高考数学专题练习：函数的概念及其表示方法

高考数学专题练习：函数的概念及其表示方法

【考纲解读】

内 容

要 求

备注

A B C

函数概念与基本初等函数Ⅰ

函数的概念

√ 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域

和值域．

2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要

选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．

3．了解简单的分段函数，并能简单应用．

【直击考点】

题组一 常识题

1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号) ①y ＝±x ；②y 2

＝x －1；③y ＝x －2＋1－x ； ④y ＝x 2

－2(x ∈N )． 【答案】④

2．[教材改编] 已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧ln x －2，x >0，

x ＋a ，x ≤0，若f [f (e)]＝2a ，则实数a ＝________．

【答案】－1

【解析】因为f (e)＝ln e －2＝－1，所以f [f (e)]＝f (－1)＝－1＋a ＝2a ，解得a ＝－1. 3．[教材改编] 函数f (x )＝

8－x

x ＋3

的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]

【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题

4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．

①f ：x →y ＝12x; ②f ：x →y ＝1

3x ；

③f ：x →y ＝2

3x; ④f ：x →y ＝x .

【答案】③

【解析】 ③中当x ＝4时，y ＝23×4＝8

3

∉Q .

5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2

，x <1，

4－x －1，x ≥1，

则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为

______________．

【答案】x ≤－2或0≤x ≤10

6．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________． 【答案】f (x )＝x 2

－1(x ≥0)

【解析】令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2

，所以f (t )＝t 2

－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2

－1(x ≥0)． 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2

，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】9

【解析】设函数y ＝x 2

的定义域为D ，其值域为{1，4}，易知D 的所有情形的个数，即是同族函数的个数．D 的所有情形为{－1，2}，{－1，－2}，{1，2}，{1，－2}，{－1，1，2}，{－1，1，－2}，{－1，2，－2}，{1，2，－2}，{－1，1，2，－2}，共9个，故答案为9. 题组三 常考题

8． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}

【解析】要使函数有意义，则需x 2

＋x －6>0，解得x <－3或x >2.

9． 函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧1＋log 3（3－x ），x <1，

x 2＋2，x ≥1，则f (－6)＋f (2)＝________.

【答案】9

【解析】 f (－6)＝1＋log 3(3＋6)＝1＋log 39＝1＋2＝3，f (2)＝22

＋2＝6，

所以f(－6)＋f(2)＝3＋6＝9.

【知识清单】

1．函数映射的概念

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．

4．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

【考点深度剖析】

本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像、

分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像，仍是高考考查的重要内容．

【重点难点突破】

考点1 函数与映射的概念 【1-1】 有以下判断：

(1)f (x )＝|x |

x 与g (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

1，x ≥0－1，x <0

表示同一个函数．

(2)f (x )＝x 2

－2x ＋1与g (t )＝t 2

－2t ＋1是同一函数．

(3)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.

其中正确判断的序号是________． 【答案】(2)．

【1-2】 给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；

③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线；④f (x )＝x 2

x

与g (x )＝x 是同一个函数．其中正确的有

________． 【答案】①

【解析】由函数的定义知①正确．②中满足f (x )＝x －3＋2－x 的x 不存在，所以②不正确．③中y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．

【1-3】 (1)(·南通调研)函数f (x )＝ln

x

x －1

＋的定义域为________．

(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017]，则函数g (x )＝

f x ＋1

x －1

的定义域是____________．

【答案】(1)(1，＋∞) (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}