行线，交AC于P
设：AD x,则：DB 1 x
AB
AB
DP / /BC AP AD DP x AC AB BC
BC 1 CF 2
AB 1 , AB 1 AP 2 BP 3
AD AD AB x AP AB AP 2
AD x DP 2 x
AC / /PF AE x , AC AB 1 PF 2 x PF BP 3
AE AE PF 3x AC PF AC 2 x
AE 3 AE 3x 3 CE 2 AC 2 x 5
EP / /BD
EP PF 4 BD BF 5
BD BD EP 5 2 1 AB EP AB 4 5 2
AD 1 DB
过F作AC的平行线，交BA延长线于P
• 解答 • 返回
过F作AC的平行线，交BA延长线于P
设：AD x,则：BD 1 x
AB
AB
AC / /PF AB BC AP CF
过A作BC的平行线，交ED延长线于P
• 解答 • 返回
过A作BC的平行线，交ED延长线于P
BF / / AP,
AE 3 , EC 2 BC 1 , CF 2 BF AP BF / / AP AD 1 DB
CF CE AP EA
CF 2 AP 3
BF 3 CF 2
AD DB
AB
2
AD 1 DB
过E作BF的平行线，交AB于P
《三角形内角和定理》平行线的证明PPT课件3
∴∠1＞∠2, ∠2 ＞∠3 D
E
∴ ∠1＞∠2＞∠3
C
B
例1.已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是
它的一个外角, E为边AC上一点,延长
BC到D,连接DE.
D
求Байду номын сангаас: ∠1>∠2.
2 C
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 3
∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大
于任何一个和 它不相邻的内角).
例题是运用了 定理“内错角
∵ AD平分∠EAC(已知)
相等,两直线
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义) 平行”得到了
∴∠DAC=∠C(等量代换)
证明.
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).还有其它方法吗？
已知:如图在△ABC中,AD平分外角 E
· ∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. A
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和；
3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。
例1 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的
三个外角
求证：∠1+∠2+∠3=360°
A
2
结论：三角形的外角和等于360°
5
6
B
3
1 4
C
通常把一个三角形每 一个顶点处的一个外 角的和叫做三角形的 外角和。
（1）用牛皮筋拉成如下形状，你能
够求出∠A+ ∠B+ ∠D+ ∠E的值吗？ A
如果可以求出值，如果不可以，
B
请你说明理由。
C
E D
(1)若∠C=30°,求∠A+ ∠B+ ∠D+ ∠E的值
沪教版数学24.3(2)三角形一边的平行线(2)
§24.3（2）三角形一边的平行线（2）教学目标：1、 理解并掌握“三角形一边的平行线性质定理的推论”与“三角形一边的平行线性质定理”的区别与联系.2、 理解并掌握三角形的重心定理.教学重点与难点：推论与重心定理的应用. 教学过程：一、三角形一边的平行线性质定理的推论：如图，已知△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，且DE ∥BC ． 那么BCDEAC AE AB AD ==成立吗？ 证明：过D 作DF//AC 交BC 于F.（初步体会用添加平行线的方法证明比例式，这也是 常用方法）同样地，当点D 、点E 在边的延长线上时，结论也成立. 三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形的三边对应成比例． 符号语言：如图，已知：△ABC ，点D 在边AB 或其延长线上，点E 在边AC 或其延长线上，DE ∥BC ， 则：BCDEAC AE AB AD ==．注意：①我们将前两个图形称为A 字型，后面的图形称为8字型，这两个图形是平行线中的基本图形.②推论与性质定理的区别与联系.例1、如图，线段BD 与CE 相交于点A ,，DE ∥BC ，已知2BC =3ED ，AC =8, 求AE 的长.（通过已知条件找准比例式）ED C BAE D C BAEDC BAE D CBAE练习1、如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度.（学会设未知数来解决问题）二、三角形的重心定理：例2、已知：如图CF BE ,是ABC ∆的中线，交于点G .求证：21==GC GF GB GE .（显然是平行线的结论，只要证明EF//BC 即可.）用“同一法”说明三角形的三条中线交于一点.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 三角形的重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 符号语言：如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线．那么2===GFCG GE BG GD AG ．注意：①由重心定理还可以得出两个结论：32===CF CG BE BG AD AG ；31===CF FG BE EG AD DG ； ②若点G 是△ABC 的重心，则S △BGC ＝S △AGC ＝S △AGB ＝31S △ABC ．练习2、如图，在△ABC 中，AD 是中线，点G 为重心． GE ∥AC 交BC 于点E ，则 BD ∶DE ∶EC ＝＿＿＿＿＿．练习3、如图，已知△ABC ，AB ＝AC ， BC ＝16cm ，高AD ＝18cm ，则边AC 上的中线BE 的长为＿＿＿＿＿cm ．GED C BA ED C BAB D F EGAC GAB CEFG FE DCBA练习4、已知，△ABC 中，090=∠C ，G 是三角形的重心，AB=8. 求：① GC 的长；② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ， 求MN 的长.（由重心首先想到中线，再想到重心定理.）三、课堂小结：1、 本节课你学习了哪些知识？2、掌握了哪些方法？3、有什么感悟？ 四、作业：1、课后练习. 2、练习册.B。
三角形一边的平行线的判定及推论课件+2024-2025学年沪教版(上海)数学九年级第一学期
F
C
证明：过点C作CF//AB,交DE的延长线于点F
∵ CF//DB，CF=DB
=
∴ 四边形BCFD是□
∴ DF//BC
则 =
又∵
∴CF=DB
即: DE//BC
三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．
∵
=
∴DE∥BC
(或= 、 = )
【思考】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，
如果= ，那么能否推出DE∥BC，为什么？
由“三角形一边的平行线
A
性质定理推论”可知：
以D为圆心，DE的长为半径画弧，
交AC于另一点E’，可知DE=DE’，
24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论
复习回顾
三角形一边的平行线性质定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例
∵ DE∥BC
∴=
=
8字型
=
A字型
【思考】“三角形一边的平行线性质定理”的逆命题正确吗？
=
求证
EF//DC
C
=
【例1】已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AB上，
且DE//BC ， = ．
求证： EF∥DC．
【问题1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果 = ，
小学教育ppt课件教案,三角形与平行线的关系
04
三角形与平行线的练习题
基础练习题
01
总结词：巩固基础概念
02
练习一：判断题
03
练习二：选择题
04
练习三：填空题
提高练习题
01
总结词
提升解题技巧
02
03
04
练习一
计算三角形与平行线之间的角 度
练习二
平行线的基本性质包括平行线 的同位角相等、内错角相等以 及同旁内角互补。
三角形和平行线的基本性质是 解决几何问题的重要依据。
02
三角形与平行线的位置关系
相交关系
总结词
当三角形与平行线相交时，会产生两个交点，这两个交点将三角形分割成两个部 分。
详细描述
当三角形与平行线相交时，它们会在两个不同的点上相交，这两个交点将三角形 的边线分割成两个部分。这种相交关系使得三角形与平行线之间形成了一种分割 关系，这种关系对于理解几何形状和空间关系非常重要。
平行关系
总结词
当三角形的一条边与平行线平行时，这 个三角形与平行线之间形成了一种平行 关系。
VS
详细描述
当三角形的一条边与一条平行线平行时， 这个三角形与这条平行线之间就形成了一 种平行关系。这种关系表明，三角形的这 条边与平行线没有交点，而是与平行线保 持一致的方向。这种平行关系在几何学中 非常重要，因为它涉及到许多基本的几何 定理和性质。
垂直关系
总结词
当三角形的一条边与平行线垂直时，这个三 角形与平行线之间形成了一种垂直关系。
详细描述
当三角形的一条边与一条平行线垂直时，这 个三角形与这条平行线之间就形成了一种垂 直关系。这种关系表明，三角形的这条边与 平行线相交于一个点，并且垂直于平行线的 方向。这种垂直关系在几何学中也非常重要 ，因为它涉及到许多基本的几何定理和性质
《三角形内角和定理》平行线的证明PPT课件2 (共26张PPT)
°
２．两直线平行，同旁内角的和是180 3. 邻补角的和是180 °
°
从刚才拼角的过程你能想出 证明的方法吗?
随堂练习
☞
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜ 求证：∠A＋∠B＝90 ゜
证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理） ∠C= 90゜（已知） B ∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换） ∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜ （等式性质） 即∠A+∠B=90゜ A
x x x
x =600
随堂练习
☞
3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD， 交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在 一定的大小关系？ 他们是怎样的，并加以证明？ 证明：因为 AB ∥CD 所以 ∠1 + ∠ B =1800 B A
(两直线平行，同旁内角互补） 因为∠2+ ∠P +∠D=1800 （三角形内角和定理）
B C E A F
同理∠C=∠1
因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） 所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
结论：三角形的内角和等于1800.
L A
B
C
已知：△ABC. 求证： (两直线平行,内错角相等) ∠A +∠B +∠C =180° 因为∠1+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
证明：过A作AE∥BC， 则∠B=∠1
所以∠B+∠BAC +∠C =180°
（等量代换）
结论：三角形的内角和等于1800.
《三角形内角和定理》平行线的证明PPT课件
A
）.
∠2= ∠A ，（两直线平行， 内错
角相等） B
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
21
CD
探究新知
知识要点 三角形内角和定理的推论（一） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
A
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
B
CD
探究新知
做一做 说出下列图形中∠1和∠2的度数：
E
∠AEC是△BEC的外角;
D ∠EFD是△BEF和△DCF的外
F
角.
B
C
探究新知 知识点 2 三角形内角和定理的推论（一）
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
不相邻的内角
B
三角形的外角
A
C
D
相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
探究新知
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
A
解：∵∠1是△FBE的外角,
B
G 2 1 F
C
∴∠1=∠B+ ∠E,
E 同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º.
D
课堂小结
定义
三角形 的外角
性质
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三 角形另一边的延长线
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和
A．45° B．60° C．75° D．85°
《三角形内角和定理》平行线的证明PPT课件3
2
A
5
+∠ 6
. . .
B
3
5
6 4
1
4 +∠ 6 4 +∠ 5
A
A
B C
E
D
B
ED C
4 已知：在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上 一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2.
D 2 E 5 4 3
C
证明： A F ∵ ∠1是△ABC的外角 (已知) ∴ ∠1>∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相
邻的内角)
1 B
∵∠3是△CDE的一个外角 ∴∠3>∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相
第七章 平行线的证明
学习目标（1分钟）
• 1、认识三角形外角及内角和定理的两个 推论及其证明 • 2、会运用三角形内角和定理的两个推论 解决相关问题
自学指导（2分钟）
1.由一个公理或定理直接 推导出的定理，叫做这 个公理或定理的推论。推论可以当作 定理使用 .
2.三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 .
4.已知：如图所示. 求证：(1)∠BDC>∠A； (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.
B D A
证明(1) ：延长ＢＣ交ＡＣ于Ｅ E ∵∠BDC是△DEC的一个外角 C ∴∠BDC>∠DEC (三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角) ∵∠DEC是△ABE的一个外角 ∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个 和它不相邻的内角) ∴∠BDC>∠A (不等式的性质)
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期2三角形一边的平行线课件
求EC的长.
A
D
E
B
C
2、 如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14， AC=16，CE=8，BD=12，
求OB、DF的长. o
O
A
B
C
D
A
Co
B D
o
A
B
E
F
E
F
C
D
E
F
A
D E B
4、如图， 在⊿ABC, DG∥EC,
EG∥BC,求证： AE2=AB·AD.
G
A
C
AB AE AE = AD
E
A
E
D
A
B
C
N
D
E
B
M
C
讨论：若DE截在AB,AC的延长线上，或 DE截在BA,CA的延长线上，如上图，上 面的三个比例式还成立吗？
AD AE , AD AE , DB EC DB EC AB AC AB AC
三角形一边的平行线性质定理：平行于三 角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例.
所以
SEAD AE SEDC EC
=1 即
AD AE 1 DB EC
问题2：若将 DE 向下平行移动，
AD DB
AE EC
是否仍成立？
A
D
E
B
C
议一议：利用比例的性质，还 可以得到哪些成比例线段
今后常用的三个比例式：
A
D B
E C
AD AE , AD AE , DB EC DB EC AB AC AB AC
24.3三角形一边的平行线 （1）
A
BD
C
线段比可化为三角形 的面积比
平行线优秀课件ppt
平行线与三角形相似性判定
判定定理
若一条平行线截三角形两边（或两边延长线）所得的两线段对应成比例，则原 三角形与截得的三角形相似。
判定方法
通过相似三角形的性质，利用平行线截得的线段比例关系，判定原三角形与截 得的三角形是否相似。
平行线在三角形面积计算中作用
面积公式推导
通过平行线截三角形，将原三角形划分为若干个小三角形，利用相似三角形的性 质推导面积公式。
平行线优秀课件
目录
• 平行线基本概念与性质 • 平行线与相交线关系探究 • 平行线在三角形中应用举例 • 平行线在生活实际中应用展示 • 总结回顾与拓展延伸 • 互动环节：学生展示与交流
01
平行线基本概念与性质
平行线定义及判定方法
01
02
03
04
定义
在同一平面内，不相交的两条 直线叫做平行线。
借助平行线规划路灯、护栏、交通信号灯等设施的位置和间距
，提高道路通行效率。
其他领域应用案例分享
平行线在艺术创作中的应用
利用平行线构图、塑造形象，创作出具有视觉冲击力的作品。
平行线在工程制图中的使用
运用平行线绘制工程图纸、标注尺寸和说明，确保工程的准确性和 可行性。
平行线在地理学科中的应用
借助平行线分析地理现象、绘制地图和图表，加深对地理知识的理 解。
判定方法
平行线可以通过同位角、内错角 、同旁内角等性质进行判定；相 交线则可以通过对顶角性质进行 判定。
平行线与相交角大小比较
角的大小关系
当两条直线被第三条直线所截时，形 成的同位角、内错角、同旁内角之间 具有特定的大小关系，如同位角相等 ，内错角互补等。
角的大小比较方法
通过使用量角器或利用三角板进行角 度测量和比较，可以得出角的大小关 系。
《三角形内角和定理》平行线的证明PPT课件(第1课时)
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.
总结
知2－讲
灵活运用三角形内角和定理，结合三角形的高 及角平分线的定义是求有关角的度数的常用方法．
〔来自?点拨?〕
知2－练
1 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点
放在长方形直尺的一组对边上．如果∠2＝60°，
D
那么∠1的度数为( )
〔来自?典中点?〕
知1－练
3 一个正方形和两个等边三角形的位置如下图，
4
假设 ∠3＝50°，那么∠1＋∠B 2＝( )
5 A．90°
6 B．自?典中点?〕
知识点 2 直角三角形两锐角的关系
知2－导
：直角三角形ABC中， ∠A＝90° 求证： ∠A 与∠C互余. 证明： ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°〔三角形内角和
因绿色为最佳感受色， 可使睫状体放松，图案从里 到外大小不等，不断变化图 案可不断改变眼睛晶状体的 焦距，使调节他们的睫状体 放松而保护视力。
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质 版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次 3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高 度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的 中心点。
知1－练
1 (中考·滨州)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5， 那么∠C等于(C ) A．45° B．60° C．75° D．90°
2 (中考·枣庄)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，C ∠A ＝34°，∠DEC＝90°，那么∠D的度数为( ) A．17° B．34° C．56° D．124°
〔来自?点拨?〕
知2－讲
解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，
三角形一边的平行线的判定PPT课件
C
已知：MC∥ND， P B P D AB CD
求证：BN∥AM
M N
A
B CD
P
已知：A、C、E和B、F、D分别是∠O 两边上的点且AB∥ED， BC∥EF
求证：AF∥CD
EAB中点，AB∥CD， 联结 AC，MD并延长交于点F，联结BD， MC并延长交于点E，联结EF
求证：EF∥AB
E
F
C
D
A
M
B
已知：△ABC中，E、G是BC边上的点， BE = CG，GF∥AC， DE∥AB
求证：DF∥BC
A
F
D
B
E
G
C
已知：DE是△ABC中∠A的外角平分线， BD⊥DE， CE⊥DE ，BE、CD交于F
求证：AF∥DB
G
D
A
EE
F
B
C
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延
放眼混沌宇宙丌管是哪壹个族群他们建立城市界域或者单体世界等等秩序能达到辉煌之城呐样是没有至少鞠言丌曾见过
三角形一边的 平行线的判定
“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的 对应线段成比例”有没有逆定理？
D B
逆命题：如果一条直线截三角形的两边
A
所得的对应线段成比例，那么
这条直线平行于三角形的第三边
EE’
已知： A D A E
DB EC
求证： DE∥BC
C
问题一
A
已知： A D A E AB AC
求证： DE∥BC
D
E
B
C
问题二
A
已知： A B A C AD AE
求证： DE∥BC
B
24-3《三角形一边的平行线》PPT(上海教育版)PPT课件
当 l1∥l2∥l3,
AB BC时
AB DE BC EF
A B C
D l1 E l2
F l3
三条平行线截两条直线，所得的 对应线段成比例.
若：BC // DE 则：AA NhomakorabeaE
D
A
D
EB
C
B
CD
EB
C
平截“A” 型
平截“X” 型
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其它直线上截得的线段也相等.
于三角形的第三边.
三角形一边的平行线判断定理推论 如果一条
直线截三角形的两边的延长线(在第三边的同侧)
所得的对应线段成比例,那么这条直线平行
于三角形的第三边.
A
AD DE AB BC
E´
AD DE
AB BC
D
E
这里DE=DE´
B
C ∴DE∥BC?
例题: DE∥BC, AF AD 求证:EF∥DC
ac bd
，那么
ab cd bd
。
拓展：
如果
ac bd
，那么
ac ba dc
。
如果
ac bd
，那么
ac ab cd
。
A
长
P
短
B
全
长 全
5 1 2
短 全
3 2
5
长 短
5 1 2
短 长
5 1 2
A
C
B
C
黄金矩形
A
D
AC 5 1 AB 2
B
A D
若DE是△ABC的中位线,那么
1 AD AE 1 (2)DE∥BC
若：BC // DE 则：
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∴AG=2GD
●G
B
C 看书P15
D
检查课本P14练习2
1．在⊿ABC中，过重心G且平行BC的直线交
AB于点D，那么AD:DB=
．
1.梯形ABCD中，AD//BC，两底AD:BC=1:2，两腰BA 和CD的延长线相交于O点，两条对角线BD和CA相交 于G点.（1）根据已知条件作图； （2）说明点G是△ OBC的重心，写出证明过程； （3）若AB ⊥ AC，且∠ ACB=30 ° ，AB=5，求AG、 CG的长.
化归为问题一
在△ABC中，DE∥BC交AB的反向延长线于点D，交AC的
反向延长线于点E，问：DA = EA = ED 吗？为什么？ AB AC BC
E
D
若AB>AD,则在AB上截AM = AD，
过M作MN∥ED交A边的平行线的性质定理的推论
平行于三角形的一边的直线，截其它 两边所在的直线，截得的三角形的三 边与原三角形的三边对应成比例.
上上 下下
∵ DE∥BC
∴ AD = AE AB AC AB = AE DB EC
AD = AE DB EC
上上 下下 下下 全全
上上 全 全
例1如图线段BD与CE相交于点A，ED//BC， 已知2BC=3ED，AC=8，求AE的长.
检查课本P14练习1,3
1.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边 AB的中点，点F在BC边上，且CF=3BF，EF与 BD相交于点G.求证：DG=5BG.
BF = AE CF EC
6.已知： 在△ ABC中，D是AB中点，过点D的 直线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：
BF = AE CF EC
6.已知： 在△ ABC中，D是AB中点，过点D 的直线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：
BF = AE CF EC
如图BE、CF是△ ABC的中线，交于
H
o
2.如图，在△ ABC中，AB<AC，D、E分别在AB、 AC上，且BD=CE，DE的延长线交BC的延长线于 F，求证：EF = AB
DF AC
6.已知： 在△ ABC中，D是 AB中点，过点D的直线交AC 于E，交BC的延长线于F， 求证：BF = AE
CF EC
6.已知： 在△ ABC中，D是AB中点，过点D的 直线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：
三角形一边的平行线的性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所 在的直线，截得的 对应 线段成比例.
复 习
字母 A 型 A
∵ DE∥BC
AD AE DB EC
上上 下下
D
AD AE E AB AC
上上 全全
B
C
DB EC AB AC
下下 全全
（字母 X 型）
E
D
A
B
C
∵ DE∥BC
AD AE DB EC
AD AE AB AC
DB EC AB AC
上上 全全 上上 下下
全全 下下
D BF
在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，
问：线段DE与BC的比可以与哪些线段的比相等？
证明：过点D作 DF∥AC交BC于点F
A
∵ DE∥BC，DF//AC
∴四边形DFCE为平行四边形
∴DE = FC
E
∵ DF//AC ∴ DE = AD
∴ FC = AD BC AB
BC AB
C ∵DE∥BC ∴ AD = AE
AB AC
∴ DE = AD = AE BC AB AC
在△ABC中，DE∥BC交AB的延长线于点D，交AC的延
长线于点E，问： DA = EA = ED 吗？为什么？ AB AC BC
平行于三角形一 边的直线截其他 两边所在的直线, 截得的对应线段 成比例.
∵ DE∥BC
∴ AD = AE DB EC DB = EC AB AC
上上 下下 下下 全全
AD = AE AB AC
上上 全全
E
D 推论
A
B
C
字母 X 型 定理
∵ DE∥BC
∴ AD = AE = DE AB AC BC
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The
More You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
点G，求证: GE GF 1
A
GB GC 2
F
E
B
GC
三角形的三条中线交于同一点，这一点叫做 三角形的重心
A ∵G为 △ABC的重心（已知）
∴AD是△ABC的中线
B
●
G
C（ 三角形的重心的定义 ）
D
三角形的重心到一个顶点的距离等于它到这 个顶点对边中点的距离的2倍
A ∵G为 △ABC的重心（已知）
A
D
E
B
C
字母 A 型
E
D
A
B
C
字母 X 型
剖析三角形一边的平行线的性质定理的推论
A
D
E
平行于三角形的一边的直线，截其 他两边所在的直线,截得的三角形的 三边与原三角形的三边对应成比例.
B 字母 A 型
∵ DE∥BC
C ∴ AD = AE DE AB AC BC
上上 全全
※与三角形一边的平行线的性质定理区别与联系