8圆内接正多边形(20200719183232)
北师版初中数学九年级下册精品教学课件 第三章圆 8圆内接正多边形
所求,且圆心O为中心.中心角度数为90°.
(2) 2
1
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5.正n边形的中心角与它的一个内角的关系是( C ).
A.两角相等
Hale Waihona Puke B.两角互余C.两角互补
D.不能确定
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轻松尝试·应用
1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是( D ).
A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
∴ = = = .
又 BE=BC,∴ = ,
∴点A,E,B,C,D把☉O五等分,
∴五边形AEBCD是正五边形.
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本
课
结
束
圆
8
圆内接正多边形
快乐预习·感知
1.顶点都在同一圆上的正多边形叫做 圆内接正多边形
.这个圆叫做该
正多边形的外接圆.
2.把一个圆n 等分 (n≥3),依次连接各分点,就可以作出一个圆内接正多边
形.
3.五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,圆心O叫做这个正五边形的
中心 ;OA是这个正五边形的 半径 ;∠AOB是这个正五边形的
∴
=
3
.
2
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3.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( B ).
A.6,3 2
B.3 2,3
C.6,3
D.6 2,3 2
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4.(2022山东青岛中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点M在 上,则
∠CME的度数为(
D ).
A.30°
B.36°
中心角 ;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的 边心距 .在其他的正
圆内接正多边形课件
1. 用量角器等分圆：
知2－讲
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可
以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个
360 n
的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”，这
种方法简便，误差小，且可以画任意正多边形．
2. 用尺规等分圆：用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
⑤正n边形的中心角αn＝
360，且与每一个外角相等． n
其中正确命题有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知1－练
2 (202X·南京)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆 的半径为( )
A．1
B. 3
C．2
D．2 3
3 一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是 ()
A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．2∶π
知1－练
4 (2015·青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O， 若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB等于( )
A．30° B．35° C．45° D．60°
知1－练
5 (202X·泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方
各边相等 各角相等
⇒正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①
利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多
边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n等分，依次连
接各等分点，所得多边形即为正多边形．
知1－练
1 给出下列五个命题：
①各多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
知识点 2 圆内接正多边形的画法
九年级数学下册第三章圆8圆内接正多边形教学课件(新版)北师大版
∵TP，PQ，QR 分别是以A，B，C B
为切点的 ⊙O 的切线，
Q
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
C
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
T
E O
S
D R
又∵A⌒B=B⌒C，∴AB=BC， ∴△PAB 与 △QBC 是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理可知，∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA. ∵五边形 PQRST 的各边都与 ⊙O 相切， ∴五边形 PQRST 是 ⊙O 的外切正五边形.
连接 OB，OC ，作 OE⊥BC，垂足为 E，
∠OEB=90°，∠OBE=∠BOE=45°，
则 Rt△OBE 为等腰直角三角形，
所以 BE 2 +OE 2 =OB 2，所以 2OE 2 =OB 2，
即 OE 2 = 1 OB 2.
2
边心距OE 2 OB 2 R,
2
2
边长BC 2BE 2 2 R 2R, 2
怎样找圆的内接正三角形？ 怎样找圆的外切正三角形？ 怎样找圆的内接正方形？ 怎样找圆的外切正方形？ 怎样找圆的内接正 n 边形？ 怎样找圆的外切正 n 边形？
用心想一想
例 1 把圆分成 5 等份，求证： （1）依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内 接正五边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点 为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明：（1）∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A，
A
∴AB=BC=CD=DE=EA.
∵BC⌒E=CD⌒A=3A⌒B，
B
1
2
5
E
∴∠1=∠2.
34
同理可知，∠2=∠3=∠4=∠5.
《圆内接正多边形》圆PPT教学课件
【检查评价】
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
布置作业： 1、教科书习题3.10第1题，第2题，第3题．（必做题） 2、教科书习题3.10第4题，第5题．（选做题）
谢谢观看！
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
学习目标
1.掌握正多边形和圆的关系； 2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；(重点) 3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （难点） 4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
A
B O
A
E
B
F
O
C
D
C
E
D
知识讲解
【归纳】正多边形的性质
1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正 多边形的中心.
追问1：除了上述方法作圆的内接正六边形外，你还有其他方法吗？
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【讲授新知】
追问2：你会用用圆规和直尺来作一个已知圆的内接正方形吗？你是怎么做的？ 与同伴交流．
【| 下册
学生练习1：课本98页随堂练习． 学生练习2：用等分圆周的方法画出下列图案．
__各__边__相__等___，___各__角__也__相__等__的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边
形.
合作探究
怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的外切正三角形？
H
A
D
E
0
B
C
8 圆内接正多边形
3.(2019新宁县模拟)等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是 ( D)
(A)1∶2∶ 3 (C)1∶ 3 ∶2
(B)2∶3∶4 (D)1∶2∶3
4.已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等,求它们的面积的比值.
解:设它们的周长是 1,根据题意,得
所以 BC=OB=OC=2,即边长为 2,周长为 6×2=12.在 Rt△BOH 中,∠BOH=
1 ∠BOC=30°, 2 所以 BH= 1 OB=1,
2
所以边心距 OH= OB2 BH 2 = 3 .
所以
S
=6S =6× 正六边形 ABCDEF
△OBC
1
×2×
3 =6
3.
2
探究点二:正多边形的画法及应用
【例2】 在学习圆与正多边形时,马露、高静两位同学设计了一个画圆内接 正三角形的方法: (1)如图,作直径AD; (2)作半径OD的垂直平分线,交☉O于B,C两点,交OD于点E; (3)连接AB,AC,那么△ABC为所求的正三角形. 请你判断两位同学的作法是否正确,如果正确,请你按照两位同学设计的画法, 画出△ABC,然后给出△ABC是等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明 理由.
等边
三角形.
解:如图,连接 OB,OC,过点 O 作 OH⊥BC 于 H,因为六边形 ABCDEF 是正六边形,
所以内角为 180o (6 2) =120°,外角为 360°÷6=60°,∠BOC= 1 ×360°=
6
6
60°,即中心角是 60°,因为 OB=OC,∠BOC=60°,所以△OBC 是等边三角形,
正三角形的边长是 1 ,正六边形的边长是 1 .
3.8 圆内接正多边形课件(共18张PPT) 北师大版九年级下册数学
°
(3)∠MON＝
.
合作探究
有一个亭子(如图)，它的地基是半径为8 m的正六边形，
求地基的周长和面积.(结果保留根号)
合作探究
解:如图，连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
°
∴∠BOC＝ ＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝8 m，
于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点；
合作探究
(3)依次每隔一点相连接，就得到了这个圆的一个内接正三
角形.
合作探究
已知正方形ABCD的边心距OE＝ cm，求这个正方
形外接圆☉O的面积.
合作探究
解:如图，连接OC、OD，
∵☉O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC、BD的交
点，
∴∠ODE＝∠ADC＝45°.
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×8＝48 m.
合作探究
过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB＝8 m，
∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝8×
＝4
∴S△OBC＝BC·OG＝×8×4
m，
＝16 (m2)，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×16 ＝96 m2.
.
2.如图，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P是上不同
于点C的任意一点，则∠BPC的大小是(B
A.22.5°
B.45°
C.30°
D.50°
)
合作探究
用尺规作一个已知圆的内接正三角形.
解:作法为(1)以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半
北师大版九年级下册数学《圆内接正多边形》圆说课教学复习课件
4. 计算
·
O
（1）半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，
36º或144°
则弦所对的圆周角的度数是_______________.
D
（2）如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角
130º
50º
∠ACB=_____，∠ADB=______.
O
A
C
B
课堂小结
一 、这节课主要学习了两个知识点：
连半径，作边心距
第三章 圆
圆周角和圆心角的关系
第1课时
课件
教学目标
1.了解圆周角的概念.
2.理解圆周角定理的证明.
3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，
通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想.
新课导入
情境引入
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?
角的两边和圆是什么关系？ 相交
C
新课导入
探究：
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.
特征：
A
①角的顶点在圆上.
.O
②角的两边都与圆相交.
B
C
新知探究
【巩固练习】
1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.
图1
×
图2
×
图3
√
图4
×
图5
课堂小测
1 . 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°则∠AOC
的度数等于（ A ）
A.140°ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.130°
8 圆内接正多边形
8 圆内接正多边形1.有一个边长为40 cm的正方形洞口,要用一个圆盖去盖住这个洞口,那么圆盖的直径至少应为( C )(A)40 cm (B)20 cm(C)40 cm (D)40 cm2.已知圆内接正三角形的面积为,则该圆的内接正六边形的边心距是( B )(A)2 (B)1 (C) (D)3.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( A )(A)(B)(C) (D)4.如图,在边长为2的正八边形中,把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD,则四边形ABCD的周长是8+8.5.(2019青岛)如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,AF是☉O的直径,则∠BDF的度数是54 °.6.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为∶1 .7.已知☉O和☉O上的一点A.作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH.解:作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;③依次连接A,B,C,D四点,四边形ABCD 即为☉O的内接正方形;④分别以A,C为圆心,以OA长为半径作弧,交☉O于E,H,F,G;⑤顺次连接A,E,F,C,G,H,A各点.六边形AEFCGH即为☉O的内接正六边形.8.(规律探究题)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为( D )(A) (B)(C) (D)9.(2018玉林)如图,正六边形ABCDEF的边长是6+4,点O 1,O2分别是△ABF,△CDE的内心,则O 1O2= 12+4.10.如图,①②③中,点E,D分别是正三角形ABC、正方形ABCM、正五边形ABCMN中以点C为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于点P.(1)求图①中,∠APD的度数;(2)图②中,∠APD的度数为,图③中,∠APD的度数为;(3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形中?若能,写出推广问题与结论;若不能,请说明理由.解:(1)正三角形ABC中,AB=BC,∠ABC=∠C=60°,又BE=CD,所以△ABE≌△BCD,所以∠BAE=∠CBD,因为∠ABD+∠DBC=60°,所以∠ABD+∠BAE=60°,所以∠APD=60°.(2)在正方形ABCM中,AB=BC,∠ABE=∠BCD=90°,又BE=CD,所以△ABE≌△BCD,所以∠BAE=∠CBD,因为∠ABD+∠DBC=90°,所以∠ABD+∠BAE=90°,所以∠APD=90°;同理可证,在正五边形ABCMN中,△ABE≌△BCD,所以∠BAE=∠CBD, 因为∠ABD+∠DBC=108°,所以∠ABD+∠BAE=108°,即∠APD=108°.(3)能.推广的问题与结论为:点E,D分别为正n边形中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,BD与AE相交于点P,则∠APD的度数为.11.(分类讨论思想)如图,已知:边长为1的正方形ABCD内接于圆中,P 为边CD的中点,直线AP交圆于点E.(1)求弦DE的长;(2)若Q是线段BC上一动点,当BQ长为何值时,三角形ADP与以Q,C,P 为顶点的三角形相似?解:(1)如图1,过点D作DF⊥AE于点F.在Rt△ADP中,AP==,又因为S△ADP=AD·DP=AP·DF,所以DF=.因为所对圆心角的度数为90°.所以∠DEA=45°,所以DE=DF=.(2)如图2,当Rt△ADP∽Rt△QCP时,有=,得QC=1.即点Q与点B重合,所以BQ=0.如图3,当Rt△ADP∽Rt△PCQ时,有=,得QC=,所以BQ=BC-CQ=.所以当BQ=0或BQ=时,三角形ADP与以点Q,C,P为顶点的三角形相似.。
九年级数学下册 第三章 圆 8 圆内接正多边形教学
Image
12/11/2021
第二十五页，共二十五页。
.
第十三页，共二十五页。
正多边形的中心：
一个正多边形的外接圆的圆心
. (yuánxīn)
正多边形的半径：
F
外接圆的半径.
正多边形的中心角：
正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
E
D
.. 中心角
O 半径
(bànjìng)R
C
边心距r
A
B
2021/12/11
第十四页，共二十五页。
数为 n，圆的半径(bànjìng)为
F
R，则它的周长为 L=na.
.O
R
D
C
a
A
G
B
边心距r R2（ a） 2 ， 2
AOG BOG 180
面积S1L•边心距（r）1na•边心距（r）
n
2
2
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第十六页，共二十五页。
正多边形(zhèngduōbiānxíng)是轴对称图形，正 n 边形有 n 条对 称轴.
2021/12/11
第十页，共二十五页。
类比(lèibǐ)联 想
正三角形有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个 (liǎnɡ ɡè)圆？这两个(liǎnɡ ɡè)圆有什么位置关系？
正方形有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？ 那么，正 n 边形呢？
2021/12/11
8圆内接正多边形
小结： 圆内接正多边形的特点：
（1）由一个圆和一个人正多边形组成； （2）正多边形在圆的内部； （3）正多边形的顶点都在圆上。
二、与圆内接正多边形有关的概念
圆内接 正多边形
中心
E
D
半径 中心角
.半径R
F 中心角O
C
边心距d
边心距
AM B
三、应用
一角的硬币，正面图案上有一个正九边形，如果这个正九 边形的半径R=2cm，你能计算出它的边长吗？（先独立思考， 需要时可以小组讨论）
O
AMB
小结
1.常作的辅助线： 连半径，作垂直（作边心距）
2.正多边形的有关计算的“三个步骤”： （1）分解：把正n边形分成2n个全等的直角三角形 （2）转化：把正n边形的各元素放到一个直角三角形 （3）计算：利用直角三角形的性质解答
北师大版九年级数学下册
第三章 圆 3.8圆内接正多边形
兰州市第五十二中学
王永红
情景导入：
这里有一个一角的硬币，正面图案上有一个正九边形。 像类似这样的正多边形我们称为圆内接正多边形。
-------这节课我们一起研究 圆内接正多边形
一、圆内接正多边形的概念
1.观察下列图形，自主回答圆内接正多边形的概念
四、作圆内接正多边形 1.把一个圆 n（n ≥ 3）等分，依次连接各分点，就 可以作出一个圆内接正多边形.
2.如何作一个圆的内接正九边形 （用量角器度量 ）
3.如何作一个圆的内接正六边形
F
E
O
A
·
D
B
C
方法1： 由于正六边形的中心角为60度，因此它的边
巴彦县第三中学九年级数学下册 第三章 圆 8圆内接正多边形课件新版北师大版
2.如下图 , 点 O 是正六边形的対称中心 , 如果
用一副三角板的角 , 借助点 O〔使直角的顶点落在
点O 处〕 , 把这个正六边形的面积 n 等分 , 那么 n
的所有可能取值的个数是〔B 〕
A.4
B.5
C.6
D.7
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
B
3．下表是一组二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的対应值 :
x1
1.1
1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似根是( )
A．1
B．1.1
C．1.2 D．1.3
C
4．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1＝－2 , x2＝3 , 那么抛物线y＝ax2＋bx＋c的 対称轴是____________________.
等式mx＋n<ax2＋bx＋c的解集是____________．
－1<x<4
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中 , 函数y与自变量x的部分対应值如表 :
x … －1 0 1 2 3 … 那么当y＜5时 , x的取值y范围…是_____1_0______5． 2 1 2 …
0＜x＜4
8．已知抛物线y＝x2与直线y＝－2x＋3如下图． (1)求交点A、B的坐标 ; (2)直接写出不等式x2＜－2x＋3的解集 ; (3)不解方程 , 直接写出方程x2＋2x－3＝0的解．
移后的抛物线与 x 轴无交点，则方程 2x2＋4x＋1＋k＝0 没有实数根，即Δ＝42－4×2(1＋k)
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3.8圆内接正多边形练习
【重点、难点、考点】重点：正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念与计算；圆周长弧长、扇形及弓形的面积公式及有关的计算；正多边形与圆的关系及正多边形的性质.
难点：将较复杂的图形分割成扇形、弓形、三角形等基本图形进行计算是难点.
考点：将不能直接用公式计算的图形，转化成能用公式计算的图形，是近几年中考所考查的知识点，这部分知识的考查约占总考量的2%左右.
【经典范例引路】例1已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值.
.3
解设正三角形边长为a，则其周长为C = 3a,面积S= a2,又设正六边形边长为b,
3 3
则周长为C2= 6b.面积S2= 2 b2,由C=C2,
、3 3、3 3、3 2
知,a=2b, AS i ：S 2= 4 a2：2 b2八3 b2: 2 b2= 3 ,故它们的面积的比值为2 : 3。
【解题技巧点拨】
本题必须抓住“周长相等”这一重要信息，找出两种图形的内在联系，然后利用三角形的面积公式计算。
【综合能力训练】
一、填空题
1
1. 一个正n边形的中心角是它的一个内角的5，贝U n =
2.在OO中，弦AB是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则/ BAG
3 （2013?徐州）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形
40 cm2
二、选择题
4. （2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A .
B .
D .
3 3 C . 1: 2 2 :3
: 2
: 2
5.如果正多边形的一个内角是 144°,则这个多边形是（
）
7. 下列命题中的真命题是（ ）
A.
正三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为 2 ：1
B. 正六边形的边长等于其外接圆的半径
C.
圆外切正方形的边长等于其边心距的 2倍
D. 各边相等的圆外切多边形是正方形
8. 1994年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是
R ,
那么它的边长是（
）
A . Rsin20 ° B. Rsin40 ° C. 2Rsin20 ° D. 2Rsin40 °
9. 将一个边长为a 的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，则正八边形的面积为（）
7
V 3
_
A .（ 2 2-2） a 2
B. 9 a 2
C. 2 a 2
D. （3-2 2）a 2
三、解答下列各题：
10.
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<2）求正衣迪能T.，匚的网飙比片」矢的伯.
【创新思维训练】
A .正十边形
B.正九边形
C.正八边形
D.正七边形
6.有一边长为4的正n 边形，它的一个内角为
120°,则其外接圆的半径为（
B. 4
C. 2 3
D.2
Ti 的石个顶点q 的百聲边都和回称g 井别対目心的内若正為
10. 如图，表示广场中心的圆形花坛的平面图，准备在圆形花坛内种植六种不同颜色的花, 为了美观，要使同色花卉集中在一起，并且各花卉的种植面积相等，请你帮助设计一种种植方案作在圆上(保留痕迹，不写作法).
11. 某单位的办公室由四种正多边形的小木板铺成,
z、W。
试求：x + y + z + w 的值.
證■做.定住■吐亘雯負登杲■!.
参考答案
【综合能力训练】
一、 1.12 2.30 ° 或90° 3.40
二、 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.A
三、10。
IS.(本昭4分)
(1)逹接圍七。
和「的百个顶壹可毎召个全等的正三屋形一
所以r /fi=l : 1；
魅国心O和门相邻的两个顶点，得以圆。
半轻为高的正三角形,
所以F ：2;
⑵ 「迅的连抵比是也：S：=(a:b)2 =3:4 .
11.略12.1
设这四种正多边形的边数分别为X、y、。