2[1].2对数函数导学案

2.2 对数函数

[学习目标]

1．理解对数的概念及其运算性质．

2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 3．了解对数的发现历史以及其对简化运算的作用．

4．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．

5．能借助计算器或计算机画出具体的对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

6．知道对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数（0>a ，且1≠a ）． [学习要求]

本节内容是在学习了指数函数之后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，明确本节课要学习的问题——对数问题．学习对数概念，进而学习一类新的基本初等函数——对数函数．

在学习对数定义时，要注意以下几点：

一是要弄清楚对数式b N a =log （0>a ，且1≠a ）的含义，明确a ，N ，b ，相对于指数式N a b

=是什么数，并找出它们之间是什么关系．

二是要注意对数式b N a =log 中字母的取值范围，要清楚对数定义中为什么要规定0>a ，且1≠a ，0>N ．

对数的运算性质是进行对数计算的重要依据，要理解其推导过程．

学习过程中应充分发挥对数函数图象的作用，要做到自己动手做出对数函数的图象．会根据图象讨论对数函数的性质．

[学习重点] 对数函数的概念、图象和性质． [课时安排] 6课时

第一课时

2.2.1对数与对数运算（1）——对数

新课导入

回顾2.1.2指数函数一节中的例8，把我国1999年底人口13亿作为基数，如果人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数y 最多为多少？我们算出经过年数x 与人口数y 满足关系x y 01.113⨯=中，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿”？该如何解决？

分析：人口数达到18亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.113

18

=，需要从中求出经过年数x ；人口数达到20亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.113

20

=，需要从中求出经过年数x ；人口数达到30亿时，是1999年底 13亿人口的

x 01.113

30

=，需要从中求出经过年数x ；一般地，需要从N x

=01.1中求出经过年数x ．这是我们这一节将要学习的对数问题．

新课进展 一、对数 1．定义

一般地，如果N a x

=（0>a ，且1≠a ），那么数x 叫做以a 为底N 的对数（logarithm ），

记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

x 01.11318=，其中x 就是以 1.01为底1318的对数，记作1318log 01.1=x ；请同学们写出x 01.11320=，x 01.113

30=中的x ． 问：以4为底16的对数是2，用等式怎么表达？

讨论：按照对数的定义，以4为底16的对数是2，可记作216log 4=；同样从对数的定义出发，可写成1642

=．我们从一般的角度来考虑这个问题，根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：

当0>a ，且1≠a 时，如果N a x =，那么N x a log =；如果N x a log =，那么N a x

=．即

N a x =等价于N x a log =，记作当0>a ，且1≠a 时，N a x =⇔N x a log =．

当0>a ，且1≠a 时，计算：1log a ，a a log ． 分析：利用对数和指数间的关系． 由于0>=N a x

，所以： 负数和零没有对数． 2．常用对数和自然对数

通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并且把N 10log 记作N lg ． 在科学技术中常使用以无理数 597182818284.2=e 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数（natural logarithm ），并且把N e log 记作N ln ．

3．课堂例题

例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

例2 求下列各式中x 的值

4．课堂练习

1. 把下列指数式写成对数式：

2. 把下列对数式写成指数式：

5．布置作业 课本第74页习题2.2.A 组1 、2．

;

64

12)2(;6255)1(6

4

==-;

416log )4(;73.531)3(2

1-==⎪⎭

⎫

⎝⎛m

.

303.210ln )6(;201.0lg )5(=-=;

3

2

log )1(64-=x ;

68log )2(=x .

ln )4(;100lg )3(2

x e x =-=.

322)2(;

82)1(5

3

==.

484

1

log )2(;

24

1

log )1(32-=-=

第二课时

2.2.1对数与对数运算（2）——对数的运算

复习导入

通过提问复习上节课主要学习内容． 问：你如何理解对数？

答：从运算的角度，对数运算可以看成是指数运算的逆运算．因此，对数式和指数式的互化

在对数学习过程中很重要．当0>a ，且1≠a 时，N a x

=⇔N x a log =，即x a x a =log ．

新课进展

通过师生探究，学习本节主要内容

问：从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？ 回顾指数幂的运算性质：

n m n m a a a +=⋅，n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(．

师生讨论：把指对数互化的式子具体化：设m

a M =，n

a N =，于是有

mn n n m n m a M a N

M

a MN ===-+,,

．n N m M a a ==log ,log ． 根据对数的定义有：n m a n m a +=+log ，n m a n m a -=-log ，mn a m n a =log ． 于是有

二、对数的运算

（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅； （2）N M N

M

a a a

log log log -=； （3）M n M a n a log log =（R n ∈）． 课堂例题

例1 用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式：

.

log )2(;

log )1(3

2z

y

x z

xy a

a