专题3.2 复杂数列的求和问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)

一．方法综述
数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数列求和中的新定义问题
【例1】【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四)】对于数列，定义
为
的“优值”，现已知某数列的“优值”
，记数列
的前项和为，则
（ ）
A ．2022
B ．1011
C ．2020
D ．1010
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2.解决此类问题的一些技巧：
（1）抓住“新信息”的特点，找到突破口；
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.
【举一反三】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，定义1
1n
i i S n =∑为数列{}n a 前n 项的叠加和，若2016项数列
1232016,,,a a a a 的叠加和为2017，则2017项数列1220161,,,a a a 的叠加和为( )
A. 2017
B. 2018
C. 22017
D. 2
2018
类型二 子数列中的求和问题
【例2】已知有穷数列{}n a 中， 1,2,3,,729n =，且()()
1
211n n a n +=--，从数列{}n a 中依次取出
2514,,,
a a a 构成新数列{}n
b ，容易发现数列{}n b 是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列{}n a 的所
有项的和为S ，数列{}n b 的所有项的和为T ，则（ ）
A. S T >
B. S T =
C. S T <
D. S 与T 的大小关系不确定
【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法. 【举一反三】已知*n N ∈，集合135
21,
,,,
2482n n n M -⎧⎫
=⎨⎬⎩
⎭
，集合n M 的所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得80n T >的最小正整数n 的值为（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15 类型三 奇偶性在数列求和中的应用 【例3】【福建省2019届高三模拟】已知数列
满足，，且，
，设数列
的前项和为，则
__________（用表示）.
【指点迷津】数列求和中遇到n
)1(-，πn sin ，πn cos 都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如,{
2,n n n n a n =为奇数为偶数
）及符号型（如()21n
n a n =- ）
【举一反三】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,()1
211n n n a a -++-=,则40S =______
类型四 周期性在数列求和中的应用 【例4】数列{}n a 满足12sin
122n n n a a n π
+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，则数列{}n a 的前100项和为__________． 【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有sin
2n π ，于是考虑到三角函数的周期性，构造()sin 2
f n n π
=⋅，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之
和，则这个数列的前2019项之和
______．
类型五数列求和的综合问题
【例5】【上海市青浦区2019届高三二模】等差数列,满足
，则（）
A．的最大值为50 B．的最小值为50
C．的最大值为51 D．的最小值为51
【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据
，去绝对值求和，即可求出结果.
【举一反三】
1.【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知数列和的前项和分别为和，且，
，（），若对任意的，恒成立，则的最小值为_____.
2.【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.
若，，则数列的前项和__________．
三．强化训练
1.【山东省日照一中2019届高三11月统考模拟】已知函数的定义域为，，对任意R都有
，则=
A．B．C．D．
2.【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式
成立的最小正整数的值是（）
A．B．C．D．
3.【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三
角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．己知数列满足，，，则数列的前2018项的和等于
A．B．C．D．
5.已知等差数列{a
}的首项为，公差为d，其前n项和为，若直线y＝x＋m与圆(x－2)＋y＝1
的两个交点关于直线x＋y－d＝0对称，则数列的前10项和为（）
A．B．C．D．2
6．【山东省济南市历城第二中学2019接高三11月月考】定义函数如下表，数列满足，. 若，则（）
A．7042 B．7058 C．7063 D．7262
7．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】设数列中，若，则称数列
为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为（）
A．1 B．C．D．
8．【河北省武邑中学2019届高三（上)期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行排3项，依此类推设数列的前项和为，则满
足的最小正整数n的值为
A．20 B．21 C．26 D．27
二、填空题
9.【宁夏银川一中2019届高三一模】已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足
,且.若对任意恒成立，则实数的最小值为______．
10．在如图所示数表中，已知每行、每列中的数都构成等差数列，设表中第n行第n列的数为，则数列
的前100项的和为______．
11．【湖南省株洲市2019届高三统一检测（一)】数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列
的前项和为，则__________．（用数字作答）
12．【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线
垂直，若数列的前项和为，则__________．
13．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为，定义的“优值”为
，现已知的“优值”，则_________.
14．【江苏省常州市2019届高三上期末】数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.
15．【广东省汕尾市普通高中2019年3月高三检测】已知数列的首项
为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．
16．【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】对任意，函数满足：
，，数列的前15项和为，数列满足
，若数列的前项和的极限存在，则________．。