一次函数、反比例函数和二次函数

一、重要考点：

1.会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象；

2.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质；

3.能根据条件确定函数的解析式；

4.能用函数解决实际问题。

二.重点提示：

1．一次函数

定义如果y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 那么y叫做x的一次函数

当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx(k≠0)，y叫x的正比例函数

图象k>0 k<0 k>0，b=0 k<0，b=0 经过点(0，b)，(-，0)两点的一条直线

经过(0，0)、(1，k)两点的直线

性质y随x增大而增大y随x增大而减小图象在一、三象限y

随x增大而增大

图象在二、四象限y 随x增大而减小

b决定直线与y轴交点的位置2．二次函数

抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)位置由a、b、c决定

（1）a决定抛物线的开口方向：

（2）c决定抛物线与y轴交点的位置

（3）a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴x=-

①a、b同号对称轴在y轴左侧

②b=0对称轴是y轴

③a、b异号对称轴在y轴右侧

（4）顶点(-，)

（5）Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况

①Δ>0抛物线与x轴有两个不同交点

②Δ=0抛物线与x轴有一个公共点（相切）

③Δ<0抛物线与x轴无公共点

（6）二次函数的最大最小值由a决定：

当a>0时，函数在x=-时，有最小值，y最小=。

当a<0时，函数在x=-时，有最大值，y最大=。

3.反比例函数

（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．

（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限．且在每个象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限，且在每个象限，y随x的增大而增大．

注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大。”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立。

(3) 反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y=(k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式。

二、考题精选

1．()如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，

直线FE交AB的延长线于G。过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分

别为M、N。设HM=x，矩形AMHN的面积为y。

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）求x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=，∴CF//AG，BE=3，

∴，∴BG=4，

∵HM⊥AG，CB⊥AG，∴HM//BE，∴，∴MG=x。

∴y=x(4+4-x)=-x2+8x。

(2)∵y=-x2+8x=-(x-3)2+12。

∴当x=3时，y最大，最大面积是12。

解题点拨：

（1）．要写出y关于x的函数关系式，就要在图形中寻找对应关系，把对应关系中的量分别用y、x或已知量来替换，就可以找到y与x的关系式。

（2）．这类题目，注意自变量x的取值围。

2．（东城区）已知：如图一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交

于点C，与x轴交于点D。OB=，tan∠DOB=。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量

m的取值围；

（3）当△OCD的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能

否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。

解：（1）过点B作BH⊥x轴于点H。

在Rt△OHB中，

∵tan∠HOB=，

∴HO=3BH。

由勾股定理，得BH2+HO2=OB2。

又∵OB=，

∴BH2+(3BH)2=()2。

∵BH＞0，

∴BH=1，HO=3。

点B（-3，-1）。

设反比例函数的解析式为y=（k1≠0）。

∵点B在反比例函数的图象上，

∴k1=3。

∴反比例函数的解析式为：y=。

（2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k2≠0）。

由点A在第一象限，得m＞0。

又由点A在函数y=的图象上，可求得点A的纵坐标为。∵点B（-3，-1），点A（m，），

∴解关于k2、b的方程组，得

∴直线AB的解析式为y=。

令y=0，求得点D的横坐标为x=m-3。

过点D的横坐标为x=m-3。过点A作AC⊥x轴于点G。

S=S△BDO+ S△ADO

=DO·BH+DO·GA

=DO（BH+GA）

=|m-3|（1+||）。

由已知，直线经过第一、二、三象限，

∴b＞0，即＞0。

∵m＞0，∴3-m＞0。

由此得：0＜m＜3。

∴S=(3-m)(1+)。

即S=（0＜m＜3）。

（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

证明如下：

S△OCD=DO·OC=|m-3|·||=。

由S△OCD=，得=·。

解得m1=1，m2=3。

经检验，m1=1，m2=3都是这个方程的根。

∵0＜m＜3，

∴m=3不合题意，舍去。

∴点A（1，3）。

设过A（1，3）、B（-1，-3）两点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）。