概率论与数理统计第三节 频率与概率.ppt3(最新版)

一、频率的定义
频率
设在 n 次重复试验中 ,事件 A 出现了 nA 次 ,
则称 nA 为事件 A 在 n 次试验中出现的频数 ,比值 nA 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率 , 记为 f n A , n 即 f n A . n
性质:
1)
0 f n ( A) 1 ;
P A B P A P B P AB
证 如图所示 ,
A B A B AB
而且
所以
P A B P A P B AB
A B AB

A
AB
B
P A P B P AB .
P A P B .

又由概率的非负性, 有 P A B P A P B 0
即
性质 4 对于任一事件 A , 都有 P A 1 .
证 因为对于任一事件A , 都有 A 故由性质 4 , 可得 P A P 1 .
性质 5 对于任何事件 A , 有
P A 1 P A .
证
因为
A A ,且 AA .
所以 1 P S P A A P A P A 即
P A 1 P A .
性质 6 设 A, B 为任意两个事件 , 则
事件的概率
事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用 来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A 的概率
概率的统计定义
对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次
试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次数n的
增大而稳定地在某个常数 附近摆动那么称p为事件
Ａ的概率
P( A) p
当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频 率近似的代替事件A的概率，
解 1由于 A、B 互斥 , 所以
于是 所以
1 P BA P B . 2
B A BA B

A
B
A、B 互斥
2 因为 A B , 所以
P BA P B A P B P A 1 1 1 . 2 4 4
B
A
n
n
1
n 1
P A1 A2 An
例题
1、 设P(A)>0,P(B)>0,将下列四个数 P(A),P(AB),P(A)+P(B),
P( A B), 按由小到大的顺序排列，用 “ ”联系他们，并指出在什么情况下可能 有等式成立？
2 设 P(A)=P(B)=P(C)=1/3,P(AB)=P(AC)=0, P(BC)=1/4,求 A,B,C至少有一事件发生的概率.
2084 4040 12000 1061 2048 6019
频率 f n ( A) 0.518 0.5069 0.5016
Pearson
24000
12012
0.5005
频率和概率
频率的稳定性 随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发
生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数 的增加更加明显。可见, 在大量重复的试验中,随机 事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律 性.

A B

A
3 P BA P B AB
P B P AB 1 1 7 . 2 9 18
AB
B
A B
练习题 在某城市中发行三种报纸A, B, C , 经调查 订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C 报的有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时 订阅A及C 报的有8%，同时订阅C 及B报的有 5%，同时订阅A及B及C 报的有3%，试求下列 事件的概率：
2)
f n (S ) 1;
A1 , A2 , , Ak 是两两互不相容事件, f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak ) 则
3) 若
例：抛硬币出现的正面的频率 表 1
试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n =5 n =50 n =500
P A B P A P B 并且 P A P B .
性质 3 设 A、B 为两事件 , 且 A B , 则
证 如图 ,因为 A B , 所以 A B A B 并且 B A B A B 于是由性质 2 , 可得 P A P B P A B A B 也即 P A B P A P B ,
nH
2 3 1 5 1 2 4 2 3 3
fn(H)
0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6
nH
22 25 21 25 24 21 18 24 27 31
fn(H)
0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62
P AB P AC P AD P BC P BD P CD
P ABC P ABD P BCD P ACD P ABCD
P Ai P Ai P Ai A j P Ai A j Ak 1 i , j n 1 i , j ,k n i 1 i 1
1 只订A报的； 2 只订A及B报的； 3 只订一种报的； 4 正好订两种报纸的； 5 至少订阅一种报纸的； 6 不订阅任何报纸的； 7 最多订阅一种报纸的。
这一讲，我们介绍了
概率的公理化定义
它给出了概率所必须满足的最基本的 性质，为建立严格的概率理论提供了一个 坚实的基础.
P P P
注意: 概率为0的事件不等价于不可能事件
概率为1的事件不等价于必然事件
性质 2
设有限个事件 A1 ,A2 ,, An 两两互不相容 ,则
P A1 A2 An P A1 P A2 P An .
• 比如,一个箱子中装有100只产品,其中95只 是合格品,5只是次品.从其中任意拿出一只, 则拿到合格品的可能性就比拿到次品的可 能性大. • 假如这100只产品中的合格品与次品都是50 只,则拿到合格品与拿到次品的可能性就大 致相同.
• 所以,一个事件发生的可能性大小是它本身 所固有的一种客观的度量. 很自然,人们希望 用一个数来描述事件发生的可能性大小,而 且事件发生可能性大的, 这个数就大; 事件 发生可能性小的, 这个数就小. • 为此,我们引入频率的概念, 它描述了事件在 多次试验中发生的频繁程度,进而引出表征 事件在一次试验中发生的可能性大小的数 量指标——概率.
3 对于两两互不相容的事件 A1, A2 ,, 有
可列可加性
P A1 A2 P A1 P A2
事件发生 的频繁程度
事件发生
的可能性的大小
频 率
稳 定 值
概 率
频率的性质
概率的公理化定义
注记: 概率的公理化定义给每个随机试验E 提供了一个统一的理论结构,对E上的每个 随机事件A,所对应的实数P(A)用以度量A发 生的可能性的大小,称为A的概率.但是该定 义没有给出具体的对应法则,只规定了这种 对应所满足的三个公理化要求.概率论的主 要任务就是在概率的公理化定义下研究随 机现象的有关规律性.
这个定义也称为 概率的统计定义 .
二、概率的定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , S 是它的
样本空间 , 对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA ,
称之为事件 A 的概率 , 如果它满足下列三个条件 : 1 P A 0 ; 非负性
2 P S 1 ; 规范性
证 因为
A1 A2 An A1 A2 An
所以由可列可加性及性 1 , 有 质
P A1 P A2 P An P P
P A1 A2 An P A1 A2 An P A1 P A2 P An 0 0 P A1 P A2 P An .
由此性质还可推得
P A B P A P B wk.baidu.com.
而且此结果 还可以推广 :
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P A B C D P A P B P C P D
由概率的公理化定义可推得概率的下列性质 . 性质1 P 0 .
证 因为 由于上式右端可列个事件两两互斥 , 故由概率公
理化定义的可列可加性, 有 P P 再由概率的非负性可得,
P 0 .
3、 设随机事件A和B的概率满足 P(AB)=P(AB) 且P(A)=p,求P(B)
1 例1 设 A、B 为两个随机事件 , 且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2 1 1 A 与 B 互斥 ; 2 A B ; 3 P AB . 9
第三节 频率与概率
上一讲中，我们了解到，随机 现象有其偶然性的一面，也有其必 然性的一面，这种必然性表现在大 量重复试验或观察中呈现出的固有 规律性，称为随机现象的统计规律 性. 而概率论正是研究随机现象统 计规律性的一门学科. 现在，就让 我们一起，步入这充满随机性的世 界，开始第一步的探索和研究.
nH
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
fn(H)
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
表2
试验者 De Morgan Bufen Pearson
“正面向上”次 抛币次数n 数
由概率所必须满足的三条公理，我们 推导出概率的其它几条重要性质. 它们在 计算概率时很有用，尤其是加法公式.
三、小结
频率的定义 概率的公理化定义及概率的性质 事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发 生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率 是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标. 它介于0与1之间.
教学内容
1 频率的定义与性质; 2 概率的统计定义与概率的基本性质;
教学重点
概率的性质
• 一、提出问题
1.大量的重复试验后,事件发生的可能性有大 有小,怎样来认识和刻画它？
2.频率，我们比较熟悉。它和概率有关系吗? 可以给我们哪些启示呢？
二 问题分析
• 我们观察一项随机试验所发生的各个事件, 就其一次具体的试验而言,每一事件出现与 否都带有很大的偶然性,似乎没有规律可言. 但是在大量的重复试验后,就会发现: 某些 事件发生的可能性大些,另外一些事件发生 的可能性小些,而有些事件发生的可能性大 致相同.