空间向量运算的坐标表示PPT优秀课件1
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空间向量运算的坐标表示ppt课件
1
1
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为( ，1， ).
2
2
于是AM =
1
(
2
− 1)2 +(1
1
2
− 0) +(
2
− 0)2 =
6
.
2
练习巩固
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M为BC1 的中点，E1 ，F1 分别在
1
4
1
4
棱A1 B1 ，C1 D1 上，B1 E1 = A1 B1 ，D1 F1 = C1 D1 .
(2): (2)·(－)
Ԧ
＝－2(Ԧ · )＝－2 × (－7)＝14；
(＋)·(
Ԧ
－)＝(2，－2,2)
Ԧ
· (2,0，－6)＝2 × 2－2 × 0＋2 × (－6)＝－8.
练习巩固
变式1-1.已知a ＝(−3，2，5)，b ＝(1，5 , −1)，求：
(1)Ԧ +
(2)6Ԧ
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
练习巩固
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
i
O
j
x
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .
1
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为( ，1， ).
2
2
于是AM =
1
(
2
− 1)2 +(1
1
2
− 0) +(
2
− 0)2 =
6
.
2
练习巩固
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M为BC1 的中点，E1 ，F1 分别在
1
4
1
4
棱A1 B1 ，C1 D1 上，B1 E1 = A1 B1 ，D1 F1 = C1 D1 .
(2): (2)·(－)
Ԧ
＝－2(Ԧ · )＝－2 × (－7)＝14；
(＋)·(
Ԧ
－)＝(2，－2,2)
Ԧ
· (2,0，－6)＝2 × 2－2 × 0＋2 × (－6)＝－8.
练习巩固
变式1-1.已知a ＝(−3，2，5)，b ＝(1，5 , −1)，求：
(1)Ԧ +
(2)6Ԧ
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
练习巩固
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
i
O
j
x
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
空间向量运算的坐标表示ppt课件
新知探究
1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
＋
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
＋＝_______________________
减法
－
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
－＝_______________________
数乘
λ
(λa1，λa2，λa3)
λ＝______________，λ∈R
数量积
·
a1b1＋a2b2＋a3b3
·＝________________
下面我们来证明空间向量的
的坐标表示：
设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k ,
b=b1i+b2 j+b3k
∴a ∙ b=（a1i+a2 j+a3k） ∙ （b1i+b2 j+b3k）
∵i∙i=j∙ j=k∙ k=1
i∙j=j∙ k=k∙ i=0
∴a∙b=a1b1+a2b2+a3b3
2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有
①b1，b2，b3≠0时，∥⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔
②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
【练习7 】点P(1,3,5)关于点M(2,﹣1,﹣4)的对称点的坐标是__________.
8.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，
G在棱CD上，且CG＝ CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
空间向量运算的坐标表示 课件
1
1
3
(1) = ( − ) = (6,3, −4) = 3, ,-2 ,
2
则点 P 的坐标为
2
3
3, ,-2
2
2
.
(2)设点 P 的坐标为(x,y,z),
则 = ( − 2, + 1, − 2).
1
3
∵ = ( − ) = 3, ,-2 ,
2
2
-2 = 3,
3, 是的中点, 为底面的中心.
(1)求 CE 的长;
(2)求异面直线 BE 与 SC 所成角的余弦值;
(3)若 OG⊥SC,垂足为 G,求证:OG⊥BE.
分析:由于棱锥是正四棱锥, 因此底面四边形 ABCD 是正方形,
从而 OA,OB,OS 两两垂直,故可建立空间直角坐标系,进行求解和证
(5)a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(b≠0,λ∈R);
(6)a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;
(7)|a|= · =
(8)cos<a,b>=
12 + 22 + 32 ;
·
||||
=
1 1+2 2+3 3
2
2
2
21 +22 +23 1 +2 +3
以
6
,0,0
2
, 0,0,
2
2
, -
6
,0,0
2
, 0,
6
,0
2
,
6
2
,0,
4
4
.
(1) =
3 6
2
,0,
4
1
3
(1) = ( − ) = (6,3, −4) = 3, ,-2 ,
2
则点 P 的坐标为
2
3
3, ,-2
2
2
.
(2)设点 P 的坐标为(x,y,z),
则 = ( − 2, + 1, − 2).
1
3
∵ = ( − ) = 3, ,-2 ,
2
2
-2 = 3,
3, 是的中点, 为底面的中心.
(1)求 CE 的长;
(2)求异面直线 BE 与 SC 所成角的余弦值;
(3)若 OG⊥SC,垂足为 G,求证:OG⊥BE.
分析:由于棱锥是正四棱锥, 因此底面四边形 ABCD 是正方形,
从而 OA,OB,OS 两两垂直,故可建立空间直角坐标系,进行求解和证
(5)a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(b≠0,λ∈R);
(6)a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;
(7)|a|= · =
(8)cos<a,b>=
12 + 22 + 32 ;
·
||||
=
1 1+2 2+3 3
2
2
2
21 +22 +23 1 +2 +3
以
6
,0,0
2
, 0,0,
2
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, -
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,0,0
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, 0,
6
,0
2
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6
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,0,
4
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.
(1) =
3 6
2
,0,
4
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为0，0，12.
由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其 x、z 轴坐标均为 0，
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如， 设向量 a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即―A→B ＝(x2－x1， y2－y1，z2－z1)．
[跟踪训练] 1．(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1，－2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出 E，F，G，H 的坐标； (2)写出向量―E→F ，―G→H 的坐标．
又 GD＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点． 故 HK＝12，CK＝18，∴DK＝78， 故 H 点坐标为0，78，12. (2)―E→F ＝―O→F －―O→E ＝12，12，－12， ―G→H ＝―O→H －―O→G ＝0，18，12.
空间向量运算的坐标表示优质课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
x
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例题解说
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D 1 F 1
C 1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.5空间向量运算的坐标
表达
温故知新
向量的直角坐标系
p 给定一种空间坐标系和向量 ,且设e1，e2，
e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一 的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz 中的坐标，记作p=(x,y,z).
讲授新知 向量的直角坐标运算
设 a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3) 则
a b (a1 b1, a2 b2,a3 b3);
a b (a1 b1, a2 b2, a3 b3);
a (a1,a2,a3)( R); x1 y1 z1
a b a1b1 a2b2 a3b3;
P98 第7、8、9、10题
X
例题解说
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例题解说
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D 1 F 1
C 1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.5空间向量运算的坐标
表达
温故知新
向量的直角坐标系
p 给定一种空间坐标系和向量 ,且设e1，e2，
e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一 的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz 中的坐标，记作p=(x,y,z).
讲授新知 向量的直角坐标运算
设 a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3) 则
a b (a1 b1, a2 b2,a3 b3);
a b (a1 b1, a2 b2, a3 b3);
a (a1,a2,a3)( R); x1 y1 z1
a b a1b1 a2b2 a3b3;
P98 第7、8、9、10题
X
例题解说
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
深度探究
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
空间向量运算的坐标表示 课件
(2)S△BMN= ·|BM|·|BN|·sin∠MBN.
2
∵cos∠MBN=cos<, >
·
||||
=
=
3
2
∴sin∠MBN= 1故
1
S△BMN=2 ×
即△BMN
5
3× 2
=
15
5
15
,
5
2
=
10
,
5
5
10
3× 2 × 5
6
的面积夹角、距离公式的坐标表示
若向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)|a|= · =
12 + 22 + 32 ;
·
(2)cos<a,b>=
||||
=
1 1 +2 2 +3 3
21 +22 +23 21 +22 +23
即-4+2y-18=0,解得 y=11.
(3)由已知得 2a-b=(-4,8,-6-x),a+3b=(5,-10,3x-3),而
(2a-b)∥(a+3b),
-4
所以
5
=
8
-10
=
-6-
,解得
3-3
x=6.
空间向量夹角与模的计算
【例3】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC
中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(1)求 + , -2, · ;
(2)若点 M 满足 =
1
2
3
+ ,求点
4
2
∵cos∠MBN=cos<, >
·
||||
=
=
3
2
∴sin∠MBN= 1故
1
S△BMN=2 ×
即△BMN
5
3× 2
=
15
5
15
,
5
2
=
10
,
5
5
10
3× 2 × 5
6
的面积夹角、距离公式的坐标表示
若向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)|a|= · =
12 + 22 + 32 ;
·
(2)cos<a,b>=
||||
=
1 1 +2 2 +3 3
21 +22 +23 21 +22 +23
即-4+2y-18=0,解得 y=11.
(3)由已知得 2a-b=(-4,8,-6-x),a+3b=(5,-10,3x-3),而
(2a-b)∥(a+3b),
-4
所以
5
=
8
-10
=
-6-
,解得
3-3
x=6.
空间向量夹角与模的计算
【例3】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC
中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(1)求 + , -2, · ;
(2)若点 M 满足 =
1
2
3
+ ,求点
4
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化简整理，得 4 x 6 y 8 z 70
即到 A 、 B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8 z 70
9
例2
BE B C DA 1 B C D 如图，在正方体 A 1 1 1 中， 1 1
A 1B 1 D1F 1 4
1 1 D F 0 , ， 1( 0 , 0 , 0 ) 0 , ， 1 . 1 4 4
1 5 1 1 B E D F 0 0 1 1 , 1 1 1 6 4 4
z
D
1
F1 E1 B
C
1
A
1
1
D
O
北师大版数学选修2-1章《空 间向量与立体几何》 空间向量运算的坐标表示
1
一、向量的直角坐标运算
设 a ( a , a , a ), b ( b , b , b ) 则 1 2 3 1 2 3
a b ; ( ab , a b , a b )
1 1 2 2 3 3
a b ; ( ab , a b , a b ) 1 1 2 2 3 3
2 2 2 d ( 1 3 ) ( 0 3 ) ( 5 1 ) 2 9 . A , B
8
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解：点 P(x , y , z) 到 A 、 B 的距离相等，则
2 2 2 2 2 2 ( x 3 )( y 3 )(1 z ) (1 x )( y 0 )(5 z ) ,
o s a , b 1 a 与 b b , 0 （3）当c 时，a b 。
1 c o s a , b 0 c o s a , b 1 思考：当 0 及 时，的夹角在什么范围内？
6
练习一： 1.求下列两个向量的夹角的余弦：
B
A
x
1 7 1 7 |B E | ,|D F | . 1 1 4 4 1 5 B ED 1 5 1 6 1 F 1 c o s B E F . 1,D 1 7 |B E |D F 1 7 1 7 1 1| 1| 11 4 4
2.两个向量夹角公式
a b a b a b ab 11 2 2 3 3 c o sab , ; 2 2 2 2 2 2 | a|| b| a a a b b 1 2 3 b 1 2 3
注意：
o s ab , 1 （1）当 c 时， a 与 b 同向；
7
三、应用举例
A 例1 已知 A(3, 3,1)、 B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 A B 的中点坐标和长度； 解：设 M(x , y , z) 是 A B 的中点，则
M
B
3 ∴点 M 的坐标是 2 , , 3 . 2
1 1 3 O O M ( O A O B ) ( 3 , 3 , 1 )1 , 0 , 5 2 , , 3 , 2 2 2
4
（2）空间两点间的距离公式
终点坐标减 起点坐标
在 空 ( x xy ,2 yz ,2 z ) 2 1 1 1 A B 间 直 2 2 2 角 ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2 1 2 1 |A B | A B A B 2 1 坐 标 2 2 2 d ( x x ) ( y y ) ( z z ) 系 A , B 2 1 2 1 2 1 中 5 ，
A
x
3 1 B E 1 , , 1 ( 1 , 1 , 0 ) 0 , , 1 , 1 4 4
10
例2
BE B C DA 1 B C D 如图，在正方体 A 1 1 1 中， 1 1
A 1B 1 4
D1F 1
，求 B E 1 与 D F 1 所成的角的余弦值。
，求 B E 1 与 D F 1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
C
1
z
D
1
F1 E1 B
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A
1
1
3 B ( 1 ,1 ,0 ), E 1 , ,1 1 , 4
C
D
O
B
y
1 D ( 0 ,0 ,0 ), F 0 , ， 1 1 . 4
( 1 ) a ( 2 , 3 ,3 ), b ( 1 , 0 , 0 ) ;
( 2 ) a ( 1 , 1 , 1 ) ,b ( 1 , 0 , 1 ) ;
2.求下列两点间的距离：
( 1 ) A ( 1 , 1 , 0 ), B ( 1 , 1 , 1 ) ;
( 2 )( C 3 , 1 , 5 ) ,D ( 0 ,2 , 3 ) .
a ; ( a ,a , a ) , ( R )
1 2 3
a b a b a b a b 11 2 2 3 3
ab / / ; a b , a b , a b ( R ) 1 12 23 3 ab /1 ab /2 ab /2 . 1 2 2
;
a b a b a b 0 ab ; 1 1 22 33
2
已知＝(3,-2,4)，＝(-2,5,-3)，则
a b __________
a b __________
3 a5 b__________ ______
a b __________
( 2 a b )( a 2 b )____
3
二、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
2 2 2 2 || a a a a a a 1 2 3
|| b b b b b b
2 2 2 2 1 2 3
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。