(完整版)对数与对数知识点

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对数知识点总结讲解

对数知识点总结讲解

对数知识点总结讲解一、对数的定义1. 对数的含义对数是一种数学工具,用来描述一个数与另一个数的幂之间的关系。

例如,如果一个数a 的x次方等于另一个数b,那么x就是以a为底,b为真数的对数,记作loga(b)。

2. 对数的性质对数具有以下几个基本性质:(1)对数的底数不能是0或1;(2)对数的真数不能是负数;(3)以a为底,b为真数的对数等于以10为底,b/a的对数的值乘以以10为底,a的对数的值。

3. 对数的公式表示对数的公式表示为:loga(b) = x,其中a为对数的底数,b为对数的真数,x为对数的值。

对数的值x可以是正数、负数、零。

二、对数的性质1. 对数的运算规则(1)乘法法则:loga(bc) = loga(b) + loga(c)(2)除法法则:loga(b/c) = loga(b) - loga(c)(3)幂法则:loga(b^c) = c*loga(b)(4)换底公式:loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的性质(1)loga(1) = 0;(2)loga(a) = 1;(3)a^loga(b) = b;(4)loga(a^x) = x。

三、对数的常用公式1. 对数的常用公式1(1)loga(b) = 1/logb(a)(2)loga(b) = ln(b)/ln(a)(3)loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的常用公式2(1)loga(b) + loga(c) = loga(bc)(2)loga(b) - loga(c) = loga(b/c)(3)loga(b^c) = c*loga(b)3. 对数的常用公式3(1)换底公式:loga(b) = logc(b)/logc(a)(2)对数的乘方化简:a^loga(b) = b(3)对数的乘方化简:loga(a^x) = x四、对数的应用1. 对数在数学中的应用(1)对数在指数函数的求导中的应用;(2)对数在对数函数的积分中的应用;(3)对数在数学建模中的应用。

对数与对数知识点

对数与对数知识点

对数与对数知识点在数学的广袤天地中,对数是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着关键地位,还在实际应用中发挥着巨大作用。

接下来,就让我们一起深入了解对数的世界。

首先,我们来弄清楚什么是对数。

简单来说,对数是一种数学运算,表示要得到一个数,需要将某个固定的数(称为底数)乘多少次才能得到这个数。

例如,如果以 10 为底数,要得到 100,因为 10 的 2 次方等于 100,所以 100 以 10 为底的对数就是 2。

那为什么要引入对数呢?这是因为在很多数学和科学问题中,直接处理指数形式的数可能会很复杂,而通过对数可以将乘除运算转化为加减运算,大大简化了计算。

想象一下,如果要计算一个非常大的数的幂次方,直接计算可能会非常困难,但通过对数,就能够将问题变得相对简单。

对数有一些基本的性质和公式,这是我们理解和运用对数的关键。

其中一个重要的性质是:对数的底数不变,真数相乘,对数相加;真数相除,对数相减。

例如,以 a 为底数,m 和 n 为真数,那么logₐ(mn) =logₐ(m) +logₐ(n),logₐ(m / n) =logₐ(m) logₐ(n)。

还有对数恒等式:a^(logₐN) = N。

这个恒等式在解决很多对数相关的方程和问题时非常有用。

再来说说常用对数和自然对数。

常用对数是以 10 为底数的对数,通常简记为 lg。

在日常生活和许多科学计算中,常用对数经常出现。

例如,在表示声音的强度、地震的震级等方面,常用对数都有应用。

自然对数是以无理数 e(约等于 271828)为底数的对数,通常简记为ln。

在微积分、概率论等高等数学领域,自然对数有着广泛的应用。

对数函数也是一个重要的概念。

对数函数是指形如 y =logₐx(a >0 且a ≠ 1)的函数。

它的定义域是 x > 0,值域是全体实数。

对数函数的图像有着独特的性质。

当底数 a > 1 时,函数单调递增;当 0 < a< 1 时,函数单调递减。

高一必修二对数知识点

高一必修二对数知识点

高一必修二对数知识点对数作为数学中的一个重要概念,在高一必修二的学习中起到了至关重要的作用。

本文将介绍高一必修二中的对数知识点,包括对数的定义、性质、常用公式及应用等内容。

一、对数的定义及性质1. 对数的定义对数是指数运算的逆运算。

设a和b为正实数且a≠1,若满足a^x = b,则称x为以a为底,b为真数的对数,记作x=log_a b。

2. 对数的性质(1) 对数的底数必须是一个大于0且不等于1的正实数。

(2) 对数的真数必须是一个大于0的正实数。

(3) 同一个对数的底数不变,真数不变,对数也不变。

(4) 对数与指数之间有一些基本关系,如a^x=b等价于x=log_a b。

二、常用公式1. 换底公式对于任意的a>0,b>0,c>0且a≠1,b≠1,c≠1,有以下换底公式: log_a b = log_c b / log_c a2. 对数的乘法公式对于任意的a>0,b>0且a≠1,b≠1,有以下对数的乘法公式: log_a (b×c) = log_a b + log_a c3. 对数的除法公式对于任意的a>0,b>0且a≠1,b≠1,有以下对数的除法公式: log_a (b/c) = log_a b - log_a c4. 对数的幂的公式对于任意的a>0,b>0,n为整数且a≠1,b≠1,有以下对数的幂的公式:log_a (b^n) = n×log_a b三、对数的应用1. 简化计算对数可以简化复杂的计算过程,特别是涉及指数的计算。

通过将指数问题转化为对数问题,可以更快捷地求解。

2. 解指数方程当方程中含有指数项时,可以利用对数的性质将其转化为对数方程,从而求得未知数的值。

3. 等比数列在等比数列中,对数有着重要的应用。

通过对数的运算,可以求得等比数列的通项公式、求和公式等。

4. 科学计算在科学计算中,对数常常用于测量和表示数量级,例如天文学中的星等、地震学中的里氏震级等,都使用了对数的概念。

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数(1)对数的定义:)对数的定义:如果a b =N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b . (2)指数式与对数式的关系:a b =N Ûlog a N =b (a >0,a ≠1,N >0).两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质: ①log a (MN )=log a M +log a N . ②log a NM =log a M -log a N . ③log a M n =n log a M .(M >0,N >0,a >0,a ≠1)④对数换底公式:log b N =bNN a a log log log (a >0,a ≠1,b >0,b ≠1,N >0). 2.对数函数(1)对数函数的定义)对数函数的定义函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是,根据对数定义: : loglog a a=1;如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数(比如log 1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4;一个等于1/16,另一个等于-1/16) (2)对数函数的图象)对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. (3)对数函数的性质: ①定义域:(0,+∞). ②值域:R . ③过点(1,0),即当x =1时,y =0. ④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数. 基础例题1.函数f (x )=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析:f (x )=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案:A 2.若f --1(x )为函数f (x )=lg (x +1)的反函数,则f --1(x )的值域为___________________. 解析:f -1(x )的值域为f (x )=lg (x +1)的定义域.由f (x )=lg (x +1)的定义域为(-1,+∞),∴f --1(x )的值域为(-1,+∞). 答案:(-1,+∞)∞)3.已知f (x )的定义域为[0,1],则函数y =f [log 21(3-x )]的定义域是__________. 解析:由0≤log 21(3-x )≤1Þlog 211≤log 21(3-x )≤log 2121Þ21≤3-x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案:[2,25]4.若log x7y=z ,则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析:由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ,即y =x 7z. 答案:B 5.已知1<m <n ,令a =(log n m )2,b =log n m 2,c =log n (log n m ),则,则A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b解析:∵1<m <n ,∴0<log n m <1. ∴log n (log n m )<0. 答案:D 6.若函数f (x )=log a x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析:∵0<a <1,∴f (x )=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=-32.∴a =42. 答案:A 7.函数y =log 2|ax -1|(a ≠0)的对称轴方程是x =-2,那么a 等于A. 21 B.-21 C.2 D.-2 解析:y =log 2|ax -1|=log 2|a (x -a1)|,对称轴为x =a1,由a1=-2 得a =-21. 答案:B 注意:此题还可用特殊值法解决,如利用f (0)=f (-4), 可得0=log 2|-4a -1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=-1. ∵a ≠0,∴a =-21. 8.函数f (x )=log 2|x |,g (x )=-x 2+2,则f (x )·g (x )的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析:∵f (x )与g (x )都是偶函数,∴f (x )·g (x )也是偶函数,)111-1O xy注意:研究函数的性质时,利用图象会更直观. 【例3】 已知f (x )=log 31[3-(x -1)2],求f (x )的值域及单调区间. 解:∵真数3-(x -1)2≤3,∴log 31[3-(x -1)2]≥log 313=-1,即f (x )的值域是[-1,+∞).又3-(x -1)2>0,得1-3<x <1+3,∴x ∈(1-3,1]时,]时,3-(x -1)2单调递增,从而f (x )单调递减;x ∈[1,1+3)时,f (x )单调递增. 注意:讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a (3-ax )在[0,2]上是x 的减函数,求a 的取值范围. 解:∵a >0且a ≠1,∴t =3-ax 为减函数.依题意a >1,又t =3-ax 在[0,2]上应有t >0,∴3-2a >0.∴a <23.故1<a <23. 【例5】设函数f (x )=lg (1-x ),g (x )=lg (1+x ),在f (x )和)和 g (x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g (x )|的大小. 解:f (x )、g (x )的公共定义域为(-1,1). |f (x )|-|g (x )|=|lg (1-x )|-|lg (1+x )|. (1)当0<x <1时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=-lg (1-x 2)>0; (2)当x =0时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=0;(3)当-1<x <0时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=lg (1-x 2)<0. 综上所述,当0<x <1时,|f (x )|>|g (x )|;当x =0时,|f (x )|=|g (x )|;当-1<x <0时,|f (x )|<|g (x )|. 【例6】 求函数y =2lg (x -2)-lg (x -3)的最小值. 解:定义域为x >3,原函数为y =lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x =3442-+-x x x =31)3(2)3(2-+-+-x x x =(x -3)+31-x +2≥4, ∴当x =4时,y min =lg4. 【例7】 (2003年北京宣武第二次模拟考试)在f 1(x )=x 21,f 2(x )=x 2,f 3(x )=2x ,f 4(x )=log 21x 四个函数中,x 1>x 2>1时,能使21[f(x 1)+f (x 2)]<f (221x xx x +)成立的函数是)成立的函数是A.f 1(x )=x 21B.f 2(x )=x 2C.f 3(x )=2xD.f 4(x )=log 21x解析:由图形可直观得到:只有f 1(x )=x 21为“上凸”的函数. 答案:A 探究创新1.若f (x )=x 2-x +b ,且f (log 2a )=b ,log 2[f (a )]=2(a ≠1). (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值;值;(2)x 取何值时,f (log 2x )>f (1)且log 2[f (x )]<f (1)?)? 解:(1)∵f (x )=x 2-x +b ,∴f (log 2a )=log 22a -log 2a +b . 由已知有log 22a -log 2a +b =b ,∴(log 2a -1)log 2a =0. ∵a ≠1,∴log 2a =1.∴a =2.又log 2[f (a )]=2,∴f (a )=4. ∴a 2-a +b =4,b =4-a 2+a =2.故f (x )=x 2-x +2,127m +m -+m )-+m+2m ≥+xm+2m )+x m ≥2m (当且仅当=xm ,即=m 时等号成立)+x m +2m )=4m ,即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较,分出正负;正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1,然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下,求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。

对数与对数函数的基础知识梳理

对数与对数函数的基础知识梳理

课堂互动讲练
(2)原式=(llgg23+llgg29)·(llgg34+llgg38) =(llgg23+2llgg23)·(2llgg32+3llgg32) =32llgg23·56llgg32=54; (3)分子=lg5(3+3lg2)+3(lg2)2 =3lg5+3lg2(lg5+lg2)=3; 分母=(lg6+2)-lg 130600×110 =lg6+2-lg1060=4; ∴原式=34.
课堂互动讲练
自我挑战
(3)当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1), 要使f(x)>0,须f(1)≥0,∴a-b≥1.12分
规律方法总结
1.比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数,若底 数不相同时,可运用换底公式化为 同底数的对数,还要注意与0比较或 与1比较.
规律方法总结
2.把原函数做变量代换化归为二次 函数,然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型.在给定条 件下,求字母的取值范围也是常见题型, 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜.
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)法一:∵loga2=m,∴am=2. ∵loga3=n,∴an=3. 故a2m+n=(am)2·an=4×3=12. 法二:∵loga2=m,loga3=n, ∴a2m+n=a2loga2+loga3= aloga12=12.
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考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象,一是熟 悉各种基本函数的图象,二是把握图 象的性质,根据图象的性质去判断, 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性.
函数值分布
1,则 y<0 ; ②当0<a<1时:若x>1,
则 y<0 ;若x=1,则 y=0 ;

对数及对数函数知识点总结及题型分析

对数及对数函数知识点总结及题型分析

对数及对数函数1、对数的基本概念(1)一般地,如果a (1,0≠>a a )的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 叫做以a 为底N 的对数, 记作b N a=log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子N a log 叫做对数式(2)常用对数:N 10log ,记作N lg ; 自然对数N e log (e =2.71828…),记作N ln .(3)指数式与对数式的关系:log xa a N x N =⇔=(0>a ,且1≠a ,0N >)(4)对数恒等式:2、对数的性质(1)负数和零没有对数,即0>N ; (2)1的对数是零,即01log =a ; (3)底的对数等于1,即1log =a a3、对数的运算性质(1)如果a >0,a ≠1,M >0,N >0,那么①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M NMa a alog log log -=; ③M n M a n alog log =(2)换底公式: 推论:① b N N b log 1log =; ② ; ③ 1log log =⋅a b b a4、对数函数的定义:函数 叫做对数函数,其中x 是自变量(1)研究对数函数的图象与性质:由于对数函数 与指数函数 互为反函数,所以 的图像和 的图像关于直线 对称。

(2)复习)10(≠>=a a a y x且的图象和性质()010log >≠>=N a a N aNa ,且bNN a a b log log log =b mn b a na m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x=xy a =y x =2.对数函数的图像:3.对数函数的性质:【回顾一下】① 定义:函数 称为对数函数,1) 函数的定义域为 ;2) 函数的值域为 ; 3) 当____ __时,函数为减函数,当_________时为增函数; 4) 函数与函数 ______ 互为反函数.① 1) 图象经过点( ),图象在 ;2) 对数函数以 为渐近线(当时,图象向上无限接近y 轴;当时,图象向下无限接近y 轴); 4) 函数y =log a x 与 的图象关于x 轴对称. ① 函数值的变化特征:题型一、对数式的运算 例题1:填空(1)[])81(log loglog 346=_____ ___; (2)19lg 3lg 2+-= ;(3)04.0log 10log 222+=_____ ___; (4)3log 28log 316161+=_____ ___; (5)=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7352例题2:若a y x =-lg lg ,则=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x ( ).A a 3 .Ba 23 .C a .D 2a 题型二 变式、对数运算性质运用 变式1:计算变式2:3128x y ==,则11x y-= .xy a log =)1,0(≠>=a a a y x 且10<<a 1>a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+题型三、解对数式方程例题1:已知216log =x ,则=x ( ).A 2 .B 4 .C 8 .D 32例题2:已知 ① 3log 1log 266-=x ,求x 的值 ; ② 2)25(log 22=--x x ,求x 的值。

对数与对数知识点

对数与对数知识点

对数与对数知识点对数是高中数学中的重要概念,广泛应用于代数、几何和数理统计等学科。

本文将介绍对数的定义、性质和应用,帮助读者全面了解对数及其相关知识点。

一、对数的定义对数是指数运算的逆运算。

设a和b是正实数,并且a≠1,若满足a^x=b,则称x为以a为底,b为真数的对数,记作x=loga(b)。

对数的定义可以解释为“b是以a为底的幂”,也可以理解为“a的x 次幂等于b”。

对数有一个重要的特例,即常用对数,以10为底的对数,记作x=log10(b),通常省略底数10,简记为lg(b)。

常用对数是应用最广泛的对数之一。

二、对数的性质1.对数与指数的互逆性质:若a和b是正实数,并且a≠1,则有loga(a^x)=x 和 a^(loga(b))=b 成立。

2.对数的运算性质:对数具有加法和乘法运算性质,即loga(m*n)=loga(m)+loga(n) 和loga(m/n)=loga(m)-loga(n)。

另外,对数还具有指数运算的性质,即loga(m^x)=x*loga(m)。

3.常用对数的特殊性质:若m和n是两个正实数,并且m>n,则lg(m)>lg(n)。

此外,常用对数lg(b)的值可以在对数表或计算器中查找。

三、对数的应用对数在数学和实际问题中有广泛的应用,以下是几个常见的例子:1.解指数方程:对数可以用于解决指数方程。

通过取对数,将指数方程转化为线性方程,从而得到方程的解。

2.简化计算:对数运算可以简化复杂的乘法和除法运算。

例如,计算log2(16*32)可以转化为log2(16) + log2(32),再利用对数表或计算器求得结果。

3.衡量数据变化:对数可以用于测量数据的变化程度。

例如,对数收益率常用于衡量金融投资的回报率。

4.概率计算:对数可以用于概率计算,特别是在大数相乘或相加时,通过将概率转化为对数,可以避免数值过小或过大的计算问题。

四、总结对数是数学中重要的概念,具有定义明确、性质丰富和广泛应用等特点。

对数知识点的总结

对数知识点的总结

对数知识点的总结一、对数的基本概念1. 对数的定义在数学中,对数是指以一个数为底的指数运算的逆运算。

设a和b是两个正数,且a≠1,那么可以确定一个数x使得a^x=b,那么x就是以a为底,b为幂的对数,记作loga b=x。

其中,a称为对数的底数,b称为真数,x称为对数。

2. 对数的性质(1)对数的底数不能是0或1,且对数不能是负数。

(2)对数的真数必须大于0。

(3)对数是指数运算的逆运算,即a^loga b=b(a>0,a≠1,b>0)。

(4)对数运算是具有单调性的,即如果b1>b2,则loga b1>loga b2。

(5)对数运算具有对数的性质,即loga b=loga c,当且仅当b=c。

二、对数的计算方法1. 对数的换底公式对数的换底公式是指对数计算中,可以通过不同底数的对数之间的转换来简化计算。

对于任意底数a、b和c,有以下换底公式:loga c=logb c/logb a2. 对数的性质(1)对数的运算法则对数的运算法则包括对数的加减法、乘除法和幂运算法则。

在对数计算中,可以通过运用这些法则来简化对数的计算过程。

(2)对数的常用公式对数的计算中有一些常用的公式,如a^loga b=b,loga ab=loga a+loga b,loga(b^n)=nloga b等。

3. 对数的计算示例(1)计算log2 8-log2 2根据对数的减法法则,有log2 8-log2 2=log2 (8/2)=log2 4=2(2)计算log5 125-log5 25根据对数的除法法则,有log5 125-log5 25=log5 (125/25)=log5 5=1(3)计算log2 16+log2 8根据对数的加法法则,有log2 16+log2 8=log2 (16*8)=log2 128=7三、对数的应用对数在科学和工程领域有着广泛的应用,常见的应用包括物理学、化学、生物学、经济学等领域。

对数与对数运算知识点总结与例题讲解

对数与对数运算知识点总结与例题讲解

对数与对数运算知识点总结与例题讲解本节知识点 (1)对数的概念.(2)对数式与指数式的互化. (3)对数的性质. (4)对数的运算性质. (5)对数的换底公式. 知识点一 对数的概念一般地,如果N a x=(0>a 且1≠a ),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.例如,因为41621=,所以21就是以16为底4的对数,记作214log 16=. 对对数概念的理解:(1)底数a 必须满足0>a 且1≠a ; (2)真数N 大于0(负数和0没有对数). 规定底数0>a 且1≠a 的原因:当0<a 时,N 取某些值时,x 的值不存在.例如,()29log 3=-,但()27log 3-却不存在.当0=a 时:①若0≠N ,则x 的值不存在;②若0=N ,则x 的值是任意正数.(注意:0的负指数幂和0次幂都没有意义) 当1=a 时:①若1≠N ,则x 的值不存在; ②若1=N ,则x 的值是任意实数.所以在对数的定义里,规定底数0>a 且1≠a . 常用对数与自然对数将以10为底的对数叫做常用对数,记作N lg ;将以无理数e ( 71828.2≈e )为底的对数叫做自然对数,记作N ln .根据对数概念,可以求参数的取值范围 例1. 求下列各式中x 的取值范围.(1)()3log 5.0-x ; (2)()()x x --2log 1.分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足: (1)底数0>a 且1≠a ; (2)真数0>N .解:(1)由题意可知:03>-x ,解之得:3>x .∴x 的取值范围是()+∞,3;(2)由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-021101x x x ,解之得:21<<x .∴x 的取值范围是()2,1.例2. 求下列对数式中x 的取值范围.(1)()x -5log 2; (2)()3log 2x -.解:(1)由题意可知:05>-x ,解之得:5<x .∴x 的取值范围是()5,∞-;(2)由题意可知:⎩⎨⎧≠->-1202x x ,解之得:2<x 且1≠x .∴x 的取值范围是()()2,11, ∞-.例3. 使()1log +x a (0>a 且1≠a )有意义的x 的取值范围是【 】(A )[)+∞-,1 (B )()+∞-,1 (C )[)+∞,0 (D )()+∞,0解:由题意可知:01>+x ,解之得:1->x .∴x 的取值范围是()+∞-,1.选择【 B 】.例4. 求()()x x --4log 3中x 的取值范围. 解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-041303x x x ,解之得:43<<x . ∴x 的取值范围是()4,3.例5. 使()2log 212+--x x有意义的x 的取值范围是【 】(A )[)2,2- (B )[]2,2- (C )()2,2- (D )(]2,2-解:由题意可知:⎩⎨⎧>+>-0202x x ,解之得:22<<-x .∴x 的取值范围是()2,2-.选择【 C 】.知识点二 指数式与对数式的互化在N a x=与N x a log =中,N x a ,,是同一个代表符号,只是名称不同.例如,将指数式6426=化为对数式为64log 62=.指数式与对数式的比较知识点三 对数的性质 (1)负数和0没有对数.(2)1的对数等于0,即01log =a (0>a 且1≠a ). (3)底数的对数等于1,即1log =a a (0>a 且1≠a ). (4)对数恒等式N aNa =log (0>a 且1≠a ).(5)x a xa =log (0>a 且1≠a ).对数的性质不仅可以简化运算,更重要的是利用对数的性质可以将任意一个实数转化为对数.例如, ===---2323log ln 2e .例6. 将下列指数式改写成对数式:(1)1624=; (2)32125=-. 解:(1)∵1624=,∴416log 2=;(2)∵32125=-,∴5321log 2-=. 例7. 将下列对数式改写成指数式:(1)3125log 5=; (2)416log 21-=.解:(1)∵3125log 5=,∴12553=;(2)∵416log 21-=,∴16214=⎪⎭⎫⎝⎛-.点评 指数运算与对数运算互为逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径,但一定要记清N x a ,,在两种形式中的准确位置:指数式N a x=,对数式N x a log =.需要说明的是,并不是所有的指数式都可以化为对数式,如()1624=-,就不能化为416log 2=-;112=,就不能化为21log 1=.例8. 计算下列各式的值:(1)25log 5; (2)32log 21; (3)10log 33; (4)1ln ; (5)5.2log 5.2.解:(1)25log 25log 255==;(对数的性质:x a xa =log )(2)521log 32log 52121-=⎪⎭⎫⎝⎛=-;(3)10310log 3=;(对数恒等式:N a N a =log ) (4)01ln =;(对数的性质:1的对数等于0) (5)15.2log 5.2=.(对数的性质:底数的对数等于1)例9. 计算:(1)27log 9; (2)81log 43; (3)()()32log 32-+.分析:利用指数式与对数式的互化进行计算.解:(1)设x =27log 9,则有279=x ,3233=x ,32=x ,23=x . ∴2327log 9=; (2)设x =81log 43,则有()8134=x,44133=x ,441=x ,16=x .∴1681log 43=;(3)设()()x =-+32log 32,则有()()1323213232-+=+=-=+x,1-=x .∴()()132log 32-=-+.例10. 求下列各式中的x :(1)2327log =x ; (2)x x 354⨯=. 解:(1)∵2327log =x ,∴2723=x ,()93327232332====x ;(2)∵xx354⨯=,∴534=⎪⎭⎫⎝⎛x,5log 34=x .例11. 若24=a ,a x =lg ,则=x __________. 解:∵24=a ,∴222=a ,12=a ,21=a . ∵a x =lg ,∴10101021===ax .例12. 已知函数()()a x x f +=22log ,若()13=f ,则=a __________.解:∵()13=f ,∴()19log 2=+a ,∴29=+a ,解之得:7-=a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a (0>a ,且1≠a )例13. 设m a =2log ,n a =3log ,则nm a +2的值为__________.解:∵m a =2log ,n a =3log ,∴3,2==nm a a .∴()1232222=⨯=⋅=+n m n m a a a .例14. 求下列各式的值:(1)4log 55; (2)24log 33-; (3)5log 422+.解:(1)454log 5=;(对数恒等式:N a N a =log )(2)9433324log 24log 33==-; (3)805162225log 45log 422=⨯=⋅=+.知识点四 对数的运算性质如果0>a ,且1≠a ,0,0>>N M ,则有: (1)()N M MN a a a log log log +=; (2)N M NMa a alog log log -=; (3)M n M a na log log =.其中,对数的运算性质(1)可推广:()n a a a n a M M M M M M log log log log 2121 ++=. 常用推论: (1)M M Ma a a log log 1log 1-==-; (2)M pnMM a pn a pn alog log log ==. 例15. 证明对数的运算性质:()N M MN a a a log log log +=(0>a 且0,0,1>>≠N M a )分析:利用指数幂的运算性质,可以证明对数的运算性质.证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴()()q p a a a MN q p a q p a a +==⋅=+log log log ,q p N M a a +=+log log . ∴()N M MN a a a log log log +=.例16. 证明对数的运算性质:N M NMa a alog log log -=(0>a 且0,0,1>>≠N M a ) 证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴q p a aa N M q p a q pa a -===-log log log ,q p N M a a -=-log log∴N M NMa a alog log log -=. 例17. 证明对数的运算性质:M n M a n a log log =(0>a 且0,0,1>>≠N M a )证明:设x M a =log ,则xa M =∴()nx a a M nx a nx a n a ===log log log ,nx M n a =log∴M n M a n a log log =.对数的运算性质的应用 例18. 化简求值:(1)51lg 5lg 32lg 4-+;(2)2.1lg 10lg 38lg 27lg -+;(3)3log 333558log 932log 2log 2-+-; (4)348log 348log 22-++.解:(1)原式()410lg 52lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 4443434==⨯=⨯=-+=; (2)原式=()()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 32lg 3lg 2213213=-+-+=-+-+=⨯-+; (3)原式13233log 389324log 38log 932log 4log 233333-=-=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-+-=; (4)原式()()22log 4log 16log348348log 22222====-+=.例19. 计算:=+25log53ln e__________.解:原式()7435log345=+=+=.例20. 设b a ==15log ,3log 22,则=75log 2__________. 解:∵b a ==15log ,3log 22∴()b a =+=+=⨯5log 5log 3log 53log 2222,∴a b -=5log 2. ∴()a b a b b -=-+=+=⨯=25log 15log 515log 75log 2222.例21. 计算:5log 3lg 33log 45log 1223211023⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++.解:原式=5log 3lg 3log 45log 23232102233-++⨯-⨯52951274815233165351log 32-=++-=++⨯-⨯=. 例22. 计算:()20lg 5lg 2lg 2lg 2-⋅+. 解:原式()()210lg 5lg 22lg ⨯-+=g()12lg 12lg 2lg 12lg -=--=+-=.例23. 计算:(1);42log 2112log 487log 222-+ (2)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.解:(1)原式42log 144log 487log 222-+= 2log =212log 21log 421444872122-===⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⨯-; (2)原式()()2322lg 210lg 5lg 2lg 325lg +⨯⋅++=()()22lg 2lg 15lg 2lg 25lg 2++++=()()2lg 5lg 22lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2++=++++=12+= 3=.例24. 计算:()()2922531log 31log 35+-+.解:原式()()()()3231139253531log 13log 31log 213log 2925925=++-=+=+=+-+-.点评 本题为易错题,易错误得到()()31log 231log 2522555--=,实际上,此时真数031<-,对数式无意义,应为()()()13log 213log 31log 25225225555---==.例25. 若()()0137log 22=+--x x x ,则x 的值为__________. 解:∵()()0137log 22=+--x x x∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-=+-120211372x x x x ,解之得:4=x . ∴x 的值为4.例26. 若()312xf x=+,则()=4f __________. 解:由412=+x 得到32=x,∴3log 2=x .∴()3log 31342==x f . 例27. 已知b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个根,则2lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 的值是【 】 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4解:∵01422=+-x x ,∴02122=+-x x . ∵b a lg ,lg 是该方程的两个根 ∴21lg lg ,2lg lg =⋅=+b a b a . ∴()()22142lg lg 4lg lg lg lg lg 2222=⨯-=⋅-+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a b a .选择【 B 】.例28. 计算:=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343__________. 解:原式8271log 325445log 32333434=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=--.例29. 解下列方程:(1)()()()1log 11log 4log 222++=-++x x x ; (2)()()5lg 11622lg -=-+x x x .解:(1)()()()1log 2log 14log 222++=-+x x x()()22log 43log 222+=-+x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>->++=-+01010422432x x x x x x ,解之得:2=x .∴该方程的解为2=x ;(2)()()x x x x x 2lg 2lg 5lg 10lg 1622lg ==-=-+ ∴x x x 21622=-+,解之得:8=x ,符合题意. ∴该方程的解为8=x .例30. 若12lg 2lg =-a ,则=a 【 】(A )4 (B )10 (C )20 (D )40解:∵12lg 2lg =-a ,∴14lg4lg lg ,12lg lg 2==-=-aa a . ∴104=a,解之得:40=a . 选择【 D 】.例31. 方程()1321log 3+=⋅+x x的解=x __________.解:()1333log321log +=⋅+x x,∴x x x 3333211⋅==⋅++.∴13=x ,解之得:0=x ,即该方程的解为0=x .点评 根据对数的性质,可将任意一个实数转化为对数,如上面的133log 1+=+x x .例32. 计算:3log 15.222ln 01.0lg 25.6log +-++e .解:原式3log 21225.2222ln 10lg 5.2log ⋅-++=-e211322122-=⨯-+-=.例33.(1)计算:()()()223log 8.94lg 25lg 27log 1203-+-+++-;(2)已知()y x y x 2lg 2lg lg -=+,求x y 22loglog-的值.解:(1)原式()()()21223312log 1425lg 3log -++⨯+=-21223+++=213=; (2)∵()y x y x 2lg 2lg lg -=+,∴()22lg lg y x xy -=∴()xy y x =-22,04522=+-y xy x .∵0>x ,∴04512=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y x y ,∴41=x y 或1=x y .∵02,0,0>->>y x y x ,∴210<<x y ,∴41=x y . ∴()42log 4log 41log logloglog4222222-=-=-===-x y x y .点评 这里第(2)问在得出结果时用到了对数的运算性质的推论:MM Ma a al o g l o g 1l o g 1-==-. 例34. 化简下列各式:(1)51lg 5lg 32lg 4-+;(2)2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+.解:(1)原式()452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 43434=⨯=⨯=-+=; (2)原式()()1023lg10lg 2lg 3lg 22133213⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 3lg 232lg 33lg 232=-+-+=-+-+=.例35. 化简下列各式:(1)()5353lg 281log 22723log 322-+++⨯-; (2)()246246log2--+.解:(1)原式()()2323235353lg 2log 33-+++⨯-=-()1919910lg 3332=++=+-⨯-=;(2)原式()21246246log22⨯--+= ()()3216212log218log 21246246log62222=⨯=⨯=⨯=⨯--+=.解法二: 原式()()⎪⎭⎫⎝⎛--+=2222222log ()()32log22log2222log3222===+-+=.例36. 若03241=--+x x,则x 的值为__________.解:032222=-⋅-x x,()()01232=+-x x∴32=x (012<-=x ,舍去) ∴3log 2=x .例37. 计算:4ln 3327log 25lg 4lg e ---.解:原式()844421243log 254lg 3-=--=--=-⨯-=. 例38.(1)已知68log =x ,求x 的值;(2)已知()x x 323log 110log +=-,求x 的值.解:(1)∵68log =x ,∴86=x .∵0>x ,且1≠x ∴()22282161361====x ;解法二:∵68log =x ,∴62log 32log 3==x x ,∴22log =x .∴()22log 22log 2==x x,12log =x ,∴2=x .(2)()x x 323log 110log +=-,()x x 3323log 3log 10log +=- ∴()x x 3log 10log 323=-∴⎪⎩⎪⎨⎧=->>-x x x x 310001022,解之得:5=x . 即x 的值为5.点评 解对数方程时,若方程可化为两个同底对数相等,则它们的真数相等. 例39. 若13log 5=a ,则aa 93+的值为__________.解:∵13log 5=a ,∴13log 5=a,∴53=a.∴()3055359322=+=+=+a a a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a (0>a 且1≠a ).例40. 若a y x =-lg lg ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x __________.(用含a 的式子表示) 解:∵a y x =-lg lg ,∴a yx=lg. ∴a y x y x y x y x 3lg 3lg 22lg 2lg 2lg 33333==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛.例41. 若213log 4=x ,则x x 93log 2+等于【 】 (A )3 (B )5 (C )7 (D )10解:∵213log 4=x ,∴213log 4=x,∴244321===x .∴()52132log 93log 2222=+=+=+x x x .选择【 B 】.例42. 若3log 4=a ,则=+-a a 22__________.解:∵3log 4=a ,∴34=a,即()322=a,∴32=a .∴33431321222=+=+=+-aa a a . 例43. 方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为__________.解:()()4log 23log 59log 21212+-=---x x∴()()234log 59log 1212-=---x x ,8345911-⋅=---x x . ∴02731232=+⋅-x x ,()()09333=--x x . ∴33=x 或93=x ,解之得:1=x 或2=x . 经检验,1=x 不符合题意,舍去. ∴2=x ,即该方程的解为2=x .例44. 已知方程03l o g 6l o g 222=++x x 的两个实数根分别为βα,,则=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛βα4141【 】 (A )361(B )36 (C )6- (D )6 解:由题意可知:6log 2-=+βα.∴()366222414126log 6log 26log 22222=====⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα. 选择【 B 】.例44. 已知3log 2=x ,则=----xxxx 2244__________. 分析:本题考查指数式与对数式的互化. 解:∵3log 2=x ,∴32=x.∴310924980313313224422==--=----xxx x . 例45. 若12log 3=x ,则=--x x 24__________.解:∵12log 3=x ,∴12log 3=x,∴32=x.∴()3263193132122422=-=-=-=--xx x x . 例46. 方程()3lg 2lg 24lg +=+xx的解是__________. 解:()()xx23lg 24lg ⋅=+,∴x x2324⋅=+.∴()()02212=--x x ,∴12=x 或22=x ,解之得:0=x 或1=x . 经检验,0=x 或1=x 都是原方程的解.例47. 计算:()()3log 22222lg 22lg 5lg +-.解:原式()()34lg 2lg 5lg 32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2+-=+-+=313425lg =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=. 例48. 计算:323log 1271021001lg22-+⎪⎭⎫⎝⎛+-. 解:原式32323log 3410lg 222--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=()()()169222342222223log 23log 2++⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯=- 16329169292=++⨯=. 例49. 计算:()4log 2130217731log 3412++--⎪⎭⎫⎝⎛π. 解:原式4log 13773log 149++-=-2321123=+--=.例50. 若2,2>>b a ,且()2log 1log 212log log 212222b b a a b a ++=++,则 ()()=-+-2log 2log 22b a 【 】(A )0 (B )21(C )1 (D )2 解法一:2log 1log 2log log 2222bb a ab a ++=++ ∴()()b a b ab a +=+2log 2log 22,∴()()b a b ab a +=+22.∴()b a ab +=2.∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .选择【 D 】.解法二:()02log 2log 1log 21log 212222=-++-+b a b a b a ∴()02log log 21222=++ab b a ,()()02log 2log log 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=++ab b a ab b a ∴()12=⋅+abb a ,∴()b a ab +=2. ∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .知识点五 对数的换底公式对数的运算,只有在同底数时才能直接计算,而实际问题中往往会遇到不同底数的对数运算,必须使用换底公式. 换底公式:abb c c a log log log =(0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b ).说明:(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义;(2)换底公式的意义在于改变对数式的底数,把本题底数的对数运算转化为同底数的对数运算,这样便可以利用对数的运算性质进行化简、求值和证明;(3)在使用换底公式时,把不同底数换成什么样的底数由题目所给条件决定.通常换成以10为底数的常用对数. 换底公式的证明分析:换底公式的证明,要用到对数式与指数式的互化证明:设x b a =log ,则b a x=.在等式b a x =的两边同时取以c 为底的对数得:b ac x c log log =,即b a x c c log log =.∵1≠a ,∴0log ≠a c ∴a b x c c log log =,即abb c c a log log log =. 其中,0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b .对数换底公式的几个常用推论:(1)b aba nb n a b b ac c c c n c n c na n log log log log log log log log ====; (2)b mn a b m n a m b n a b b a c c c c m c n c na mlog log log log log log log log =⋅===;(3)aa b b b b b a log 1log log log ==;(4)1log log =⋅a b b a ;1log log 1log log =⋅=⋅a aa b b b b a ,或1log log log log log log =⋅=⋅b a a b a b c c c c b a . (5)1log log log =⋅⋅a c b c b a . 例51. 计算:(1)8log 4log 9log 1632⋅⋅;(2)()()4log 4log 3log 3log 9342++.解:(1)原式=343222lg 42lg 33lg 2lg 22lg 3lg 216lg 8lg 3lg 4lg 2lg 9lg =⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅; 解法二:原式()2log 432log 3log 42log 2log 23log 223232324⋅⋅=⋅⋅=34314=⨯⨯=;(2)原式⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 23lg 2lg 22lg 23lg 2lg 3lg 9lg 4lg 3lg 4lg 4lg 3lg 2lg 3lg293233lg 2lg 32lg 23lg 3=⨯=⋅=. 解法二:原式()()2323222log 2log 3log 3log 22++=()2log 33log 232log 2log 23log 213log 323322⋅=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=291292log 3log 2932=⨯=⋅=. 注意 在(2)的解法二中,用到了对数换底公式的推论:b mnb a n a m log log =,1log log =⋅a b b a . 例52. 计算:(1)()=+3lg 2lg 3log 3log 84__________; (2)()()=++++8log 4log 2log 5log 25log 125log 125255842__________.解:(1)原式653lg 2lg 2lg 63lg 53lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=; 解法二:原式()2log 3log 313log 213lg 2lg 3log 3log 3222232⎪⎭⎫⎝⎛+=+= 652log 3log 6532=⋅=; (2)原式⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=125lg 8lg 25lg 4lg 5lg 2lg 8lg 5lg 4lg 25lg 2lg 125lg135lg 2lg 32lg 35lg 135lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg 2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=.解法二:原式()()3525522222log 2log 2log 5log 5log 5log 33232++++=()132log 35log 3132log 2log 2log 5log 315log 5log 352555222=⋅=++⋅⎪⎭⎫⎝⎛++=例53.(1)设3643==yx,求yx 12+的值; (2)已知73,3log 2==b a ,求56log 12.解:(1)∵3643==yx∴36log ,36log 43==y x . ∴4log 9log 4log 3log 236log 136log 12123636363643+=+=+⋅=+y x 136log 36==;点评 这里用到了对数换底公式的推论:ab b a log 1log =.(2)∵73,3log 2==b a ∴b b a ===3lg 7lg ,7log ,2lg 3lg 3 ∴2lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ba b a ===. ∴()()232lg 22lg 32lg 22lg 2lg 32lg 2lg 23lg 2lg 37lg 4lg 3lg 8lg 7lg 12lg 56lg 56log 12++=++=++=++=++==a ab a ab a ab .例54. 已知c b a ,,都是不等于1的正数,且zyxc b a ==,0111=++zy x ,求abc 的值. 分析:使用连等设参数法.可以利用指数幂与根式的互化以及指数幂的运算性质解决问题,还可以利用对数的定义以及对数的换底公式解决问题.解法一:设t c b a zyx===,则0>t ,zyxt c t b t a 111,,===.∴zy x zyxtt t t abc 111111++=⋅⋅=.∵0111=++zy x ∴10==t abc .解法二:设t c b a zyx===,则0>t .∵c b a ,,都是不等于1的正数 ∴t z t y t x c b a log ,log ,log ===. ∵0111=++zy x ∴0log 1log 1log 1=++tt t c b a ,∴()0log log log log ==++abc c b a t t t t ∴1=abc .例55. 计算3216log 的结果是【 】(A )34 (B )43 (C )34- (D )43- 解:342log 3116log 3116log 16log 42231232====. 选择【 A 】.点评: 这里用到了对数的性质:(1)M n M a na log log =;(2)1log =a a .例56. 求下列对数式的值:(1)e 1ln 1ln +;(2)51lg 5lg 32lg 4-+;(3)2log 3774lg 25lg 27log +++.解:(1)原式1ln 01-=+=-e;(2)原式()410lg 452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 443434==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=-+=; (3)原式()()21122232425lg 3log 2133=++=+⨯+=. 例57. =⨯+-+8log 3log 43lg 9lg 215lg 232__________.解:原式3lg 8lg 2lg 3lg 43lg3lg 25lg ⨯+-+= 272322lg 2lg 23100lg 2lg 8lg 43325lg =+=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=. 例58. 对数综合运算求值:(1)2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+;(2)()[]4log 18log 2log 3log 166626÷⋅+-.解:(1)原式()()12lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 2lg 3lg 22133213-+-+=⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 23=-+-+=; (2)原式()()[]4log 6log 3log 2log 3log 6log 6666266÷++-=()[]()[]()12log 22log 22log 22log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 6666666666666626=÷=÷+=÷++=÷+⋅+=例59. 求下列式子的值:(1)()()a a lg lg 2lg lg 2100+; (2)8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++.解:(1)原式()()()[]()2lg lg 2lg lg 22lg lg 2lg 10lg 22=++=+=a a a a ; (2)原式()112lg 12lg 26.010lg 12lg 2lg 6.0lg 10lg 3lg 4lg ==⨯⨯=+++=.例60. 给出下列各式:①()010lg lg =;②()0ln lg =e ;③若x lg 10=,则10=x ;④由21log 25=x ,得5±=x . 其中正确的是__________.(把正确的序号都填上)答案 ①②解:()01lg 10lg lg ==,故①正确;()01lg ln lg ==e ,故②正确;若x lg 10=,则1010=x ,故③错误; 由21log 25=x ,得52521==x ,故④错误.例61. 计算3log 9153223log 327log ++的结果是__________. 解:原式58315233log 3log 33log 33log 3523135331=+--=+-=++=--. 例62. 计算=⨯+⨯-4log 3log 81log 2273223log 324__________. 解:原式()3lg 2lg 22lg 3lg 2log 23323log 213232⨯+⨯-=- ()31123922921213log 2-=+-=+-=.例63. 已知b a ==6log ,5log 52,则用b a ,表示=6lg __________. 解:∵b a ==6log ,5log 52∴b a ==5lg 6lg ,2lg 5lg ,a =-5lg 15lg ,∴aa+=15lg ∴aabb +==15lg 6lg . 例64.(1)已知a =2log 14,用a 表示7log2;(2)已知b a ==5log ,7log 1414,用b a ,表示28log 35.解:(1)∵a =2log 14,∴a12log 114log 142==∴()⎪⎭⎫⎝⎛-=-===1122log 14log 27log 27log7log2222221a ;(2)∵b a ==5log ,7log 1414∴()5log 7log 14log 7log 14log 57log 14714log 35log 28log 28log 14141414141414141435++-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==b a a +-=2. 例65. 解关于x 的方程:(1)()()13log 1log 515=--+x x ;(2)()010lg lg 32=-+x x .解:(1)()()13log 1log 155=--+-x x ,()()5log 3log 1log 555=-++x x()()5log 31log 55=-+x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->+=-+0301531x x x x ,解之得:4=x . ∴该方程的解为4=x ;(2)()010lg 3lg 2=-+x x ,()()05lg 2lg =+-x x∴2lg =x 或5lg -=x ,解之得:210=x 或510-=x . 经检验,210=x 和510-=x 都是原方程的解.例66. 方程()()12log 3log 2log 222=-+-x x 的解是__________. 解:()()12log 32log 22=--x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->-=--03021232x x x x ,解之得:1-=x . ∴该方程的解为1-=x .例67. 已知1>>b a ,若310log log =+a b b a ,a bb a =3,则=b __________. 解:设t b a =log ,则t b a a b 1log 1log ==,3101=+t t ,解之得:31,321==t t . ∵1>>b a ,∴a b a a a log log 1log <<,即10<<t ,∴31=t .∴31log =b a ,31a b =.∵abb a =3,∴a ba a 313=,∴b a 331=,b a 9=∴()b b b b 9,9331==,解之得:3=b .例68. 解方程:()()14log 1log 42=+-+x x .解:()()4log 4log 1log 44222=+-+x x ,()()4log 4log 1log 4424=+-+x x∴()4log 41log 424=++x x .()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>+=++04014412x x x x ,解之得:5=x . ∴该方程的解为5=x .例69. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥⎪⎭⎫⎝⎛=4,14,21x x f x x f x,则()=+3log 22f 【 】(A )31 (B )61 (C )121 (D )241解:∵4log 3log 2log 222<<,∴23log 12<<∴()()()3log 32222213log 313log 23log 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=++=+f f f()24131812812211223log 3log 13=⨯=⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=--. 选择【 D 】.例70. 已知函数()131+=x x f ,则()=⎪⎭⎫ ⎝⎛+91log 3log 42f f __________. 解:∵()131+=x x f∴()()()1333131131131+++=+++=-+--x x x x x x x f x f 1313131=+++=xxx . ∴()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+31log 3log 31log 3log 91log 3log 22222422f f f f f f ()()13log 3log 22=-+=f f .例71. 若cba964==,则=+-cb a 121__________. 解:设t cb a ===964,则tc t b t a 964log ,log ,log ===.∴9log 6log 24log log 1log 12log 1121964t t t tt t c b a +-=+⋅-=+- 01log 964log 2==⎪⎭⎫⎝⎛⨯=t t .解法二:设t cba===964,则cbat t t 1119,6,4===.∵2694=⨯,∴2111⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅b ca t t t ,bc a t t 211=+∴b c a 211=+,∴0121=+-cb a . 例72. 已知函数()()11ln 22+-+=ax x a x f (0>a ),则()=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f 1ln ln ______. 解:∵()()11ln 22+-+=ax x a x f∴()()()()11ln 11ln 2222+++++-+=-+ax x a ax x a x f x f()()[]221ln 211ln2222=+=+++-+=ax xa ax xa∴()()()2ln ln 1ln ln =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f a f a f .例73. 已知b a ,是方程343log 3log 273-=+x x 的两个根,则=+b a __________. 解:343log 3log 333-=+x x ,343log 313log 133-=+x x . 设x t 3log 3=,则34311-=+t t ,解之得:3,121-=-=t t .∴1333log 13log -=-=x 或3333log 33log -=-=x ,解之得:91=x 或811=x . 经检验,91=x 和811=x 都是原方程的解.∴811081191=+=+b a .例74. 已知二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3,则()⋅+2log 5log 2a a50log a 的值为__________.解:∵二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3∴0lg >a ,()3lg 44lg 162=-aa ,解之得:1lg =a ,∴10=a . ∴()⋅+2log 5log 2a a ()50lg 2lg 5lg 50log 2⋅+=a()()()12lg 5lg 2lg 2lg 5lg 5lg 15lg 2lg 5lg 2=+=++=++=.例75. 已知n m a a ==2log ,3log .(1)求n m a 2+的值;(2)若10<<x ,a x x =+-1,且12log 3+=+n m ,求22--x x 的值.解:(1)∵n m a a ==2log ,3log ,∴2,3==n ma a∴()12232222=⨯=⋅=⋅=+n m n m n m a a a a a ;(2)∵12log 3+=+n m∴3log 2log 2log 3log 33+=+a a ,6log 6log 3=a ,∴3=a . ∴31=+-x x ,()()543422121=-=-+=---x x x x∵10<<x ,∴xx 1<,∴51-=--x x . ∴()()531122-=-+=----x x x x x x .例76. 已知z y x ,,为正数,zyx643==,py x =2.(1)求p 的值; (2)求证:yx z 2111=-解:(1)设t zy x ===643,则t z t y t x 643log ,log ,log ===.∵py x =2,∴t p t 43log log 2=,∴4log 23log 4log 24log 13log 12log log 2343==⋅==t t t t t t p2log 43=;证明:(2)由(1)可知:2log 3log 6log log 1log 11136t t t t t x z =-=-=-,2log 4log 21log 121214===⋅=t t t y ∴yx z 2111=-. 例77. 实数b a ,满足1052==ba,则下列关系正确的是【 】(A )111=+b a (B )212=+b a (C )221=+b a (D )2121=+b a解:∵1052==ba ,∴10log ,10log 52==b a .∴15lg 2lg 10log 110log 11152=+=+=+b a ,故(A )正确; 22lg 120lg 5lg 4lg 5lg 2lg 212≠+==+=+=+b a ,故(B )错误; 5lg 150lg 25lg 2lg 5lg 22lg 21+==+=+=+b a ,故(C )、(D )错误. 选择【 A 】.例78. 已知函数xx f 311)(+=,则()=⎪⎭⎫⎝⎛+31lg 3lg f f 【 】 (A )1 (B )2 (C )3 (D )9分析:因为()()()()()3lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-f f f f f f ,所以根据函数()x f 的解析式计算出()()x f x f -+即可.解:∵xx f 311)(+=∴()()1333133311+=+=+=---x xxx x x x f ∴()()1133311=+++=-+x xxx f x f ∴()()()()()13lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1=-+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+-f f f f f f .选择【 A 】.例79. 设()x f 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,()b e x f x+=(b 为常数),则()2ln -f 等于【 】(A )21-(B )1 (C )1- (D )3- 解:∵()x f 为定义在R 上的奇函数∴()00=f ,∴01=+b ,解之得:1-=b . ∴当x ≥0时,()1-=x e x f .当0<x 时,0>-x ,此时()()x f e x f x -=-=--1 ∴当0<x 时,()x e x f --=1. ∵01ln 21ln2ln =<=- ∴()12112ln 2ln -=-=-=-e f . 选择【 C 】.方法二:()()()()11212ln 2ln 2ln -=--=--=-=-e f f .例80. 计算:9log 2log 5lg 341lg 2lg 43⋅-+-. 解:原式22333log 2log 5412lg 2⋅-⎪⎭⎫⎝⎛⨯÷= 2133log 2log 10lg 233=-=⋅-=.。

高考数学必考知识点:对数及对数函数

高考数学必考知识点:对数及对数函数

高考数学必考知识点:对数及对数函数高考数学必考知识点:对数及对数函数导语:高考数学所考的知识点比较多,为了方便同学们更好、更准高效学习高中数学,小编整理了高考数学必考知识点:对数及对数函数,供参考!高考数学必考知识点:对数定义如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a 为底N的对数,记作x=logaN。

其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。

注:1.以10为底的对数叫做常用对数,并记为lg。

2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的.对数称为自然对数,并记为ln。

3.零没有对数。

4.在实数范围内,负数无对数。

在复数范围内,负数是有对数的。

高考数学必考知识点:对数函数定义一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。

它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。

因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

高考数学必考知识点:对数函数性质定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}值域:实数集R,显然对数函数无界。

定点:函数图像恒过定点(1,0)。

单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数;奇偶性:非奇非偶函数周期性:不是周期函数对称性:无最值:无零点:x=1注意:负数和0没有对数。

两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。

解释如下:也就是说:若y=logab (其中a>0,a≠1,b>0)当a>1,b>1时,y=logab>0;当0<a<1,b>1时,y=logab<0;当a>1,0。

对数函数知识点总结

对数函数知识点总结

对数函数知识点总结(共12页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--对数函数(一)对数1.对数的概念:一般地,如果N a x=)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式)说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ;○2 x N N a a x=⇔=log ;○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:○1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln .(二)对数的运算性质如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么:○1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○2 =N Ma log M a log -N a log ; ○3 na M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式abb c c a log log log =(0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ).利用换底公式推导下面的结论(1)b mnb a n a mlog log =;(2)a b b a log 1log =.(二)对数函数1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。

如:x y 2log 2=,5log 5x y = 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.○2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a .对数函数·例题解析例1.求下列函数的定义域:(1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log 2x y a -=.解:(1)由2x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠;(2)由04>-x 得4<x ,∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <;(3)由9-02>-x 得-33<<x ,∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<.例2.求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。

对数与对数运算知识点

对数与对数运算知识点

对数与对数运算1. 对数:如果a x=N(a>0,且az 1),那么数 x=log a N,其中a 叫做对数的底数, 2. 对数的性质:(1)1的对数等于 有对数 3. 以10为底的对数叫做常用对数x 叫做以a 为底N 的对数,记作N 叫做真数. 0 ;(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没 ,log io N记作 lgN . 4. 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数, logeN 记作ln N5. 对数的运算性质:如果 a>0,且a 工1 , M>0;N>0,那么:(MN) .M .NN1N …NkN1 .N2.N3(1) log a =log a +log a ; log a ( )=log a +log a + …log a ;(M / N)MN(2) log a =log a -log a ;(3) log a M i =nlog a MN I N 6.对数换底公式:log - =logN a ; log7. 对数运算中的三个常用结论: a logaN N ,log a a =1,log a 1=0 8. 两个常用的推论:a , b >0且均不为1,m,n,为正整数(1)log a bx log b a=1; log a bx log b Cx log c a=1;bnnb(2)log a m m"og a ; log m a 9. 指数和对数的关系:a x=Na ‘b lo g a Nn b mlog a b;1 =1nlog a N=x比较指数式、根式、对数式:几个对数运算公式的证明证明下列公式:(1)(2) (3) 对数的运算性质 对数的运算性质 对数的换底公式:(4) (5) (6) 对数运算中的常用结论: a , (M / N)M:log a =log a -log:log a M=nlog a Mloga b =晋logca logaN N1,log a b X log b a =1 1,m 为正整数,log 1,m,n 为正整数,log 则 M =M=a x-y N M a y• x-y= log a : log a N ,. log a~N(2)设 a x=M 贝» x=log a M,M n , • log a M n = nlog a b =x ,贝廿 a x=b . b =logc ba = a logc I a N =x ,贝廿 a x=N.v log a a x =x ,. a a b =3 , log b a=必,• log a bX log lg a lg b b m=x ,则(a °) x =b m , • a mx =b m ,. log b mb ,…loga m=log amx贝廿(a 。

数学log知识点总结

数学log知识点总结

数学log知识点总结一、对数的基本概念1. 对数的定义对数的概念最早起源于17世纪,由苏格兰数学家约翰·内皮尔斯发现。

他将对数定义为“以某个数为底数的幂等于另一个数时,这个幂就叫作这个数的对数”。

换句话说,如果 a的 x 次方等于 b,我们就说 x 是以 a 为底 b 的对数,记作 x=log_ab。

2. 常用底数在实际应用中,我们常用的对数经常以 10 为底或以 e(自然对数)为底。

因此,我们通常用 log 表示以 10 为底的对数,用 ln 表示以 e 为底的对数。

其中 e 是一个重要的数学常数,它的值大约是 2.71828。

3. 对数的基本性质以下是对数的一些基本性质:(1)对数的定义域:对数的定义域是正实数,即只能对正实数求对数。

(2)对数的值域:对数的值域是所有的实数。

(3)特殊对数值:log_a1=0,log_aa=1。

(4)对数的相等性:如果 log_ab=log_ac,那么 b=c。

(5)对数的积性质:log_ab+log_ac=log_a(bc)。

(6)对数的商性质:log_ab-log_ac=log_a(b/c)。

(7)对数的幂性质:log_ab=c 等价于 a^c=b。

以上是对数的基本概念和性质,了解这些性质对于理解对数的应用和计算至关重要。

二、对数的应用领域对数在数学和科学中有广泛的应用,下面我们将重点介绍对数在以下几个领域的应用:1. 指数增长和指数衰减指数函数是一个以常数 e 为底的函数,它在自然科学和经济学中有广泛的应用。

指数函数可以表示随着时间的增长或衰减速度为固定比例的情况,而对数函数则是它的逆运算。

因此,在研究经济增长、人口增长、环境污染等问题时,对数函数和指数函数经常被使用。

2. 数据的压缩和比较对数可以将一个很大的数值压缩到一个较小的区间中,这样便于我们进行比较和研究。

在地震学、天文学等领域,经常需要处理非常大的数值,使用对数可以使数据更容易比较和处理。

对数对数函数知识点

对数对数函数知识点

对数对数函数知识点对数函数是指以对数为变量的函数。

在数学中,对数函数常用于解决指数方程和指数不等式的问题。

了解对数函数的性质和应用十分重要。

以下将介绍对数函数的定义、性质以及常用的应用方面的知识。

一、对数函数的定义:对数函数的定义如下:对于任意正实数a>0且a≠1,以a为底的对数函数(logarithmic function)是指一个函数f(x),它满足以下条件:f(a)=1,f(a^x)=x,这里,a被称为对数函数的底数,x被称为实数a的对数。

常用的对数函数有自然对数函数(ln x,以e为底)和常用对数函数(log x,以10为底)。

二、对数函数的性质:对数函数具有以下性质:1.对数函数的定义域为正实数集合R+,值域为实数集合R。

即对数函数的自变量必须为正数,而因变量可以是任意实数。

2.对数函数的图像:(1)以10为底的对数函数的图像是一条连续递增的曲线,通过点(1,0)。

(2)以e为底的自然对数函数的图像是一条连续递增的曲线,通过点(1,0)。

3.对数函数的反函数:对数函数的反函数为指数函数,即指数函数f(x) = a^x是对数函数f(x) = loga(x)的反函数。

4.对数函数的性质:(1)loga(mn) = loga(m) + loga(n):对数函数的乘法性质。

(2)loga(m/n) = loga(m) - loga(n):对数函数的除法性质。

(3)loga(m^k) = k∙loga(m):对数函数的幂性质。

三、常用的对数函数应用:对数函数在数学和其他科学领域中有广泛的应用。

以下是对数函数的一些常见应用:1.解指数方程和指数不等式:对数函数可以通过将指数方程或指数不等式转化为对数方程或对数不等式来解决复杂的指数问题。

2.模型和估计:对数函数可以用于建立各种类型的数学模型,例如经济学、生物学和物理学等领域中的增长模型和衰减模型。

对数函数还可以用于对大量数据进行估计和预测。

3.数据缩放:对数函数可以在可视化数据时使用,帮助将大范围的数值缩小到较小的比例,以便更好地观察数据之间的关系。

(完整版)对数与对数知识点

(完整版)对数与对数知识点

对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a xN =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a xN a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N;自然对数:ln N ,即log eN(其中2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>,那么①加法:log log log ()aa a M N MN +=②减法:log log log a a a MM N N-=③数乘:log log ()n aa n M M n R =∈④log a N a N = ⑤log log (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且对数函数及其性质(5)对数函数值域 R过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =.奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内,a 越大图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越大图象越靠高,越靠近y 轴 在第一象限内,a 越小图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越小图象越靠高,越靠近y 轴基础练习:1.将下列指数式与对数式互化:(1)2-2=14; (2)102=100; (3)e a =16; (4)64-13=14;2. 若log 3x =3,则x =_________3.计算:2lg 25lg 2lg 50(lg 2)++=g。

对数与对数知识点

对数与对数知识点

对数与对数知识点在数学的广阔天地中,对数是一个十分重要的概念。

它就像一把神奇的钥匙,能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。

接下来,让我们一起深入探索对数的世界。

一、什么是对数简单来说,对数就是一种表示数的方法。

假设我们有一个等式 a^b = N(其中 a 是底数,b 是指数,N 是幂),那么 b 就叫做以 a 为底 N 的对数,记作logₐN。

例如,2³= 8,那么 3 就是以 2 为底 8 的对数,记作 log₂8 = 3。

对数的出现,其实是为了简化计算。

在没有对数的概念之前,计算一些复杂的乘除幂运算可能会非常繁琐,而对数的引入大大降低了计算的难度。

二、对数的性质1、对数的零和负数无意义因为对数是指数的逆运算,而任何数的任何次幂都不可能为零或负数,所以对数中的真数(也就是幂的值)必须大于零。

2、logₐa = 1因为 a^1 = a,所以logₐa = 1。

3、logₐ1 = 0因为 a^0 = 1,所以logₐ1 = 0。

4、logₐ(M × N) =logₐM +logₐN这一性质可以通过指数运算的规律推导出来。

假设logₐM = p,logₐN = q,那么 a^p = M,a^q = N,所以 M × N = a^p × a^q = a^(p + q),从而得出logₐ(M × N) = p + q =logₐM +logₐN。

5、logₐ(M / N) =logₐM logₐN同样可以通过指数运算来推导。

6、logₐM^n =n logₐM假设logₐM = p,那么 M = a^p,所以 M^n =(a^p)^n = a^(pn),从而得出logₐM^n = pn =n logₐM。

三、常用对数和自然对数在实际应用中,有两种常见的对数:常用对数和自然对数。

常用对数是以 10 为底的对数,记作 lg N。

例如,lg 100 = 2。

自然对数是以无理数 e(约等于 271828)为底的对数,记作 ln N。

对数的概念知识点总结

对数的概念知识点总结

对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。

设a和b是正实数,且a≠1,a的x次幂等于b,那么x叫做以a为底数的对数,记作loga b=x。

其中,a称为底数,b称为真数,x称为对数。

1.2 对数的性质(1)对数的基本性质:①对数的法则:loga (MN) = loga M + loga N。

②对数的乘积法则:loga(M/N) = loga M − loga N。

③对数的幂法则:loga (M^x) = x loga M。

④对数的换底公式:loga b = logc b / logc a。

(2)对数的特殊性:loga 1 = 0。

1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数,一般记作y = loga x。

对数函数是单调递增的,其图像是一个不断向上增长的曲线。

1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用,比如在科学和工程领域,对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。

在财务和经济领域,对数可以用来描述复利和增长速度。

此外,在信息论和统计学中,对数也有着重要的应用。

二、对数的运算2.1 对数的运算规则(1)对数方程的求解:利用对数的性质和公式,可以将对数方程转化为指数方程,从而求解未知数的值。

(2)对数的应用:利用对数的特性和公式,可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式,从而提高计算的效率和精度。

2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算,即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式,从而得到真数的值。

2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用,比如在科学和工程领域中,对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。

在金融和经济领域中,对数可以用来描述复利和增长速度。

在信息论和统计学中,对数可以用来处理大量数据和计算概率。

三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10,自然对数的底数为e。

对数的底数不同,其计算和性质都有所不同。

3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数,一般取整数部分。

高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解

高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解

对数与对数函数1.对数(1)对数的定义:如果a b=N(a>0,a≠1),那么b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b.(2)指数式与对数式的关系:a b=NlogaN=b(a>0,a≠1,N>0).两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的,并且可以互化.(3)对数运算性质:①log a(MN)=log a M+log a N.②log aMN=log a M-log a N.③logaM n=nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a≠1)④对数换底公式:logbN= l oglogaaNb(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0).2.对数函数(1)对数函数的定义函数y=log a x(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。

但是,根据对数定义:log a a=1;如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立(比如,log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4;一个等于1/16,另一个等于-1/16)(2)对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. (3)对数函数的性质: ①定义域:(0,+∞). ②值域:R.③过点(1,0),即当x=1时,y=0.④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数.基础例题题型1(对数的计算) 1.求下列各式的值. (1)35 log +25log2-1 21 50log - 514 log ;(2)log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1.计算:lg 1 2 -lg5 8 +lg12.5-log 89·log 278;3.log535+21log2-log51502 -log514;3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222.5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2.已知实数x、y、z满足3x=4y=6z>1.(1)求证:2x+1y=2z;(2)试比较3x、4y、6z的大小.练习题.已知log189=a,18b=5,用a、b表示log3645.题型二:(对数函数定义域值域问题)例1.已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A,关于x的不等式22 的解集为B,若AB,求实数a的取值范围.2.设函数2ylog(ax2x2)定义域为A.2(1)若AR,求实数a的取值范围;(2)若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.2练习题1.已知函数2 fxlgax2x1(1)若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域;(2)若fx的值域是R,求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg (x -2)-lg (x -3)的最小值.题型三(奇偶性及性) 例题1.已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x +2)=-f(x),当x ∈[0,1]时,f(x)=2x -1.(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式; (2)求f(1 log24)的值. 2 4.已知f (x )=l o g 1[3-(x -1)2],求f (x )的值域.3 5.已知y =l o g a (3-a x )在[0,2]上是x 的减函数,求a 的围.4.已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).(Ⅰ)求函数yf(x)的定义域;(Ⅱ)判断函数yf(x)的奇偶性;(Ⅲ)若f(m2)f(m),求m的取值范围.练习题1.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,a≠1)(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并给出证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围2.函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)0,当x0时,1f(x)logx.2 (1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式2f(x1)2;3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x0时,1f(x)log(x1).2 (Ⅰ)求f(0),f(1);(Ⅱ)求函数f(x)的表达式;(Ⅲ)若f(a1)1,求a的取值范围.题型4(函数图像问题)例题1.函数f(x)=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y=log2|x|的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间.f(x)=|lgx|,a,b为实数,且0<a<b.(1)求方程f(x)=1的解;(2)若a,b满足f(a)=f(b)=2fa b2,求证:a·b=1,a b2 >1.练习题:1.已知a0且a1,函数f(x)log(x1)a,1g(x)log a,记F(x)2f(x)g(x)1x(1)求函数F(x)的定义域及其零点;(2)若关于x的方程2 F2.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)设g(x)=log44xa?237.函数y=log2|ax-1|(a≠0)的对称轴方程是x=-2,那么a等于题型五:函数方程1方程lgx+lg(x+3)=1的解x=___________________.5.已知函数f(x)= 1()2x,x4,则f(2+log23)的值为f(x1),x4,4.已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数). (Ⅰ)求函数f(x)的定义域;(Ⅱ)若a2,x1,9,求函数f(x)的值域;(Ⅲ)若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方,求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5.已知函数22242(Ⅰ)令tlog2x,求y关于t的函数关系式及t的取值范围;(Ⅱ)求函数的值域,并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f(x)=lg(1-x),g(x)=lg(1+x),在f(x)和g(x)的公共定义域内比较|f(x)|与|g(x)|的大小.您好,欢迎您阅读我的文章,本WORD文档可编辑修改,也可以直接打印。

对数与对数知识点

对数与对数知识点

对数与对数知识点在数学的广袤天地中,对数是一个十分重要的概念。

它不仅在数学理论中有着关键的地位,还在实际应用中发挥着巨大的作用。

接下来,让我们一同深入探索对数的奇妙世界。

首先,我们来理解一下什么是对数。

简单地说,对数是一种数学运算,表示为logₐb,其中 a 叫做底数,b 叫做真数。

它的定义是:如果 a 的 x 次方等于 b,那么 x 就叫做以 a 为底 b 的对数。

比如说,2 的 3 次方等于 8,那么以 2 为底 8 的对数就是 3,记作log₂8 = 3。

那么,为什么我们需要对数呢?想象一下,如果要计算一个数是另一个数的多少次幂,比如求 1000 是 10 的几次方,直接去算可能会比较麻烦。

但如果使用对数,就可以很快得出答案,因为 log₁₀1000 =3。

对数有许多重要的性质。

比如,logₐ(M × N) =logₐM +logₐN,logₐ(M / N) =logₐM logₐN,logₐMⁿ =n × logₐM 等等。

这些性质在进行对数的运算和化简时非常有用。

以logₐ(M × N) =logₐM +logₐN 为例。

假设我们要计算 log₂(4 × 8),按照这个性质,就可以转化为 log₂4 + log₂8。

因为 log₂4 = 2,log₂8 = 3,所以 log₂(4 × 8) = 2 + 3 = 5,而 2 的 5 次方正好是 32,也就是 4 × 8 的结果。

再来看对数的换底公式,logₐb =logₓb /logₓa。

这个公式在解决不同底数的对数运算时非常方便。

比如要计算 log₃8,可以利用换底公式将其转化为 log₂8 / log₂3,然后通过计算得出结果。

在实际应用中,对数的作用不可小觑。

在科学研究中,比如物理学、化学等领域,经常会遇到非常大或非常小的数值。

例如,描述原子的大小、宇宙的距离、声音的强度等。

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对数与对数运算
(1)对数的定义
①若(0,1)x
a
N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x
N =,其中a 叫做底数,
N 叫做真数.
②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x
N a N a a N =⇔=>≠>.
(2)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.
(3)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N
;自然对数:ln N ,即log e
N
(其中
2.71828e =…)
. (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a
a M N >≠>>,那么
①加法:log log log ()a
a a M N MN +=
②减法:log log log a a a M
M N N
-=
③数乘:log log ()n a
a n M M n R =∈

log a N a N = ⑤log log (0,)b
n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
对数函数及其性质
(5)对数函数
值域 R
过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,
0y =.
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
函数值的 变化情况
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x >>==<<<
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x <>==><<
a 变化对 图
象的影响
在第一象限内,a 越大图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越大图象越靠高,越靠近y 轴 在第一象限内,a 越小图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越小图象越靠高,越靠近y 轴
基础练习:
1.将下列指数式与对数式互化:
(1)2-
2=14; (2)102=100; (3)e a =16; (4)64-13=14;
2. 若log 3x =3,则x =_________
3.计算:2
lg 25lg 2lg 50(lg 2)++=g。

4.(1)
log 29
log 23
=________. 5. 设a =log 310,b =log 37,则3a -
b =_________.
6.若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为______________.
7.(1)如图2-2-1是对数函数y =log a x 的图象,已知a 值取3,43,35,1
10,则图象C 1,
C 2,C 3,C 4相应的a 值依次是______________
(2)函数y =lg(x +1)的图象大致是( )
4. 求下列各式中的x 的值: (1)log 8x =-23;(2)log x 27=3
4;
8.已知函数f (x )=1+log 2x ,则f (1
2)的值为__________.
9. 在同一坐标系中,函数y =log 3x 与y =lg 13
x 的图象之间的关系是_______________
10. 已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0),log 2x (x >0),那么f (f (1
8))的值为___________.
例题精析:
例1.求下列各式中的x 值:
(1)log 3x =3; (2)log x 4=2; (3)log 28=x ; (4)lg(ln x )=0.
变式突破:
求下列各式中的x 的值:
(1)log 8x =-23; (2)log x 27=3
4; (3)log 2(log 5x )=0; (4)log 3(lg
x )=1.
例2.计算下列各式的值:
(1)2log 510+log 50.25; (2)12lg 3249-43lg 8+lg 245 (3)lg 25+2
3lg 8+lg 5×lg 20+(lg
2)2.
变式突破:
计算下列各式的值:
(1)312
log
34;
(2)32+log 35; (3)71-log 75; (4)41
2
(log 29
-log 25).
例3.求下列函数的定义域:
(1)y =lg (2-x ); (2)y =1
log 3(3x -2); (3)y =log (2x -1)(-4x +8).
变式突破:
求下列函数的定义域:
(1)y =
log 12
(2-x );
例4.比较下列各组中两个值的大小:
(1)ln 0.3,ln 2; (2)log a 3.1,log a 5.2(a >0,且a ≠1); (3)log 30.2,log 40.2; (4)log 3π,log π3.
变式突破:
若a =log 0.20.3,b =log 26,c =log 0.24,则a ,b ,c 的大小关系为________.
2设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(1
2
)-1.5,则( )
A .y 3>y 1>y 2
B .y 2>y 1>y 3
C .y 1>y 2>y 3
D .y 1>y 3>y 2
3.已知0<a <1,x =log a 2+log a 3,y =1
2log a 5,z =log a 21-log a 3,则( ) A .x >y >z B .z >y >x C .y >x >z D .z >x >y
4.下列四个数(ln2)2,ln(ln2),ln 2,ln2中最大的为________. 5.已知log m 7<log n 7<0,则m ,n,0,1之间的大小关系是________.
6.函数y =log 1
3(-x 2+4x +12)的单调递减区间是________. 7.若log a 2<1,则实数a 的取值范围是( )
A .(1,2)
B .(0,1)∪(2,+∞)
C .(0,1)∪(1,2)
D .(0,1
2) 8.下列不等式成立的是( )
A .log 32<log 23<log 25
B .log 32<log 25<log 23
C .log 23<log 32<log 25
D .log 23<log 25<log 32
例5.解对数不等式
(1)解不等式log 2(x +1)>log 2(1-x );(2)若log a 2
3<1,求实数a 的取值范围.
变式突破:
解不等式:(1)log 3(2x +1)>log 3(3-x ).(2)若log a 2>1,求实数a 的取值范围.
课后作业:
1. 已知log x 16=2,则x 等于___________.
2. 方程2log 3x =1
4
的解是__________.
3. 有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x ,则x =10;④若e =ln x ,则x =e 2.其中正确的是_____________.
4.函数y =log a (x +2)+1的图象过定点___________.
5. 设a =log 310,b =log 37,则3a -
b =( )
6. 若log 12
a =-2,log
b 9=2,
c =log 327,则a +b +c 等于___________.
7.. 设3x =4y =36,则2x +1
y =___________.。

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