数学九年级上册 旋转几何综合专题练习(解析版)

数学九年级上册 旋转几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．

（1）求AF 和BE 的长；

（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）129,55AF BF =

=；（2）95

m =或165m =；（3）存在4组符合条件的点P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或25891055或35105

【解析】

【分析】

（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；

（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．

【详解】

（1）∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠BAD=90°，

在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4，

由勾股定理得：2222345AB AD +=+=， ∵S △ABD 12=BD•AE=12

AB•AD ，

∴AE=AB AD3412 BD55

⋅⨯

==，

∵点F是点E关于AB的对称点，

∴AF=AE

12

5

=，BF=BE，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，AB=3，AE

12

5 =，

由勾股定理得：BE

2

222

129

3

55 AB AE

⎛⎫

=-=-=

⎪

⎝⎭

；

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：

由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE

9

5 =，

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′

9

5 =，

①当点F′落在AB上时，

∵AB∥A′B′，

∴∠3=∠4，

根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，

∴BB′=B′F′

9

5

=，即

9

5

m=；

②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，

∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，

∴∠5=∠6，

又知A′B′⊥AD，

∴△B′F′D为等腰三角形，

∴B′D=B′F′

9

5 =，

∴BB′=BD-B′D=5-916

55

=，即m

16

5

=；

（3）存在．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB=90°，

∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，

∴∠2=∠BAE，

∵点F是点E关于AB的对称点，

∴∠1=∠BAE，

∴∠1=∠2，

在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：

①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，

则∠Q=∠DPQ，

∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，

∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，

∴∠3=∠Q，

∴A′Q=A′B=3，

∴F′Q=F′A′+A′Q=1227

3

55

+=，

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：

22

22

927910 BF F Q

555

⎛⎫⎛⎫

+=+=

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

''，

∴DQ=BQ-BD=910

5 5

-；

②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，

则∠2=∠P，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠P，

∴BA′∥PD，

则此时点A′落在BC边上．

∵∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴BQ=A′Q，

∴F′Q=F′A′-A′Q=12

5

-BQ，

在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，

即：

22

2 912

55

BQ BQ

⎛⎫⎛⎫

+-=

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，

解得：

15

8 BQ=，

∴DQ= BD-BQ=5-1525 88

=；

③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，

则∠3=∠4．

∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，