人教版必修5第三章第4节5.3.4基本不等式及应用

解：(1)由 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1， 可得 xy＝10. 2 5 2y＋5x 2 10xy 则 ＋ ＝ ≥ ＝2. 10 10 x y ∴zmin＝2. 当且仅当 2y＝5x，即 x＝2，y＝5 时等号成立． 12 12 (2)∵x>0，∴f(x)＝ ＋3x≥2 · 3x＝12， x x
基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一 正”是指各项均为正数； “二定”就是若积为定值则和有最小 值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号 成立的条件，这也是最容易出错的最值．
基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化， 使用基本 不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式， 往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)， 构造出基本不等式的形式再进行求解．
基本不等式及应用
马瑜崇
1．基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 a＋b ab≤ 2
a＋b 其中 2 为 a，b 的算术平均数， ab为几何平均数，基 本不等式可叙述为： ．
2．常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥ b a (2) ＋ ≥ a b (3)ab a2＋b2 (4) 2 (5) (a，b∈R) (a，b 同号且不为零)
【思路启迪】 (1)利用 a＋b＝1 将要证不等式中的 1 代换， 即可得证． (2)用好 abc＝1 的条件，注意本题应用充分性、必要性两 方面来证． 【解析】 (1)证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
1 1 a＋b a＋b b a ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ a b a b a b ≥2＋2 ba 1 ·＝4(当且仅当 a＝b＝2时等号成立)． ab
1 1 ∴ ＋ ≥4.∴原不等式成立． a b
1 1 1 (2)∵abc＝1，∴a＋b＋c＝ ＋ ＋ ， bc ac ab ∵a，b，c∈R＋， 1 1 ∴ ＋ ≥2 bc ac 1 1 2 ＝2· ＝ ， abc2 c c ① ② ③
1 1 2 同理 ＋ ≥ ， bc ab b 1 1 2 ＋ ≥ ， ac ab a 当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”．
(2)显然 a≠2，当 a>2 时，a－2>0， 4 4 ∴ ＋a＝ ＋(a－2)＋2 a－2 a－2 ≥2 4 · a－2＋2＝6， a－2
4 当且仅当 ＝a－2，即 a＝4 时取等号， a－2
当 a<2 时，a－2<0，
4 4 4 ＋2－a ∴ ＋a＝ ＋(a－2)＋2＝－ ＋2 2 － a a－2 a－2
2 当且仅当 ＝ab 时等号成立． ab
1 1 2 所以 2＋ 2＋ab≥ ＋ab≥2 2， a b ab 1 1 a2＝b2， 当且仅当 2 ＝ab， ab 4
即 a＝b＝ 2时取等号.
(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． 4 (2)求 ＋a 的取值范围． a－2
【思路启迪】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最 值，然后确定取得最值的条件．
【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x4－2x＝ 2· x2－x x＋2－x ≤ 2· ＝ 2， 2 当且仅当 x＝2－x 即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2.
①＋②＋③得 1 1 1 a＋b＋c≥ ＋ ＋ ， a b c 1 1 1 故 abc＝1 是 ＋ ＋ ≤a＋b＋c 的充分条件． a b c 再令 a＝2，b＝c＝1， 1 1 1 满足 a＋b＋c≥ ＋ ＋ ， a b c 1 1 1 但 abc≠1，故 abc＝1 不是 ＋ ＋ ≤a＋b＋c 的必要 a b c 条件．故选 A.
利用基本不等式证明不等式， 应先观察题目的条件是否满 足基本不等式的使用条件，若不满足，则应通过添项、拆项、 配系数、“1”的代换等方法，使其满足，再结合不等式的基本 性质，达到证明的目的．
1 1 设 a，b 均为正实数，求证： 2＋ 2＋ab≥2 2. a b
1 1 证明： 由于 a、 b 均为正实数， 所以 2＋ 2≥2 a b 1 1 当且仅当 2＝ 2，即 a＝b 时等号成立． a b 2 又因为 ＋ab≥2 ab 2 · ab＝2 2. ab 1 1 2 ·＝ . a2 b2 ab
问题探究： 当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时， 如何处理？
提示：若最值取不到可考虑函数的单调性．
1 1 (1)已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： ＋ ≥4. a b 1 (2)(2012 年湖北)设 a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“ ＋ a 1 1 ＋ ≤a＋b＋c”的 b c A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 ( )
a＋b 2 2 (a，b∈R) a＋b 2 2 (a，b∈R)
a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ (a>0，b>0) 2 2 1 1 ＋ a b
上述五个不等式等号成立的条件都是 a＝b.
3．利用基本不等式求最值 设 x，y 都是正数， (1)如果积 xy 是定值 P，那么当 2 P. (2)如果和 x＋y 是定值 S， 那么当 1 2 时积 xy 有最大值4S . 时和 x＋y 有最小值
≤－2
4 · 2－a＋2＝－2， 2－a
4 当且仅当 ＝2－a，即 a＝0 时取等号， 2－a 4 ∴ ＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． a－2
当和为定值时， 积有最大值如本例中(1)， 当积为定值时且 有最小值如本例(2)，但要注意等号成立的条件．
求下列各题的最值． 2 5 (1)已知 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求 z＝ ＋ 的最小值； x y 12 (2)x>0，求 f(x)＝ ＋3x 的最小值； x 4 (3)x<3，求 f(x)＝ ＋x 的最大值． x－3