2[1].2对数函数导学案
对数函数导学案
必修一 第三章第二节 对数函数赵宇课前预习学案一、预习目标理解对数函数的概念，正确画出对数函数图像，掌握对数函数的性质。
二、预习内容1. 对数函数的定义2. 画出x y 2log =和x y 21log =的图像3. 画出x y 3log =和x y 31log =的图像4. 总结归纳对数函数的图像与性质课堂探究学案一、学习目标1、理解对数函数的概念，正确画出对数函数图像，掌握对数函数的性质。
2、培养学生处理图像和应用函数解决实际问题的能力。
学习重点：对数函数的定义，图像和性质学习难点：对数函数图像和性质的理解二、知识反馈：三、知识回顾：四、学习过程【新课探究】回顾对数式与指数式的互化，将指数函数式转化成对数函数式，得到对数函数。
探究并完成下面的填空题。
1. 对数函数的定义：形如_______的函数称为对数函数。
它的定义域是_____,值域是_____。
注：①x a log 前面的系数为1,自变量在真数的位置,底数a 必须满足______。
②以10为底的对数为x y lg =，以e 为底的对数为______。
2. 画出x y 2log =和x y 1log =的图像3. 画出x y 3log =和x y 31log =的图像1.小组讨论探究对数函数的图像和性质 ()1,0log ≠>=a a x y a2.总结规律多个图象像支花，（1,0）过点把它扎，上升递增下降减，底互倒时横轴夹，函数值为任意数，数轴右边图象查，若要比较底数值，令y 为1看大小。
【课堂检测】1. 比较大小⑴ 3log 2和.53log 2 ⑵ 3log 21和.53log 21 ⑶ 3log a 和.53log a总结：底数相同，用对数函数单调性比较大小 ⑷ 3log 21和 4331log ⑸ 3log 4和 4log 3总结：底数不同时，寻求中间值作媒介进行比较2. 求定义域⑴)1,0)(-4(log ≠>=a a x y a⑵)x -2(log 22x y = ⑶)-2(log 21x y = 【学后总结与反思】1、学完本节课，你都有那些收获？2、学完本节课，你还存在哪些问题，该如何去解决？【课后作业】1、求下列函数定义域()5log 1y x =- 21l o g y x = 71l o g 13y x =-y =2、比较大小（1）10log 6与10log 8；（2）0.5log 6与0.5log 4（3）30.4，0.43，0.4log 33、求下列函数图像经过的定点坐标l o g a y x =____________________log (3)a y x =+____________________ log 1a y x =-__________________log (21)2a y x =-+________________ 形如log ()a y x m n =++的图像过定点__________________________4、已知函数[]3()2log ,1,9f x x x =+∈，求函数[]22()()y f x f x =+的最大值及y 取最大值是x 的值。
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2.2.1对数与对数运算（一）一【学习目标】 （一） 教学知识点1.对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1.理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． 二、教学重点：对数的定义． 三、教学难点：对数概念的理解． 四【新课讲授】(导学)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？列出表达式： （自学）知识点1 ： 对数的概念1.对数定义：一般地，如果 ，)1,0(≠>a a 且则数 b 叫做以a 为底 N 的对数， 记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. （b N N a a b =⇔=log ）（1）底数的取值范围 ；真数的取值范围（2）对数式和指数式关系式 子名称 a b N指数式 对数式思考1．将下列指数式写成对数式： （1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（知识点2 两种重要对数1.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作 ． 思考2：5log 10简记作； 5.3log 10简记作2.自然对数：用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， N e log 简记作思考3：3log e 简记作 10log e 简记作 思考4． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．知识点三 : 重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ， 1log =a a ⑶对数恒等式N aNa =log五【典例欣赏】（互学） 1对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.2对数基本运算例2求下列各式中的x 的值：（1）32log 64-=x ；（2）68log =x ；（3）x =100lg ；（4）x e =-2ln 。
对数函数导学案李远敬
§2.2.2对数函数及其性质导学案援疆教师 李远敬一、学习目标1.知识技能：①理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质.②掌握对数函数的性质.2．过程与方法：引导学生结合图象，探索研究对数函数的性质.3．情感、态度与价值观.培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；培养学生严谨的科学态度.二、学习重点和难点重点：1.对数函数的定义、图象、性质. 2.对数函数的性质的初步应用. 难点：对数函数的图像和性质的探究.三、自主学习1．对数函数的定义函数 ，叫做对数函数.2.对数函数x y a log = (0>a ,且1≠a )的图象研究函数x y 2log =和x y 21log =的图象；①列表②描点③连线3.对数函数x y a log = (0>a ,且1≠a )的图象和性质四、合作探究题型1.求下列函数的定义域：(1)2log x y a = (2))4(log x y a -= (学生板书）题型2.函数的图象过定点（1）x y a log 1+= （2）3)4(log +-=x y a题型3.比较下列各组数中两个值的大小：(1)4.3log 2, 5.8log 2 (2)8.1log 3.0，7.2log 3.0(学生板书） （3）1.5log a ， 9.5log a （教师板书）五、分组讨论两对数的底数相同时，如何比较大小？ 两底数不同的对数，如何比较大小？六、．自主测评（1）7log 6，6log 7 （2）3log π,8.0lo 2g七、合作总结八、课后作业教材87页A 组第7,10题。
九、学习反思。
对数函数习题课导学案
对数函数习题课导学案姓名：________班级____________【学习目标】1、掌握对数函数的图象和性质，能利用图象和性质解决对数函数的问题；2、自主学习、合作交流， 探究解决对数函数的几种常见题型，并总结出规律与方法；3、激情投入，全力以赴，体会数形结合的魅力。
探究一：简单对数不等式的解法例1解不等式()09log 9log 25.025.0≤++x x练习：1.._________,1log 32的取值范围是则实数a a < []()的最值时，求函数当4222log log 8,22.2x x x f x ∙=∈。
探究二：一元二次型不等式恒成立问题例2.函数的取值范围。
，求实数的定义域为a R ax ax y )1lg(2++=探究三：对数函数图像的应用数形结合就是对题目的题设和结论既分析其代数意义，又分析其几何意义，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想方法。
例3.(1)方程解的个数是（）x x 3log )4(2=+ (2).2100log 2的取值范围上恒成立，求实数，在若不等式a x x a ⎥⎦⎤ ⎝⎛≤-练习：.1,,,log log 55的大小关系与试确定实数已知n m m n >探究四：研究对数型复合函数的值域与单调区间先认识出函数为复合型函数，再引进中间变量，分解出内层函数与外层函数，然后找到内层函数的单调区间及外层函数的单调性，最后通过复合函数单调性的结论，从而找到复合函数的单调区间。
例4.求函数()2235.0log x x y -+=的值域与单调区间练习：求函数())10(log 223≠>=-+a a y x x a 且的值域与递减区间 作业：P74—75习题2.2。
对数函数导学案
对数与对数函数导学案一、 学习目标：1、理解对数的概念，掌握对数的基本运算，并领会对数函数的图像与性质；2、会灵活使用对数函数的图像和性质解决与对数函数相关的问题；3、加深对图像法、比较法等一些常规方法的理解，进一步体会分类讨论，数形结合等数学思想。
二、重点：对数函数的图像与性质的应用。
难点：利用对数函数的性质来解决实际问题。
三、课前热身：1、指数式与对数式的关系：N a b =⇔ (10≠>a a 且)2、对数恒等式：=1log a ， =a a log ， =N a a log (10≠>a a 且)3、运算法则：⎪⎩⎪⎨⎧===na a a log N Mlog (MN)log M4、换底公式：5、换底公式的两个较为常用的推论：（1） =⋅a b b a log log ； （2） =n a b m log （ a , b > 0且均不为1）四、随堂演练1、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、123 C 、122 D 、1332、函数(21)log 32x y x -=-的定义域是（ ）A 、),1()1,32(+∞B 、),1()1,21(+∞C 、),32(+∞D 、),21(+∞3、若16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，则m 的值为（ ） A ．2 B.9 C.18 D.174、已知x e f x =)(，则)5(f 等于（ ）A ．5ln B.5ln - C.e 5log D.5e5、若0log log 2121<<n m ，则（ ）A 、1<<m nB 、1<<n mC 、n m <<1D 、m n <<1 6、若12log <a ，则a 的取值范围是（ ）A 、)2,1(B 、),2()1,0(+∞C 、)2,1()1,0(D 、)1,0(7、若b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个根，则2)(lg ba等于（ ）A 、2B 、21C 、4D 、418、 当10<<a 时，在同一坐标系中，函数y =a －x与y ＝log a x 的图象是（ ）9、为了得到函数103lg+=x y 的图象，能够把函数x y lg =的图象（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 10、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（ ）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在)1,(--∞上是减少的11、已知集合{}2,log 2>==x x y y A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==0,)21(x y y B x ，则A B = 。
【B版】人教课标版高中数学必修一《对数函数》导学案-新版
3.2.2 对数函数
一、学习要点：
对数函数的定义、图象及其性质
二、学习过程：
（一）引入：学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
（二）新课学习：
1.对数函数的概念
2.对数函数的图象和性质
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；
（1） x y 2log =；（2） x y 21log =；（3） x y 3log =；（4） x y 3
1log =
对数函数的图象和性质：
a ＞1 0＜a ＜1 图
象
性
质 （1）定义域； （2）值域： （3）值域分布：
（4） （4） 【说明】图中虚线表示的曲线是指数函数y=a x 的图象．
3.典型例题
【例1】求下列函数的定义域
()()()x y x y a a -==4log 2log 12
【例2】比较下列各组数中两个值的大小
()()()()1,095log 15log 372log 81log 258log 43log 1303022≠>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a 与；
与；
与 y O x 1 1 y O x
1 1
(4)8.0log 7.0log 3
12与.
【例3】图中的曲线是对数函数y=log a x 的图象。
已知a 取10
1,53,34,3四个值，则相应于c 1,c 2,c 3,c 4的a 值依次为（ ）
5
3,101,3,34)(101,53,3,34)(53,101,34,3)(10
1,53,34,3)(D C B A （三）课堂练习：
教材P104练习
（四）小结
（五）作业布置。
对数函数及其性质三个导学案
§2.2.2 对数函数及其性质（1）一、学习目标 1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 探索对数函数的单调性与特殊点； 二、学习重点：对数函数的图象，性质。
难点：学会研究函数性质的方法三、学习方法：通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.四、学习过程复习：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式，课本P67，例6）2、学习探究探究任务一：对数函数的概念问题：根据上题，用计算器可以完成下表： 碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t 5730 104457 20000 400000 600000 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系573012log t P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数）新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，其中x 是自变量是； 函数的定义域是（0，+∞）. 反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠．探究任务二：对数函数的图象和性质（教材P 70~ P 71） 问题：你能类比前面课本P54～P56讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.（1）2log y x =； （2） 0.5log y x =. 解：2log y x =的图象 0.5l o g y x =的图象 反思： （1）根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？a >1 0<a <1图 象性 质 (1)定义域： (2)值域： (3)过定点：(4)单调性： （2）图象具有怎样的分布规律？ 典型例题 例1．看会课本P71例7， 例2．看会课本P72例8小结：利用单调性比大小；注意格式规范.五、动手试试练1. 课本P75第10题，做书上。
对数函数导学案2
2.1对数函数导学案（二）
学习重点：1、对数与对数的运算；2、对数函数及其基本性质；
学习难点：对数的运算；对数函数的图像应用；
高考考点：利用对数函数的性质解题或挖掘题目中的隐藏条件。
一、知识清单：
（一）对数函数及其性质:
1、对数函数的定义：
函数叫做对数函数,定义域是值域是
思考：函数与函数的定义域、值域之间有什么关系？
2、在对数函数中，当底数时的在定义域上为函数；
当底数时，函数在定义域上为函数。
（二）对数函数的图像：
1．对数函数的图象都在y轴的侧，并且图像始终过点也就是当x=1的时，y= 。
2．补充：对数函数的图象与指数函数的图象关于直线对称。
二、基础练习：
1、求下列函数的定义域：
（1）（2）
（3）
2、利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：
（1），；（2），；
（3），；（4），，
3、解下列方程：
（1）（2）
（3）（4）
4、函数是（）
A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
三、联系高考：
1、函数的定义域为（）
A．B．C．D．
2、设函数的定义域为，函数的定义域为，则，的关系是（）A．B．C．D．。
对数函数导学案(全章)
对数函数导学案(全章)导学目标本章主要介绍对数函数及其性质，通过研究，你将了解以下内容：- 对数函数的定义与表示方法；- 对数函数的性质及其与指数函数之间的关系；- 对数函数在实际问题中的应用。
1. 对数函数的定义与表示方法1.1 对数函数的定义对数函数是一种能够描述指数运算逆运算的数学函数。
设正数a > 0 且a ≠ 1，b > 0，则以 a 为底 b 的对数，记作logₐb，定义为满足a^logₐb = b 的实数。
1.2 对数函数的表示方法对数函数可以用不同的表示方法来表示，常见的有以下两种：- 指数形式：logₐb = x，表示以 a 为底 b 的对数为 x；- 运算形式：logₐb = logc b / logc a，表示以 a 为底 b 的对数，等于以任意正数 c 为底 b 的对数与以 c 为底 a 的对数的商。
2. 对数函数的性质与关系2.1 对数函数的性质对数函数具有以下性质：- logₐa = 1；- logₐa^x = x，其中 a > 0，a ≠ 1；- logₐ1 = 0，其中 a > 0，a ≠ 1；- log₁₀10 = 1，log₂2 = 1。
2.2 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数之间存在着紧密的联系：- 若 a^x = b，则logₐb = x；- 若logₐb = x，则 a^x = b。
3. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 在经济学中，对数函数可以用来描述利率、复利和指数增长等问题；- 在物理学中，对数函数可以用来描述声音的音量、地震的震级等问题；- 在计算机科学中，对数函数可以用来描述算法的时间复杂度等问题。
总结本章主要介绍了对数函数的定义与表示方法，对数函数的性质与指数函数的关系，以及对数函数在实际问题中的应用。
通过研究，你可以更好地理解并运用对数函数解决相关的数学问题。
参考资料:- 张宇老师. (2021). 《高中数学》. 北京师范大学出版社.。
对数函数导学案
对数函数导学案【学习要求】①理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律；②掌握对数函数的性质，并能利用对数函数的性质初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等. 对数函数是什么？在细胞分裂的问题中，细胞分裂个数y 和分裂次数x 的函数关系用指数函数 表示；那么，分裂次数x 与细胞的个数y 的关系式可用 表示，习惯上，用 表示自变量，用 表示函数值，分裂次数x 与细胞的个数y 的关系式可改为 一：对数函数的定义一般地，函数______________叫做对数函数，其中x 叫做_________,函数的定义域为________________. 概念巩固：下列函数是对数函数吗？二、对数函数的图像三个步骤：列表 → 描点 → 连线『试一试』：在同一坐标系中，用描点法作出3log y x =和13log y x =的图像.『思一思』（教材73页探究）选取底数(00,1)a a >≠且的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数图像. 观察有什么共同特征？x24(1)log (2)(2)3log (3)ln y x y x y x ===122log log y x y x ==在同一直角坐标系中画出和的图象三、对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像和性质四、例题例1、 求下列函数的定义域：(3)y = 2(4)log (164)x y =-例2、 比较大小:(1)l og 23.4与 log 28.5思考:如果改成以0.3为底, log 23.4 log 28.5如果改为以a 为底, log 23.4 log 28.5变式训练(教材74页)已知下列不等式，比较正数m ，n 的大小：五、课后作业红对勾卷子76(2)log 5,log 72(1)log a y x =(2)log (4)a y x =-33(1)log log m n <0.30.3(2)log log m n>(3)log log a a m n <。
《2.2对数函数》导学案1
《2.2对数函数》导学案1解读对数概念及运算对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．一、对数的概念对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)alog a N ＝N .例1 计算：log 22＋log 51＋log 3127＋9log 32.分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值．解 原式＝1＋0＋log 33－3＋(3log 32)2＝1－3＋4＝2.点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数． 二、对数的运算法则常用的对数运算法则有：对于M >0，N >0. (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝nlog a M .例2 计算：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解． 解 由已知，得原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用．三、对数换底公式根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式： log a b ＝log c blog c a (a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log an b m＝mn log a b .例3 计算：(log 25＋log 4125)×log 32log35.分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底．解 原式＝(log 25＋32log 25)×log 322log 35 ＝52log 25×12log 52＝54.点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．对数换底公式的证明及应用设a >0，c >0且a ≠1，c ≠1，N >0，则有log a N ＝log c Nlog c a ，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：证明 记p ＝log a N ，则a p ＝N .**式两边同时取以c 为底的对数(c >0且c ≠1)得 log c a p ＝log c N ，即plog c a ＝log c N . 所以p ＝log c N log c a ，即log a N ＝log c Nlog c a . 推论1：log a b ·log b a ＝1.推论2：log an b m＝mn log a b (a >0且a ≠1，b >0)．例4 (1)已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645的值； (2)求log 23·log 34·log 45·…·log 6364的值． 解 (1)因为log 189＝a ，18b ＝5， 所以lg 9lg 18＝a .所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. 所以log 3645＝lg5×9lg 1829＝lg 5＋lg 92lg 18－lg 9 ＝b lg 18＋a lg 182lg 18－a lg 18＝b ＋a 2－a .(2)log 23·log 34·log 45·…·log 6364 ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 64lg 63 ＝lg 64lg 2＝6lg 2lg 2＝6.点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．例5 已知12log 8a ＋log 4b ＝52，log 8b ＋log 4a 2＝7，求ab 的值． 解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧16log 2a ＋12log 2b ＝52，13log 2b ＋log 2a ＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧log 2a ＋3log 2b ＝15，3log 2a ＋log 2b ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧log 2a ＝6，log 2b ＝3.所以a ＝26，b ＝23.故ab ＝26·23＝512.点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单． 此外还有下面的关系式：log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N ；log a M ·log b N ＝log a N ·log b M ；log a M log b M ＝log a Nlog b N ＝log a b ；Nlog a M ＝Mlog a N .对数函数图象及性质的简单应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想．一、求函数的单调区间例6 画出函数y ＝log 2x 2的图象，并根据图象指出它的单调区间． 解 当x ≠0时，函数y ＝log 2x 2满足 f (－x )＝log 2(－x )2＝log 2x 2＝f (x )，所以y ＝log 2x 2是偶函数，它的图象关于y 轴对称． 当x >0时，y ＝log 2x 2＝2log 2x ，因此先画出y ＝2log 2x (x >0)的图象为C 1，再作出C 1关于y 轴对称的图象C 2，C 1与C 2构成函数y ＝log 2x 2的图象，如图所示．由图象可以知道函数y ＝log 2x 2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)． 点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．二、利用图象求参数的值例7 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a 等于( ) A .13B . 2C .22D ．2解析 当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示． f (x )在[0，1]上是单调增函数，且值域为[0，1]， 所以f (1)＝1，即log a (1＋1)＝1， 所以a ＝2，当0<a <1时，其图象与题意不符，故a 的值为2，故选D . 答案 D点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论； (2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)． 三、利用图象比较实数的大小例8 已知log m 2<log n 2，m ，n >1，试确定实数m 和n 的大小关系．解 在同一直角坐标系中作出函数y ＝log m x 与y ＝log n x 的图象如图所示，再作x ＝2的直线，可得m >n .点评 不同底的对数函数图象的规律是：(1)底都大于1时，底大图低(即在x >1的部分底越大图象就越接近x 轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0<x <1的部分底越大图象就越远离x 轴)．四、利用图象判断方程根的个数例9 已知关于x 的方程|log 3x |＝a ，讨论a 的值来确定方程根的个数．解 因为y ＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x >1，－log 3x ， 0<x <1，在同一直角坐标系中作出函数与y ＝a 的图象，如图可知： (1)当a <0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0； (2)当a ＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有1个； (3)当a >0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个．点评 利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象．若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同．三类对数大小的比较一、底相同，真数不同例10 比较log a 2与log a 33的大小．分析 底数相同，都是a ，可借助于函数y ＝log a x 的单调性比较大小． 解 由(2)6＝8<(33)6＝9，得2<33. 当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 故log a 2<log a 33； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数， 故log a 2>log a 33.点评 本题需对底数a 的范围进行分类讨论，以确定以a 为底的对数函数的单调性，从而应用函数y ＝log a x 的单调性比较出两者的大小．二、底不同，真数相同例11 比较log 0.13与log 0.53的大小．分析 底数不同但真数相同，可在同一坐标系中画出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题．解 方法一 在同一坐标系中作出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，如右图． 在区间(1，＋∞)上函数y ＝log 0.1x 的图象在函数y ＝log 0.5x 图象的上方， 故有log 0.13>log 0.53.方法二 log 0.13＝1log 30.1，log 0.53＝1log 30.5. 因为3>1，故y ＝log 3x 是增函数， 所以log 30.1<log 30.5<0. 所以1log 30.1>1log 30.5. 即log 0.13>log 0.53.方法三 因为函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 在区间(0，＋∞)上都是减函数，故log 0.13>log 0.110＝－1，log 0.53<log 0.52＝－1，所以log 0.13>log 0.53.点评 方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大小关系．三、底数、真数均不同 例12 比较log 323与log 565的大小．分析 底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间值，进而比较大小． 解 因为函数y ＝log 3x 与函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上都是增函数， 故log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0， 所以log 323<log 565.点评 当底数、真数均不相同时，可找中间量(如1或0等)传递大小关系，从而比较出大小．综上所述，比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论，如例10；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小，如例11；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较，如例12.初学对数给你提个醒对数函数是函数的重要内容之一，由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌握得不够好，经常出现解题错误，现将这些错误进行归纳并举例说明．一、忽视0没有对数例13 求函数y ＝log 3(1＋x )2的定义域． 错解 对于任意的实数x ，都有(1＋x )2≥0， 所以原函数的定义域为R .剖析 只考虑到负数没有对数．事实上，由对数的定义可知，零和负数都没有对数． 正解 {x |x ≠－1} 二、忽视1的对数为0 例14 求函数y ＝1log 22x ＋3的定义域．错解 由2x ＋3>0，得x >－32， 所以定义域为{x |x >－32}．剖析 当2x ＋3＝1时，log 21＝0，分母为0没有意义，上述解法忽视了这一点． 正解 {x |x >－32且x ≠－1}三、忽视底数的取值范围例15 已知log (2x ＋5)(x 2＋x －1)＝1，则x 的值是( ) A ．－4 B ．－2或3 C ．3D ．－4或5错解 由2x ＋5＝x 2＋x －1，化简得x 2－x －6＝0， 解得x ＝－2或x ＝3.故选B .剖析 忽视了底数有意义的条件：2x ＋5>0且2x ＋5≠1.当x ＝－2时，2x ＋5＝1，应舍去，只能取x ＝3.正解 C四、忽视真数大于零例16 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy 的值．错解 因为lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，即x y ＝1或xy ＝4， 所以log 2x y ＝0，或log 2xy ＝4.剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x >0，y >0，x －2y >0，所以x >2y >0，所以x ＝y 不成立．正解 因为lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 所以x ＝y 或x ＝4y ，因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x ＝y 应舍去，所以x ＝4y ，即xy ＝4， 所以log 2xy ＝4.五、对数运算性质混淆例17 下列运算：(1)log 28log 24＝log 284； (2)log 28＝3log 22；(3)log 2(8－4)＝log 28－log 24；(4)log 243·log 23＝log 2(43×3)．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个错解 A剖析 (1)log 28log 24真数8与4不能相除；(3)中log 2(8－4)不能把log 乘进去运算，没有这种运算的，运算log 284＝log 28－log 24才是对的；(4)错把log 提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)．正解 D六、忽视对含参底数的讨论例18 已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，求a 的值． 错解 由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1， 所以a ＝2.剖析 对数函数的底数含有参数a ，错在没有讨论a 与1的大小关系而直接按a >1解题． 正解 (1)若a >1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为增函数， 由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1， 所以a ＝2，又2>1，符合题意．(2)若0<a <1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为减函数， 由题意得log a 2－log a 4＝log a 12＝1， 所以a ＝12，又0<12<1，符合题意， 综上可知a ＝2或a ＝12.巧借对数函数图象解题数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合．通过对图形的认识、数形转化，来提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体．它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．一、利用数形结合判断方程解的范围方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化．例1 方程lg x ＋x ＝3的解所在区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，＋∞)答案 C解 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝lg x 与y ＝－x ＋3的图象(如图所示)．它们的交点横坐标x 0显然在区间(1，3)内，由此可排除选项A 、D .实际上这是要比较x 0与2的大小．当x 0＝2时，lg x 0＝lg 2，3－x 0＝1.由于lg 2<1，因此x 0>2，从而判定x 0∈(2，3)．点评 本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x ＋x ＝3的解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．二、利用数形结合求解的个数例2已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1)时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x的根的个数是________．解析构造函数g(x)＝lg x，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根．答案4点评本题学生极易填3，其原因是学生作图不标准，尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x＝10时，y＝1.因此，在利用数形结合法解决问题时，要注意作图的准确性．三、利用数形结合解不等式例3使log2x<1－x成立的x的取值范围是______________________________________．解析构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝1－x，在同一坐标系中作出两者的图象，如图所示，直接从图象中观察得到x∈(0，1)．答案(0，1)点评用数形结合的方法去分析解决问题，除了会读图外，还要会画图，绘制图形既是利用数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要．对数函数常见题型归纳一、考查对数函数的定义例4已知函数f(x)为对数函数，且满足f(3＋1)＋f(3－1)＝1，求f(5＋1)＋f(5－1)的值．解设对数函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，由已知得log a(3＋1)＋log a(3－1)＝1，即log a[(3＋1)×(3－1)]＝1⇒a＝2.所以f (x )＝log 2x (x >0)．从而得f (5＋1)＋f (5－1)＝log 2[(5＋1)×(5－1)]＝2. 二、考查对数的运算性质 例5 log 89log 23的值是( ) A .23B ．1C .32D ．2解析 原式＝log 29log 28·1log 23 ＝23·log 23log 22·1log 23＝23. 答案 A三、考查指数式与对数式的互化例6 已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，求log abc x 的值． 解 由已知，得a 2＝x ，b 3＝x ，c 6＝x ， 所以a ＝x 12，b ＝x 13，c ＝x 16. 于是，有abc ＝x 12＋13＋16＝x 1， 所以x ＝abc ，则log abc x ＝1.四、考查对数函数定义域和值域(最值)例7 (江西高考)若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B .⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．(0，＋∞)答案 A解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121， ∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0.例8 已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________，最小值为________．解析 由已知，得函数g (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3.且g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2 ＝log 23x ＋6log 3x ＋6.则当log 3x ＝0，即x ＝1时，g (x )有最小值g (1)＝6； 当log 3x ＝1，即x ＝3时，g (x )有最大值g (3)＝13. 答案 13 6 五、考查单调性例9 若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 为( ) A .24B .22C .14D .12解析 由于0<a <1，所以f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上递减，在区间[a ，2a ]上的最大值为f (a )，最小值为f (2a )，则f (a )＝3f (2a )，即log a a ＝3log a (2a )⇒a ＝24.答案 A六、考查对数函数的图象例10 若不等式x 2－log a x <0在(0，12)内恒成立，则a 的取值范围是________．解析 由已知，不等式可化为x 2<log a x . 所以不等式x 2<log a x 在(0，12)内恒成立，可转化为当x ∈(0，12)时，函数y ＝x 2的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，如图所示． 答案 [116，1)点评 不等式x 2<log a x 左边是一个二次函数，右边是一个对数函数，不可能直接求解，充分发挥图象的作用，则可迅速达到求解目的．巧比对数大小一、中间值法若两对数底数不相同且真数也不相同时，比较其大小通常运用中间值作媒介进行过渡． 理论依据：若A >C ，C >B ，则A >B . 例11 比较大小：log 932，log 8 3.解 由于log 932<log 93＝14＝log 822<log 83， 所以log 932<log 8 3.点评 以14为纽带，建立起放缩的桥梁，解题时常通过观察确定中间值的选取． 二、比较法比较法是比较对数大小的常用方法，通常有作差和作商两种策略． 理论依据：(1)作差比较：若A －B >0，则A >B ；(2)作商比较：若A ，B >0，且AB >1，则A >B .例12 比较大小：(1)log 47，log 1221； (2)log 1.10.9，log 0.91.1.解 (1)log 47－log 1221＝(log 47－1)－(log 1221－1) ＝log 474－log 1274＝1log 744－1log 7412，由于0<log 744<log 7412，所以1log 744>1log 7412，即log 47>log 1221.(2)由于log 1.10.9，log 0.91.1都小于零， 所以|log 1.10.9||log 0.91.1|＝(log 1.10.9)2＝(－log 1.10.9)2 ＝(log 1.1109)2>(log 1.11110)2＝1， 故|log 1.10.9|>|log 0.91.1|， 所以log 1.10.9<log 0.91.1.点评 将本例(1)推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A B >log AC (BC )，进而可比较形如此类对数的大小．三、减数法将对数值的大概范围确定后，两边同减去一个数，通过局部比较大小．理论依据：若A －C >B －C ，则A >B . 例13 比较大小：log n ＋2(n ＋1)，log n ＋1n (n >1)． 解 因为log n ＋2(n ＋1)－1＝log n ＋2n ＋1n ＋2>log n ＋2n n ＋1>log n ＋1nn ＋1＝log n ＋1n －1.所以log n ＋2(n ＋1)>log n ＋1n .点评 将本例推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A ＋C (B ＋C )>log A B ，进而可比较形如此类对数的大小．四、析整取微法将对数的整数部分分别析取出来，通过比较相应小数部分的大小使得问题获解． 理论依据：若A ＝log a M ＝k ＋x ，B ＝log b N ＝k ＋y ，且x >y ，则A >B . 例14 比较大小：log 123，log 138. 解 令log 123＝－2＋x ，log 138＝－2＋y ， 于是2－(－2＋x )＝3，3－(－2＋y )＝8， 则2－x－3－y＝34－89<0，故2－x <3－y .两边同时取对数，化简得xlg 2>ylg 3，则x y >lg 3lg 2>1，即x >y ，故log 123>log 138.点评 这种方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知识又都是通性通法，有利于“回归课本，夯实基础”，此法值得深思．例15 对于函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在一常数c ，对任意x 1∈D ，存在惟一的x 2∈D ，使f x 1＋f x 22＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )＝lgx ，x ∈[10，100]，则函数f (x )＝lg x 在[10，100]上的均值为( )A .32B .34C .110D ．10分析 该题通过定义均值的方式命题，以定义给出题目信息，是当前的一种命题趋势．其本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化．解析 首先从均值公式可得lg (x 1x 2)＝2c ， 所以x 1x 2＝102c ＝100c . 因为x 1，x 2∈[10，100]，所以x 1x 2∈[100，10 000]．所以100≤100c ≤ 10 000.所以1≤c ≤2. 从选项看可知成为均值的常数可为32.故选A . 答案 A例16 函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为( )A ．3B .34C ．2D .23分析 对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点，尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究．本题正是以函数y ＝log 2x 为基础而编制，从定性分析和定量的计算中刻划a ，b 的关系．结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系．解析 画出函数图象如图所示． 由log 2a ＝－2得a ＝14. 由log 2b ＝2得b ＝4.数形结合知a ∈[14，1]，b ∈[1，4]．考虑函数定义域，满足值域[0，2]的取值情况可知， 当b ＝1，a ＝14时，b －a 的最小值为1－14＝34.故选B . 答案 B解题要学会反思解题中的反思是完善解题思路的有效方法，面对一道较为综合的题，寻找解题思路时，想一步到位，往往不太现实；边解边反思，逐步产生完善、正确的解题思路，却是可行的，请看：题目：已知函数f (x )＝log m x －3x ＋3，试问：是否存在正数α，β，使f (x )在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．甲：在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]，也就是⎩⎪⎨⎪⎧log m α－3α＋3＝log mβ－4，log mβ－3β＋3＝logmα－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧αβ－5α＋3β＝9，αβ－5β＋3α＝9⇒α＝β，与α<β矛盾，故不存在．乙：你的解答不全面，你的求解建立在一个条件的基础上，就是函数f (x )是增函数，而题目并没有说明这个函数是增函数呀！丙：没错，应该对m 进行讨论． 设0<α≤x 1<x 2≤β，由于x 1－3x 1＋3－x 2－3x 2＋3＝6x 1－x 2x 1＋3x 2＋3<0， 那么0<x 1－3x 1＋3<x 2－3x 2＋3.讨论：(1)若0<m <1，则log m x 1－3x 1＋3>log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)>f (x 2)，得f (x )为减函数．(2)若m >1，则log m x 1－3x 1＋3<log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)<f (x 2)，得f (x )为增函数． 若m 存在，当0<m <1时，则⎩⎪⎨⎪⎧log m β－3β＋3＝log mβ－4，log mα－3α＋3＝logmα－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧β2－2β－9＝0，α2－2α－9＝0.显然α，β是方程x 2－2x －9＝0的两根，由于此方程的两根中一根为正，另一根为负，与0<α<β不符，因此m 不存在；当m >1时，就是甲的解题过程，同样满足条件的α，β不存在．老师：乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思．通过你们的讨论可以看出，反思的作用相当大，它可以使思路逐步完善，最终形成完美的解题过程．对数函数高考考点例析对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分，关于对数函数的考查在高考中一直占有重要的地位．下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析，希望对大家的学习有所帮助．考点一 判断图象交点个数1．(湖南高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3， x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 作出函数f (x )与g (x )的图象，如图所示，由图象可知：两函数图象的交点有3个． 答案 C考点二 函数单调性的考查2．(江苏高考)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞考点三 求变量范围3．(辽宁高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．答案 D考点四 比较大小(一)图象法4．(天津高考)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析由2a >0， ∴log 12a >0， ∴0<a <1. 同理0<b <1，c >1， ∴c 最大在同一坐标系中作出y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 12x 的图象如图所示，观察得a <b .∴a <b <c . 答案 A (二)排除法当我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时，可以从反面入手，因为选择题的正确答案已在选项中列出，从而逐一考虑所有选项，排除其中不正确的，则剩下的就是正确的答案．5．(全国高考)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析 首先比较a ，b ， 即比较3ln 2，2ln 3的大小， ∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3， ∴a ＜b .故排除B 、D .同理可得c ＜a . 答案 C (三)媒介法对于直接比较困难时，常插入媒介，以此为桥梁进行比较，常插入0或1. 6．(山东高考)下列大小关系正确的是( ) A ．0.43>30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43 解析 分析知0<0.43<1，30.4>30＝1， log 40.3<log 41＝0， 故log 40.3<0.43<30.4.故选C . 答案 C (四)特值法对于有些有关对数不等式的选择题，通过取一些符合条件的特殊值验证，往往也能简便求解．7．(青岛模拟)已知0<x <y <a <1，则有( ) A ．log a (xy )<0 B ．0<log a (xy )<1 C ．1<log a (xy )<2D ．log a (xy )>2解析 取x ＝18，y ＝14，a ＝12，代入log a (xy )检验即可得D . 答案 D。
对数函数函数及其性质导学案
高一数学导学案 对数函数及其性质（1）导学案备课人：冯春祥学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 通过比较、对照的方法，结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法。
学习过程 一、课前准备复习1 ：画出 xy 2=xy )21(=的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质复习2：生物机体内碳 的“半衰期”为 5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14 的残余量为P ，试推算马王堆古墓的年代（列式） 二、新课导学※探究任务一：对数函数的概念讨论： 复习2中t 与 P 的关系？（对每一个碳14 的含量 P 的取值，通过对应关系P t 573021log=，生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应，从而 t 是 P 的函数）新知：一般当a>0且 ≠1 时，形如叫做对数函数，,函数的定义域是 判断：x y 2log 2= ，)5(log 5x y =为对数函数吗？※探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 试一试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象(1)x y 2log = (2)x y 21log =思考讨论：观察图象，类比指数函数性质，你能归纳出对数函数的哪些性质？※典型例题例1 求下列函数的定义域 (1)2log x y a = (2))3(log x y a -=变式：求函数式x y x -=3log 的定义域动手试试：练1求下列函数的定义域(1))6(log --=x y a (2)3221log log -=x y例2比较下列各题中两个数值的大小(1)5.3log 3log 22和 (2)7.2log 8.2log 3.03.0和 (3)9.5log 1.5log a a 和小结：利用比大小；注意格式规范： 动手试试：练2：比较下列各题中两个数值的大小(1)5.8ln 4.3ln 和(2)4log 7.0log 3.02.0和(3)8.1log 61.1log 7.07.0和（4）2log 3log 32和 三、拓展与提高：(1)解关于a 的不等式（2）如右图：判断四条函数图像中底数大小 四、总结提升※本节学习小结 ： 五、当堂检测1． 函数)3(log )1(x y x -=-的定义域是2． 比大小（1）6log 7log 76和（2）5.1log 8.0log 32和 3． 函数)1(log 22≥+=x x y 的值域为8.对数函数（2）一．自主梳理1.对数函数的定义、定义域和值域分别是什么？2.画出对数函数的图象，并说明它的性质。
对数函数的图像及性质导学案
课题 必修 1 第二章 2.2.2 对数函数的图像及性质 学习目标 １.画出具体对数函数的图像，探索对数函数的单调性与特殊点； ２.通过比较、对照的方法，探索研究对数函数的性质； ３.培养数形结合的思想。 重点难点 1.对数函数性质 探究：
有一种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，…, 1 个这样 的细胞分裂 x 次会得到 y 个细胞，则 y 与 x 函数关系为： 那么如果知道了细胞的个数 y 如何确定分裂的次数 x？ 由对数式与指数式的互化可知：
y log 2 x 1; y 2 log 8 x;
例 2. 已知函数 f(x)为对数函数，且图象过点(4, 2)，求 f(1)，f(8)
2
例 3.求下列函数的定义域： （1）y=log x
a
（2）y=log (4-x)
a
2、画出 y log2 x 和 y log 1 x 的图像
2.利用单调性比较大小
教师点拨 学生反思
把 x 和 y 的位置互换，那么这个函数关系应为 新知： 1、 一般的， 我们把 叫做对数函数， 其中 自变量，函数的定义域是 巩固例题 例 1.下列函数中，哪些是对数函数？ （1） （3） （5）
是
y log a x 2 ;
（2）y （4）y
logx a( x 0, 且x 1); log5 x.
2
3、根据上述图像完成下面表格
例 4：比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4 与 log28.5 （2） log
0.3
1.8 与 loga5.9 (a>0,且 a≠1)
课后思考： 1.你能比较 log34 和 log43 的大小吗？ 2.对数函数 y=logax 与指数函数 y=ax 的关系。 课后作业：课本 73 页 2 题、3 题 (2)、(3)
高一数学对数函数导学案2苏教版必修一
宿迁中学高一数学(必修1) 课题：对数函数（二） 导学案班级_______学号________姓名________组内评价_____【三维目标】1. 知识与技能能够准确描绘出对数函数的图像，并可以利用图像来解决相关问题 2. 过程与方法① 通过师生之间，学生与学生之间的合作交流，使学生学会与别人共同学习。
② 通过探究对数函数的图像，感受数形结合思想，培养学生数学的分析问题的意识。
3. 情感态度价值观① 通过对对数函数图像的学习，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣。
② 通过学生的相互交流来加深理解对数函数图像的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听，接受别人建议的优良品质。
【教学重难点】1. 准确描绘出对数函数的图像2. 依据图像来进行对相关问题的处理【教具准备】多媒体课件，投影仪，打印好的作业。
【教学过程】 一. 预习填空:1.函数y 的定义域为 2.函数212log (32)2y x x =+-+的值域3.若log 2log 20m n >>时，则m ，n 的关系是（用多种解法来处理）二、例题讲解例1.如图所示曲线是对数函数log a y x =的图像，已 知a 431,,3510，则相应于1234,,,C C C C 的a值依次为变式训练：已知30.330.30.3,3,log 0.3,log 3a b c d ====将a ，b ，c ，d 四数从小到大排列例2.说明函数3log (2)y x =+与函数3log y x =的图像关系变式训练：将函数log a y x =的图像沿x 轴向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 最后将x 轴下方部分翻折到上方所得到函数图像的解析式：例3.画出函数2log ||y x =的图像，并根据图像写出函数的单调区间变式训练：通过图像变换，如何作出函数2|log (1)|2y x =++的图像？并作出函数图像，根据图像给出函数的单调区间例4.方程|log |(01)x a x a =<<有几个解？三.巩固练习1.如果log (0,1)a y x a a =>≠图像与log (0,1)b y x b b =>≠图像关于x 轴对称， 则a ，b 的关系2. 函数2()log (1)f x x =-的大致图像是 （填序号）3．已知函数的图像过点（1，2）则其关于y=x 的对称图像过点4. 已知()|lg |f x x =，则11(),(),(2)43f f f 的大小关系5．已知函数()log |1|a f x x =+在区间(1,0)-上有()0f x >，那么下面结论正确的 是 （填序号）①()f x 在(,0)-∞上是增函数 ②()f x 在(,0)-∞上是减函数 ③()f x 在(,1)-∞-上是增函数 ④()f x 在(,1)-∞-上是减函数 四．总结：①本节课学习的知识点有： ②本节课所用的思想方法有： 五：课堂作业: 课本P70 习题6，8(1)(2)(3)(4)作业 对数函数(1)1. 函数log (2)1(0,1)a y x a a =++>≠恒过定点2.（2009北京文）为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有 点向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度 3.已知a>0,且a ≠1,则在同一坐标系内函数y=a x 与y=log a (-x)的图象可能是_____4.若定义在区间(1,1)-内的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围5.已知2log 13a<，则a 的取值范围 6.方程2log (4)3x x +=的实根的个数为7. 在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与图像xy e =关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =图像关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值为 8.若2{|log 2}x x x x ∈=-，则有正确结论为2222①x >x>1;②x >1>x;③1>x >x;④x>1>x9.已知函数2lg ,3()2lg(3),3x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若方程()f x k =无实数根，则实数k 的取值范围(1)(2)(3)(4)10.已知1x 是方程lg 3x x +=的根，2x 是方程103xx +=的根，那么12x +x 的值探究●拓展： 如图函数log (1,1)a y x a x =>>的图像上有A ，B ，C 三点，他们的横坐标分别为,2,4m m m ++，若△ABC 的面积为S ，求S=f(m)的解析式。
对数函数及其性质导学案
2.2.2对数函数及其性质（第一课时）导学案【学习目标】 （一）知识与技能目标（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并根据定义能判断哪些函数是对数函数、求函数的定义域； （2）能画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的性质； （二）过程与方法引导学生自主学习，通过实例的关系式类比指数函数的形式定义，自己尝试给出对数函数的定义并归纳满足对数函数的条件；经历函数x y 2log =和x y 21log =的画法,观察其图像特征并用代数语言进行描述得出函数性质；（三）情感态度与价值观培养学生的数形结合思想，让学生养成善于观察、归纳的好习惯. 【学习重、难点】理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质.导 学 过 程 与 设 计一、课前准备（幻灯片）介绍一个考古的实例，阅读课本P70第一、二两段。
二、新课导学（一）引入：考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡的残留物，利用log t P =（*）估计出土文物或古遗址的年代。
根据实际问题的实际意义可知，对于每一个C-14的含量P ，通过对应关系（*）都有唯一确定的年代t 与之对应，所以t 是P 的 。
（二）探究活动 （1）讨论函数log t P =的特征： ；（2）对数函数的定义：一般地， 。
【思考与交流】（1）判断下列函数是否为对数函数？并说明理由（2）启示：判断一个函数是否为对数函数，必须严格符合形如l o g (01a y x a a =>≠且的形式，即要满足下面的条件： ○1 ； ○2 ； ○3 。
（3）巩固练习下列函数哪个是对数函数？○1log 0,1)a y a a =>≠ ○22(2)log y x -= （4）求下列函数的定义域○1函数2log a y x =的定义域是 ； ○2函数log (4)a y x =-的定义域是 ； ○3函数(1)log (2)x y x -=+的定义域是 。
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2.2 对数函数[学习目标]1．理解对数的概念及其运算性质．2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 3．了解对数的发现历史以及其对简化运算的作用．4．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．5．能借助计算器或计算机画出具体的对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．6．知道对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数（0>a ，且1≠a ）． [学习要求]本节内容是在学习了指数函数之后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，明确本节课要学习的问题——对数问题．学习对数概念，进而学习一类新的基本初等函数——对数函数．在学习对数定义时，要注意以下几点：一是要弄清楚对数式b N a =log （0>a ，且1≠a ）的含义，明确a ，N ，b ，相对于指数式N a b=是什么数，并找出它们之间是什么关系．二是要注意对数式b N a =log 中字母的取值范围，要清楚对数定义中为什么要规定0>a ，且1≠a ，0>N ．对数的运算性质是进行对数计算的重要依据，要理解其推导过程．学习过程中应充分发挥对数函数图象的作用，要做到自己动手做出对数函数的图象．会根据图象讨论对数函数的性质．[学习重点] 对数函数的概念、图象和性质． [课时安排] 6课时第一课时2.2.1对数与对数运算（1）——对数新课导入回顾2.1.2指数函数一节中的例8，把我国1999年底人口13亿作为基数，如果人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数y 最多为多少？我们算出经过年数x 与人口数y 满足关系x y 01.113⨯=中，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿”？该如何解决？分析：人口数达到18亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.11318=，需要从中求出经过年数x ；人口数达到20亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.11320=，需要从中求出经过年数x ；人口数达到30亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.11330=，需要从中求出经过年数x ；一般地，需要从N x=01.1中求出经过年数x ．这是我们这一节将要学习的对数问题．新课进展 一、对数 1．定义一般地，如果N a x=（0>a ，且1≠a ），那么数x 叫做以a 为底N 的对数（logarithm ），记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．x 01.11318=，其中x 就是以 1.01为底1318的对数，记作1318log 01.1=x ；请同学们写出x 01.11320=，x 01.11330=中的x ． 问：以4为底16的对数是2，用等式怎么表达？讨论：按照对数的定义，以4为底16的对数是2，可记作216log 4=；同样从对数的定义出发，可写成1642=．我们从一般的角度来考虑这个问题，根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：当0>a ，且1≠a 时，如果N a x =，那么N x a log =；如果N x a log =，那么N a x=．即N a x =等价于N x a log =，记作当0>a ，且1≠a 时，N a x =⇔N x a log =．当0>a ，且1≠a 时，计算：1log a ，a a log ． 分析：利用对数和指数间的关系． 由于0>=N a x，所以： 负数和零没有对数． 2．常用对数和自然对数通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并且把N 10log 记作N lg ． 在科学技术中常使用以无理数 597182818284.2=e 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数（natural logarithm ），并且把N e log 记作N ln ．3．课堂例题例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：例2 求下列各式中x 的值4．课堂练习1. 把下列指数式写成对数式：2. 把下列对数式写成指数式：5．布置作业 课本第74页习题2.2.A 组1 、2．;6412)2(;6255)1(64==-;416log )4(;73.531)3(21-==⎪⎭⎫⎝⎛m.303.210ln )6(;201.0lg )5(=-=;32log )1(64-=x ;68log )2(=x .ln )4(;100lg )3(2x e x =-=.322)2(;82)1(53==.4841log )2(;241log )1(32-=-=第二课时2.2.1对数与对数运算（2）——对数的运算复习导入通过提问复习上节课主要学习内容． 问：你如何理解对数？答：从运算的角度，对数运算可以看成是指数运算的逆运算．因此，对数式和指数式的互化在对数学习过程中很重要．当0>a ，且1≠a 时，N a x=⇔N x a log =，即x a x a =log ．新课进展通过师生探究，学习本节主要内容问：从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？ 回顾指数幂的运算性质：n m n m a a a +=⋅，n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(．师生讨论：把指对数互化的式子具体化：设ma M =，na N =，于是有mn n n m n m a M a NMa MN ===-+,,．n N m M a a ==log ,log ． 根据对数的定义有：n m a n m a +=+log ，n m a n m a -=-log ，mn a m n a =log ． 于是有二、对数的运算（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅； （2）N M NMa a alog log log -=； （3）M n M a n a log log =（R n ∈）． 课堂例题例1 用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式：.log )2(;log )1(32zyx zxy aa例2 求下列各式的值课堂练习1. 用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式2. 求下列各式的值：3. 求下列各式的值：布置作业 课本第74页习题2.2A 组第3、4、5题．第三课时2.2.1对数与对数运算（3）——对数的换底公式复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：上节课我们学习了哪些对数的性质？请用文字语言叙述． 答：（1）积的对数等于同底对数的和； （2）商的对数等于同底对数的差； （3）n 次幂的对数等于同底对数的n 倍； 即：（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅；.100lg )2();24(log )1(5572⨯;lg )2();lg()1(2z xy xyz .lg )4(;lg )3(22zy xzxy ;100lg )2();927(log )1(223⨯.ln )4(;00001.0lg )3(e ;2lg 5lg )2(;3log 6log )1(22+-.15log 5log )4(;31log 3log )3(3355-+（2）N M NMa a alog log log -=； （3）M n M a n a log log =（R n ∈）． 新课进展三、对数的换底公式问：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或e 为底的对数？把问题一般化，能否把以a 为底转化为以c 为底？师生共同探究：设p b a =log ，则b a p=，对此等式两边取以c 为底的对数，得到：b ac p c log log =，根据对数的性质，有：b a p c c log log =，所以abp c c log log =．即abb c c a log log log =．其中0>a ，且1≠a ，0>c ，且1≠c ． 公式abb c c a log log log =称为换底公式． 用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算1318log 01.1=x 的值，利用换底公式和对数的运算性质，可得： 01.1lg 13lg 18lg 01.1lg 1318lg1318log 01.1-===x 338837.320043.01139.12553.1≈=-≈（年） 课堂例题例1 （课本第66页例5） 例2 （课本第67页例6）本例题根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系P t 573021log=，都有唯一确定的年代t 与它对应，所以，t 是P 的函数．课堂练习利用对数的换底公式化简下列各式：布置作业 课本第74页习题2.2A 组4（1）——（4）、5（1）——(4)、6题．第四课时2.2.2对数函数及其性质（1）情景问题导入 1．课堂练习课本第74页习题2.2A 组第6题．2．上节课的例题，考古学家通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡生物体的残留物测定碳14含量P ，估算出土文物或古遗址地年代t ，即P t 573021log=．一、对数函数的定义一般地，我们把函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmicfunction ），其中x 是自变量，函数的定义域是(0)∞，+．我们类比指数函数xy a=(0,1)a a >≠且图象与性质，来研究对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且的图象和性质．二、对数函数的图象在同一坐标系中画出对数函数x y 2log =和x y 21log =的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）．（图及表格见课本第70页）讨论：函数x y 2log =和x y 21log =的图象之间的关系．x x y 221log log -==，又点),(y x 和点),(y x -关于x 轴对称，所以，x y 2log =和x y 21log =的图象关于x 轴对称．;2log 5log 4log 3log )2(5432⋅⋅⋅).2log 2)(log 3log 3)(log 3(9384++思考 函数x y a log =与x y a1log =(0a >，且1)a ≠的图象有什么关系？三、对数函数的性质一般地，对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且的图象和性质如下表所示．课堂例题例1 求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=． 例2 比较下列各组数中两个值的大小： （1）5.8log ,4.3log 22==y y ； （2）8.1log 3.0=y ，7.2log 3.0=y ；（3）1.5log a y =，9.5log a y = (a>0,且a ≠1).该两例是巩固对数函数的概念，利用单调性比较对数式的大小．课堂练习2. 求下列函数的定义域3. 比较下列各题中两个值的大小：布置作业 课本第74页习题2.2A 组第7、8、9题．第五课时2.2.2对数函数及其性质（2）复习导入通过提问复习上节课主要学习内容． 问：我们是怎样研究对数函数的？投影出一般的对数函数的特征图象，总结其单调性和特殊点． 新课进展四、对数函数的应用 课堂例题例1 （课本第72页例9）利用对数函数，解决溶液酸碱度pH 值得测量问题，体会对数函数的应用价值． 例2 （课本第75页习题2.2A 组第12题）.log log .1313相同点和不同点并且说明这两个函数的的图象，及画出函数x y x y ==;log 1)2();1(log )1(25xy x y =-=.log )4(;311log )3(37x y xy =-=.4.1log ,6.1log )4(;6.0log ,5.0log )3(5.15.13232.4log ,6log )2(;8log ,6log )1(5.05.01010学习用数学的观点处理现实问题的方法，进一步引导学生体会对数函数的应用价值． 例3 （课本第75页习题2.2B 组第3题） 体会对数函数应用的广泛性．课堂练习 课本第75页习题2.2A 组第12题． 布置作业 课本第82页复习参考题A 组第9题． 课本第83页复习参考题B 组第5题．第六课时2.2.2对数函数及其性质（3）——对数函数与指数函数的关系问题导入问：在指数函数xy 2=中，x 为自变量，y 为因变量．如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．通过对问题的讨论，形成反函数的概念．通过摄氏温度与华氏温度的换算，进一步明确反函数的概念．在指数函数2xy =中，x 是自变量，定义域是x ∈R ，y 是x 的函数，且值域(0)y ∈∞，+．根据指数与对数的关系，由指数式2x y =可得到对数式2log x y =，这样，对于任意一个(0)y ∈∞，+，通过式子2log x y =，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应．我们可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时，我们就把2log x y = ((0))y ∈∞，+称为函数2xy =()x ∈R 的反函数（inverse function ）．在函数2log x y =中，y 是自变量，x 是y 的函数．但习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数．为此，我们把函数2log x y =中的字母x ，y 交换，把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0))x ∈∞，+是指数函数2xy =x ∈R 的反函数．课堂讨论1．如何说明指数函数x a y =(0,1)a a >≠且与对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且互为反函数．2．互为反函数的这两个函数的定义域和值域有什么关系？3．互为反函数的这两个函数的图象有什么关系？答案提示：1．在指数函数x a y =中，x 是自变量，定义域是x ∈R ，y 是x 的函数，且值域(0)y ∈∞，+．根据指数与对数的关系，由指数式x a y =可得到对数式y x a log =，这样，对于任意一个(0)y ∈∞，+，通过式子y x a log =，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应．我们可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时，y x a log = ((0))y ∈∞，+就为指数函数x a y =的反函数，把自变量用x 表示，因变量用y 表示，则对数函数x y a log =就是指数函数x a y =的反函数(0,1)a a >≠且．反之，也可类似说明对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且是指数函数x a y =(0,1)a a >≠且的反函数．2．互为反函数的这两个函数的定义域和值域恰好互换，例如2xy =的定义域为实数集R ，值域为),0(+∞，2x y =的反函数的定义域为),0(+∞，值域为实数集R ．3．在同一个直角坐标系中，互为反函数的函数图象关于直线x y =对称．说明：作为探究与发现，教材只要求学生了解指数函数x a y =和对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且互为反函数．对反函数的一般概念、判断一个函数是否存在反函数以及求函数的反函数等均不作要求．课堂例题例1 求下列函数的反函数：（1）xy )31(=； （2）x y 5log =．解：（1）xy )31(=的反函数为),0(,log 31+∞∈=x x y ．（2）函数x y 5log =的反函数为R x y x ∈=,5． 课堂练习写出下列函数的反函数：（1）x y 4log =； （2）x y 41log =．本课小结1．对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且与同底的指数函数x a y =互为反函数．2．对数函数x y a log =与同底的指数函数x a y =的性质相互对应． 布置作业1．根据对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且与同底的指数函数x a y =互为反函数的关系，列出指数函数与对数函数的对照表．2．课本第82页复习参考题A 组第8题．。