上海市格致中学2020-2021学年高一下学期3月数学月考卷
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二、选择题（本题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）.
13 已知角 的终边经过 P sin15, cos15 ，则 sin2
3
A. 0 B.
4
C . 1 3 D. 1 3 24 24
14.一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1 减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果
再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去。若第一次输入的是 cos2 ，则第 2021 次
又
S扇
1 2
|
|
R2
1 2
2 3
R2
3
R2
7
4 9
3 r2,
所以 S扇 7 4
r2
9
3
6. 将
3
cos
x
sin
x
化成
Acos( x
)
A
0,
0
2
的形式为________；
【答案】
2
cos
x
6
【解析】由已知得， A 0, 0 2
所以
3
cos
x
sin
x
2
cos
x
6
7. 在 ABC 中，若 AB 2, B 5 , C ，则 BC ________；
其中正确的个数是（ ）
A、1
B、2
C、3
D、4
16.如果 A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 A2 B2C2 的三个内角的正弦值，则 ( ) A、 A1B1C1 和 A2 B2C2 都是锐角三角形 B、 A1B1C1 和 A2 B2C2 都是钝角三角形 C、 A1B1C1 是锐角三角形和 A2 B2C2 是钝角三角形 D、 A1B1C1 是钝角三角形和 A2 B2C2 是锐角三角形
6
6
故答案为 :
x∣x
k
6
或
x
k
6
,k
Z
4.已知角 的终边上的一点 (4t, 3t)(t 0) ，则 2 sin cos _______；
【答案】 2 5
【解析】已知角 的终边上有一点 P(4t, 3t)(t 0) ，
当 t 0 时， x 4t, y 3t, r | OP | 5t
sin
3
sin4
所以 sin3 cos3 sin4 ， cos3 sin
是锐角， cos 0 ,
cos2
sin cos
tan
logtan
cos
logcos2
cos
1 2
logcos
cos
1 2
，
综上所述，结论是： logtan
cos
1. 2
11.
已知
( , ) ，满足 tan
3
A. 0 B.
4
C . 1 3 D. 1 3 24 24
【答案】D
【解析】因角 的终边经过点 P sin15, cos15 ,
则 tan
cos15 sin 15
cos15 sin 15
，
cos2 15
故 sin2
sin2 sin2 cos2
0
2
的形式为________；
7. 在 ABC 中，若 AB 2, B 5 , C ，则 BC ________；
12
4
8. 在 ABC 中， b a 4 cos C ，则 cos C 取最小值时， C ________； ab
9.已知 R, sin 2 cos 10 ，则 tan 2 的值是________； 2
,
即
1
sin cos
2 cos
sin 1 , 2k 或 2k 7 (k Z )
2
6
6
当 2k 7 (k Z ) 时， tan 6
3， 1 3 tan
3；
当 2k (k Z ) 时， tan 6
3， 1 3 tan
3；
则 tan
1 tan
，不合题意.
12
4
【答案】 6
【解析】 A B C 5 12 4 3
由正弦定理得
AB sin C
BC sin A
，所以 BC
AB sin A sin C
2 sin 3
sin
6，
4
故答案为： 6
8. 在 ABC 中， b a 4 cos C ，则 cos C 取最小值时， C ________； ab
2k 7 (k Z ) 6
( , ), 5 6
12. 在 ABC 中, C 90, M 是 BC 的中点，若 sin BAM 1 , 则 sin BAC ________； 3
【答案】 6 3
【解析】在 AMB 中， BM AB sin AMB 2c ，
sin BAM sin AMB
【答案】 C 3
【解析】由题意可得: a2 b2 4 cos C ab
a2 b2 4 a2 b2 c2
ab
2ab
c2 1 a2 b2 2
1
cos C 1 c2 2
a2 b2
1 2ab
2
1
2 ab 2ab
2ab 2
当且仅当 a b 时取等号， C 3
9.已知 R, sin 2 cos 10 ，则 tan 2 的值是________； 2
【答案】 3 4
【解析】已知等式两边平方得:
(sin 2 cos )2 sin2 4 sin cos 4 cos2 5 2
变形得：
sin 2
4sin cos sin2 cos2
4
cos2
tan2 4 tan 4 tan2 1
5 2
整理得： 3 tan2 8 tan 3 0
对于任意 y f (x), x D ，若存在 x0 D ，使得 f x0 1 f x0 f (1) ，则称 f (x) 具有
性质 P 记 M { f (x∣) f (x)具有性质 P}。
（1）判断 f (x) lg x 和 g(x) 2x x2 是否属于集合 M
（2）设
f
(x)
的值。
（2）已知 ABC 中， tan A tan B 3 3 tan A tan B ，且 sin B cos B 3 ，判断 4
ABC 的形状，并说明理由。
18.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分。
在 ABC 中，三条边对应分边长分别是 a, b, c, a 3, b 2 6, B 2A. （1）求 cos A 的值 （2）求 c 的值.
sin y 3 , cos x 4 ,
r5
r5
2 sin cos 2 5
5.若扇形的圆心角是 ，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是________；
3 【答案】 7 4 3
9
【解析】设扇形半径为 R ，内切圆半径为 r ，
则 (R r) sin
3
r
，即
R
1
23 3
r.
格致中学二〇二〇学年度第二学期第一次测验 高一年级 数学试卷（共 4 页）
（测试 90 分钟内完成，总分 100 分，试后交答题卷）
一、填空题（本题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）.
1.已知
sin
1 , 3
2
, 3 2
，则
tan
________；
2.在与弧度数为 2021 角终边相同的角中，绝对值最小的角是________；
1 3
0,
2
, 3 2
2
,
cos 1 sin2 2 2 3
tan
sin cos
2 4
综上所述，答案： 2 4
2.在与弧度数为 2021 角终边相同的角中，绝对值最小的角是________；
【答案】 2021 644
【解析】与弧度数为 2021 角终边相同的角为 2021 2k k Z
10.
如果锐角 满足 logsin tan cot
4, 3
则 logtan cos 的值是________；
11.
已知
( , ) ，满足 tan
是关于方程 x2
2 cos
x 1
0 的两个根中较小的根，则
的值为________；
12. 在 ABC 中, C 90, M 是 BC 的中点，若 sin BAM 1 , 则 sin BAC ________； 3
所以绝对值最小的角是 2021 644
3.方程 2cos 2x 1 0 的解集是________；
【答案】
x∣x
k
或x
k
,
k
Z
6
6
【解析】由 2 cos 2x 1 0 可得: cos 2x 1 2
所以 2x 2k 或 2x 2k , (k Z)
3
3
即 x k 或 x k
格致中学二〇二〇学年度第二学期第一次测验 高一年级 数学试卷（共 4 页）
（测试 90 分钟内完成，总分 100 分，试后交答题卷）
一、填空题（本题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）.
1.已知
sin
1 , 3
2
, 3 2
，则
tan
________；
【答案】 2 4
【解析】sin
sin 26 ， 0 90 且与点 A 相距10 13 海里的位置 C ； 26
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时） （2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。
20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 8 分。
2
a x
1
M
,
求实数 a 的取值范围
（3）已知 x (0,1] 时， f (x) 8x2 8x 2 ；且对任意 x (1,1] , 都有
f (x 1) f (x) f (1) ，令 h(x) f (x) kx 1, k R ，试讨论函数 y h(x), x (1,1] 的
零点个数。
3.方程 2 cos 2x 1 0 的解集是________；
4.已知角 的终边上的一点 (4t, 3t)(t 0) ，则 2sin cos _______；
5.若扇形的圆心角是 ，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是________；
3
6. 将
3
cos
x
sin
x
化成
A cos( x
)
A
0,
输出的是（ ）
A. tan2 B. cot2 C.cos2
D.
1 sin 2
15. 在 ABC 中 ， 已 知 tan A B sin C ， 给 出 以 下 四 个 论 断 ： ① tan A cot B 1 ； ② 2
0 sin A sin B 2 ；③ sin2 A cos2 B 1 ④ cos2 A cos2 B sin2 C
19.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分。
在一个特定的时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内的海域被设为警戒水域。点 E 的正北 55 海里 处王个雷达观测站 A 。某时刻测得一艘勿速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距
40 2 有海里的位置 B 。经过 40 分钟又测得该肌已经行驶到点 A 北偏东 45 （其中
3a
又由 RtAMC 可得，
sin AMC b sin AMB 2c a4 4a2b2 4b4 0 a 2b
a2 b2
3a
4
其中 c2 a2 b2 ，所以 sin BAC a
2b
6
.
c 3b 3
二、选择题（本题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）.
13 已知角 的终边经过 P sin15 , cos15 ，则 sin2
是关于方程 x2
2 cos
x 1 0 的两个根中较小的根，则
的值为________；
【答案】 5 6
【解析】 tan
是方程
x2
2x cos
1
0 的较小根，且由根与系数的关系可知两根乘积为
1,
方程的较大根是 1 tan
tan
1 tan
2 cos
,
sin cos
cos sin
2 cos
即 (3 tan 1)(tan 3) 0
解得： tan 1 或 tan 3 ， 3
当 tan
1 3
时，
tan 2
2 tan 1 tan 2
2
1 3
1
1 3
2
3 4
；
当 tan
3 时， tan 2
2 tan 1 tan2
23 19
3 4
；
故答案为：
3
4
10.
如果锐角
满足 logsin
tan
cot
4, 3
则 logtan cos 的值是________；
【答案】 logtan
cos
1 2
【解析】
锐角 满足 log(tan cot ) sin
3, 4
3
(tan cot ) 4 sin ,
即
(tan
1 cot )3
sin4
所以
sin cos
1 cos
三、解答题（本大题共 4 小题，满分 48 分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处
答题，否则不得分.
17.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分。
（1）已知
tan
3 4
3 ，求 sin2
cos(
)
sin
2
sin
2
sin cos3
13 已知角 的终边经过 P sin15, cos15 ，则 sin2
3
A. 0 B.
4
C . 1 3 D. 1 3 24 24
14.一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1 减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果
再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去。若第一次输入的是 cos2 ，则第 2021 次
又
S扇
1 2
|
|
R2
1 2
2 3
R2
3
R2
7
4 9
3 r2,
所以 S扇 7 4
r2
9
3
6. 将
3
cos
x
sin
x
化成
Acos( x
)
A
0,
0
2
的形式为________；
【答案】
2
cos
x
6
【解析】由已知得， A 0, 0 2
所以
3
cos
x
sin
x
2
cos
x
6
7. 在 ABC 中，若 AB 2, B 5 , C ，则 BC ________；
其中正确的个数是（ ）
A、1
B、2
C、3
D、4
16.如果 A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 A2 B2C2 的三个内角的正弦值，则 ( ) A、 A1B1C1 和 A2 B2C2 都是锐角三角形 B、 A1B1C1 和 A2 B2C2 都是钝角三角形 C、 A1B1C1 是锐角三角形和 A2 B2C2 是钝角三角形 D、 A1B1C1 是钝角三角形和 A2 B2C2 是锐角三角形
6
6
故答案为 :
x∣x
k
6
或
x
k
6
,k
Z
4.已知角 的终边上的一点 (4t, 3t)(t 0) ，则 2 sin cos _______；
【答案】 2 5
【解析】已知角 的终边上有一点 P(4t, 3t)(t 0) ，
当 t 0 时， x 4t, y 3t, r | OP | 5t
sin
3
sin4
所以 sin3 cos3 sin4 ， cos3 sin
是锐角， cos 0 ,
cos2
sin cos
tan
logtan
cos
logcos2
cos
1 2
logcos
cos
1 2
，
综上所述，结论是： logtan
cos
1. 2
11.
已知
( , ) ，满足 tan
3
A. 0 B.
4
C . 1 3 D. 1 3 24 24
【答案】D
【解析】因角 的终边经过点 P sin15, cos15 ,
则 tan
cos15 sin 15
cos15 sin 15
，
cos2 15
故 sin2
sin2 sin2 cos2
0
2
的形式为________；
7. 在 ABC 中，若 AB 2, B 5 , C ，则 BC ________；
12
4
8. 在 ABC 中， b a 4 cos C ，则 cos C 取最小值时， C ________； ab
9.已知 R, sin 2 cos 10 ，则 tan 2 的值是________； 2
,
即
1
sin cos
2 cos
sin 1 , 2k 或 2k 7 (k Z )
2
6
6
当 2k 7 (k Z ) 时， tan 6
3， 1 3 tan
3；
当 2k (k Z ) 时， tan 6
3， 1 3 tan
3；
则 tan
1 tan
，不合题意.
12
4
【答案】 6
【解析】 A B C 5 12 4 3
由正弦定理得
AB sin C
BC sin A
，所以 BC
AB sin A sin C
2 sin 3
sin
6，
4
故答案为： 6
8. 在 ABC 中， b a 4 cos C ，则 cos C 取最小值时， C ________； ab
2k 7 (k Z ) 6
( , ), 5 6
12. 在 ABC 中, C 90, M 是 BC 的中点，若 sin BAM 1 , 则 sin BAC ________； 3
【答案】 6 3
【解析】在 AMB 中， BM AB sin AMB 2c ，
sin BAM sin AMB
【答案】 C 3
【解析】由题意可得: a2 b2 4 cos C ab
a2 b2 4 a2 b2 c2
ab
2ab
c2 1 a2 b2 2
1
cos C 1 c2 2
a2 b2
1 2ab
2
1
2 ab 2ab
2ab 2
当且仅当 a b 时取等号， C 3
9.已知 R, sin 2 cos 10 ，则 tan 2 的值是________； 2
【答案】 3 4
【解析】已知等式两边平方得:
(sin 2 cos )2 sin2 4 sin cos 4 cos2 5 2
变形得：
sin 2
4sin cos sin2 cos2
4
cos2
tan2 4 tan 4 tan2 1
5 2
整理得： 3 tan2 8 tan 3 0
对于任意 y f (x), x D ，若存在 x0 D ，使得 f x0 1 f x0 f (1) ，则称 f (x) 具有
性质 P 记 M { f (x∣) f (x)具有性质 P}。
（1）判断 f (x) lg x 和 g(x) 2x x2 是否属于集合 M
（2）设
f
(x)
的值。
（2）已知 ABC 中， tan A tan B 3 3 tan A tan B ，且 sin B cos B 3 ，判断 4
ABC 的形状，并说明理由。
18.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分。
在 ABC 中，三条边对应分边长分别是 a, b, c, a 3, b 2 6, B 2A. （1）求 cos A 的值 （2）求 c 的值.
sin y 3 , cos x 4 ,
r5
r5
2 sin cos 2 5
5.若扇形的圆心角是 ，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是________；
3 【答案】 7 4 3
9
【解析】设扇形半径为 R ，内切圆半径为 r ，
则 (R r) sin
3
r
，即
R
1
23 3
r.
格致中学二〇二〇学年度第二学期第一次测验 高一年级 数学试卷（共 4 页）
（测试 90 分钟内完成，总分 100 分，试后交答题卷）
一、填空题（本题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）.
1.已知
sin
1 , 3
2
, 3 2
，则
tan
________；
2.在与弧度数为 2021 角终边相同的角中，绝对值最小的角是________；
1 3
0,
2
, 3 2
2
,
cos 1 sin2 2 2 3
tan
sin cos
2 4
综上所述，答案： 2 4
2.在与弧度数为 2021 角终边相同的角中，绝对值最小的角是________；
【答案】 2021 644
【解析】与弧度数为 2021 角终边相同的角为 2021 2k k Z
10.
如果锐角 满足 logsin tan cot
4, 3
则 logtan cos 的值是________；
11.
已知
( , ) ，满足 tan
是关于方程 x2
2 cos
x 1
0 的两个根中较小的根，则
的值为________；
12. 在 ABC 中, C 90, M 是 BC 的中点，若 sin BAM 1 , 则 sin BAC ________； 3
所以绝对值最小的角是 2021 644
3.方程 2cos 2x 1 0 的解集是________；
【答案】
x∣x
k
或x
k
,
k
Z
6
6
【解析】由 2 cos 2x 1 0 可得: cos 2x 1 2
所以 2x 2k 或 2x 2k , (k Z)
3
3
即 x k 或 x k
格致中学二〇二〇学年度第二学期第一次测验 高一年级 数学试卷（共 4 页）
（测试 90 分钟内完成，总分 100 分，试后交答题卷）
一、填空题（本题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）.
1.已知
sin
1 , 3
2
, 3 2
，则
tan
________；
【答案】 2 4
【解析】sin
sin 26 ， 0 90 且与点 A 相距10 13 海里的位置 C ； 26
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时） （2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。
20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 8 分。
2
a x
1
M
,
求实数 a 的取值范围
（3）已知 x (0,1] 时， f (x) 8x2 8x 2 ；且对任意 x (1,1] , 都有
f (x 1) f (x) f (1) ，令 h(x) f (x) kx 1, k R ，试讨论函数 y h(x), x (1,1] 的
零点个数。
3.方程 2 cos 2x 1 0 的解集是________；
4.已知角 的终边上的一点 (4t, 3t)(t 0) ，则 2sin cos _______；
5.若扇形的圆心角是 ，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是________；
3
6. 将
3
cos
x
sin
x
化成
A cos( x
)
A
0,
输出的是（ ）
A. tan2 B. cot2 C.cos2
D.
1 sin 2
15. 在 ABC 中 ， 已 知 tan A B sin C ， 给 出 以 下 四 个 论 断 ： ① tan A cot B 1 ； ② 2
0 sin A sin B 2 ；③ sin2 A cos2 B 1 ④ cos2 A cos2 B sin2 C
19.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分。
在一个特定的时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内的海域被设为警戒水域。点 E 的正北 55 海里 处王个雷达观测站 A 。某时刻测得一艘勿速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距
40 2 有海里的位置 B 。经过 40 分钟又测得该肌已经行驶到点 A 北偏东 45 （其中
3a
又由 RtAMC 可得，
sin AMC b sin AMB 2c a4 4a2b2 4b4 0 a 2b
a2 b2
3a
4
其中 c2 a2 b2 ，所以 sin BAC a
2b
6
.
c 3b 3
二、选择题（本题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）.
13 已知角 的终边经过 P sin15 , cos15 ，则 sin2
是关于方程 x2
2 cos
x 1 0 的两个根中较小的根，则
的值为________；
【答案】 5 6
【解析】 tan
是方程
x2
2x cos
1
0 的较小根，且由根与系数的关系可知两根乘积为
1,
方程的较大根是 1 tan
tan
1 tan
2 cos
,
sin cos
cos sin
2 cos
即 (3 tan 1)(tan 3) 0
解得： tan 1 或 tan 3 ， 3
当 tan
1 3
时，
tan 2
2 tan 1 tan 2
2
1 3
1
1 3
2
3 4
；
当 tan
3 时， tan 2
2 tan 1 tan2
23 19
3 4
；
故答案为：
3
4
10.
如果锐角
满足 logsin
tan
cot
4, 3
则 logtan cos 的值是________；
【答案】 logtan
cos
1 2
【解析】
锐角 满足 log(tan cot ) sin
3, 4
3
(tan cot ) 4 sin ,
即
(tan
1 cot )3
sin4
所以
sin cos
1 cos
三、解答题（本大题共 4 小题，满分 48 分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处
答题，否则不得分.
17.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分。
（1）已知
tan
3 4
3 ，求 sin2
cos(
)
sin
2
sin
2
sin cos3