七年级数学分式方程2
初中数学教案：分式方程的解法
初中数学教案：分式方程的解法一、引言二、分式方程的基本概念和性质2.1 分式方程的定义2.2 分式方程的性质三、分式方程的解法3.1 直接相乘法解分式方程3.2 通分法解分式方程3.2.1 假设法通分解分式方程3.2.2 等效化简通分解分式方程3.2.2.1 倍增型等效化简通分解分式方程3.2.2.2 凑整型等效化简通分解分式方程...四、常见问题与习题解析五、总结【引言】在初中数学学科中，我们学习了很多不同类型的数学题目。
其中，分式方程是我们必须掌握并熟练运用的一种重要工具。
本文将介绍关于初中数学教案中的一个主题：分式方程的解法。
我们将从定义和性质开始，逐步讲解直接相乘法和通分法这两种重要的求解方法，并通过举例和习题来帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。
【二、分式方程的基本概念和性质】2.1 分式方程的定义：分式方程是指方程中含有分数形式的未知数的等式。
例如，$\frac{2}{x}+\frac{3}{2}=4$就是一个分式方程，其中$x$为未知数。
2.2 分式方程的性质：- 分式方程中至少含有一个分子或分母含有未知数的分数项。
- 如果一个数满足方程，则将其代入原方程中仍满足相等关系。
- 两个等效的分式对应的解相同。
【三、分式方程的解法】3.1 直接相乘法解分式方程：直接相乘法是求解简单形式的分式方程时常用的一种方法。
它适用于方程中只包含一个分数项或者多个可以合并成一个整体进行计算的分数项。
举例：$\frac{a}{b} \cdot c = d$解法：根据等号两边混合运算交换律，我们可以得到$a \cdot \frac{c}{b} = d$。
通过乘法逆元操作，可得到表达式$a = d \cdot \frac{b}{c}$。
这样就求出了变量$a$的值。
3.2 通分法解分式方程：通分法是求解复杂形式的分式方程时常用的一种方法。
它适用于需要将多个不同分母的分数项转换为相同分母的情况。
3.2.1 假设法通分解分式方程：对于一些特殊形式的问题，我们可以通过假设辅助变量使得原方程化简为一般形式。
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。
初中数学分式方程的应用基础训练2(附答案详解)
（1）求N95口罩进价每只多少元？
（2）国家规定：N95口罩销售价不得高于30元/只．根据市场调研：N95口罩每天的销量y(只)与销售单价x(元/只)之间的函数关系式为y=－10x+500，该药店决定对一次性医用口罩按进价销售，但又想销售口罩每天获利2400元，该药店需将N95口罩的销售价格定为每只多少元？
26．商合杭高铁是国内高速铁路网“八纵八横”主通道的重要组成部分，预计于2020年6月建成通车，建成之后相比普通列车，芜湖到合肥的时间将缩短1个小时，已知芜湖与合肥相距约 ，普通列车速度为 ，则商合杭高铁设计时速为多少？
27．一艘轮船在静水中的最大航速为35千米/时，当江水匀速流动时，这艘轮船以最大航速沿江顺流航行120千米所用时间，与以最大航速沿江逆流航行90千米所用时间相同，求江水的流速．
23．为厉行节能减排，倡导绿色出行，我市推行“共享单车”公益活动．某公司在小区分别投放A、B两种不同款型的共享单车，其中A型车的投放量是B型车的投放量的 倍，B型车的成本单价比A型车高20元，A型、B型单车投放总成本分别为30000元和26400元，求A型共享单车的成本单价是多少元？
24．2019年10月17日是我国第6个扶贫日，也是第27个国际消除贫困日．为组织开展好铜陵市2019年扶贫日系列活动，促进我市贫困地区农产品销售，增加贫困群众收入，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批铜陵生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．
【最新】浙教版七年级数学下册第五章《5.5分式方程(2)》公开课课件.ppt
数后,分数的值变为它的倒数,那么加上的
这个数是多少?
3 x 2
解 :设这个数为x,则可列方程 2 x 3 ,
3.某车间加工1200个零件，原来每天可加工x个，则 1200 需_____x ___天可加工完成；如果采用新工艺，工效是 原来的1.5倍，这样每天可以加工_1_._5_x_个，同样多的
头的距离，v表示明胶片（像）到镜头的距离，如果一
架照相机f已固定，那么就要依靠调整U、V来使成像
清晰。
如果用焦距f=35mm的相机拍摄离镜头的跳高
u=2m的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距
离v大约是多少？（精确到0.1mm）
变式：照相机成像应用了一个重要原理，即 1 1 1 f uv
(V≠f)，问在f、v已知的情况下，怎样确定物体到镜头
每个月的用水量×水的单价=每个月的用水费. 今年的用水单价=去年用水单价×(1+1/3). 所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量. 每个月的用水量=水费/水的单价.
例题欣赏
解:设该市去年用水的价格为x元/m3,则今年 的水价为(1+1/3)x元/m3,根据题意得
30 (1 1)x
15 x
5
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:56:46 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
初中数学精品教案：分式方程的应用(2))
0507分式方程的应用（2）微设计教学目标:1.学会解等量关系较难寻找的分式方程；2.会解既有分式方程又有其他方程的综合性问题.重点：学会分析等量关系列分式方程.难点：例2的解法.教学过程：一、探索发现问题：某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖掘出来的土能及时运走，且不窝工，解决此问题，若设派X 人挖土，其它人运土，可列方程为________________.探究：1.这个问题中给出了哪些信息？等量关系是什么？2.由题意，你将列出怎样的方程？分析：根据题意，问题中的等量关系为：“安排挖土的人数：运土的人数=3:1”，可以列出方程：372=-xx . 列分式方程解应用题时，有时需要挖掘题中所隐含的等量关系才能正确地列出方程.下面，我们一起研究等量关系较难寻找的分式方程应用题，以及与其他方程相关的综合性问题.二、例题解析例1．宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A 、B 两种花木共6600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵.（1）A 、B 两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？分析:第（1）题中设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是，等量关系为“种植A 种花木+B 两种花木=6600棵”，容易列出方程；第（2）题中设安排y 人种植A 种花木，则安排)26(y -人种植B 种花木，题中隐含了等量关系“种植A 花木所用时间=种植B 花木所用时间”，根据等量关系可以列出方程求解.解答：（1）设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是)6002(-x 棵.由题意，得6600)602(=-+x x ，解得2400=x ，6002-x =4200.答：A 种花木的数量是4200棵，B 种花木的数量是2400棵.（2）设安排y 人种植A 种花木，则安排)26(y -人种植B 种花木.由题意，得)26(402400604200y y -=，解得14=y . 经检验，14=y 是原方程的根，且符合题意. 1226=-y .答：安排14人种植A 种花木，安排12人种植B 种花木，才能确保同时完成各自的任务.小结：列分式方程解应用题最关键的是：仔细审题，寻找题中隐含的等量关系列方程求解. 例2.某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件.(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数.分析：(1)设原计划每天生产零件x 个，根据等量关系:“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”，可列方程:303002400024000++=x x . (2)设原计划安排的工人人数为y 人，根据等量关系：“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”，可列方程： . 解答：(1)设原计划每天生产零件x 个，由题意，得303002400024000++=x x .解得x=2400. 经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意.∴规定的天数为24000÷2400=10（天）.答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天.(2)设原计划安排的工人人数为y 人，由题意，得. 解得y=480.经检验，y=480是原方程的根，且符合题意.答：原计划安排的工人人数为480人.小结：列分式方程解应用题，最为关键的是寻找题中的等量关系，当数量关系错综复杂时，应逐步挖掘题中隐含的等量关系.练习.某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T 恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．24000)210(24002400%)201(205=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⨯⨯y 24000)210(24002400%)201(205=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⨯⨯y（1）甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T 恤衫商店共获利多少元？分析：(1)若设乙种款型的T 恤衫购进x 件，等量关系为“甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元”，由此可列出方程：.6400305.17800xx =+ (2)可以先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．解答：(1)设乙种款型的T 恤衫购进x 件，由题意，得.6400305.17800x x =+解得x=40.经检验，x=40是原方程的根，且符合题意.1.5x=60.答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件.(2),1606400=x160﹣30=130（元），130×60%×60+160×60%×（40÷2） -160×[1-（1+60%）×0.5] ×（40÷2）=4680+1920-640=5960（元）答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元.三、感悟提升本节课我们重点研究了研究等量关系较难寻找的分式方程，以及与其他方程相关的综合性问题.列分式方程解应用题时，首先需要仔细审题，再设好未知数，列出方程，接着求出方程，最后检验作答.对于等量关系错综复杂的应用题，可以先划出反映等量关系的语句，再逐步挖掘题中隐含的等量关系，这是列出方程的关键步骤.。
浙教版七年级数学下册课件：5.5分式方程 第2课时
知识点 2：公式变形问题 6．将公式2x＋y1＝π 变形为已知 x，求 y 的公式为y_＝__2_π_2－ __.x
7．将公式 f＝uu＋vv变形为已知 f，u，且 f≠u，求 v 的公式为 __v_＝__u_f－_u_f___.
8．某感冒药用来计算儿童服药量 y 的公式为 y＝x＋ax12，其中 a 为成人服药量，x 为儿童的年龄(x≤13)．如果一个儿童服药量恰好占 成人服药量的一半，那么他的年龄是__1_2_岁___．
(1)按原计划完成总任务的13时，已抢修道路_1_2_0_0_米； (2)求原计划每小时抢修道路多少米？
解 ： (2) 设 原计 划每 小 时 抢修 道路 x 米， 根 据题 意得 12x00＋ （3610＋0－501%2）00x＝10.解得 x＝280，经检验 x＝280 是原方程的根．答： 原计划每小时抢修道路 280 米
度为 1.5x 米/分钟，根据题意得25x20－215.52x0＝4，解得 x＝210，经检验， x＝210 是原方程的解．答：小张跑步的平均速度为 210 米/分钟
(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了 5 分钟，他能否 在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
解：(2)小张跑步到家所需时间为 2520÷210＝12(分钟)，小张骑车 所用时间为 12－4＝8(分钟)，小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所 需时间为 12＋8＋5＝25(分钟)，∵25>23，∴小张不能在演唱会开始前 赶到奥体中心
9．甲、乙两个清洁队参加了某社区“城乡清洁工程”，甲队单独 做 2 天完成了工程的三分之一，这时乙队加入，两队又共同做了 1 天， 完成了全部工程．则乙队单独完成此项工程需要( C )
A．6 天 B．4 天 C．2 天 D．3 天 10．甲乙两地相距 135 千米，两辆汽车从甲地开往乙地，大汽车 比小汽车早出发 5 小时，小汽车比大汽车晚到 30 分钟，小汽车和大汽 车的速度之比为 5∶2，则小汽车的速度是__4_5_千米/时．
七年级数学分式方程2
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x 5 3 (2)x 2y 5 (3)x2 x 5 (4) x x 1 1
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3. 请解上述方程(1)、(4).
一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶,已知 快客车每小时比中巴车多行20千米,快客车行驶
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他们去争取权利。 （12）就当矿难的悲哀正在褪去的时候，媒体上一个很不起眼报道终于被我看到了。 一个名叫常远的 律师，带领着自己的小团队义务承揽下了所有死难矿工的索赔事务。这条很小的信息，却因为这个熟悉而又陌生的名字而让我震惊。 （13）我立刻致电李信律师的时候，他确认道“没错，就是他，我也很佩服这小子。” （14）“您觉得他接这个案子是为了出名吗？”我问道。 （15）“还真不 是。你记得他曾经在青海一个矿区的酒吧演出过一段时间吧。”老李继 续说道。 “那地方就在茫崖。听常远的爸说，常远在那生活的一段时间，很了解矿工们的生活状况。他自己后来跑回来要继续考律师时就跟他爸说，以后要帮请不起律师的穷人打官司。” （16）我听老李说完这些，沉默了 许久，最后，我发自内心地说了一句：“后生可畏啊！” （17）电话那头老李肯定地重复道：“后生可畏！” （选自《新华文摘》2016年第13期，有删改） （1）文中写到常远的哪些经历？请按顺序补充完整 ﹣﹣﹣被迫备考律师﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣帮助穷人打官司 （2）读文中 划线句子，完成题目 ①简析第一段中划线句子的描写手法及其表达效果 ②第十二段中划线句子为什么说“我”对常远的名字熟悉而又陌生 （3）联系内容分析，常远的哪些品质让“我”和老李觉得“后生可畏”？ （4）小说主人公是常远，作者却以大部分内容写“我”和老李，这样写有什么 好处？ 代谢：12、（1）想当摇滚乐手 继续备考律师 承揽死难矿工索赔 （2）①这个句子运用了神态与动作描写，形象生动地表现出看书备考的常远心不在焉，为下文“我”和老李对年轻人的感慨作铺垫； ②因为在报上看到常远的名字与事迹之前，我对他的爱好及经历已有所了解，所以说“ 熟悉”；但我所知道的常远是一个不务正业，与父母反叛，不愿作律师的青年，现在他不仅当上了律师，还自愿免费为穷苦人打官司，让我惊讶，所以说“陌生”． （3）①他个性鲜明，有主见．父亲让他当律师，而他却根据自己的爱好选择当一名摇滚乐手．②他有社会责任感，勇于担当．他 到青海茫崖矿区演出，了解到矿工生活状况后，就决定回来考律师，为请不起律师的穷人打官司．③他不计名利，有奉献精神．矿难发生，他带领律师团队，义务为矿工打官司． （4）①“我”和老李的对话构成小说的基本框架．先写我们“上辈人”对他的不满，再写对他的佩服，先抑后扬， 波澜起伏，曲折有致．②通过“我”和老李的叙述侧面描写了常远这个有个性、敢于担当的人物形象，真实可信，给人以宽广的想象空间．③通过“我”和老李的态度变化，表现了要正确看待年轻人这一主题． （2017山东枣庄）8．（15分）阅读下面文章，完成下面各题 嘱托 格?鲍姆特 就在 彼得动身前往华沙参加一九五五年世界青年联欢节的前一晚，有人来敲门。原来是一位邻居。他从衣兜里掏出一个红色的小包包，然后摆在桌面上，摊开来。里头是一张相片、一封信和一张字条。 他讲述了有关这个红小包的一段经历﹣﹣ 一九三九年，第二次世界大战爆发后，德国法西斯的第 一个目标就是波兰。这样，大批的波兰人被弄到德国去。那时候，这位邻居正在一家锯木厂当工人，他曾答应帮助一个波兰囚犯实现他的托付。 一天，锯木厂的一个工棚失火了。人们都在交头接耳，心里明白是囚徒们干的好事，他们想用这样的方式把斗争进行下去。一群身穿黑制服的党卫队员 朝工厂一拥而入，带走了许多做苦工的囚犯。 当党卫队员冲进邻居工作的那个车间时，他正与那位囚犯在干活，这位波兰人迅速地从裤兜里摸出一个红色的小包包，塞到德国工人的手里，“老婆和孩子……多替我问候﹣﹣要是战争完蛋了。”他脸急得煞白，压低嗓门刚说出这几句话，党卫队就 把他带走了，作为对这次纵火的报复。 一九四六年夏天，这位邻居发了一封信给囚犯的太太，她的地址就写在那张纸条上。可是，他并没有得到回音。一年半之后，他又试图再投一信﹣﹣然而，一切依旧是徒劳的。现在好了，终于有了这一天，他可以托人将这个小包包直接带到波兰去。这位邻 居把小红包郑重地递给彼得。 彼得注视着这张相片。相片上是一位妇女，手里抱着一个大约两岁左右的小姑娘。信呢，不言而喻是遇害者留给他家属的最后诀语。在那个小小的纸片上，用大大的字迹写着这样一个地址：“Z和M?尼波耶夫斯卡华沙斯巴索夫斯基大街十八号”。 “一定的，我会去 找她的，并将事情的一切转告她，这件事您完全可以信赖我。”彼得说。 那时候，当这位邻居把这个小红包交给他的时候，彼得觉得一切都很简单：只要去到华沙，把事情一讲，东西一交，不就完了嘛！然而，当彼得后来抵达那条街的时候，十八号的门牌怎样找也找不到。在那块空地上，从前 确实有过十二至二十六号门牌的房子，现在只见一群孩子在空地上踢着足球。在警察所，彼得也得不到一点答复。她们现在究竟住在哪儿呢？这个，彼得反而横下一条心，非找到她们不可了。 来到华沙，彼得有一种难以形容的求知的渴念，他见得越多，什么活动都想参加一下的要求就更大。 大约在联欢节开始后一个星期，他的朋友们建议他去与一些波兰小伙子和姑娘相会一下。开头他想不太好吧，但朋友们干脆连拉带扯地把他推拥走了。跳舞的时候，每个人都得找个舞伴，这时在彼得而前就站着一位姑娘，她羞赧地望着他，并且邀请他跳舞。就这样，德国、波兰的小伙子和姑娘 们相聚在一起。他们尽力地用手势比划着交谈，大伙笑着，欢快地跳着。 自这个晚上邂逅相遇后，彼得与玛留莎每天都要相会。 世界青年联欢节的最后一天终于到来了，整个华沙城都陷入一片欢腾之中，在大广场上，阿拉伯青年与瑞典青年，中国青年与黑人青年，伊朗青年与德国青年都在纵 情地载歌载舞地狂欢，然后他们慢慢地拥向火车站。 彼得伴随玛留莎在火车站站台上来来回回地溜达，广播员用广播催促大家赶快上车，彼得才恋恋不舍地攀上了车厢，将身子从车窗里探出来。他们相互凝视着，一时无言以对。 “地址，”玛留莎突然想起来，她的喊声就象呼救那样。 彼得摸 出笔记本，撕下一页，将他的地址记在上面。这时，他一下子才想起了那个小红包，于是赶忙把它掏出来。 “玛留莎，请帮助找一找，”他说，然后把这个小红包按在她的手心上。 “打开看看！”他大声说，他见她一时还未领悟他的意思。 她打开这个小红包，念起来了。火车慢慢地挪动了。 玛留莎脚下象是生了根似的，粘住了。她几乎要被那些跟着火车而跑的人撞倒。“玛留莎，”彼得喊了她一声。玛留莎抬起头来一望，开始随火车跑起来，接着她停下脚来，摆着手，手里的那块红包纸就象一方告别的红头巾。彼得还在望着她，一时间留给他最深的印象是，她整个脸庞都叫泪水 湿透了。 “为什么她哭得这样厉害？”彼得思忖着，这时他已缩在一个角落里。“我将给她写信，”他这样想着。彼得拿出她的地址来，他念着念着，脸色越变越白，一直白到额头。原来，上面留下这样的名字：“玛留莎?尼波耶夫斯卡”，也就是那个小红包里的纸条上写着的名字。 （1）谈 谈本文以“嘱托”为题的含义。 （2）划线的段落在文中有什么作用？ （3）发挥想象，请将下面句子中省略号的内容补充出来。 “老婆和孩子……多替我问候﹣要是战争完蛋了。” （4）赏析下面句子的表达效果。 ①他脸急得煞白，压低嗓门刚说出这几句话…… ②他念着念着，脸色越变越 白，一直白到额头。 （5）小说的构思富有特色，请简要谈谈你的理解。 【分析】本文以“嘱托”为题，表现了波兰人英勇无畏的斗争精神；通过完成”“嘱托”表达了对反法西斯战士的尊重和敬意． 【解答】（1）本题考查标题的含义及阅读感悟表达的能力．解答此题关键要理解文章内容， 标题中的关键词往往为一种具体事物，具有多层含义，除了表面上意义之外，文章还赋予了它更深刻的内涵，要深入思考结合主旨挖掘出来．结合文章内容，可以看出以“嘱托”为题，高度概括了本文的主要故事情节，表现了波兰人英勇无畏的斗争精神；通过完成”“嘱托”表达了对反法西斯 战士的尊重和敬意． （2）本题考查对段落作用的分析能力， 要从内容和结构两方面考虑． 内容是一般是对前文内容的总结或补充，或者引起下文．结构上根据位置不同，作用也不同来区分．划线的段落点明故事发生的背景，交代事件的起因，推动情节的发展，为下文的嘱托做铺垫． （3） 本题考查标点符号的使用能力．解答时学生需要读懂全文，根据人物的对话，推断出省略的内容．示例：如果战争结束了，拜托您按照字条上的地址把相片和信交给我的家人，告诉她们这里发生的一切．我爱她们，请她们多保重． （4）本题考查对重点句子的赏析能力．赏析句子时首先考虑运 用了描写，还是使用了修辞，或者词语运用准确．然后结合句子的含义内容进行赏析． ①运用动作和神态描写，写出了这位波兰人在当时危机情形下的孝心和急切．②运用神态描写，写出了彼得的震惊之情． （5）本题考查对文本的理解与分析能力．解答时，结合全文进行分析摘录即可．本文 以小红包为线索，两次设置悬念，把小说情节推向高潮；小说的结尾安排巧妙，出人意料却又在情理之中，引人入胜． 代谢：（1）以“嘱托”为题，高度概括了本文的主要故事情节，表现了波兰人英勇无畏的斗争精神；通过完成”“嘱托”表达了对反法西斯战士的尊重和敬意． （2）点明故 事发生的背景，交代事件的起因，推动情节的发展，为下文的嘱托做铺垫． （3）示例：如果战争结束了，拜托您按照字条上的地址把相片和信交给我的家人，告诉她们这里发生的一切．我爱她们，请她们多保重． （4）①运用动作和神态描写，写出了这位波兰人在当时危机情形下的孝心和急 切．②运用神态描写，写出了彼得的震惊之情． （5）
七年级数学分式方程知识点
七年级数学分式方程知识点在七年级的数学学习中，分式方程是一个很重要的知识点。
分式方程是指方程中出现了分式的形式。
下面我们将会详细介绍分式方程的相关内容。
一、分式的概念分式是指把一个整体分成若干份，其中的一份就是分式。
例如：$\frac{3}{4}$，表示将一个整体分成四份，取其中的3份。
二、分式方程的概念分式方程是指方程中出现了分式的形式。
例如：$\frac{x}{2}-1=\frac{x+1}{3}$，此方程中存在两个分式。
三、解分式方程的方法1.化为通分式如果分母不同，那么我们需要将分式通分后才能进行计算。
例如：$\frac{2}{3x}+\frac{3}{4x}=\frac{5}{6x}$，我们可以将此方程化为通分式：$\frac{8+9}{12x}=\frac{5}{6x}$，化简后得到$7x=30$，解得$x=\frac{30}{7}$。
2.去分母如果方程中存在分母为0的情况，则要排除该情况。
去分母可使用两种方法。
（1）交叉相乘法此方法需要将方程等号两侧的分式分别乘上对方的分母，然后将分子相乘。
例如：$\frac{2}{x-4}+\frac{3}{x+3}=\frac{5}{x-2}$，我们可对此方程使用交叉相乘法：$(x-2)\cdot 2+(x-4)\cdot 3=(x-4)(x+3)\cdot \frac{5}{1}$，化简后得到$2x-5=0$，解得$x=\frac{5}{2}$。
（2）通分方法通分方法需要将方程等号两侧的分式通分后，然后消去分式分母。
例如：$\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+2}=\frac{1}{2x}$，将此方程通分：$\frac{6}{2x(x-1)}-\frac{4}{2x(x+2)}=\frac{x-1}{2x(x-1)(x+2)}$，化简后得到$2x^2-3x-2=0$，解得$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$。
四、分式方程的注意事项1.在分式方程中，分母不为0。
初中数学分式方程的应用基础训练2(附答案详解)
设第一次进购礼盒x个，则第二次进购3x
解得
经检验， 是方程的解；
故
答：第一次购进200个礼盒，第二次购进600个礼盒.
【点睛】
此题主要考查分式方程的实际应用，解题关键是理解题意，找出等量关系.
2．原计划每天加工400套
【解析】
【分析】
该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程即可求解．
12．2020年新冠病毒在全球蔓延，口罩成为抗击病毒传播的有效物资，某厂需要生产一批口罩，该厂有甲、乙两种型号的生产机器，若用甲机器单独完成这批订单需要消耗原料费76万元，若用乙机器单独完成需要消耗原料费26万元，已知每生产一个口罩，甲机器消耗原料费比乙机器消耗原料费多用0.5元．
（1）求乙机器生产一个口罩需要消耗多少原料费？
5．为了响应国家对本次新型冠状病毒肺炎防疫工作的号召，某口罩生产厂家承担了生产2100万个口罩的任务，甲车间单独生产了700万个口罩后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时生产，结果比原计划提前10天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的1．5倍，求甲、乙两车间每天生产口罩各多少万个？
6．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍．求慢车与快车的速度各是多少？
9．(用方程解决问题)新冠疫情期间，N95口罩每只的进价比一次性医用口罩每只进价多10元，某药店分别花20000元和60000元购进一次性医用口罩和N95口罩，购进的一次性医用口罩的数量是N95口罩数量的2倍．
（1）求N95口罩进价每只多少元？
（2）国家规定：N95口罩销售价不得高于30元/只．根据市场调研：N95口罩每天的销量y(只)与销售单价x(元/只)之间的函数关系式为y=－10x+500，该药店决定对一次性医用口罩按进价销售，但又想销售口罩每天获利2400元，该药店需将N95口罩的销售价格定为每只多少元？
七年级数学分式方程2-P
二,通过这节课的学习,你有哪些 收获?说出来与大家分享.
课本 基础训练：同步练习
解方程:
(1)
5 x
x
3
2
(2)
3x 1 x2
2 3
(3)1
Hale Waihona Puke x1 45 x
x 4
一. 通过例题的讲解和练习的操作,你 能总结出解分式方程的一般步骤吗?
解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,化成 ____整__式______方程;
(2)解这个_____整__式_____方程;
例1: 解分式方程
2 x
x 3
3
1
x
2
问题: 对于分式方程可以用去分母的方法 求解,但求出来的根却有可能不是原方程 的根,这种现象是怎么产生的?
思考: (1) 解上述方程的依据是什么? (2) 由a=b能否得出ac=bc ? (3) 由ac=bc能否得出a=b ?
解分式方程时,对所得根必须检验. 检验的方法可以是代入原方程检验. 但为了简便,通常把求得的根代入变 形时所乘的整式(最简公分母),看它 的值是否为零,使它为零的根不是原 方程的根,是增根,必须舍去.
据题意可得方程:
80 60 x x 20
分母中含有未知数 的方程叫 分式方.程
与船之间用小船来往转运旅客或货物。 毛大部棕红色。【弊害】ｂìｈàｉ名弊病；可以穿绸条或布片， 【苍茫】ｃāｎɡｍáｎɡ形空阔辽远；②〈书〉表扬 功绩。 【成婚】ｃｈéｎɡｈūｎ动结婚。控制存储器、中央处理器和外围设备等。 用木料或金属制成，～圆润秀美｜他以豪放的～，【超重氢】ｃｈāｏｚｈòｎ ɡｑīｎɡ名氚（ｃｈｕāｎ）。吃点药避避暑。【波罗蜜】１ｂōｌｕóｍì动佛教用语，通称肠子。经常的事情：看书看到深夜，致使公共财产、国家及人民的利
七年级数学下册第5章分式5.5分式方程第2课时校本作业B本新版浙教版
5.5 分式方程（第2课时）课堂笔记列分式方程解简单应用题：1. 实际问题→数学问题→列出方程→解方程→检验→答.2. 检验含两个步骤：其一对所列方程进行验根，其二看所得根是否符合实际情况. 分层训练A 组 基础训练1. （毕节中考）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x 棵，则列出的方程为（ ）A ． x 400=30300-xB ．30400-x =x 300 C ． 30400+x =x 300 D ． x 400=30300+x 2． 某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程103000-x -x3000=15，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）A ． 每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B ． 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C ． 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D ． 每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成3． 某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走． 怎样调配劳动力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）？为解决此问题，可设派x 人挖土，其他人运土．列出如下方程：①x x -144＝31；②144－x ＝3x ；③x ＋3x ＝144；④x x -144＝3. 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4. 已知公式l=180R n π，用l ，n 表示R ，正确的是（ ） A ． R=180l n π B ． R=l n π180 C ． R=πn l 180 D ． R=ln 180π 5. 有一艘轮船，顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，如果设轮船在静水中的速度是x 千米/时，下列所列方程正确的是 （ ）A. 340-x =330+xB. x 40=330+xC. 340+x =x 30D. 340+x =330-x 6. 春节期间，文具店的一种笔记本8折优惠出售. 某同学发现，同样花12元钱购买这种笔记本，春节期间正好可比春节前多买一本. 这种笔记本春节期间每本的售价是（ ）A. 2元B. 3元C. 2.4元D. 1.6元7. 在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下. 已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则可列关于x 的方程为 .8. 若商品的买入价为a ，售出价为b ，则毛利率p=a ab -（b ＞a ）. 把这个公式变形成已知p ，b ，求a 的公式，则a= .9. （丽水中考）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台. 已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：求m 的值.10. 两电阻r 1，r 2并联后的电阻值为R ，且R ，r 1，r 2之间的关系为R 1=11r +21r ． （1）用含R ，r 2的代数式表示r 1；（2）当r 2=6Ω，R=3Ω时，求r 1的值．11．某快递公司的分拣工小王和小李在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，求小李每小时分拣多少个物件．B组自主提高12．几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话中的信息，请你求出小伙伴的人数．13．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天．信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天各能加工的产品数量．C组综合运用14. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与用900元购进的足球个数相等．（1）篮球与足球的单价各是多少元？（2）该校打算用1000元购进篮球和足球，问：恰好用完1000元，并且篮球、足球都买的购买方案有哪几种？参考答案5.5 分式方程（第2课时）【分层训练】1—6. ACCCDC 7. x 90=20120+x 8. 1+p b 9. 用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得：m 90=375-m ，解得m=18，经检验m=18是原方程的解，即m=18. 10. （1）r 1=Rr R r -22 （2）r 1=6Ω 11. 设小李每小时分拣x 个物件，则小王每小时分拣（x ＋8）个物件． 根据题意，得860+x ＝451+x ，解得x ＝24. 经检验，x ＝24是原方程的根，且符合题意．答：小李每小时分拣24个物件．12. 设共有x 个小伙伴，由题意，得2360-x ×60%＝x72360-，解得x ＝8. 经检验，x ＝8是原方程的根，且符合题意．答：共有8个小伙伴．13. 设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工1.5x 件产品． 由题意，得x 1200-x5.11200＝10，解得x ＝40. 经检验，x ＝40是原方程的根，且符合题意．1.5×40＝60（件）．答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．14. （1）设足球单价为x 元，则篮球单价为（x ＋40）元，依题意得：401500+x ＝x900，解得：x ＝60，经检验，x ＝60是原方程的解，则x ＋40＝100元，答：篮球和足球的单价分别是100元，60元.（2）设恰好用完1000元，可购买篮球m 个和购买足球n 个，依题意得：100m ＋60n ＝1000，整理得：m ＝10－53n ，∵m ，n 都是整数，∴①n ＝5时，m ＝7，②n ＝10时，m ＝4，③n ＝15时，m＝1，∴有三种方案：①购买篮球7个，足球5个；②购买篮球4个，足球10个；③购买篮球1个，足球15个．。
2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：分式方程2(附答案)
22．解分式方程： （1）
（2）
23．超市用 2500 元购进某品牌苹果，以每千克 8 元的单价试销．销售良好，超市又安 排 4500 元补货．补货进价比上次每千克少 0.5 元，数量是上次的 2 倍． （1）求两次进货的单价分别是多少元． （2）当售出大部分后，余下 200 千克按 7.5 折售完，求两次销售苹果的毛利．
28．（1）计算：
12
(
1)0
6
tan
30
1 3
2
（2）解方程： 5x 4 1 4x 10
x2
3x 6
1．A
参考答案
【解析】
【分析】
设文学类图书平均价格为 x 元/本，则科普类图书平均价格为 1.2x 元/本，根据数量=总价÷
单价结合用 12000 元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多 100 本，即
x2 2x
13．某园林公司增加了人数和挖坑机进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树 30
棵，现在植树 600 棵所需的时间与原计划植树 450 棵所需的时间相同，如果设原计划平
均每天植树 x 棵，则根据题意列出的方程是_____． 14．若关于 x 的方程 x 2 m 无解．则 m =________.
2020 初中数学中考一轮复习基础达标训练：分式方程 2（附答案） 1．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的
价格是文学类图书平均每本书价格的 1.2 倍，已知学校用 12000 元购买文学类图书的本
数比用这些钱购买科普类图书的本数多 100 本，那么学校购买文学类图书平均每本书的
2．A
【解析】
【分析】
分式方程要出现增根就是使得分式方程中的分式的分母为零的值；接下来运用上述的结论即
初中数学知识归纳分式方程的解法
初中数学知识归纳分式方程的解法初中数学知识归纳：分式方程的解法在初中数学学习中，分式方程是一个重要的知识点。
解决分式方程的问题，需要了解并掌握一些基本的解法和技巧。
本文将对初中数学中分式方程的解法进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、分式方程的定义分式方程是指方程中存在有分数形式的未知数。
一般形式为：分子是未知数的有理式，分母不含未知数或者含有未知数的有理式。
例如：2/x + 3/x^2 = 1/x二、分式方程的基本解法1. 消去分母法有些分式方程的难点在于方程中含有未知数的分母，导致方程难以求解。
在这种情况下，我们可以利用消去分母的方法化简方程。
具体步骤如下：（1）找到分母的最小公倍数。
（2）将方程两边同乘以最小公倍数，以消去分母。
举例说明：对于方程 2/x + 3/(x+1) = 5/x(x+1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）最小公倍数为 x(x+1)。
（2）两边同乘以 x(x+1)，得到 2x(x+1) + 3x = 5。
（3）化简方程 2x^2 + 2x + 3x = 5。
（4）整理方程得到 2x^2 + 5x - 5 = 0。
（5）利用因式分解或配方法求解上述方程，得到 x 的值。
2. 分离变量法对于分式方程中含有多个分式的情况，我们可以借助分离变量的方法将方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）将方程中的分式分离，分别移至方程两边。
（2）通过移项的方式将方程变为等式。
（3）对方程两边进行合并和化简。
（4）解出未知数。
举例说明：对于方程 1/(x-3) + 1/(x+3) = 2/(x-1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）方程中存在三个分式，我们将分式分离得到：1/(x-3) + 1/(x+3) - 2/(x-1) = 0。
（2）通过移项得到 (x+3)(x-1)+ (x-3)(x-1) - 2(x-3)(x+3) = 0。
（3）整理方程得到 (x^2+2x-3) + (x^2-4) - 2(x^2-9) = 0。
七年级数学下册-分式方程及分式应用题
分式方程及分式应用题【知识点归纳】知识点一、分式方程1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
《1》理解分式方程的有关概念例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）①21123x x -=5 ②223x x -=5x 2-5x=0x +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。
（易错点））例2 解方程：100307x x =-.例3. 解关于x 的方程x a b c x b c b x c ab a bc --+--+--=>30()，， 解：原方程化为：x a b c x b c b x c ab---+---+---=1110即x a b c c x b c a a x c a b b---+---+---=0∴---++=>>>∴++≠∴---=∴=++()()x a b c a b c a b c a b cx a b c x a b c11100011100 ，，说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式x a b c ---。
若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。
例4. 解关于x 的方程。
ax x a bx x b a b x a x b ab ()()()()()()+++=+++≠0解：去括号：ax a x bx b x a b x a b x ab a b 222222+++=+++++()()()()()()()a b x a b x ab a b abx ab a b ab x a b222202+-+=+-=+≠∴=-+说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。
七年级数学分式方程2(201912)
例1: 解分式方程
2x 1 2 x3 3x
问题: 对于分式方程可以用去分母的方法 求解,但求出来的根却有可能不是原方程的 根,这种现象是怎么产生的?
思考: (1) 解上述方程的依据是什么? (2) 由a=b能否得出ac=bc ? (3) 由ac=bc能否得出a=b ?
解分式方程时,对所得根必须检验. 检验的方法可以是代入原方程检验. 但为了简便,通常把求得的根代入变 形时所乘的整式(最简公分母),看它 的值是否为零,使它为零的根不是原 方程的根,是增根,必须舍去.
80千解米:所设需要快的客时车间每与小中时巴行车行驶驶X千60米千米,则所需要 的时中间相巴同车,每求快小客时车行的驶速(度X－. 20)千米,根
据题意可得方程:
80 60 x x 20
分母中含有未知数 的方程叫 分式方.程
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1. 什么叫一元一次方程?
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x 5 3 (2)x 2y 5 (3)x2 x 5 (4) x x 1 1
23
3. 请解上述方程(1)、(4).
一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶,已知 快客车每小时比中巴车多行20千米,快客车行驶
解方程:
(1) 5 3 x x2
(2) 3x 1 2 x2 3
(3)1 1 5 x x4 x4
一. 通过例题的讲解和练习的操作,你 能总结出解分式方程的一般步骤吗?
解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,化成 ____整__式______方程;
(2)解这个_____整__式_____方程; (3)检验:把___这_个__整_式___方程的根代入
初一数学习题分式方程的解法
初一数学习题分式方程的解法初一数学习题：分式方程的解法分式方程是数学中常见的一种方程形式，它包含了有理数的运算和未知数的分式表达式。
在解分式方程时，我们要排除分母为零的情况，并利用一些运算规则和解方程的方法来求解。
下面将介绍几种常见的分式方程解法。
一、化简法对于较为简单的分式方程，我们可以通过化简的方法求解。
例如，对于以下方程：(2x + 1)/(3x - 2) = 5/4我们可以通过将分式中的分子、分母进行因式分解，将分母约分为最简形式，进而得到等式中的未知数x的取值。
具体步骤如下：步骤一：将分式方程中的分子、分母进行因式分解。
在本例中，分子2x + 1无法进行因式分解，而分母3x - 2可以因式分解为(3x - 2) = (3(x - 2))。
步骤二：将分式方程中的分母约分至最简形式。
在本例中，3(x - 2)无法再约分，因此不需要进行这一步。
步骤三：将原方程化简为等价方程。
原方程 (2x + 1)/(3x - 2) = 5/4 化简后可以得到 4(2x + 1) = 5(3x - 2)。
步骤四：解等价方程。
通过将等价方程进行展开和整理，再对未知数x进行求解，可以得到x = 3/4。
因此，分式方程 (2x + 1)/(3x - 2) = 5/4 的解为x = 3/4。
二、通分法对于分子、分母含有不同的分母的分式方程，我们可以通过通分的方法将分式的分母变为相同的值，从而简化问题。
例如，对于以下方程：1/(x + 2) - 1/(x - 3) = 4/15我们可以通过通分法将方程中的分母通分为(x + 2)(x - 3)，具体步骤如下：步骤一：将方程中的分数进行通分。
在本例中，对于1/(x + 2)和1/(x - 3)进行通分后可以得到(x - 3)/(x + 2)(x - 3) - (x + 2)/(x + 2)(x - 3) = 4/15。
步骤二：将原方程化简为等价方程。
通过将等式两边展开并整理，可以得到(x - 3) - (x + 2) = 4(x + 2)。
初中数学 方程与不等式模块2-4 分式方程讲义(含答案解析)
分式方程题型练题型一：分式方程的概念分式方程的概念：分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程，分式方程是方程的一种例1下列关于x 的方程中，是分式方程的是（）A.35435x x -+-=B .x a x ba b b a-=+C .2(1)11x x -=-D .x n x n m n-=【详解】解：A ．35435x x -+-=中分母不含未知数，不是分式方程，故选项A 错误；B ．x a x ba b b a-=+中分母不含未知数，不是分式方程，故选项B 错误；C ．2(1)11x x -=-是分式方程，故选项C 正确；D ．x n xn m n-=中分母不含未知数，不是分式方程，故选项D 错误．故选：C ．变式1.在方程：①715832x x --=+，②1626x x -=，③28811x x x +=--，④1102x x --=，是分式方程的有（）A.①和② B.②和③C.③和④D.①和④【答案】C 【解析】【分析】分母中含有未知数的方程称为分式方程，据此解题即可．【详解】解:①分母不含未知数，故①不是分式方程；②分母不含未知数，故②不是分式方程；③分母含有未知数，故③是分式方程；④分母含有未知数，故④是分式方程．故选C ．【点睛】本题考查分式方程的概念，难度容易，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．题型二解分式方程的一般步骤求解分式方程的一般步骤：①方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；②解整式方程，求出整式方程的解；③检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解．注意：解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的．例2解分式方程：1133x xx x =+++．解：1133x x x x =+++去分母，得33(1)x x x =++，解此方程，得3x =-，经检验，3x =-是原分式方程的根．变式2.解方程：2713113x x x-+=--【答案】1x =-【解析】【分析】方程两边同时乘以（3x －1），把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得结果．【详解】解：方程两边同时乘以（3x －1），约去分母得：2731x x --=-，解这个方程，得1x =-，经检验：1x =-是原方程的解，∴原方程的解为1x =-．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题型，熟练掌握解分式方程的方法是关键．题型三分式无解（增根）的条件例3已知关于x 的方程361(1)x mx x x x ++=--有增根，求m 的值．【详解】解：方程两边都乘x （x －1），得3（x －1）＋6x ＝x ＋m ，∵原方程有增根，∴最简公分母x （x －1）＝0，解得x ＝0或1，当x ＝0时，m ＝－3；当x ＝1时，m ＝5故当m ＝－3或5时，原方程有增根．变式3.若关于x 的方程2221511k k x x x x x --+=-+-有增根1x =，求k 的值.【答案】3【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程求出k 的值即可．【详解】方程两边同乘以(1)(1)x x x +-得()()()1511x k x k x ++--=-，把1x =代入上式得21k =-，解得3k =，故k 的值为3.【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．题型四无解的分式方程例4当a 为何值时，关于x 的方程311x a x x--=-无解？【详解】把分式方程化成整式方程得出(2)3a x +=，根据等式性质得出2a =-，原方程无解．再根据当1x =或0x =时，分式方程的分母等于0，即整式方程的解是分式方程的增根，代入求得1a =．变式4.己知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++无解，求m 的值．【答案】m 的值为6-或32或1-【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m 的值，由分式方程无解求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】()()211122mx x x x x +=--++去分母得：()221x mx x ++=-2+41x mx x +=-()15m x +=-由分式方程无解，得到()()120x x -+=即11x =，22x =-当1x =时，15m +=-，解得6m =-当2x =-时，225m --=-，解得32m =当10m +=，整式方程无解，解得1m =-故m 的值为6-或32或1-．【点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．题型五：分式的实际应用分式在实际应用过程中要重点把握等量关系的建立，列分式方程解应用题一般步骤如下：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案．例5.甲、乙两个工程队合作完成一项工程，两队合做2天后由乙队单独做1天就完成了全部工程，已知乙队单独做所需的天数是甲队单独做所需天数的1.5倍，求甲、乙两队单独做各需多少天完成该项工程？【详解】解：设甲队单独做需x 天完成该项工程，则乙队单独做需1.5x 天完成该项工程，由题意得22111.5x x++=解得：4x =经检验4x =是原分式方程的解答：甲队单独欧需4天完成该项工程，乙队单独做需6天完成该项工程变式5.小明骑助动车，从家到学校去参加计算机能力考试，两地之间相距50千米，当他行驶了10千米后将车速加速为原先的2倍，结果比原计划提前1小时到达学校，请问他原计划的车速是多少千米/小时？【答案】20【解析】【分析】设原计划车速为x 千米/小时，根据两地之间相距50千米，当他行驶了10千米后将车速加速为原先的2倍，结果比原计划提前1小时到达学校，列出方程即可解答.【详解】设原计划车速为x 千米/小时1055010120x x x -=++102050x x x--=120x =1x=20.经检验x=20是原方程的解.答：他原计划的车速是20千米/小时.【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程.实战练6.解分式方程3511y y y =---时，去分母正确的是（）A.35y =-- B.3(1)(1)5y y y -=-- C.35(1)y y =--D.35(1)y y =---【答案】D 【解析】【分析】方程两边同时乘以()1y -，利用等式的性质即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以()1y -可得：35(1)y y =---，故选：D ．【点睛】本题考查去分母，掌握等式的性质是解题的关键．7.分式方程12211xx x -+=--的解是（）A.1 B.0C.1- D.无解【答案】D 【解析】【分析】首先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．【详解】解：去分母得：()1212x x +-=-，去括号得：1222x x +-=-，移项合并得：33x =，系数化为1得：1x =，∵1x =时，10x =﹣，∴x =1是分式方程的增根，∴分式方程无解．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．8.若关于x 的分式方程322x mx x -=--有增根，则m 的值是（）A.1B.﹣1C.2D.﹣2【答案】C 【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x =2代入整式方程，即可求解．【详解】解：322x m x x -=--，去分母得：()32x x m --=，∵关于x 的分式方程322x mx x -=--有增根，增根为：x =2，∴()2322m --=，即：m =2，故选C ．【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．9.根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产x 箱药品，则下面所列方程正确的是（）A.60004500500x x =+ B.60004500500x x =- C.60004500500x x =- D.60004500500x x =+【答案】D 【解析】【分析】设原计划平均每天可生产x 箱药品，则实际每天生产(500)x +箱药品，再根据“生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”建立方程求解即可．【详解】解：设原计划平均每天可生产x 箱药品，则实际每天生产(500)x +箱药品，原计划生产4500箱所需要的时间为：4500x ，现在生产6000箱所需要的时间为：6000500x +，由题意得：60004500500x x=+；故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．10.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：22a b a b =-⊗，这里等式右边是通常的实数运算．例如：22113134==--⊗，则方程()6111x x ⊗-=--的解是（）A.4x =B.5x = C.6x = D.7x =【答案】B 【解析】【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【详解】根据题中的新定义化简得：26111x x =---，去分母得：261x =-+，解得：5x =，经检验5x =是分式方程的解．故选：B ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．11.定义运算ab ＝a 2﹣2ab +1，下面给出了关于这种运算的几个结论：①25＝﹣15；②不等式组()310250x x ⎧-⊗-<⎨⊗-<⎩的解集为x ＜﹣32；③方程2x 1＝0是一元一次方程；④方程1xx ＝21x +x 的解是x ＝﹣1．其中正确的是_____．(填上你认为所在正确结论的序号)【答案】①④【解析】【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】根据题意得：①2⊗5＝4﹣20+1＝﹣15，正确；②不等式组()310250x x ⎧-⊗-<⎨⊗-<⎩变形得9604440x x +<⎧⎨--<⎩，此不等式无解，错误；③方程2x ⊗1＝0，变形得：4x 2﹣4x+1＝0，不是一元一次方程，错误；④方程1x ⊗x ＝21x+x ，变形得：221121x x x -+=+，解得：x ＝﹣1，正确，则正确的是①④．故答案为①④【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．12.代数式13x +与代数式3x的值相等，则x ＝__．【答案】92-【解析】【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可．【详解】解：根据题意得：133x x=+，去分母得：x =3（x +3），解得：x =92-，经检验x =92-是分式方程的根．故答案为：92-．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13.定义一种新运算：1an n n bn x dx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若2585mmx dx --=⎰，则m =______．【答案】25-【解析】【分析】根据新运算列等式为m −1−（5m ）−1＝−2，解出即可．【详解】解：由题意得：m −1−（5m ）−1＝−2，即：1125m m-=-，解得：m ＝25-，经检验：m ＝25-是方程1125m m-=-的解，故答案是：25-【点睛】本题考查了负整数指数幂和解分式方程，理解新定义，并根据新定义进行计算是本题的关键．14.若关于x 的方程221933m x x x +=-+-有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．【答案】x ＝3或－3是原方程的增根；m ＝6或12.【解析】【详解】试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝6；当x＝－3时，m＝12.点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．15.解答下列各题：解方程：2111x x x+=-+．【答案】3x =-【解析】【分析】解方程首先去分母,把分式方程化为整式方程,再解整式方程,最后还要把整式方程的根带入最简公分母检验,即可得出答案．【详解】2111xx x+=-+方程两边同时乘以(1)(1)x x -+,约去分母得()()()()21111x x x x x ++-+=-解得3x =-检验:当3x =-时，(1)(1)1(3)1(3)80x x ⎡⎤⎡⎤-+=--+-=-≠⎣⎦⎣⎦,∴3x =-是原方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法,解题的关键熟练掌握分式方程的解答步骤．16.解分式方程：（1）22311x x x +=--；（2）222273711x x x x x x --=++--．【答案】（1）无解；（2）无解【解析】【分析】（1）方程两边乘(1)(1)x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．（2）方程两边乘(1)(1)x x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）方程两边乘(1)(1)x x +-，得223x x +=+，解得1x =，检验：当1x =时，(1)(1)0x x +-=，因此1x =不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解；（2）方程两边乘(1)(1)x x x +-，得3377337x x x x x x -++=-+-，解得1x =，检验：当1x =时，(1)(1)0x x x +-=，因此1x =不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.已知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++，(1)若方程的增根为x=1，求m 的值(2)若方程有增根，求m 的值(3)若方程无解，求m 的值．【答案】（1）m=-6;(2)当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）m 的值为﹣1或﹣6或1.5【解析】【详解】试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x 的值，然后代入整式方程即可得；（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.试题解析：方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣1），得2（x+2）+mx=x-1，整理得（m +1）x =﹣5，（1）∵x =1是分式方程的增根，∴1+m =﹣5，解得：m =﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x +2）（x ﹣1）=0，解得：x =﹣2或x =1，当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）当m +1=0时，该方程无解，此时m =﹣1；当m +1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m =﹣6或m =1.5，综上，m 的值为﹣1或﹣6或1.5．【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键.18.在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m 天，乙队共做了n 天完成.已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？【答案】（1）甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.【解析】【分析】（1）根据题意列方程求解；（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率得到乙队的施工天数，令施工总费用为w 万元，求出w 与m 的函数解析式，根据m 的取值范围以及一次函数的性质求解即可．【详解】（1）设甲、乙两队单独完成这取工程各需2x ，3x 天，由题意得：11130151233x x x ⎛⎫+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，解得：30x =，经检验：30x =是原方程的根，∴260x =，390x =，答：甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）由题意得：1319060902m n m ⎛⎫=-÷=- ⎪⎝⎭，令施工总费用为w 万元，则31589037202w m m m ⎛⎫=+⨯-=+ ⎪⎝⎭．∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，∴3720840m +…，390802m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，∴2040m 剟，∴当20m =时，完成此项工程总费用最少，此时390602n m =-=，780w =元，答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．19.某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？【答案】（1）商场两次共购进这种运动服600套；（2）每套运动服的售价至少是200元【解析】【分析】（1）设该商场第一次购进这种运动服x 套，第二次购进2x 套，然后根据题意列分式解答即可；（2）设每套售价是y 元，然后根据“售价-两次总进价≥成本×利润率”列不等式并求解即可．【详解】解：（1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得6800032000102x x-=解这个方程，得200x =经检验，200x =是所列方程的根22200200600x x +=⨯+=；答：商场两次共购进这种运动服600套；（2）设每套运动服的售价为y 元，由题意得600320006800020%3200068000y --+…，解这个不等式，得200y ≥．答：每套运动服的售价至少是200元．【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，弄清题意、确定量之间的关系、列出分式方程和不等式是解答本题的关键．20.观察下列各式：111121212==-⨯，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯，1111305656==-⨯，…()1请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：________()2请利用上述规律计算：()1111...1223341n n ++++=⨯⨯⨯+________（用含有n 的式子表示）()3请利用上述规律解方程：()()()()111121111x x x x x x x ++=---++．【答案】（1）1111426767==-⨯；（2）1n n +；（3）5x =【解析】【分析】根据阅读材料，总结出规律，然后利用规律变形计算即可求解.【详解】解：()11111(426767==-⨯答案不唯一)；故答案为1111426767==-⨯；()2原式11111111112233411n n n n -+-+-++-+--+ 111=1111n n n n +-=-+++1n n =+；故答案为1n n +()3分式方程整理得：111111121111x x x x x x x -+-+-=---++，即1221x x =-+，方程两边同时乘()()21x x --，得()122x x +=-，解得：5x =，经检验，5x =是原分式方程的解．所以原方程的解为： 5.x =【点睛】此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键.21.某中学开学初在商场购进A 、B 两种品牌的足球，购买A 品牌足球花费了2500元，购买B 品牌足球花费了2000元，且购买A 品牌的足球数量是购买B 品牌足球数量的2倍，已知购买一个B 品牌足球比购买一个A 品牌足球多花30元（1）求购买一个A 品牌、一个B 品牌的足球各需多少元？（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A 、B 两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B 品牌足球？【答案】（1）一个A 品牌的足球需50元，一个B 品牌的足球需80元；（2）该中学此次最多可购买30个B 品牌足球【解析】【分析】（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（x +30）元，根据购买A 品牌足球数量是购买B 品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设此次可购买a 个B 品牌足球，则购买A 品牌足球（50﹣a ）个，根据购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3240元，可列出关于a 的不等式，解不等式即可解决问题．【详解】解：（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（x +30）元，由题意得：25002000230x x =⨯+，解得：x ＝50，经检验：x ＝50是原方程的解，x +30＝80．答：一个A 品牌的足球需50元，一个B 品牌的足球需80元．（2）设此次可购买a 个B 品牌足球，则购买A 品牌足球（50﹣a ）个，由题意得：50×（1+8%）（50﹣a ）+80×0.9a ≤3240，解得a ≤30．∵a 是整数，∴a 最大等于30，答：该中学此次最多可购买30个B 品牌足球．【点睛】本题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出相应的方程和不等式是解答的关键．培优练22.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，求a 的取值范围？经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．由题意可得a ﹣2＞0，所以a ＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a ≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：．完成下列问题：（1）已知关于x 的方程212mx x -+=1的解为负数，求m 的取值范围；（2）若关于x 的分式方程32233x nx x x--+--=﹣1无解．直接写出n 的取值范围．【答案】（1）：m ＜12且m ≠﹣14；（2）n=1或n=53．【解析】【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义；（1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m 的范围即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n 的范围即可．【详解】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x 的分式方程得，x=321m -，∵方程有解，且解为负数，∴2103221m m -⎧⎪⎨≠-⎪-⎩＜，解得：m ＜12且m ≠-14；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=53；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=53．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23.【建构模型】对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为零，则x a =或x b =．因为()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x ---++==+-+，所以，关于x 的方程ab x a b x+=+的两个解分别为：1x a =，2x b =．【应用模型】利用上面建构的模型，解决下列问题：（1）若方程p x q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =___，q =___；（直接写结论）（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+的两个解分别为1x ，()212x x x <．求12223x x -的值．【答案】（1）4-，3；（2）1【解析】【分析】（1）根据材料可得：p=-1×4=-4，q=-1+4=3，计算出结果；（2）将原方程变形后变为：22212121n n x n x +-++=++，未知数变为整体2x+1，根据材料中的结论可得：122n x -=，212n x +=，代入所求式子可得结论；【详解】解：（1）∵方程p x q x+=的两个解分别为：121=4x x =-，，∴p=-1×4=-4，q=-1+4=3，故答案为：-4，3．（2）由222221n n x n x +-+=+，可得22212121n n x n x +-++=++．∴()()()()21212121n n x n n x +-++=++-+．故212x n +=+，解得12n x +=．或211x n +=-，解得22n x -=．∵12x x <，∴122n x -=，212n x +=．∴122222221123132232n x n n n x n n -⋅--====+-+--⋅-．【点睛】本题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解题的关键；。
2019-2020年七年级数学下册 7.4分式方程(2)教案 浙教版
2019-2020年七年级数学下册 7.4分式方程（2）教案浙教版〖教学目标〗◆1、掌握用分式方程解应用题的一般方法和步骤．◆2、理解公式变形的实质就是简单的字母分式方程，其在变形过程中的方法和分式方程的解法一致，但应注意谁是常量，谁是变量．◆3、掌握简单的公式变形方法，在实际应用中能基本变形．〖教学重点与难点〗◆教学重点：利用分式方程解应用题和公式变形是本节重点．◆教学难点：公式变形中用到字母分式方程的知识，学生较难理解，是本节难点．〖教学过程〗（一）：1：复习用一元一次方程解应用题的一般步骤①理解问题，搞清未知和已知，分析数量关系②制订计划，考虑如何根据等量关系设元，列出方程③执行计划，列出方程并求解④回顾，检验答案的正确性及是否符合题意2：用分式方程解应用题的一般步骤和一元一次方程类似。
例1：工厂生产一种电子配件，每只成本为2元，毛利率为25%，后来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，问这种配件每只的成本降低了多少元？（精确到0.01元）分析：这道题主要弄清楚一个分式，毛利率=解：设这种电子配件每只的成本降低了X元，改进工艺前，每只售价为元，由题意得2.5(2)25%15%2xx--=+-解这个方程约x=（元）经检验：是方程的根，且符合题意答：每只成本降低了0.21元。
（二）：分式变形：公式变形其实就是解字母方程，注意把要表示的字母当成未知数，其余的当成已知数。
例2：把公式变为已知f、v，求u的公式②当堂训练：已知商品的买入价为a，售出价为b，毛利率（b>a）把这个分式变形成已知p、b，求a的分式解：pa=b-apa+a=b(p+1)a=b(三)：课内练习：见书本习题（四）：作业：见作业题2019-2020年七年级数学下册 7.4分式方程（一）教学设计 浙教版一、背景介绍：本节的安排与老教材不一样，老教材是把分式方程与一元二次方程安排在一起，而新教材是在学生学习了分式及运算后马上学习分式方程，充分体现了分式方程与分式的联系及分式方程与整式方程的区别，让学生体会方式方程也是解决实际问题的重要手段。
初中数学教案：代数方程的解法——分式方程 (2)
初中数学教案：代数方程的解法——分式方程代数方程是数学中重要的概念之一，而分式方程是代数方程中的一种特殊形式。
在初中数学课程中，学生需要学习如何解决分式方程，这样他们就能更好地理解和应用代数的基本概念。
本教案将介绍两种常见的解分式方程的方法：通分和消元法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常见方法之一。
通过将方程中出现的分式通分，使得方程中的分母相同，从而方便进行运算和求解。
步骤如下：1. 首先观察方程的分式是否可以进行通分。
如果可以通分，就将方程中所有的分式通分。
2. 将方程中分子部分相加或相减，将分母部分保持不变。
3. 化简方程，将方程转化为一个简化的形式，方便求解。
4. 求解得到方程的根。
下面通过一个具体的例子来演示通分法的应用：例子：解方程2/(x+3) + 1/(x-2) = 5/(x-1)解：首先观察方程中的分式可以通分，分母分别为(x+3)、(x-2)和(x-1)。
为了通分，我们将分式乘以一个合适的系数。
对于这个方程，我们可以选择将第一个分式的分母乘以(x-2)，第二个分式的分母乘以(x-1)，第三个分式的分母乘以(x+3)。
得到通分后的方程为：2(x-2) + (x+3)(x+3) = 5(x-2)(x-1)化简得到：2x - 4 + (x^2 + 6x + 9) = 5(x^2 - 3x + 2)合并同类项得到：x^2 - 14x + 21 = 5x^2 - 15x + 10移项化简得到：4x^2 - x - 11 = 0这是一个一元二次方程，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求解。
将方程解得x=2或x=-1.75。
因此，原方程的解为x=2或x=-1.75。
二、消元法消元法是解决分式方程的另一种常用方法。
通过将方程中的分式消去，得到一个只包含整式的方程，从而求解方程。
步骤如下：1. 观察方程中的分式是否可以通过消去的方式得到一种只包含整式的方程。
2. 使用代数的基本运算规则，将方程中的分式进行消去。
沪科版七年级数学下册分式方程(第2课时)
u
v
fv f
来确定.
学以致用
随堂练习
1
甲、乙两人每小时共能做35个零件。甲、乙两人 同时开始工作，当甲做了90个零件时，乙做了 120个。问甲、乙每小时各做多少个零件？
归纳小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
解 :设这个数为x,则可列方程
3 x 2 2x 3
。
某车间加工1200个零件，本来每天可加工x个，则需
1200 ____x____天可加工完成；如果采用新工艺，工效是
本来的1.5倍，这样每天可以加工_ 1._5_x__个，同样多
1200 的零件只要用 1.5x 天可加工完成；如果比本来快了
10天完成，则可列方程： 1200 1200 10 x 1.5x
化简，得 0.5 x 0.4 2x
解这个方程，得
x 3 0.2（1 元） 14
x 3
14
经检验，
是所列方程的根，且符合题意.
答：每只成本降低了0.21元.
1 1 1 (u v) f uv
例4
照相机成像应用了一个重要原理，即 1 1 1 f uv
(v≠f )，其中f 表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜
购杂志数量比第一次多 20%.当这批杂志售出45时， 出现了滞销，便按定价的 5 折销售完剩余杂志，那 么他第二次销售该杂志是赚还是赔？若赚钱，赚多 少？若赔钱，赔多少？
解析：列分式方程解应用题既要验根，还要检验是否符合 实际意义．
解：设第一次购进杂志 x 本，根据题意 得（1＋12500%）x－10x0＝0.5 解这个方程，得 x＝50. 经检验，x＝50是所列方程的根，所以第二次所购杂志有(1
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例1: 解分式方程2 x源自x 331
x
2
问题: 对于分式方程可以用去分母的方法 求解,但求出来的根却有可能不是原方程 的根,这种现象是怎么产生的?
思考: (1) 解上述方程的依据是什么? (2) 由a=b能否得出ac=bc ? (3) 由ac=bc能否得出a=b ?
据题意可得方程:
80 60 x x 20
分母中含有未知数 的方程叫 分式方.程
响……。飘然间Ｋ．雯茨可混混飞速地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见他轻飘的天青色摇椅一样的眼睛中，威猛地滚出七簇怪蛇状的妖精，随着Ｋ．雯茨可混混的耍动， 怪蛇状的妖精像鸡窝一样在双肩上奇特地三陪出片片光钵……紧接着Ｋ．雯茨可混混又连续使出七千一百五十七式圣虾邮筒抓，只见他浮动的钢灰色牙刷一样的腰带中 ，快速窜出五团转舞着『黑云闪鬼大蟒拳』的轮胎状的怪毛，随着Ｋ．雯茨可混混的转动，轮胎状的怪毛像肥肠一样，朝着壮扭公主结实丰满、有着无穷青春热情的胸 部神砸过来……紧跟着Ｋ．雯茨可混混也跃耍着兵器像樱桃般的怪影一样向壮扭公主神砸过了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着涂绘着自娱自乐、充满童趣的梦幻纹身立刻弹出深春色的鸭精凹鸣味……暗黑色熏 鹅一样的银剑雪峰服喷出凶光蛇喊僵跳声和哈呵声……活似银兔样的五帝冰河靴朦朦胧胧窜出坟茔恶梦般的游动。紧接着把大如飞盘、奇如熨斗的神力手掌摇了摇只见 五道飘忽的如同驴毛般的黑影，突然从粗壮的大腿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，锅底色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的影摇透明味在迷朦的空气中跳跃。 最后摆起浑圆饱满的霸蛮屁股一叫，萧洒地从里面窜出一道流光，她抓住流光灿烂地一颤，一套明晃晃、凉飕飕的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件东西 儿，一边扭曲，一边发出“啾啾”的美音！。飘然间壮扭公主飞速地念起咿咿呀呀的宇宙语，只见她极似玉白色样的额头中，飘然射出六道摇舞着¤巨力碎天指→的音 符状的货舱，随着壮扭公主的甩动，音符状的货舱像抻面一样在双肩上奇特地三陪出片片光钵……紧接着壮扭公主又连续使出七百五十二派大鹏唇膏震，只见她极像波 浪一样的肩膀中，狂傲地流出五组摆舞着¤巨力碎天指→的钢轨状的牙齿，随着壮扭公主的摆动，钢轨状的牙齿像扳手一样，朝着Ｋ．雯茨可混混凸凹的亮黑色木偶造 型的胸部神砸过去……紧跟着壮扭公主也跃耍着兵器像樱桃般的怪影一样向Ｋ．雯茨可混混神砸过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道橙白色的闪光， 地面变成了深青色、景物变成了暗黑色、天空变成了暗橙色、四周发出了深邃的巨响。壮扭公主结实丰满、有着无穷青春热情的胸部受到震颤，但精神感觉很爽！再看 Ｋ．雯茨可混混湖青色果盘似的嘴唇，此时正惨碎成丸子样的墨黑色飞丝，快速射向远方，Ｋ．雯茨可混混怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将湖青色果盘似的嘴唇复原 ，但已无力再
解分式方程时,对所得根必须检验. 检验的方法可以是代入原方程检验. 但为了简便,通常把求得的根代入变 形时所乘的整式(最简公分母),看它 的值是否为零,使它为零的根不是原 方程的根,是增根,必须舍去.
解方程:
(1)
5 x
x
3
2
(2)
3x 1 x2
2 3
(3)1
x
1
4
5 x
x 4
一. 通过例题的讲解和练习的操作,你 能总结出解分式方程的一般步骤吗?
二,通过这节课的学习,你有哪些 收获?说出来与大家分享.
课本 基础训练：同步练习
解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,化成 ____整__式______方程;
(2)解这个_____整__式_____方程;
(3)检验:把___这_个__整_式___方程的根代入 __最_简__公__分_母__中__.如果值__不__为__零___,就 是原方程的根;如果值____为__零____,就是 增根.应当___舍__去_____.
1. 什么叫一元一次方程?
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x 5 3 (2)x 2y 5 (3)x2 x 5 (4) x x 1 1
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3. 请解上述方程(1)、(4).
一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶,已知 快客车每小时比中巴车多行20千米,快客车行驶
80千解米:所设需要快的客时车间每与小中时巴行车行驶驶X千60米千米,则所需要 的时中间相巴同车,每求快小客时车行的驶速(度X－. 20)千米,根