线性代数期末考试试卷 答案合集详解
期末线代试题及答案
期末线代试题及答案一、选择题(每题2分,共50分)1. 设A为3阶方阵,满足A^2 = I,则A的行列式的值是多少?A. -1B. 0C. 1D. 2答案:C2. 设向量组V1 = (1, 0, -1),V2 = (2, -1, 3),V3 = (-1, 2, 0),则V1, V2, V3是否线性相关?A. 相关B. 不相关答案:B3. 设向量组V1 = (1, 2, -1),V2 = (2, 1, 3),V3 = (-1, 4, 5),则V1, V2, V3是否线性相关?A. 相关B. 不相关答案:A4. 设A为3阶方阵,满足行列式det(A) = 3,则矩阵B = A^-1的行列式的值是多少?A. -1/3B. 3C. 1/3D. 1答案:C5. 已知矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9],则A的秩是多少?A. 2B. 3C. 1D. 0答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 设A为3阶方阵,满足A^T = 2A,则A的特征值之和是________。
答案:62. 设矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9],则A的伴随矩阵的元素之和为________。
答案:03. 设向量组V1 = (1, 0, 1),V2 = (2, 1, 3),V3 = (-1, 0, -2),则V1, V2, V3的秩为________。
答案:24. 设三阶方阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = -1, λ3 = 0,则A的特征值对应的特征向量分别为________。
答案:(2, 0, 1),(0, 1, -1),(1, 1, -1)5. 设矩阵A = [1 2, 3 4],则A的迹为________。
答案:5三、解答题(每题20分,共60分)1. 设A为2阶方阵,满足det(A) = 3,求A的伴随矩阵。
答案:设A = [a b, c d],则伴随矩阵的元素为:A* = [d -b, -c a]所以伴随矩阵为:A* = [d/3 -b/3, -c/3 a/3]2. 已知矩阵A = [1 -1, 2 3],求A的特征值和特征向量。
线性代数期末试卷及详细答案
线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分,共10分)1、设1D =3512, 2D =345510200,则D =12D D OO =_____________。
2、四阶⽅阵A B 、,已知A =116,且=B ()1-12A 2A --,则B =_____________。
3、三阶⽅阵A 的特征值为1,-1,2,且32B=A -5A ,则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =,若其中E 是单位阵,那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=,()21,2,3α=,()31,3,t α=线性相关,则t=_____________。
⼆、单项选择题(每⼩题仅有⼀个正确答案,将正确答案的番号填⼊下表内,每⼩题2分,共20分)1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴,则x 是(A )-2或3;(B )-3或2;(C )-2或-3;(D )3或2; 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵,则下列正确的公式为(A )()332233A B+3AB +B A B A +=+;(B )()()22A B A+B =A B --;(C )()()2A E=A E A+E --;(D )()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵,则()**A=(A )A E ;(B )A ;(C )nA A ;(D )2n A A -;4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵(A )100002?? ???;(B )100010011??;(C )011101001-?? ?- ? ?;(D )010002100??- ;5、下列命题正确的是(A )如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ,则1,α2α,,m α线性⽆关;(B )向量组1,α2α,,m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰,则1,α2α,,m α线性相关;(C )向量组1,α2α,,m α的⼀个部分组线性相关,则原向量组本⾝线性相关;(D )向量组1,α2α,,m α线性相关,则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分,共15分)1.下列矩阵中,< )不是初等矩阵。
<A )001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B>100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C> 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D> 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2.设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是< )。
<A )122331,,αααααα--- <B )1231,,αααα+ <C )1212,,23αααα- <D )2323,,2αααα+3.设A 为n 阶方阵,且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=< )(A> A E - (B> E A + (C> 1()3A E - (D> 1()3A E +4.设A 为n m ⨯矩阵,则有< )。
<A )若n m <,则b Ax =有无穷多解;<B )若n m <,则0=Ax 有非零解,且基础解系含有m n -个线性无关解向量;<C )若A 有n 阶子式不为零,则b Ax =有唯一解; <D )若A 有n 阶子式不为零,则0=Ax 仅有零解。
5.若n 阶矩阵A ,B 有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则< )<A )A 与B 相似 <B )A B ≠,但|A-B|=0<C )A=B <D )A 与B 不一定相似,但|A|=|B|二、判断题(正确填T ,错误填F 。
每小题2分,共10分>1. A 是n 阶方阵,R ∈λ,则有A A λλ=。
< )2. A ,B 是同阶方阵,且0≠AB ,则111)(---=A B AB 。
< )3.如果A 与B 等价,则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 在三维向量空间中,以下向量中线性无关的是:A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案:D2. 设矩阵A = [a b; c d],若行列式det(A) = 0,则以下哪个等式成立?A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案:A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9],则A的逆矩阵为:A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案:A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3],B = [1 2; 3 4],则A与B的乘积为:A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案:B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6),则a与b的内积为:A) 32B) 22C) 14D) 6答案:C6. 若向量a = (1, 2, 3),b = (4, -2, 5),c = (3, 1, -2),则以下哪个等式成立?A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案:B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4],则A的特征值为:A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案:A8. 设向量a = (1, 2, 3),b = (4, 5, 6),c = (2, 1, 3),则向量集合{a, b, c}的维数为:A) 1B) 2C) 3D) 4答案:C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4],A的转置矩阵为:A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案:A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4],则A的伴随矩阵为:A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案:A二、计算题(共70分)1. 设矩阵A = [1 2; 3 4],求A的逆矩阵。
线性代数期末考试试卷答案合集详解
线性代数期末考试试卷答案合集详解×××⼤学线性代数期末考试题⼀、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性⽅程组=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满⾜。
3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满⾜CB AC =,则A 与B 分别是阶矩阵。
4.矩阵=323122211211a a a a a a A 的⾏向量组线性。
5.n 阶⽅阵A 满⾜032=--E A A ,则=-1A 。
⼆、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每⼩题2分,共10分)1. 若⾏列式D 中每个元素都⼤于零,则0?D 。
()2. 零向量⼀定可以表⽰成任意⼀组向量的线性组合。
()3. 向量组m a a a ,,,Λ21中,如果1a 与m a 对应的分量成⽐例,则向量组s a a a ,,,Λ21线性相关。
()4. ?=010*********0010A ,则A A =-1。
() 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则11. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ()。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα,,,Λ21(3 ≤ s ≤ n )线性⽆关的充要条件是()。
① s ααα,,,Λ21中任意两个向量都线性⽆关② s ααα,,,Λ21中存在⼀个向量不能⽤其余向量线性表⽰③ s ααα,,,Λ21中任⼀个向量都不能⽤其余向量线性表⽰④ s ααα,,,Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
①任意n 个1+n 维向量线性相关②任意n 个1+n 维向量线性⽆关③任意1+n 个n 维向量线性相关④任意1+n 个n 维向量线性⽆关4. 设A ,B 均为n 阶⽅阵,下⾯结论正确的是( )。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题(每题5分,共30分)1. 若矩阵A的秩为r(A),则下列结论正确的是()A. r(A) ≤ n,其中n是矩阵A的列数B. r(A) ≤ m,其中m是矩阵A的行数C. r(A) ≤ min(m, n)D. r(A) = max(m, n)答案:C2. 下列矩阵中,哪一个不是对称矩阵?()A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &5 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &9 \end{pmatrix}\)答案:D3. 若向量组α1, α2, α3线性无关,则向量组()A. α1 + α2, α2 +α3, α3 + α1 线性无关B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关答案:B4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵,则下列结论正确的是()A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵D. A的n次幂An也是可逆矩阵答案:D5. 若行列式D = |A|的值为0,则下列结论正确的是()A. 方程组Ax = b有唯一解B. 方程组Ax = b无解C. 方程组Ax = 0有非零解D. 方程组Ax = b有无穷多解答案:C6. 若矩阵A是正交矩阵,则下列结论正确的是()A. A的行列式值为1B. A的行列式值为-1C. A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1D. A的平方等于单位矩阵E答案:CD二、填空题(每题5分,共30分)7. 若矩阵A的行列式值为3,则矩阵A的伴随矩阵A的行列式值为________。
线性代数考试试卷+答案超强合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( ) 3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
( )4.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ,则A A =-1。
( )5.若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分) 1.设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
①n2②12-n ③12+n ④42. n 维向量组s ααα,,, 21(3 £ s £ n)线性无关的充要条件是( )。
①s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关②s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④s ααα,,, 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关③ 任意1+n 个n 维向量线性相关④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4.设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
(完整word版)线性代数期末考试试题答案解析合集
XXX 大学线性代数期末考试题、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1 -3 11.若 05 x =0,则-12 -2| /..X| x 2x 3 = 02 .若齐次线性方程组 +h x 2 +x3 =0只有零解,则 乙应满足X ! +x 2 +x 3 =05. n 阶方阵A 满足A 2-3A-E=0,则A 」= ___________________ 。
二、 判断正误(正确的在括号内填“V” ,错误的在括号内填“X” 。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则 D 0 o ()2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
()3. 向量组a 1? a 2, , a m 中,如果a 1与a m 对应的分量成比例,则向量组a 1? a 2, , a s 线性相关。
()0 1 1 04. A =0 0 卫05. 若■为可逆矩阵A 的特征值,则 A ,的特征值为■ o ()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且A =2,则|AA^= ( )o①2n② 2n4③2n 1④42. n 维向量组〉2,…,s (3 - s _n )线性无关的充要条件是()。
①:-1,' 2 , , 〉s 中任意两个向量都线性无关②-■1,' 2,, 〉s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 0 0_0 01 “),贝y A =Ao (0 11 03.已知矩阵A , B ,C = (C j )s n ,满足AC 二CB ,则A 与B 分别是 ________________ 阶矩阵。
a ii4 .矩阵 A = a 21 l a31ai2a 22的行向量组线性a32」③-■1,' 2, , 〉s中任一个向量都不能用其余向量线性表示④:-1,- 2, , 〉s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是()。
线性代数期末试题及答案
线性代数期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设矩阵A为3阶方阵,且|A|=2,则|2A|等于:A. 4B. 8C. 16D. 32答案:C2. 若向量α=(1, 2, 3),β=(2, 1, 0),则α·β等于:A. 4B. 5C. 6D. 7答案:B3. 设A为n阶方阵,且A^2=I,则A的行列式|A|等于:A. 1B. -1C. 0D. 2答案:A4. 若矩阵A的秩为2,则矩阵A的行向量线性相关还是线性无关?A. 线性相关B. 线性无关C. 线性独立D. 不能确定答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 设矩阵B为2阶方阵,且B^2=0,则称矩阵B为______。
答案:幂零矩阵2. 若矩阵A和B可交换,即AB=BA,则称矩阵A和B为______。
答案:可交换矩阵3. 设向量α=(1, 2),β=(3, 4),则向量α和β的夹角的余弦值为______。
答案:3/54. 设矩阵A为3阶方阵,且A的特征值为1, 2, 3,则矩阵A的迹为______。
答案:6三、简答题(每题10分,共30分)1. 简述矩阵的转置矩阵的定义。
答案:矩阵A的转置矩阵记为A^T,其元素满足A^T_{ij}=A_{ji},即A^T的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。
2. 什么是线性方程组的齐次解?答案:线性方程组的齐次解是指当方程组的常数项全为零时,方程组的解,通常表示为零向量。
3. 说明矩阵的相似对角化的条件。
答案:矩阵A相似对角化的条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量,其中n是矩阵A的阶数。
四、计算题(每题15分,共30分)1. 已知矩阵A=\[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\],求矩阵A的行列式。
答案:|A| = 1*4 - 2*3 = -22. 设线性方程组为:\[\begin{matrix} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{matrix}\]求方程组的解。
线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( )3. 向量组m a a a ,,,Λ21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,,Λ21线性相关。
( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ,则A A =-1。
( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα,,,Λ21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,,Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,,Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,,Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,,,Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
线性代数期末测试题(卷)与答案解析
线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题5分,共25分)1. 若022150131=---x ,则=c __________。
2.若齐次线性方程组ïîïíì=++=++=++000321321321x x x x x x x x x l l 只有零解,则l 应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ´=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.已知矩阵A 为3´3的矩阵,且3||=A ,则=|2|A 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、选择题 (每小题5分,共25分)6.已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正定?( )A.054<<-tB.5454<<-tC.540<<tD.2154-<<-t7.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ-=,求x 的值( )A.3B.-2C.5D.-58.设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是( ) A. 0¹A B. 01¹-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9.过点(0,2,4)且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为( )A.14322-=-=-z y xB.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x10.已知矩阵÷÷øöççèæ-=1513A ,其特征值为() A.4,221==l lB.4,221-=-=l lC.4,221=-=l l D.4,221-==l l三、解答题 (每小题10分,共50分)11.设,1000110001100011÷÷÷÷øöççççèæ---=B ÷÷÷÷÷øöçççççèæ=2000120031204312C 且矩阵C 满足关系式EX B C T=-)(, 求C 。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题(每题5分,共25分)1.下列哪一个不是线性空间?A. 实数集RB. 矩阵的集合M(n,R)C. 正实数集R+D. 空集答案:C2.下列关于线性变换的叙述,正确的是()A. 线性变换保持向量的长度不变B. 线性变换保持向量的方向不变C. 线性变换保持向量的数量积不变D. 线性变换保持向量的线性组合关系不变答案:D3.若向量组α1,α2,α3线性无关,则向量组()A. 2α1,3α2,4α3 线性相关B. 2α1+3α2,4α3 线性无关C. α1+α2,α2+α3,α3+α1 线性无关D. α1,α1+α2,α1+α2+α3 线性相关答案:C4.设A是3阶矩阵,且|A|=5,则|2A|=()A. 10B. 25C. 50D. 125答案:D5.下列关于线性方程组的叙述,正确的是()A. 如果系数矩阵的秩小于未知数的个数,则方程组一定有解B. 如果系数矩阵的秩等于未知数的个数,则方程组一定有唯一解C. 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,则方程组一定有解D. 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,则方程组一定无解答案:C二、填空题(每题5分,共25分)6.若向量组α1,α2,α3线性无关,则其极大线性无关组所含向量的个数为______。
答案:37.设A是3阶矩阵,且|A|=4,则|A的逆矩阵|=______。
答案:1/48.若线性方程组Ax=b有解,则系数矩阵A的秩r(A)与增广矩阵B的秩r(B)满足关系______。
答案:r(A)=r(B)9.设A是n阶对称矩阵,则A的转置矩阵A^T______。
答案:等于A10.线性空间V的维数等于______。
答案:V中极大线性无关组所含向量的个数三、计算题(每题10分,共30分)11.已知向量组α1=(1,2,3),α2=(4,5,6),α3=(7,8,9),判断向量组是否线性相关,并说明理由。
答案:线性相关。
因为α3=α1+α2,所以向量组线性相关。
《线性代数、概率统计》期末考试试卷及详细答案
《线性代数、概率论》期末考试试卷答案一、选择题(每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上,每小题2分,共40分):1.行列式G的某一行中所有元素都乘以同一个数k得行列式H,则------------C-------------;(A) G=H ;(B) G= 0 ;(C) H=kG ;(D) G=kH 。
2.在行列式G中,A ij是元素a ij的代数余子式,则a1j A1k+ a2j A2k+…+a nj A nk--------D------;(A) ≠G (j=k=1,2,…,n时) ;(B) =G(j, k=1,2,…,n; j≠k时) ;(C) =0 (j=k=1,2,…,n时) ;(D) =0(j, k=1,2,…,n ;j≠k时) 。
3.若G,H都是n⨯ n可逆矩阵,则----------B------------;(A) (G+H)-1=H-1+G-1;(B) (GH)-1=H-1G-1;(C) (G+H)-1=G-1+H-1;(D) (GH)-1=G-1H-1。
4.若A是n⨯ n可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵, 则--------A----------;(A) |A*|=|A|n-1;(B) |A*|=|A|n ;(C) |A*|=|A|n+1;(D) |A*|=|A|。
5.设向量组α1, α2,…,αr (r>2)线性相关, 向量β与α1维数相同,则------------C----------- (A) α1, α2,…,αr-1 线性相关;(B) α1, α2,…,αr-1 线性无关;(C) α1, α2,…,αr ,β线性相关;(D) α1, α2,…,αr ,β线性无关。
6.设η1, η2, η3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系, 则在下列中错误的是D-------------------(A) η1, η2, η3线性无关;(B) X=η1+η2+ η3是AX=0的解向量;(C) A的秩R(A)=2;(D) η1, η2, η3是正交向量组。
线性代数期末试题及答案
8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题(每小题2分,共20分)1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ,则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ,则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ,*A 是A 的伴随矩阵,则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵,则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ,且秩(A )=2,则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系,则=)(A r .二、选择题(每小题2分,共20分)1.已知101yxy x aA =,则A 中元素a 的代数余子式11A 等于( ).A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-,它们的余子式的值分别为1,1,2,3-,则=A ( ).A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵,且2222)(BAB AB A ++=+,则必有( ).A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵,满足O AB =,则必有( ).A.0=+B A B .))B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ,),,(2γβα=B ,其中γβαα,,,21均为3维列向量,若2=A ,1-=B ,则=+B A ( ).A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组,,)(r A r =下列命题中正确的是( ).A .当n m =时,B AX =有唯一解 B .当n r =时,B AX =有唯一解C .当m r =时,B AX =有解D .当n r <时,B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ( ).A .1或2B .1或-2C .-1或2D .-1或-28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中( ).A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α,则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 ( ).A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解,21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系,21,k k 为任意常数,则方程组b AX =的通解可表成( ).A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题(每小题2分,共20分)1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题(每小题2分,共20分)1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、(8分)解:3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、(10分)解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=,得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、(12分)解:将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵:22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以,⑴ 当1k≠-且4k ≠时,()()3r r ==A A ,此时线性方程组有唯一解.⑵ 当1k =-时,()2=A r ,()3=A r ,此时线性方程组无解.⑶ 当4k=时,()()2==A A r r ,此时线性方程组有无穷多组解.此时,原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此,原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、(10分)解:记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为:123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、(12分)解:(1).⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。
线性代数期末考试试卷合集(共十一套)
线性代数期末考试试卷合集(共十一套)目录线性代数期末试卷及参考答案(第一套) .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案(第二套) .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷(第一套) ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷(第二套) ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷(第三套) ........................................................................................ 30 线性代数 期末试卷(A 卷) .................................................................................................. 36 线性代数 期末试卷(B 卷) .................................................................................................. 41 线性代数 期末试卷(C 卷) .................................................................................................. 46 线性代数 期末试卷(D 卷) .................................................................................................. 51 线性代数 期末试卷(E 卷) .................................................................................................. 57 线性代数 期末试卷(F 卷) (62)线性代数期末试卷及参考答案(第一套)一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =,则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ; (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11; (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ; (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .(21k k ,为任意常数) 2、设n 阶方阵A ,B 满足E AB =,则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ; (B )E B A =+ ; (C )1=A 或1=B ; (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2; (B ) 3; (C ) 4; (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示,则正确的是 ( )(A )当s r >时,向量组A 必线性相关; (B ) 当s r <时,向量组A 必线性相关; (C )当s r >时,向量组B 必线性相关; (D ) 当s r <时,向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵,0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解,则b x A =有唯一解;(B ) 若b x A =有无穷多解,则0=x A 有非零解;(C ) 若n m =,则b x A=有唯一解;(D ) 若A 的秩m A R <)(,则b x A=有无穷多解.二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ,当c b a ,,满足 时,A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3,则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵,且秩2=)(A R ,则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1,则行列式1117110111------z y x = . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关,则常数x= .三、计算题(本题共6小题,共50分)1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、(8分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、(8分)设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、(10分)设向量组A :.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、(8分)计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、(10分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x , 问:当参数b a ,取何值时,(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 1、设矩阵B A ,为3阶方阵,且42==B A ,,则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,,若AC AB =,且O A ≠,则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解,则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题(本题共2小题,每小题5分,共10分) 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862,证明:(1)E A 3+是可逆矩阵,并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵.2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解,且,)(3-=n A R证明:030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系.参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠;2.91; 3. 3; 4. 23- ; 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分), 由R (A ) = 2知,⎩⎨⎧=-=--0201b a , ⎩⎨⎧=-=∴21b a ,一个最高阶非零子式3221-. 2.解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系:,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系:,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E -2A ) -1 A |A |=12(|A |E -2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101, B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解:aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+=)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ,此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ,此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ,此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1.证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962,即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆,且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知,E A E A E A TT T 333+=+=+)()(,故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(,所以E A 3+是正交矩阵.2. 证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解,030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解;又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个; 下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关, 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案(第二套)一、填空题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ,则当k = 时,.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322,则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ,则 =x . 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ,多项式x x x f 2)(2+=,则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关,则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、设A ,B 是任意n 阶方阵(2≥n ),则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+; (B ) 22B A B A B A -=-⋅+; (C ) B A B A ⋅=; (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中,①A 可逆 ; ②A 为列满秩(即A 的秩等于A 的列数); ③A 的列向量组线性无关; ④ O A ≠ ;可使推理“ 若O AB =, 则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个 ; (B ) 2个; (C ) 3个; (D ) 4个.3、向量组s ααα,,,21)2(≥s 线性无关,且可由向量组s βββ ,,,21线性表示, 则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ,,,21线性无关;(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤,向量组s j βββα,,,,21线性相关;(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤,向量组s j βββα,,,,21线性无关;(D ) 向量组s ααα,,,21与向量组s βββ ,,,21等价. 4、设A ,B 均为3阶方阵, 3)(=A R ,2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1; (B ) 2; (C ) 3; (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵,r A R =)(,则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解; (B ) 当n m r == 时有唯一解;(C ) 当n m = 时有唯一解; (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题(本题共6小题,共54分)1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、(9分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、(8分)设3阶方阵C B A ,,满足方程 A B A C =-)2(,试求矩阵A ,其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、(10分)设向量组A :.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、(8分)计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、(12分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202, 问:当参数b a ,取何值时,(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题(本题共2小题,每小题5分,共10分)1、若向量321,,ααα线性无关, 求证 2132αα +,324αα +,135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量,证明:(1) A A =2; (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-; 2. E A +2; 3. 3±; 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ; 5. 6 ; 6. n b A R A R <=),()(; 7. -1 ,-3 ,0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分), 由R (A ) = 2知,⎩⎨⎧=-=-03039λλ,3=∴λ (2分), 一个最高阶非零子式5221 .2.解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系:,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系:,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 (初等变换步骤不一,请酌情给分)所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解:)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234=xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a , (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R , 此时方程组有唯一解; (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ,此时方程组无解;(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ,此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1.证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=,022 可逆, 又321,,ααα线性无关,所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR , 即 2132αα +,324αα +,135αα+ 也线性无关.2. 证明: (1) η为单位向量,1=∴ηηT ,A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知,A A =2, 即 O E A A =-)(,3)()(≤-+∴E A R A R ,η为单位向量,O E A T ≠-=-∴ηη , 1)(≥-E A R ,从而32)(<≤A R , 所以0=A , 故A 不可逆.另一证法: 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ,的非零解,为线性方程组0=∴ηηA所以0=A , 故A 不可逆.南京工程学院期末试卷(第一套)共6 页第1页课程所属部门:基础部课程名称:线性代数A 考试方式:闭卷(A卷)使用班级:工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷(第二套)共6 页第1页课程所属部门:基础部课程名称:线性代数A 考试方式:闭卷(A卷)使用班级:工科本科南京工程学院期末试卷(第三套)共6 页第1页课程所属部门:数理部课程名称:线性代数A 考试方式:闭卷(A卷)使用班级:工科本科线性代数 期末试卷(A 卷)一、(本大题共8小题,每题3分,共24分)1. 设B A ,均为n 阶方阵,则下面各式正确的是----------------------------------( C ) (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------( C ) (A) 若02=A ,则0=A (B) 若A A =2,则0=A 或E A = (C) 若E A =,则E A n = (D) 若E A =2,则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号,则--------------------------------------------------( D ) (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321,则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------( B ) (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零,则该方程组------------------------------( D ) (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6.已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的,则t =-----( B )(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵,则下列说法中正确的是--------------------------------------( B ) (A) 若A 可对角化,则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵,则A 可对角化 (C) 若A 可对角化,则A 必可逆 (D) 若A 可逆,则A 可对角化二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分)1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 设矩阵A为3阶方阵,且|A|=2,则矩阵A的逆矩阵的行列式为:A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案:B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6),则向量α和向量β的点积为:A. 32B. 22C. 14D. 0答案:A3. 设A为3×3矩阵,且A的秩为2,则A的行向量线性相关,下列说法正确的是:A. 正确B. 错误答案:A4. 若A为n阶方阵,且A^2=0,则A的秩为:A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案:C5. 设A为3阶方阵,且A的特征值为1,2,3,则矩阵A的迹为:A. 6B. 1C. 2D. 3答案:A二、填空题(每题5分,共30分)1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\],则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。
答案:\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3),向量β=(4,6),则向量α和向量β共线,其比例系数为2。
答案:23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\],则矩阵A的行列式为2。
答案:24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\],则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。
答案:\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\],则矩阵C的特征值为1和2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( )3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ,则A A =-1。
( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα,,, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆④ 若B A +可逆,则 A ,B 均可逆5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( )① 解向量② 基础解系③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分,共63分)1. 计算行列式x ab c d a x b c d a b x c d abcx d++++。
解·3)(000000001)(1111)(x d c b a x xx x dc bd c b a x d x cb dc x bd c b x dc bd c b a x d x cbd c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x cbad c x b ad c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++2. 设B A AB 2+=,且A ,410011103⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 求B 。
解.A B E A =-)2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。
4. 问a 取何值时,下列向量组线性相关?123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭。
5. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解。
① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c6. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。
7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求A 的特征值及对应的特征向量。
五、证明题 (7分)若A 是n 阶方阵,且,I AA =T,1-=A 证明 0=+I A 。
其中I 为单位矩阵。
×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题 1. 5 2. 1≠λ3. n n s s ⨯⨯,4. 相关5. E A 3- 二、判断正误 1. × 2. √3. √4. √5. ×三、单项选择题 1. ③ 2. ③3. ③4. ②5. ①四、计算题 1.3)(000000001)(1111)(x d c b a x xx x dc bd c b a x d x cbd c x b d c bx dc bd c b a x d x cbd c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x cbad c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++ 2.A B E A =-)2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3.()[]()[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---12101210012000112100121001200011234012300120001)(10002100321043211'1''B C E X B C B C B C ,,4.)22()12(812121212121212321-+=------=a a aa aa a a ,,当21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ,,线性相关。
5.① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321a a a a ,,,则 ()34321=a a a a r ,,,,其中321a a a ,,构成极大无关组,321422a a a a ++-= 7.0)1(1210013=-=----=-λλλλλA E特征值1321===λλλ,对于λ1=1,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-020*******A E λ,特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001l k 五、证明题()()'+-='+-='+='+=+A I A I A I A A A A I A∴()02=+A I , ∵()0=+A I一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB ,则必有( )(A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ; (C )0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,则必有( ) (A) A E =; (B)B E =; (C ) A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是( ) (A) A 的列向量线性无关; (B) A 的列向量线性相关; (C ) A 的行向量线性无关; (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是( ) (A) A 的秩小于n ; (B) 0A ≠;(C) A 的特征值都等于零; (D) A 的特征值都不等于零; 二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵,且220A A E --=,则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解,则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是 。
三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)9、计算行列式1111111111111111xx D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333nn n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。
写出证明过程) 11、若向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关。
证明: (1) 1α能有23,αα线性表出; (2) 4α不能由123,,ααα线性表出。
12、设A 是n 阶矩方阵,E 是n 阶单位矩阵,E A +可逆,且1()()()f A E A E A -=-+。
证明(1) (())()2E f A E A E ++=; (2) (())f f A A =。
五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。