两条平行线之间的距离
平行线间的距离公式
的距离公式
点到直线的距离公式 一般地，点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0
的距离 d 的公式是
d | Ax0 By0 C | A2 B2
在使用该公式前，须将直线方程化为一般 式A．=0或B=0时，此公式也成立．
求平行线 2x–7y＋8＝0 和 2x–7y–6＝0 的距离． 解：在直线 2x–7y–6＝0 上任取一点，如P(3，0) ，
求平行线 x＋3y–4＝0 和 2x＋6y–9＝0 的距离． 解：将两方程中 x、y的系数化成对应相等的形式，得
2x＋6y–8＝0 和 2x＋6y–9＝0 因此， d | 8 9 | 10 ．
22 62 20
求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
求与直线3x–4y–20＝0平行且距离为3的直线方程． 解：根据题意，可设所求直线方程为3x–4y+m＝0，
则两条平行线的距离就是
点 P(3，0) 到直线2x–7y＋8＝0的距离．
因此，
y
d | 23708| 22 (7)2
–4
14 53 ． 53ຫໍສະໝຸດ 2 1 O 12 3 x求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
y P l1 怎样求任意两条平行线的距离呢？
Q l2
Ax0 By0 C1
PQ C1 C2 A2 B2
两条平行线的距离公式 一般地，两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0 和l2：
Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d 的公式是
d | C1 C2 | A2 B2
用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数 化为对应相同的形式。
所以PP ′⊥l，点P和P ′到直线l 的距离相等.
高一数学必修二两条平行线间的距离公式
择恰当的点，最好选 择坐标为整数的点。
l1: 2x-7y-8=0
3、利用点到直线的距离公式求解。
应用新知
求下列两条平行直线间的距离：
（1）2x+3y-8=0
2x+3y+18=0
d | 2 4 7 0 18 | 26 13 2 13
22 32
13
（2）3x+4y=10
3x+4y=0
点到直线的距离
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d | Ax0 By0 C | A2 B2
练习
d |12 (5) 5 7 3 | 22
12、. 求求点点BA((-d-52，，d73|))3到到|2直直(线2线2121322(2)x2x1+1+)24554y21y+0+|333==7005的3的51|3距距离离9..
22 (7)2
53
所以平行线l1与l2的距离为
12 53 53
应用新知
例1、已知直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0试
判断l1与l2平行吗？若平行，求l1与l2的距
离。
y
分析：
l2:6x-21y-1=0
Байду номын сангаас
1、判断两线平行应 分别求出它们的斜率。 2、在一条直线上选 o
d
x
A
16
距离是_____1_3 ;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的 距离是___2_1.313
作业： 必做题：教材 P110 9、10 选做题： 教材P110 B组 9
两平行线间的距离公式推导过程
两平行线间的距离公式推导过程摘要：1.引言：介绍平行线的基本概念和距离公式的背景2.推导过程：详述如何从基本几何概念和公理推导出两平行线间的距离公式3.结论：总结推导结果，并讨论公式的应用和意义正文：一、引言平行线是几何学中的一个基本概念，它们在平面几何和其他几何领域中都有广泛的应用。
在解决与平行线相关的问题时，我们经常需要计算它们之间的距离。
为了方便计算，数学家们已经推导出了两平行线间的距离公式。
在本文中，我们将详细介绍这个公式的推导过程。
二、推导过程1.假设有两条平行线l1 和l2，它们之间的距离为d。
2.从l1 上任选一点A，作一条与l2 垂直的线段AM，M 为线段终点。
3.根据垂直平分线定理，可以得知AM 的长度等于l2 上与M 点对应的线段AN 的长度。
4.连接线段AN 和MN，可以发现三角形AMN 是一个直角三角形，其中∠MAN 为直角。
5.根据勾股定理，直角三角形的斜边长度（即两平行线间的距离）等于直角边的平均值，即d = (AM + MN) / 2。
6.由于MN = AN，所以d = (AM + AN) / 2。
7.根据面积公式，平行线l1 和l2 之间的面积可以表示为S = l1 × d。
8.同时，根据平行线的性质，我们知道l1 与l2 之间的距离等于它们任意一点到对方直线的距离，所以d 也可以表示为S = l2 × h，其中h 为l2 上任意一点到l1 的距离。
9.将公式S = l1 × d 和S = l2 × h 相等，得到l1 × d = l2 × h。
10.将d = (AM + AN) / 2 代入上式，得到l1 × [(AM + AN) / 2] = l2 × h。
11.化简得d = (l1 × AM + l1 × AN) / (2 × l1)。
12.由于AM = AN（根据垂直平分线定理），所以d = (l1 × AM) / l1 = AM。
湘教版数学七年级下册_《两条平行线间的距离》知识全解
《两条平行线间的距离》知识全解教学目标：
1．了解两条平行线的所有公垂线段都相等.
2．了解两条平行线之间距离的意义.
3．能度量两条平行线之间的距离.
教学重点：理解平行线之间的距离的意义.
教学难点：理解“两条平行线的所有公垂线段都相等”.
知识内容：
1.公垂线、公垂线段的概念
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线
的公垂线.如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连
结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段.如图中的线段AB和CD.
两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条的垂线段.
2.公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等.
3.两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最短.
如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB.
再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB.
从而得到上述定理.
4.两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度.。
高中数学选修一《两条平行线间的距离》教案与导学案和同步练习
《2.3.4 两条平行线间的距离》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条平行线间的距离。
学习本节的目的是让学生会求两条平行线间的距离。
希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。
本节重点是距离公式的推导和应用。
解决问题的关键是理解距离公式的推导。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条平行线间的距离公式的推导B.会求两条平行直线间的距离．C.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：两条平行线间的距离公式2.逻辑推理：两条平行线间的距离公式的推导3.数学运算：两条平行线间的距离公式的应用4.数学建模：距离公式【教学重点】：理解和掌握两条平行线间的距离公式【教学难点】：应用距离公式解决综合问题【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。
思考1：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C. 点到点的距离二、探究新知思考2：已知两条平行直线l 1,l 2的方程，如何求l 1与l 2间的距离？ 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l 1上取任一点P (x 0,y 0)，,点P (x 0,y 0)到直线l 2的距离就是直线l 1与直线l 2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。
两条平行直线间的距离1. 定义：夹在两平行线间的__________的长. 公垂线段2. 图示：3. 求法：转化为点到直线的距离. 1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ． 5 D [d ＝|－5|12＋22＝ 5.选D.]三、典例解析例1.求证两条平行直线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离为d =|C 1−C 2|√A 2+B 2分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离证明:在直线Ax +By +C 1=0上任取一点P (x 0,y 0),点P (x 0,y 0)到直线Ax +By +C 2=0的距离，就是这两条平行线间的距离即 d =|Ax 0+By 0+C 2|√A 2+B 2，因为点P (x 0,y 0)在直线Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0, 即Ax 0+By 0=−C 1因此d =|Ax 0+By 0+C 2|√A 2+B 2=|−C 1+C 2|√A 2+B 2=|C 1−C 2|√A 2+B 2通过生活中两平行线间距离的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略。
两条平行线间的距离公式
两平行线间距离公式
详细描述
两平行线间的距离可以通过公式d = |C2 - C1| / sqrt(A² + B²)来求解，其中A、B、C1和C2分别是两条平行线的 系数。
求解两平行线间的中点坐标
总结词
中点坐标公式
详细描述
利用平行线间的距离公式，结合中点坐标公式(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)，可以求解两平行线 间的中点坐标。其中，(x1, y1)和(x2, y2)是两条平行线的坐标。
因此，我们可以设两平行线上的任意 两点为(x1, y1)和(x2, y2)，其中y1 = mx1 + c1，y2 = mx2 + c2。
接着，我们利用勾股定理计算出两点 的垂直距离的平方，即d² = (x2 x1)² + (y2 - y1)²。
最后，将y1和y2的表达式代入上式， 经过化简后得到d = |c2 - c1| / ||a| + |b||。
02
公式应用
求解点到直线的距离
总结词
点到直线距离公式
详细描述
使用两条平行线间的距离公式，可以求解一个点到一条直线的最短距离。公式 为d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A² + B²)，其中(x0, y0)为点的坐标，Ax + By + C = 0为直线的一般式。
求解两平行线间的距离
03
公式注意事项
公式适用条件
平行线必须是在同一平面内。 两条平行线不能重合。
平行线间不能有任何形式的交叉或交点。
公式使用时的注意事项
确保输入的参数是正确的，包 括两条平行线的斜行。
第二章 §2.3 2.3.4 两条平行直线间的距离
2.3.4 两条平行直线间的距离 学习目标 1.理解两条平行线间的距离公式的推导.2.会求两条平行直线间的距离． 导语前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．一、两条平行直线间的距离问题1 已知两条平行直线l 1，l 2的方程，如何求l 1与l 2间的距离？提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l 1上取任一点P (x 0，y 0)，点P (x 0，y 0)到直线l 2的距离就是直线l 1与直线l 2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离．问题2 怎样求两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离？ 提示 在直线Ax ＋By ＋C 1＝0上任取一点P (x 0，y 0)，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C 2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d ＝|Ax 0＋By 0＋C 2|A 2＋B 2， 因为点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C 1＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C 1＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 1，因此d ＝|Ax 0＋By 0＋C 2|A 2＋B 2＝|－C 1＋C 2|A 2＋B 2＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 知识梳理1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为0，C 1≠C 2)之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 注意点：(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x ，y 的系数分别对应相同．例1 (1)(教材P78例7改编)求两平行直线l 1：3x ＋5y ＋1＝0和l 2：6x ＋10y ＋5＝0间的距离．解 由题意，将l 2的方程化为3x ＋5y ＋52＝0， 所以d ＝⎪⎪⎪⎪1－5232＋52＝3234＝33468. (2)若倾斜角为45°的直线m 被直线l 1：x ＋y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0所截得的线段为AB ，则AB 的长为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B解析 由题意，可得直线m 与直线l 1，l 2垂直，则由两平行线间的距离公式， 得|AB |＝|－1＋3|12＋12＝ 2. 反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则两条平行直线间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 跟踪训练1 已知直线5x ＋12y －3＝0与直线10x ＋my ＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 答案 A解析 由两条直线平行可得510＝12m，解得m ＝24. 则直线10x ＋24y ＋20＝0，即5x ＋12y ＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－3－10|52＋122＝1. 二、由平行直线间的距离求参数例2 已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是________．答案 2x －y ＋1＝0解析 方法一 由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1，则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.方法二 由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，则c ＝3＋(－1)2＝1. 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.反思感悟 由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题．跟踪训练2 (多选)若直线x －2y －1＝0与直线x －2y －c ＝0的距离为25，则实数c 的值为( )A ．9B ．－9C ．11D ．－11答案 BC解析 ∵直线x －2y －1＝0与直线x －2y －c ＝0的距离为25，∴|－1＋c |5＝25， 解得c ＝11或c ＝－9.三、平行直线间的距离的最值问题例3 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．解 (1)如图，显然有0<d ≤|AB |.而|AB|＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而k AB＝2－(－1)6－(－3)＝13，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.反思感悟应用数形结合思想求最值(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．跟踪训练3已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．答案x＋2y－3＝0解析当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)．所以k AB＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为－12，所以直线l1的方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.1．知识清单：(1)两条平行线间的距离．(2)两条平行线间的距离最值问题．2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法．3．常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x ，y 的系数分别对应相同．1．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B2．两条直线y ＝32x ,6x －4y ＋13＝0之间的距离为( ) A.13 B.132 C.134 D ．13答案 B解析 两条直线的方程分别为3x －2y ＝0,3x －2y ＋132＝0， 所以两条直线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪13232＋22＝132. 3．P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295答案 C解析 易知直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0平行，故|PQ |的最小值即两平行直线间的距离， 故d ＝⎪⎪⎪⎪52＋125＝2910. 4．两平行直线l 1：x ＋2y ＋20＝0与l 2：x ＋2y ＋c ＝0间的距离为25，则c 等于( )A．0或40 B．10或30 C．－20或10 D．－20或40 答案 B|20－c|＝25，解析由题意可得，12＋22即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.课时对点练1．平行直线l 1：3x －y ＝0与l 2：3x －y ＋10＝0的距离等于( )A ．1B ．0 C.10 D ．3答案 A解析 l 1，l 2的距离为d ＝|10－0|32＋12＝1.2．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( )A.213 B.113 C.126 D.526答案 C解析 5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d ＝|6－5|102＋242＝126.3．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是() A ．4 B.21313 C.51326 D.71326答案 D解析 因为3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m ，所以m ＝4.直线6x ＋4y ＋1＝0可以转化为3x ＋2y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式可得d ＝⎪⎪⎪⎪12－(－3)32＋22＝7213＝71326.4．(多选)到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程可能为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0 D. 2x ＋y ＋2＝0答案 CD解析 因为所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则d ＝|c －1|22＋12＝55， 解得c ＝0或c ＝2，故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.5．(多选)若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则m ＋n 的可能值为( )A ．3B ．－17C ．－3D ．17 答案 AB解析 由题意，n ≠0，－2n ＝12，所以n ＝－4， 所以l 2：2x －4y －6＝0，即x －2y －3＝0， 由两平行直线间的距离公式得|m ＋3|12＋(－2)2＝25， 解得m ＝7或m ＝－13，所以m ＋n ＝3或m ＋n ＝－17.6．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3 D.833答案 B解析 由题意知，直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行， 则3＝a (a －2)，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1，当a ＝3时，直线l 1：x ＋3y ＋6＝0与l 2：x ＋3y ＋6＝0重合；当a ＝－1时，直线l 1：x －y ＋6＝0与l 2：x －y ＋23＝0平行， 两直线之间的距离为⎪⎪⎪⎪6－232＝823.7．与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0可围成正方形的直线方程为________．答案 x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0解析 易知l 1∥l 2，且它们之间的距离d ＝|2－(－3)|2＝522. 设所求直线为l 4，则l 4∥l 3，所以可设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522， 解得c ＝0或－10，所以所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.8．若直线l 1：y ＝kx ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，则直线l 2恒过定点______，l 1与l 2的距离的最大值是______．答案 (4,5) 4 2解析 ∵直线l 1：y ＝kx ＋1经过定点(0,1)，又两直线关于点(2,3)对称，则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称，∴直线l 2恒过定点(4,5)，∴l 1与l 2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为(4－0)2＋(5－1)2＝4 2.9．(1)求平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0且与点P ( －1,0)的距离是3105的直线方程． 解 (1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 由题意知|m ＋2|32＋42＝1， 解得m ＝3或－7，所以所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0.(2)设所求直线方程为3x －y ＋c ＝0，由题意，可得点P 到直线的距离等于3105， 即d ＝|－3＋c |10＝3105， 解得c ＝9或c ＝－3，所以所求直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.10．设直线l 1：x －2y －1＝0与l 2：(3－m )x ＋my ＋m 2－3m ＝0.(1)若l 1∥l 2，求l 1，l 2之间的距离；(2)若直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l 2的方程． 解 (1)若l 1∥l 2，则m ≠0， ∴12＝－3－m m ，∴m ＝6， ∴l 1：x －2y －1＝0，l 2：x －2y －6＝0，∴l 1，l 2之间的距离d ＝51＋4＝ 5. (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ＞0，∴0＜m ＜3， 直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S ＝12m (3－m )＝－12⎝⎛⎭⎫m －322＋98， ∴当m ＝32时，S 的最大值为98， 此时直线l 2的方程为2x ＋2y －3＝0.11．已知直线l 1：mx ＋2y －4－m ＝0(m >0)在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 1与直线l 2：x ＋y －1＝0间的距离为( )A.22 B. 2 C.22或 2 D ．0或 2答案 B解析 ∵直线l 1：mx ＋2y －4－m ＝0(m >0)在x 轴、y 轴上的截距相等， ∴m ＋4m ＝m ＋42，∴m ＝2， ∴直线l 1：2x ＋2y －4－2＝0，即x ＋y －3＝0，则直线l 1与直线l 2：x ＋y －1＝0间的距离为|－1＋3|2＝ 2.12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为()A．1 B．3 C．5 D．7答案ABC解析当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为|PQ|＝(－1－2)2＋[3－(－1)]2＝5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]．13．直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是()A．5 B．4 C.13 D．3答案 A解析根据题意画出图象，如图所示，根据图象可得当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，l1与l2之间的距离为|MN|；当l1∥l2，但是l1与MN不垂直，l2与MN不垂直时，过M点向l2引垂线，垂足为P，则l1与l2之间的距离为|MP|；因为|MN|>|MP|，所以d max＝|MN|＝[1－(－3)]2＋(4－1)2＝5.14．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则该直线的倾斜角大小为________．答案15°或75°解析由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝|3－1|＝2，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，2即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_______________．答案 x ＋y －3＝0解析 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b ,0)，C (0，b )．所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是两平行直线l 1与l 2的距离，故h ＝|b －1|2＝b －12(b >1)， 由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， 所以b 2＝9，b ＝±3.又b >1，所以b ＝3.所以所求直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.16．已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1和l 2的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5？若能，求出P 点坐标；若不能，请说明理由．解 (1)l 2的方程即为2x －y －12＝0， ∴l 1和l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510， ∴⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. ∵a >0，∴a ＝3.(2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1和l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上， 且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或c ＝116. ∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0. 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，得 |2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.∵点P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不符合题意．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得x 0＝－3，y 0＝12，应舍去． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得x 0＝19，y 0＝3718. 所以P ⎝⎛⎭⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．。
平行直线距离的计算公式
平行直线距离的计算公式1.平行线定义平行线是指在同一个平面上，永远不相交且方向相同或平行的直线。
平行线之间的距离是它们之间任意两点的距离。
2.垂直距离公式给定平行直线L1和L2，通过直线L1上一点P1引一条垂直于L1的线段，并与直线L2相交于点P2、垂直距离是线段P1P2的长度，表示为d。
这个垂直距离公式可以用于计算垂直于一条平行直线的另一条平行直线的距离。
3.平行线间距离公式给定平行直线L1和L2，在这两条直线上分别选择两个点P1和P2，P1与P2连成一线段。
以线段P1P2的长度d表示平行直线L1和L2之间的距离。
这个距离公式是两条平行直线之间最短距离的一种计算方法。
4.点到直线距离公式对于给定的点P和平行直线L，点到直线的距离是点P到任意一条平行直线的距离。
我们可以使用点到直线距离公式来计算。
5.直线之间距离的切割公式给定平行直线L1，L2及其间的线段AB，如果线段AB与直线L1垂直，与直线L2平行，则线段AB的长度等于直线L1和L2之间的距离。
这些是几个常用的平行直线距离计算公式。
当我们求解与平行直线有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的公式来计算距离。
这些公式都可以通过几何推导、直线方程、向量等方法得到。
平行直线距离的计算是几何学中的基础问题之一、掌握这些距离计算公式可以帮助我们解决各种与平行线相关的数学和实际问题，例如计算平行线上特定点到另一条平行线的距离，计算两条平行线之间的最短距离等。
这些技能可以在工程、建筑、地理测量、几何推导和其他领域中得到应用。
总之，平行直线距离的计算公式是解决与平行线相关问题的关键。
两平行线之间的距离
距离公式的几何意义
点到直线的距离
01
两平行线之间的距离实际上是任意一点到其中一条直线的垂直
距离。
平行四边形的性质
02
两平行线之间的距离等于平行四边形的高，而这个高也是平行
四边形的对角线的一半。
三角形的中位线性质
03
在三角形中，中位线与相对边平行且等于相对边的一半，而中
位线的长度就是两平行线之间的距离。
平行线的性质
性质1
性质2
同位角相等：两条平行线被一条横截线所 截，同位角相等。
内错角相等：两条平行线被一条横截线所 截，内错角相等。
性质3
性质4
同旁内角互补：两条平行线被一条横截线 所截，同旁内角互补。
平行线间的距离处处相等：两条平行线被 一条横截线所截，那么这两条横截线到各 自直线的距离是相等的。
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在工程学中的应用
机械零件设计
建筑设计
在机械设计中，两平行线之间的距离 常用于确定零件的尺寸和位置，以确 保机械运转的准确性和稳定性。
在建筑设计中，两平行线之间的距离 用于确定墙体的位置、窗户的高度等， 以确保建筑结构的稳定性和美观性。
电路板布线
在电子工程中，两平行线之间的距离 是电路板布线的重要参数，它决定了 信号传输的质量和稳定性。
02
两平行线之间的距离公式
距离公式的推导
平行线性质
两平行线之间的距离与它们的方 向向量成正比，与它们之间的垂
直距离成反比。
距离公式推导
基于平行线性质，通过向量运算和 几何变换，推导出两平行线之间的 距离公式。
公式形式
$d = frac{|c_2 - c_1|}{sqrt{a^2 + b^2}}$，其中$a, b$是直线方向向 量的分量，$c_1, c_2$是直线方程 $ax + by + c = 0$中的常数项。
两条平行线间的距离公式
两条平行线间的距离公式平行线是指在同一平面上，方向相同且不相交的两条直线。
在数学中，我们可以通过一些几何知识来计算平行线之间的距离。
下面，我将介绍几种计算平行线距离的方法。
1.垂直距离法这是一种常见且简洁的方法，通过从平行线上任意取两点，然后在两条平行线上分别作垂线，再取这两条垂线之间的距离即为平行线之间的距离。
这个方法基于这样一个事实：两条平行线间的任意一条垂线长都相等。
通过这个方法可以得到平行线间的距离公式：距离=公共垂线的长度2.过中点垂线法这种方法适用于已知平行线上两点的坐标的情况。
假设我们有平行线上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中A位于B的左边。
我们可以计算出这两个点的中点坐标M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，然后作从点M到直线上的垂线，这条垂线也将是平行线的垂线。
我们可以通过初始垂线长度h来表示平行线之间的距离，然后根据两个垂线与X轴的夹角θ来计算距离。
距离公式如下：距离= h * cosθ3.向量法通过向量的概念也可以计算平行线之间的距离。
假设两条平行线的方向向量分别为A和B，且这两个向量是平行的。
我们可以通过计算这两个向量的叉积来得到平行线的法向量C，再通过在平行线上任选一点P的坐标与法向量的点积计算出距离。
具体计算公式如下：距离=，(P-A)·C，/，C其中，·，表示向量的模，·表示点积运算。
4.解析几何法如果我们已知平行线的解析方程，可以直接根据解析方程计算出平行线之间的距离。
假设我们有两条平行线的解析方程分别为y=m1x+c1和y=m2x+c2，其中m1和m2分别为两条平行线的斜率，c1和c2为截距。
我们可以通过两线的截距的差值除以斜率之差来计算出平行线之间的距离。
公式如下：距离 = ，c2 - c1， / sqrt(1 + (m2 - m1)^2)通过上述方法，我们可以根据所具体的情况选择合适的计算平行线之间距离的公式。
两条平行线间的距离公式
总结词
两平行线间的距离是指两条平行线之间的垂 直距离。
详细描述
两平行线间的距离公式为 d = |C2 - C1| / sqrt(A^2 + B^2)，其中 A*x + B*y + C1 = 0 和 A*x + B*y + C2 = 0 是两条平行线 的方程。
点到平面的距离计算
要点一
总结词
点到平面的距离是指一个点到平面在垂直方向上的投影长 度。
公式扩展
向量形式
总结词
向量形式是距离公式在向量空间中的扩展，它利用向量的性质来计算两点之间的距离。
详细描述
在向量空间中，任意两点A和B可以表示为向量$vec{AB}$，其模长即为两点之间的距 离。当A和B分别位于两条平行线上时，可以通过向量形式的距离公式计算出这两条平
行线间的距离。
二维空间形式
总结词
05
公式实例
点到直线的距离计算
总结词
点到直线的距离是指一个点到一个直线在垂直方向上的投影长度。
详细描述
点到直线的距离公式为 d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)，其中 (x0, y0) 是点的坐标，Ax + By + C = 0 是直线的方程。
两平行线间的距离计算
公式
可以通过平行线间的距离公式进行推导，得到点到 平面的距离公式。
应用
在三维几何中，点到平面的距离是重要的几 何量，可以用于解决与平面相关的各种问题 ，如体积计算、空间几何等。
03
公式注意事项
适用条件
01
平行线必须是在同一平面内，且没有其他图形（如三角形、圆 形等）相交或相切。
两条平行线间的距离教案
两条平行线间的距离教案教案：两条平行线间的距离一、教学目标：1. 理解平行线的定义和性质；2. 理解两条平行线间距离的定义和计算方法；3. 能够绘制两条平行线，并计算它们之间的距离；4. 发现并应用两条平行线间距离的相关性质。
二、教学内容：1. 平行线的定义和性质；2. 两条平行线间距离的定义和计算方法；3. 两条平行线间距离的相关性质。
三、教学过程：1. 导入引导学生回忆并概括什么是平行线，以及平行线的性质有哪些。
2. 学习a. 学生学习平行线的定义和性质；b. 学生掌握两条平行线间距离的定义和计算方法，了解两条平行线之间的距离如何被定义为两条平行线上的任意一点到另一条平行线上的垂线长度，学生通过练习计算两条平行线之间的距离。
3. 讲解教师通过示例，演示如何使用勾股定理计算两条平行线之间的距离，引导学生理解两条平行线间距离的计算方法，并解释计算过程中重要的概念和步骤。
4. 练习学生通过练习运用所学知识，计算两条平行线之间的距离。
5. 进一步探索探索两条平行线间距离的相关性质。
教师引导学生思考并发现两条平行线间距离的相关性质，例如两条平行线距离相等的点在这两条平行线垂线上，或是两条平行线距离相等的两点到两条平行线上的垂线长度相等等。
6. 结束总结课堂内容，鼓励学生在以后的学习中继续应用所学知识。
四、教学评估：教师可以设置课后作业，让学生通过计算两条平行线之间的距离来考验他们的掌握程度。
教师也可以在课堂上给学生提出问题，考察学生们的理解和思考能力。
五、教学资源：1. 教师制作的备注和例题；2. 绘制两条平行线的幻灯片；3. 课堂板书。
两条平行线之间的距离的定义
两条平行线之间的距离的定义两条平行线之间的距离，这个话题听起来可能有点儿学术，但其实它也能讲得轻松又幽默。
想象一下，平行线就像是两个好朋友，他们总是保持着一种神秘的距离，既亲近又不想太靠近。
就像小明和小红，他们是好朋友，但总是保持一米远，不打扰彼此的私人空间。
这距离可不是随便说说的，它有它的“绝对标准”，一定要在一定的条件下才能够维持。
你看，平行线之间的距离就好比是你和你朋友之间的默契。
你们可以聊很多事情，却不会彼此侵犯到对方的“禁区”。
这距离是恒定的，永远不会变，就像你跟你最好的朋友之间的那种理解，无论发生什么，你们始终保持着一种默契。
说到这里，有点儿像那些不可动摇的信仰，对吧？无论是山崩地裂，心中的信念总会让你我相依。
当我们在几何中讨论这距离时，很多人可能会皱眉头，觉得这是一门无趣的学科。
可我告诉你，几何不止是冰冷的公式，它也可以是我们生活中的一部分。
想象一下，两条线在无限延伸的平面上，仿佛在进行一场优雅的舞蹈，互不干扰又各自精彩。
就像舞会上的两对舞者，时而旋转，时而停顿，保持着优雅的距离，展示着各自的魅力。
在日常生活中，保持距离也是一种艺术。
比如说，在人际关系中，有些人喜欢肆无忌惮地侵犯他人的私人空间，而有些人则懂得分寸，保持恰到好处的距离。
就像那句老话说的，“距离产生美”，这不仅适用于爱情，也适用于朋友之间的关系。
过于亲密可能会让人感到压迫，适当的距离反而能让彼此更加珍惜。
不得不提到测量距离的方法。
在几何里，距离可以用很多方式来测量，最常用的就是垂直距离。
这就像你在生活中，想要和朋友一起出去玩，可能需要量一下时间的距离，确保你们都能准时到达。
如果一方迟到了，另一个人可能就会有点儿不高兴了。
这个时候，距离的定义就显得尤为重要，既要保持适当的距离，又要把握好相处的时机。
这种距离的概念还体现在我们对世界的理解上。
就像科学家们通过测量宇宙中星体之间的距离，来揭示宇宙的奥秘。
生活也是如此，保持适当的距离，才能更好地观察和理解周围的事物。
湘教版七年级数学下册4.6两条平行线之间的距离
A
a
5cm
Bb
2cm
C
c
(1)直线c在直线的外侧， 解答同例题，AC=7cm.
(2)直线c在平行线a，b之间。 如图可得： AC=AB-BC=5-2=3(cm).
A
a
C 5cm c
2cm B
b
1.我们这节课学习了哪些概念？ 公垂线：与两条平行线都垂直的直线。 公垂线段：在公垂线上，两垂足间的线段。 两平行线间的距离：两平行线的公垂线段的长度。
5.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，点E是线段AB上 一点，连接DE并延长交CB的延长线于点F。若AB 与CD的距离等于10，BE=1，求三角形AEF的面积。
【解析】连接BD，由两平行线间的距离相等得出 三角形ADF的面积等于三角形ADB的面积，进而得 出三角形AEF的面积等于三角形BDE的面积为5.
用平移性质可以证明我们的结论是对的。
我们把两条平行线的公垂线段的长度叫做 两条平行线间的距离.
A
M
Cபைடு நூலகம்
N
图中MN是两平行线
B AB，CD的公垂线段，则 D MN的长度叫做两条平行
线AB与CD间的距离.
探究
如图，AB∥CD，PE是AB上一点P到直线CD的距 离。那么平行线AB与CD间的距离等于点P到直线CD 的距离吗？
第4章 相交线与平行线
学习 标
➹理解概念：公垂线、公垂线段、两平行线间的距离； ➹理解并掌握两平行线间的公垂线段都相等； ➹理解两平行线间的距离等于其中一条直线上一点到
另一条直线的距离； ➹学会作两平行线间的距离，能根据图形求两平行
线间的距离及相关的面积问题。