同余理论在数学竞赛中的应用

故不论大方盒的大小如何， 试验后按 ６ 个一小盒
ＺＨＵＡＮ ＴＩ ＹＡＮ Ｊ ＩＵ
专题研究
装总可以全部装完．
（ 五） 构造剩余系解题
利用完全剩余系常常可以帮助我们巧妙地解答某
些试题． 例 ４ 设自然数 ｎ ≤ ２００６， 试求其中使 ３ｎ 除 ７ 的
余数为 １ 的所有 ｎ 的和．
解 由题意， 即求满足 ３ｎ ≡ １（ｍｏｄ ７）
# $ （ *）
若 ａｃ ≡ ｂｃ（ ｍｏｄ ｍ） ， 则 ａ ≡ ｂ
ｍｏｄ
ｍ （ ｃ， ｍ）
；
（ +） 若 ａ ≡ ｂ（ ｍｏｄ ｍ） ， ｄ ≠ ０， 则 ａ ≡ ｂ（ ｍｏｄ ｍｄ） ；
（ ,） 若 ａ ≡ ｂ （ ｍｏｄ ｍｉ） ， （ ｉ ＝ １， ２， … ｎ） ， 则 ａ ≡ ｂ（ ｍｏｄ ［ ｍ１， ｍ２， …， ｍｎ］ ） ．
５（ｍｏｄ ７）， 故没有正整数 ｎ 能让 ２ｎ ＋ １ 被 ７ 整除．
（ 三） 同余理论用于求解不定方程
对于一次不定方程的存在性的解法已有一套完整
的理论来解决， 但若将这些方程转化成线性同余式则
解题更简捷．
例 ２ （ 第 ２３ 届 ＩＭＯ 试 题 ） 试 证 ： （ １） 如 果 正 整 数
ｎ 及方程 ｘ３ － ３ｘｙ２ ＋ ｙ２ ＝ ｎ 有 一 组 整 数 解 （ ｘ，ｙ） ， 那 么 这
（ ７）
则 ｘ３ ＋ ｙ３ ≡ ２（ｍｏｄ ３）．
于是：
（ "） 若 ｘ ≡ ０（ｍｏｄ ３）， 则 ｙ ≡ ２（ｍｏｄ ３）；
（ #） 若 ｘ ≡ １（ｍｏｄ ３）， 则 ｙ ≡ １（ｍｏｄ ３）；
（ $） 若 ｘ ≡ ２（ｍｏｄ ３）， 则 ｙ ≡ ０（ｍｏｄ ３）．
对于第一种情况， ｘ ＝ ３ｋ，ｙ ＝ ３ｔ ＋ ２， 代入（ ６） 得：
整除与同余是密切相关的， 有些整除问题在解答
过程中常常是同余理论的灵活运用．
例 １ （ 第六届奥赛试题） （ １） 证明： 求出所有正数
ｎ 使 ２ｎ－ １ 能被 ７ 整除； （ ２） 没有正整数 ｎ 能让 ２ｎ ＋ １ 被
７ 整除．
解 （ １） 依题意， 即求得 ２ｎ ≡ １（ｍｏｄ ７）的 所 有 正 整
常简单． 设一行有 ｎ 个魔方 ， 则大方盒中总共装有 ｎ３
个 ， 做 完 试 验 后 ， 大 方 盒 中 还 有 ｎ３ － ｎ 个 魔 方 ， 于 是 问
题转化为求 ｎ３ － ｎ ≡ ？（ｍｏｄ ６）．
解 因为 ｎ３ － ｎ ＝ ｎ（ｎ － １）（ｎ ＋ １）为三个连续自然数
之积， 所以 ｎ３ ≡ ０（ｍｏｄ ６）．
个方程至少有三组整数解．
（ ２） 当 ｎ ＝ ２８９１ 时， 上述方程无整数解．
证明 （ １） 可证明若（ｘ，ｙ）是原方程的一组整数解， 则
可找到另外两组不同的整数解： （ ｙ － ｘ， － ｘ） ， （ － ｙ， ｘ － ｙ） ．
（ ２） 用反证法， 假设有整数解（ ｘ， ｙ） 使得：
ｘ３ － ３ｘｙ２ ＋ ｙ３ ＝ ２８９１，
【关键词】同余 同余理论 数学竞赛
一、数学竞赛·数论·同余 数学竞赛是一种有组织的， 在规定时间之内进行 的解数学题的竞赛， 是人类智慧的灵活、力量与完美的 较量． 数学竞赛历史悠久， 而且在最近 １０ 年有很大的发 展和变化． 并且随着数学竞赛的发展， 已逐渐形成一门 特殊的数学学科— ——竞赛数学， 也可称为奥林匹克数 学． 将高等数学下放到初等数学中去， 用初等数学的语 言来表述高等数学的问题， 并用初等数学方法来解决 这些问题， 这就是竞赛数学的任务． 数论这门学科最初 是从研究整数开始的， 所以叫做整数论． 后来整数论又 进一步发展， 就叫做数论了． 近几 十 年 来 ， 初 等 数 论 在 计 算 机 科 学 、组 合 数 学 、 代数编码、信号的数字处理等领域内得到了广泛的应 用． 而且初等数论在各类数学竞赛中占有重要的地位． 国际数学奥林匹克（ ＩＭＯ） 从 １９５９ 年到 ２００５ 年中， 已经 举行 了 ４６ 届 竞 赛 ， 在 总 共 的 ２７８ 道 题 目 中 ， 约 有 四 分 之一的题目是主要用初等数论知识来解的， 如果加上 涉及用初等数论知识来解的题目， 那所占的比例可达 到一半左右． 初等数论的主要内容大致可分为四部分： ①整除 理论， ②不定方程， ③同余， ④原根与指标． 二、同余理论在数学竞赛中的应用 （ 一） 同余的性质以及几个重要的定理 １． 同余的定义、性质 定义 给定正整数 ｍ， 如果整数 ａ 与 ｂ 之差能被 ｍ 整除， 则称 ａ 与 ｂ 对于模 ｍ 同余， 或称 ａ 与 ｂ 同余， 模 为 ｍ， 记为 ａ ≡ ｂ（ ｍｏｄ ｍ） ， 此时也称 ｂ 是 ａ 对模 ｍ 的同余． 性质 （ %） （ 自反性） ａ ≡ ａ（ ｍｏｄ ｍ） ； （ &） （ 对称性） 若 ａ ≡ ａ（ ｍｏｄ ｍ） ， 则 ｂ ≡ ａ（ ｍｏｄ ｍ） ； （ ’） （ 传 递 性 ） 若 ａ ≡ ｂ， ｂ ≡ ｃ （ ｍｏｄ ｍ） ， 则 ａ≡ ｃ（ｍｏｄ ｍ）； （ (） 若 ａ ≡ ｂ（ ｍｏｄ ｍ） ， ｘ ≡ ｙ（ ｍｏｄ ｍ） ， 则 ａ ±ｘ ≡ ｂ ±ｂｙ（ ｍｏｄ ｍ） ； （ )） 若 ａ ≡ ｂ（ ｍｏｄ ｍ） ， ｆ（ ｘ） 是 整 系 数 多 项 式 ， 那 么 ｆ（ ａ） ≡ ｆ（ ｂ） （ ｍｏｄ ｍ） ；
当 ｎ ＝ ３ｋ ＋ ２ 时， ２３ｋ ＋２ ≡ ４·（２３ｋ） ≡ ４（ｍｏｄ ７）． （ ６）
故只有当 ｎ 是 ３ 的倍数时， ２ｎ － １ 能被 ７ 整除．
（ ２） 由（ ４） （ ５） （ ６） 式有：
２３ｋ ＋ １ ≡ ２（ｍｏｄ ７）， ２３ｋ＋１ ＋ １ ≡ ３（ｍｏｄ ７）， ２３ｋ＋２ ＋ １ ≡
（ 四） 同余理论用于分配问题
例 ３ 一位魔方制造商把他的产品装在大方盒子
（ 正方体） 里运给批发商． 一位批发商从大方盒中取出
一行魔方， 试验看是否有毛病， 但在试验中， 这些魔方
毁坏了， 其余的魔方用小盒包装， 每盒装 ６ 个， 那么装
到最后会剩下几个魔方？
分析 此题看似复杂， 其实用同余的观点处理却非
次方同余于 １， 这在计算时是很有用的． （ １） 式和（ ３） 式还
表明， 当 ａ 与模互素时， 就有 ｍ ｜ （ ａφ（ｍ） － １） ， ｐ ｜（ ａｐ－ １ － １） ．
这就为整除性的讨论提供了一个有力的工具．
定理 ３ （ 威尔逊定理） 设 Ｐ 为素数， 则
（ ｐ － １） ！ ≡ － １（ ｍｏｄ ｐ） ．
（ ２）
显 然 ， 当 （ ａ， ｍ） ＝ １ 时 ， 利 用 同 余 的 性 质⑨， 由 （ １）
式可得 ａｐ － １ ≡１（ ｍຫໍສະໝຸດ Baiduｄ ｐ） ．
（ ３）
又注意到 φ（ ｐ） ＝ ｐ － １， 因此， 在（ ａ， ｍ） ＝ １ 时欧拉
定理与费尔马定理是一致的．
（ １） 式和（ ３） 式指出了当 ａ 与模互素时， ａ 的多少
的一个完全剩余系， 称为最小非负完全剩余系．
完全剩余系有下列性质：
① 如果 ｃ１， ｃ２， …， ｃｍ 是模 ｍ 的一个完全剩余系， ｂ 是整数， 那么 ｃ１ ±ｂ， ｃ２ ±ｂ， …， ｃｍ ±ｂ 也是模 ｍ 的完全剩 余系．
② 如果 ｃ１， ｃ２， …， ｃｍ 是模 ｍ 的完全剩余系， ａ 是整 数， 且（ ａ， ｍ） ＝ １， 则 ａｃ１， ａｃ２， …， ａｃｍ 也是完全剩余系．
２． 剩余类和完全剩余系
全体整数集合可按模 ｍ 来分类： 当且仅当 ａ≡
ｂ（ ｍｏｄ ｍ） 时， ａ 和 ｂ 属 于 同 一 类．于 是 全 体 整 数 按 模 ｍ
被分为 ｍ 类， 每一个这样的类被称为模 ｍ 的剩余类．在
ｍ 个剩余类中各取一个数作为代表， 这样的 ｍ 个数被
称为模 ｍ 的完全剩余系．例如 ０， １， ２， …， ｍ － １ 是模 ｍ
的颜色， 也看不到站在他后面的人的帽子颜色． 要求每
分钟都有巫士报出三种颜色中的一种 （ 允许同时报） ．
报完之后国王就处死那些将自己所戴帽子颜色判断错
了的巫士． 在议事举行前， 这 １００ 个巫士 达 成 一 致 ： 尽
量将叛死刑的人数降到最低． 问： 有多少个巫士一定可
以免受惩罚？
解 第一个猜的巫士因为没有任何信息帮助他确
ｉ＝１
Ｍ′ｉＭｉ ≡ １（ ｍｏｄ ｍｉ） ， ｉ ＝ １， ２， …， ｎ． 定理 ３、定理 ４ 也是同余理论中重要的定理 ， 在求
解同余方程的问题中有非常重要的作用， 这里虽不做
详细的应用介绍， 但对于广大参加数学竞赛的学生还
是希望能对其加以重视．
５ 〈 〈 ８
２００８．２
▲ ▲
（ 二） 同余理论用于处理有关整除的问题
定其所戴帽子的颜色， 所以不管猜什么颜色， 都只是一
（ ８）
的所有 ｎ 的和． 而
３１ ≡ １（ｍｏｄ ７）， ３２ ≡ ２（ｍｏｄ ７）， ３３ ≡ ６（ｍｏｄ ７），
３４ ≡ ４（ｍｏｄ ７）， ３５ ≡ ５（ｍｏｄ ７）， ３６ ≡ １（ｍｏｄ ７）．
所以， 当 ｎ 为 ６ 的倍数时有（ ８） 成立． 所以所求的
３３４
$ 满足条件 ｎ 之和为 ６ｋ ＝ ６· １ ·３３４·３３５ ＝ ３３５６７０．
（ ３ｋ） ３ ＋ ３（ ３ｋ） （ ３ｔ ＋ ２） ２ ＋ （ ３ｔ ＋ ２） ３ ＝ ２８９１，
左边 ≡ ２３（ ｍｏｄ ９） ， 右边≡２（ ｍｏｄ ９） ， 矛盾； 对于第
二种情况， 上述另一组解（ ｕ， ｖ） ＝ （ ｙ － ｘ， － ｘ） 将导致： ｕ ＝
ｙ － ｘ≡０（ ｍｏｄ ３） ， ｖ ＝ － ｘ≡２（ ｍｏｄ ３） ， 这也就是第一种情
专题研究
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同余理论在数学竞赛中的应用
◎张亚芳 （ 浙江省新昌县鼓山中学 ３１２５００）
【摘 要 】具 有 悠 久 历 史 的 数 学 竞 赛 已 逐 渐 形 成 一 门 特 殊 的 数 学 学 科— ——竞 赛 数 学． 本 文 从 数 学 竞 赛 这 个 大 范 围 入 手 ， 着 眼于数论在数学竞赛中的地位和作用， 选择中国剩余定理作为 切入点， 介绍了同余理论的系统知识及同余性质的一些简单应 用， 并对数学竞赛中有关同余理论的应用作了系统的划分． 每 一部分都有 ２ — ４ 个例题加以举例说明．
ｋ＝１
２
（ 六） 同余理论用于其他方面
例 ５ （ 第 ２３ 届 全 俄 中 学 奥 林 匹 克 竞 赛 试 题 ， １１
年级） 巫士委员会以如下方式接受考核： 国王把所有巫
士排成一队 ， 然后给每 个 巫 士 戴 上 从 白 色 、蓝 色 、红 色
帽子中任意选取的一顶帽子， 每个巫士都能够看到站
在其前面所有人的帽子颜色， 但看不见自己所戴帽子
况 ， 已 证 ； 对 于 第 三 种 情 况 ： ｘ ＝ ３ｋ ＋ ２， ｙ ＝ ３ｔ， 代 入 （ ７）
得： （３ｋ＋ ２）３－ ３（ ３ｋ ＋ ２） （３ｔ）２＋ （ ３ｔ）３＝ ２８９１， 左边≡２３（ｍｏｄ ９） ，
右边≡２（ ｍｏｄ ９） ， 矛盾．
综上所述， 方程 ｘ３ － ３ｘｙ２ ＋ ｙ３ ＝ ２８９１ 无整数解．
定理 ４ （ 孙子定理） 设 ｎ ≥ ２， ｍ１， ｍ２， ｍｎ 是两两互
素的正整数， 记
Ｍ ＝ ｍ１ｍ２…ｍｎ， Ｍｉ ＝
Ｍ ｍｉ
（ ｉ ＝ １， ２， …， ｎ） ，
同 余 方 程 组 ｘ ≡ ｃ１（ ｍｏｄ ｍ１） ， ｘ ≡ ｃ２（ ｍｏｄ ｍ２） ， … ， ｘ ≡
ｎ
’ ｃｎ（ ｍｏｄ ｍｎ） 的 一 切 为 ｘ ≡ ＭｉＭ′ｉｃｉ （ ｍｏｄ Ｍ） ， 其 中
数 ｎ， 通过计算我们有 ２１≡２（ｍｏｄ ７）， ２２≡４（ｍｏｄ ７）， ２３≡
１（ｍｏｄ ７）．
于是根据性质⑥可得 ２３ｋ≡（２３）ｋ ≡ １ｋ（ｍｏｄ ７）． （ ４）
当 ｎ 不是 ３ 的倍数时， 有两种情况：
当 ｎ ＝ ３ｋ ＋ １ 时， ２３ｋ ＋１ ≡ ２·（２３ｋ）≡２（ｍｏｄ ７）； （ ５）
３． 欧拉定理和费马定理
同余理论中有两个定理， 在理论和应用方面都是
很重要的， 它们就是欧拉定理和费马定理．
定理 １ （ 欧拉定理） 设 ｍ 是正整数， （ ａ， ｍ） ＝ １， 则
ａφ（ｎ） ≡ １（ ｍｏｄ ｍ） ．
（ １）
定理 ２ （ 费马定理） 设 ｐ 是素数， 则对于任意的
整数 ａ， 有 ａｐ ≡ （ ｍｏｄ ｐ） ．