【精编】专题02参数方程一本通之备战高考数学选做题

专题02 参数方程

知识通关

1．曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()

()

x f t y g t =⎧⎨

=⎩，并

且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，

把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()

()x f t y g t =⎧⎨=⎩

就是曲线的参数方程．在参

数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． （1）参数方程化为普通方程

基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如22sin cos 1θθ+=等. （2）普通方程化为参数方程

曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.

3．常见曲线的参数方程

普通方程 参数方程

过点M 0(x 0,y 0),α为直线的倾斜角的直线

y －y 0＝tan α(x －

x 0)

00cos sin x x t y y t α

α=+⎧⎨

=+⎩

(t 为参数)

圆心在原点，半径为r 的圆 x 2＋y 2＝r 2

cos sin x r y r θ

θ

=⎧⎨

=⎩(θ为参数) 中心在原点的椭圆

22

221x y a b

+=(a >b >0) cos sin x a y b ϕ

ϕ=⎧⎨

=⎩

(φ为参数) 【注】（1）在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M

(x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．

（2）若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为00cos sin x x R y y R θ

θ

=+⎧⎨=+⎩错误！未找到引用源。(θ为

参数).

（3）若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为00cos sin x x a t

y y b t =+⎧⎨=+⎩

错误！未找到引

用源。(t 为参数).

基础通关

1．了解参数方程，了解参数的意义.

2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 题组一 参数方程与普通方程的互化

（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．

（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【例1】已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为

(θ为参数)．

（1）求直线l 和圆C 的普通方程；

（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. （2）因为直线l 与圆C 有公共点，

故圆C 的圆心到直线l 的距离|2|

45

a d -=≤，解得－25≤a ≤2 5. 题组二 参数方程及其应用

（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．

（2）对于形如00x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当a 2＋b 2

≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．

【例2】已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨

=-⎩

(t 为参数). （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．

【解析】（1）曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ(θ为参数)．

直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.

（2）曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝

5

5

|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d

sin 30°＝25

5|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为

225

5

. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为

25

5

. 故|PA |的最大值与最小值分别为

2255，25

5

. 能力通关

1．直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再