高一数学教案：等比数列2

第八课时 等比数列(二)教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 教学重点：1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用. 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式 Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?(1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a ＝a ＋b2，A 为等差中项.那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，…… 则即G a ＝bG，即G 2＝ab反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG，即a ，G ，b 成等比数列∴a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a ·b ≠0)总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即G ＝±ab ，(a ，b 同号)另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q下面看应用这些性质可以解决哪些问题?［例1］在等比数列{a n }中，若a 3·a 5＝100，求a 4.分析：由等比数列性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 可得： 解：∵在等比数列中，∴a 3·a 5＝a 42 又∵a 3·a 5＝100，∴a 4＝±10.［例2］已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n ·b n }是等比数列. 分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列{a n }的首项是a 1，公比为p ；{b n }的首项为b 1，公比为q .则数列{a n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n －1，a 1p n数列{b n }的第n 项与第n ＋1项分别为b 1q n －1，b 1q n .数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1·p n －1·b 1·q n －1与a 1·p n ·b 1·q n ，即为a 1b 1(pq )n －1与a 1b 1(pq )n∵a n +1a n ·b n +1b n ＝a 1b 1（pq ）n a 1b 1（pq ）n －1＝pq 它是一个与n 无关的常数，∴{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列.特别地，如果{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m ，G ，n 为此三数 由已知得：m ＋n ＋G ＝14，m ·n ·G ＝64， 又∵G 2＝m ·n ，∴G 3＝64，∴G ＝4，∴m ＋n ＝10∴⎩⎨⎧m ＝2n ＝8 或⎩⎨⎧m ＝8n ＝2即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习课本P 50练习1，2，3，4，5. Ⅳ.课时小结本节主要内容为：(1)若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab ，G 叫做a 与b 的等比中项. (2)若在等比数列中，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q Ⅴ.课后作业课本P 52习题 5，6，7，9等比数列(二)1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.202．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.123．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.16 4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，yx 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列(二)答案1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a 1和q ，再求a 3＋a 5的方法是不行的，而应寻求a 3＋a 5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q ，由条件得a 1q ·a 1q 3＋2a 1q 2·a 1q 4＋a 1q 3·a 1q 5＝25 即a 12q 4(q 2＋1)2＝25，又a n ＞0，得q ＞0 ∴a 1q 2(q 2＋1）＝5a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(q 2＋1)＝5 解法二：∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25由等比数列性质得a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25 即(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.12解：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 15q 1+2+3+4＝a 15q 10＝a 15q 11－1又∵a 1＝1，∴a m ＝q 11－1，∴m ＝11. 答案：C3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.16解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z y 2＝x （z ＋2） ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z z ＝2x ⇒⎩⎨⎧2y ＝3x y 2＝（x ＋1）2x ⇒y ＝12答案：B4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d则⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2＝ax ①a ＋（x －d ）＋x ＝19 ②（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝12 ③解得x ＝4，代入①、②得⎩⎨⎧（4－d ）2＝4a a －d ＝11解得⎩⎨⎧a ＝25d ＝14 或⎩⎨⎧a ＝9d ＝－2故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：⎩⎨⎧2b n ＝a n ＋a n ＋1 ①a n ＋12＝b n b n ＋1 ②∴a n +1＝b n b n ＋1 ，a n ＝b n b n －1 (n ≥2) 代入①得2b n ＝b n b n ＋1 ＋b n b n －1 即2b n ＝b n ＋1 ＋b n －1 (n ≥2) ∴{b n }成等差数列，设公差为d 又b 1＝2，b 2＝a 22b 1 ＝92 ，∴d ＝b 2 －b 1 ＝322－ 2 ＝22∴b n ＝ 2 ＋22（n －1）＝22（n ＋1），b n ＝12（n ＋1）2， 当n ≥2时，a n ＝b n b n －1 ＝n （n ＋1）2 ③且a 1＝1时适合于③式，故a nb n ＝n n ＋1. 评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，yx能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由x ＞y ＞2，可知x －y ＜x ＋y ＜xy ，下来只需讨论 yx 和x －y 的大小关系，分成两种情况讨论.解：∵x ＞y ＞2，x ＋y ＞x －y ，xy ＞x ＋y ，而 yx ＜1＜x －y当 y x ＜x －y 时，由 yx，x －y ，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列. 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y x ·xy ＝（x －y ）（x ＋y ）（x ＋y ）2＝（x －y ）xy解方程组得x ＝7＋5 2 ，y ＝5＋72 2∴所求等比数列为22，2＋32 2 ，12＋172 2 ，70＋9922 . 当 y x ＞x －y 时，由x －y ， yx ，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列 则有⎩⎨⎧yx ·xy ＝（x ＋y ）2yx（x ＋y ）＝（x －y ）xy解方程组得y ＝112，这与y ＞2矛盾，故这种情况不存在. 7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数. 分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为 （x －d ）2x ，x －d ，x ，x ＋d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2x ＋（x ＋d ）＝21（x －d ）＋x ＝18 ，解得⎩⎨⎧x ＝12d ＝6 或⎩⎨⎧x ＝274 d ＝92274 ∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为 xq ，x ，xq ，则第四个数为2xq －x .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧x q ＋2xq －x ＝21x ＋xq ＝18 ，解得⎩⎨⎧x ＝6q ＝2 或⎩⎨⎧x ＝454q ＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三：设欲求的四数为x ，y ，18－y ，2－x ，由已知得： ⎩⎨⎧y 2＝x （18－y ）2（18－y ）＝y ＋（21－x ） ，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754y ＝454∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .。