初中数学 北师大版九年级上册第四章《相似三角形》复习资料：知识点+例题

相似三角形

一、知识要点

【比例】

1、如果a∶b=c∶d ,那么组成比例的四个数a,b,c,d叫做__________，其中

_________为外项，_______为内项. ________

为前项，__________为后项.

2、四条线段a,b,c,d中，如果_______________,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称__________.

3、黄金分割的定义：______________________________________________.

4、引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

5、比例的基本性质：

（1）、基本性质：如果___________________,那么___________________ 。（2）、合比性质：如果___________________,那么___________________ 。（3）、等比性质：如果___________________,那么___________________。（4）、更比性质：如果___________________,那么___________________ 。（5）、反比性质：如果___________________,那么___________________ 。

【相似】

1、定义：

(1)、相似多边形：________________________________叫做相似多边形。

(2)、相似三角形：___________________________________叫做相似三角形。

(3)、相似比：_____________________________叫做相似比.

2、性质：

（1）、相似三角形对应角_____，对应边______ ,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都________相似比。

（2）、相似多边形的周长比等于_______，面积比等于___________.

3、判定:

(1).______________________________的两个三角形相似；

(2).______________________________的两个三角形相似；

(3).______________________________的两个三角形相似；

(4).定义法:___________________________的两个三角形相似。

(5).定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

4、射影定理

________________________________________________________________

【位似】

1.如果两个图形____________________________,那么这样的两个图形叫做位似

图形。这个点叫_____________，这时的相似比又称为______________。

2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比_____________。

二、典型例题

例1.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.

如图C是线段BD上的一点，AB⊥BD.ED⊥BD.AC⊥EC，求证：△ABC∽△CDE

例2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD 的中点．

（1）求证：△CDE∽△EAB；

（2）△CDE与△CEB有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．

已知如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2．

（1）求AE：DC的值．

（2）△AEF与△CDF相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比．

（3）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF．

例3 ：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积．

已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．

（1）求证：EF∥AB；

（2）联结DE，当∠ADE=∠C时，求证：AB=2AC．

例4：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图所示,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O’B’,比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O’B’=1， A’B’ =2，AB=274，求金字塔的高度OB.

在阳光下,身高为1.68m的小强在地面上的影长是2m,在同一时刻,测得旗杆在地面上的影长为18m,求旗杆的高度(精确到0.1m)

例5：如图:为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB.

我们还可以在河对岸选定一目标点A，再在河的一边选点D和E，使DE⊥AD，然后，再选点B，作BC∥DE，与视线EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸间的大致距离AB了。你能写出求法吗？