高中数学-函数的单调性课件

f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y x 1 在区间上 1, 是增函数. x
结论
定号
返回
证明函数单调性的四步骤：
（1）设量: （在所给区间上任意设两
个实数 x1, x2且x1 x2.）
（2）比较: （作差 f (x1) f (x2)，然后变形，常
f(x1) 1·
x1 O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
f(x1) O x1
1·
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y （1）y = x
y=x
1·
x1
O 1· x
此函数在区间 大，在区间
f(x1)
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
1·
x1 O
y=x
1· x
f(x1)
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调 增 区间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
y=x
f(x1)
1·
O 1· x1 x
此函数在区间（-∞, +∞ ）内y随x的增大而增
大，在区间
y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
O 1· x
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
0,1 上是
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离.
——华罗庚
课后小记：
本节课重点是对函数的单调进行探究，主要应用从 直观到抽象的教学方法，从图形语言到符号语言， 理解增函数，减函数，单调区间的概念，在学习过 程中让学生通过自主探究活动，来体验数学概念的 形成过程，培养了学生的数学思维能力。
12 x
-1
-2
变式1：讨论 y ax2 (a 0) 的单调性
变式2：讨论 y ax2 bx c(a 0) 的单调性
成果交流
y ax2 bx c(a 0)的对称轴为 x b
2a
y ax2 bx c
单调增区间
单调减区间
a>0 a<0
b 2a
,
,
b 2a
,
b 2a
y随x的增大而减小
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
从左至右，图象下降
数量 y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2) 当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
证明：在区间 1, 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2 取值
则
f
( x1 )
f
(x2 )
( x1
1) x1
(x2
1 x2
)
作差
( x1
x2
)
(
1 x1
1 x2
)
( x1
x2
)
(
x2 x1
x1 x2
)
变 形
(
x1
x2
)(
x1 x2 x1 x2
1)
Q x1, x2 1, ，且 x1 x2 x1 x2 0, x1x2 1 0
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
图象 特征
数量 特征
x2 x
0
x1
x2 x
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
图象 特征
从左至右，图象上升
y
y = x2
f(x1)
1·
O 1·x1 x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
f(x1) y = x2
1·
O 1· x1 x
此函数在区间 [0, +∞ ) 内y随x的增大而增 大，在区间 （-∞, 0 ] 内y随x的增大而减小。
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则
• 教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这 两个概念的大致意思 。
•
（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函
数的图象指出单调性、写出单调区间 。
•
（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单
调性定义证明简单函数的单调性 。
教学重点：函数的单调性的概念；
O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
f(x1)
y
y = x2
1·
x1 O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
f(x1)
1· x1 O 1·
b 2a
,
返回
例3.判断函数 y x 在 定1 义域
上0的, 单调性.
x（教材P43/7(4))
并给出证明
描点作图
主要步骤
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
y = x2
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
f(x1) 1·
x1 O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
x1 f(x1) O
y=x
1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
y y=x
1 ·f(x1)
O x1 1·
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
1·
y=x
O 1· x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
1·
y=x
O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
是单调减函数?
2试讨论 f (x) k (k 0)在 , 0 和 0, 上的单调性？
x
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2. y x2 +2的单调增区间是_(____,_0_];
y
y=-x2+2
2
1
y x2 +2的单调减区间是_[_0_,____).
-2 -1
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是单调增函数；
y
y x2
o
x
通过“因式分解”、“通分”、“配方 ”等手段将差式变形）
（3）定号: （判断的 f (x1) f符(x2号) ）
（4）结论: （作出单调性的结论）
试用定义法证明函数 f (x) 1 1 x
在区间 0, 上是单调增函数。
(A) y 2x 1
(C) y 2 x
(B) y 3x2 1
(D) y 2x2 x 1
x 1 x 0 x 1 x 0
________
小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点？ 2.判断函数单调性有哪些常用方法？ 3.你学会了哪些数学思想方法？
作业
1、教材 p37 /5，6，7
2、证明函数 f（x）=-x2在 0, 上是 减函数。
3、证明函数
f（x）=
x
1
在
单调递增的。(选做) x
• 教学难点：利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性 。 授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中 的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、 比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调 性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思 想将贯穿于我们整个高中数学教学 。在本节课中的教学中以函数的单调性的概念
由此得出单调增函数和单调减函数的定义.
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
永切隔数形数焉数
远莫离形少无能与
,
,
——
联忘分结数形分形
华 罗 庚
系 莫 分 离
几 何 代 数
家 万 事 休
合 百 般 好
时 难 入 微
时 少 直 觉
作 两 边 飞
本 是 相 倚
统
依
一
体
引例1：图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温θ是 关于时间 t 的函数，记为θ＝ f (t) ，观察这个气温变化图，
数量 特征
x2 x
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 特征
y随x的增大而增大
x2 x
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
x2 x
从左至右，图象下降
y随x的增百度文库而减小
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 y随x的增大而增大 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
从左至右，图象下降
为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的 单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易 掌握 ，按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、 二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数 学生的现有认知结构中
能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教 学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念 的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强 根据以上分析本节课教学方法 以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数 的图象进行了删除，教学中始终以一次函数，二次函数等函数为例子进行讨论研究。
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 特征
y随x的增大而增大
0
x1
x2 x
从左至右，图象下降
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 特征
y随x的增大而增大
0
x1
函数 f (x)在R上是增函数；
y
f(2)
f(1)
O 1 2x
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y 1 (x 0);
y
y1
x
x
？
x
y
1 x
的单调减区间是_(___,_0_)_U_, _(0_,___ )
讨论1：根据函数单调性的定义
能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) U(0, )上 x