解排列组合问题的利器之一：“隔板法”
隔板法在排列组合中的应用
＋ 一９ ， 所以问题转化为“ 把９ 个 相 同的球 分配 给三个
班， 允 许有些班 没有 分 到球 ， 共 有几 种分 配 方案 ” ， 用 添
加球数隔板法求解 ， 则共有 ｑ＋ － １一 ＝５ ５ 种分配方案． 类型三 （ 减少球数隔板法 ） ： １ ０ 个相 同的排 球分给 三
案有 多 少 种 ？ 解析： 因为该题 满足 类型 一 的三个 条 件 ， 所 以 可 用
解析： 题 干 中要 求 每个 盒 子 中 的小 球 数 至少 为 ２ 个， 这满 足类 型三 的减少球 数 隔板法 ， 我们可 以直接 利 用公式解决 ， 故共有 ｑ 一 一Ｃ ； 一３ ５ 种放法．
【 例 ４ 】 ２ ０个不 加 区别 的小球 放 入编 号 为 １ 号、 ２ 号、 ３号的三个盒子里 ， 要求每个盒 内的球数不小 于盒子
的编号数 ， 问有 多 少 种 放 法 ？
隔板法 ， 故共有 （ 一 种分法． 类型二（ 添加球数隔板法 ） ： １ ０ 个相 同的排 球分给 三 个班级 ， 允许 有些班级没有分到排球 的分法． 解析： 因为允许 有班 级没 有分 到 排球 ， 没 有满 足 隔 板法具 备 的条 件 （ ２ ） ． 为 了满 足 “ 每人 至 少 分 到一 个 排 球” 的条件 ， 可先从每班收 回一 个排球 ， 这样原来 打算不
个班级 ， 每 个 班 级 至 少 得 两 个 排 球 的分 法 ．
物 品的分 配或名 额分 配 的问题 ， 若 采用 隔板法 ， 则可 起 到简化解题 的功效． 下 面笔者 通过三 种类型 题来介绍 一
下隔板法 的应用． ． 类型 一： １ Ｏ个相 同的排球 分给 三个班 级 ， 每个班 级 解析： 将 １ ０个相 同 的排球 排成 一列 ， 则 １ Ｏ个 排球 之 间出现 ９ 个 空 当， 用 ２块 隔板 插 入空 当， 将 其分 成 ３
利用隔板法巧解排列组合问题四个方面
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =L ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈L ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
隔板法在排列组合中的应用技巧
隔板法在排列组合中的应用技巧在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。
例1：求方程x+y+z=10的正整数解的个数。
［分析］将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。
则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为（个）。
实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。
下面举例说明。
技巧一：添加球数用隔板法。
例2：求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。
［分析］注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。
这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，故解的个数为21266C （个）。
［点评］本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。
技巧二：减少球数用隔板法：例3：将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有（种）。
解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有（种）。
［点评］两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。
技巧三：先后插入用隔板法。
例4：为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？［分析］记两个小品节目分别为A、B。
先排A节目。
关于隔板法的原理及应用
关于隔板法的原理和应用一：原理隔板法是一种排列组合中的一种解题应用模型，是将“实际分配问题”或较复杂的数学“球盒问题”转化为“球板模型”的一种重要方式。
其中用球代表相同元素，用板所隔出的几个部分代表相应的分配集合，也就是“球”。
通过隔板的不同插入方式，得到不同的分配结果。
这里需注意的是，既然是插隔板，那么每个空只能插一个，即两个隔板间至少一个元素。
（而板的插入方式则可由简单的计数原理插空法计算得出）二：应用（为方便叙述，以下以球盒模型进行分析）●应用条件必须是相同元素分配到不同集合的相关问题，即’同球异盒’问题。
具体说，主要有两种。
一种是“每盒至少一个球”，另一种是“允许有盒子是空的”，前者较为常见相对简单，是隔板法最原始的原理体现。
下面分别介绍。
●模型应用➢每盒至少有一个元素➢允许有盒子空此时实际已经超出原始隔板法的研究范围，但仍可通过转化，化为隔板法能解决的问题。
●解题应用1.求正整数范围内的不定方程解得组数。
例：在正整数范围内方程X＋Y＋Z＝5有几组解。
解析：由于在正整数范围，则可联系到计数原理，转化为：将5个球分给X,Y,Z这三个“盒”。
即转化为了上述的例一的球盒模型问题。
✧拓展：若是a＋b＋c＋3d＋3e＋4f＝23该怎么解（提示：合并同系项，分类讨论后结合隔板法解）2.求有关盒序号问题。
例：将18个相同的球全部装入编号分别为1,2，3的三个盒子中，要求每个盒子的球数不少于其编号数，则有几种不同装法？解析：由于球是相同的，可将1,2,3中先分别放入0,1,2个球，转化为，每个盒至少一个球的隔板法模型来解，即有14空插2板，91种。
（也可先放1,2,3个球，用“允许盒空”模型解）。
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
排列组合的基本方法——隔板法
一、知识要点预备：二、知识要点：排列组合的基本方法——隔板法排列组合中分配问题，是排列组合中的难点问题，其中涉及到名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法，下面我们就来一起研究一下这种方法。
例1 10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？解析：本小题涉及到了名额分配的问题，宜采用隔板法。
用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有59C 种方法。
按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标……依此类推，共有59126C =种分法。
例2 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？解析：先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配个三个班级，每班至少一个。
由例1可知，共有2615C =种不同的分配方法。
例3 研究不定方程123410x x x x +++=的正整数解有多少个？ 解析：该问题可以这样处理：将方程左边的1234x x x x 、、、看成是4个班级得到的名额数，右边的10看成是10个名额。
这样就相当于10个优秀名额分配到4个班级，每个班级至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法。
这样，本题就转化为里例1的形式，所以本题的答案即为3984C =。
例4 研究不定方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少个？ 解析：本题与上一题的不同点就在于本题求的是非负整数解的个数，即1234x x x x 、、、有可能等于0，所以本题就不能再直接的看成是例1的名额分配的问题了。
但我们可以通过转化将其转化为名额分配的问题。
方程123410x x x x +++=即为123411((1)14x x x x ++++++=（）（）+1)，通过这样的转化形式，11x +、21x +、3x +1、41x +就都是正整数了。
所以本题的最后答案是313286C =。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
微专题隔板法解排列组合问题
微专题“隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将〃个相同元素分成加组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.（1）当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有才种，即给〃个元素中间的（〃-1 ）个空隙中插入（〃?—1）个隔板.（2）任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有种，即将〃个相同元素与（/〃-1）个相同隔板进行排序，在（〃+〃?-1）个位置中选（/〃-1）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了 3组.图1―1所示的是其中一种装法.o 0|0oooo|oO O图1—1将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有C；=36 （种）.例2.求方程巧+ 工2 +…+与=7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7,用5个标有修、£、…、%的5个不同的盒子表示未知数演、招、…、与，要得到方程玉+支,+…+Z=7的正整数解的个数.可分以下两步完成：第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法：第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有C：种放法，由分步计数原理知，共有C：种不同放法.我们把标有七（尸1,2,…，5）的每个盒子得到的小球数勺（i=l, 2,…，5; k«N记作：七二%.这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程/+与+…+/=7的每一组解（储，的，…，勺）.C ： = C ；弋=15 （个）2x1所以，方程M + /+…+%=7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程玉+占+…+/=7的非负（或正） 整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有〃个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的 分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给 4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有G ： =165（种）.题型三：每盒分别有〃 i ，〃2,…,巧”个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3, 4, 5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不 少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2, 3, 4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分 到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放 法共有Gj =45（种）题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在 11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 、种排法.所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法. 点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒 子数少L例6.求应+匕+…+幺）’°展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表辕指数10,用5个标有片、%的5个不同的盒子表示数为、占、乙，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有为（1=12 (5)每个盒子得到的小球数尤（；1, 2,…，5; k"）,记作‘的左次方.这样，将10个 相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知, 这样的放法共有种，故但+Z+…的展开式中共有项。
2016云南公务员考试行测排列组合速解技巧之隔板法
2016云南公务员考试行测排列组合速解技巧之隔板法
在云南公务员考试行测数量关系题目中，经常能看到排列组合问题的身影，大部分的考生可能会对排列组合题目望而却步，其实解出排列组合问题并不难，掌握一定的技巧，很多题目可以快速选出答案。
这里给大家介绍一种同素分堆问题的巧解方法-隔板法。
中公教育专家先带着大家来了解一下什么是同素分堆。
例题1. 一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都完全相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?
在这个题目中，6颗糖葫芦的大小和形状是完全相同的，这就是所谓的“同素”，分给三个小朋友，这三个小朋友是不同的，这就是“分堆”，合起来就是“同素分堆”。
“隔板法”详解
“隔板法”详解理解隔板法隔板法就是在n个元素间的（n-1）个空插⼊k-1个板⼦，把n个元素分成k组的⽅法。
应⽤隔板法必须满⾜的3个条件：n个元素是相同的k个组是互异的每组⾄少分得⼀个元素公式将n个相同的求放到m个不同的盒⼦⾥的个数为：C m−1n−1=C29例如，把10个相同的球放⼊3个不同的箱⼦，每个箱⼦⾄少⼀个，问有⼏种情况？ C m−1n−1隔板法应⽤普通隔板法例1.求⽅程x+y+z=10的正整数解的个数。
分析：将10个求排成⼀排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插⼊这些空隙中（每空⾄多插⼀块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z的值，则隔板法与解的个数之间建⽴了⼀⼀对应关系，故解的个数为C(n-1, m-1) = C(9, 2) = 36.添元素隔板法例2. 求⽅程 x+y+z=10的⾮负整数解的个数。
分析：注意到x、y、z可以为零，故例1解法中的限定“每空⾄多插⼀块隔板”就不成⽴了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各添加⼀个球，这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，则问题就等价于把13个相同⼩球放⼊3个不同箱⼦，每个箱⼦⾄少⼀个，有⼏种情况？易得解的个数为C（n+m-1,m-1）=C（12，2）=66（个）。
例3.把10个相同的⼩球放到3个不同的箱⼦，第⼀个箱⼦⾄少1个，第⼆个箱⼦⾄少3个，第3个箱⼦可以为空，有⼏种情况？我们可以在第⼆个箱⼦先放⼊10个⼩球中的2个，⼩球剩8个放3个箱⼦，然后在第三个箱⼦放⼊8个⼩球之外的1个⼩球（即补充了⼀个球），则问题转化为把9个相同⼩球放3不同箱⼦，每箱⾄少1个，⼏种⽅法？C(8,2）=28（减元素隔板法）例4. 将20个相同的⼩球放⼊编号分别为1，2，3，4的四个盒⼦中，要求每个盒⼦中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
分析：先在编号1，2，3，4的四个盒⼦内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，再把剩下的球分成4组，每组⾄少1个，由例1知⽅法有C（13，3）=286（种）。
解排列组合问题的利器之一：“隔板法”
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例３ ２ ０个相同的小球放入 编号为 １ 、 、 号 ２号 ３号的三 个盒子里 ， 要求每个 盒 内的球数 不小 于盒 子 的编 号数 ， 问有
多少种放法 ？ 解 析 ： 放 入 １号 、 设 ２号 、 ３号 的 三 个 盒 子 里 的球 的 个 数
两端 ）７个空 隙中选 出 ３个分别 插入 ３个“＋” ８个 １ ， ， 被分
成 ４组 ， 每种插入方 法对 应着 方程 的一 个解 ， 方程正 整数 此
解的个数为 Ｃ ＝ ５ ； ３．
例 ２ 把 ８个 相 同 的 篮 球 任 意 分 给 甲 、 、 、 四 所 学 乙 丙 丁 校 ， 多少 种 不 同 的 分 法 ？ 有
分另 为 ｌ ２ ， Ｕ ， ，３
分法．
校， 每所学 校至少一个 ， 多少种不 同的分法 ？ 有 解析 ： 可把 ８个相同 的篮球排 成一列 ， ０ ０ ０ ０ ８ 即 ０ ０ ０ ０， 个篮球 中间有 ７个空隙 （ 不包括两端 ） 用 ３个隔板分别插 在 ，
７个 空 隙 中 ， ８个 篮 球 分 成 ４组 ， 如 ０ １０ １ １ ０依 次 把 例 ００ ０００ 分 配 给 甲 乙 丙 丁 四所 学 校 的 篮 球 数 为 ２ ３ １２ 所 以 每 一 种 、、、，
排列组合公式 隔板法
排列组合公式隔板法在我们学习数学的旅程中，排列组合可是个相当有趣又有点“烧脑”的部分。
其中，隔板法更是一个神奇的解题小妙招。
还记得我之前教过的一个班级，有次在课堂上讲到隔板法的时候，发生了一件特别有意思的事儿。
当时我在黑板上写下了一道题：“要把10 个相同的苹果分给 3 个小朋友，每个小朋友至少分 1 个，有多少种分法？”我刚写完题目，就看到下面有个小男生皱起了眉头，嘴里还嘟囔着：“哎呀，这可怎么分呀？”我笑着对大家说：“别着急，咱们用隔板法来试试。
”于是，我拿出了 10 个小方块代表苹果，在它们之间的 9 个空隙中插入 2 块板子，就把这 10 个苹果分成了 3 份。
我一边演示，一边给大家解释：“这两块板子插的位置不同，分法就不同，所以咱们只需要算出在 9 个空隙中选 2 个位置插板子的组合数就行了。
”这时候，刚才那个皱眉头的小男生眼睛突然亮了起来，大声说：“老师，我懂啦！这就是 C(9, 2) = 36 种分法！”其他同学也纷纷点头，脸上露出了恍然大悟的表情。
咱们言归正传，说说隔板法的原理。
隔板法主要用来解决相同元素的分配问题。
比如说，把 m 个相同的元素分给 n 个不同的对象，每个对象至少分得 1 个元素，那咱们就在 m 个元素排成一排形成的 m - 1 个空隙中，插入 n - 1 块隔板，把它们分成 n 份。
再来看个例子，假如有 8 本相同的书要分给 4 个学生，每人至少一本。
那这时候，我们就在 8 本书形成的 7 个空隙中插入 3 块隔板，分法就是 C(7, 3) = 35 种。
但有时候，题目可能会稍微变个花样。
比如说，把 10 个相同的苹果分给3 个小朋友，允许有的小朋友一个都不分到。
这时候怎么办呢？咱们可以先给每个小朋友“借”一个苹果，这样就有 13 个苹果了，然后再按照每个小朋友至少分 1 个的方法来做，也就是在 12 个空隙中插入2 块隔板，分法就是 C(12, 2) = 66 种。
排列组合中隔板法原理解释
排列组合中隔板法原理解释
嘿，咱今天就来讲讲排列组合里超厉害的隔板法原理！你想啊，这
就好比分糖果！比如说有 10 颗糖果要分给 3 个小朋友，那怎么分呢？
这时候隔板法就派上用场啦！
咱假设这 10 颗糖果排成一排，那中间不就有 9 个空位嘛。
现在咱
要把这些糖果分成3 份，不就相当于在这9 个空位里插进2 块隔板嘛！这一插，不就自然而然地把糖果分成 3 堆啦，每堆就是每个小朋友得
到的糖果数呀！这多简单易懂呀！
再举个例子，有 8 个不同的球要放到 3 个盒子里，每个盒子不能为空，这不也能用隔板法嘛！8 个球排好，7 个空位，插进 2 块隔板，嘿，就搞定啦！你说神奇不神奇？
咱仔细想想，隔板法不就是巧妙地利用了这些“空位”嘛！就像我们
走路找路一样，这些空位就是我们的“路径”呀！通过合理地放置隔板，就能找到最合适的分配方法。
哎呀，这隔板法原理是不是很有意思呀！它真的超级实用，能帮我
们轻松解决很多排列组合的问题呢！我觉得吧，学会了隔板法，就像
是掌握了一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门！咱可得好好把它
学会，用起来呀！
我的观点就是：隔板法原理是排列组合中非常实用且有趣的方法，
能让我们更轻松地应对一些复杂的分配问题，一定要好好掌握它！。
排列组合问题中的定序问题和隔板法
排列组合问题中的定序问题和隔板法
定序问题和隔板法是排列组合中常见的两个概念。
1. 定序问题：在排列组合中，如果考虑元素的顺序，则称为定序问题。
对于n个元素进行排列，其中元素的顺序不同，结果也是不同的。
例如，从4个元素中选择2个元素进行排列，可以得到12种不同的结果，因为存在不同的顺序。
2. 隔板法：隔板法是一种用于解决组合问题的方法。
在隔板法中，我们可以将问题转化为将n个元素分成k个组的问题。
假设有n个元素和k个隔板，我们可以将n个元素插入k个隔板之间的空隙中，从而将n个元素分成k个组。
例如，如果有10个球和3个隔板，我们可以将10个球分成3组，每组的球数不同。
使用隔板法，我们可以计算出不同分组的可能数。
在排列组合问题中，我们经常需要综合考虑定序问题和隔板法来解决实际问题。
定序问题考虑元素的顺序，而隔板法则考虑将元素分组的方式。
通过综合运用这两个概念，我们可以解决更复杂的组合问题。
隔板法——精选推荐
解排列组合问题的利器之一:“隔板法”排列、组合是历年高考必考内容之一,它联系实际,生动有趣,题型多样,思路灵活。
教材中出现的解决这类问题常见的方法有插空法、捆绑法、排除法等，本文在这里介绍教材里没有出现的一种方法——隔板法。
隔板法可解决相同元素的分配问题，在相同元素之间之间插入隔板来达到分配的目的，它强调的是分配之后每组元素的个数,而与每一组包含哪几个元素无关。
例【1】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，每所学校至少一个，有多少种不同的分法？解析：可把8个相同的篮球排成一列，即OOOOOOOO，8个篮球中间有7个空隙（不包括两端），用3个隔板分别插在7个空隙中，把8个篮球分成4组，例如OOIOOOIOIOO依次分配给甲乙丙丁四所学校的篮球数为2、3、1、2，所以每一种分隔法都对应了一种分法,于是分法种数为C37=35。
上述问题还可以转化为方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数，方程的一组解（x1，x2，x3，x4）对应一种分配方案，有8个1排成一列，1 1 1 1 1 1 1 1，中间有7个空隙（不包括两端），7个空隙中选出3个分别插入3个“+”，8个1被分成4组，每种插入方法对应着方程的一个解，此方程正整数解的个数为C37=35。
例【2】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，有多少种不同的分法？解析：设分给甲乙丙丁四所学校的篮球数分别为x1，x2，x3，x4，方程x1+x2+x3+x4=8 （x1∈N，x2∈N, x3∈N，x4∈N），①解的个数即为分配方案的种数，（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+（x4+1）=8+1+1+1+1=12设x1+1= y1, x2+1= y2, x3+1= y3, x4+1= y4y1+ y2+ y3+ y4=12 （y1∈N+, y2∈N+, y3∈N+, y4∈N+,）②方程②与方程①解的个数相同，由例【1】中的方法知，方程②的解有C311=165个，方程x1+x2+x3+x4=8 （x1∈N，x2∈N, x3∈N，x4∈N）①解的个数为C311=165，所以有165种分法。
国家公务员：排列组合之隔板法
国家公务员：排列组合之隔板法排列组合的数量题目当中，有一些技巧我们常常会用到，今天我们就一起来看一下排列组合问题中常用的方法——隔板法。
首先先说隔板法的定义：就是在n个元素间插入（b-1）个板，即把n个元素分成b组的方法。
如果题目表述为一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元素，则将隔板插入元素之间，计算出分类总数。
隔板法的定义乍一看不好理解，我们用例题来说明：【例】（2014-河南-36）将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？（）A.14B.18C.20D.22【解析】隔板法某种程度上和插空法类似，如果用若干个隔板将桔子分成四份给四个小朋友的话，需要几个板呢？很明显，3隔板。
接下来就跟插空法类似了，有几个空可以放隔板呢？需要注意的是，队首和队尾的两个空不能放板，因为如果放板的话，意味着有一个小朋友是拿不到桔子的，所以有6个空可以放板。
所以分配方法共有C（6，3）＝20种，正确选项为C。
根据这个方法，我们再来看几道例题：【例】（2015-黑龙江-59）某单位共有10 个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36 种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？（）A.7B.8C.9D.10【解析】D 选项，10个科室只有1种分配方案，不满足；C选项，9个科室只有9种分配方案，不满足；B选项，插板法，9个空中插7个版，即可将名额分成8份，8个科室的分配方案为C（9，7）＝36种，满足题意。
选择B。
【例】单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。
问一共有多少种不同的发放方法？（）A.36B.50C.100D.400【解析】这道题难度变大。
就是如何放板都不容易达成目标。
解题思路就是让题干变成和第一道例题的形式。
首先每个部门分8份，剩下6份的分配方法种数实际相当于在6份的5个间隔中插两块板，有C（5，2）＝10种情况。
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解排列组合问题的利器之一：“隔板法”
发表时间：2014-01-20T14:00:41.903Z 来源：《职业技术教育》2013年第10期供稿作者：赵善辉[导读] 上述问题还可以转化为方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数，方程的一组解（x1，x2，x3，x4）
赵善辉（山东省齐河县职业中专山东德州251114）
排列、组合是历年对口高考必考内容之一,它联系实际,生动有趣,题型多样,思路灵活。
教材中出现的解决这类问题常见的方法有插空法、捆绑法、排除法等，本文在这里介绍教材里没有出现的一种方法——隔板法。
隔板法可解决相同元素的分配问题，在相同元素之间插入隔板来达到分配的目的，它强调的是分配之后每组元素的个数,而与每一组包含哪几个元素无关。
【例1】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，每所学校至少一个，有多少种不同的分法？
解析：可把8个相同的篮球排成一列，8个篮球中间有7个空隙（不包括两端），用3个隔板分别插在7个空隙中，把8个篮球分成4组，例如OOIOOOIOIOO依次分配给甲乙丙丁四所学校的篮球数为2、3、1、2，所以每一种分隔法都对应了一种分法,于是分法种数为C73=35。
上述问题还可以转化为方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数，方程的一组解（x1，x2，x3，x4）对应一种分配方案，有8个1排成一列，中间有7个空隙（不包括两端），7个空隙中选出3个分别插入3个“+”，8个1被分成4组，每种插入方法对应着方程的一个解，此方程正整数解的个数为 C73=35。
【例2】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，有多少种不同的分法？
解析：设分给甲乙丙丁四所学校的篮球数分别为x1、x2、x3、x4，方程x1+x2+x3+x4=8（x1∈N，x2∈N, x3∈N，x4∈N）解的个数即为分配方案的种数，（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+（x4+1）=8+1+1+1+1=12。
设x1+1=y1，x2+1=y2，x3+1=y3，x4+1=y4，
y1+y2+y3+y4=12 （y1∈N，y2∈N，y3∈N，y4∈N）
两个方程解的个数相同，由【例1】中的方法知，第二年方程的解有C113=165个，方程x1+x2+x3+x4=8（x1∈N，x2∈N,x3∈N，x4∈N）解的个数为C113=165，所以有165种分法。
可用借球法这样解释：本题中有的学校可能没分到球，先借4个球分别给4个学校，以上问题变成了：12个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，每所学校至少一个，有多少种不同的分法？用隔板法可得有C113=165种分配方案。
隔板法在解题过程中带有一定的格式化、程序化,可使解题过程简单明了、快捷准确，但任何一种方法都不是包治百病的灵药，在解决具体问题时还应灵活掌握，各种方法综合运用。
以下几题，同学们可小试牛刀。
练习：（1）把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法?
A.190
B.171
C.153
D.19
（2）（a+b+c+d）10的展开式中共有多少项？
（3）在所有的三位数中，各位数字之和是19的数共有多少个？
答案：（1）B (2)C143=364 (3)C102=45
【分析】三位数的数字和等于19，这个三位数的三个数字不可能有0。
可以想象成19个1排成一排，中间插2个木板，分成三部分，这三部分的和肯定等于19。
第一部分是百位上的数字，第二部分是十位上的数字，第三部分是个位上的数字。
但是每一部分有可能大于9，不能作为一个三位数的某一个位上的数字，找一个新的三位数，新三位数的每一位加原来三位数的对应位的数字都等于10（百位数字加百位数字，十位数字加十位数字，个位数字加个位数字）。
新三位数和老三位数是一一对应的，有多少个这样的新三位数就有多少个这样的老三位数。
新三位数的数字和等于30-19=11，可以用“隔板法”，就不会出现上面的问题了。