初中数学北师大版九年级上册第四章《相似三角形》复习资料：知识点+例题

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北师大版九年级上册数学第四章相似三角形的判定和性质(解析版)

第四章相似三角形的判定和性质一、单选题1．如图，在ABC 中，点D 在BC 上一点，下列条件中，能使ABC 与DAC △相似的是（）A ．∠BAD ＝∠CB ．∠BAC ＝∠BDA C ．AB 2＝BD ∙BC D ．AC 2＝CD ∙CB【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定即可．【详解】 ABC 与DAC △有一个公共角，即ACB DCA ∠=∠，要使ABC 与DAC △相似，则还需一组角对应相等，或这组相等角的两边对应成比例即可，观察四个选项可知，选项D 中的2AC CD CB =⋅，即AC CB CD AC=，正好是ACB ∠与DCA ∠的两边对应成比例，符合相似三角形的判定，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．2．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B B C AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ====== C．11111110,8;AB BC AC A B BC AC ======D．1111111,3;AB BC AC A B BC AC ===== 【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和∠111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B A C B C =======，能使ABC ∆和∠111A B C 相似，正确；C、1111AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和∠111A B C 相似，错误； D、1111AB BC AC B C ==≠=，不能使ABC ∆和∠111A B C 相似，错误；故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．3．∠ABC 与∠DEF 的相似比为1:4，则∠ABC 与∠DEF 的面积比为（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:16【答案】D【解析】【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∠∠ABC∠∠DEF ，且∠ABC 与∠DEF 相似比为1：4， ∠∠ABC 与∠DEF 的面积比=（14）2=1：16，故答案为D【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 4．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∕∕，点,E F 分别是边,AD BC 上的点，AF 与BE 交于点O ，2,1AE BF ==，则AOE ∆与BOF ∆的面积之比为（）A ．12B ．14C ．2D ．4【解析】【分析】由AD∠BC ，可得出∠AOE∠∠FOB ，再利用相似三角形的性质即可得出∠AOE 与∠BOF 的面积之比．【详解】：∠AD∠BC ，∠∠OAE=∠OFB ，∠OEA=∠OBF ，∠~AOE FOB ∆∆，∠所以相似比为2AE BF=， ∠224BOFAOE S S ∆∆==．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5．如图，,D E 分别是ABC 的边,AB BC 上的点，且DE AC ，,AE CD 相交于点O ，若:1:25DOE COA S S =△△，则:DE AC 的值为（）A ．1:3B ．1:4C ．1:5D ．1:25【答案】C【分析】根据题意可证明DOE COA，再利用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出对应边的比值．【详解】解：∠DE AC∠DOE COA∠根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可知对应边的比为1: 5．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，主要有∠相似三角形周长的比等于相似比；∠相似三角形面积的比等于相似比的平方；∠相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6．已知∠ABC和∠ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使∠ADC和∠ABC相似，CD可以等于（）．A．2acB．2baC．a bcD．2bac【答案】B 【解析】【分析】由∠ADC和∠ABC相似，可得到CD ACAC BC，从而完成求解．【详解】∠∠ADC和∠ABC相似，且∠ACB=∠ACD=90°∠CD AC AC BC∠CD b b a=∠2b CDa=故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形和相似三角形的知识，求解的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．7．在∠ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截∠ABC，使截得的三角形与∠ABC相似，这样的直线可以作（）A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过D作DE∠AC，则有∠BDE∠∠BAC；如图2，过D作DE∠BC，则有∠ADE∠∠ABC；如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有∠ADE∠∠ACB；如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有∠BED∠∠BAC，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．8．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，E 、F 、G 、H 分别为矩形边上的点，HF 过矩形的中心O ，且HF AD =．E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，则四边形EFGF 的周长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】连接EG ，证明四边形EHGF 是矩形，再证明AEH DHG △∽△，求得AH 与DH 的长度，由勾股定理求得EH 与HG ，再由矩形的周长公式求得结果．【详解】解：连接EG ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ， E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，AE DG ∴=，//AE DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AD EG ∴=，矩形是中心对称图形，HF 过矩形的中心O ．EG ∴过点O ，且OH OF =，OE OG =，∴四边形EHGF 是平行四边形，HF AD EG ==，∴四边形EHGF 是矩形，90EHG ∴∠=︒，90A D ∠=∠=︒，90AHE AEH AHE DHG ∴∠+∠=∠+∠=︒，AEH DHG ∴∠=∠，AEH DHG ∴△∽△， ∴AH AE DG DH=，设AH x =，则5DH x =-，122AE DG AB ===， ∴225x x=-，解得，1x =或4，1AH ∴=或4，当1AH =时，4DH =，则HE ==HG =∴四边形EFGH 的周长2=⨯=同理，当4AH =时，四边形EFGH 的周长2=⨯=；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形EHGF 是矩形．9．如图，ABC 中，4AB AC ==，点D 在BC 边上，连接AD ，现将ACD △沿着AD 对折，得到AED ，DE 与AB 交于点F ，若DE AB ⊥，14DF AF =，则BC 的长为（）A ．3.8B ．5013C ．4D ．6417【答案】D【解析】【分析】过点A 作AM ∠BC 于点M ，证出AM =AF ，DM =DF ，设DF k =，则4AM AF k ==，=DM DF k =，44BF AB AF k =-=-，求出()4441616k k BF AM BM k DF k-===-，在Rt ABM ∆中，由勾股定理求出k 的值，进而求出BM 的值，从而得出BC 的长度．【详解】解：过点A 作AM ∠BC 于点M ，如图：在∠ABC 中，AB =AC =4，∠BC =2BM =2CM ，由折叠可知：∠ADC ∠∠ADE ，∠AE =AC =4，∠C =∠E ，∠AM ∠BC ，DE ∠AB 于F 点，∠∠ACM ∠∠AEF ，∠AM =AF ，又∠AD =AD ，∠Rt ∠ADM ∠Rt ∠ADF ，∠DM =DF ，∠14DF AF =，设DF k =，则4AM AF k ==，=DM DF k =，44BF AB AF k =-=-，在BDF ∆和BAM ∆中，90B B BFD BMA ∠=∠∠=∠=︒，，∠BDFBAM ∆∆， ∠BF DF BM AM=， ∠()4441616k k BF AM BM k DF k -===-，在Rt ABM ∆中，由勾股定理得：222AM BM AB +=，即：()()222416164k k +-=，整理得：21732150k k -+=，解得：11517k =，21k =， ∠1k =时，44AM AF k AB ====，不合题意，故舍去，∠1517k =， ∠32161617BM k =-=， ∠64217BC BM ==，故选：D ．【点睛】本题主要考查了折叠、勾股定理、相似三角形、全等三角形，牢记性质，灵活应用，合理的作出辅助线是解决此题的关键．10．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点E、F，满足AB EF，点P是BC的中点，连接AF、PE，若AB＝8，则当AF+PE最小值时，线段AF的长度为( )A．6B C．D．【答案】B【解析】【分析】取CD的中点M，连接AM交CD于F，过P作//PE AM交BD于E，此时，AF+PE的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PM=12BD，//PM BD，根据平行四边形的判定和性质得到EP=FM，根据勾股定理得到AM【详解】解：取CD 的中点M ，连接AM 交CD 于F ，过P 作PE ∠AM 交BD 于E ，此时，AF +PE 的值最小，在正方形ABCD 中，BD ==∠P 是BC 的中点， M 为CD 的中点，∠PM =12BD =//PM BD ，又∠//PE AM ，∠四边形PEFM 是平行四边形，∠PM =EF ，EP =FM ，∠AB ==，故点EF 为所求点．∠AM ==．∠//AB CD ，∠∠ABF ∠MDF ， ∠AF FM =AB DM，2=∠AF．故选B．【点睛】本题是四边形的综合题．考查了正方形的性质，轴对称﹣最短距离问题，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确的作出E，F的位置是解题的关键．二、填空题11．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．【答案】8或1 2【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，根据相似得出比例式，代入求出即可．【详解】解：∠∠ACB=∠CBD=90°，∠要使∠ACB和∠CBD相似，必须AC CB BC BD= 或AC BC BD BC = ∠AC=8，CB=2代入上式，求出BD=12或8．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是根据题意得出比例式，注意：此题有两种情况，题型较好，通过做此题培养了学生对定理的理解和掌握．12．如图，D 为AB 上一点，且AD=2BD ，∠ACD=∠B ，那么DC BC=_____．【解析】【分析】根据已知条件判定∠ACD∠∠ACB 即可得到结果；【详解】∠∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，∠∠ACD∠∠ACB ， ∠=BC DC AD AC AC AB=， ∠2AC AD AB =⋅，223AC AB AB =⋅，2223AC AB =，3AC AB =∠=BC DC ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．13．两个相似三角形的面积比为1:2，则它们的对应角平分线的比为_______．【答案】1:【解析】【分析】根据相似三角形的性质进行解答【详解】解：两个相似三角形的面积比为1:2，则它们的相似比为：1:则它们的对应角平分线的比为1:故答案为：1:【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方，相似三角形的对应角平分线的比等于相似比是解题的关键14．已知：在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，AE=12AD，连接CE交BD于点F，则BFFD的值是________．【答案】2 3【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得出AD∠BC、AD=BC，进而可得出∠DFE∠∠BFC，再利用相似三角形的性质即可求出BFFD的值．【详解】解：∠四边形ABCD为平行四边形，∠AD∠BC，AD=BC，∠∠DFE∠∠BFC，∠2132BF BC BC BCFD DE AD AE AD AD====++，故答案为：23．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合相似三角形的判定定理找出∠DFE∠∠BFC是解题的关键．15．在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF，则AC＝_____．【解析】【分析】先求出∠EFG＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出∠AEF∠∠AFC，即可得出结论．【详解】如图，过点E作EG∠AD于G，连接CF，∠AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∠∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，∠∠ACB＝90°，∠2（∠BAD+∠ABE）＝90°，∠∠BAD+∠ABE＝45°，∠∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，在Rt∠EFG中，EF，∠FG ＝EG ＝1，∠AF ＝4，∠AG ＝AF ﹣FG ＝3，根据勾股定理得，AE ∠AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，∠CF 是∠ACB 的平分线，∠∠ACF ＝45°＝∠AFE ，∠∠CAF ＝∠FAE ，∠∠AEF∠∠AFC ， ∠AE AF AF AC=，∠AC ＝2AFAE ，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE 是解本题的关键． 16．在ABC ∆中，10AB =，5AC =，点M 在边AB 上，且2AM =，点N 在AC 边上.当AN =______时，AMN ∆与原三角形相似．【答案】1或4【解析】【分析】注意到∠A是两个三角形的公共角，只要满足AM ANAB AC=或AM ANAC AB=，∠AMN与原三角形相似，据此代入数据计算即可．【详解】解：当AM ANAB AC=时，∠AMN∠∠ABC，即2105AN=，解得：AN=1；当AM ANAC AB=时，∠AMN∠∠ACB，即2510AN=，解得：AN=4；所以当AN=1或4时，∠AMN与原三角形相似．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于常考题型，合理分类、熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．17．如图，点D为∠ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使∠BDE∠∠ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于___．【答案】15 4.【解析】【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当BE DEAE CE=时，∠BDE∠∠ACE，然后利用比例性质计算CE的长．【详解】解：∠∠AEC＝∠BED，∠当BE DEAE CE=时，∠BDE∠∠ACE，即45 3CE =∠CE＝15 4故答案为154．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．18．如图，在等边∠ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则∠ABC 的边长为__________.【答案】9【解析】【分析】由∠ADE=60°，可证得∠ABD∠∠DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得∠ABC的边长．【详解】∠∠ABC是等边三角形，∠∠B=∠C=60°，AB=BC；∠CD=BC-BD=AB-3；∠∠BAD+∠ADB=120°∠∠ADE=60°，∠∠ADB+∠EDC=120°，∠∠DAB=∠EDC，又∠∠B=∠C=60°，∠∠ABD∠∠DCE；∠AB BD CD CE＝，即323ABAB＝；解得AB=9．故答案为9．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得∠ABD∠∠DCE是解答此题的关键．19．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m∠【答案】0.5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.【详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得∠1.7:0.85=x∠1.1,解得x=2.2,则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m【点睛】本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.20．如图，在边长为3 的等边三角形ABC中，点D为AC上一点，CD=1，点E为边AB上不与A，B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴折叠∠AED，点A的对应点为点F，当点F落在等边三角形ABC 的边上时，AE的长为_______．【答案】1或5【解析】【分析】先判断F点只可能落在边AB或BC上，然后分两种情况：当F点落在边BC上时，利用翻折的性质和等边三角形的性质，判断∠DFC∠∠FEB，得到对应边成比例，解比例式可求出AE；F点落在边AB上时，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AE．【详解】解：分析可知，F点只可能落在边AB或BC上，∠当F 点落在边BC 上时，EFC B BEF ∠=∠+∠，即EFD DFC B BEF ∠+∠=∠+∠60EFD A B ∠=∠=∠=︒，DFC BEF ∴∠=∠，DFC FEB ∴∆∆∽， ∴BE BF EF CF CD FD==，而3EF BE EA BE AB +=+==，2DF DA AC CD ==-=， ∴3312AE CF AE CF --==，解得5AE =-5AE =； ∠F 点落在边AB 上时，60A DFE ∠=∠=︒，90DEA ∠=︒，30ADE ∴∠=︒，111()21222AE AD AC CD ∴==-=⨯=．∠AE 的长为1或5-【点睛】本题考查翻折的性质、相似三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题时要考虑全面，难度中等．三、解答题21．如图，在ABC ∆与ADE ∆中，AB AC AD AE =，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE ∆∆.【答案】见解析【解析】【分析】先证得DAE BAC ∠=∠，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．【详解】∠EAC DAB ∠=∠，∠EAC BAE DAB BAE ∠+∠=∠+∠，即DAE BAC ∠=∠，又AB AC AD AE=，∠ABC ADE∆∆．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：∠有两个对应角相等的三角形相似；∠有两条对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；∠三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．22．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：CD 是DF和DA的比例中项．【答案】见解析．【解析】【分析】根据如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可以证得∠DCE∠∠DBC，∠DEF∠∠DAB；根据相似三角形的对应边成比例，即可证得．【详解】证明：（1）∠∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，∠∠DEF∠∠DAB，∠DE：DA=DF：DB，∠DE•DB=DA•DF，∠∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，∠∠DEC∠∠DCB，∠CD DB DE CD＝，∠DC2=DE•DB，又∠DE•DB=DA•DF，∠CD2=DF•DA．∠CD是DF和DA的比例中项【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE∠BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B∠(1)求证：∠ADF∠∠DEC(2)若AB＝4,AD＝＝3,求AF的长.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】【详解】（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形∠AD∠BC AB∠CD∠∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°∠∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B∠∠AFD=∠C∠∠ADF∠∠DEC(2)解：∠四边形ABCD 是平行四边形∠AD∠BC CD=AB=4又∠AE∠BC ∠ AE∠AD在Rt∠ADE 中，6==∠∠ADF∠∠DEC∠AD AF DE CD =4AF =∠AF=24．如图，平行四边形ABCD ，DE 交BC 于F ，交AB 的延长线于E ，且∠EDB ＝∠C ．（1）求证：∠ADE ∠∠DBE ；（2）若DC ＝7cm ，BE ＝9cm ，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝12cm ．【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得A C ∠=∠，即可求得A EDB ∠=∠，又因公共角E E ∠=∠，从而可证得ADE DBE ∆∆；（2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可.【详解】（1）平行四边形ABCD 中，A C ∠=∠EDB C ∠=∠A EDB ∴∠=∠又E E ∠=∠ADE DBE ∴∆~∆；（2）平行四边形ABCD 中，DC AB =7,9DC cm BE cm ==7,16AB cm AE AB BE cm ∴==+=由题（1）得ADE DBE ∆∆AE BE DE DE ∴=，即169DE DE= 解得：12DE cm =.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键.25．小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度,AB 但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB 下的影长DF 为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB 下的影长EC 为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高1.55DM NE ==米，网长 6.1MN =米，同时测得1步1≈米，求路灯的高度(结果保留一位小数)【答案】路灯的高度约为4.7米【解析】【分析】根据相似三角形的判定可得,FMD FAB 设,AB x =BD y =，列出比例式，然后证出,CNE CAB 列出比例式，然后联立方程，运用等比性质即可求出结论．【详解】解：//,DM AB,FMDFAB ∴ MD FD AB FB∴= 设,AB x =BD y =1.5522x y∴=+ //,NE AB,CNE CAB ∴NE CE AB CB∴= 1.5555 6.1x y∴=++1.552525 6.1x y y∴==+++ ()()1.55525 6.12x y y -∴=++-+ 1.559.1 4.73x ⨯∴=≈ 答：路灯的高度约为4.7米．【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．26．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：∠MFC ∠∠MCA ；（2）求CF BE的值，（3）若DM ＝1，CM ＝2，求正方形AEFG 的边长．【答案】（1）见解析；（2；（3．【解析】【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD =∠AFG =45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM =∠ACM ，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得AF AC AE AB=，再证明其夹角相等，便可证明∠ACF ∠∠ABE ，由相似三角形的性质得出结果；（3）由已知条件求得正方形ABCD 的边长，进而由勾股定理求得AM 的长度，再由∠MFC ∠∠MCA ，求得FM ，进而求得正方形AEFG 的对角线长，便可求得其边长．【详解】（1）∠四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，∠∠ACD =∠AFG =45°，∠∠CFM =∠AFG ，∠∠CFM =∠ACM =45°，∠∠CMF =∠AMC ，∠∠MFC ∠∠MCA ；（2）∠四边形ABCD 是正方形，∠∠ABC =90°，∠BAC =45°，∠AC AB ，同理可得AF ，∠AF AC AE AB== ∠∠EAF =∠BAC =45°，∠∠CAF+∠CAE =∠BAE+∠CAE =45°，∠∠CAF =∠BAE ，∠∠ACF ∠∠ABE ，∠CF AC BE AB== （3）∠DM =1，CM =2，∠AD =CD =1+2=3，∠AM ==∠∠MFC ∠∠MCA ， ∠CM FMAM CM=2FM =，∠FM =5，∠AF =AM ﹣FM =5，∠AG 2=AF ，即正方形AEFG ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题．27．如图1，在ABCD 中，60ABC ∠=︒，:7:8AB AD =，E 为CD 边上一点，4CE =，连接AE ，BE ，且AE AB =．（1）求证：EB 平分AEC ∠；（2）当:2:5CE ED =时，在AD 上找一点P ，使PB PE +的和最小，并求出最小值；（3）如图2，过点E 作EF BE ⊥交AD 于点F ，求DF DE的值．【答案】（1）见详解；（2）；（3）23．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质等腰三角形的性质证明即可．（2）如图1中，作的E 关于AD 的对称点M ，直线EM 交AD 于H ，交BC 的延长线于T ，连接BM ，PM．求出AB ，CD ，CT ，ET ，EH ，HM ，再求出BM ∴==根据PB PE PB PM BM +=+，即可解决问题．（3）如图2中，过点E 作EH AD ⊥于H 交BC 的延长线于T ．利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，ABE BEC ∴∠=∠，AB AE =，ABE AEB ∴∠=∠，BEC AEB ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠．（2）解：如图1中，作点E 关于AD 的对称点M ，直线EM 交AD 于H ，交BC 的延长线于T ，连接BM ，PM ．四边形ABCD 是平行四边形，:7:8AB AD =，:2:5CE DE =，4CE =，10DE ∴=，14AB DC ∴==，60ABC ∠=︒，60D DCT ∴∠=∠=︒，4CE ∴=，ET =16BC AD ∴==，EH EM ==16218BT ∴=+=，TM ==BM ∴==PE PM =，PB PE PB PM BM ∴+=+， 621PB PE ∴+，PB PE ∴+的最小值为．（3）解：如图2中，过点E 作EH AD ⊥于H 交BC 的延长线于T ．由（2）可知，10DE =，5=DH ，EH =，2ET CT ==，18BT =．90T EHF BEF ∠=∠=∠=︒，90BET FEH ∴∠+∠=︒，90FEH EFH ，BET EFH ∴∠=∠，BTE EHF ∴∆∆∽， ∴BT ET EH FH=，∴=53FH ∴=， 203DF FH DH ∴=+=， ∴2023103DF DE ==．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据题意添加辅助线，构造直角三角形，属于中考压轴题．。

北师大版数学九年级上相似三角形的性质及判定知识点总结习题型总结(学生版)

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．知识点睛中考要求相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B E F，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

2022年九年级数学上册第四章图形的相似知识点归纳 (新版)北师大版

第四章图形的相似1 成比例线段2 平行线分线段成比例3 相似多边形4 探索三角形相似的条件*5 相似三角形判定定理的证明6 利用相似三角形测高7 相似三角形的性质8 图形的位似一. 成比例线段※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※3. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b 之外,a:b ≠b:a,b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则d c b a = ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.二．平行线分线段成比例※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EFBC DE AB =. 三. 相似多边形 ¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.四. 探索三角形相似的条件 _ 图1 _ B _ C _ A _ 图2_ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _3 _ l _2_ l _1※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5. 相似三角形周长的比等于相似比.※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.※1. 相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b.斜边和一直角边对应成比例.※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 图形的位似※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。

(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题

相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

北师大版初中数学九年级上册第四章相似三角形(复习)(共29张PPT)

单位
在线段AB上，点C把线段AB分成两条
线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，一条线段的黄金
黄金分割
那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比
分割点有__两____ 个
叫做黄金比，黄金比为____0_.6_1_8_
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
例2 如图22－2，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片， AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一
边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交
点为M.
(1)求证：
；
(2)求这个矩形EFGH的周长．
考点聚焦
(3)位似图形对应边_平__行___(或在一条直线上)； (4)位似图形对应角相等
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最89/8/2021 11:18:21 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.811:18:2111:18Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。11:18:2111:18:2111:18Wednesday, September 08, 2021
例3 如图22－4，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且 ∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6 ，AF＝4 ，求AE的长．

北师大版九年级上册数学[《探索相似三角形相似的条件》知识点整理及重点题型梳理](基础)

新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：12AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，12是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，∵∠B是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP∽△ABC，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．【答案与解析】举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．类型三、黄金分割5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

北师大九年级数学上第四章相似三角形的性质讲义

相似三角形的性质一、知识点回顾1、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

以上各条可以概括为：相似三角形的对应线段之比等于相似比。

（4）相似三角形面积之比等于相似比的平方。

二、例题：例1、如图，在Rt △ABC 内有三个内接正方形，DF=9cm ，GK=6cm ，求第三个正方形的边长PQ 。

解：设PQ=xcm ，则PK=6－x 。

∵GF=9-6=3cmRt △FGK ∽ Rt △KPQ ∴PQPKGK GF = 即：xx -=663∴x =4cm即：正方形的边长为4cm例2、如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，且EF=32BC=2cm ，△AEF 的周长为10cm ，求梯形BCFE 的周长。

解：∵EF ∥BC∴△AEF ∽ △ABC ∴BCEFABC AEF =∆∆周长周长（相似三角形的周长之比等于相似比）∴△ABC 的周长为15cm∴梯形BCFE 的周长=△ABC 的周长－△AEF 周长+2EF=9cm例3、如图，△ABC 被DE 、FG 分成面积相等的三部分，且DE ∥FG ∥BC 。

求DE ：FG ：BC 。

解：∵DE ∥FG ∴△ADE ∽ △AFG∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆FG DE S S AFG ADE （相似三角形的面积之比等于相似比的平方）。

∵S 1=S 2∴212=⎪⎭⎫⎝⎛FG DE 即：21=FG DE 同理31=BC DE ∴DE ：FG ：BC=1：2：3例4、如图，矩形FGHN 内接于△ABC ，F 、G 在BC 上，N 、H 分别在AB 、AC 上，且AD ⊥BC 于D ，交NH 于E ，AD=8cm ，BC=24cm ，NF ：NH=1：2，求此矩形的面积。

解：∵NH ∥BC ∴△ANH ∽ △ABC 又∵AD ⊥BC ，NH ∥FG ∴AE ⊥NHD∴BCNHAD AE =（相似三角形的对应边上的高之比等于相似比）设NF=x ，则NH=2x ，AE=AD －ED=8－x ∴24288xx =- ∴x =4.8 ∴S 矩形FGHN =NF×NH=46.08答：矩形的面积为46.08cm 2三、训练题：【基础与巩固】1.等腰三角形ABC 的腰的长为12，底的长为10，等腰三角形A ′B ′C•′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的周长为（）．（A ）17 （B ）16 （C ）17或16 （D ）342.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm•和4.5cm ，•如果它们的面积和为78cm 2，那么较大的多边形面积为（）．（A ）46.8cm 2 （B ）42cm 2 （C ）52cm 2 （D ）54cm 23.顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形的对应高的比是（）．（A ）1：4 （B ）1：3 （C ）1：2 （D ）1：24.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB=2A ′B ′，如果△ABC 的周长是26cm ，•那么△A ′B ′C ′的周长是______cm ；5.把一个四边形放大成与其相似的四边形，如果边长扩大为原来的10倍，•那么面积扩大为原来的________倍，如果面积扩大为原来的25倍，那么边长扩大为原来的_________倍；6.要把一根1m 长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为35，那么截成的两段铜丝长度的差应是______m ．7.如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是______；8.如果两个相似三角形对应中线的比等于5：6，•那么这两个相似三角形的相似比为_______；9.如果两个相似三角形的周长分别为9cm 和15cm ，•那么这两个相似三角形的对应角平分线的比为________；10.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是△ABC 、△A ′B ′C ′的高，AD ： A ′D ′=3：4，△A ′B ′C ′的一条中线B ′E ′=16cm ，则△ABC 的中线 BE=_______cm ．11.在一张比例尺为1：5 000•的地图上，•一块多边形区域的周长是72cm ，•面积是320cm 2，求这个区域的实际周长和面积．12.已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，与它相似的△A ′B ′C ′的最大边长为15，•求△A ′B ′C ′的面积．13.如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是这两个三角形的高，EF 、E•′F ′分别是这两个三角形的中位线．''''AD EFA D F F 与相等吗？为什么？14. 如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，以斜边BC 上距点B3cm 的点P•为中心，把AB C F G HND E这个三角形按逆时针方向旋转90°成图中的△DEF位置，•求旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少？15. 如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的角平分线，BE、B′E′分别是△ABC、△A′B′C′的中线，AD、BE相交于点O，A′D′、B′E′相交于点O′．△AOE与△A′O′E′相似吗？为什么？16. 如图，在矩形FGHN中，点F、G在边BC上，点N、H分别在边AB、AC上，且AD⊥BC，•垂足为D，AD交NH于点E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积．17. 一块直角三角形木块的面积为1.5m2，直角边AB长1.5m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示．你能用所学的知识说明谁的加工方法更符合要求吗？（加工损耗忽略不计）【拓展与延伸】1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD分成两部分面积的比是1：2，EF是中位线，则被EF分成的两部分面积之比为S AEFD：S BCFE=（）A、3：4B、4：5 C：5：7 D、7：92、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD:S△ACD=1：3，则S△AOD:S△BOC 等于（）A、1：6 B、1：3 C、1：4 D、1：63、如图，DE∥BC，DE把△ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（）A、1：2B、1：4C、2：2D、2：24、如图，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（）A 、1：2：3B 、2：3：4C 、1：3：5D 、3：5：75、如图，在△ABC 中，∠CBA=90°，BD ⊥AC 于D ，则下面关系式中错误的是（）A 、AB 2=AD×AC B 、BD 2=AD×DC C 、AB 2=AC 2－BC 2 D 、AB 2=AC×DC6、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，PQMN 为正方形，且顶点在△ABC 各边上，BC=60cm ，AD=40cm ，则正方形边长为（）A 、12cmB 、16cmC 、20cmD 、24cm7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm ，那么这两个三角形的周长分别为_______________。

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a:b ＝m ：n （或n m b a =)2、比的前项,比的后项：两条线段的比a:b 中.a 叫做比的前项，b 叫做比的后项. 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度.3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a =4、比例外项:在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项. 5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c:d)中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例d cb a =（或a:b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等,即比例为a bb a =(或a:b ＝b ：c 时,我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段:对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.(注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）(2)比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= (两外项的积等于两内项积)2.反比性质： c da b dc b a =⇒= （把比的前项、后项交换)3。

北师大九年级数学上第四章相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1．解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ．例3 分析由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =．在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、，则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =．又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解（1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解（1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等；（2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等；（4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等；（6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ．又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．）例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。

北师大版九年级上册第四章《相似三角形》复习资料：知识点例题

相似三角形一、知识要点【比例】1、如果a∶b=c∶d ,那么组成比例的四个数a,b,c,d叫做__________，其中_________为外项，_______为内项. ________为前项，__________为后项.2、四条线段a,b,c,d中，如果_______________,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称__________.3、黄金分割的定义：______________________________________________.4、引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.5、比例的基本性质：（1）、基本性质：如果___________________,那么___________________ 。

（2）、合比性质：如果___________________,那么___________________ 。

（3）、等比性质：如果___________________,那么___________________。

（4）、更比性质：如果___________________,那么___________________ 。

（5）、反比性质：如果___________________,那么___________________ 。

【相似】1、定义：(1)、相似多边形：________________________________叫做相似多边形。

(2)、相似三角形：___________________________________叫做相似三角形。

(3)、相似比：_____________________________叫做相似比.2、性质：（1）、相似三角形对应角_____，对应边______ ,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都________相似比。

（2）、相似多边形的周长比等于_______，面积比等于___________.3、判定:(1).______________________________的两个三角形相似；(2).______________________________的两个三角形相似；(3).______________________________的两个三角形相似；(4).定义法:___________________________的两个三角形相似。

北师大版九年级数学第四章探索相似三角形相似的条件

探索相似三角形相似的条件【学习目标】1.相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点进阶：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点进阶：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果AC BCAB AC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点进阶：512AC AB-=≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，512-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点进阶：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念例1、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．思驰：人们买瓜是为了吃瓤．远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．思驰：两者的体积比如何求呢？经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：3333343()4()()3r r rr a r ar aππ==+++＜1当a一定时，r值越大，（3()rr a+的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？类型二、相似三角形的三个判定定理例2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．举一反三【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．例3、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长为多少？举一反三【变式】如图，在△ABC于△ADE中,AB AEBC ED，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是___________．例4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）举一反三【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）类型三、黄金分割例5.折纸与证明---用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）举一反三：【变式】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．【巩固练习】一、选择题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B． 2个 C．3个D． 4个2．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED∽△ABC是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C. AD ACAE AB= D.AD DEAC BC=3．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对 B． 6对 C．4对D． 2对4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.无法确定6.有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有a cb d ．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．其中正确的判断有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．10．如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是．11．如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．三、解答题13. 如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．14如图，已知△ABC 中，AB=，AC=，BC=6，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求MN 的长．15.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．。

北师大版九年级上册数学相似三角形整理与复习

相似三角形整理与复习【考点分析】①了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． ②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比． ③掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．一、比例线段1. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.2. 第四比例项：若d cb a =，则d 叫a 、b 、c 的第四比例项. 3. 比例中项：若cb b a =，即ac b =2，则b 叫a 、c 的比例中项.针对练习：1、下列说法中正确的是（）A.两条线段的比总是整数B.两条线段的比总是正数C.两条线段的比可能为0D.两条线段的比与所采用的长度单位有关 2、下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1二、比例的性质1 基本性质：ac b cbb a bc ad d c b a =⇔==⇔=2;（a 、b 、c 、d 都不为零） 2 等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．温馨提示：(1)此性质的证明运用了“设k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b三、黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC, 如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点, AC 与AB 的比叫做黄金比.四、相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形。

北师版九年级数学 4.7相似三角形的性质(学习、上课课件)

面积比等于相似比
的平方
感悟新知
知2－练
例 2 如果两个相似三角形的相似比是3 ∶2，它们的周长差为8，那么较大的三角形的周长为______. 解题秘方：紧扣“相似三角形的周长比等于相似比” 列方程求解.
感悟新知
解：设较大的三角形的周长为x，则较小的三角形的周长为x－8. ∵这两个相似三角形的相似比为3 ∶ 2， ∴这两个三角形的周长比为3 ∶ 2. ∴x－x 8=32，解得x =24. ∴较大三角形的周长为24 . 答案：24
两个三角形高(或底)的比相混淆.
如下表：
感悟新知
图形周长比
面积比
推理
A′ABB′＋＋BB′CC＋′＋AAC′C′=
(A′B ＋B′C ＋A′ C )·k A′B ＋B′C ＋A′C
=k
S△ ABC S△ A′ B′C′
=12B12′BCC′ ··AA论
周长比等于相似比
∴AA′DD′=AA′BB′ =k
感悟新知
图形
对应中线的比
AM，A′M′分别为 △ ABC 和△ A′B′C′对应边上的中线
知1－讲
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△ A′B′C′，
∴∠ B=∠ B′，AA′BB′=BB′CC′ . 对应 ∵AM，A′M′分别是边BC，中线
B′C′上的中线，∴
感悟新知
知1－讲
图形
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△
对应
A′B′C′，∴∠ B=∠ B′. 高的
对应
∵ AD ⊥ BC，A′D′⊥ 比等
高的
B′C′，∴∠ ADB= 于相
比 AD，A′D′分别为△ ∠A′D′B′=90° .∴△ 似比

北师大版九年级数学上册相似三角形的性质

SE R
∴SR∥BC
∴∠AER=∠ADC=90° ∴ AE是ΔASR的高.
B PD Q C
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解： ΔASR与ΔABC相似. 理由:
∵ SR∥BC
A
∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ ΔASR与ΔABC相似.
【详解】解：如图所示，过点 C 作CF AB交 AB 的延长线于点 F，设 BD＝m，
∵ AD AC ， ∴∠DAC＝90°，又∵∠DAE+∠DAC+∠CAF＝180°， ∴∠DAE+∠CAF＝90°，又∵ ，， DE AB CF AB ∴∠DEA＝∠CFA＝90°，又∵∠CAF+∠ACF＝90°， ∴∠DAE＝∠ACF，
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
练一练
1、△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应中线，已知 AC ，2B'D'=4cm，求BD的长.
A' C' 3
解：∵ △ABC∽△A'B'C′， BD和B'D'是它们的对应中线
∴
BD AC 2 B'D' A'C' 3
（相似三角形对应中线的比等于相似比）
AD
BC
，
AD∥
BC
，得出
BE
1 2
AD
，
BEF ∽△DAF ，由相似三角形的性质
得出：：即可． S BEF
S
ADF
(1)2 2
1
4
【详解】解：点 E 是边 BC 的中点，

北师大版九年级数学(上)第四章图形的相似：相似三角形讲义

相似三角形综合运用讲义【考点剖析】相似三角形是几何中较难的部分，也是每年中考的热点，相似三角形对圆的学习以及各种类型的综合性问题的解决都有很大的帮助。

在此，我们对相似三角形中经常出现的解答方法与技巧进行讲解。

【例题巧解点拨】一、运用三角形相似的条件进行解答。

例1.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．目标训练1.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．2.如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．二、相似与函数的运用。

例2.在△ABC 中，∠C ＝90°，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB ，交AC 边于E 点，点E 不与点C 重合，若AB=10，AC=8，设AP 的长为x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式。

目标训练1.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=25，斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（2，0），求直角边BC 所在直线的解析式。

2.已知梯形ABCD 中，AD//BC （AD<BC ），AD=5，AB=DC=2。

（1）如图1，P 为AD 上一点，满足∠BPC=∠A 。

①求证：△ABP ∽△DPC ； ②求AP 的长。

（2）如图2，若点P 在AD 上移动（与A 、D 点不重合），且满足∠BPE=∠A ，PE 交BC 于点E ，交DC 的延长线于点Q ，设AP=x ，CQ=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

三、阅读理解类问题。

例3.阅读下列材料，补全证明过程：（1）已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．目标训练1.如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2.已知：△ABC 中，AB ＝10 ⑴如图①，若点D 、E 分别是AC BC 边的中点，求DE 的长； ⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，求A 1B 1＋A 2B 2的值； P A C E A B CO B A C D P B A C D P E D F O N D EF O N C OD ( F )⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。

北师大版九年级上册相似三角形复习知识点和典型例题(无答案)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项核心内容：bc ad = 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c abc db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．E BD DB C(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形经典模型总结【精选例题】 “平行型”【例1】如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形M 1F 1E 1M E F A BC【例2】如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN =M N A BD E F【例3】已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H求证：PE PHPF PG=PHGFEDCBA【例4】已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且2AEEC=,BE 、CD 相交于点F ，求BFEF的值FE DCBA【例5】已知：在ABC ∆中，12AD AB =，延长BC 到F ,使13CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE =ABCDFE【例6】已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ∆为等腰三角形FEDCBA【例7】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【例8】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FEDCBA【例9】如图，四边形ABCD中，90B D∠=∠=︒，M是AC上一点，ME AD⊥于点E，MF BC⊥于点F求证：1MF MEAB CD+=ABCDEFM【例10】如图，在ABC∆中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E,交BC的延长线于F 求证：AE BF BE CF⋅=⋅FEDCBA【例11】如图，在线段AB上，取一点C，以AC，CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC∆和CEB∆，AE交CD于点P，BD交CE于点Q,求证：CP CQ=QPEDC BA【例12】阅读并解答问题.在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D ，E 落在BC 边上，F ，G 分别落在AC ,AB 边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在ABC ∆两边上的正方形''''D E F G 如图，第二步：连接'BF 并延长交AC 于点F 第三步：过F 点作FE BC ⊥,垂足为点E 第四步：过F 点作FG BC ∥交AB 于点G 第五步：过G 点作GD BC ⊥，垂足为点D 四边形DEFG 即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形⑵在ABC ∆中，如果6BC =+45ABC ∠=︒,75BAC ∠=︒,求上述正方形DEFG 的边长“平行旋转型”图形梳理：AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBBCAEF 旋转到AE‘F’G'F'E'D'AB CDEFGABCAEF 旋转到AE‘F’特殊情况：B 、'E 、'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAB CEF E'F'AEF 旋转到AE‘F’C ，'E ，'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBA【例13】已知梯形ABCD ，AD BC ∥，对角线AC 、BD 互相垂直，则①证明：2222AD BC AB CD +=+OAB CD【例14】当AOD ∆，以点O 为旋转中心，逆时针旋转θ度（090θ<<），问上面的结论是否成立，请说明理由DCB AO【例15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求::AG DF CE =_________.ABGGFEDCBA“斜交型”【例16】如图，ABC ∆中，D 在AB 上，且DE BC ∥交AC 于E ，F 在AD 上，且2AD AF AB =⋅，求证：AEFACD ∆∆F ED CBA【例17】如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AB 上，且CE BE =，AD ，CE 相交于M ，求证:EAM ECA ∆∆【例18】如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ∠=∠,求证：DAC CBD ∠=∠M E DC B AODCBA【例19】如图，设AB BC CAAD DE EA==，则12∠=∠吗？ 21ABCDE【例20】在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，ABC ∆和BDE ∆的面积分别等于18和2，2DE =，求AC 边上的高ABCDE【例21】如图，在等边ABC ∆的边BC 上取点D ，使21=CD BD ，作CH AD ⊥，H 为垂足，连结BH 。

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形．知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项）（2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

九年级数学上册第四章图形的相似7相似三角形的性质相似三角形错解分析素材北师大版

相似三角形错解分析相似三角形具有对边成比例，对角相等,相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方等性质.在利用相似三角形解决问题，一定注意结合图形，正确利用相似三角形的性质解决实际问题,不要出现下列一些错误.例1 如图1，在△ABC 中，AB=10cm,BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C ，以4cm/s 的速度移动,如果点P ，Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似。

错解：设经过ts 时，△PBQ 与△ABC 相似，则AP=2t ，BQ=4t,BP=10-2t,当△PBQ∽△ABC 时，有BC BQ AB BP =，即20410210t t =-,所以t=2。

5. 分析：本题错解考虑问题不完整，出现漏解，本题除了△PBQ∽△ABC 外，在实际运动中还可能出现△QBP∽△ABC.所以两种情况都要考虑到.正解：设经过ts 时，△PBQ 与△ABC 相似，则AP=2t ，BQ=4t,BP=10—2t ，（1）如图1, 当△PBQ∽△ABC 时，有BC BQ AB BP =，即20410210t t =-，所以t=2。

5。

图1 图2（2)如图2，当△QBP∽△ABC 时,有BC BP AB BQ =，即20210104t t -=,所以t=1. 综上可知，经过2.5s 或1s 时,△PBQ 和△ABC 相似.评注：与运动有关的相似三角形问题，常出现两个解的情况，所以解决这类问题中，一定要注意可能存在的多解情况.否则,可能出现漏解而致误。

例2 如图3,在△AB C 中，BCCD AB AD =，AB=12，BC=8，DE//AB ，已知△DCE 的面积等于4，求四边形ABED 的面积.错解：由BC CD AB AD =，可得32128===AB BC AD CD ,因为DE//AB ，所以△CDE∽△CAB, 所以32=∆∆CAB CDE S S ，因为S △DCE =4,所以S △CAB=6,所以S ABED 面积为6-4=2.分析：错解在没有把握住相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质.把相似三角形的面积比当成相似比而造成错解。

北师大数学九年级上册第四章相似三角形

第02讲_相似三角形知识图谱相似图形知识精讲一．相似图形形状相同的图形是相似图形，相似图形仅是形状相同，大小不一定相同．二．相似的性质1.相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等；反过来，两个多边形对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似；2.相似多边形对边的比成为相似比；3.相似多边形面积比为相似比的平方．三点剖析一．考点：相似图形的认识二．重难点：相似的性质三．易错点：1.相似不一定全等，可以包含全等，换言之，全等图形是相似图形相似比为1的特殊情况；2.相似图形也存在对应点、对应边、对应角，在确定对应角时可以通过对应边夹角确定；3.相似图形面积比为相似比的平方．相似图形例题1、 “相似的图形”是（）A.形状相同的图形B.大小不相同的图形C.能够重合的图形D.大小相同的图形【答案】 A 【解析】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A ．例题2、在下面的图形中，相似的一组是（）A.A 图B.B 图C.C 图D.D 图【答案】 C【解析】该题考查的是相似图形的性质．图形相似即为形状相同，由观察可得C 选项中图形形状一致，故答案为C ．例题3、如图，菱形、矩形与正方形的形状各有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．设菱形相邻两个内角度数分别为m ︒和n ︒，将菱形的“接近度”定义为m n -，于是，m n -越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70︒，则菱形的“接近度”等于__________；②当菱形的“接近度”等于__________时，菱形是正方形．【答案】 40；0．【解析】解：①菱形的一个内角为70︒，∴该菱形另一个内角为110︒，∴“接近度”等于1107040︒-︒=︒． ②若此图形为正方形，则所有内角均为90︒，则“接近度”为90900︒-︒=︒，即“接近度”为0．随练1、利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】 D【解析】解：两个相似图形面积比为相似比的平方，由题意可知，放缩前后两个等边三角形的相似比为1:4，则面积比应为1:16．随练2、有一张矩形风景画，长为90cm ，宽为60cm ，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比为原风景画的长宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm ，左、右边衬的宽都为bcm ，那么ab =__________．A B C D【答案】 254cm【解析】解：根据题意得，6026090290b a +=+，解得23a b =，32a b ∴=， ()()()6029026090144%b a ++=⨯⨯+，整理得30455940a b ab ++-=，整理得2603960b b +-=，解得16b =，266b =-（舍去），3692a ∴=⨯=，()29654ab cm =⨯=．随练3、如图，点P 是平行四边形ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有A.0对B.1对C.2对D.3对【答案】 D【解析】暂无解析相似的性质例题1、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为____A.1：4B.1：2C.2：1D.4：1【答案】 B【解析】∵两个相似多边形面积比为1：4，∵周长之比为14=1：2．故选：B ．例题2、已知五边形ABCDE ∽五边形A 1B 1C 1D 1E 1，五边形ABCDE 的最短边为2，最长边为6，五边形A 1B 1C 1D 1E 1的最长边是12，则五边形A 1B 1C 1D 1E 1的最短边是（）A.4B.5C.6D.8【答案】 A【解析】 ∵五边形ANCDE ∽五边形A 1B 1C 1D 1E 1，五边形ABCDE 的最短边为2，最长边为6，五边形A 1B 1C 1D 1E 1的最长边是12，∴1111126=12B C D E 五边形A 的最短边， ∴五边形A 1B 1C 1D 1E 1的最短边是4．例题3、如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ．设△BPQ ，△DKM ，△CNH 的面积依次为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 3=20，则S 2的值为（）A.6B.8C.10D.12【答案】 B【解析】 ∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，∴四边形BEFD ，四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ，∴BE ∥DF ∥CG∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴12AB BQAD MD==，13BQ ABCH AC==，∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，∴12 QBMD=，∴121 4S S =，1319SS=，∴S2=4S1，S3=9S1，∵S1+S3=20，∴S1=2，∴S2=8．随练1、如图，△ABC∽△ACD，相似比为2，则面积之比S△BDC：S△DAC为（）A.4：1B.3：1C.2：1D.1：1【答案】B【解析】∵△ABC∽△ACD，相似比为2，∴S△ABC：S△ACD=4，∴S△BDC：S△ACD=3：1．随练2、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE︰S△COA＝1︰25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A.1︰3B.1︰4C.1︰5D.1︰25【答案】B【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE︰S△COA＝1︰25，∴15 DEAC=，∵DE∥AC，∴15 BE DEBC AC==，∴14 BEEC=，∴S△BDE与S△CDE的比是1︰4，随练3、如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A.a=2bB.a=2bC.a=22bD.a=4b【答案】B【解析】对折两次后的小长方形的长为b ，宽为14a ， ∵小长方形与原长方形相似， ∴14a b b a =， ∴a=2b ．故选B ．相似三角形的判定知识精讲一．相似三角形的判定1.平行定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2.“SSS ”：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的边对应成比例，那么这两个三角形相似．3.“SAS ”：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4.“AA ”：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．5.“HL ”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．二．相似三角形的判定与全等三角形的判定比较相似三角形和全等三角形判定条件中相同的是都有“SSS ”，“SAS ”，“HL ”，不同的是相似还可以通过“AA ”和平行定理判定，而全等是还可以通过“AAS ”和“ASA ”判定。

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相似三角形
一、知识要点
【比例】
1、如果a∶b=c∶d ,那么组成比例的四个数a,b,c,d叫做__________，其中
_________为外项，_______为内项. ________
为前项，__________为后项.
2、四条线段a,b,c,d中，如果_______________,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称__________.
3、黄金分割的定义：______________________________________________.
4、引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
5、比例的基本性质：
（1）、基本性质：如果___________________,那么___________________ 。

（2）、合比性质：如果___________________,那么___________________ 。

（3）、等比性质：如果___________________,那么___________________。

（4）、更比性质：如果___________________,那么___________________ 。

（5）、反比性质：如果___________________,那么___________________ 。

【相似】
1、定义：
(1)、相似多边形：________________________________叫做相似多边形。

(2)、相似三角形：___________________________________叫做相似三角形。

(3)、相似比：_____________________________叫做相似比.
2、性质：
（1）、相似三角形对应角_____，对应边______ ,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都________相似比。

（2）、相似多边形的周长比等于_______，面积比等于___________.
3、判定:
(1).______________________________的两个三角形相似；
(2).______________________________的两个三角形相似；
(3).______________________________的两个三角形相似；
(4).定义法:___________________________的两个三角形相似。

(5).定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

4、射影定理
________________________________________________________________
【位似】
1.如果两个图形____________________________,那么这样的两个图形叫做位似
图形。

这个点叫_____________，这时的相似比又称为______________。

2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比_____________。

二、典型例题
例1.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
如图C是线段BD上的一点，AB⊥BD.ED⊥BD.AC⊥EC，求证：△ABC∽△CDE
例2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD 的中点．
（1）求证：△CDE∽△EAB；
（2）△CDE与△CEB有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
已知如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2．
（1）求AE：DC的值．
（2）△AEF与△CDF相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比．
（3）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF．
例3 ：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积．
已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．
（1）求证：EF∥AB；
（2）联结DE，当∠ADE=∠C时，求证：AB=2AC．
例4：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图所示,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O’B’,比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O’B’=1， A’B’ =2，AB=274，求金字塔的高度OB.
在阳光下,身高为1.68m的小强在地面上的影长是2m,在同一时刻,测得旗杆在地面上的影长为18m,求旗杆的高度(精确到0.1m)
例5：如图:为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB.
我们还可以在河对岸选定一目标点A，再在河的一边选点D和E，使DE⊥AD，然后，再选点B，作BC∥DE，与视线EA相交于点C。

此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸间的大致距离AB了。

你能写出求法吗？。