高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版第8章第49讲解析几何的综合问题

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高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第八章

第八章解析几何第41讲直线的斜率与方程A 应知应会一、选择题1. (2019·开封模拟)过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A. 3x ＋4y ＋15＝0B. 3x ＋4y ＋6＝0C. 3x ＋y ＋6＝0D. 3x －4y ＋10＝02. 直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤π6，π3 B. ⎣⎡⎦⎤π4，π3 C. ⎣⎡⎦⎤π4，π2 D. ⎣⎡⎦⎤π4，2π33. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ,则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π44. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2019·张家口模拟)若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3 x －y ＝33 的倾斜角的2倍,则( )A. m ＝－3 ,n ＝1B. m ＝－3 ,n ＝－3C. m ＝3 ,n ＝－3D. m ＝3 ,n ＝1二、解答题6. 求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．7. 求适合下列条件的直线方程．(1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；(2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程．B巩固提升一、填空题1. 直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是________．2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．3. 已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0,则直线l恒过定点________．4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________．二、解答题5. (2019·启东检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1) 求证：不论m为何实数,直线l过一定点M；(2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程．6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时,求直线AB的方程．(第6题)第42讲两条直线的位置关系A应知应会一、选择题1. 若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行,则m的值为()A. 83 B. －83 C. －6 D. 62. 若直线l过点(3,1)且与直线2x－y－2＝0平行,则直线l的方程为()A. 2x－y－5＝0B. 2x－y＋1＝0C. x＋2y－7＝0D. x＋2y－5＝03. (2019·石家庄模拟)若直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上,则k 的值为()A. －24B. 24C. 6D. ±64. 若直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(3,2),则过点A(a1,b1),B(a2,b2)的直线方程是()A. 2x＋3y－2＝0B. 3x＋2y－2＝0C. 3x＋2y＋2＝0D. 2x＋3y＋2＝05. 已知直线l1：(m－4)x－(2m＋4)y＋2m－4＝0与l2：(m－1)x＋(m＋2)y＋1＝0,则“m ＝－2”是“l1∥l2”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件二、解答题6. 已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0,x＋y－7＝0,2x－7y－14＝0,求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程．7. 已知△ABC的顶点B(2,1),C(－6,3),其垂心为H(－3,2),求顶点A的坐标．B 巩固提升一、填空题1. 若三条直线y ＝2x ,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．2. 如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行,则a ＝________．3. 已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ,若l 1⊥l 2,则a ＝________,此时点P 的坐标为________．4. (2019·南通中学)已知直线l 的倾斜角为3π4,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,－1),且l 1与l 垂直,直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行,则a ＋b ＝________．二、解答题5. (2019·海门实验中学)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0,求α的值,使得：(1) l 1∥l 2；(2) l 1⊥l 2.6. 已知点P (a ,b )在x ,y 轴上的射影分别为点A ,B .(1) 求直线AB 的方程；(2) 求过点P 且垂直于AB 的直线m 的方程．第43讲距离公式与对称问题A 应知应会一、选择题1. 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( )A. 25B. 55C. 5D. 2552. 两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A. 235B. 2310C. 7D. 723. 已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ,设直线l 2经过点A ,则当点B (2,－1)到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为( )A. 2x ＋3y ＋5＝0B. 3x －2y ＋5＝0C. 3x ＋2y ＋5＝0D. 2x －3y ＋5＝04. 已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c的最小值为( ) A. 92 B. 94C. 1D. 9 5. (多选)在平面直角坐标系中,定义d (P ,Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)之间的“折线距离”,则下列命题中为真命题的是( )A. 若点A (－1,3),B (1,0),则有d (A ,B )＝5B. 到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆C. 若点C 在线段AB 上,则有d (A ,C )＋d (C ,B )＝d (A ,B )D. 到M (－1,0),N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0二、解答题6. (2019·江苏启东中学)已知直线l ：y ＝12x －1. (1) 求点P (3,4)关于l 对称的点Q ；(2) 求l 关于点(2,3)对称的直线方程．7. 已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4).(1) 证明：直线l 过某定点,并求该定点的坐标；(2) 当点P 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程．B 巩固提升一、填空题1. 已知点(a ,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a ＝________．2. 直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．3. 已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是________．4. “c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)二、解答题5. 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1) 若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程；(2) 求点A (5,0)到l 的距离的最大值．6. 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0,且l 1与l 2间的距离是7510. (1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2 ∶5 ？若能,求点P 的坐标；若不能,说明理由．第44讲圆的方程A 应知应会一、选择题1. (2019·太原模拟)若两条直线y ＝x ＋2a ,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部,则实数a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫－15，1B. ⎝⎛⎭⎫－∞，－15 ∪(1,＋∞) C. ⎣⎡⎭⎫－15，1 D. ⎝⎛⎦⎤－∞，－15 ∪[1,＋∞) 2. (2019·长沙模拟)已知三点A (1,0),B (0,3 ),C (2,3 ),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. 213C. 253D. 433. 方程|x |－1＝1－（y －1）2 所表示的曲线是( )A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 两个半圆4. (2019·邯郸一模)若x ,y 满足约束条件(x －1)2＋(y －1)2≤1,则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2 －1B. 3－22C. 2 ＋1D. 3＋225. (2019·黄冈调研)若长度为定值4的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动,P (x ,y )为△OAB 的外心轨迹上一点,则x ＋y 的最大值为( )A. 1B. 4C. 2D. 22二、解答题6. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且CD ＝410 .(1) 求直线CD 的方程；(2) 求圆P 的方程．7. 已知圆经过点A (2,－3)和B (－2,－5).(1) 若圆的面积最小,求圆的方程；(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上,求圆的方程．B巩固提升一、填空题1. 若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心,则a＝________．2. 已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(－1,1),B(1,3),若M(m,6)在圆C内,则m的取值范围为________．3. (2019·南师附中)经过三点A(－1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S＝________．4. 已知点A(－2,0),B(0,2).若点M是圆x2＋y2－2x＋2y＝0上的动点,则△ABM面积的最小值为________．二、解答题5. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．(1) 求线段AP中点的轨迹方程；(2) 若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．6. 如图,已知圆O的直径AB＝4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB,点P 是圆O上异于A,B的任意一点,直线P A,PB分别交l于M,N两点．(1) 若∠P AB＝30°,求以MN为直径的圆的方程；(2) 当点P变化时,求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．(第6题)第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系课时1直线与圆相关问题A应知应会一、选择题1. 以点(2,－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A. (x－2)2＋(y＋1)2＝3B. (x＋2)2＋(y－1)2＝3C. (x－2)2＋(y＋1)2＝9D. (x＋2)2＋(y－1)2＝92. (2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A,B两点(O 为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A. 6或－6B. 5或－5C. 6D. 53. “a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知圆C：x2＋y2＝4,若点P(x0,y0)在圆C外,则直线l：x0x＋y0y＝4与圆C的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定5. (多选)(2019·合肥模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|＝23,则直线l的方程为()A. 3x＋4y－12＝0B. 4x－3y＋9＝0C. x＝0D. 4x＋3y＋9＝0二、解答题6. (2019·启东模拟)已知直线l：kx－y＋k－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B 分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|＝43,求|CD|.7. 已知圆C经过点A(2,－1),与直线x＋y＝1相切,且圆心在直线y＝－2x上．(1) 求圆C的方程；(2) 已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程．B 巩固提升一、填空题1. (2019·衡水调研)过M (－3,1),N (0,a )两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆x 2＋y 2＝1存在公共点,则实数a 的取值范围为________．2. (2019·扬州期末)已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ,Q 两点,则CP → ·CQ → ＝________．3. 已知过点P ⎝⎛⎭⎫32，32 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ,B 两点,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为________,∠ACB ＝________．4. (2019·启东考前卷)如图,已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |＝2,则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．(第4题)二、解答题5. 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0,点A (3,5).(1) 求过点A 的圆的切线方程；(2) 点O 是坐标原点,连接OA ,OC ,求△AOC 的面积S .6. 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4,点O 是坐标原点,直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ,N 两点．(1) 求k 的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能,求出直线l 的方程；若不能,请说明理由．课时2圆与圆的位置关系A应知应会一、选择题1. 圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为()A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离2. 已知圆O1的方程为x2＋y2＝4,圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是()A. {1,－1}B. {3,－3}C. {1,－1,3,－3}D. {5,－5,3,－3}3. 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长,则a,b应满足的关系式是()A. a2－2a－2b－3＝0B. a2＋2a＋2b＋5＝0C. a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D. 3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直,则r等于()A. 5B. 4C. 3D. 225. 已知A＝{(x,y)|x2＋y2＝1},B＝{(x,y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4},则A∩B等于()A. ∅B. {(0,0)}C. {(5,5)}D. {(0,0),(5,5)}二、解答题6. 已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0,若圆B平分圆A的周长,且圆B的圆心在直线l：y ＝2x上,求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．7. 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4,圆O2的圆心坐标为(2,1).(1) 若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程；(2) 若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|＝22,求圆O2的方程．B 巩固提升一、填空题1. 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切,则m ＝________．2. 已知线段AB 的长为2,动点C 满足CA → ·CB →＝λ(λ<0),且点C 总不在以点B 为圆心,12为半径的圆内,则负数λ的最大值是________．3. (2019·江苏天一中学)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________．4. 如图,在平面四边形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,∠DAB ＝60°,AC ＝3BC ,则边CD 长的最小值为________．(第4题)二、解答题 5. (2019·江苏准阴中学)已知点P (2,2),圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．(1) 求M 的轨迹方程；(2) 当|OP |＝|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积．6. (2019·泰州中学)在平面直角坐标系xOy 中,过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分別与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ,B ,与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ,D .(1) 若AB ＝327 ,求CD 的长；(2) 若CD 中点为E ,求△ABE 面积的取值范围．(第6题)第46讲椭圆A 应知应会一、选择题1. 过点A (3,－2)且与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A. x 215 ＋y 210 ＝1B. x 225 ＋y 220 ＝1 C. x 210 ＋y 215 ＝1 D. x 220 ＋y 215 ＝12. 设F 1,F 2分别是椭圆x 225 ＋y 216 ＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 53. (多选)已知P 为椭圆x 25 ＋y 24 ＝1上一点,以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积为S ,则( )A. 若S ＝1,则满足条件的点P 有4个B. 若S ＝2,则满足条件的点P 有2个C. 若S ＝5 ,则满足条件的点P 有2个D. 若S ＝12 ,则满足条件的点P 有4个4. 若中心为(0,0),一个焦点为F (0,52 )的椭圆,截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆的方程是( ) A. 2x 275 ＋2y 225 ＝1 B. x 275 ＋y 225 ＝1C. x 225 ＋y 275 ＝1D. 2x 225 ＋2y 275 ＝15. 已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ,B ,左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切,且该圆与y 轴的正半轴交于点C ,过点C 的直线交椭圆于M ,N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A. 35B. 12C. 23D. 34二、解答题6 . 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1) 与椭圆x 24 ＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2,－3 )；(2) 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5,3.7. (2019·厦门期中)如图,已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ,B ,右焦点为F ,一条准线方程是x ＝－4,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,点P ,Q 为椭圆C上异于A ,B 的两点,点R 为PQ 的中点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线PB 交直线x ＝－2于点M ,记直线P A 的斜率为k P A ,直线FM 的斜率为k FM ,求证：k FM ·k P A 为定值．(第7题)B 巩固提升一、填空题1. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________．2. 已知F 1,F 2分别为椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的左、右焦点,点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q 在椭圆上,则长轴长为________；若P 是椭圆上的一点,且PF 1·PF 2＝43 ,则S △F 1PF 2＝________．3. (2019·江苏海门中学)设F 1,F 2分别为椭圆x 24 ＋y 2＝1的左、右焦点,点P 在椭圆上,且|PF 1＋PF 2|＝23 ,则∠F 1PF 2＝________．4. (2019·淮北一模)在平面直角坐标系xOy 中,点P 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1(a ＞0)上一点,F为椭圆C 的右焦点,直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点Q ,若Q 恰为线段FP 的中点,则a ＝________．二、解答题5. (2019·南昌一模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点M (0,－1),长轴长是短轴长的2倍．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 经过点N (2,1)且与椭圆C 相交于A ,B 两点(异于点M ),记直线MA 的斜率为k 1,直线MB 的斜率为k 2,求证：k 1＋k 2为定值．6. (2019·揭阳二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ,右焦点为F ,直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,且AP → ·AQ →＝0,试探究：直线l 是否过定点？若是,求该定点的坐标；若不是,请说明理由．第47讲双曲线 A 应知应会一、选择题1. (多选)下列各条件下求得的双曲线标准方程,正确的是( )A. 与x 轴交于两点A (－2,0),B (2,0),c ＝3,则方程为x 24 －y 25 ＝1B. a ＝25 ,过点A (2,－5),焦点在y 轴上,则方程为y 220 －x 216＝1C. 与椭圆x 227 ＋y 236 ＝1有相同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4,则方程为y 24 －x 25＝1D. 过P 1⎝⎛⎭⎫－2，352 ,P 2⎝⎛⎭⎫473，4 两点,则方程是y 29 －x 216 ＝12. 若双曲线E ：x 29 －y 216 ＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|＝3,则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 33. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点为F (－2,0),且双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的方程为( )A. x 23 －y 2＝1B. x 26 －y 22＝1C. x 23 －y 2＝1或x 2－y 23 ＝1 D. x 2－y 23 ＝1或x 26 －y 22＝1 4. (2019·济宁期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为E ,线段EF 被双曲线C 2：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的顶点三等分,且两曲线C 1,C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ,则双曲线C 2的离心率为( )A. 2B.322 C. 113 D. 2225. (2019·秦皇岛模拟)已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y＝2x ＋10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A. x 25 －y 220 ＝1B. x 220 －y 25 ＝1C. 3x 225 －3y 2100 ＝1D. 3x 2100 －3y 225 ＝1二、解答题6. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 虚轴长为12,离心率为54 ；(2) 焦距为26,且经过点M (0,12)；(3) 经过两点P (－3,27 )和Q (－62 ,－7).7. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154 ,Q ⎝⎛⎭⎫－163，5 ； (2) c ＝6 ,经过点(－5,2),焦点在x 轴上．B 巩固提升一、填空题1. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b2 ＝1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________．2. (2019·晋中二模)过双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的下焦点F 1作y 轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2,则双曲线的离心率为________．3. 已知M (x 0,y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1·MF 2<0,则y 0的取值范围是________．4. (2019·马鞍山一检)已知双曲线C ：x 24 －y 25 ＝1的焦点为F 1,F 2,P 为双曲线C 上的一点,且△F 1PF 2的内切圆半径为1,则△F 1PF 2的面积为________．二、解答题5. 已知双曲线过点(3,－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1) 求双曲线的标准方程；(2) 若点M 在双曲线上,F 1,F 2为左、右焦点,且|MF 1|＋|MF 2|＝63 ,试判断△MF 1F 2的形状．6. 已知双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线方程为2x ＋y＝0,且焦点到这条渐近线的距离为1.(1) 求此双曲线的方程；(2) 若点M ⎝⎛⎭⎫55，m 在双曲线上,求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．第48讲抛物线A 应知应会一、选择题 1. (2019·南昌一模)已知抛物线方程为x 2＝－2y ,则其准线方程为( ) A. y ＝－1 B. y ＝1 C. y ＝12 D. y ＝－122. 过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6 3. (2019·石家庄检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,过点F 和抛物线上一点M (2,22 )的直线l 交抛物线于另一点N ,则|NF |∶|FM |等于( )A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶3 4. (2019·武汉调研)已知A ,B 为抛物线y 2＝4x 上两点,O 为坐标原点,且OA ⊥OB ,则|AB |的最小值为( )A. 42B. 22C. 8D. 825. (多选)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)三点,F 是它的焦点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则( )A. x 1,x 2,x 3成等差数列B. x 1,x 2,x 3成等比数列C. y 21 ,y 22 ,y 23 成等差数列D. y 21 ,y 22 ,y 23 成等比数列二、解答题6. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ,B 两点,坐标原点为O ,且OA → ·OB → ＝12.(1) 求抛物线的方程；(2) 当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程．7. 一种高脚酒杯的轴截面近似一条抛物线如图所示,已知杯口宽4 cm,杯深8 cm.若将一些大小不等的玻璃球放入酒杯中,试问：半径为多大时,玻璃球触及酒杯底部？(第7题)B 巩固提升一、填空题1. 若直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0),且与抛物线C 交于A ,B 两点,则p ＝________,1AF ＋1BF＝________．2. (2019·河南六市二联)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,其准线为直线l ,过点M (5,25 )作直线l 的垂线,垂足为H ,则∠FMH 的平分线所在直线的斜率是________．3. (2019·福州一模)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点,若AF → ＝5FB →,则直线l 的斜率为________．4. (2019·深圳二调)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点F 和到点(2,0)的距离之和的最小值为3,过点F 作斜率为3 的直线l 与抛物线C 及其准线从上到下依次交于点A ,B ,M ,则|AF ||BF | ＋|AF ||MF |＝________．二、解答题 5. (2019·唐山摸底)斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线y ＝x 2交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,O 为坐标原点．(1) 当x 1＋x 2＝2时,求k ；(2) 若OB ⊥l ,且|AB |＝3|OB |,求|AB |.6. (2019·合肥二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m ,9)到其焦点F 的距离为10.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,且抛物线在A ,B 两点处的切线分别交x 轴于P ,Q 两点,求|AP |·|BQ |的取值范围．第49讲解析几何的综合问题课时1 解析几何中的最值、范围问题A 应知应会一、选择题1. 设A ,B 为椭圆C ：x 23 ＋y 2m＝1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°,则m 的取值范围是( )A. (0,1]∪[9,＋∞)B. (0,3 ]∪[9,＋∞)C. (0,1]∪[4,＋∞)D. (0,3 ]∪[4,＋∞)2. (2019·襄阳调研)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ,则离心率e 的取值范围是( ) A. [2 ,＋∞) B. (2 ,＋∞) C. (1,2 ) D. (1,2 ]3. (多选)已知O 是坐标原点,A ,B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点,OA ⊥OB ,则下列结论中正确的是( )A. OA ·OB ≥2B. OA ＋OB ≥22C. 直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点D. O 到直线AB 的距离小于等于1二、解答题4. (2019·安庆二模)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且过点(2,2 ). (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A ,B 为椭圆C 的左、右顶点,过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ,N 两点,分别记△ABM ,△ABN 的面积为S 1,S 2,求|S 1－S 2|的最大值．5. (2019·荆州二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为13,点P 在椭圆C 上,且△PF 1F 2的面积的最大值为22 . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,若在x 轴上存在点G ,使得|GM |＝|GN |,求点G 的横坐标的取值范围．B 巩固提升一、填空题1. (2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1,则双曲线x 2a 2 －y 2＝1的离心率的取值范围是________． 2. 已知线段|AB |＝4,|P A |＋|PB |＝6,M 是AB 的中点,当P 点在同一平面内运动时,PM 的长度的最小值为________．3. 已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P 满足PF 1·PF 2＝－a 2,则双曲线离心率的取值范围为________．二、解答题4. (2019·新乡三模)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线与x 轴交于点K ,过点K 作圆C ：(x －5)2＋y 2＝9的两条切线,切点为M ,N ,|MN |＝33 .(1) 求抛物线E 的方程；(2) 若直线AB 是过定点Q (2,0)的一条直线,且与抛物线E 交于A ,B 两点,过定点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G ,D 两点,求四边形AGBD 面积的最小值．5. (2019·江西质检)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22,过点A (－m ,0),B (m ,0)(m ＞0)分别作两平行直线l 1,l 2,l 1与椭圆C 相交于M ,N 两点,l 2与椭圆C 相交于P ,Q两点,且当直线l 2过右焦点和上顶点时,四边形MNQP 的面积为163. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若四边形MNQP 是菱形,求正数m 的取值范围．课时2 解析几何中的定点、定值问题A 应知应会一、选择题1. (2019·武汉模拟)曲线x 225 ＋y 29 ＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k ＜9)的( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等2. 已知直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若直线OA ,OB 的斜率k 1,k 2满足k 1k 2＝23,则l 一定过点( ) A. (－3,0) B. (3,0) C. (－1,3) D. (－2,0)3. (2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249 ＋y 224＝1上一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,且△PF 1F 2的重心为点G ,若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,那么△GPF 1的面积为( )A. 24B. 12C. 8D. 6二、解答题4. (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ,N 两点．(1) 当k ＝0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2) y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．5. 已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1,圆O ：x 2＋y 2＝4上一点A (0,2). (1) 过点A 作两条直线l 1,l 2都与椭圆C 相切,求直线l 1,l 2的方程并判断其位置关系；(2) 同学甲：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终相互垂直；同学乙：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终不垂直．请判定两个同学观点是否正确,并证明．B 巩固提升一、填空题1. 过抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作与直线x ＋2＝0相切的圆,这些圆必过一定点,则定点的坐标是________．2. 设A (x 1,y 1),B ⎝⎛⎭⎫4，95 ,C (x 2,y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225 ＋y 29 ＝1上三个不同的点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则x 1＋x 2＝________．二、解答题3. (2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的动直线交抛物线C 于A ,B 两点．当直线与x 轴垂直时,|AB |＝4.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M ,在抛物线C 上是否存在点P ,使得直线P A ,PM ,PB 的斜率成等差数列？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．4. (2019·池州期末)已知定点A (－3,0),B (3,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为－19,记动点M 的轨迹为曲线C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 过点T (1,0)的直线l 与曲线C 交于P ,Q 两点,是否存在定点S (s ,0),使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值？若存在,求出S 的坐标；若不存在,请说明理由．微难点10 解析几何运算中的常用技巧一、选择题1. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3 x ,它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A. x 236 －y 2108 ＝1B. x 29 －y 227＝1 C. x 2108 －y 236 ＝1 D. x 227 －y 29＝12. 已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的标准方程为( )A. x 245 ＋y 236 ＝1B. x 236 ＋y 227＝1 C. x 227 ＋y 218 ＝1 D. x 218 ＋y 29＝13. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0),P 为双曲线上任一点,且PF 1·PF 2最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34c 2，－12c 2 ,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A. (1,2 ] B. [2 ,2] C. (0,2 ] D. [2,＋∞)二、填空题4. (2019·清江中学)已知F (2,0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点,过F 且垂直于x 轴的弦长为6,若A (－2,2 ),点M 为椭圆上任一点,则|MF |＋|MA |的最大值为________．5. 如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,F (－25 ,0)为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足OP ＝OF ,且PF ＝4,则椭圆C 的方程为________．(第5题)三、解答题6. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23 ,短轴长为12,直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝125相切,求证：OM → ·ON → 为定值.7. 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e ＝12,且椭圆C 经过点P (2,3),过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ,B 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求△PF 1G 的面积S 的取值范围．8. 如图,O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2＋y 2＝1相切于点Q .(1) 当直线PQ 的方程为x －y －2 ＝0时,求抛物线C 1的方程；(2) 当正数p 变化时,记S 1 ,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求S 1S 2的最小值．(第8题)。

高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第二章

第二章基本初等函数第6讲函数的概念及其表示方法A 组应知应会一、选择题1. (2019·北京一模)已知函数f (x )＝x 3－2x ,则f (3)等于( )A. 1B. 19C. 21D. 352. (2019·石家庄二模)设集合M ＝{x |0≤x ≤2},N ＝{y |0≤y ≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )A BCD3. (2019·厦门质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0，则f (f (log 23))等于( ) A. －9 B. －1C. －13D. －1274. (2019·河南名校段测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f （x －4），x ＞9，则f (13)＋2f ⎝⎛⎭⎫13 的值为( ) A. 1 B. 0 C. －2 D. 25. (2019·河北衡水)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4 ,则实数m的取值范围是( )A. (0,4]B. ⎣⎡⎦⎤32，4C. ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D. ⎣⎡⎦⎤32，3二、解答题6. (1) 已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,求f (x )的解析式．(2) 已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1,求f (x )的解析式．7. 已知f (x )＝x 2－1,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1) 求f (g (2))和g (f (2))的值；(2) 求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式．B 组能力提升一、填空题1. 已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4 ,则函数y ＝f (x )的定义域为________,函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为________．2. (2019·南京三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f （x －2），x ＞0，则f (log 23)＝________． 3. (2018·南阳一模)已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ,则f (x )的解析式为________．4. (2018·郴州质量监测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则使f (a )＝－1成立的a 值是________．二、解答题5. (1) 已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1,求f (x ).(2) 已知定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1),求f (x ).6. 对于每个实数x ,设f (x )取y ＝4x ＋1,y ＝x ＋2,y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值,用分段函数写出f (x )的解析式,并求f (x )的最大值．第7讲函数的单调性与最值A 组应知应会一、选择题1. (多选)已知f (x )是定义在[0,＋∞)上的函数,根据下列条件可以断定f (x )为增函数的是( )A. 对任意x ≥0,都有f (x ＋1)＞f (x )B. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≥x 2,都有f (x 1)≥f (x 2)C. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1－x 2<0,都有f (x 1)－f (x 2)<0D. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0 2. 下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )A. y ＝11－xB. y ＝cos xC. y ＝ln (x ＋1)D. y ＝2－x 3. 若函数y ＝2－x x ＋1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A. (1,2) B. (－1,2) C. [1,2) D. [－1,2)4. (2019·郑州调研)若函数f (x )＝x －1x 2 在x ∈[1,4]上的最大值为M ,最小值为m ,则M －m 的值是( )A. 3116B. 2C. 94D. 1145. (2019·武汉质检)若函数y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2,＋∞)上是减函数,则a 的取值范围为( )A. (－∞,－4)∪[2,＋∞)B. (－4,4]C. [－4,4)D. [－4,4]二、解答题6. 已知f (x )＝x x 2＋1,判断并证明函数f (x )在区间[－1,0]上的单调性．7. 求下列函数的值域．(1) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x，x >1； (2) y ＝x －x .B 巩固提升一、填空题1. 函数f (x )＝1－2x ＋1的单调增区间是________． 2. (2019·太原期末)已知函数f (x )＝x ＋1x －1,x ∈[2,5],则f (x )的最大值是________． 3. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________．4. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1 满足对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 ＞0成立,那么实数a 的取值范围是________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0,x ＞0). (1) 求证：f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2) 若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ,求a 的值．6. 已知函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1) 求f (1)的值；(2) 判断f (x )的奇偶性并证明；(3) 如果f (4)＝1,f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3,且f (x )在(0,＋∞)上是增函数,求x 的取值范围．第8讲函数的奇偶性与周期性课时1 函数奇偶性判定与周期性A 组应知应会一、选择题1. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的函数是( )A. y ＝x 3B. y ＝ln 1|x |C. y ＝2|x |D. y ＝cos x 2. (2019·济宁二模)已知f (x )是定义在R 上的周期为4的奇函数,当x ∈(0,2)时,f (x )＝x 2＋ln x ,则f (2 019)等于( )A. －1B. 0C. 1D. 23. (2019·烟台一模)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,f ⎝⎛⎭⎫14 ＝1,当x <0时,f (x )＝log 2(－x )＋m ,则实数m 等于( )A. －1B. 0C. 1D. 24. 已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x ＋4)＝f (x ),当x ∈(－2,0)时,f (x )＝2x 2,则f (2 019)等于( )A. －2B. 2C. －98D. 985. (多选)设函数f (x )的定义域为R,且f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝0,f (0)≠0,若对于任意实数x ,y ,恒有f (x )＋f (y )＝2f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2 ·f ⎝⎛⎭⎫x －y 2 ,则下列说法正确的是( )A. f (0)＝1B. f (x )＝f (－x )C. f (x ＋2π)＝f (x )D. f (2x )＝2f (x )－1二、解答题6. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(－∞,0)时,f (x )＝－x lg (2－x ),求函数f (x )的解析式．7. 已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数,且f (1)＝1,若a ,b ∈[－1,1],且a ＋b ≠0时,有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0恒成立． (1) 用定义证明函数f (x )在[－1,1]上是增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12 <f (1－x ).B 组能力提升一、填空题1. (2019·日照一模)若函数f (x )＝x 2＋(3－a )x ＋1为偶函数,则a ＝________．2. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )＝log 2(x ＋1),则当x ∈[1,2]时,f (x )＝________．3. (2019·苏州期初调查)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0 为奇函数,则实数a 的值为________．4. (2019·南通、泰州、扬州一调)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时,f (x )＝x 3－ax ＋1,则实数a 的值为________．二、解答题5. 设f (x )是(－∞,＋∞)上的奇函数,f (x ＋2)＝－f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝x .(1) 求f (π)的值；(2) 当－4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x ),当x ∈[0,2]时,f (x )＝2x －x 2.(1) 求证：f (x )是周期函数；(2) 当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式；(3) 计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值．课时2 函数性质的应用A 组应知应会一、选择题1. (2019·山西考前训练)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,1)内是增函数的是( )A. y ＝x ln xB. y ＝x 2＋xC. y ＝sin 2xD. y ＝e x －e －x2. (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于 ( )A. －50B. 0C. 2D. 503. (2019·九江二模)已知函数f (x )满足：①对任意x ∈R,f (x )＋f (－x )＝0,f (x ＋4)＋f (－x )＝0成立；②当x ∈(0,2]时,f (x )＝x (x －2),则f (2 019)等于( )A. 1B. 0C. 2D. －14. (多选)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )和偶函数y ＝g (x )满足f (x )＋g (x )＝4x ,下列结论正确的有( )A. f (x )＝4x －4－x 2,且0<f (1)<f (2) B. ∀x ∈R,总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1C. ∀x ∈R,总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0D. ∃x 0∈R,使得f (2x 0)＞2f (x 0)g (x 0)5. (2019·临沂一模)已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数,当x ＞0时,函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称,则g (－1)＋g (－2)等于( )A. －7B. －9C. －11D. －13二、解答题6. 若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数,且x ∈[0,1)时f (x )为增函数,求不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12 ＜0的解集．7. 已知函数f (x )是(－∞,＋∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x ＋2)＝－f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )＝log 2(x ＋1).(1) 求f (0)与f (2)的值；(2) 求f (3)的值；(3) 求f (2 021)＋f (－2 022)的值．B 组能力提升一、填空题1. 已知函数f (x )同时满足条件：①偶函数；②值域为[0,＋∞)；③周期为2 020,请写出f (x )的一个解析式：______________．2. 已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1),b ＝g (20.8),c ＝g (3),则a ,b ,c 的大小关系是________．3. 设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2,则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________． 4. 函数f (x )＝x 3－3x 2的对称中心是________．二、解答题5. 若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0,＋∞)上有最大值8,求F (x )在(－∞,0)上的最小值．6. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1) 证明：y ＝f (x )是周期函数,并指出其周期；(2) 若f (1)＝2,求f (2)＋f (3)的值；(3) 若g (x )＝x 2＋ax ＋3,且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数,求实数a 的值．第9讲二次函数与幂函数A组应知应会一、选择题1. 若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛,b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛,c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛,则a,b,c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c2. 若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y＝f(x)的大致图象是()A BC D3. (2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a,x∈[0,1],若f(x)有最小值－2,则f(x)的最大值为()A. 1B. 0C. －1D. 24. 将进价为40元的商品按50元一件销售,一个月恰好卖500件,而价格每提高1元,就会少卖10个,商店为使该商品利润最大,应将每件商品定价为()A. 50元B. 60元C. 70元D. 100元5. (多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R),给出下列命题,其中是真命题的是()A. 若a2－b≤0,则f(x)在区间[a,＋∞)上是增函数B. 存在a∈R,使得f(x)为偶函数C. 若f(0)＝f(2),则f(x)的图象关于x＝1对称D. 若a2－b－2＞0,则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点二、解答题6. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①对称轴方程是x＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．7. 已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t＋1],总有|f(x1)－f(x2)|≤2,求实数t的取值范围．B 组能力提升一、填空题1. 已知函数f (x )＝ax 2－2x －3在区间为(－∞,4)上单调递减,则a 的取值范围是________．2. 若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1,一个零点大于3,则实数a 的取值范围是________．3. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x <0，x 2－2x －3，0≤x ≤3 的值域是________． 4. 已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域为(－∞,1],则1a ＋4c的最大值是________．二、解答题5. (1) 已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上具有单调性,求实数k 的取值范围．(2) 已知关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋3.(1) 若f (x )在[－2,2]上存在单调减区间,求k 的取值范围；(2) 从下面三个函数中：①g (x )＝mx ＋5－m ；②h (x )＝2x －m ；③r (x )＝log 2(3－x )－m ,任选一个函数补充在下列问题中,若m 存在,求m 的取值范围；若不存在,请说明理由．问题：当k ＝0时,若对任意的x 1∈[1,2],总存在x 2∈[－1,2],使得f (2x 1)＝k (x 2)成立．(其中k (x )是你选择的函数)第10讲指数式与指数函数A 组应知应会一、选择题1. (多选)下列结论中不正确的是( )A. 函数f (x )＝x x -⎪⎭⎫⎝⎛221的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12 B. 函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数 C. 函数y ＝1x ＋1的单调减区间是(－∞,1)和(1,＋∞) D. 1x＞1是x <1的必要不充分条件 2. 已知a ＝243 ,b ＝425 ,c ＝2513,则( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b3. 若3x ＝a ,5x ＝b ,则45x 等于( )A. a 2bB. ab 2C. a 2＋bD. a 2＋b 24. (2019·东北三校联考)已知函数f (x )＝a x －1(a ＞0,a ≠1)的图象恒过点A ,下列函数中图象不经过点A 的是( )A. y ＝1－xB. y ＝|x －2|C. y ＝2x －1D. y ＝log 2(2x )5. (多选)已知函数f (x )＝e x －e －x 2 ,g (x )＝e x ＋e －x 2,则f (x ),g (x )满足( ) A. f (－x )＝－f (x ),g (－x )＝g (x )B. f (－2)<f (3)C. f (2x )＝2f (x )g (x )D. [f (x )]2－[g (x )]2＝1二、解答题6. 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 ax ,a 为常数,且函数的图象过点(－1,2).(1) 求a 的值；(2) 若g (x )＝4－x －2,且g (x )＝f (x ),求满足条件的x 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝2x －1.(1) 求f (3)＋f (－1)；(2) 求f (x )在R 上的解析式；(3) 求不等式－7≤f (x )≤3的解集．B 组能力提升一、填空题1. (2019·菏泽九校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增．若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3 ),则a 的最大值是________．2. (2019·石家庄二模)若函数f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )＋2g (x )＝e x ,则g (－1),f (－2),f (－3)从大到小的顺序是________．3. (2018·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x <1，x ＋4x，x ≥1 (e 是自然对数的底).若函数y ＝f (x )的最小值是4,则实数a 的取值范围为________．4. (2019·聊城一模)设函数f (x )＝1e x －1＋a ,若f (x )为奇函数,则不等式f (x )＞1的解集为________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝b ·a x (a ＞0,且a ≠1,b ∈R)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1) 设g (x )＝1f （x ）＋3 －16,确定函数g (x )的奇偶性； (2) 若对任意x ∈(－∞,1],不等式⎝⎛⎭⎫a b x≥2m ＋1恒成立,求实数m 的取值范围．6. 设f (x )＝a x ＋a －x 2 ,g (x )＝a x －a －x 2,其中a 为常数,且a ＞0,a ≠1. (1) 求证：g (5)＝g (2)f (3)＋f (2)g (3)；(2) 试写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式,使得第(1)问的结论是这个等式的一个特例,并证明它在f (x )和g (x )的公共定义域R 上恒成立；(3) 试再写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式．第11讲对数与对数函数A 组应知应会一、选择题1. (2019·全国卷Ⅰ) 已知a ＝log 20.2,b ＝20.2,c ＝0.20.3,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a2. (多选)已知函数f (x )＝ax 3－1x＋b (a ＞0,b ∈Z),选取a ,b 的一组值计算f (lg a )和f ⎝⎛⎭⎫lg 1a 所得出的结果可以是( )A. 3和4B. －2和5C. 6和2D. －2和23. (2019·枣庄一模)已知2x ＝5y ＝t ,1x ＋1y＝2,则t 等于( ) A. 110 B. 1100C. 10D. 100 4. (2019·汕头一模)已知当0<x ≤12时,不等式log a x <－2恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A. (2 ,2) B. (1,2 )C. ⎝⎛⎭⎫22，1 D. (0,2 ) 5. (2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg (10＋x )＋lg (10－x ),则( )A. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是增函数B. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是增函数C. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是减函数D. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是减函数二、解答题6. 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3).(1) 若f (1)＝1,求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )的最小值为0,求a 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (0)＝0,当x ＞0时,f (x )＝log 12x . (1) 求函数f (x )的解析式；(2) 解不等式f (x 2－1)＞－2.B 组能力提升一、填空题1. (2019·南京、盐城一模)已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数,且当x ＞0时,f (x )＝e x ＋1,则f (－ln 2)的值为________．2. (2019·孝义二模)若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________．3. 若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a ＞0,a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 内恒有f (x )＞0,则f (x )的单调增区间为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12 ＝________, 方程f (f (x ))＝1的解集是________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,a ≠1)在区间[1,7]上的最大值比最小值大12,求a 的值．6. 已知函数f (x )＝ln (1＋x )＋ln (a －x )为偶函数,a ∈R ．(1) 求a 的值,并讨论f (x )的单调性；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫12 <f (lg x ),求x 的取值范围．第12讲函数的图象课时1图象变换及识别A组应知应会一、选择题1. (2019·黄山一模)已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x),则图(2)中的图象对应的函数为()(第1题)A. y＝f(|x|)B. y＝f(－|x|)C. y＝|f(x)|D. y＝－f(|x|)2. (2019·厦门质检)函数y＝cos x＋ln (|x|＋1)(x∈[－2π,2π])的图象大致为()A BC D3. (2019·泉州质检)函数f(x)＝e|x|2x的部分图象大致为()A BC D4. (2019·长沙月考)函数f(x)＝ln (x－1)＋ln (x＋1)＋cos x的大致图象是()A BC D5. (2019·济南一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0)在R 上为减函数,则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )A BC D二、解答题6. 如图,定义在[－1,＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,求f (x )的解析式．(第6题)7. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2). (1) 用分段函数的形式表示该函数；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．B 组能力提升一、填空题1. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ＜1，－x ＋3，x ≥1，使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________． 2. 已知函数f (x )＝1x,则y ＝f (x －1)＋1的单调减区间为________． 3. 若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为________．4. (2019·龙岩质检)已知定义在R 上的可导函数f (x ),g (x )满足f (x )＋f (－x )＝6x 2＋3,f (1)－g (1)＝3,g ′(x )＝f ′(x )－6x ,如果g (x )的最大值为M ,最小值为N ,则M ＋N ＝________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝|x |(x －a ),a ＞0.(1) 作出函数f (x )的图象；(2) 写出函数f (x )的单调区间；(3) 当x ∈[0,1]时,由图象写出f (x )的最小值．6. 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ,b 为常数),且方程f (x )＝32 x 的两个实根分别为x 1＝－1,x 2＝2.(1) 求y ＝f (x )的解析式；(2) 证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心．课时2以函数图象为背景的问题A组应知应会一、选择题1. (2019·合肥质检)函数f(x)＝x2＋x sin x的图象大致为()A BC D2. (2019·芜湖期末)函数f(x)＝ln |x＋1|x＋1的部分图象大致为()A BC D3. (2019·广州一模)如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h ＝f(t)的图象大致是()(第3题)ABCD4. (多选)函数f (x )＝|x |＋ax2 (其中a ∈R)的图象可能是( )ABCD二、填空题5. 已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm＝________．6. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1 的图象如图所示,则f (－3)＝________．(第6题)7. 若函数f (x )＝x ＋1x 的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝________．8. (2019·长沙统测)已知f (x )＝|e x －1|＋1,若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点,则实数a 的取值范围是________．9. 不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －log 12x <0的整数解的个数为________．B 组能力提升一、选择题 1. (2019·潍坊模拟)函数y ＝4cos x －e |x |的图象可能是( )ABCD2. (2019·河南省六市联考)设实数a ,b ,c 分别满足a ＝5－12 ,b ln b ＝1,3c 3＋c ＝1,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. c ＞b ＞aB. b ＞c ＞aC. b ＞a ＞cD. a ＞b ＞c3. 已知函数f (2x ＋1)是奇函数,则函数y ＝f (2x )的图象成中心对称的点为( )A. (1,0)B. (－1,0)C. ⎝⎛⎭⎫12，0D. ⎝⎛⎭⎫－12，04. 若函数f (x )＝（2－m ）xx 2＋m的图象如图所示,则m 的取值范围为( )(第4题)A. (－∞,－1)B. (－1,2)C. (0,2)D. (1,2)二、填空题 5. (2019·新余模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1),则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．6. (2019·荆州三模)已知偶函数f (x )和奇函数g (x )的图象如图所示,若关于x 的方程f (g (x ))＝1,g (f (x ))＝2的实根个数分别为m ,n ,则m ＋n ＝________．(第6题)7. 已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π2 x ,若f (x )与g (x )的图象有且只有3个交点,则a 的取值范围是________．8. 已知函数f (x )对于任意实数x ∈[a ,b ],当a ≤x 0≤b 时,记|f (x )－f (x 0)|的最大值为D [a ,b ](x 0). (1) 若f (x )＝(x －1)2,则D [0,3](2)＝________；(2) 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0，则D [a ,a ＋2](－1)的取值范围是________．第13讲函数与方程A 组应知应会一、选择题1. 若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A. 12 ,0B. －2,0C. 12D. 0 3. 已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1,g (x )＝log 2x ＋x ＋1,h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ,b ,c ,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c4. 已知函数y ＝f (x )的周期为2,当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个 5. (2019·九江模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a ＞0)的最小值为8,则实数a 的取值范围是( )A. (5,6)B. (7,8)C. (8,9)D. (9,10) 二、解答题6. 若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a 的取值范围．7. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2,a ∈R ．(1) 若不等式f (x )≤0的解集为[1,2],求不等式f (x )≥1－x 2 的解集；(2) 若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a 的取值范围．B 组能力提升一、填空题1. 方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解集为________．2. 设f (x )是定义在R 上的偶函数,满足f (x )＝f (2－x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝－x 2＋1,方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 |x |在区间[－5,5]内实根的个数为________．3. 在平面直角坐标系xOy 中,若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点,则a 的值为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x <1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1，若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________．二、解答题5. 已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数,当x ∈[0,＋∞)时,f (x )＝x 2－2x . (1) 求函数y ＝f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解,求a 的取值范围．6. (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ,f ′(x )为f (x )的导数． (1) 求证：f ′(x )在区间(0,π)上存在唯一零点； (2) 若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围．第14讲数学建模——函数的模型及其应用A组应知应会一、选择题1. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元,则这个人的稿费为()A. 3 000元B. 3 800元C. 3 818元D. 5 600元2. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年3. (2019·三明联考)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3 010)()A. 3B. 4C. 5D. 64. (2019·安庆二模)设甲、乙两地的距离为a(a＞0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()A BC D5. (多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,则下列叙述不正确的是()(第5题)A. 消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少C. 甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油D. 某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油二、解答题6. 网店销售某一品牌的商品,购买人数n是商品标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少．已知标价为每件300元时,购买人数为零；标价为每件225元时,购买人数为75人．若这种商品的成本价是100元/件,网店以高于成本价的相同价格(标价)出售．(1) 网店要获取最大利润,商品的标价应定为每件多少元？(2) 通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果网店要获得最大利润的75%,那么商品的标价为每件多少元？7. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2,其中3<x<6,a为常数．已知销售价格为5元/kg时,每日可售出该商品11 kg.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/kg,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．B组能力提升一、填空题1. (2019·唐山联考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A (a为常数),广告效应为D＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________．(用常数a表示)2. (2019·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(kg)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿________kg.(第2题）3. 某公司一年购买某种货物600 t,每次购买x t,运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________．4. 根据相关规定,机动车驾驶员血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升时属于醉酒驾车．假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升,经过x h,酒精含量降为p毫克/100毫升,且满足关系式p＝p0·e rx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2 h后,测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升,则此人饮酒后需经过________h方可驾车．(精确到h)二、解答题5. 某创业团队拟生产A、B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图(1)),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图(2)).(注：利润与投资额的单位均为万元)(1) 分别将A、B两种产品的利润f(x)、g(x)表示为投资额x的函数；(2) 该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A、B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A、B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？图(1)图(2)(第5题)6. 某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝1600x 2＋x ＋150(万元). (1) 若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台？(2) 现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m 人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480，m ＞30(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问：引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之多少？(第6题)微难点2 分段函数的研究一、选择题1. (2019·湖北四地联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，log 2（x ＋1），x ≥0，若f (a )<1,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,－3)∪[0,1)B. (－3,0)∪(－1,1)C. (－3,1)D. (1,＋∞)2. (2019·开封一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，若f (a )≥1,则a 的取值范围是( )A. [1,2)B. [1,＋∞)C. [2,＋∞)D. (－∞,－2]3. (2019·廊坊三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 2x －2x ＋a ，x >0，ax ＋3a －2，x ≤0 在(－∞,＋∞)上是单调函数,且f (x )存在负的零点,则a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫23，1B. ⎝⎛⎦⎤23，32C. ⎝⎛⎦⎤0，32D. ⎝⎛⎭⎫23，＋∞4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ,b ,c ,d ,满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d ),其中d ＞c ＞b ＞a ＞0,则abcd 的取值范围是( )A. (21,25)B. (21,24)C. (20,24)D. (20,25)5. (2019·驻马店期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax x >0 在[－2,2]上的最大值为3,则实数a 的取值范围是( )A. (ln 3,＋∞)B. ⎣⎡⎦⎤0，12ln 3C. ⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D. (－∞,ln 3]二、填空题6. (2019·佛山二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－x 2＋2x ＋1，x <0 (其中e 是自然对数的底数),且函数y＝|f (x )|－mx 有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是________．7. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x，x ≤1，log a x ＋13，x >1. 若存在x 1,x 2∈R,x 1≠x 2,使得f (x 1)＝f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是________．8. (2019·滨州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 2x |，x >0.若方程f (x )＝a 恰有4个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23 x 4的取值范围为________．微难点3 由函数的性质求参数范围一、填空题1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0，若f (a －1)＋f (a )＞0,则实数a 的取值范围是________．2. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－mx ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－m 2x ＋2，x ≤1 是R 上的增函数,则实数m 的取值范围是________．4. 若函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ＋1在(－2,＋∞)上单调递增,则a 的取值范围是________．5. 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2 在区间(－2,＋∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，若f (2－a 2)<f (a ),则实数a 的取值范围是________．二、解答题8. 设定义在[－2,2]上的函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,且f(1－m)＜f(3m).(1) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是奇函数,求实数m的取值范围；(2) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是偶函数,求实数m的取值范围．。

高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第八章 8.3

§8.3圆的方程圆的定义与方程概念方法微思考1.二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2.点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,点M (x 0,y 0), (1)点在圆上:(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外:(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2； (3)点在圆内:(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(√)(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)若点M(x0,y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.(×)题组二教材改编2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r＝12＋12＝2,则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3.以点(3,－1)为圆心,并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1B.(x－3)2＋(y－1)2＝1C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案 A4.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(－1,1)和B(1,3),则圆C的方程为______________.答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0),∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上,∴CA ＝CB , 即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9,解得a ＝2, ∴圆心为C (2,0),半径CA ＝(2＋1)2＋1＝10, ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三易错自纠5.若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆,则m 的取值范围是( ) A.(－∞,－2)∪(2,＋∞) B.(－∞,－22)∪(22,＋∞) C.(－∞,－3)∪(3,＋∞) D.(－∞,－23)∪(23,＋∞) 答案 B 解析将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2＞0,解得m ＜－22或m ＞2 2.6.半径为3,圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_____________. 答案 (x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9解析由题意知圆心坐标为(3,3)或(－3,－3),故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9.7.已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0,则x －2y 的最大值是________,最小值是________. 答案 10 0解析原方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5,表示以(1,－2)为圆心,5为半径的圆.设x －2y ＝b ,即x －2y －b ＝0,作出圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5与一组平行线x －2y －b ＝0,如图所示,当直线x －2y －b ＝0与圆相切时,在y 轴上的截距－12b 取得最大值或最小值,此时圆心到直线的距离d ＝|1－2×(－2)－b |1＋4＝5,解得b ＝10或b ＝0,所以x －2y 的最大值为10,最小值为0.圆的方程1.(2019·西安模拟)已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x－7y＋8＝0上,则圆C的方程为________________. 答案 (x －3)2＋(y －2)2＝13 解析方法一 (几何法)k AB ＝5－01－6＝－1, 则AB 的垂直平分线方程为y －52＝x －72,即x －y －1＝0,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －7y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，r ＝(6－3)2＋(0－2)2＝13,故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心) 方法二 (待定系数法)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ (6－a )2＋(0－b )2＝r 2，(1－a )2＋(5－b )2＝r 2，2a －7b ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r 2＝13，故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.2.已知圆心在x 轴上,半径为5的圆位于y 轴右侧,且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2,则圆的方程为__________. 答案 (x －25)2＋y 2＝5解析根据题意,设圆的圆心坐标为(a ,0)(a ＞0),则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a ＞0),则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22＝55a .又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2,所以可得12＋⎝⎛⎭⎫55a 2＝5,解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.3.若不同的四点A (5,0),B (－1,0),C (－3,3),D (a ,3)共圆,则a 的值是________. 答案 7解析四点共圆,设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋0＋5D ＋0＋F ＝0，1＋0－D ＋0＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0,将D (a,3)代入得a 2－4a －21＝0. 解得a ＝7或a ＝－3(舍).思维升华 (1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,求出a ,b ,r 的值； ②选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D ,E ,F 的方程组,进而求出D ,E ,F 的值.与圆有关的轨迹问题例1 已知Rt △ABC 的斜边为AB ,且A (－1,0),B (3,0).求: (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)方法一设C (x ,y ),因为A ,B ,C 三点不共线,所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ,且BC ,AC 斜率均存在, 所以k AC ·k BC ＝－1,又k AC ＝y x ＋1,k BC ＝y x －3,所以y x ＋1·y x －3＝－1,化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此,直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).方法二设AB 的中点为D ,由中点坐标公式得D (1,0),由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知,动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A ,B ,C 三点不共线,所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ,y ),C (x 0,y 0),因为B (3,0),M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式得x ＝x 0＋32,y ＝y 0＋02,所以x 0＝2x －3,y 0＝2y .由(1)知,点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0), 将x 0＝2x －3,y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4, 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).思维升华求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: ①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法:根据圆、直线等定义列方程. ③几何法:利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.跟踪训练1 设定点M (－3,4),动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动,以OM ,ON 为两边作平行四边形MONP ,求点P 的轨迹方程. 解如图,设P (x ,y ),N (x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2, 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分, 所以x 2＝x 0－32,y 2＝y 0＋42,整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心,2为半径的圆,直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285,不符合题意,舍去,所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4,除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 与圆有关的最值问题例2 (1)(2020·保定质检)已知A (0,2),点P 在直线x ＋y ＋2＝0上,点Q 在圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0上,则P A ＋PQ 的最小值是________. 答案 2 5解析因为圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0, 故圆C 是以C (2,1)为圆心,半径r ＝5的圆.设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ,n ), 故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4,－2).连结A ′C 交圆C 于Q ,由对称性可知 P A ＋PQ ＝A ′P ＋PQ ≥A ′Q ＝A ′C －r ＝2 5.(2)已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,求yx 的最大值和最小值.解原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3, 表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设yx＝k ,即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时,斜率k 取最大值和最小值, 此时|2k －0|k 2＋1＝3,解得k ＝±3.所以yx的最大值为3,最小值为－ 3.本例(2)中,求y －x 的最大值和最小值.解 y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距,当直线y ＝x ＋b 与圆相切时,直线在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值,此时|2－0＋b |2＝3,解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6,最小值为－2－ 6.本例(2)中,求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2, 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43, x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ,y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u ＝y －b x －a型的最值问题,可转化为过点(a ,b )和点(x ,y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题,可转化为动点到定点(a ,b )的距离的平方的最值问题.跟踪训练2 已知M (x ,y )为圆C :x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点,且点Q (－2,3).(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)求y －3x ＋2的最大值和最小值； (3)求y －x 的最大值和最小值.解 (1)由圆C :x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0,可得(x －2)2＋(y －7)2＝8,∴圆心C 的坐标为(2,7),半径r ＝2 2.又QC ＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42,∴MQ max ＝42＋22＝62,MQ min ＝42－22＝2 2.(2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2),即kx －y ＋2k ＋3＝0.∵直线MQ 与圆C 有交点, ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22, 可得2－3≤k ≤2＋3,∴y －3x ＋2的最大值为2＋3,最小值为2－ 3. (3)设y －x ＝b ,则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时,截距b 取到最值, ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22,∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9,最小值为1.1.圆M :x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0的圆心坐标为( ) A.(1,3)B.(1,－3)C.(－1,3)D.(－1,－3)答案 D解析圆M 的圆心坐标为x ＝－D 2＝－1. y ＝－E 2＝－ 3.故选D. 2.已知圆C :x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0,那么与圆C 有相同的圆心,且经过点(－2,2)的圆的方程是( )A.(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B.(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D.(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4,圆心C (1,－2),故排除C,D,代入(－2,2)点,只有B 项经过此点.也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2,再代入点(－2,2),可以求得圆的半径为5.故选B.3.已知圆C :x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,则“E ＝F ＝0且D ＜0”是“圆C 与y 轴相切于原点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析圆C 与y 轴相切于原点⇔圆C 的圆心在x 轴上(设坐标为(a,0)),且半径r ＝|a |.∴当E ＝F＝0且D ＜0时,圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，0,半径为|D |2,圆C 与y 轴相切于原点；圆(x ＋1)2＋y 2＝1与y 轴相切于原点,但D ＝2＞0,故选A.4.(2019·贵阳模拟)圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于A ,B 两点,且AB ＝2,则圆C 的标准方程为( )A.(x －1)2＋(y －2)2＝2B.(x －1)2＋(y －2)2＝2C.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D.(x －1)2＋(y －2)2＝4答案 A解析由题意得,圆C 的半径为1＋1＝2,圆心坐标为(1,2),∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2,故选A.5.已知圆C 1:(x ＋1)2＋(y －1)2＝4,圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称,则圆C 2的方程为( )A.(x ＋2)2＋(y －2)2＝4B.(x －2)2＋(y ＋2)2＝4C.(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4D.(x －2)2＋(y －2)2＝4答案 B解析根据题意,设圆C 2的圆心为(a ,b ),圆C 1:(x ＋1)2＋(y －1)2＝4,其圆心为(－1,1),半径为2,若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称,则圆C 1与C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称,且圆C 2的半径为2,则有⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.6.点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析设圆上任意一点为(x 1,y 1),中点为(x ,y ),则⎩⎨⎧ x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2. 代入x 2＋y 2＝4得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4,化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.7.(多选)设有一组圆C :(x －1)2＋(y －k )2＝k 4(k ∈N *),下列四个命题正确的是( )A.存在k ,使圆与x 轴相切B.存在一条直线与所有的圆均相交C.存在一条直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点答案 ABD解析对于A,存在k ,使圆与x 轴相切⇔k ＝k 2(k ∈N *)有正整数解⇔k ＝1,故A 正确；对于B,因为圆心(1,k )恒在直线 x ＝1上,故B 正确；对于C,当k 取无穷大的正数时,半径k 2也无穷大,因此所有直线与圆都相交,故C 不正确；对于D,将(0,0)代入得1＋k 2＝k 4,即1＝k 2(k 2－1),因为右边是两个相邻整数相乘为偶数,而左边为奇数,故方程恒不成立,故D 正确.故选ABD.8.已知a ∈R ,方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆,则圆心坐标是____________,半径是________.答案 (－2,－4) 5解析由已知方程表示圆,则a 2＝a ＋2,解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.当a ＝－1时,原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0,化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25,表示以(－2,－4)为圆心,5为半径的圆.9.(2020·长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________.答案 1＋ 2解析将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2,故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1. 10.如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点,则实数a 的取值范围是________________.答案 [－3,－1]∪[1,3]解析圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ,a )到原点的距离为|2a |,半径r ＝22,由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2,得22－2≤|2a |≤22＋2,∴1≤|a |≤3,解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3,－1]∪[1,3].11.已知点(x ,y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上.(1)求x ＋y 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值.解 (1)设t ＝x ＋y ,则y ＝－x ＋t ,t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距,∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即|2＋(－3)－t |2＝1,解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1,最小值为－2－1.(2)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2,求它的最值可视为求点(x ,y )到定点(－1,2)的距离的最值,可转化为求圆心(2,－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为34,∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1,最小值为34－1.12.已知点A (－3,0),B (3,0),动点P 满足P A ＝2PB .(1)若点P 的轨迹为曲线C ,求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1:x ＋y ＋3＝0上,直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ,求QM 的最小值.解 (1)设点P 的坐标为(x ,y ), 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2,化简可得(x －5)2＋y 2＝16,此方程即为所求.(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图所示.由题意知直线l 2是此圆的切线,连结CQ ,则QM ＝CQ 2－CM 2 ＝CQ 2－16,当QM 最小时,CQ 最小,此时CQ ⊥l 1,CQ ＝|5＋3|2＝42, 则QM 的最小值为32－16＝4.13.已知圆C :(x －3)2＋(y －4)2＝1,设点P 是圆C 上的动点.记d ＝PB 2＋P A 2,其中A (0,1),B (0,－1),则d 的最大值为________.答案 74解析设P (x 0,y 0),d ＝PB 2＋P A 2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方,∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36,∴d max ＝74.14.(2019·大同模拟)已知点P 为圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点,A ,B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点,且AB ＝2,则△ABP 的面积的取值范围是________.答案 [1,5]解析圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4,圆心C (2,1),半径R ＝2,圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3, 设P 到直线AB 的距离为h ,则S △ABP ＝12·AB ·h ＝h , ∵d －R ≤h ≤d ＋R ,∴1≤h ≤5,∴S △ABP ∈[1,5],即△ABP 的面积的取值范围为[1,5].15.(2020·烟台模拟)圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a ＞0,b ＞0)对称,则2a ＋6b的最小值是( ) A.2 3B.203C.323D.163答案 C解析由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知,其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39,∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a ＞0,b ＞0)对称,∴该直线经过圆心(－2,6),即－2a －6b ＋6＝0,∴a ＋3b ＝3(a ＞0,b ＞0),∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323, 当且仅当3b a ＝3a b,即a ＝b 时取等号,故选C. 16.在平面直角坐标系中,已知圆心在直线x －2y ＝0上,圆C 经过点A (4,0),但不经过坐标原点,并且直线4x －3y ＝0与圆C 相交所得的弦长为4.(1)求圆C 的一般方程；(2)若从点M (－4,1)发出的光线经过x 轴反射,反射光线刚好通过圆C 的圆心,求反射光线所在直线的方程(用一般式表达).解 (1)设圆C :(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,因为圆心C 在直线x －2y ＝0上,所以a －2b ＝0,①又因为圆C 经过点A (4,0),所以(4－a )2＋b 2＝r 2,②而圆心到直线4x －3y ＝0的距离d ＝|4a －3b |42＋(－3)2＝|4a －3b |5,易得d ＝r 2－22, 即|4a －3b |5＝r 2－22,③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝3，r ＝13，又因为(x －2)2＋(y －1)2＝5经过坐标原点, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，舍去.r ＝5 故圆C 的标准方程为(x －6)2＋(y －3)2＝13,化为一般方程为x 2＋y 2－12x －6y ＋32＝0.(2)点M (－4,1)关于x 轴对称的点为N (－4,－1),反射光线所在的直线即为NC 所在的直线,又因为C (6,3).所以反射光线所在直线的方程为y ＋1x ＋4＝3＋16＋4, 所以反射光线所在直线的一般式方程为2x －5y ＋3＝0.。

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第七章立体几何
第七章立体几何第37讲直线、平面垂直的判定与性质
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第七章立体几何
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第七章立体几何
分类解析
目标 1 直线与平面垂直的判定与性质如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D 是 BC
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第七章立体几何
【解析】因为 DD1⊥平面 ABCD，所以 AC⊥DD1.又因为 AC⊥BD，DD1∩BD ＝D，所以 AC⊥平面 BDD1B1.因为 OM⊂平面 BDD1B1，所以 OM⊥AC.设正方体的棱长为 2，则 OM＝ 1＋2＝ 3，MN＝ 1＋1＝ 2，ON＝ 1＋4＝ 5，所以 OM2＋MN2 ＝ON2，所以 OM⊥MN.故选 A.
α⊥β，
lα⊂∩ββ，＝a，⇒l⊥α
l⊥a
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第七章立体几何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.常用结论 (1) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3) 若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面(不能直接应用). (4) 若一条直线和两个不重合的平面都垂直,那么这两个平面平行.

高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版第7章第38讲直线平面平行与垂直的综合问题

＝60°,平面ACEF⊥平面ABCD,四边形ACEF是矩形. (1) 求证:BC⊥平面ACEF;
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D为等腰梯形,且AB＝2a,AC＝a,所以AC⊥BC, 又平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD＝AC, 所以BC⊥平面ACEF.
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4.(必修2P44习题改编)在三棱锥P－ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O. (1) 若PA＝PB＝PC,则点O是△ABC的_____外___心. 【解析】 (1) 如图 (1), 连接 OA,OB,OC,OP, 在 Rt△POA 、 Rt△POB 和 Rt△POC 中,PA＝PC＝PB,所以OA＝OB＝OC,即O为△ABC的外心.
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2.如图(1),四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且
MD＝NB＝1,G为MC的中点,则下列结论中不正确的是
(C)
A.MC⊥AN
B.GB∥平面AMN
C.平面CMN⊥平面AMN
D.平面DCM∥平面ABN
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(2) 若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________垂心.
【解析】如图 (2), 延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于点 H,D,G. 因为 PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB ＝ P, 所以 PC⊥ 平面 PAB,AB⊂ 平面 PAB, 所以 PC⊥AB, 又 AB⊥PO,PO∩PC ＝ P, 所以 AB⊥ 平面 PGC, 又 CG⊂ 平面 PGC, 所以 AB⊥CG, 即 CG 为 △ABC边AB的高.同理可证BD,AH为△ABC底边上的高,即O为△ABC的垂心.

2018版高考一轮总复习数学文课件第8章平面解析几何

解析
3 lAB： x－ y＋ 2＝ 0，圆心 (1,0)到 l 的距离 d＝， 2
3 则 AB 边上的高的最小值为－ 1.故△ ABC 面积的最小值 2
3 1 － 1 是 ×2 2× ＝ 3－ 2. 2 2
8． [2017· 东城区调研] 当方程 x2＋ y2＋ kx＋2y＋ k2＝0 所表示的圆的面积取最大值时，直线 y＝ (k－1)x＋2 的倾斜角 α＝
C．(x＋4)2＋ (y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋ (y－1)2＝1 解析设 M(x0，y0)为圆 x2＋ y2＝ 4 上任一点，PM 中点
x＝ x0＋ 4， 2 为 Q(x， y)，则 y0－ 2 y＝ 2 ， x0＝ 2x－ 4， ∴ y0＝ 2y＋ 2.
解析
因为直线 OD 的斜率为 kOD＝ 1，所以由垂径定理
得直线 AB 的斜率为 kAB＝－ 1，所以直线 AB 的方程是 y－ 1 ＝－ (x－ 1)，即 x＋ y－ 2＝ 0，故选 D.
4．点 P(4，－2)与圆 x2＋ y2＝4 上任一点连线的中点轨迹方程是( ) B．(x－2)2＋ (y＋1)2＝4 A． (x－2)2＋ (y＋1)2＝1
代入圆的方
程得 (2x－4)2＋ (2y＋ 2)2＝4，即 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝1.
5．若方程取值范围 ( )
16－x2 －x－m＝0 有实数解，则实数 m 的
A．－4 2≤m≤4 2 B．－4≤m≤4 2 C．－4≤m≤4 D．4≤m≤4 2
解析作出 y＝
由题意知方程
16－ x2＝ x＋ m 有实数解，分别
解则
(1)设点 P 的坐标为 (x， y)， x＋ 32＋ y2＝ 2 x－ 32＋ y2.

【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 8-4椭圆课后强化作业新人教A版(1)

【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 8-4椭圆课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，假设F 1、F 2是椭圆的两个核心，那么|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10[答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(理)椭圆x 216＋y 27＝1的左、右核心别离为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，那么△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 [答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.2．(文)(2021·丽水模拟)假设P 是以F 1、F 2为核心的椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，那么此椭圆的离心率为( )A.53B.23 C.13 D.12[答案] A[解析] 在Rt △PF 1F 2中，不妨设|PF 2|＝1，那么|PF 1|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c2a ＝53.(理)设圆锥曲线Γ的两个核心别离为F 1、F 2，假设曲线Γ上存在点P 知足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|＝4:3:2，那么曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32[答案] A[解析] 设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t (t >0)，若Γ为椭圆，那么离心率为e ＝3t 6t ＝12，若Γ为双曲线，那么离心率为3t 2t ＝32.3．(2021·浙江绍兴一模)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到核心F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，那么|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32[答案] B[解析] 连接MF 2.已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8. 如图，|ON |＝12|MF 2|＝4.应选B.4．(2021·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右核心为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．假设AB 的中点坐标为(1，－1)，那么E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [答案] D[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A 、B 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b 2，即x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∵AB 的中点为(1，－1)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9，∴b 2＝9，a 2＝18， ∴椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1，应选D.5．(文)假设椭圆的中心在原点，核心在x 轴上，长轴长为18，且两个核心恰好将长轴三等分，那么此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 [答案] A[解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.(理)(2021·烟台质检)一个椭圆中心在原点，核心F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，那么椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1[答案] A[解析] 设椭圆的标准方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，那么|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.6．椭圆x 2100＋y 264＝1的核心为F 1、F 2，椭圆上的点P 知足∠F 1PF 2＝60°，那么△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2. 又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.二、填空题7．(文)设F 1、F 2别离是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右核心，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，那么P 点到椭圆左核心距离为________．[答案] 4[解析] |OM |＝3，|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4. (理)(2021·池州二模)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，那么△ABM 的周长为________．[答案] 8 [解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的核心，那么直线AB 过椭圆左核心F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.8．假设方程x 2sin2α－y 2cos α＝1表示核心在y 轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z [解析]依照题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－1cos α>1sin2α，cos α<0，sin2α>0.化简得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤sin α<－12，cos α<0.解得α∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )．9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包括于平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤ 3.内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，那么椭圆M 的方程为________．[答案]x 24＋y 23＝1 [解析] 平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤ 3.是一个矩形区域，如下图，依题意及几何概型，可得πab83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，因此a ＝2，b ＝3.因此，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题10．椭圆的两核心坐标别离为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点M (1，－32)．(1)求椭圆方程；(2)过点N (－65，0)作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于P 、Q 两点，A 为椭圆的左极点，试判定∠PAQ 的大小是不是为定值，并说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点M (1，－32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线PQ ：x ＝ty －65，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －65，x 24＋y 2＝1.消去x 得，(t 2＋4)y 2－125ty －6425＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∴y 1y 2＝－6425t 2＋4，y 1＋y 2＝12t5t 2＋4，又A (－2,0)， ∴AP →·AQ →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋45)(ty 2＋45)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y1y 2＋45t (y 1＋y 2)＋1625＝0，∴∠PAQ ＝π2(定值).能力拓展提升一、选择题11．(2021·荆州市质检)假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右核心为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c＝0的两个实数根别离是x 1和x 2，那么点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A.2B.72 C ．2 D.74[答案] A[解析] 因为e ＝c a ＝12，因此a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2ba＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P (x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2＝ 2.12．(文)假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15[答案] B[分析] 要求离心率e ＝ca，先由条件成立a 、b 、c 的方程，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，两边同除以a 2即可化为e 的方程．[解析]由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，应选B.(理)(2021·全国大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右极点别离为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1][答案] B [解析]如图：A 1(－2,0)，A 2(2,0)直线A 2M 的方程为y ＝－(x －2)，即y ＝2－x ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中消去y 得，7x 2－16x ＋4＝0，∴2＋x ＝167，∴x ＝27，∴M 点坐标为(27，127)．同理可得N 点坐标为(2619，2419)∵kA 1M ＝12727＋2＝34，kA 1N ＝24192619＋2＝38，∴直线PA 1斜率的取值范围是[38，34]．[解法探讨] 点P 在椭圆C 上运动，PA 2的斜率取值已知，求PA 1的斜率的取值范围，假设能找到kPA 1与kPA 2的关系，那么解答更简便．由条件知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)，设P 点坐标为(x 0，y 0)，那么x 204＋y 203＝1，kPA 2＝y 0x 0－2，kPA 1＝y 0x 0＋2，于是kPA 1·kPA 2＝y 20x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－34.∴kPA 1＝3－4kPA 2，∵－2≤kPA 2≤－1，∴4≤－4kPA 2≤8，∴38≤kPA 1≤34.13．(文)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的核心，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，假设C 1恰好将线段AB 三等分，那么( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2＋y 2＝a 2，那么|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，那么由已知|PQ |＝13|AB |＝2a 3，∴|OP |＝a 3.那么点P 坐标为(5a 15，25a15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1.①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝112，b 2＝12.应选C. (理)设F 是椭圆x 225＋y 216＝1的左核心，且椭圆上有2020个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，2020)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2020|的长度成等差数列，假设|FP 1|＝2，|FP 2020|＝8，那么点P 2020的横坐标为( )A.20082011B.1005201C.1004201D.53667[答案] C[解析] ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2020|＝8＝a ＋c ，可知点P 1为椭圆的左极点，P 2020为椭圆的右极点，即x 1＝－5，x 2020＝5＝－5＋2020d ，∴d ＝1201，那么数列{x i }是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x 2020＝－5＋2020×1201＝1004201.二、填空题14．(文)若是AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，那么k AB ·k OM 的值为________．[答案] e 2－1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.(理)以椭圆的右核心F 2为圆心的圆恰好于椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左核心为F 1，且直线MF 1与此圆相切，那么椭圆的离心率e 等于________．[答案]3－1[解析] 由题意知，MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝|OF 2|＝c ，又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆的概念，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1.15．(2021·苏北四市联考)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，假设直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，那么该直线为“A 型直线”．给出以下直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3.[答案] ①④[解析] 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为核心的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1， ①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0， ∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点，∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”． ③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．三、解答题16．(文)(2021·广东文，20)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左核心为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．[解析] (1)因为椭圆C 1的左核心为F 1(－1,0)，因此c ＝1，将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b 2＝1，因此a 2＝b 2＋c 2＝2，因此椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1. (2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 与椭圆C 1相切，因此Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0整理得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得， k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，因为直线l 与抛物线C 2相切，因此Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1，② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－22，m ＝－ 2.因此直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.(理)已知椭圆C 的中心在原点，一个核心F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是23. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右极点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b 2＋c 2，a b ＝23，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12.因此椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4. 因为MP →＝(x －m ，y )，因此|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右极点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．考纲要求1．把握椭圆的概念、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．明白得数形结合的思想．补充说明1．求椭圆的方程要紧有概念法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的核心位置不明确而无法确信其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0)，能够幸免讨论和繁琐的计算，也能够设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．2．用待定系数法求椭圆标准方程的一样步骤：(1)作判定：依照条件判定椭圆的核心在x 轴上仍是在y 轴上，仍是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：依照上述判定设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，当椭圆核心位置不肯按时，可设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )；(3)找关系：依照已知条件，成立方程组；(4)写出标准方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．3．函数与方程的思想(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方式解决．(2)求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特点或由已知条件可分析其几何特点，确信形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题进程中，设而不求、整体处置的策略和适当运用一元二次方程根与系数的关系求解．4．核心三角形问题椭圆的一条核心弦和另一核心围成一个三角形．适应上称为核心三角形，在核心三角形中命制题目是常见命题方式，解决核心三角形问题常常从以下几个方面入手：①概念；②正、余弦定理；③三角形面积．5．求椭圆的离心率时，常常要列出a 、b 、c 的一个齐次方程，结合b 2＝a 2－c 2，两边同除以a 2化为e (e ＝c a)的二次方程求解． 6．椭圆上点M 到核心距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c .备选习题1．假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的核心，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的核心，那么该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1 [答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的核心坐标为(2,0)，那么依题意知椭圆的右极点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的核心，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. 2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左极点为A ，左、右核心别离为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个极点，假设2DF 1→＝DA →＋DF 2→，那么该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15[答案] B[解析] 由2DF 1→＝DA →＋DF 2→知F 1是AF 2的中点，∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝13. 3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两核心，P 是椭圆上任一点，过一核心引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，那么垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ， ∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．4．(2021·乌鲁木齐一诊)如图，椭圆的中心在座标原点O ，极点别离是A 1，A 2，B 1，B 2，核心别离为F 1，F 2，直线B 1F 2与A 2B 2交于P 点，假设∠B 1PA 2为钝角，那么此椭圆的离心率e 的取值范围为________．[答案](5－12，1)[解析]设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→与F2B1→所夹的角为钝角，那么(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，即a2－c2<ac，故(ca)2＋ca－1>0，即e2＋e－1>0，e>5－12或e<－5－12，又0<e<1，因此5－12<e<1.。

2018高考数学文一轮复习构想课件：第八章解析几何8.6

解析：a＋b＝5，ab＝6，解得 a，b 的值为 2 或 3. 又 a＞b，∴a＝3，b＝2， c 13 ∴c＝ 13，从而 e＝a＝ 3 . 13 答案： 3
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．双曲线的定义 (1) 平面内与两个定点 F1 、 F2(|F1F2| ＝ 2c>0) 的距离 ① 之差的绝对值 ____________为常数 2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个焦点，两焦点间的距离叫做 ③ 定点叫做双曲线的 ② ________ 焦距 ________. (2)集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. 2a<|F1F2| 时，M 点的轨迹是双曲线； (ⅰ)当④______________ 2a＝|F1F2| 时，M 点的轨迹是两条射线； (ⅱ)当⑤______________ (ⅲ)当⑥______________ 2a>|F1F2| 时，M 点不存在．
5．经过点 A(3，－1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．
x2 y2 解析：设双曲线的方程为：a2－a2＝1(a≠0)把点 A(3，－1) 2 2 x y 代入，得 a2＝8，故所求方程为 8 － 8 ＝1. x2 y2 答案： 8 － 8 ＝1
5 6．两个正数 a，b 的等差中项是2，等比中项是Байду номын сангаас6，且 a＞b， x2 y 2 则双曲线a2－b2＝1 的离心率 e＝__________.
二、必明 4●个易误点 1．双曲线的定义中易忽视 2a<|F1F2|这一条件．若 2a＝|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线，若 2a>|F1F2|则轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程中对 a，b 的要求只是 a>0，b>0 易误认为与椭圆标准方程中 a，b 的要求相同．若 a>b>0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)；若 a＝b>0，则双曲线的离心率 e＝ 2；若 0<a<b，则双曲线的离心率 e> 2.

2018版高考一轮总复习数学文课件第8章平面解析几何

5．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( 3 5 A. 5 11 C. 5 ) B．2 D．3
解析
由题可知 l2：x＝－1 是抛物线 y2＝4x 的准线，
设抛物线的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值，即焦点 F |4－0＋6| 到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离，所以最小值是＝ 5 2.
解析＝设 Q(x，y)，其中 x2＝4y.又圆心 C(0,6)，则|QC| 4y＋y－62＝ y2－8y＋36(y≥0)．
x2＋y－62＝
当 y＝4 时， |QC|min＝2 5，所以|PQ|min＝|QC|min－r＝2 5 － 5＝ 5.
9．[2016· 全国卷Ⅰ]在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝ t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p>0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. |OH| (1)求； |ON| (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由．
y＝x－1，＝x－1，与抛物线方程联立，得 2 y ＝4x，
－4y－4＝0，设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＋y2＝4，y1y2＝－4，两交点纵坐标差的绝对值为 4 2，从而△OAB 的面积为 2 2.
8．[2017· 邯郸模拟]设点 P 在圆 C：x2＋(y－6)2＝5 上， 5 点 Q 在抛物线 x2＝4y 上，则|PQ|的最小值为________ ．

高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第一章

第1讲集合及其运算A 应知应会一、选择题 1. (2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0},B ＝{x |x －1<0},则A ∩B 等于( ) A. (－∞,1) B. (－2,1) C. (－3,－1) D. (3,＋∞) 2. (2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2},B ＝{x |x 2≤1},则A ∩B 等于( ) A. {－1,0,1} B. {0,1} C. {－1,1} D. {0,1,2} 3. (2019·宁德质检)已知集合A ＝{x |x ≥1},B ＝{x |x 2－2x －3<0},则A ∪B 等于( ) A. {x |1≤x <3} B. {x |x ＞－1} C. {x |1<x <3} D. {x |x ≥1}4. (多选)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0},B ＝{x |ax －1＝0},若A ∩B ＝B ,则实数a 的值可以为( )A. 15B. 0C. 3D. 135. (多选)给出下列关系,其中正确的选项是( ) A. ∈{{}} B. ⊆{{}} C. ∈{} D. ⊆{}二、解答题6. 已知M ＝{2,a ,b },N ＝{2a ,2,b 2},且M ＝N ,求实数a ,b 的值．7. 若A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0},B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0},C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1) 若A ＝B ,求a 的值；(2) 若B ∩A ≠,C ∩A ＝,求a 的值．∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅B 巩固提升一、填空题 1. (2018·南通模拟)已知集合A ＝{0,e x },B ＝{－1,0,1},若A ∪B ＝B ,则x ＝________． 2. (2018·青岛模拟)设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≤14 ,则(∁R A )∩B ＝________．3. (2019·张家口期末)已知全集U ＝Z,A ＝{x |x ＝3n －1,n ∈Z},B ＝{x ||x |＞3,x ∈Z},则A ∩(∁U B )中元素的个数为________．4. (2019·深圳调研)已知集合M ＝{x |x ＞0},N ＝{x |x 2－4≥0},则M ∪N ＝________．二、解答题5. 设集合U ＝{2,3,a 2＋2a －3},A ＝{|2a －1|,2},∁U A ＝{5},求实数a 的值．6. 已知全集S ＝{1,3,x 3＋3x 2＋2x },A ＝{1,|2x －1|},如果∁S A ＝{0},则这样的实数x 是否存在？若存在,请说明理由．第2讲充分条件与必要条件A 应知应会一、选择题1. 设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad ＝bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. (2019·淄博诊断)若a ,b ∈R,则“|a |＋|b |＞1”是“|a ＋b |＞1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线b 和平面α,则“b α”是b 与α平行的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. (2019·江西九校联考)已知命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0 ,命题q ：B ＝{x |x －a <0},若命题p 是命题q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A. (2,＋∞)B. [2,＋∞)C. (－∞,1)D. (－∞,1]5. “a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. (2019·烟台一模)已知a ,b ∈R,则“ab ＞0”是“b a ＋ab ＞2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. (2019·济宁一模)将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π6 个单位长度后,得到函数g (x )的图象,则“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. (2019·枣庄一模)设a ,b 都是不等于1的正数,则“0<b <a <1”是“log a 3<log b 3”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件二、解答题9. 已知p ：(x －m )2＞3(x －m ),q ：x 2＋3x －4<0.若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．⊂B巩固提升一、填空题1. (2019·合肥质检)若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件,则m的取值范围是________．2. “|x|<3”是“x2－x－6<0”的________条件．3. 设a∈R ,则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2 ：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．4. (2019·郴州三模)已知p：x2－3x－4≤0；q：x2－6x＋9－m2≤0,若非q是非p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________．二、解答题5. (2020·江苏八校联考)已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9),x∈R},B＝{x||x－m|≥1,x∈R}．(1) 求集合A；(2) 若p：x∈A,q：x∈B,且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围．6. 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n＋t(n∈N*).求证：数列{a n}是等比数列的充要条件是t＝－1.第3讲全称量词和存在量词A应知应会一、选择题1. (多选)下列命题中是全称命题并且是假命题的是()A. π是无理数B. 若2x为偶数,则任意x∈NC. 对任意x∈R,x2＋2x＋1＞0D. 所有菱形的四条边都相等2. (2019·南昌调研)下列命题中的假命题是( ) A. 存在x 0∈R,lg x 0＝1 B. 存在x 0∈R,sin x 0＝0 C. 任意x ∈R,x 3＞0 D. 任意x ∈R,2x ＞03. 命题“任意n ∈N *,f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A. 任意n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )＞n B. 任意n ∈N *,f (n )N *或f (n )＞n C. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *且f (n 0)＞n 0 D. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *或f (n 0)＞n 04. (2019·中原名校联盟)已知命题“x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14 ≤0”是假命题,则实数a 的取值范围为( )A. (－∞,0)B. [0,4]C. [4,＋∞)D. (0,4)5. 若命题p ：x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ,sin 2x 0＋cos 2x 0<a 是假命题,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1]B. (－∞,2 ]C. [1,＋∞)D. [2 ,＋∞) 二、解答题6. 判断下列命题的真假．(1) 已知a ,b ,c ,d ∈R,若a ≠c 或b ≠d ,则a ＋b ≠c ＋d ； (2) ∀x ∈N,x 3＞x 2；(3) 若m ＞1,则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4) 存在一个三角形没有外接圆．7. 已知命题“∀x ∈R,x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题,求实数a 的取值范围．∉∉∉∃∃B 巩固提升一、填空题1. 若命题p ：x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ,使得2x 2－λx ＋1<0成立,则非p 为_______________． 2. 若命题p 的否定是“对所有正数x ,x ＞x ＋1”,则命题p 可写为________________． 3. 若命题“t ∈R, t 2－2t －a <0”是假命题,则实数a 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x ＋4x ,g (x )＝2x ＋a ,若任意x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1 ,存在x 2∈[2,3],使得f (x 1)≤g (x 2),则实数a 的取值范围是________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1).若f (x )在区间(－∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a ＋1],总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1,g (x )＝ax,其中a ＞0,x ≠0.(1) 对任意x ∈[1,2],都有f (x )＞g (x )恒成立,求实数a 的取值范围；(2) 对任意x 1∈[1,2],x 2∈[2,4],都有f (x 1)＞g (x 2)恒成立,求实数a 的取值范围．∃∃第4讲不等式的性质、一元二次不等式一、选择题1. (2019·南昌模拟)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋m b ＋m＞ab(a ,b ,m ＞0且a <b ),恒成立的个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 02. (多选)已知a ,b ,c ,d 均为实数,则下列命题中正确的是( ) A. 若ab ＞0,bc －ad ＞0,则c a －db ＞0B. 若ab ＞0,c a －db ＞0,则bc －ad ＞0C. 若bc －ad ＞0,c a －db＞0,则ab ＞0D. 若a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,则ac ＞bd3. (多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0),下列判断正确的是( ) A. 若不等式的解集为{x |x <－3或x ＞－2},则k ＝－25B. 若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠1k ,则k ＝66C. 若不等式的解集为R,则k <－66 D. 若不等式的解集为,则k ≥664. (2019·黄冈联考)若关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是(1,＋∞),则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A. (－∞,1)∪(2,＋∞)B. (－1,2)C. (1,2)D. (－∞,－1)∪(2,＋∞)5. (2019·合肥模拟)若不等式2kx 2＋kx －38 <0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A. (－3,0)B. [－3,0)C. [－3,0]D. (－3,0] 二、解答题6. 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2<x <3},求不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集．7. 若对于满足0≤p ≤3的任意实数p ,不等式x 2＋2px ＞4x ＋p －3恒成立,求x 的取值范围．∅B 巩固提升一、填空题1. 不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．2. 若关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8<0的解集为空集,则实数k 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ＞0时,f (x )＝x 2－4x ,则不等式f (x )＞x 的解集为________．4. 已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ,a ∈R},∃a ∈R,使得集合A 中所有整数的元素和为28,则a 的取值范围是________．二、解答题5. 若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2 .(1) 求实数a 的值；(2) 求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．6. 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R),当x ∈[－1,＋∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围．第5讲基本不等式一、选择题1. (多选)有下面四个不等式,其中恒成立的有( ) A.a ＋b2≥ab B. a (1－a )≤14C. a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋caD. b a ＋ab≥2 2. (多选)下列四个函数中,最小值为2的是( ) A. y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π2 B. y ＝ln x ＋1ln x (x ＞0,x ≠1)C. y ＝x 2＋6x 2＋5D. y ＝4x ＋4－x3. 已知a ＞0,b ＞0,若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立,则m 的最大值为( )A. 9B. 12C. 18D. 244. (2019·豫南九校一联)若a ＞0,b ＞0,且2a ＋b ＝4,则1ab 的最小值为( )A. 2B. 12C. 4D. 145. (2019·济宁期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点(a ,b ),且点P 在直线mx －ny －2＝0上,则mn 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，14B. ⎝⎛⎦⎤0，14C. ⎝⎛⎭⎫－∞，14D. ⎝⎛⎦⎤－∞，14 二、解答题6. (2019·黄山质检)已知f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1 (x ＞0),求f (x )的最小值．7. 已知lg 3x ＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1). (1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋y 的最小值．B 巩固提升一、填空题1. (2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0,b ＞0)过点(1,2),则2a ＋b 的最小值为________．2. (2017·天津卷)若a ,b ∈R,ab ＞0,则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．3. 若a ＞0,b ＞0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值为________．4. 已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 2 ＋b 的最小值为________,a 24 －2a ＋b 2－1b的最小值为________．二、解答题5. (1) 设x 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y 2 的最大值． (2) 若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝10,求lg a ·lg b 的最大值．6. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).(1) 求y 关于x 的函数关系式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ,求y 关于x 的函数关系式,并求出x 为何值时,y 取得最大值．(第6题)微难点1 “三个二次”关系一、选择题1. 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1)B. (1,＋∞)C. (－∞,1]D. [1,＋∞)2. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f (x )( )A. 在(－∞,2]上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增B. 在(－∞,3)上单调递增C. 在[1,3]上单调递增D. 单调性不能确定二、填空题3. (2019·南昌质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0,则a ＋4b 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b .若f (0)＝4,则f (1)的最大值为________．5. 已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0,＋∞),则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．6. 已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋4的定义域为[a ,b ],其中a <b ,值域为[3a ,3b ],则满足条件的数组(a ,b )为________．三、解答题7. 对任意a ∈[－1,1],函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零,求x 的取值范围．8. 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的零点为－13 ,12. (1) 试求a ＋c 的值；(2) 解不等式－cx 2＋2x －a ＞0.9. 设a ∈R,关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实数根x 1,x 2,且0<x 1<1<x 2<2,求a 的取值范围．10. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ,b ∈R 且a ≠0),x ∈R ．(1) 若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0,求f (x )的解析式,并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下,f (x )＞x ＋k 在区间[－3,－1]上恒成立,试求k 的取值范围．。

高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第八章微专题七

微专题七与圆交汇问题的求解与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题,切线问题及组成图形面积问题,解决方法主要依据圆的几何性质.一、与圆有关的最值问题例1 (1)已知点A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上运动,且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0),则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为________.(2)过点(2,0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率为________.答案 (1)7 (2)－33解析 (1)∵A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆的直径,故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0),设B (x ,y ),则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1],PB →＝(x －2,y ),∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6,y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37,∴当x ＝－1时有最大值49＝7.(2)∵S △AOB ＝12OA ·OB sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时,△AOB 的面积最大.此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 的方程为y ＝k (x －2)(k ＜0),即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22,得k ＝－33.⎝⎛⎭⎫也可用k ＝－tan ∠OPH ＝－33.二、直线与圆的综合问题例2 (1)已知直线l :x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴,过点A (－4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB ＝________.(2)已知直线y ＝ax ＋3与圆x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于A ,B 两点,点P (x 0,y 0)在直线y ＝2x 上,且P A ＝PB ,则x 0的取值范围为________________.答案 (1)6 (2)(－1,0)∪(0,2)解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴,∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上,∴2＋a －1＝0,∴a ＝－1,∴A (－4,－1).∴AC 2＝36＋4＝40.又r ＝2,∴AB 2＝40－4＝36.∴AB ＝6.(2)由条件得圆心C (－1,0),它到直线l :y ＝ax ＋3的距离为d ＝|3－a |1＋a 2＜3, 解得a ＞0或a ＜－34. 由P A ＝PB ,CA ＝CB ,得PC ⊥l ,于是k PC ＝－1a (易知a ≠0),即2x 0x 0＋1＝－1a . 由2x 0x 0＋1＜0或0＜2x 0x 0＋1＜43, 得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜2.三、圆与圆的位置关系问题例3 在平面直角坐标系xOy 中,若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条,则实数m 的取值范围是________. 答案 (2－23,2)∪(2,2＋23)解析由题意可知,以A (2,2)为圆心,1为半径的圆与以B (m,0)为圆心,3为半径的圆相交,所以4＜(m －2)2＋4＜16,所以－23＋2＜m ＜23＋2,且m ≠2.。

2018届高考数学(文)第一轮总复习全程训练第八章解析几何天天练32Word版含答案

天天练32 双曲线的定义、标准方程及性质一、选择题1．双曲线x 2－y2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12 B ．m ≥1 C ．m >1 D ．m >22．(2017·惠州一模)双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( ) A ．2 2 B. 5 C ．2 5 D ．3 23．(2017·上饶二模)双曲线x 24－y 2＝1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为( )A.255B.455C.233 D ．14．(2017·广西五市联考)将双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C ：x 2－y 2＝4的“黄金三角形”的面积是( )A.2－1 B ．22－2 C ．1 D ．25．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.63 B ．2C.63或2D.22或 36．设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192 B ．11 C ．12 D ．167．(2016·课标全国Ⅰ，5)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)8．(2016·浙江卷，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 二、填空题9．已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是________．10．(2016·山东卷，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，C 的一个焦点到直线l 的距离为1，则C 的方程为________________．三、解答题12．过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求||AB ；(2)求△AOB 的面积．1．C 该双曲线离心率e ＝1＋m1，由已知1＋m >2，故m >1，故选C.2．C 设双曲线的半焦距为c ，由已知得c 2＝3＋2＝5，故c ＝5，故双曲线的焦距为2 5.故选C.3．A 双曲线x 24－y 2＝1的右顶点为(2,0)，渐近线方程为x ±2y ＝0，故点(2,0)到x ±2y ＝0的距离为d ＝|2|4＋1＝255，故选A.4．B ∵双曲线C 的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别是(22，0)、(2,0)、(0,2)，∴所求面积S ＝12×(22－2)×2＝22－2.5．C 根据条件可知m 2＝9，∴m ＝±3.当m ＝3时，e ＝c a ＝63；m ＝－3时，e ＝2，故选C.6．B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，所以|BF 2|＋|AF 2|＝8＋|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB |，显然，当AB 为通径时其长度最短，|AB |min＝2·b 22＝3，故(|BF 2|＋|AF 2|)min ＝11.7．A ∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－(3m 2－n )－(m 2＋n )＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)．②无解．故选A.8．A 在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m .在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.从而e 21·e 22＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2·n 2＝(m 2－1)2m 2·(m 2－2)，令t ＝m 2－1，则t >0，e 21·e 22＝t 2t 2－1>1，即e 1e 2>1.结合图形易知m >n ，故选A. 9．(1，2)解析：由题意可知双曲线的渐近线y ＝ba x 的倾斜角小于45°，所以0<ba <1，即b 2<a 2，c 2－a 2<a 2，解得1<e < 2.10．2解析：由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．11．x 2－y23＝1解析：∵双曲线的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为3，即ba ＝ 3.①由题意知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得|c |2＝1，∴c ＝2，即a 2＋b 2＝4.②联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.12．解：(1)由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6，∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝33(x －3)x 23－y26＝1消去y 得5x 2＋6x －27＝0.∴x 1＋x 2＝－65，x 1·x 2＝－275.∴||AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝165 3(2)直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0. ∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32.∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1653×32＝125 3.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x }，若M ∪N={0，1，2，3}，则x 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A ．B ．C ．D ．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求ta nθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版第9章第51讲课时1一元线性回归模型及其应用

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高考总复习一轮复习导学案 ·数学提高版
第九章统计
下表数据是退水温度 x(℃)对黄酮延长性 y(%)效应的试验结果，y 是以延
长度计算的，且对于给定的 x，y 为正态变量，其方差与 x 无关.
x(℃) 300 400 500 600 700 800
y(%) (1)画出散点图；
40 50 55 60 67 70
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高考总复习一轮复习导学案 ·数学提高版
(4)估计退水温度是1 000 ℃时,黄酮延长性的情况. 【解答】将x＝1 000代入回归方程得 y＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487, 即退水温度是1 000 ℃时,黄酮延长性大约是83.487%.
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关
【解析】由图(1)可知,各点整体呈递减趋势,x与y负相关;由图(2)可知,各点整体呈递增趋势,u与v正相关.
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第九章统计
目标 2 线性回归方程及其应用 (2019·重庆调研)从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入
【解答】散点图如图所示．
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第九章统计
(2)指出x,y是否线性相关; 【解答】由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近,可见y与x线性相关.
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高考总复习一轮复习导学案 ·数学提高版
第九章统计
(3)若线性相关,求y关于x的回归方程; 【解答】列出下表并用科学计算器进行有关计算.

2018版高考一轮总复习数学文课件第8章平面解析几何

高考一轮总复习· 数学（文）
板块四模拟演练· 提能增分
[ A级
基础达标 ] (时间： 40分钟 )
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为 F(1,0)，离心率 1 等于，则C的方程是( ) 2 x2 y2 x2 y2 A. ＋＝1 B. ＋＝1 3 4 4 3 x2 y2 x2 y2 C. ＋＝1 D. ＋＝1 4 2 4 3
2 x2 y 2 2 ＋ 2 2＝ 1② . a b
y1－ y2 b2 x1＋ x2 ①、②两式相减并整理，得＝－ 2· . a y1＋ y2 x1－ x2 1 b2 2 把已知条件代入上式，得－＝－ 2× ， 2 2 a b2 1 即 2＝，故椭圆的离心率 e＝ 2 a b2 2 1 － 2＝ . 2 a
1 8．[2014· 江西高考] 过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭 2 x2 y2 圆C： 2＋ 2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若 M是线段AB的 a b 中点，则椭圆C的离心率等于________．
2 2
解析
2 x2 y 1 1 设 A(x1， y1 )， B(x2， y2)，则 2＋ 2＝ 1①， a b
点坐标是 (0，－ 2)， (0,2)，2a＝
y2 x2 4 2，所以a＝2 2， b＝2，即椭圆C的方程是＋＝ 1. 8 4
(2)若直线 l垂直于 x轴，则点 E(0,2 → → OE· OF＝－ 8.
2)， F(0，－ 2
2 )，
若直线 l不垂直于 x轴，设 l的方程为 y＝ kx＋ 2，点 E(x1， y1)， F(x2， y2 )，将直线 l的方程代入椭圆 C的方程得到： (2＋ k2)x2＋ 4kx － 4k －4 － 4＝ 0，则 x1＋ x2＝ 2， x1x2＝ 2， 2＋ k 2＋ k

高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第八章 8.1

§8.1直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角,并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)范围:直线l倾斜角的范围是0°≤α＜180°.2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1≠x2,则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3.直线方程的五种形式概念方法微思考1.直线都有倾斜角,是不是直线都有斜率？倾斜角越大,斜率k 就越大吗？提示倾斜角α∈[0,π),当α＝π2时,斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2.当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,α越大,斜率k 就越大,同样α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时也是如此,但当α∈(0,π)且α≠π2时就不是了. 2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示.( × ) 题组二教材改编2.若过点M (－2,m ),N (m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 答案 A解析由题意得m －4－2－m＝1,解得m ＝1.3.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角为________. 答案 π4或3π4解析由|k |＝|tan α|＝1知tan α＝±1, ∴α＝π4或3π4.题组三易错自纠4.已知两点A (－1,2),B (m ,3),且m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1,则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，2π3 C.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎦⎤π6，2π3答案 D解析 ①当m ＝－1时,α＝π2；②当m ≠－1时,∵k ＝1m ＋1∈(－∞,－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞,∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 5.(多选)下列说法正确的是( ) A.有的直线斜率不存在B.若直线l 的倾斜角为α,且α≠90°,则它的斜率k ＝tan αC.若直线l 的斜率为1,则它的倾斜角为3π4D.截距可以为负值答案 ABD6.过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析当截距为0时,直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时,设直线方程为x a ＋ya＝1,则2a ＋3a＝1,解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0. 7.直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段总有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是________.答案 (－∞,－ 3 ]∪[1,＋∞) 解析如图所示,当直线l 过点B 时,k 1＝3－00－1＝－ 3.当直线l 过点A 时,k 2＝1－02－1＝1,∴要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是(－∞,－ 3 ]∪[1,＋∞).直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α, 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3,所以12≤cos α≤32, 因此k ＝2cos α∈[1, 3 ].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1, 3 ]. 又θ∈[0,π),所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3, 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)(2020·安阳模拟)已知点A (1,3),B (－2,－1).若直线l :y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交,则k 的取值范围是( ) A.k ≥12B.k ≤－2C.k ≥12或k ≤－2D.－2≤k ≤12答案 D解析直线l :y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1), ∵k P A ＝3－11－2＝－2,k PB ＝－1－1－2－2＝12, 又直线l :y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交,∴－2≤k ≤12.本例(2)直线l 改为y ＝kx ,若l 与线段AB 恒相交,则k 的取值范围是________________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[3,＋∞) 解析直线l 过定点P (0,0), ∴k P A ＝3,k PB ＝12,∴k ≥3或k ≤12.思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系 ①当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时,k ∈[0,＋∞). ②当α＝π2时,斜率k 不存在.③当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时,k ∈(－∞,0). (2)斜率的两种求法①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k ＝tan α求斜率. ②公式法:若已知直线上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率.(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时,要充分利用y ＝tan α的单调性.跟踪训练1 (1)(2020·石家庄模拟)若A (4,3),B (5,a ),C (6,5)三点共线,则a 的值为________. 答案 4解析由题意知k AB ＝k AC , 即a －35－4＝5－36－4＝1,解得a ＝4.(2)若直线l 经过A (3,1),B (2,－m 2)(m ∈R )两点,则直线l 的倾斜角α的取值范围是______________. 答案 ⎣⎡⎭⎫π4，π2解析直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1,所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数, 因此π4≤α＜π2.求直线的方程1.已知点M 是直线l :2x －y －4＝0与x 轴的交点,将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是( ) A.x ＋y －3＝0 B.x －3y －2＝0 C.3x －y ＋6＝0 D.3x ＋y －6＝0答案 D解析设直线l 的倾斜角为α,则tan α＝k ＝2,直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°,所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3,又点M (2,0),所以y ＝－3(x －2),即3x ＋y －6＝0. 2.直线过点(－4,0),倾斜角的正弦值为1010的直线方程为________. 答案 x ±3y ＋4＝0解析由题意知,直线的斜率存在,设倾斜角为α,则sin α＝1010(α∈[0,π)), 从而cos α＝±31010,则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4),即x ±3y ＋4＝0.3.过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________________.答案 3x ＋4y ＋15＝0解析设所求直线的斜率为k ,依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1,－3),因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1),即3x ＋4y ＋15＝0.4.过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________________. 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3,或a ＝4,b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 思维升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法:①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件,特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.直线方程的综合应用例2 已知直线l 过点M (2,1),且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ,B 两点,O 为原点,当△AOB 面积最小时,求直线l 的方程. 解方法一设直线l 的方程为y －1＝k (x －2), 则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0,B (0,1－2k ).∵与x 轴,y 轴正半轴分别交于A ,B 两点, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k >0，1－2k >0⇒k ＜0.于是 S △AOB ＝12·OA ·OB ＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k )＝4. 当且仅当－1k ＝－4k ,即k ＝－12时,△AOB 面积有最小值为4,此时,直线l 的方程为y －1＝－12(x－2),即x ＋2y －4＝0.方法二设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0,b ＞0),则2a ＋1b ＝1.又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4,当且仅当2a ＝1b ＝12,即a ＝4,b ＝2时,△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时,直线l 的方程是x 4＋y2＝1.本例中,当MA ·MB 取得最小值时,求直线l 的方程.解方法一由例2知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0,B (0,1－2k )(k ＜0).∴MA ·MB ＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝21＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤(－k )＋1(－k )≥4.当且仅当－k ＝－1k ,即k ＝－1时取等号.此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二由例2知A (a ,0),B (0,b ),a ＞0,b ＞0,2a ＋1b ＝1.∴MA ·MB ＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2,－1)·(－2,b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab ≥4, 当且仅当a ＝b ＝3时取等号,此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.思维升华 (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值.(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x ,y 的关系,将问题转化为关于x (或y )的函数,借助函数的性质解决问题.跟踪训练2 已知直线l 1:ax －2y ＝2a －4,l 2:2x ＋a 2y ＝2a 2＋4,当0＜a ＜2时,直线l 1,l 2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a 的值.解由题意知直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2－a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2,所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154,当a ＝12时,四边形的面积最小.1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案 B解析设直线的倾斜角为α,斜率为k , 化直线方程为y ＝3x ＋a ,∴k ＝tan α＝ 3. ∵0°≤α＜180°,∴α＝60°.2.过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为( ) A.3x －3y ＋6＋3＝0B.3x －3y －6＋3＝0C.3x ＋3y ＋6＋3＝0D.3x ＋3y －6＋3＝0 答案 D解析 ∵k ＝tan 150°＝－33, ∴直线方程为y －2＝－33(x ＋1), 即3x ＋3y －6＋3＝0.3.如图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则 ( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2答案 D解析直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1＜0,直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3,所以0＜k 3＜k 2, 因此k 1＜k 3＜k 2,故选D.4.已知直线l :ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值是( ) A.1 B.－1 C.－2或－1 D.－2或1 答案 D解析令x ＝0,y ＝2＋a , 令y ＝0,x ＝2＋aa,则2＋a ＝2＋aa .即(a ＋2)(a －1)＝0, ∴a ＝－2或a ＝1.5.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1,又－1≤－1a 2＋1＜0,所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 6.(2020·保定模拟)已知直线l 的斜率为3,在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数,则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2 答案 A解析直线x －2y －4＝0的斜率为12,∴直线l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝3x＋2.7.(多选)在下列四个命题中,错误的有( ) A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线倾斜角的取值范围是[0,π]C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α 答案 ABCD解析对于A,当直线与x 轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A 错误；对于B,直线倾斜角的取值范围是[0,π),∴B 错误；对于C,一条直线的斜率为tan α,此直线的倾斜角不一定为α,∴C 错误；对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在,D 错误. 故选ABCD.8.(多选)若直线过点A (1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l 的方程可能为( ) A.x －y ＋1＝0 B.x ＋y －3＝0 C.2x －y ＝0D.x －y －1＝0答案 ABC解析当直线经过原点时,斜率为k ＝2－01－0＝2,所求的直线方程为y ＝2x ,即2x －y ＝0；当直线不过原点时,设所求的直线方程为x ±y ＝k ,把点A (1,2)代入可得1－2＝k ,或1＋2＝k , 求得k ＝－1,或k ＝3,故所求的直线方程为x －y ＋1＝0,或x ＋y －3＝0. 综上知,所求的直线方程为 2x －y ＝0,x －y ＋1＝0,或x ＋y －3＝0. 故选ABC.9.直线kx ＋y ＋2＝－k ,当k 变化时,所有的直线都过定点______________. 答案 (－1,－2)解析 kx ＋y ＋2＝－k 可化为y ＋2＝－k (x ＋1),根据直线方程的点斜式可知,此类直线恒过定点(－1,－2).10.(2019·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0,b ＞0)过点(1,1),则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为________. 答案 4解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0,b ＞0)过点(1,1), ∴a ＋b ＝ab ,即1a ＋1b＝1,∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4, 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4. 11.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上截距相等,求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围.解 (1)当直线过原点时,该直线在x 轴和y 轴上的截距为零,∴a ＝2,方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时,截距存在且均不为0, ∴a －2a ＋1＝a －2,即a ＋1＝1. ∴a ＝0,即方程为x ＋y ＋2＝0.综上,l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞,－1]. 12.已知直线l :kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明:直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ,交y 轴正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.(1)证明直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1, 故无论k 取何值,直线l 总过定点(－2,1). (2)解依题意,直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ,在y 轴上的截距为1＋2k ,且k ＞0, 所以A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0,B (0,1＋2k ),故S ＝12OA ·OB ＝12×1＋2kk ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4, 当且仅当4k ＝1k ,即k ＝12时取等号,故S 的最小值为4,此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.13.已知P (－3,2),Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点),则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－73，－13 解析直线l :ax ＋y ＋3＝0是过点A (0,－3)的直线系,斜率为参变数－a ,易知PQ ,QA ,l 的斜率分别为:k PQ ＝13,k AQ ＝73,k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交,由图可知k PQ ＜k l ＜k AQ ,解得－73＜a ＜－13.14.已知动直线l 0:ax ＋by ＋c －3＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3,则12a ＋2c 的最小值为________.答案 32解析 ∵动直线l 0:ax ＋by ＋c －3＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ), ∴a ＋bm ＋c －3＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3, ∴(4－1)2＋m 2＝3,解得m ＝0.∴a ＋c ＝3. 则12a ＋2c ＝13(a ＋c )⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝13⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥13⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝32, 当且仅当c ＝2a ＝2时取等号.15.已知方程kx ＋3－2k ＝4－x 2有两个不同的解,则实数k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎝⎛⎦⎤512，34 C.⎝⎛⎦⎤512，1 D.⎝⎛⎭⎫512，34 答案 B解析由题意得,半圆y ＝4－x 2与直线y ＝kx ＋3－2k 有两个交点,又直线y ＝kx ＋3－2k ⇒y －3＝k (x －2)过定点C (2,3),如图所示,又点A (－2,0),B (2,0),当直线在AC 位置时,斜率k ＝3－02＋2＝34.当直线和半圆相切时,由2＝|0－0－2k ＋3|k 2＋1,解得k ＝512,故实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤512，34.16.如图,射线OA ,OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角,过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ,OB 于A ,B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时,求直线AB 的方程.解由题意可得k OA ＝tan 45°＝1,k OB ＝tan(180°－30°)＝－33, 所以直线l OA :y ＝x ,l OB :y ＝－33x . 设A (m ,m ),B (－3n ,n ), 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2,由点C 在直线y ＝12x 上,且A ,P ,B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，(m －0)·(－3n －1)＝(n －0)·(m －1)，解得m ＝3,所以A (3,3). 又P (1,0),所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32,所以l AB :y ＝3＋32(x －1), 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

2018版高考一轮总复习数学文课件第8章平面解析几何

解析
设圆心为 (a,0)(a<0 )，因为截得的弦长为 4，所以
|a＋ 2×0| 弦心距为 1，则 d＝ 5，所以，所 2 2 ＝ 1，解得 a＝－ 1 ＋2 求圆的方程为： (x＋ 5)2＋ y2＝ 5.
5．由直线 y＝ x＋1 上的一点向圆 x2＋ y2－ 6x＋8＝0 引切线，则切线长的最小值为( A. 7 B ．2 2 C ．3 ) D. 2
解析
最短弦为过点 (3,1)，且垂直于点 (3,1)与圆心的连 3－ 22＋ 1－ 22 ＝ 2 ，所以最短 22－ 22 ＝ 2 2.
线的弦，易知弦心距d＝弦长为 2 r2－ d 2＝ 2
2 7．[2017· 太原模拟] 圆心在曲线y＝ (x>0)上，且与直线 x 2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为 2 2 ( x － 1) ＋ ( y － 2) ＝5 _______________________ ．
由题意， |AB|＝ 8， |3k－ 2| 故圆心到 l的距离d＝ 3，即 2＝ 3， 1＋ k 5 解得 k＝－ . 12 此时直线 l的方程为 5x＋12y＋ 20＝0，综上，所求直线方程为 x＋ 4＝ 0或5x＋ 12y＋ 20＝ 0.
9．已知点M (3,1)，直线ax－ y＋4＝0及圆(x－1)2＋ (y－ 2)2＝4. (1)求过点M的圆的切线方程； (2)若直线ax－ y＋4＝0与圆相切，求a的值； (3)若直线ax－ y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，求a的值．
解析
由题意可得，圆的圆心为 (a,0)，半径为 2， 2，即 |a＋1|≤2，解得－ 3≤a≤1.
|a－ 0＋1| ∴ 2 2≤ 1 ＋－1
2．圆 C1：x2 ＋y2 ＋2x＋2y－2＝0 与圆 C2 ：x2＋ y2－4x－ 2y＋4＝0 的公切线有 ( A．1 条 C．3 条 B．2 条 D．4 条使切线 PB最小，只需

高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第八章 8.7

§8.7双曲线1.双曲线的概念平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a},F1F2＝2c＞2a,其中a,c为常数且a＞0,c＞0.2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0),离心率e ＝2 ,渐近线方程为y ＝±x .4.双曲线的第二定义平面内动点P 到定点F 的距离和它到定直线l (点F 不在直线l 上)的距离的比是常数e (e ＞1)的点的轨迹是双曲线.定点F 是焦点,定直线l 是准线,常数e 是离心率.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b＞0)的准线方程为x ＝±a 2c ,双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的准线方程为y ＝±a 2c.概念方法微思考1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定.当2a＝F1F2时,动点的轨迹是两条射线；当2a＞F1F2时,动点的轨迹不存在；当2a＝0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a,b只限制a＞0,b＞0,二者没有大小要求,若a＞b ＞0,a＝b＞0,0＜a＜b,双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响.∵e＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫ba2,故当a＞b＞0时,1＜e＜2；当a＝b＞0时,e＝2(亦称等轴双曲线)；当0＜a＜b时,e＞ 2.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0,n ＞0,λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0,即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ ) 题组二教材改编2.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )A. 5B.5C. 2D.2 答案 A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0,即bx ±ay＝0, ∴2a ＝bca 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2,∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5,∴e ＝ 5. 3.已知a ＞b ＞0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.x ±2y ＝0D.2x ±y ＝0答案 A解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ,所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32,即a 4＝4b 4,所以a ＝2b ,所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ,即x ±2y ＝0.4.经过点A (4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案 x 215－y 215＝1解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a ＞0),把点A (4,1)代入,得a 2＝15(舍负), 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三易错自纠5.(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程x 23－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ,则下面四个命题中错误的是( ) A.若C 为椭圆,则1＜t ＜3 B.若C 为双曲线,则t ＞3或t ＜1 C.曲线C 可能是圆D.若C 为椭圆,且长轴在y 轴上,则1＜t ＜2 答案 AD解析若t ＞3,则方程可变形为y 2t －1－x 2t －3＝1,它表示焦点在y 轴上的双曲线；若t ＜1,则方程可变形为x 23－t －y 21－t ＝1,它表示焦点在x 轴上的双曲线；若2＜t ＜3,则0＜3－t ＜t －1,故方程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；若1＜t ＜2,则0＜t －1＜3－t ,故方程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；若t ＝2,方程x 23－t ＋y 2t －1＝1即为x 2＋y 2＝1,它表示圆,综上,选AD.6.已知双曲线的实轴长为8,离心率为2,则双曲线的标准方程为__________________. 答案 x 216－y 248＝1或y 216－x 248＝1解析由题意知a ＝4,e ＝ca ＝2,∴c ＝8,∴b 2＝c 2－a 2＝64－16＝48.∵双曲线的焦点位置不确定,故所求双曲线的标准方程为x 216－y 248＝1或y 216－x 248＝1.7.P 是双曲线x 216－y 281＝1上任意一点,F 1,F 2分别是它的左、右焦点,且PF 1＝9,则PF 2＝________.答案 17解析由题意知a ＝4,b ＝9, c ＝a 2＋b 2＝97,由于PF 1＝9＜a ＋c ＝4＋97,故点P 只能在左支上, ∴PF 2－PF 1＝2a ＝8,∴PF 2＝PF 1＋8＝17.双曲线的定义例1 (1)已知圆C 1:(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2:(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为________________. 答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件, 根据两圆外切的条件, 得MC 1－AC 1＝MA , MC 2－BC 2＝MB , 因为MA ＝MB ,所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2, 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2,所以点M 到两定点C 2,C 1的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大,与C 1的距离小), 其中a ＝1,c ＝3,则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1). (2)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2－y 2＝2的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2＝60°,则△F 1PF 2的面积为______. 答案 2 3解析不妨设点P 在双曲线的右支上, 则PF 1－PF 2＝2a ＝22, 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝12,∴PF 1·PF 2＝8,∴12F PF S △＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝2 3.本例(2)中,“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”,则△F 1PF 2的面积为________. 答案 2解析不妨设点P 在双曲线的右支上, 则PF 1－PF 2＝2a ＝22, ∵PF 1→·PF 2→＝0,∴PF 1→⊥PF 2→,∴在△F 1PF 2中,有PF 21＋PF 22＝F 1F 22, 即PF 21＋PF 22＝16,∴PF 1·PF 2＝4,∴12F PF S △＝12PF 1·PF 2＝2.思维升华在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF 1－PF 2|＝2a ,运用平方的方法,建立与PF 1·PF 2的联系.跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ,Q 两点,若PQ ＝4,F 2是双曲线的右焦点,则△PF 2Q 的周长是________. 答案 12解析由题意,得PF 2－PF 1＝2,QF 2－QF 1＝2. ∵PF 1＋QF 1＝PQ ＝4, ∴PF 2＋QF 2－4＝4, ∴PF 2＋QF 2＝8.∴△PF 2Q 的周长是PF 2＋QF 2＋PQ ＝8＋4＝12.(2)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2－y 2＝2的左、右焦点,点P 在C 上,PF 1＝2PF 2,则cos ∠F 1PF 2＝________.答案 34解析 ∵由双曲线的定义得 PF 1－PF 2＝PF 2＝2a ＝22, ∴PF 1＝2PF 2＝42,则cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.双曲线的标准方程1.(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y ＝±22x ,实轴长为4,则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 22＝1 B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1 答案 D解析设双曲线方程为x 22m －y 2m ＝1(m ≠0),又2a ＝4,∴a 2＝4, 当m ＞0时,2m ＝4,m ＝2；当m ＜0时,－m ＝4,m ＝－4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ,且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点,则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析由y ＝52x ,可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0),(－3,0),可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4,b 2＝5.所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.3.过双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ,b ),c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4,解得a 2＝4,b 2＝12,因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.4.经过点P (－3,27)和点Q (－62,－7)的双曲线方程为________. 答案 y 225－x 275＝1解析设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0),∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125，∴双曲线方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a ,2b 或2c ,从而求出a 2,b 2,写出双曲线方程.(2)待定系数法:先确定焦点在x 轴还是y 轴,设出标准方程,再由条件确定a 2,b 2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0),其中当m ＞0,n ＞0,且m ≠n 时表示椭圆；当mn ＜0时表示双曲线,合理使用这种形式可避免讨论. ②常见双曲线设法(i)已知a ＝b 的双曲线可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)； (ii)已知过两点的双曲线可设为Ax 2－By 2＝1(AB ＞0)；(iii)已知渐近线为x m ±y n ＝0的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0).双曲线的几何性质命题点1 渐近线例2 (1)已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,则m 等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 D解析由已知,取顶点⎝⎛⎭⎫0，13,渐近线3y －mx ＝0,则顶点到渐近线的距离为132＋m 2＝15,解得m ＝4.(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是____________. 答案 y ＝±2x解析因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3,4),所以9－16b2＝1,得b ＝2,所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±2x . 命题点2 离心率例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B.1C. 2D.2 答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0,所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上,都满足a ＝b ,所以c ＝2a ,所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 2.(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α＝13,则C的离心率为( ) A.52 B.62 C.72D.2 答案 B解析 ∵a ＞b ＞0,∴渐近线y ＝ba x 的斜率小于1,∵两条渐近线的夹角为α,cos α＝13.∴cos 2α2＝23,sin 2α2＝13,tan 2α2＝12,∴b 2a 2＝12,∴c 2－a 2a 2＝12, ∴e 2＝32,∴e ＝62.(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°答案 D解析由题意可得－ba ＝tan 130°,所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.(4)(2019·全国Ⅱ)设F 为双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ,Q 两点.若PQ ＝OF ,则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 答案 A解析如图,由题意知,以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24,①将x 2＋y 2＝a 2,② ①－②得x ＝a 2c,则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c,所以PQ ＝2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2. 由PQ ＝OF ,得2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝c , 整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0,即e 4－4e 2＋4＝0, 解得e ＝2,故选A.思维升华求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法 ①求a ,b ,c 的值,由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ,b ,c 的等式(或不等式),借助于b 2＝c 2－a 2消去b ,然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.(2)焦点在x 轴上的双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系:k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a 2－1＝e 2－1.跟踪训练2 (1)(2019·汉中模拟)若双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的焦点到渐近线的距离是4,则m 的值是( ) A.2 B. 2 C.1 D.4 答案 D 解析双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的焦点设为(c ,0), 当双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1时,渐近线方程设为bx －ay ＝0,可得焦点到渐近线的距离 d ＝|bc |b 2＋a 2＝b , 故由题意可得b ＝m ＝4.(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)上一点,则其离心率的取值范围是( ) A.()1，5 B.⎝⎛⎭⎫1，52 C.()5，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 答案 C解析已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)上一点,得1a 2－4b 2＝1,即b 2a 2＝b 2＋4, 所以e ＝ca＝1＋b 2a2＝b 2＋5＞5,所以e ＞ 5. (3)(2019·天津)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且AB ＝4OF (O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 答案 D解析由题意,可得F (1,0),直线l 的方程为x ＝－1,双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ,得y ＝±b a ,所以点A ,B 的纵坐标的绝对值均为b a .由AB ＝4OF 可得2ba ＝4,即b ＝2a ,b 2＝4a 2,故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5.1.(2020·衡水质检)对于实数m ,“1＜m ＜2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析若方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线,则(m －1)(m －2)＜0,得1＜m ＜2,则“1＜m ＜2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的充要条件.2.(2019·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率是5,则a 等于( )A. 6B.4C.2D.12答案 D解析由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1,得b 2＝1,∴c 2＝a 2＋1. ∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2. 结合a ＞0,解得a ＝12.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为( )A.x ±y ＝0B.x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0D.2x ±y ＝0答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0),∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又∵离心率e ＝ca ＝2,∴c ＝2a ,∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aa x ＝±3x , 即3x ±y ＝0.故选C.4.(2020·西南大学附中月考)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(0＜a ＜2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为( ) A.233 B.263 C. 3 D.2答案 D解析由双曲线方程可知渐近线方程为y ＝±2a x ,由两条渐近线夹角为π3,0＜a ＜2,可知其中一条渐近线的倾斜角为π3,∴2a ＝3,∴a ＝63,c ＝a 2＋b 2＝263,∴e ＝ca ＝26363＝2.5.(2019·全国Ⅲ)已知F 是双曲线C :x 24－y 25＝1的一个焦点,点P 在C 上,O 为坐标原点.若OP ＝OF ,则△OPF 的面积为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 答案 B解析由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点,知OF ＝3,所以OP ＝OF ＝3.不妨设点P 在第一象限,P (x 0,y 0),x 0＞0,y 0＞0,则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎨⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎫2143，53,所以S △OPF ＝12OF ·y 0＝12×3×53＝52.6.已知离心率为52的双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM ⊥MF 2,O 为坐标原点,若2OMF S △＝16,则双曲线的实轴长是( ) A.32 B.16 C.84 D.4 答案 B解析由题意知F 2(c,0),不妨令点M 在渐近线y ＝b a x 上,由题意可知F 2M ＝bca 2＋b 2＝b ,所以OM＝c 2－b 2＝a .由2OMF S △＝16,可得12ab ＝16,即ab ＝32,又a 2＋b 2＝c 2,c a ＝52,所以a ＝8,b ＝4,c ＝45,所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7.(多选)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距,且一条渐近线方程为x －2y ＝0,则双曲线C 的方程可能为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝1 答案 AD解析在椭圆x 29＋y 24＝1中,c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距,且一条渐近线方程为x －2y ＝0, 所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0),化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ＞0时,c ＝λ＋4λ＝5,解得λ＝1, 则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ＜0时,c ＝－λ－4λ＝5,解得λ＝－1, 则双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1. 综上,双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1,故选AD.8.(多选)已知F 1,F 2分别是双曲线C :y 2－x 2＝1的上、下焦点,点P 是其一条渐近线上一点,且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ,则( ) A.双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x B.以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1 C.点P 的横坐标为±1 D.△PF 1F 2的面积为 2 答案 ACD解析等轴双曲线C :y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ,故A 正确；由双曲线的方程可知F 1F 2＝22,所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2,故B 错误；点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝2上, 不妨设点P (x 0,y 0)在直线y ＝x 上,所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x 0|＝1,则点P 的横坐标为±1,故C 正确；由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2,故D 正确.故选ACD.9.(2019·华中师大附中月考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点F 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为________. 答案2解析由题意知ba ＝1,∴e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.10.(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线与直线l :x －2y ＝0相互垂直,点P 在双曲线C 上,且PF 1－PF 2＝3,则双曲线C 的焦距为________. 答案 3 5解析双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线为y ＝±ba x ,一条渐近线与直线l :x －2y ＝0相互垂直,可得ba ＝2,即b ＝2a ,由双曲线的定义可得2a ＝PF 1－PF 2＝3, 可得a ＝32,b ＝3,即有c ＝a 2＋b 2＝94＋9＝352, 即焦距为2c ＝3 5.11.如图,F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F 2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为________.答案3＋1解析设F 1F 2＝2c ,连接AF 1,∵△F 2AB 是等边三角形,且F 1F 2是⊙O 的直径, ∴∠AF 2F 1＝30°,∠F 1AF 2＝90°, ∴AF 1＝c ,AF 2＝3c ,2a ＝3c －c ,e ＝c a ＝23－1＝3＋1.12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)中,A 1,A 2是左、右顶点,F 是右焦点,B是虚轴的上端点.若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1,2),使得P i A 1—→·P i A 2—→＝0,则双曲线离心率的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 解析设c 为半焦距,则F (c ,0),又B (0,b ), 所以BF :bx ＋cy －bc ＝0,以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O :x 2＋y 2＝a 2, 因为P i A 1—→·P i A 2—→＝0,i ＝1,2,所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点), 所以⎩⎪⎨⎪⎧bc b 2＋c 2<a ，b >a ，即⎩⎪⎨⎪⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2，故⎩⎪⎨⎪⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2＜e ＜5＋12.13.(2020·长沙模拟)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0),若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ,B 两点,且AF →＝3BF →,则双曲线离心率的最小值为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.2 2答案 C解析因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ,B 两点,且AF →＝3BF →,故直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即点A 在左支,点B 在右支,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),右焦点F (c ,0),因为AF →＝3BF →,所以c －x 1＝3(c －x 2),3x 2－x 1＝2c ,因为x 1≤－a ,x 2≥a ,所以－x 1≥a ,3x 2≥3a ,故3x 2－x 1≥4a ,即2c ≥4a ,c a≥2,即e ≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.14.(2019·江南十校联考)已知双曲线C 1,C 2的焦点分别在x 轴,y 轴上,渐近线方程都为y ＝±1ax (a ＞0),离心率分别为e 1,e 2,则e 1＋e 2的最小值为________.答案 2 2解析由题意得双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2＝t (a ＞0,t ＞0), 双曲线C 2的方程为y 2－x 2a 2＝λ(a ＞0,λ＞0), 所以e 1＝t ＋a 2t a t ＝a 2＋1a ,e 2＝λ＋a 2λλ＝a 2＋1, 所以e 1＋e 2＝a 2＋1a ＋a 2＋1≥2a 2＋1a ＝2a ＋1a≥22(当且仅当a ＝1时等号成立).15.(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左焦点F (－c ,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线,切点为E ,延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ,O 为坐标原点,若OE →＝12(OF →＋OP →),则双曲线的离心率为( ) A.1＋52B.52C.1＋32D. 5答案 A解析 ∵OF ＝c ,OE ＝a ,OE ⊥EF ,∴EF ＝c 2－a 2＝b ,∵OE →＝12(OF →＋OP →), ∴E 为PF 的中点,OP ＝OF ＝c ,PF ＝2b ,设F ′(c,0)为双曲线的右焦点,也为抛物线的焦点,则EO 为△PFF ′的中位线,则PF ′＝2OE ＝2a ,可设P 的坐标为(m ,n ),则有n 2＝4cm ,由抛物线的定义可得PF ′＝m ＋c ＝2a ,m ＝2a －c ,n 2＝4c (2a －c ),又OP ＝c ,即有c 2＝(2a －c )2＋4c (2a －c ),化简可得,c 2－ac －a 2＝0,即e 2－e －1＝0,由于e ＞1,解得e ＝5＋12.16.(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C:x2－y28＝1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,66),当△APF周长最小时,则点P的坐标为________.答案(－2,26)解析如图,由双曲线C的方程可知a2＝1,b2＝8,∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9,∴c＝3,∴左焦点E(－3,0),右焦点F(3,0),∵AF＝32＋(66)2＝15,∴当△APF的周长最小时,P A＋PF最小.由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2,∴PF＝PE＋2,又PE＋P A≥AE＝AF＝15,当且仅当A,P,E三点共线且点P在线段AE上时,等号成立, ∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66,将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0,解得x＝－7(舍)或x＝－2,由x＝－2,得y＝26(负值已舍),∴点P的坐标为(－2,26).。

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( B)
A． 2
B．7
2 8
C．2 2
D．5 6 2
【解析】
设抛物线上一点的坐标为 (x ， y) ，则
d
＝
|x－y－2| 2
＝

x＝12时，
dmin＝7
8
2 .
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第八章解析几何
2．若点 O 和点 F 分别为椭圆x42＋y32＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一
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第八章解析几何
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB| ＝ 1＋k2 |x1 － x2| ＝ 1＋k2 · x1＋x22－4x1x2 ＝
1＋k12 |y1 － y2| ＝
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第八章解析几何
第八章解析几何第1讲解析几何的综合问题
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第八章解析几何
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第八章解析几何
激活思维
1．抛物线 y＝x2 上的点到直线 x－y－2＝0 的最短距离为
【解析】因为点(m，n)在椭圆 8x2＋3y2＝24 上，即在椭圆x32＋y82＝1 上，所以点 (m，n)满足椭圆的范围|x|≤ 3，|y|≤2 2，因此|m|≤ 3，即－ 3≤m≤ 3，所以 2m ＋4∈[4－2 3，4＋2 3]．
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第八章解析几何
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第八章解析几何
(2)若a＝0,b≠0,即得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线E相交,且只有一个交点.
①若E为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是___平__行_; ②若E为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是___平__行__或__重__合__.
1＋k12· y1＋y22－4y1y2.
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第八章解析几何
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知识聚焦
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程:ax2＋ bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). (1)若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线__相__交__; ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线__相__切__; ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线__相__离__.
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第八章解析几何
3．过双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为(_1_，___5_)__.
【解析】由过双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为 2 的直线，与该双
曲线的右支交于两点，可得ba<2，所以 e＝ac＝
a2＋b2 a2 <
1＋4＝
5，因为 e>1，所以
1<e< 5，所以此双曲线离心率的取值范围为(1， 5)．
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第八章解析几何
4. 在平面直角坐标系 xOy 中 , 动圆 x2 ＋ y2 － 2ax ＋ 4ay － 5 ＝ 0 过定点 _____(2_,_1_)_,(_－__2_,－__1_)_______.
【解析】动圆方程可化为 a(4y－2x)＋x2＋y2－5＝0，令4x2y＋－y22x－＝50＝，0，解得 xy－＝21，或xy＝＝－－21.，
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第八章解析几何
5. 已知点 (m,n) 在椭圆 8x2 ＋ 3y2 ＝ 24 上 , 则 2m ＋ 4 的取值范围是 _[_4_－__2__3_，____ __4_＋__2__3_]____.
点，则O→P·F→P的最大值为
( C)
A．2
B．3
C．6
D．8
【解析】由题意得 F(－1,0)，设点 P(x0，y0)，则 y20＝3－34x20(－2≤x0≤2)，故O→P·F→P ＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋3－34x20＝14(x0＋2)2＋2.因为－2≤x0≤2，所以当 x0＝2 时， O→P·F→P取得最大值，且最大值为 6.

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