为什么说根号2(√2)不是有理数
证明根号2是无理数的八种方法
12
m
12
n
1
m
q1,, qn 都是素数， r1,, rm 与 s1,sn 都是正整数，因此
p 2r1 p 2r2 p 2rm =2 q q 2s1 2s2 q 2sn ，素数 2 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，
1
2
m
12
n
矛盾，因此 2 是无理数.
证法 6：假设 2 = a ，其中右边是最简分数，即在所有等于 a 的分数中，a 是最小的正
换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.
证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = a . b
其中(a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数.则 a 2 2b2 .由于完全平方数b2 的尾数只能是 0、1、4、5、6、9 中的一个，因此2b2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为a 2 2b2 ，所以 a 2 与 2b2 的尾数都是 0，因此b2 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a,b)=1 矛
2 1 1 ，将分母中的 1 2
2 用1 1 代替，有 1 2
2 1 2
1 1
，不断重复这
1 2
个过程，得
2 =1
2
1
1
2
1 2
，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都
是 1 分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.
证法 8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明a 2 2b2 没有正整数解。若不然，
存在素因子 p，p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b，因此 p 整除 a，因此 p 是 a、b 的公因数，与(a,b)=1 矛盾.
为什么说√2不是有理数
2
不是有理数
• 公元前6世纪古希腊的毕达哥拉 斯有一种观点，即“万物皆数”， 一切量都可以用真实或整数的比 （分数）表示，后来，当这一学 派的希帕索斯发现边长为1的正 方形的对角线的长度不能用整数 或整数的比表示，即 2 不是 有理数时，毕达哥拉斯学派感到 惶恐不安。由此还引发了一次数 学危机……
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 可能是整数，于是把它写 成小数形式，而有限小数 的平方不可能是整数。如 果n/m不是有限小数的话， 可以把它转换成另外的进 制使得n/m是有限小数，因 而上面的结论仍然成立。
毕达哥拉斯，古 希腊数学家、哲 学家。
• 把BD减去BC，剩下一段DE。以DE 为边做一个新的小正方形DEFG， 那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为 等腰直角且△BEF≌△BCF）。接 下来我们应该在BC和DE间辗转相 除。BC就等于CD，CD减去一个DE 相当于减去一个FC，就只剩下一 段DF了。现在轮到DE和DF之间辗 转相除，而它们是一个新的正方 形的边和对角线，其比例正好与 最初的BC和BD相当。于是，这个 操作再次回到原问题，并且无限 递归下去。
同样是证明不存在整数p, q， 使得p^2=2q^2，这个证明只需 一句话。假如p、q是最小的正整 数使得p^2=2q^2，看图，两个边 长为q的小正方形放在一个边长 为p的大正方形里，那么图中深 灰色正方形的面积就等于两个白 色正方形面积之和，于是我们就 找到了具有同样性质的更小的整 数p和q。仔细体会一下这个“面 积守恒”，如果A+B=C，那么A和 B重复计算了的必然是C里还没有 算过的。
• 无理数，即非有理数之实 数，不能写作两整数之比。 若将它写成小数形式，小 数点之后的数字有无限多 个，并且不会循环。
第5讲为什么说根号2不是有理数
第5讲学习目标1.了解无理数产生的背景；2.3..重点与难点. 一、无理数产生的背景公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示.后来，当这一学派中的希帕索斯（Hippasus ）发现边长为1哥拉斯学派感到惊恐不安.由此引发了第一次数学危机.据传希帕索斯被抛入大海而葬身鱼腹..法国数学家笛卡尔（R.Descartes ）于1637. 二、P41探究：能否用两个面积为1dm 2的小正方形拼成一个面积为2dm 2的大正方形？三、P41∵221=1,2=4，∴12<;∵221.4=1.96,1.5=2.25，∴1.4 1.5<;∵221.41=1.9881,1.42=2.0164，∴1.41 1.42;∵221.414=1.999396,1.415=2.002225，∴1.414 1.415<;…….⋅⋅⋅，它是一个无限不循环小数..四、P54以单位长度为边长画一个正方形（如图所示），以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正与负半轴的五、P58下面给出欧几里得《原本》中的证明方法.p q，，使得pq,于是p=，两边平方，得222p q=.由22q是偶数，可得2p是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.因此可设2p s=，代入上式，得2242s q=，即222q s=.所以q也是偶数.这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾...事实上，无理数只是一种命名，并非“无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.如何理解“理”的含义？《几何原本》是我国最早译自拉丁文的数学著作，明朝科学家徐光启在翻译时没有现成的、可以对照的词，许多译名都是从无到有创造出来的.徐光启将“ratio（比）”译成了“理”，即“理”就是比的意思.所以，“有理数”应理解为“可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“有道理的数”；同样，“无理数”应理解为“不可以写成两个整数之比的数”，不应该理解为“没有道理的数”.因此，有人建议，把“有理数”和“无理数”改称为“比数”和“非比数”.六、一试身手习题见PPT课件内容七、课堂小结说一说你本节课的感受与体会.。
人教版七年级下册数学：阅读与思考 为什么√2不是有理数 (13)
讲授新课 二 证明根号2不是有理数
活动4：阅读思考教材P58页
关于“ 2 不是有理数”的
证明步骤，并与同伴交流。
欧几里德，古希腊数 学家，所著《几何原 本》闻名于世。
当堂练习
1.下列说法正确的是（ B ） A.a一定是正实数 B. 是有理数 C. 2 2 是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数
2 1
讲授新课 一 对根号2的认识
其实根号2是一个无 限不循环小数，不可 以表示出分数的形式， 它不是有理数！
讲授新课
二 证明根号2不是有理数
王戎七岁时，与小伙伴游 玩，看见路边的李子树结满了 果子。小伙伴们纷纷去摘取果 子，只有王戎不动。伙伴问他 为什么不去摘？王戎回答说： “树在路边而多子，此必苦 李。”小伙伴摘了一个尝了一 下，果然是苦李。
■这一学派中的希帕索斯发现 边长为1的正方形的对角线长不 能用整数或整数比表示。
引入新课
第一次数学危机
■毕达哥拉 斯学派却选 择了逃避和 沉默，继续 拥护他们的 统治地位引 发了第一次 数学危机；
■危机爆发30年后，数学家攸多克萨斯解决了关于 无理数的问题，标志着第一次数学危机的结束。
引入新课
第一次数学危机
当堂练习
2.判断——看谁最快最准！ （1）实数不是有理数就是无理数. （ ）
（2）无理数都是无限小数.
（）
（3）无限小数都是无理数.
（）
当堂练习
3.证明：3 2 不是有理数。
课堂小结 谈谈本节课你有何收获？
名言警句
成大事不在于力量的大小，而在于能坚 持多久。
——约翰逊
布置作业
查阅资料：了解“根号2不是有理 数”多种明方法。第六章 实 数
6.3实数阅读与思考为什么√2不是有理数(教案)
3.增强数学建模能力，引导学生运用所学实数知识解决生活中的问题，如构造正方形对角线长度等实际案例。
4.培养学生的数学运算能力，使其掌握实数的运算规则，提高解决实际问题的效率。
5.激发数学探究兴趣，鼓励学生在学习过程中主动提问、探索，培养其创新意识和探究精神，为深入学习数学打下坚实基础。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了实数的概念，尤其是为什么√2不是有理数这个问题。我发现，虽然这个概念对学生来说有一定难度，但他们对于这种数学推理过程还是挺感兴趣的。我尝试用生活中的实例来引导他们，希望他们能更好地理解无理数的存在。
在讲授新课的过程中，我发现理论介绍部分，学生们对实数的定义和无理数的性质掌握得还算不错。但在案例分析部分，有些学生对反证法的逻辑推理过程感到困惑，这让我意识到需要在今后的教学中加强对这类证明方法的讲解和练习。
1.加强对反证法等证明方法的讲解，让学生明白逻辑推理的过程。
2.创造更多机会让学生参与讨论，提高他们的表达能力和自信心。
3.通过丰富的实例和练习题，帮助学生熟练掌握实数的运算规则。
成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“实数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
引导与启发：在讨论过程中，我将提出一些开放性的问题，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。
举例解释：
-通过正方形对角线长度的问题，引导学生理解实数的必要性，强调√2作为一个无理数的存在。
-在反证法证明过程中，详细解释假设√2是有理数时，如何推导出矛盾，让学生掌握这一证明方法。
为什么说√2不是有理数
• 无理数，即非有理数之实数， 无理数，即非有理数之实数， 不能写作两整数之比。 不能写作两整数之比。若将 它写成小数形式， 它写成小数形式，小数点之 后的数字有无限多个， 后的数字有无限多个，并且 不会循环。 不会循环。
假设根号2为有理数,那么存在两个互质 的正整数p, q, 使得: √2=p/q 于是： p= （√2）q 两边平方得： p^2=2q^2 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有 偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。 因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即，q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数， 不互质，这与假设p, q互质矛盾。 这个矛盾说明，√2不能写成分数的形 式，即√2不是有理数。
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 (n/m)^2=2,所以n/m 可能是整数， 可能是整数，于是把它写 成小数形式， 成小数形式，而有限小数 的平方不可能是整数。 的平方不可能是整数。如 n/m不是有限小数的话 不是有限小数的话， 果n/m不是有限小数的话， 可以把它转换成另外的进 制使得n/m是有限小数， n/m是有限小数 制使得n/m是有限小数，因 而上面的结论仍然成立。 而上面的结论仍然成立。
同样是证明不存在整数p, q， 同样是证明不存在整数p, q， 使得p^2=2q^2 p^2=2q^2， 使得p^2=2q^2，这个证明只需 一句话。假如p 一句话。假如p、q是最小的正整 数使得p^2=2q^2 看图， p^2=2q^2， 数使得p^2=2q^2，看图，两个边 长为q 长为q的小正方形放在一个边长 的大正方形里， 为p的大正方形里，那么图中深 灰色正方形的面积就等于两个白 色正方形面积之和， 色正方形面积之和，于是我们就 找到了具有同样性质的更小的整 仔细体会一下这个“ 数p和q。仔细体会一下这个“面 积守恒” 如果A+B=C 那么A A+B=C， 积守恒”，如果A+B=C，那么A和 重复计算了的必然是C B重复计算了的必然是C里还没有 算过的。 算过的。
6.3为什么说根号2不是有理数(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握有理数的定义和性质，能够正确判断一个数是否为有理数。
（2）理解无理数的概念，尤其是根号2为什么不是有理数。
（3）学会运用反证法进行数学证明。
举例解释：
-在讲解有理数的定义时，可以通过具体的例子（如分数、整数）让学生理解有理数的含义，强调有理数可以表示为两个整数的比。
2.介绍根号2的概念，引导学生思考根号2是否为有理数。
3.引导学生尝试用反证法证明根号2不是有理数，从而理解无理数的存在。
4.通过实际例题，让学生巩固对有理数和无理数的认识，提高解题能力。
本节课旨在帮助学生理解无理数的概念，掌握反证法的运用，为后续学习奠定基础。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过反证法的运用，让学生掌握证明根号2不是有理数的方法，提高学生的逻辑思维水平。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数来自实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数的定义和无理数的证明这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例子和反证法的步骤来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如其他常见的无理数有哪些，它们在生活中的应用等。
人教版七年级数学下册《为什么说根号2不是有理数》教学设计 (1)
二、讲授新课
1、5分钟时间带着2个问题自学58页阅读与思考。
（1）√2不是有理数这句话是命题吗？
（2）探究证明√2不是有理数需要应用哪些知识点？
2、学生发言“√2不是有理数”是否命题？
一般都能说出是真命题。题设是？结论是？
3、学生发言“探究证明√2不是有理数还需应用哪些知识点？”
题设：有一个数是√2，
结论：这个数不是有理数。
√2：不是有理数，是无理数
方法：反证法，奇偶分析法
4、教师给予所需知识点的补充说明证明真命题的方法：反证法。
反证法：通过断定与命题相反的结论的虚假来确定原命题的真实性的论证方法。
与命题相反的结论是什么？题设成立，方法。
（1）先把结论否定，假设√2是有理数，用之前复习的有理数可写成分数形式
（2）利用分子=分数值*分母
《为什么说根号2不是有理数》
教学
目标
知识与技能
掌握利用奇偶分析法证明根号2不是有理数。
过程与方法
熟练使用奇偶分析法来证明被开方数是2的数不是有理数的证明方法。
情感、态度与价值观
培养学生的探究能力和归纳问题的能力。
课型
新授课
课时
第一课时
教学重点
掌握利用奇偶分析法证明根号2不是有理数。
教学难点
熟练使用奇偶分析法来证明被开方数是2的数不是有理数的证明方法。
教学方法
通过创设情境引发学生思考，引导学生积极动手动脑进行探索。教学环节的设计与展开都以生活中的常见问题为出发点，让学生在自主探索的过程中，形成自己的观点。
教学准备
PPT课件
教学过程设计
教学过程
教学过程
教学内容
根号2无理数证明
根号2无理数证明
为了证明根号2是一个无理数，我们可以使用反证法。
第一步，我们假设根号2是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的比，即存在整数p和q（q ≠ 0）使得根号2 = p/q。
第二步，基于上述假设，我们可以得到2 = p^2/q^2，进一步得到p^2 = 2q^2。
第三步，根据整数的性质，我们知道p^2是偶数，那么p也必须是偶数。
因此，我们可以设p = 2r，其中r是整数。
第四步，将p = 2r代入p^2 = 2q^2，我们得到4r^2 = 2q^2，进一步得到q^2 = 2r^2。
第五步，同样根据整数的性质，我们知道q^2是偶数，那么q也必须是偶数。
第六步，根据第三步和第五步的结论，我们发现p和q都是偶数，这与我们的假设（p和q互质，即它们的最大公约数为1）相矛盾。
因此，我们的假设是错误的，根号2不能表示为两个整数的比，即根号2是一个无理数。
1。
七年级数学下册《为什么√2不是有理数》优秀教学案例
1. 首先介绍无理数的定义，让学生理解无理数与有理数的区别。
2. 以√2为例，解释为什么它被认为是无理数。通过几何图形（正方形）和代数方法（反证法），向学生展示√2无法表示为两个整数的比。
3. 详细讲解反证法的过程，引导学生理解并掌握这一数学证明方法。
4. 介绍古希腊数学家希伯斯的发现过程，让学生了解无理数的由来和历史背景。
4. 反证法教学培养逻辑推理能力
本案例详细讲解了反证法的证明过程，让学生在实际操作中掌握这一数学证明方法。通过反证法的训练，学生能够提高自己的逻辑推理能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
5. 融入数学历史文化，提升数学素养
本案例在教学中融入了数学历史，让学生了解无理数的发现过程，认识古希腊数学家的贡献。这种教学方式有助于提升学生的数学素养，培养他们对数学的敬畏之心，激发探索数学奥秘的热情。
在我国初中数学教育中，有理数的概念较早被引入，学生对其有一定的了解和操作基础。然而，无理数的出现对学生而言是一次认知上的挑战。为此，本案例将通过实际操作、历史故事和逻辑推理等多种教学手段，让学生在轻松愉快的氛围中感受到数学的严谨性和美妙，进而激发他们对数学的热爱和探索欲望。通过本章节的学习，学生将真正理解为什么√2不属于有理数的范畴，并在今后的数学学习中更好地运用这一概念。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地投入到“为什么√2不是有理数”的学习中，我将创设一个生动有趣的情景。通过讲述古希腊数学家希伯斯发现无理数的故事，激发学生的好奇心和探索欲望。在故事中，学生将了解到希伯斯是如何通过几何方法发现√2无法表示为两个整数之比的，从而引出无理数的概念。这样的情景创设不仅让学生感受到数学的趣味性，还能使他们认识到数学知识背后的历史背景。
根号2不是有理数的证明
根号2不是有理数的证明根号2是一个著名的数学问题，即它是否是有理数。
本文将通过证明来说明，根号2不是有理数。
1. 引言数学中的有理数指的是可以写成两个整数的比值的数，例如1/2、2/3等。
而根号2是一个无限不循环小数，因此不能被表示为有理数。
2. 证明方法一：反证法假设根号2是有理数，即可以写成两个整数的比值，设其为p/q （其中p和q互质）。
我们假设p和q都是偶数，可以进行如下推导：根号2 = p/q2 = (p*q)^2/q^2 （两边平方）2q^2 = p^2 （移项）由此可知，p^2必为偶数，因为p为偶数。
因此可以继续推导： p^2 = (2k)^2 = 4k^2 （设p=2k，其中k为整数）2q^2 = 4k^2q^2 = 2k^2这说明q^2也是偶数，而这与p和q互质的假设相矛盾。
因此假设不成立，根号2不是有理数。
3. 证明方法二：无理数定义证明根号2可以通过无理数的定义来证明。
无理数定义为不能表示为两个整数的比值的数。
假设根号2是有理数，同样设为p/q（其中p和q互质，q不为0）。
我们可以进行如下推导：根号2 = p/q2 = p^2/q^2 （平方）2q^2 = p^2这意味着p^2是2的倍数，因此p也必为2的倍数。
设p=2k，其中k为整数，继续推导：2q^2 = (2k)^2 = 4k^2q^2 = 2k^2同样，这说明q^2也是2的倍数，因此q也必为2的倍数。
这与p 和q互质的假设相矛盾。
因此，根号2不是有理数。
4. 结论综上所述，根号2不是有理数。
无论是通过反证法还是无理数定义证明，都可以说明根号2无法被表示为两个整数的比值，因此不是有理数。
5. 实际应用尽管根号2不是有理数，但在数学和物理等领域中，我们经常需要使用它。
比如，在勾股定理中，直角三角形的斜边与两条直角边的关系就涉及到根号2。
根号2的存在也拓宽了数学的世界，使其变得更加丰富多彩。
在本文中，我们通过反证法和无理数定义证明了根号2不是有理数。
证明根号2是无理数的方法
证明根号2是无理数的方法嘿，你知道不，要证明根号 2 是无理数，这可有意思啦！咱先来说说啥是无理数哈。
无理数呢，就是那些不能表示成两个整数之比的数。
那根号 2 是不是这样的数呢？咱得好好研究研究。
你想啊，要是根号 2 是有理数，那它肯定能写成一个分数的形式，对吧？咱就假设它能写成 m/n 的形式，这里 m 和 n 都是整数，而且它们还没有公约数呢。
那好呀，把这个式子两边一平方，就得到 2 = m²/n²，也就是 m² = 2n²。
这意味着啥？意味着 m²是个偶数呀！那 m 肯定也是个偶数咯。
那 m 就可以写成 2k 的形式，k 也是个整数呀。
把 m = 2k 代进去，就得到 4k² = 2n²，那 n² = 2k²，哇塞，那 n 不也成了偶数啦！那这就奇怪了呀，m 和 n 不都说好了没有公约数嘛，咋都成偶数啦？这不是矛盾了嘛！你说这像不像在玩一个解谜游戏呀？一点点找线索，然后发现不对劲的地方。
这不就说明咱一开始的假设是错的嘛，根号 2 根本就不能写成那样的分数形式，那不就是无理数咯！还有一种方法也挺有趣的。
咱想象一下，如果根号 2 是有理数，那在数轴上肯定能找到一个准确的点来表示它。
可要是咱不停地去细分数轴，把那些整数之间的距离分得越来越小，你觉得能正好找到那个表示根号 2 的点吗？很难吧！你再想想，有理数多有规律呀，能写成那样清楚的分数形式。
可根号 2 呢，它就是那么独特，怎么都没办法被规规矩矩地表示出来。
哎呀，这证明根号 2 是无理数的过程是不是很奇妙呀？让我们看到了数学里那些隐藏的小秘密。
你说数学是不是就像一个大宝藏，等着我们去挖掘那些神奇的东西呢？这就是数学的魅力呀，看似简单的一个数，背后却有这么多故事呢！所以呀，毫无疑问，根号 2 就是无理数，这可是经过咱仔细推敲证明出来的呢！怎么样，是不是对数学又多了一份好奇和敬畏呀？。
根号2为无理数的证明
然數子集必有一最小元素, 這等價於數學歸 納法) 可知, S 有一最小元素, 令其為 u。 √ 由 S 的定義知 u 與 u(1 + 2) 皆為 √ 自然數。 考慮 u( 2 − 1)。 顯然 √ u( 2 − 1) < u 並且 √ √ u( 2 − 1) = u(1 + 2) − 2u ∈ N √ √ u( 2 − 1)(1 + 2) = u ∈ N √ 再由 S 的定義知, u( 2 − 1) ∈ S 。 這跟 u √ 的最小性矛盾, 故 2 為無理數。 第十三種證法: 由 (10) 式得到 (m − n)2 = 2n2 , m>n (11)
五、 完全平方數
√ √ 第十種證法: 設 2 為有理數, 故 2 √ 可以寫成 2 = a , 其中 a 與 b 為互質的自 b
七、 畢氏三元數公式
我們知道, 方程式 x2 + y 2 = z 2
16 數學傳播 23 卷 1 期 民 88 年 3 月
的所有正整數解為
x z
√ 2 為無理數的證明
13
所以 a2 為偶數, 從而 a 亦為偶數。 令 a = 2m 其中 m 為某一自然數, 於是 2b2 = a2 = (2m)2 = 4m2 或者 b = 2m
2 2
其中 p1 , . . . , pn 與 q1 , . . . , qm 皆為質數且 α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm 皆為自然數。 再由 a2 = 2b2 得到
至此, 我們由兩個自然數 a 與 b 出發, 求得另外兩個較小的自然數 p 與 q , 滿足 a > b > p > q。 在形式上, (4) 式和 (2) 式完全相同, 故 可採用上述方法, 重複做下去, 就得到自然數 所成的遞減的無窮數列 a > b > p > q > ··· 但這是不可能的, 因為不存在這種數列。 第五種證法: 對於第一種證法, 筆者遇 見過有人不滿意一開始就假設 a 與 b 互質, 那麼我們就改為如下的論證。 √ 假設 2 = a 為有理數, 我們得知 a b 與 b 皆為偶數。 令 a = 2a1 , b = 2b1 , 則 √ 1 。 同理可證 a1 與 b1 也都是偶數, 2 = a b1 令 a1 = 2a2 , b1 = 2b2 。 如此這般, 反覆做 下去, 我們就得到遞減的自然數列 a > a1 > a2 > · · · 與 b > b1 > b2 > · · ·
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5,
3 0.3737737773
有理数集合
无理数集合
整数 实 有理数
数
分数
有限小数或无 限循环小数
无理数 无限不循环小数
正实数
实
数
0
负实数
正有理数 正无理数
负有理数 负无理数
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ）
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ × ） 5.无理数一定都带根号。（× ）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数。（ × ）
8.有理数与无理数之和一定是无理数 ( )
把下列各数填入相应的集合内：
9 35
64
0.6
3 4
3 9
3
0.13
有理数集合： 9
64
0.6330.13 Nhomakorabea4
无理数集合： 3 5
3 9
整数集合： 9 64 3
分数集合： 0.6
3 4
0.13
实数集合：
9 35
64
0.6
3 4
3 9
3
0.13
每个有理数都可以用数轴上的点表示， 那么无理数 是否也可以用数轴上的 点来表示呢？
你能在数轴上找到表示 和 2及 2
这样的无理数的点吗？
直径为1的圆
7
3
有理数能不能将数轴排满？
2、（结果保留3个有效数字）
(1)、5
(2)、( 3 2 2) 2
(3)、2 9 2
52
解:(3)原式= 2 (9 2 5 4)
= 2 (5 2 5)
= 10 4 5
=18.94≈18.9
注意：计算过程中要多保留一位!
4是、一 个2p数的.绝对值是
p 2
，则这个数
二、填空
6、在实数
22 ,
1,
,
3 2,
0. 3,
7
3
9,
3
中， 8,
0
整数有
9, 3 8, 0
有理数有 无理数有
22 1
, ,
7
3
, 3 2
0. 3,
9, 3 8 , 0
实数有
22 ,
1,
,
3
2,
0. 3,
9, 3 8, 0
（1）a是一个实数，它的相反数为 a ，
绝对值为 a ；
1
（2）如果a 0，那么它的倒数为 a .
填空 １、正实数的绝对值是 它本身 ，０的绝对
值是 0 ，负实数的绝对值是 它的相反数.
２、 3 的相反数是 3 ，绝对值
是 3．
３、绝对值等于 5 的数是 5， 7 的平 方是 7 ．
不循环的无限小数
注意:带根号 的数不一定是 无理数
把下列各数分别填入相应的集合内：
3 2, 7 , 7, 2 1, 5 , 0,
3
2
20 , 3
4 ,
5,
3 8, 0.3737737773
9
7 3
,
5, 2
3 8,
4 , 0,
9
3 2, 7 , 2 1,
20 ,
使用计算器计算，把下列有理数写成 小数的形式，你有什么发现？
3, 3 , 47 , 9 , 11 , 5 5 8 11 90 9
3 3.0, 3 0.6, 47 5.875,
5
8
9
0.81,
11
0.12,
5
0. 5
11
90
9
事实上，任何一个有理数都可以写成有 限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数 也都是有理数.
2 和 3 化成小数,是怎样的小数?
无限不循环的小数叫做无理数.
有理数和无理数统称实数.
无理数也有正负之分，例如:
正无理数： 2
3
负无理数： — 2 — 3
你能举出一些无理数吗？
无理数的特征:
１．圆周率 及一些含有 的数
２．开不尽方的数 ３．有一定的规律，但
-2 -1 0 1 2 3π 4
问题:边长为1的正方形,对角线长为多少?
2
2
-2 -1 0 1 2 3 4
也就是说:每一个无理数都可以用数轴上 的一个点来表示.数轴上的点有些表示有 理数,有些表示无理数.
实数与数轴上的点是一一 对应的.
在实数范围内，相反数、倒数、绝 对值的意义和有理数范围内的相反数、 倒数、绝对值的意义完全一样。