大数定理和中心极限定理
中心极限定理 大数定律
中心极限定理与大数定律介绍中心极限定理（Central Limit Theorem）和大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中两个重要而基础的定理。
它们在统计学和各个领域的实际应用中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨这两个定理的概念、应用和相关证明。
中心极限定理定义中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在特定条件下，一组随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
具体来说，对于任意独立同分布的随机变量的和，当样本容量足够大时，其均值的分布将会接近于正态分布。
证明中心极限定理的证明可以通过多种方法进行推导，其中最为经典的方法是使用特征函数的技巧。
通过对特征函数的逐步展开和极限取证，可以得出中心极限定理的结论。
应用中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
以下是中心极限定理的几个重要应用：1.抽样分布的近似计算：通过中心极限定理，可以对抽样分布进行近似计算，从而推断总体参数。
2.假设检验：在统计学中，中心极限定理广泛应用于假设检验问题中。
通过对样本均值进行正态分布近似，可以进行对总体均值的假设检验。
3.建立置信区间：中心极限定理可用于建立置信区间。
通过计算样本均值的区间估计，确定总体均值的信心水平。
大数定律定义大数定律是概率论中的另一个重要定理，它说明了当独立同分布的随机变量重复进行实验时，其平均值会收敛于数学期望。
换句话说，随着实验次数的增加，样本均值会趋近于总体均值。
证明大数定律的证明有多种方法，其中最为著名的是切比雪夫不等式和辛钦大数定律。
不同的证明方法都有其特点和适用范围，但最终都能得出大数定律的结论。
应用大数定律在实际应用中也有着广泛的应用。
以下是大数定律的几个重要应用：1.统计估计：大数定律可用于建立统计估计方法，如最大似然估计和矩估计。
2.贝叶斯推断：大数定律在贝叶斯推断中起着重要的作用。
通过重复实验，可以逐渐更新对参数的先验分布，得到后验分布。
3.经济学和金融学：大数定律在经济学和金融学中有广泛的应用。
大数定理与中心极限定理
的随机变量，使得X Xi . 易知 i 1
E( X ) np D( X ) npq
由Lindeberg-Levy中心极限定理知
lim
P
X
np
x
1
x t2
e 2 dt
n npq
2
n
理解：在定理条件下，总有 X ~ N(np, npq).
三、中心极限定理的应用
➢ Lindeberg-Levy中心极限定理应用
其概率分布一定是正态分布。
定理4(De Moivre-Laplace中心极限定理) 设随机变量X ~ B(n, p)，则对于任意的实数x，有
lim
P
X
np
x
1
x t2
e 2 dt
n npq
2
证明：因为X ~ B(n, p)，由Bernoulli大数定理证明有
X1, X 2 , , X n为独立同分布于参数为p的两点分布
P
1 n
n i1
1 Xi n
n
E( Xi )
i1
1
D(1 n n i1
2
Xi)
1
M
n 2
所以
lim P n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E( Xi )
1
推论：设X1, X 2 , , X n , 是独立同分布
随机变量序列，且数学期望为，方
差 2，则对于任意的正实数有
lim
n
当观测次数n充分大时，“观测值得算术平均值接近 期望值”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：
1
n
n i 1
Xi
n充分大
E(X )
中心极限定理和大数定律
中心极限定理和大数定律中心极限定理和大数定律是统计学中非常重要的两个概念。
它们在统计学中被广泛应用，对于理解随机事件的规律性和分析数据具有重要意义。
本文将对中心极限定理和大数定律进行详细的阐述。
一、中心极限定理1. 定义中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将近似于正态分布。
2. 原理中心极限定理的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）服从正态分布N（μ,σ^2/n）。
其中，μ代表总体均值，σ代表总体标准差。
3. 应用中心极限定理在实际应用中非常广泛。
例如，在质量控制过程中，我们可以通过抽取一小部分产品进行检测，并根据检测结果推断整个批次产品的质量状况。
而根据中心极限定理，我们可以通过抽取足够多的样本并计算样本均值，来推断总体均值和标准差，从而判断整个批次产品的质量是否符合要求。
二、大数定律1. 定义大数定律是指当样本量足够大时，样本平均值趋近于总体平均值。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将趋近于总体的平均值。
2. 原理大数定律的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）趋近于总体均值（μ）。
3. 应用大数定律在实际应用中也非常广泛。
例如，在股票市场中，我们可以通过抽取一小部分股票进行分析，并根据分析结果预测整个市场的走势。
而根据大数定律，我们可以通过抽取足够多的股票并计算它们的收益率，来推断整个市场的平均收益率和风险水平。
三、中心极限定理和大数定律之间的关系1. 相似性中心极限定理和大数定律都是关于样本均值的定理，它们都是基于样本量足够大的前提条件下成立的。
2. 区别中心极限定理和大数定律的主要区别在于它们所描述的内容不同。
中心极限定理描述了样本均值的分布情况，而大数定律描述了样本均值与总体均值之间的关系。
大数定律与中心极限定理
的方差存在，且有共同的上界，即
Var( Xi ) c,i 1,2,
则 {Xn} 服从大数定律，即对任意的 0
lim
n
P
1
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
1
成立.
定理3 （辛软大数定律）设 X1, X 2,X n , 为一列相互独立且相同分布的随机变量，若
Xi (i 1,2,) 的数学期望存在，则 {X n} 服从大数
例5.2.2 某工厂有 200 台同类型的机器，每台
机器工作时需要 50 kW 的电力。由于功率的原 因，每台机器的开工率为 0.75 ，各台机器是否 工作是相互独立的.问
（1）在任一时刻，恰有 144 至 160 台机器正在 工作的概率为多少？
（2）在任一时刻，需要至少供应多少电力才能 保证“因电力不足而使一些机器停工”的概率小于 0.01？
概率论与数理统计
二、中心极限定理
定理5.2.1 (独立同分布的中心极限定理) 设随机
变量序列 X1, X 2,X n , ，相互独立且服从同一 分布，它们具有相同的数学期望和方差
E Xi Var( X i ) 2 0
n
其中 i = 1,2,3,…, 则前 n 个随机变量之和 Xi 的标 i 1
准化变量
lim P Yn np x Φ(x) n np(1 p)
其中 (x) 为标准正态分布的分布函数.
例3 一个加法器可同时收到 20 个噪声电压 Vk
k 1,2,,20，设它们是相互独立的随机变量，
且都在 0,10 上服从均匀分布，记
20
V Vk k 1
求 P{V 105} 的近似值。
练习 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。
所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。
以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。
3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。
大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。
但大数定律并未涉及概率之分布问题。
此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。
从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。
因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。
总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。
3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。
大数定律和中心极限定理课件
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
3.5大数定理和中心极限定理
2. De Moiver − Laplace积分极限定理( 推论 )
若 X ~ B ( n , p ), 则对于任何实数 x , 有
X − np x 1 −t lim P ≤ x = ∫ e 2 dt = Φ( x) n→∞ npq −∞ 2π
b − np a − np − Φ (由Th) ≈ Φ 由 npq npq
例2 : 设电路供电网中有 10000 盏灯 , 夜晚每一盏灯开着的概 率都是 0.7 ,
假定各灯开 , 关时间彼此无关 , 计算同时开着的灯数在 6800 与7200 之间的概率 . 解 : X 表示同时开着的灯数
Xi
P
µ
1 n ∀ 即对 ε > 0, lim P ∑Xi − µ < ε =1 n→∞ n i=1
以上定理表明 : 随机变量取值的算术平 均值收敛于期望均值
3.5.2
伯努利大数定律
Th3.9 : 设每次试验中事件 A 发生的概率为 p( 0 < p < 1), n 次重复试验中 事件 A 发生的次数为 X , X P X → p 其频率 µ n ( A) = , 则有 n n
i =1
n
1n ∑ Xi − µ 2.若Y = n i=1 ~ N (0,1)
σ
σ2 1 n 令 X = ∑ X i 则X ~ N µ , n n i =1
n
在实际工作中 , 只要 n足够大 , 便可以把独立同分布的 随机变量之和当成正态 变量 .
3 .独立 , 不同分布： 不同分布：
1 −2 X i ~ N (0, 10 ) 12
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律与中心极限定理是概率论与数理统计中的两个重要定理，用于描述随机变量序列的性质。
下面我将分别对这两个定理进行总结，并给出相关的参考内容。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，描述了随机变量序列的极限性质。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种。
1. 弱大数定律弱大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值收敛于某个常数，那么这个序列就满足弱大数定律。
弱大数定律的代表是辛钦大数定律。
具体来说，如果一个随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中Xi是相互独立、同样分布的随机变量序列，它们的均值为μ，方差为σ^2。
那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1这意味着当样本数量趋向于无穷大时，样本均值的概率逼近于1，即样本均值趋近于总体均值μ。
2. 强大数定律强大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值以概率1收敛于某个常数，那么这个序列就满足强大数定律。
强大数定律的代表是伯努利大数定律和切比雪夫大数定律。
伯努利大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中每个随机变量取值为0或1，概率为p或1-p，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - p| ≤ ε ) = 1切比雪夫大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其具有相同的均值μ和方差σ^2，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1以上的大数定律说明了随机变量序列的均值具有稳定的性质，当样本数量足够大时，样本均值可以准确地反映总体均值。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论与数理统计中的一个基本定理，描述了独立随机变量和的分布的极限性质。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的概念，它们被广泛应用于概率论、数理统计以及各种实际问题的分析与推导中。
本文将详细介绍大数定律与中心极限定理的概念、原理及应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两个定律。
一、大数定律大数定律是指在随机试验中，当试验次数趋于无穷时，样本均值趋近于总体均值的概率趋于1的现象。
简言之，大数定律说明了在重复独立试验的过程中，随着试验次数增加，样本均值与总体均值之间的差距将会逐渐减小。
大数定律有多种形式，其中最为著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律也称为大数定律的辛钦特例，它是在满足一定条件下，样本均值趋近于总体均值的概率收敛于1。
而强大数定律则对样本均值的收敛速度和稳定性做出了更严格的要求。
在实际应用中，大数定律可以用来解释和预测各种现象。
例如，当进行大规模的舆情调查时，可以通过随机抽样的方式来获取一部分样本，然后利用大数定律来推断出总体的舆情倾向。
此外，在生产过程中对产品质量的控制和检验中，也可以使用大数定律来判断产品的批量质量是否合格。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从于正态分布。
也就是说，无论总体分布是否服从正态分布，在大样本条件下，样本均值的分布都将趋于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它提供了许多统计推断和参数估计的基础。
例如，在对总体均值进行估计时，可以利用样本均值的分布接近于正态分布来构建置信区间，从而对总体均值进行区间估计。
此外，中心极限定理还为假设检验提供了支持。
假设检验是统计推断的一种常用方法，通过对样本数据进行假设检验，可以判断总体参数是否与假设相符。
而中心极限定理则为假设检验提供了理论基础，使得假设检验的结果更加可靠和准确。
综上所述，大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的理论基础。
大数定律说明了随机试验中样本均值与总体均值的关系，而中心极限定理则揭示了样本均值的分布特征。
大数定律与中心极限定理公式
大数定律与中心极限定理公式
大数定律和中心极限定理是概率论和统计学中的重要概念，它们描述了在大量重复实验或观察中随机变量的性质。
大数定律是指当试验次数趋于无穷时，随机变量的相对频率趋于其概率。
具体来说，如果一个随机变量序列{ξn, n ∈ N} 的期望存在且等于某个常数ξ，那么对于任意小的正数ε，当 n 趋于无穷时，P( ξn - ξ ≥ ε ) 趋于 0。
中心极限定理则是指无论随机变量 X1, X2,..., Xn 的分布是什么，只要 n 足
够大，那么它们的和 X1 + X2 + ... + Xn 除以 n 的标准化形式就会近似地
服从标准正态分布 N(0, 1)。
也就是说，对于任意x ∈ R，有limn→∞
P(∣∑i=1nxi−nμ∣≤xσn)=Φ(x)\lim_{n \to \infty}
P(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \leq x) =
\Phi(x)limn→∞P(∣∣∑i=1nxi−nμ∣∣≤xnσ2)=Φ(x)，其中μ 是 X1, X2,...,
Xn 的期望，σ^2 是它们的方差，Φ(x)是标准正态分布 N(0, 1) 的分布函数。
这两个定理在统计学中有着广泛的应用，例如在样本均值的分布、样本比例的分布、回归分析等方面都有重要的应用。
大数定理和中心极限定理的区别和联系
大数定理和中心极限定理的区别和联系大数定理和中心极限定理的区别和联系大数定理：不论n趋向于多少，不论n的什么分布趋向于x，总存在一个与n成正比例的常数C，使得A(x)=sup{frac{x}{n}|xin[0，1]:A(x)leq C}。
中心极限定理：设A是一个无穷数列，如果存在一个a>0，并且满足： 1forall xin A， Ax=c|xleq A|，则称x是A的中心极限点。
定义：如果A是一个实数集合，其上大于等于n的所有中心极限定理都成立，这时候称为大数定理。
大数定理中“不论n趋向于多少，不论n的什么分布趋向于x”这句话的证明1、()对任意n， A(一个集合)， n的什么分布(极限点)存在，且为A的中心极限点。
2、()在大数定理中，关键是证明a>0， a为一个常数。
3、()解决大数定理和中心极限定理的相互转化，证明方法如下：用中心极限定理证大数定理，反过来用大数定理证中心极限定理。
大数定理的关键：寻找极限点，这里的极限点就是中心极限点。
中心极限定理的关键：证明大数定理，即找到大数定理的极限点。
注意事项： 1、要特别注意有两个关键点：一是当n趋向于某一值时，要找出这个点是否是A的中心极限点;二是当n越趋向于无穷时，要想办法证明极限点是否存在。
2、在大数定理的证明过程中，应用到了函数的单调性、极限、中心极限定理，因此在整个证明过程中，一定要掌握好这三者之间的相互关系。
3、掌握好单调性，要注意记住定义域、单调性判别法和大数定理这三者之间的关系，以及定义域和单调性之间的相互转化。
4、掌握好极限，在证明大数定理时，最好结合几何图形来做，这样可以加深理解。
例题：设有集合B满足X_n=lim_{ktoinfty} (X_k)_n=0，则n>0是的充分条件是。
证明：在定义域内找极限点，那么大于0的定义域内的极限点只有一个，所以x=0，所以x是B的极限点，因为： B-A=0，则： A-B=0，则：A-C=0，因为： A+C=0， A+C+D=0，所以： A-C+D=0，则： A-C=0。
大数定律及中心极限定理
定理1 （切比雪夫定理旳特殊情况）设随机变量序
列 X1,X2,…,Xn, ...相互独立，且具有相同旳数学期望
和方差： E(Xk)=，D(Xk)=2 (k=1,2,...) , 则对任意
旳
> 0，有
lim P n
1 n
n
Xi
i 1
1
即
X
1 n
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， 若对任意正数，有
lim
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为: Yn P a
性质：设 Xn P a, Yn P b , g(x, y)在点(a, b)连续,
100
于是, 一盒螺丝钉旳重量为 X Xi i 1
且 E( X i ) 100, D( X i ) 10, n 100
由中心极限定理
100
P{ X 10200} P{ i 1
Xi
10200}
P
100
Xi
i 1
n
n
10200 n n
P
X
1000 100
10200 1000
Φ
k 120 48
Φ
120 48
0.999
k 141.48,
至少供电142千瓦,才干确保以不不大于99.9%旳概率正常工作.
例3 在人寿保险企业里,有3000个同一年龄旳人参加保险.设在
一年内这些人旳死亡率为0.1%, 参加保险旳人在一年旳头一天 交付保险费10元，死亡时，家眷可从保险企业领取2023元． 求 （1）保险企业一年中获利不不大于10000元旳概率；
考研概率论复习-大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理一．车贝雪夫不等式若随机变量X 的数学期望EX 和方差DX 存在,则对于任意给定的0>ε,必有 2)(εεDX EX X P ≤≥- 或21)(εεDXEX X P -><-二．大数定律1. 辛钦大数定律设 ,,,,21n X X X 为一列互相独立的随机变量,服从相同的分布，μ=i EX ，2σ=i DX ,),2,1( =i ,则对于任意正数ε，有1}|1{|lim 1=<-∑=∞→εμni i n X n P 2. 贝努利大数定律设n u 是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中出现的概率,则对于任意给定的0>ε,必有1}|{|lim =<-∞→εp nu P n n 三．中心极限定理1. Levy-Lindeberg 中心极限定理：设 ,,,,21n X X X 为独立同分布的随机变量序列，若μ=i EX ，2σ=i DX ,),2,1( =i ，则当n 充分大时，∑=ni i X 1近似服从正态分布),(2σμn n N ， 即lim )n i n X n P x μ→∞-≤=∑du e xu ⎰∞--2221π。
2. 德莫佛尔-拉普拉斯极限定理：在贝努利试验中，若事件A 发生的概率为p 又设X 为n 次独立重复试验中事件A 发生的频数，则当n 充分大时，X 近似服从正态分布),(npq np N 。
例1：某保险公司有10000个同一年龄的人参加人寿保险,在一年里这些人的死亡率为1‰,参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡时,家属可以从保险公司领取元2000抚恤金求(1) 险公司一年中获利不小于40000元的概率。
(2) 保险公司亏本的概率。
(9993.0)163.3(,1)3271.6(=Φ=Φ,9993.0)164.3(,1)654.12(=Φ=Φ)解：一年中死亡的人数为X ,则X ～)001.0,10000(B(1) 保险公司一年中获利不小于40000元的概率}30{≤=X P }3271.6999.0001.01000010{≤⨯⨯-=X P)3271.6(Φ=1=。
中心极限定理 大数定律
中心极限定理大数定律
中心极限定理和大数定律是概率论中非常重要的两个定理，它们在统计学、经济学、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从理论和实际应用两个方面来介绍这两个定理。
中心极限定理是指在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的和或平均值的分布趋近于正态分布。
这个定理的意义在于，当我们面对大量的数据时，可以通过对数据进行求和或求平均值来得到一个近似于正态分布的结果。
这个定理的应用非常广泛，例如在统计学中，我们可以通过对样本数据进行求和或求平均值来估计总体的参数；在经济学中，我们可以通过对市场数据进行求和或求平均值来预测未来的趋势。
大数定律是指在一定条件下，随着样本数量的增加，样本的平均值趋近于总体的期望值。
这个定理的意义在于，当我们面对大量的数据时，可以通过对数据进行求平均值来得到一个近似于总体期望值的结果。
这个定理的应用也非常广泛，例如在物理学中，我们可以通过对实验数据进行求平均值来得到一个近似于真实值的结果；在金融学中，我们可以通过对市场数据进行求平均值来评估投资的风险和收益。
总的来说，中心极限定理和大数定律是概率论中非常重要的两个定理，它们在统计学、经济学、物理学等领域都有广泛的应用。
在实际应用中，我们可以通过对数据进行求和或求平均值来得到一个近
似于正态分布或总体期望值的结果，从而进行预测、估计或评估。
但是需要注意的是，这两个定理的应用条件是非常严格的，需要满足一定的前提条件才能得到正确的结果。
因此，在实际应用中，我们需要仔细分析数据的性质和应用条件，才能得到准确的结果。
概率统计(5)大数定律与中心极限定理
i =1 上一页 下一页
返回
定理2: 定理
上一页
下一页
返回
贝努利大数定律) (贝努利大数定律)设nA是n次独立重复试 次独立重复试 定理3: 定理 验中事件A出现的次数 是事件 出现的次数. 是事件A在每次试验中发生的 验中事件 出现的次数 p是事件 在每次试验中发生的 概率 (0<p<1),则对任意的ε >0有: 则对任意的 有 或 证明:设Xi表示第 i 次试验中事件 出现的次数, 次试验中事件A出现的次数 出现的次数, 证明: i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为 的 相互独立且均服从参数为p的 则 (0-1)分布,故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n 分布, 分布 由契比雪夫大数定律知, 且 ,由契比雪夫大数定律知,对于任意 的 ,有
定理1: 定理
相互独立, 证 因X1,X2,…相互独立,所以 相互独立
1 n 1 n 1 l D ∑ X i = 2 ∑ D( X i ) < 2 nl = n n n i =1 n i =1
又因
1 n 1 n E ∑ X i = ∑ E ( X i ), n i =1 n i =1
ε
ε2
可见契比雪夫不等式成立. 可见契比雪夫不等式成立
上一页
下一页
返回
设电站供电网有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的 盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的 例2 设电站供电网有 盏电灯 概率都是0.7,而假定开,关时间彼此独立 估计夜晚同时 而假定开, 概率都是 而假定开 关时间彼此独立,估计夜晚同时 开着的灯数在6800与7200之间的概率 之间的概率. 开着的灯数在 与 之间的概率 表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为 解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目 它服从参数为 表示在夜晚同时开着的灯的数目 n=10000,p=0.7的二项分布 的二项分布. 的二项分布 若要准确计算,应该用贝努利公式 应该用贝努利公式: 若要准确计算 应该用贝努利公式:
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理解析大数定律与中心极限定理是概率论中两个重要的定理。
它们揭示了随机现象的一种普遍性规律，对于我们理解和解释实际问题具有重要的参考价值。
大数定律大数定律是概率论中研究随机现象规律性的重要定理之一。
它表明，随着样本数的增加，样本均值趋近于总体均值，即大概率情况下样本的平均值与总体平均值之间的差异会逐渐减小。
这个定律的重要性在于，它提供了一种从有限样本推断总体特征的方法。
大数定律的直观解释如下：假设我们投掷一颗均匀的骰子，每次投掷的结果是随机的。
我们重复投掷100次，并记录每次投掷的点数。
根据大数定律，当投掷次数足够多时，各个点数出现的次数应该接近均匀分布，即每个点数出现的概率接近1/6。
换句话说，大数定律告诉我们，随着投掷次数的增加，样本的平均点数应该接近3.5，即骰子的期望值。
中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理。
它表明在一定条件下，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。
换句话说，中心极限定理告诉我们，当我们将多个随机变量进行加和时，其分布会趋近于正态分布。
中心极限定理的具体形式有多种，其中最为常见的是离散随机变量的中心极限定理和连续随机变量的中心极限定理。
无论是哪种形式，中心极限定理都具有广泛的应用领域。
例如，在统计学中，我们常常借助中心极限定理来进行假设检验、置信区间估计等。
大数定律与中心极限定理的联系尽管大数定律和中心极限定理是两个独立的定理，但它们在解释随机现象时常常相互联系。
大数定律关注的是样本均值与总体均值的关系，探讨样本均值的稳定性。
而中心极限定理则关注的是多个独立随机变量的和服从正态分布的问题，主要研究总体的分布特征。
当样本数足够大时，根据大数定律，样本均值会趋近于总体均值。
而根据中心极限定理，当随机变量的数量足够多时，随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
这两个定理的联系在于，当我们用多个样本均值加和来近似总体时，根据中心极限定理，所得到的和的分布会趋近于正态分布，进而可以应用正态分布的一些性质对总体进行研究和推断。
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中的一个重要定理，它揭示了在一系列独立随机事件中，随着样本量的增大，样本均值将趋于总体均值的规律。
中心极限定理（Central Limit Theorem）则是统计学中的一项基本定理，它说明了在大样本条件下，一组独立随机变量的和具有近似正态分布的特性。
两个定理在统计分析和推断中都起到了重要作用。
大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是概率论中的一个基础定理，它描述了独立随机事件的平均值在大样本条件下会无限接近于事件的真实概率。
根据大数定律，当独立随机事件重复进行时，样本均值将逐渐接近总体均值。
大数定律有两种形式：辛钦大数定律和伯努利大数定律。
辛钦大数定律是指当随机变量的期望存在时，样本均值以概率1收敛于期望值。
也就是说，无论一个事件发生的可能性有多小，只要重复进行足够多的实验，该事件发生的频率将无限接近于其概率。
伯努利大数定律是针对二项分布的情况，它说明了在一系列独立重复的二项试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率将逐渐接近于事件的概率。
大数定律在实际应用中有着广泛的作用。
例如，投资者根据历史数据计算股票收益率的期望，大数定律告诉我们当样本容量足够大时，计算得到的样本均值将逼近真实的期望收益率，从而提供了对未来股票表现的一定参考。
中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是统计学中的一项基本定理，它指出在大样本条件下，一组独立随机变量的和具有近似正态分布的特性。
中心极限定理是统计学中推断的基础，它的重要性在于它使得我们可以利用正态分布的性质进行概率和置信区间的计算。
中心极限定理的表述可以分为两种形式：李雅普诺夫型和林德伯格-李维定理。
李雅普诺夫型定理给出了随机变量和的分布函数收敛到正态分布的条件，其中随机变量可以不是独立同分布的。
林德伯格-李维定理则是对独立同分布随机变量和的和近似服从正态分布的定理。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们分别描述了随机变量序列的极限行为。
在统计学和概率论中，这两个定理被广泛应用于估计和推断，对于理解随机现象的规律具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了独立同分布随机变量序列的均值在概率意义下收敛于其数学期望的现象。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
1. 弱大数定律弱大数定律又称为辛钦大数定律，它是概率论中最早被证明的大数定律之一。
弱大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的数学期望存在且有限，记为$E(X_i)=\mu$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to \infty}P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$，其中$\varepsilon$为任意小的正数。
弱大数定律的直观解释是，随着样本量的增加，样本均值会逐渐接近总体均值，即样本的平均表现会趋向于总体的真实情况。
这一定律在统计学中有着广泛的应用，例如在抽样调查、质量控制等领域中被频繁使用。
2. 强大数定律强大数定律是大数定律的另一种形式，它要求更高，即要求随机变量序列的方差有限。
强大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的方差存在且有限，记为$Var(X_i)=\sigma^2$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to\infty}P(\bar{X}_n=\mu)=1$。
强大数定律相比于弱大数定律更加严格，要求随机变量序列的方差有限，但在实际应用中，强大数定律的条件并不总是成立。
5大数定律与中心极限定理
分布 P(2) .若随机变量Y100
100
Xi
，求 P190
Y100
210 .
i 1
解 因为 X i 服从 P(2) ，i 1,2,
即 PX i
k
2k k!
e2 , (k
1,2,)
所以 E( X i ) 2, D( X i ) 2 ， i 1,2,,100
近似服从 Y100
N 200, 10
k 1
n
D( X k )
n k 1
Xk k
Bn
k 1
若对于一切实数x,有
lim P{Yn x} n
1
t2
e 2 dt
2
则称随机变量序列{Xk}服从中心极限定理.
• 定理(独立同分布的中心极限定理):设{Xk}为相 互独立的随机变量序列,服从同一分布,且具有数学 期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2 ,则随机变量
t2
e 2 dt
lim lim n
np(1 p) n
np(1 p)
2
例: 设某妇产医院出生男孩的概率为 0.515，求在 10000 个新生儿中，出生的女孩不少于男孩的概率.
解法1 设X为10000个新生儿中男孩个数 则X服从B(n,p)，其中n=10000，p=0.515
由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为
20 100/12 20 100/12
20 100/12
1 1
0.387 t 2
e 2 dt 1 (0.387) 0.348
2
即有
P{V 105} 0.348
例: 在一家保险公司里有10000个人参加寿 命保险，每人每年付12元保险费。在一年内 一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属 可向保险公司领得1000元，问：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
大数定理
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
发展历史
1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
表现形式
大数定律有若干个表现形式。
这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：∙切比雪夫大数定理
设
是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望
和方差。
若存在常数C使得：
则对任意小的正数ε，满足公式一：
将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。
从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
∙伯努利大数定律
设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二：
该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。
∙辛钦大数定律
辛钦大数定律：常用的大数定律之一
设{
，i>=1}为独立同分布的随机变量序列，若
的数学期望存在，则服从大数定律:
即对任意的ε>0，有公式三：
、
中心极限定理
中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量积累分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。
它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。
中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。
最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。
1716年前后，A.棣莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。
自P.莱维在1919～1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。
极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。
长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。
同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。
常用定理
列维定理
林德伯格－列维（Lindburg-Levy）定理，即独立同分布随机变量序列的中心极限定理。
它表明，独立同分布、且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限。
设随机变量X1，X2，......Xn，......相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E（Xk）=μ，D（Xk）=σ^2>0(k=1,2....),则随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn（x）对于任意x满足limFn（x）=Φ（x），n→∞其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数。
拉普拉斯定理
棣莫佛－拉普拉斯（de Movire - Laplace）定理，即服从二项分布的随机变量序列的中心极限定理。
它指出，参数为n, p的二项分布以np为均值、np(1-p)为方差的正态分布为极限。
历史
中心极限定理有着有趣的历史。
这个定理的第一版被法国数学家棣莫弗发现，他在1733年发表的卓越论文中使用正态分布去估计大量抛掷硬币出现正面次数的分布。
这个超越时代的成果险些被历史遗忘，所幸著名法国数学家拉普拉斯在1812年发表的巨著Théorie Analytique des Probabilités中拯救了这个默默无名的理论.拉普拉斯扩展了棣莫弗的理论，指出二项分布可用正态分布逼近。
但同棣莫弗一样，拉普拉斯的发现在当时并未引起很大反响。
直到十九世纪末中心极限定理的重要性才被世人所知。
1901年，俄国数学家里雅普诺夫用更普通的随机变量定义中心极限定理并在数学上进行了精确的证明。
如今，中心极限定理被认为是(非正式地)概率论中的首席定理。
[1。