立体几何中线面平行地经典方法经典的题目(附详细解答).doc

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高中立体几何证明平行的专题( 基本方法 )

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线

线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

(1)通过“平移”。(2) 利用三角形中位线的性质。 (3) 利用平行四边形的性质。

(4)利用对应线段成比例。 (5) 利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥 P－ ABCD的底面是平行四边形，点 E、F 分别为棱 AB、 PD 的中点．求

证： AF∥平面 PCE；

分析：取 PC的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF是平行四边形P

F

E A D

B C

（第 1 题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中， AB∥ CD，AB⊥ BC，AB＝ 1，BC＝ 2，

CD＝ 1＋ 3 ，

过 A 作 AE⊥ CD，垂足为E， G、 F 分别为 AD、CE 的中点，现将△A DE沿 AE 折叠，使得DE

⊥EC.

（Ⅰ）求证：BC⊥面 CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点 H，连 GH,HC则易证 FGHC是平行四边形

D

D E F C

G

F

C

G E

A B A B

3、已知直三棱柱ABC－ A B C 中， D, E, F 分别为 AA, CC , AB 的中点，

1 1 1 1 1

M为 BE的中点 , AC ⊥ BE. 求证：

（Ⅰ） C1D⊥BC；（Ⅱ） C1D∥平面 B1FM.

C1

分析：连 EA，易证 C1EAD是平行四边形，于是MF//EA B1

E A 1

M D

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4、如图所示 , 四棱锥

P

底面是直角梯形, ABCD

BA AD ,CD AD , CD=2AB,E为PC的中

点, 证

明: EB //平面PAD ;

分析 : ：取 PD的中点 F，连 EF,AF 则易证 ABEF是平行四边形

(2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点，求证：AM ∥平面 EFG 。 A

分析：连 MD交 GF于 H，易证 EH是△ AMD的中位

线 E

B G D

M F

C

6、如图， ABCD是正方形， O是正方形的中心， E 是 PC的

中点。求证： PA ∥平面 BDE

7．如图，三棱柱ABC— A1B1C1中， D 为 AC的中点 .

求证： AB1// 面 BDC1；

分析：连B1C 交 BC1于点 E，易证 ED是

△ B1AC的中位线

8、如图，平面ABEF 平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD都是直角梯形，

BADFAB 900 , BC // 1

AD ，BE//

1

AF ， G, H 分别为 FA, FD 的中点2 2

（Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形；（Ⅱ） C , D , F , E 四点是否共面？为什么？

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（ .3 ） 利用平行四边形的性质

9．正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中 O 为正方形 ABCD 的中心， M 为 BB 1 的中点，

求证： D 1O// 平面 A 1BC 1;

分析：连 D 1B 1 交 A 1C 1 于 O 1 点，易证四边形 OBB 1O 1 是平行四边形

D

10、在四棱锥 P-ABCD 中， AB ∥ CD ， AB=1

DC ， E 为 PD 中点 .

A

2

求证： AE ∥平面 PBC ；

E

分析：取 PC 的中点 F ，连 EF 则易证 ABFE B

C

是平行四边形

P

11、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，∠

ACB=90 ，ＥＡ⊥平面Ａ

ＢＣＤ， EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ

. ＡＢ =２ＥＦ .

（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ ;

（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ =２ＡＥ , 求二面角Ａ - ＢＦ - Ｃ的大 小．

（ I ）证法一：

因为 EF//AB ， FG//BC ， EG//AC ， ACB

90 ，

所以

EGF 90 , ABC

∽ EFG .

由于 AB=2EF ，因此， BC=2FC ，

连接 AF ，由于 FG//BC ， FG

1

BC

2

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在

ABCD

中， M 是线段 AD 的中点，则

AM//BC ，且 AM 1 BC

2

因此 FG//AM 且 FG=AM ，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM//FA 。

又 FA

平面 ABFE ，

GM

平面 ABFE ，所以 GM//平面 AB 。

(4) 利用对应线段成比例

12、如图： S 是平行四边形 ABCD 平面外一点， M 、 N 分别是SA 、 BD 上的点，且

AM =

BN

，

SM ND

求证： MN ∥平面 SDC

分析：过 M 作 ME//AD ，过 N 作 NF//AD

利用相似比易证 MNFE 是平行四边形

13、如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB ， M ，N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN 求证： MN ∥ 平面 BEC

C

分析：过 M 作 MG//AB ，过 N 作 NH/AB

B

利用相似比易证 MNHG 是平行四边形

E

D

M

N

(5) 利用面面平行

A

F

14、如图，三棱锥 P

ABC 中， PB

底面 ABC ，

BCA 90 ， ， E 为 PC

PB=BC=CA 的中点， M 为 AB 的中点，点 F 在 PA 上，且 AF 2FP .

（ 1）求证： BE 平面 PAC ； （ 2）求证： CM / / 平面 BEF ；

分析 : 取 AF 的中点 N ，连 CN 、 MN ，易证平面

CMN//EFB