三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)

四、利用全等三角形证线段之间的和差
倍分问题
证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：
(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。

(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。

(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。

后两种方法，就是通常所说的截长补短。

例1.
已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF
分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。

（证明略）
例2.
已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC
证明：在EA上截取EF=BE，连结CF
∵CE⊥AB于E（已知）
∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）
∴∠1=∠B（等边对等角）
∵∠1+∠2=180°（平角定义）
∠B+∠D=180°（已知）
∴∠2=∠D（等角的补角相等）
（再往下证明略）
3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。

（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。

分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。

“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。

证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN来实现(如图4)；而本题给出的已知条件不能证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN，所以不适用于用截长法来证明。

“补短法”是将两条短线段中的任意一条NC（或BM）延长，比如延长NC到E，使CE=BM.(或延长MB到H,使BH=NC),再证明MN=NE(或证明MN=MH),从而得到MN=BM ＋NC。

证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△DBM≌△DCE和△MDN≌△EDN来实现。

(如图3)；或者如图0通过证明△DBH≌△DCN和△MDH≌△MDN来实现。

本题已知适用于“补短法”。

在实际做题时要根据具体的已知条件来选择截长还是补短法。

无论是“截长法”还是“补短法”其目的是将三条线段和的关系MN=BM ＋NC.转化为求两条线段的相等关系，而证两条线段相等是最基本的题型。

证明两条线段相等的方法通常有证两三角形全等，则对应边相等；或证明两条线段是等腰三角形的两腰相等，或等边三角形的任意两边相等；或两条线段是角平分线到角的两边的距离相等等。

（2）求△AMN 的周长。

我们来看图1，求△AMN 的周长，粗看三条边AM,AN,MN 和长短都
不知道，无法求周长AM ＋MN ＋AN 。

而已知AB=12cm.解题的关键
是如何找到要求的量AM,AN,MN 和已知量AB 之间的等量关系。

在
第（1）小题中我们已经证明了MN=BM ＋NC 。

而从图中可以看
出AM ＋MB=AB,AN ＋NC=AC=AB.所以AM ＋MN ＋AN=AM ＋MB ＋
NC ＋AN=AB ＋AC=2AB=24cm.这小题是求三条线段的和的题型，通
常解题的技巧是通过等量代换的方法找到要求的量与已知量之
间的等量关系，从而使问题得到解答。

（3）若点M 、N 分别是AB 、CA 延长线上的
点，，请说明BM 、MN 、NC 之间的关系。

分析：（1）首先确定题型，本题属于确定三条线段之间关系的题型。

（2）确定三条线段之间关系分为两类：一种是相等关系，即MN=BM
＋NC ；另一种是不等关系，即MN ＜BM ＋NC ；（为什么是MN 最
长呢？通过观察得到的）。

（3）根据已知条件分析属于哪一种，我们
先假设相等，将NC 延长至D ，使CD=BM,由已知AB=AC,所以有
AB ＋BM=AC ＋CD,即AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,所以∠NMD ＞
∠ADM,所以MN ≠AD,MN ≠BM ＋NC 。

所以三条线段只能是不等关
系。

（4）要证三条线段是不等关系，就要把三条线段想办法放在同
一个三角形中去。

所以必须要选定一个三角形，这个三角形怎么选
呢？我们要看这三条线段最集中在哪个三角形中，就选定哪个三角
形。

比如本题，三条线段中MN ，BM 都在△NMA 中，且第三条线
段NC 的一部分NA 也在△NMA 中，所以就选定△NMA 。

然后我们
观察到在△NMA 中，只有线段AB 没有着落，且三条线段中只能
NC 中的一部分AC 没有着落，对比这两条线段，可以猜想它们相等，
即AB=AC 。

可以利用等量代换的方法将AC 代换到AB ，(要证
AB=AC,最常用的方法就是证两个三角形全等其对应边相等，或等腰
或等边三角形两腰相等等方法实现。

)就实现了将三条线段放在同一
个三角形中了。

然后再利用三角形三边不等关系得证。

证明：BM、MN、NC之间的关系是MN＜BM＋NC；
在△NMA中，有MN＜AM＋NA,
因为AB=AC,所以AM=BM＋AB=BM＋AC,
所以MN＜BM＋AC＋NA,而NC=NA＋AC,所以MN＜BM＋NC
证明三条线段之间的不等关系
1.如图，已知△ABC是等腰三角形，且AB=AC,若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。

分析：（1）首先确定题型，本题属于确定三条线段之间关系的题型。

（2）确定三条线段之间关系分为两类：一种是相等关系，即MN=BM＋NC；另一种是不等关系，即MN＜BM＋NC；（为什么是MN最长呢？通过观察得到的）。

（3）根据已知条件分析属于哪一种，我们先假设相等，将NC延长至D，使CD=BM,由已知AB=AC,所以有AB＋BM=AC＋CD,即AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,所以∠NMD＞∠ADM,所以MN≠AD,MN≠BM＋NC。

所以三条线段只能是不等关系。

（4）要证三条线段是不等关系，就要把三条线段想办法放在同一个三角形中去。

所以必须要选定一个三角形，这个三角形怎么选呢？我们要看这三条线段最集中在哪个三角形中，就选定哪个三角形。

比如本题，三条线段中MN，BM都在△NMA中，且第三条线段NC的一部分NA也在△NMA中，所以就选定△NMA。

然后我们观察到在△NMA中，只有线段AB没有着落，且三条线段中只能NC中的一部分AC没有着落，对比这两条线段，可以猜想它们相等，即AB=AC。

可以利用等量代换的方法将AC代换到AB，
(要证AB=AC,最常用的方法就是证两个三角形全等其对应边相等，或等腰或等边三角形两腰相等等方法实现。

)就实现了将三条线段放在同一个三角形中了。

然后再利用三角形三边不等关系得证。

证明：BM 、MN 、NC 之间的关系是MN ＜BM ＋NC ；
在△NMA 中，有MN ＜AM ＋NA,
因为AB=AC,所以AM=BM ＋AB=BM ＋AC,
所以MN ＜BM ＋AC ＋NA,而NC=NA ＋AC,
所以MN ＜BM ＋NC
3.如图3，点P 是△ABC 的外角∠DAC 平分线上一点，你能比较PB ＋PC 与AB ＋AC 的大小关系吗？说明你的理由。

（卷子）
解：延长BA 到点F ，使AF=AC,连接PF
∵点P 是△ABC 的外角∠DAC 平分线上一点，∴AP 平分∠DAC ∴∠PAF=∠PAC
在△PAF 与△PAC 中⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=PA PA PAC PAF AC AF ∴ △PAF ≌△PAC ∴PF=PC
∴PB ＋PC=PB ＋PF
∵AF=AC ∴BF=AB ＋AF=AB ＋AC
在△BPF 中∵BF ＜PB ＋PF ∴AB ＋AC ＜PB ＋PC
总结：判断几条（三条或四条）线段之间的大小关系，通常是将这几条线段通过等量关系放在同一个三角形中，运用三角形三边关系判断它们之间的大小关系。

这种等量关系通常是通过证明三角形全等来实现的。

这个过程了是转化思想的运用。

3-1.如图3-1，在△ABC 中，AB ＞AC,∠1=∠2,P 为AD 上任意一点，求证：AB －AC ＞PB －PC.（教材全解43页）
3-2.如图3-2，AD是△ABC的外角∠FAC的平分线，D是这平分线上的一个动点，你能想出AB＋AC与BD＋DC的大小关系吗？并证明你的猜想。

（点拔27页）
分析：本题是涉及多条线段大小关系的题型，多条线段大小关系通常有两种，相等和不等。

线段相等关系一般通过证全等三角形来实现边（线段）等量关系的转换。

证明对应线段相等从而相等。

不等关系也是通过证全等三角形来实现边（线段）等量关系的转换。

，将几条线段转换到某一个三角形中利用三角形三边不等关系得证。

我们还注意到是其中两条线段相加如AB＋AC与另外两条线段相加如BD＋DC的关系，通常要把两条线段放到一条直线上去，即把两条线段合成一条线段，这样就把四条线段之间的关系转化为了三条线段之间的关系。

例如把AC转换到AB的延长线或反向延长线上去，得到新的一条线段BF=AB＋AC.然后再来找BF与BD＋DC的关系。

或者也可以把BD＋DC放到同一条直线上去，得到新的一条线段等于BD＋DC，这要视具体情况而定。

本题是需要把AC转换到AB的延长线或反向延长线上去，得到新的一条线段BF=AB＋AC.
本题中有角平分线，有角平分线的题型，通常是利用角平分线构造全等三角形。

而角一部分线最常用的方法是利用已经有的两个相等角和角平分线这条公共边为构造全等三角形，如图3-2-1，可构造一个与△ACD全等的三角形。

通常在角的另一边上截与AC等长的线段于F,连接DF。

则可证△ACD和△AFD为全等三角形.从而可得AC=AF,DC=DF.通过观察图形可以看出通过AC=AF,DC=DF.的等量关系把AC转换到AF,把DC转换到DF,从图中可看出
AB,AF,DF,BD四条线段在同一三角形中，从而实现了把几条线段转换到同一三角形中的目的，可以利用三角形三边的不等关系得证：AB＋AC＜BD＋DC
已知，如图，在△ABC，延长AC边上的中线BE至M,使EM=BE,延长AB边上的中线CD
至N,使DN=CD,求证：（1）N,A,M三点在同一直线上。

（2）AN=AM.(卷子)
4.如图5，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF,交AB 于点E,连结EG 、EF.（1）求证：BG=CF;(2)请你判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并说明理由。

解：(1)D 是BC 的中点,所以BD=CD,
AC ∥BG,所以∠GBD=∠ACD,
在△GBD 与△FCD 中⎪⎩
⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ACD GBD CD BD CDF BDG ∴ △GBD ≌△FCD ∴BG=CF
(2)判断BE ＋CF 与EF 的大小关系,因为BG=CF ，所以可以将CF 转化为BG ，放到三角形△BGE 中，但要证明GE=EF ，而GE=EF 可通过证明Rt △GDE ≌FDE,
⎪⎩
⎪⎨⎧==∠=∠=DF GD EDG EDF DE DE 090 所以GE=EF ，从而将BE 、CF 与EF 转化到同一三角形中了。

这是转化思想的应用。

总结：判断三条线段之间的大小关系，通常是将三条线段通过等量关系放在同一个三角形中，运用三角形三边关系判断它们之间的大小关系。

这种等量关系通常是通过证明三角形全等来实现的。

这个过程了是转化思想的运用。

证明一条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段的二倍，或者取长线段的一半，
设法把线段的倍半问题转化为证线段的相等问题。

这就是通常所说的“加倍”“折半”。

已知：△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC=DB ，E 为AD
中点，∠ADC=∠ACD，求证：CE=BC
分析：要证CE=BC，只要证2CE=BC即可，因此延长CE至F，使EF=CE，这样CF=2CE，只要证CF=CB，问题就得以证明。

要证CF=CB，就要证它们所在的两个三角形全等，即△CFD≌△CBD
证明：延长CE至F，使EF=CE
∴CF=2CE（线段中点定义）
∵E为AD中点（已知）
∴AE=DE（线段中点定义）
在△ACE和△DFE中
∴△ACE≌△DEF（SAS）
∴AC=DF（全等三角形对应边相等）
∴∠1=∠F（全等三角形对应角相等）
∴AC∥DF（内错角相等两直线平行）
∴∠ACD+∠CDF=180° （两直线平行同旁内角互补）
∵∠ADC+∠CDB=180° （平角定义）
∠ADC=∠ACD（已知）
∴∠CDF=∠CDB（等角的补角相等）
∵∠ADC=∠ACD（已知）
∴AC=AD（等角对等边）
∵AC=DF（已证）
AC=DB （已知）
∴DF=DB（等量代换）
在△CFD和△CBD中
∴△CFD≌△CBD（SAS ） ∴CF=CB（全等三角形对应边相等）
∴2CE=CB（等量代换）
∴CE=2
1CB （等式性质） 等腰三角形一腰上的中线把周长分成15 cm 和6 cm 两部分，求腰长和底边长（自己画图）
分析：此问题分两种情况，一种情况是AB+AD=15 cm ，
CD+BC=6 cm ，另一种情况是：AB+AD=6 cm ，CD+BC=15
cm .
（求解过程略，答案：腰长为10 cm ，底边长为1 cm ，或腰
长为4 cm ，底边长为13 cm ）。

已知：在△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，
∠DAC=90°，求：BD 的长
分析：利用已知图形求出BD 的长，不可能，因此需要添加辅助线，遇到等腰三角形经常添加底边的高，作AE ⊥BC 于E ，BE 能求出得16，要求BD ，只要求DE 即可，DE 所在的三角形ADE ，与三角形ADC 共用一条边AD ，可用勾股定理建立方程。

解：作AE⊥BC 于E ，
∵AB=AC
∴BE=CE=BC=16
在Rt△AEC 中，由勾股定理可得
在Rt△ADE中，由勾股定理可得 AD2=AE2+DE2
在Rt△ADC中，由勾股定理可得 CD2-AC2=AD2
∴AE2+DE2=CD2-AC2
设DE为χ则CD为16+χ
∴122+χ2=(16+χ)2-202
χ=9即DE=9
∴BD=BE-DE=16-9=7
答：BD=7。