【六年级寒假班讲义】第5讲：方程与一元一次方程(教师版)

方程与一元一次方程是初中数学六年级下学期第2章第1节和第2节的内容．在预习阶段，本讲主要讲解方程和一元一次方程的相关概念，方程的解的检验，一元一次方程的解法及一元一次方程的简单应用．重点在于理解一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的解法，为后续重点学习一元一次方程的应用做好准备．

1、方程及其相关概念

（1）未知数：用字母x、y…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数；

（2）方程：含有未知数的等式叫做方程；

（3）元：在方程中，所含的未知数又称为元；

（4）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；

（5）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；如在方程 2.50

x+=和

2

52

y

-=中，x、2.5、

2

5

、

2

y

-都是方程中的一项；

（6）系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x

方程与一元一次方程

内容分析

知识结构

模块一：方程与方程的解

知识精讲

的系数为1，2y -

的系数为12

-； （7）次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x 、2

y

-的次数都是1；

（8）常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，25

． 2、 方程的解

如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．

【例1】 判断下列各式，哪些是方程？

（1）17x +=；（2）514-+=-；（3）1a a =+；（4）395

y

x +=； （5）32m n -；（6）2t =；（7）26p =；（8）33

π

π⨯

=．

【难度】★【答案】（1）、（3）、（4）、（6）、（7）．

【解析】含有未知数的等式叫做方程．故（1）是；（2）不含有未知数，不是；（3）是； （4）是 ；（5）不是等式，不是；（6）是；（7）是；（8）π不是未知数，不是． 【总结】考查方程的概念．

【例2】 （1）方程2405y x -=中，项25y

-

的系数是______，次数是______； （2）方程360mn -=中，项3mn 的次数是______，常数项是______． 【难度】★【答案】（1）2

5-、1 （2）2、-6．

【解析】（1）在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数； （2）在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数． 【总结】考查方程的系数及次数的概念．

【例3】 列方程：

（1）x 的2

3

与3的和为5；（2）m 的相反数与2的差为2；

（3）a 的三次方与b 的平方的和为10；（4）x 、y 的积减去19的差的一半为2

3

． 【难度】★

【答案】（1）2353x +=；（2）22m --=；（3）3210a b +=；（4）()12

1923

xy -=．

【解析】根据题意即可列出方程．【总结】考查列方程的运用．

例题解析

【例4】 检验1x =是不是方程97124x x --=--的解．

【难度】★【答案】是．【解析】当1x =时，左边=-16，右边=-16，左=右，所以1x =是方

程的解．【总结】本题主要考查方程的解的概念．

【例5】 在下列问题中，引入未知数，列出方程：

（1）某数的3倍与7-的和等于91，求这个数；

（2）一个数与它的一半的和为5

6

，求这个数；

（3）长方形的长比宽多4厘米，长方形的周长是30厘米，求长方形的长．

【难度】★★【答案】（1）3791x -=； （2）15

26x x +=； （3）()2430x x +-=⎡⎤⎣⎦．

【解析】（1）设这个数为x ，则3791x -=； （2）设这个数为x ，则15

26

x x +=；

（3）设长为x ，则()2430x x +-=⎡⎤⎣⎦．

【总结】本题主要考查列方程的运用，注意本题不需要解方程．

【例6】 检验4-、1是不是方程2340x x --=的解． 【难度】★★【答案】均不是．

【解析】当4x =-时，2234(4)3(4)40x x --=--⨯--≠，所以4x =-不是方程的解； 当1x =时，223413140x x --=-⨯-≠ ，所以1x =不是方程的解． 【总结】考查方程的解的概念及判断．

【例7】 根据条件，引入未知数列方程：

学校开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安 排住3人，就有100人没有床位，那么在学校住宿的学生有多少人？

【难度】★★【答案】100

543x x -+=．

【解析】设有x 个学生，则根据题意，可列方程：100

543

x x -+=

． 【例8】 根据下列条件列出方程：

（1）50千克含糖5%的糖水，现在要把它的浓度提高到含糖15%，需加糖x 千克； （2）商店对某种商品调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是15%，此商品的原价为300元，商品的进价为x 元．

【难度】★★★【答案】（1）2.5100%15%50x x +⨯=+； （2）3000.815%x

x

⨯-=．