数理逻辑

数理逻辑

引言

逻辑思想

亚里士多德欧几里德几何

逍遥学派斯多葛学派

麦加拉学派智者派

经院哲学经院逻辑

培根穆勒黑格尔康德

形式逻辑

数理方向

莱布尼茨

布尔

弗雷格

罗素皮亚诺

1903年《数学原则》

两个演算经典逻辑非经典逻辑

●经典逻辑的一些基本特征：

1.是外延逻辑。

2.是二值逻辑。

3.承认排中律。

反证法：假设非A（即A未假），如果推出了逻辑矛盾，就能得到A。

4.承认矛盾律。

5.不含有模态词。

6.使用实质蕴涵。

7.是确定的、保真的推理。

8.基于离散性的逻辑

●20世纪初以来新兴的非经典逻辑：

1.内涵逻辑（外延原则：用内涵不同但真值相同的命题去替换复合命题中的支命题，复合命题真值保持不变）

2.多值逻辑（将来可能命题）

3.模态逻辑

4.直觉主义逻辑

5.弗协调逻辑

6.相干逻辑、衍推逻辑

7.条件句逻辑

8.模糊逻辑概率逻辑辩证逻辑……

●数理逻辑的应用领域：

——服务于哲学研究。

——服务于数学研究。

——服务于语言学研究。

——服务于自然科学研究。

——服务于计算机科学。

●第一编命题逻辑的基本内容：

第一章主要介绍命题逻辑的一些比较重要的基本概念。主要包括命题、命题的真值、真值联结词、真值形式、真值函项、真值表、简化真值表、重言式、推理的形式结构、重言等值式等等。

第二章主要介绍公理化的命题演算系统。主要包括公理化的方法、命题演算形式系统、命题演算的定理的推演和证明、求否定运算和求对偶运算。

第三章主要介绍同一真值函项，不同表达式的标准表达形式——范式、优范式，以及命题演算系统的一致性、完全性，还有公理的独立性。

第四章主要是介绍了一些不同符号体系的命题逻辑以及不同于古典命题演算的其它命题演算系统(多值、直觉主义、模糊、模态、相干等)。

第一篇命题逻辑

●“命题” 的两种理解

这是一本书。

This is a book.

此乃书也。

●命题逻辑狭谓词逻辑谓词逻辑

命题逻辑，以简单命题作为研究基本单位，而不再对简单命题进行结构上的分析。

谓词逻辑，对简单命题进行了进一步的分解，它把命题分析到了个体变项、谓词和量词。

狭谓词逻辑，仅研究量词作用于个体变项。（广义谓词逻辑进行了进一步的推广，还研究量词作用于命题变项和谓词变项）

一·一简单命题复合命题命题的真值

●简单命题：不包含其它的命题成分的命题。

●复合命题：就是包含其它命题成分的。

基本的复合命题有哪些？

●命题的真假

上海或者是中国最大的城市，或者不是中国最大的城市。

真值表中给出的真假是事实真假还是逻辑真假？

复合命题的真假是怎样确定的？

一·二真值联结词

自然语言联结词真值联结词真值联结词的名称

并非⌝否定

或者∨析取并且∧合取

若，则→蕴涵

当且仅当↔等值一·三五个基本真值联结词

●五个真值联结词的真值特征

1．否定的真值特征：总是取反值。

2．析取的真值特征：同假它为假，否则它为真；

3．合取的真值特征：同真它为真，否则它为假；

4．蕴涵的真值特征：前真后假它为假；否则它为真；

5．等值的真值特征：同真同假它为真，否则它为假。

▲命题联结词的逻辑含义和自然语言联结词的含义并不完全相同。

1. 否定词与“并非”、“不”

2. 合取词与“并且”

他参加了奥运会，并且得了三个冠军。

他得了三个冠军，并且参加了奥运会。

3. 析取词与“或者”

4. 蕴涵词与“如果，那么”

如果2+3=5，那么正方形有四条边。

如果小张得了阑尾炎，那么小张会肚子疼。

一·四命题形式

●真值形式，就是由真值联结词构成的复合命题的形式结构。

如果我们去打羽毛球，那么就不去游泳。

如果有甲，那么没有乙。

如果p，那么q。

p→q

●各种复合命题的形式在数量上是无穷的

●如何把一个复合命题转化为真值形式

首先，确定支命题，代之以变项。

其次，用真值联结词联结变项。

练习：要么a＝b，要么a≠b。

一·五真值表方法

第一步：确定真值形式中的全部命题变项，列出其全部取值组合。

第二步：由简到繁列出该真值形式的各支，最后一列为该真值形式。

第三步：根据五个基本联结词的真值表，依次计算各支的真值，最后得到该真值形式的真值。

p q ⌝p ⌝q p→q ⌝q→⌝p (p→q)∧(⌝q→⌝p) T T

T F

F T

F F

一·六真值函项重言的真值函项重言式

●真值

真值的集合有两个元素，一个元素是“真”，另一个元素是“假”。

●函数：设有甲、乙两个类，如果甲类中的任意一个分子x，在乙类中都至多有一个分子y与之对应，那么甲乙两个类之间就存在着函数关系。

●真值函项：定义域和值域都是{t, f}的函数。

●真值函项的种类

——不同的真值形式可以表示相同的真值函项

——命题命题形式真值形式真值函项

——判定两个真值形式是同一种真值函项的唯一标准：反映的是同一种真值映射关系。

——相同的真值函项有两个特征：

第一，一般来说，相同的真值函项具有同样数目的命题变项；

第二，相同的真值函项一定具有同样的真值取值。

——有多少种真值映射关系，就有多少种真值函项；一共可能有多少种真值映射关系，就