实数与勾股定理(修改)
勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第_节勾股定理-、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+ b2= c2,那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组。
）* 附：常见勾股数: 3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）;(2) 若c2= a2+ b2,则^ ABC是以Z C为直角的三角形；若a2 + b2v c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边)；若a2 + b2> c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)4. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的(3) 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的两边求第三边。
(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
(3) 用于证明线段平方关系的问题。
(4) 利用勾股定理，作出长为际的线段二、平方根：(11——19的平方)1、平方根定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。
(也称为二次方根)，也就是说如果x2=a,那么x就叫做a的平方根。
勾股定理与实数 2
勾股定理与实数复习【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：222cba=+2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222a b c+=那么这个三角形是直角三角形。
3、一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
4、正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
【典型习题】1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。
=AS=BS=CS=DS3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
5、某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C和点D处。
CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E建在距A点多远时，才能使它到C、D两所学校的距离相等？2.89.6A E BDC6、如图所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路的所在直线MN的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短。
请你设计一种方案确定P点的位置，并求这个最短距离。
7、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是多少?8、如图2—5—4所示，某市住宅社区在相邻两楼之间修建一个仿古通道，它的上方是一个半圆，下方是长方形，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？图2—5—49、甲、乙两船同时从A港出发，甲朝北偏东60°方向行驶，乙朝南偏东30°方向行驶。
勾股定理重点知识点
勾股定理重点知识点2017精选关于勾股定理重点知识点一、勾股定理与逆定理A.勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。
2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。
3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。
B.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。
必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。
(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。
然后进一步结合其他已知条件来解决问题。
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。
面积分割法、构造直角三角形二、实数与数轴1、实数与数轴上的点是一一对应关系。
任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。
2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。
3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。
三、矩形的性质1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。
实数知识点总结及练习题
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第一章 勾股定理姓名 座号 班级一、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
三、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（6，8，10）；（9，12，15）；（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；二、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
实数勾股定理
2、要做一个面积为 的正方形,它的边长的整数部分是
三、1．化简计算：
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
（5）、 （7）、
2、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出①一个面积是2的直角三角形；②一个面积是2的正方形。
教 学 过 程
◆ 知识要点概述
第一章勾股定理
1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即 。
2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。满足 的三个正整数称为勾股数。
第二章实数
1．平方根和算术平方根的概念及其性质：
A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里
3、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）
A、6厘米 B、8厘米 C、 厘米 D、 厘米
4、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( )
A.48 cm2B.36 cm2C.24 cm2D.12 cm2
2、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有米。
3．如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
4.如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
5．算术平方根的运算律： （ ≥0， ≥0）；（ ≥0， ＞0）。
第一章《勾股定理》
勾股定理
一、勾股定理基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在A B C ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形；cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
八年级数学上册第4章实数专题训练10实数与勾股定理习题课件新版苏科版
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(1)证明：∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝∠ ADB ＝90°.在
Rt△ ACD 中， CD ＝1， AD ＝2，∴ AC ＝ ＋
＝ ＋ ＝ .在Rt△ ABD 中， BD ＝4， AD ＝2，
∴ AB ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .∵ AC2＋ AB2
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类型2
实数与网格
4. 【母题教材P113复习题T14】图中每个小方格的边长
均为1.
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(1)在图①中画一个三角形，使它的三边长分别为1，
， ，并求出它的面积；
解：(1)如图①，△ ABC 即为所求. Nhomakorabea
△ ABC 的面积＝ ×1×1＝ .
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(2)在图①中，试比较 ＋1与 的大小，并说明理由；
CP ＝ AC ＝ .②当 AC ＝ AP 时，如图①，∵ AC ＝
AP ， AD ⊥ CP ，∴ CP ＝2 CD ＝2；③当 PA ＝ PC 时，
如图②，∵ PA ＝ PC ，∴∠ C ＝∠ PAC . ∵∠ C ＋∠ B
＝90°，∠ PAC ＋∠ PAB ＝90°，∴∠ B ＝∠ PAB ，
径分别为 A → B → M 、 A → C → M 、 A → D → M ，且三
只蚂蚁都按最短路径爬行，通过计算说明哪只蚂蚁最先到
达，哪只蚂蚁最后到达.
最新人教版八年级数学第17章勾股定理教案
最新人教版八年级数学第17章勾股定理教案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（最新人教版八年级数学第17章勾股定理教案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为最新人教版八年级数学第17章勾股定理教案的全部内容。
第十七章勾股定理教案课题：17。
1勾股定理（1） 课型：新授课【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力.【学习重点】:勾股定理的内容及证明。
【学习难点】：勾股定理的证明。
【学习过程】一、课前预习1、直角△ABC 的主要性质是:∠C=90°(用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。
（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长问题：你是否发现+与，+和的关系，即+ ，+ ， 二、自主学习 思考：(图中每个小方格代表一个单位面积） (2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B,C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢? （3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？（4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？(5）如果直角三角形的两直角边分别为1。
6个单位长度和2.4个长度单位,上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。
由此我们可以得出什么结论？可猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c,那么__________________ _____________________________________________________________________。
初二数学上册讲义
八年级上讲义第一章 勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222a b c +=。
第二章 实数一、 基本概念1. 实数：有理数与无理数统称为实数。
其中无限不循环小数叫做无理数。
2. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2a x =，那么这个正数x 就叫做a ，读作“根号a ”。
特别的，0的算术平方根是0。
一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，负数没有平方根。
立方根：. 一般地，如果一个正数x 的立方等于a ，即3a x =，那么这个正数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
0,0)a b ≥≥ 0,0)a b =≥> 二、中考题1.（08太原）在函数y =x 的取值范围是 。
2.（09太原）计算2的结果等于 ．3.（091=的根是 x=2第三章 四边形性质探索一、 基本概念1. 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平方。
平行四边形的判别：○1两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 ○2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
○3两组对边分别相等的四边形是平行四边形○4两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.菱形菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形。
3.矩形、正方形有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的对角线相等，四个角都是直角。
矩形判别方法：对角线相等的平行四边形是矩形。
正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
4.梯形梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
勾股定理与勾股数
勾股定理与勾股数勾股定理是数学中的一条基本定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
勾股数则是指满足勾股定理的整数组合。
本文将介绍勾股定理的概念和用途，并探讨与之相关的勾股数。
1. 勾股定理的定义与历史勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，被称为“毕达哥拉斯定理”或“勾三股四弦”。
它的数学表达形式如下：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方之和。
数学公式为：c² = a² + b²其中，c表示斜边（也称为弦），a和b表示直角边。
这一定理在三角学中极其重要，被广泛应用于解决各种直角三角形相关的问题，如测量距离、角度计算等。
2. 勾股定理的应用勾股定理的应用非常广泛，不仅在数学领域中有着重要的地位，还在其他学科和现实生活中发挥着重要作用。
2.1 测量距离勾股定理可以用来计算物体之间的距离。
例如，当我们想要测量两个地点之间的直线距离时，可以使用勾股定理来计算。
假设两个地点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)2.2 角度计算勾股定理还可以用于计算角度。
在直角三角形中，我们可以通过已知两边的长度来计算角度的大小。
例如，知道直角边a和斜边c的长度，可以使用如下公式计算角度θ的大小：θ = arccos(a / c)3. 勾股数的定义与性质勾股数指满足勾股定理的整数组合。
即使勾股定理可以应用于各种实数，但整数解具有特殊的数学性质。
3.1 勾股数的性质勾股数具有如下几个性质：- 勾股数由三个互质的整数组成，即它们没有公共因子。
- 勾股数可以通过欧几里得算法生成。
- 勾股数存在无穷多个。
3.2 勾股数的示例以下是一些常见的勾股数示例：- (3, 4, 5)是最简单的勾股数，也被称为“三四五勾股数”。
- (5, 12, 13)也是一个著名的勾股数。
中学数学 实数与勾股定理
课 题期末复习——实数与勾股定理教学目标1．掌握勾股定理及其逆定理的内容，能够利用勾股定理及其逆定理的内容进行几何计算证明，了解并掌握勾股数的概念，能够利用勾股定理求解蚂蚁爬行问题；2．了解并掌握实数的概念及其分类，掌握平方根、算术平方根与立方根的定义，能够熟练进行实数的运算；重点、难点重点1．掌握勾股定理及其逆定理的内容，能够利用勾股定理及其逆定理的内容进行几何计算证明；2．了解并掌握实数的概念及其分类，掌握平方根、算术平方根与立方根的定义，能够熟练进行实数的运算； 难点1．实数的分类；2．二次根式的定义与运算。
考点及考试要求1．掌握勾股定理及其逆定理的内容，能够利用勾股定理及其逆定理的内容进行几何计算证明，并能够解决实际应用问题；2．了解并掌握勾股数的概念；3．进一步掌握二元一次方程与一次函数的联系； 4．了解并掌握实数的概念及其分类； 5．掌握平方根、算术平方根与立方根的定义； 6．能够熟练进行实数的运算；教学内容【知识要点回顾】1．实数分类：2．相反数：b a ,互为相反数0a b ⇔+=实数有理数无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数)0(>a 3．绝对值： =aa 0a -)0(=a )0(<a4．倒数：b a ,互为倒数1;0ab ⇔=没有倒数；5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2±a ； 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法； 7．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于_______________。
如果用b a ,和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________8．（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a ,,满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。
八年级数学下册第7章实数7.2勾股定理教案新版青岛版
7.2 勾股定理一、教学目标：1、知识与技能：（1）掌握勾股定理的一些基本证明方法；（2）了解有关勾股定理的历史.2、过程与方法：（1）在定理的证明中培养学生的拼图能力（2）经历理解勾股定理的证明过程，感悟并掌握勾股定理的证明猜想.3、情感态度与价值观：（1）通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育；（2）通过数学思维活动，发展学生探究意识和合作交流思想.二、教学重点：理解并熟练勾股定理的证明过程三、教学难点：对勾股定理证明思想的领会四、教学用具：直尺，四个全等的直角三角形纸片，赵爽弦图，2002年国际数学大会图片五、教学方法：以学生为主体的讨论探索法六、教学过程：1、创设情境→激发兴趣（1）复习勾股定理——直角三角形的三边关系勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。
数学表达式：a2+b2 =c2（2）欣赏图片——引出课题通过欣赏2002年在我国北京召开的国际数学家大会的会徽图案，引出“赵爽弦图”，让学生了解我国古代辉煌的数学成就，激发学生民族自豪感.2、分析探究→得出猜想通过对赵爽弦图图形组成的提问：即由四个全等的直角三角形构成的，让同学们体验对数学图形的探究过程，学习这种研究方法。
同时提问：为什么会把这个图案设为大会的会徽?它有什么意义呢？继而教师总结：因为在1700多年前中国古代数学家赵爽用这个弦图证明了勾股定理（出示图片），我们称它为“赵爽弦图”，它反应了中国古代数学家的聪明才智，是我们中国古代数学的骄傲，现在让我们追忆一下古人的足迹，用赵爽弦图证明勾股定理：3、拼图证明→得出定理证明方法一：（中国赵爽证法）证明：大正方形的面积可以表示为：也可以表示为∵ =∴赵爽弦图好比将大正方形分“割”成几个部分→割的方法从而说明了勾股定理是正确的证明方法二：（西方毕达哥拉斯证法）证明：大正方形的面积可以表示为：也可以表示为：∵=∴毕达哥拉斯图好比将小正方形“补”成一个大的图形→补的方法从而也说明了勾股定理是正确的4、迁移应用→拓展提高如图14.1.4，将长为5米的梯子AC斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC长为3米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB.解：如图14.1.4，在Rt△ABC中，BC=3米，AC=5米，根据勾股定理得AB=4(米)答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB为4米。
初二第1讲勾股定理与实数
第一讲 ：勾股定理与实数1．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 表达形式：在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对边分别为c b a ,,，则有：①222b ac +=；②222b c a -=；③222a cb -=．2．勾股定理的逆定理（直角三角形的判别条件）如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+3．勾股数：①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为 正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15，17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n nn ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 4．平方根①定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即：如果2x =a ，那么x 叫做a 的平方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方，即a x ±=。
②性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 零有一个平方根，它是零本身；负数没 有平方根。
5.立方根（1）概念（2）性质（类比平方根）【小试牛刀】1、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注：上列各图中的三角形均为直角三角形) 答：A=＿＿＿＿，y=＿＿＿＿，B=＿＿＿＿。
2、7518278123+-+--例1、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A 的度数。
变式练习1：如图，已知：，，于P . 求证：.例2、计算：（1）274821313123-+- （2变式练习2：（12(2+ （2)11212-÷+例3、已知：=0，求实数a, b 的值。
勾股定理和实数概念
（"是大于】的奇数，则n, 丁ir +1是勾般数,（2） n是大于2的偶数，则n, —-1,4 —+ 1是勾股数。
第一章勾股定理宜角三角形1.直角三角形的两个锐角互余；2.在直角三角形中，如果一个锐角为30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；3.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°；4.直角三角形面积公式：5.直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
勾股定理如果直角三角形两直角边的长分别是尔b,斜边长是c,那么a2+i2=c2,即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的表现形式是______________ , a、b、c为线段长，而由J可想到以a为边长的正方形的________ ,故勾股定理的证明一定与图形的面积有关。
在我国古代，将直角三角形较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦 1 •使用勾股定理：先判断是否是直角三角形，然后找出直角边和斜边，最后运用勾股定理2•勾股定理有以下应用：（1）己知直角三角形的两边，求第三边（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系3・可以利用等面积法求直角三角形斜边上的高线利用直角三角形的面积相等导出的等积式是一个很逐要的关系式,即AB • CD=BC • ACo4.运用勾股定理方法：（1）若图形缺少直角条件，则可以通过作垂线的方法构造直角三角形（2）若不能宜接用勾股定理求出宜角三角形的边，那么应引入未知数，建立方程求解5.勾股定理也间接反映了三个图形面积之间的关系6.若a、b、c是三角形的三边，当a、b、c 满足：a2+b2=c2时三角形为直角三角形;a+b2<c2时三角形为钝角三角形；a2+b2>c2时三角形为锐角三角形7•勾股定理的逆定理：在AABC中，若a2+b2=c2则ZACB=90。
8.满足a2 + b2=c2的三个正整数a、b、c,称为勾股数，常见的勾股数有：3, 4, 5； 5,12, 13； 8, 15, 17； 7, 24, 25； 20, 21, 29： 9, 40, 41'''这些勾股数的整数倍数仍然是勾股数拓展：构造勾股数的重要方法:第二章实数1.有理数1）由整数和分数组成2）包含有限小数和有限循环小数3）能表示成巴的形式（m、n为整数，nHO,且最大公约数为1）II2•无理数：无限不循环小数常见的无理数类型1）一般的无限不循环小数,如：1.41421356・・・2）看似循环而实际不循环的小数，如0. 1010010001・・•（相邻两个1之间0的个数逐次加1）。
勾股定理与实数
【教师寄语：我们一起奋斗，相信自己，梦就在前方！】坐标法解立体几何一、考点、热点回顾1．实数分类：2．相反数：b a ,互为相反数0=+b a 3．倒数：b a ,互为倒数0;1=ab 没有倒数. 4．平方根，立方根：==x ，a x a x记作的平方根叫做数则数若,2±a . 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数 5．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 中考知识点比例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）．A ．16πB ．12πC ．10πD ．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．A ．12B ．7＋7C ．12或7＋7D ．以上都不对实数 有理数 无理数 整数（包括正整数，零，负整分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（ ）．A ．小于1mB ．大于1mC ．等于1mD ．小于或等于1m4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____．6.△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．7.一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？三、习题练习（1）（2）48512739+-A C CB A(3) 101252403--（4）20)21(821)73(4--⨯++（5）10)21()2006(312-+---+ (6)75.0125.204112484--+-7）75.0421*******+-+（8）3333222271912105+-⨯---2.已知22(4)0,()y x y xz -+++求的平方根。
第一章勾股定理-第三讲实数(教案)
（2）实数的运算规则：实数的运算规则相对复杂，尤其是涉及无理数的运算，学生容易出错。
突破方法：通过典型例题和练习题，让学生反复练习，掌握实数的运算规则，并培养学生的运算技巧。
（3）勾股定理在实际问题中的应用：将勾股定理与实数结合解决具体问题，学生可能难以找到解题思路。
4.实数的运算规则：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等。
5.勾股定理与实数的关系：勾股定理中的斜边长度通常为无理数，通过实数的性质和运算规则进行求解。
6.实数在实际问题中的应用：解决与长度、面积、体积等相关的实际问题。
本讲旨在使学生掌握实数的概念、性质和运算规则，并能运用勾股定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《第一章勾股定理-第三讲实数》核心素养目标：
1.培养学生的数学抽象能力，通过实数的定义和性质，使学生理解数的概念的拓展，感受数学的严密性和概括性。
2.增强学生的逻辑推理能力，通过实数的运算规则，引导学生运用逻辑思维进行推理和证明，提高解决问题的条理性和准确性。
3.提升学生的数学建模素养，结合勾股定理解决实际问题，让学生学会建立数学模型，体会数学与现实生活的紧密联系。
第一章勾股定理-第三讲实数（教案）
一、教学内容
《第一章勾股定理-第三讲实数》：本讲主要围绕实数的概念和性质展开，内容包括实数的定义、分类及运算规则。具体涉及以下知识点：
1.实数的定义：有理数和无理数的统称，包括数、分数、π、√2等。
2.实数的分类：整数、分数、无理数。
3.实数的性质：实数具有有序性、稠密性、传递性等。
值得一提的是，课堂上的小组讨论和成果展示环节，学生们表现得非常积极。他们通过互相交流，不仅巩固了所学知识，还激发了创新思维。在今后的教学中，我应当多设计这样的活动，鼓励学生们积极参与，提高他们的合作能力和表达能力。
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实数与勾股定理1．下列说法正确的是（ ）A ．无限小数都是无理数。
B ．带根号的数都是无理数。
C ．开方开不尽的数是无理数。
D ．π是无理数，故无理数也可能是有限小数。
2．下列说法中，正确的是（ ）A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数。
B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数。
C ．负数没有立方根。
D ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1。
3.下列六种说法正确的是○1无限小数都是无理 ○2正数、负数统称有理数 ○3无理数的相反数还是无理数 ○4无理数与无理数的和一 定还是无理数 ○5无理数与有理数的和一定是无理数 ○6 无理数与有理数的积一定仍是无理数4.在实数中，其中无理数的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45. 设，，，，则a b c d ，，，按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知a ＝2，b ＝4，c ＝－2，且aacb b x 242-+-=，则x 的值为 ；7．已知a 、b 、c 是的三边，且满足222244a cbc a b -=-，则△ABC 的形状是 ( )A ．直角三角形 B. 等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上的点P 处．已知∠MPN=90°，且PM=3，PN=4，那么长方形纸片ABCD 的面积为__________．70107.081221.03、、、、－ 。
π02a =2(3)b =-39c =-11()2d -=c a d b <<<b d a c <<<a c d b <<<b c a d <<<第8题图9.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm.9.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点P在△ABC内，且PC=3，PB=1，PA=2，则∠APB的度数为。
11.已知m、n是有理数，且（5＋2）m＋(3－25)n＋7＝0，则m、n分别为．12.如果a是2的小数部分，b是3的小数部分，则()()51312--++ba的值为13.已知121222++++-=xxxxy，则y的最小值为 .14.若0< a <1 ，且16aa+=，则的值aa1-为。
15．计算：()()201320142323-⨯+=BA3cm1cm6cm第9题图第10题16我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由 弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积 分别为S 1、S 2、S 3 ． 若正方形EFGH 的边长为2，则S 1+S 2+S 3=________．17.动手操作：将矩形纸片ABCD （如图①，AD >CD ）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，如果AB=a.那么BC 可以用含a 的式子表示为 ．18.几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点.问题：在直线l 上确定一点P ，使PA ＋PB 的值最小.方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B 交l 于点P ，则PA ＋PB ＝A 'B 的值最小(不必证明).模型应用：⑴如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P ，则PB ＋PE 的最小值是__________；(2)如图2，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值. ABCDABCDEF①②ABC DEG M N ③ 第17题图BE 第16题图19.已知P 为△ABC 边BC 上一点，且PC=2PB ，∠ABC=45︒，∠APC=60︒，则∠ACB 的度数为 .20. 任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[]44=，31⎡⎤=⎣⎦，现对72进行如下操作： ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①、对81只需进行 次操作后变为1；②、只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ；21.若∆ABC 的三边长a 、b 、c 满足条件：338262410222-++=++c b a c b a ，则∆ABC 的形状形状为 .22．如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,连接AC 、EC .已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x. (1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长； (2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.第19题图ED C B A第22题图21⎡=⎣72⎡=⎣8⎡=⎣23.问题背景:在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC (即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积. ⑴请你将△ABC 的面积直接填写在横线上______； 思维拓展:⑵我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．．．.若△ABC 三边的长分别为5a 、22a 、17a (a ＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的△ABC ，并求出它的面积； 探索创新:⑶若△ABC 三边的长分别为2216m n +、2294m n +、222m n +（m ＞0，n ＞0，且m ≠n ），试运用构图．．法．求出这三角形的面积.第23题图24.矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA、线段BA向点A的方向运动，当动点M运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN．设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒，问：当x为多少时，FM⊥FN？25. 如图，有一块塑料矩形模块ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A，D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.（5分）（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.（7分）26.如图，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，D是BC边的中点，点E、F分别在AB、AC上，∠EDF=900，连结AD.①求证：△ADE≌△CDF；②若BE=12，CF=5，求EF的长；③设AB=6，点E、F在AB、AC上移动，且保持∠EDF=900，设AE=x，当从1开始逐渐变到5（每次增加1）时，写出EF的长度，并猜想点E移到何位置时EF最短．DABHCPFEDABHCPF第25题图第24题27.一道结论性探索题的类比延伸：通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。
下面是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ， 则EF BE DF =+，试说明理由。
（1）思路梳理 ∵AB CD =，∴把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ∆，可使AB 与AD 重合。
∵90ADC B ∠=∠=︒； ∴180FDG ∠=︒，点F 、D 、G 共线。
根据 ，易证AFG ∆≌AFE ∆，得EF BE DF =+。
（2）类比引申如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒。
若B ∠、D ∠都不是直角，则当B ∠与D ∠满足关系 时，GA BCDEFC仍有EF BE DF =+。
（3）联想拓展如图3，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒。
猜想BD 、DE 、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程。
28.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA PB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=，且BQ BP =，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若::3:4:5PA PB PC =，连结PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由．Q CPAB第28题图。