关系的性质-集合与关系-离散数学
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学中的关系
离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。
这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。
在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。
等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。
例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。
偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。
例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。
全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。
离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。
函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。
包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。
通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。
同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。
离散数学_集合与关系_关系
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
离散数学集合与关系
离散数学集合与关系离散数学是数学中一门独立的分支，它主要研究离散的数学结构和被限制在有限范围的对象。
集合论和关系理论是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、信息科学等领域具有广泛的应用。
一、集合的概念与基本运算集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母，元素用小写字母表示，并用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1,2,3,4组成的集合A。
在集合论中，集合之间的关系可以通过特定的运算来描述。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指所有属于被操作的集合的元素的集合。
交集是指同时属于所有被操作的集合的元素的集合。
差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
补集是指在全集中属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
二、关系的定义与性质关系是描述集合之间元素之间的某种联系或者规律的数学概念。
在离散数学中，关系可以用二元组的形式表示。
关系的性质包括自反性、对称性和传递性。
自反性是指元素与自身之间存在关系。
对称性是指如果两个元素之间存在关系，那么它们之间的关系是互逆的。
传递性是指如果两个元素之间存在关系，并且与另一元素之间也存在关系，那么这两个元素之间也存在关系。
三、集合的基数与幂集集合的基数是指集合中的元素个数。
若集合A中的元素个数为n，则记作|A|=n。
基数为有限值的集合称为有限集，基数为无限值的集合称为无限集。
幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
例如，对于集合A={1,2}，它的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
幂集的基数等于原集合的基数的2的幂次方。
四、关系的类型与性质在离散数学中，关系可以分为几种不同的类型。
常见的关系类型包括等价关系、序关系和函数关系。
等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
序关系是指满足自反性、反对称性和传递性的关系。
函数关系是指每个定义域中的元素都有唯一对应的值域中的元素的关系。
离散数学4.3-4
10
结论
R是A上的关系，则： （1）R是自反关系的主要条件是IAA （2）R是反自反关系的主要条件是R∩IA=Ф。
11
(3) 若x y(x,y∈A ∧<x,y> ∈R <y,x> ∈R),则称R 在A上是对称的。 也就是说, 对RAA, 对A中每个x和y, 若xRy, 则yRx, 称 R是对称的, 即
7
例子
例3：N上的互质关系是反自反关系。 证明：x∈N，x与x是不互质的， ∴<x,x>R，∴R具有反自关系。 其他的例实数上的＜，＞关系,人与人的父子 关系,均是反自反关系。
8
关系矩阵的特点
自反关系的关系矩阵的对角元素均为1， 反自反关系的关系矩阵的对角元素均为0。
9
关系图的特点
自反关系的关系图，每个结点均有自回路， 而反自反关系的关系图的每个结点均没有 自回路。
22
说明:
该定义的等价说法： a,b∈A,如a≠b,<a,b>∈R, 则必有<b,a>R。即两个不同点结点间不允许有两 条弧。 该定义的否命题说法并不成立,如 “a≠b,<a,b>R,则<b,a>∈R”并不成立, 即反对称关系的关系图允许两个不同点间没有弧。
23
有些关系既是对称的又是反对称的
设 R 是 A 上的关系，R 的性质主要有以下 5 种 (2) 若x(x ∈A <x,x> ∈R),则称 R 在 A 上是反自反的 也就是说，对RAA，若A中每个x，有xRx，则称R是 反自反的，即 A上关系R是反自反的x(xAxRx) 该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任 何相同元素的有序对。 例如：设A={1,2,3}，R 是 A 上的关系， R={<2,3>,<3,2>} R是反自反的
离散数学第3章-集合与关系
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学-3-6 关系的性质
17
思考练习
例.设R是集合X上的一个自反关系.求证:R是对称和 传递的,当且仅当<a,b>和<a,c>在R之中时必有 <b,c>在R之中.
证明: 充分性. 充分性. [1]设<a,b>∈R显然<a,a>∈R(自反性) =><b,a>∈R(条件)=>R有对称性. [2]设<a,b>,<b,c>∈R=><b,a>,<b,c>∈R(对称性) =><a,c>∈R=>传递性成立. 必要性. 必要性. 设<a,b>,<a,c>∈R=><b,a>,<a,c>∈R(对称性) =><b,c>∈R(传递性).
16
思考练习
例.给定S={1,2,3,4}和S上的关系 R={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>},说明R不是 可传递的.找出一个包含R的关系,使得R1是可传递 的,还能找出另外一个,R2也是可传递的吗? 解:<1,2>,<2,1>∈R,但<1,1> ∈ R,故不传递.可取
{<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>}, R1={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>} 再添加一个元素<3,3>可得到另外一个有传递性的关系 R2 ={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>,<3, 3>}.
离散数学第三章
第三章集合与关系
3.等价类性质 R是A上等价关系，任意a,b,c∈A
⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。 即任意x,y∈[a]R，必有<x,y>∈R
证明：任取x,y∈[a]R，由等价类定义得，<a,x>∈R, <a,y>∈R ,由R对称得，<x,a>∈R，又由R传递得
<x,y>∈R。 ⑵ [a]R∩[b]R=Φ， 当且仅当 <a,b>R。 证明:(充分性)设<a,b>R，假设[a]R∩[b]R≠Φ,则存在
所以商集A/R是A的一个划分。
定理2： 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，则 R1=R2当且仅当A/R1=A/R2 。
(这个定理显然成立。)
第三章集合与关系
证明:(必要性) 因为A/R1={[a]R1 |a∈A}； A/R2={[a]R2 |a∈A}，由于R1=R2，对任意的 a∈A有 [a]R1={x|x ∈A,<a,x>∈R1} ={x|x ∈A,<a,x>∈R2}= [a]R2 即A/R1=A/R2 。 (充分性)对任意的<a,b>∈R1 a ∈[a]R1∧ b∈[a]R1
A/R={[a]R |a∈A} 例如A={1,2,3,4,5,6,7} , R上模3同余关系，则
A/R= {[1]R,[2]R,[3]R} ={{1,4,7},{2,5},{3,6}}
练习 X={1,2,3},X上关系R1、R2 、R3，如上图所示。
X/R1={[1]R1,[2]R1,[3]R1}={{1},{2},{3}}
3-12 序关系
第三章集合与关系
次序关系也是常遇到的重要关系，例如： 数值的≤、＜、≥、＞关系； 集合的、关系； 图书馆的图书按书名的字母次序排序； 词典中的字(词)的排序； 计算机中文件按文件名排序； 程序按语句次序执行；…….
离散数学中的集合与关系理论
离散数学中的集合与关系理论离散数学是数学中的一门重要分支，主要研究离散的数值和结构。
在离散数学中，集合与关系理论是两个基础且关键的概念。
本文将对离散数学中的集合与关系理论进行探讨。
一、集合在离散数学中，集合是由元素组成的整体。
集合的表示可以使用不同的方式，如枚举法、描述法和扩展法。
其中，枚举法通过罗列元素的方式来表示集合。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}就是使用了枚举法表示的集合。
集合的运算是集合理论中的重要内容。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集表示两个集合中的所有元素的组合，交集表示两个集合中共有的元素，差集表示一个集合减去另一个集合中的元素，补集表示一个集合相对于全集中没有的元素。
集合的关系也是集合理论中的重要内容。
常见的集合关系有相等关系、包含关系和子集关系。
相等关系指的是两个集合具有相同的元素，包含关系指的是一个集合包含另一个集合中的所有元素，子集关系指的是一个集合包含于另一个集合。
二、关系关系是研究离散数学中元素之间联系的一种数学工具。
在离散数学中，关系可以用一个有序对的集合表示。
例如，关系R = {(1, 2), (2, 3),(3, 4)}表示了元素1与2之间、元素2与3之间、元素3与4之间的联系。
关系可以是自反的、对称的、传递的等。
自反关系指的是每个元素与自己之间有联系，对称关系指的是如果元素a与元素b之间有联系，则元素b与元素a之间也有联系，传递关系指的是如果元素a与元素b 之间有联系，元素b与元素c之间有联系，则元素a与元素c之间也有联系。
离散数学中的关系还可以进行合成和关系的闭包运算。
关系的合成指的是将两个关系进行组合，得到一个新的关系。
关系的闭包指的是将一个关系进行扩展，使得它满足某些性质。
集合和关系是离散数学中的两个重要概念，它们在离散数学中起着重要的作用。
集合可以用来整理和分类元素，关系可以用来描述元素之间的联系。
它们的研究对于理解和解决实际问题具有重要意义。
离散数学中的集合论与函数关系
离散数学中的集合论与函数关系离散数学是数学中的一个重要分支，它研究的是离散的、不连续的数学结构。
集合论与函数关系是离散数学中的两个基本概念和重要内容。
本文将着重介绍离散数学中的集合论和函数关系，并探讨它们之间的联系和应用。
一、集合论集合是离散数学中的基本概念之一，它指的是一个由确定元素组成的整体。
集合的元素可以是任何事物，可以是数字、字母、词语等等。
在集合论中，常用大写字母表示集合，例如A、B、C等。
一个集合可以通过列举其元素的方式来描述，也可以通过描述它们的性质来定义。
集合之间的关系有包含关系、相等关系、互斥关系等等。
通过这些关系，可以进行集合的运算，如并集、交集、补集等。
集合论在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
二、函数关系函数关系是离散数学中的另一个重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
一个函数关系可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
具体来说，如果集合A中的每个元素都与集合B中的唯一元素对应，那么我们称这个对应关系为函数。
函数关系可以用不同的表示方法来描述，最常见的是函数表达式、函数图像和函数关系图。
在离散数学中，函数关系有不同的分类，如单射函数、满射函数、双射函数等。
函数关系的性质和运算也是离散数学中的重要内容。
三、集合论与函数关系的联系和应用集合论和函数关系密切相关，它们之间存在着紧密的联系和应用。
首先，一个函数可以看作是两个集合之间的关系，其中定义域是函数关系的输入集合，值域是函数关系的输出集合。
函数的定义域和值域可以看作是集合论中的集合。
其次，集合论中的运算对函数关系也有应用。
例如，两个函数的复合可以看作是两个集合的运算。
另外，函数的像和原像可以看作是集合论中的集合运算，它们描述了函数关系中元素的映射关系。
最后，集合论和函数关系在计算机科学中有广泛的应用。
在数据库、编程语言、算法设计等领域，集合论和函数关系是不可或缺的工具。
它们用于描述数据结构、算法复杂度、程序设计等，对于计算机科学的发展起到了重要的推动作用。
第三章 集合与关系
第11页
河南工业大学离散数学课程组
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
河南工业大学离散数学课程组
例3-5.4
(1)设A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6}，R表示A与B的整除
关系，写出关系R的四种表示法。
解：由题意得
枚举法： R={<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2, 2>, <2, 4>, <2, 6>,
<3, 6>, <4, 4>}；
谓词公式法：R={<x, y>|x能整除y，x∈A,y∈B} 。
从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。
从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若
？1 0 1 ？1
有边的话，则有方向相反的
两条边。 1。
01？
2。 。3
第12页
河南工业大学离散数学课程组
四、反对称性
定义:设R为集合A上的关系，若对任何x, y∈A，有 <x,y>R和<y,x>R，就有x=y，则称R为A中的反对称 关系 。 R是A上反对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧<y,x>R) x=y) (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧xy)<y,x>R)
离散数学第3章_(7-8)(新教材)_(1)
c
c
x , y R1
c
x, y R2
c
于是又有
y , x R1 y , x R 2
y , x R 2
x , y R1
c
c
x, y R
c 2
x , y R1 R 2
c
(6)的证明:
R1 R 2 R1 R 2
再利用(3)和(5)就得到 c x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
(3)设A是一个集合,R是A上的一个二元关系.定义 (0) (1) (k ) R IA, R R, R ... , R R k 那么，对任意正整数m,n就有 (n) (m ) (mn ) (m ) (n) (mn) R R [1] R R R ; [2] . (4)设A,B,C,D是四个集合,R1,R2,R3分别是从A到B, 从B到C以及从C到D的二元关系,那么就有 [1](复合运算关于并的分配律)
定义7.3(对称性) 设R是集合A上一个二元 关系, 如果对每一对元素x, yA,当xRy时, 就有yRx, 则称R在A上是对称的. 即R在A上是对称的 (x)(y)((xA)(yA)(xRy)yRx).
对称性很容易从关系矩阵和关系图中看出来.一个 关系有对称性的充分必要条件是它的关系矩阵是 一个对称阵;一个关系有对称性的充分必要条件是 它的关系图中任意两个结点之间要么没有有向边 相连,要么恰有一对方向相反的有向边相连.
R1 ( R 2 R 3 ) R1 R 2 R1 R 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
第8 页
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
第2 页
一、自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
第7 页
三、对称性
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
在有对称性的关系中，若有序偶<x,y>，必有序偶<y,x>。 例如：设集合A={1,2,3}有下列关系： 1）R1={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} 是对称关系 2）R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} 不是对称关系
例如：设X={a,b,c}, R1={<a,b>,<b,c>} 是反自反关系。 R2=={<a,a>,<a,b>,<b,c>} 不是反自反关系 不相等关系()，小于关系()，真包含关系()，父子 关系是反自反关系。 非（不是）反自反的 (x)(xA∧<x,x> R)
第5 页
具有反自反性的关系的关系矩阵和关系图的特点
思考：具有自
反性的关系与 恒等关系有何 区别于联系？
第4 页
2。 。 3
二、反自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意的x∈A 都有<x,x>R ，则称R为A中的反自反关系。 即R是A中反自反的(x)(xA<x,x>R) 该定义表明了，一个反自反的关系不应包括有任 何相同元素的序偶。
讨论定义： （1）前件<x,y>R∧<y,x>R为“T”，则x=y为“T”，R是对 称的。 （2）前件为<x,y>R∧<y,x>R为“F”，有三种情况，后件 不论是真还是假，命题为“T”，即R是对称的。
第10页
四、反对称性
定义:设R为集合A上的关系，若对任何x, y∈A，有 <x,y>R和<y,x>R，就有x=y，则称R为A中的反对称 关系 。 R是A上反对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧<y,x>R) x=y) (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧xy)<y,x>R)
1
0
？ 1
1 ？
1
。
是否有环 对对称性 无影响。
2
。 。 3
第9 页
四、反对称性
定义:设R为集合A上的关系，若对任何x, y∈A，有 <x,y>R和<y,x>R，就有x=y，则称R为A中的反对称 关系 。 R是A上反对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧<y,x>R) x=y) (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧xy)<y,x>R)
例如：设集合A={1,2,3}有下列关系： 是反对称关系 1）R1={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>} 2）R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} 不是反对称关系
例如：小于等于关系()，包含关系()，上下级关系，父子关 系等是反对称关系。
例 自反
2
1
。
反自反
1
。
自Hale Waihona Puke 12。1
。自反
。 。 3
R1
1
2
。 。 3
R2
1
。 。 。 2。 3 3
R3
1
反自反
2
。
。 。 3
R5
非自反 非反自反
2
。
2
。
非自反 非反自反
R4
1
。反自反
R8
。 。 3
R6
。 。 2。 。 3 3
R7
R1、R3、R4是自反的，R2、R5、 R8均是反自反关系。 注意：任何一个不是自反的关系，未必是反自反的， 任何一个不是反自反的关系，未必是自反的， 如R6、R7非自反，也非反自反。 存在既不是自反的也不是反自反的关系。
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意的x∈A 都有<x,x>R ，则称R为A中的反自反关系。 即R是A中反自反的(x)(xA<x,x>R) 从关系矩阵看反自反性： 主对角线都为0。
从关系有向图看反自反性： 每个结点都无环。
0 ？ ？ ？ 0 ？ ？ ？ 0 1。
2。
。 3
第6 页
关系的性质
第1 页
本节将研究关系的一些性质，它们在关系的研究中 起着重要的作用。这是本章最重要的一节。 本节中所讨论的关系都是集合A上的关系。 本节要点： 五个性质： 自反性、反自反性 --自己和自己的关系 对称性、反对称性 –两个元素之间的关系 传递性 --三个元素之间的关系 相关证明
第3 页
具有自反性的关系的关系矩阵和关系图的特点
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 从关系矩阵看自反性： 主对角线都为1。
从关系有向图看自反性： 每个结点都有环。 1 ？ ？ ？ 1 ？ ？ ？ 1 1。