立体几何中的轨迹交汇问题

立体几何中轨迹问题

1、 已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为2

9的点的轨迹是（ ） A. 一个圆 B. 两条平行直线 C. 四个点 D. 两个点

2、 如图定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点。且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）

A. 一条线段，但要去掉两个点

B. 一个圆，但要去掉两个点

C. 一个椭圆，但要去掉两个点

D. 半圆，但要去掉两个点

3、 在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ． 直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线

变式1：已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）

A. 抛物线

B. 双曲线

C. 椭圆

D. 直线

变式2：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离与到直线AB 的距离的平方和为2，则在平面直角坐标系XAY 中，动点P 的轨迹方程是什么？

变式3：已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝31

，

点P 在平面ABCD 内运动，且点P 到11D A 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，试确定点P 轨迹的图形．

4、如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得△

ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是：

(A)圆 (B)椭圆 (C)一条直线 (D)两条直线

变式1：直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。

变式2：若直线PA 与平面M 成α角，直线PB 始终与直线PA 成β角，试探讨点B 的轨迹。

5、已知正四面体S-ABCD ，点P 为侧面SBC 内的一个动点，且点P 与定点S 的距离等于点P 到平面ABC 的距离，那么动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是 （ ）

(A)、圆 (B)、椭圆 (C)、双曲线 (D)、抛物线

6、在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）

A. 圆

B. 不完整的圆

C. 抛物线

D. 抛物线的一部分 7、若三棱锥BCD A -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与三角形ABC 组成图形可能是（ ）

8、如图5，动点P 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M 、N ．设BP=x ，MN=y ，则函数y=f(x)的图象大致是（ ）。

B C A A B C A

B B

C A C B C

A D

9、如图，四棱柱ABCD -A ’B ’C ’D ’中，底面ABCD 是为正方形，侧棱AA ’⊥底面 ABCD ，AB =23，AA ’=6．以D 为圆心，DC ’为半径在侧面BCC ’B ’上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ） A ．

π469 B ．π439 C ．π269 D ．π2

3

9

10、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线（ ）

()A 不存在 (B )有且只有两条

(C )有且只有三条 (D )有无数条

11、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为

6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ） A. 22 B. 32 C. 4 D. 52

12、在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .” 13、在△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EFcos ∠DFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.

14、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为线段BB 1、AB 的中点，O 是正方形B 1BCC 1的中心，过O 作直线与直线AM 交于点P ，与直线CN 交于点Q 。

(1)、求线段PQ 的长度。

E

D

A

C

D ’

C

B

A ’

B

(2)、将侧面ABB 1A 1无限延展开来得到平面ABB 1A 1，设平面ABB 1A 1内有一动点T ，它到直线DD 1的距离的平方减去它到P 点的距离的平方，其差为1，请建立适当的直角坐标系，求出动点T 所构成的曲线K 的方程。

(3)、在(2)的条件下，请说明以PB 为直径的圆与曲线K 是否有交点。如果有请求出此点的坐标；如果没有，请说明理由。

15、如图7，已知向量OA OB OC ===，

，a b c ，可构成空间向量的一个基底，若123()a a a =，，，a

123123()()b b b c c c ==，，，，，b c ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算233231131221()a b a b a b a b a b a b ⨯=---，，a b ，显然⨯a b 的结果仍为一向量，记作p ．

（1） 求证：向量p 为平面OAB 的法向量；

（2） 求证：以OA OB ，为边的平行四边形OADB 的面积等于⨯a b ；

（3） 将四边形OADB 按向量OC =c 平移，得到一个平行六面体111OADB CA D B -，试判断

平行六面体的体积V 与()⨯·

a b c 的大小．