三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)

四、利用全等三角形证线段之间的和差

倍分问题

证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：

(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。

(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。

(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。

后两种方法，就是通常所说的截长补短。

例1.

已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF

分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。（证明略）

例2.

已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC

证明：在EA上截取EF=BE，连结CF

∵CE⊥AB于E（已知）

∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）

∴∠1=∠B（等边对等角）

∵∠1+∠2=180°（平角定义）

∠B+∠D=180°（已知）

∴∠2=∠D（等角的补角相等）

（再往下证明略）

3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。

分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN来实现(如图4)；而本题给出的已知条件不能证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN，所以不适用于用截长法来证明。

“补短法”是将两条短线段中的任意一条NC（或BM）延长，比如延长NC到E，使CE=BM.(或延长MB到H,使BH=NC),再证明MN=NE(或证明MN=MH),从而得到MN=BM ＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△DBM≌△DCE和△MDN≌△EDN来实现。(如图3)；或者如图0通过证明△DBH≌△DCN和△MDH≌△MDN来实现。

本题已知适用于“补短法”。在实际做题时要根据具体的已知条件来选择截长还是补短法。无论是“截长法”还是“补短法”其目的是将三条线段和的关系MN=BM ＋NC.转化为求两条线段的相等关系，而证两条线段相等是最基本的题型。证明两条线段相等的方法通常有证两三角形全等，则对应边相等；或证明两条线段是等腰三角形的两腰相等，或等边三角形的任意两边相等；或两条线段是角平分线到角的两边的距离相等等。

（2）求△AMN 的周长。

我们来看图1，求△AMN 的周长，粗看三条边AM,AN,MN 和长短都

不知道，无法求周长AM ＋MN ＋AN 。而已知AB=12cm.解题的关键

是如何找到要求的量AM,AN,MN 和已知量AB 之间的等量关系。在

第（1）小题中我们已经证明了MN=BM ＋NC 。而从图中可以看

出AM ＋MB=AB,AN ＋NC=AC=AB.所以AM ＋MN ＋AN=AM ＋MB ＋

NC ＋AN=AB ＋AC=2AB=24cm.这小题是求三条线段的和的题型，通

常解题的技巧是通过等量代换的方法找到要求的量与已知量之

间的等量关系，从而使问题得到解答。

（3）若点M 、N 分别是AB 、CA 延长线上的

点，，请说明BM 、MN 、NC 之间的关系。

分析：（1）首先确定题型，本题属于确定三条线段之间关系的题型。

（2）确定三条线段之间关系分为两类：一种是相等关系，即MN=BM

＋NC ；另一种是不等关系，即MN ＜BM ＋NC ；（为什么是MN 最

长呢？通过观察得到的）。（3）根据已知条件分析属于哪一种，我们

先假设相等，将NC 延长至D ，使CD=BM,由已知AB=AC,所以有

AB ＋BM=AC ＋CD,即AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,所以∠NMD ＞

∠ADM,所以MN ≠AD,MN ≠BM ＋NC 。所以三条线段只能是不等关

系。（4）要证三条线段是不等关系，就要把三条线段想办法放在同

一个三角形中去。所以必须要选定一个三角形，这个三角形怎么选

呢？我们要看这三条线段最集中在哪个三角形中，就选定哪个三角

形。比如本题，三条线段中MN ，BM 都在△NMA 中，且第三条线

段NC 的一部分NA 也在△NMA 中，所以就选定△NMA 。然后我们

观察到在△NMA 中，只有线段AB 没有着落，且三条线段中只能

NC 中的一部分AC 没有着落，对比这两条线段，可以猜想它们相等，

即AB=AC 。可以利用等量代换的方法将AC 代换到AB ，(要证

AB=AC,最常用的方法就是证两个三角形全等其对应边相等，或等腰

或等边三角形两腰相等等方法实现。)就实现了将三条线段放在同一

个三角形中了。然后再利用三角形三边不等关系得证。