辽宁省六校协作体2020~2021学年高三上学期期中联考数学试卷及答案
2020-2021学年辽宁省六校高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年辽宁省六校高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a，b∈R，则“a+2b＝0”是“（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知函数，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的为（）A．B．C．D．（1，2）3．（+2x）8的展开式中二项式系数最大的项是（）A．35x2B．20x2C．70x4D．35x44．数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*的都有a n+1＝1+a n+n，则+……+＝（）A．B．2C．D．5．设函数f（x）＝，则f（﹣3）+f（log23）＝（）A．9B．11C．13D．156．设函数f（x）＝xln，则函数f（x）（）A．B．C．D．7．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．8．若2x＝3y＝12z＞1，则z+的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[4，+∞）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知复数z＝（a﹣i）（3+2i）（a∈R）的实部为﹣1，则下列说法正确的是（）A．复数z的虚部为﹣5B．复数z的共轭复数C．|z|＝D．z在复平面内对应的点位于第三象限10．南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”．如图是一种变异的杨辉三角n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{a n}是集合{2s+2t|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，…，下列结论正确的是（）A．第四行的数是17，18，20，24B．C．D．a100＝1664011．一组数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，记3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，则（）A．a＝7B．a＝11C．b＝12D．b＝912．在单位圆O：x2+y2＝1上任取一点P（x，y），圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ，y关于θ的表达式分别为x＝f（θ），y＝g（θ）（）A．x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数B．x＝f（θ）在为增函数，y＝g（θ）在为减函数C．f（θ）+g（θ）≥1对于恒成立D．函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣3）＝P（ξ＞1），则P（﹣1＜ξ＜1）＝．14．将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，则不同的保送方法共有种．15．已知a＞0且a≠1，若函数在[3，则a的取值范围是．16．设m，n∈R，那么（m﹣e n）2+（n﹣e m）2的最小值是．四、解答题：共70分。
辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题
2020-2021学年度（上）省六校高三期中联考数学试题一、单项选择题1. 已知,a b ∈R ，则“20a b +=”是“2ab=-”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 当20a b +=成立时，不妨设0a b ，此时不满足2ab=-， 所以，“20a b +=”不能推出“2ab=-”； 当2ab=-，则有2a b =-，即20a b +=， 所以，“2ab=-”能推出“20a b +=”．因此，“20a b +=”是“2ab=-”成立的必要不充分条件．故选：B ．2. 已知函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．因为函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()1133111f 010,f 0,323⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112311111f 0,f f 022232⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数f(x)在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭必有零点，故选B ．3. 8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. 235x B. 220x C. 470x D. 435xC根据二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，再根据通项公式可求得结果.由二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，所以二项式系数最大的项是()44445812702T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：C.4. 数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈，都有11n n a a n +=++，则1299111a a a ++=（ ） A. 9998B. 2C.9950D.99100C首先根据题设条件可得11n n a a n +-=+，然后利用累加法可得(1)2n n n a +=，所以()122211n a n n n n ==-++，最后利用裂项相消法求和即可. 由11n n a a n +=++，得11n n a a n +-=+，则()()()()()1122111112n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-++=，所以1222(1)1n a n n n n ==-++， 12991111111119921212239910010055a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C . 5. 设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()23log 3f f -+=（ ）A. 9B. 11C. 13D. 15B首先根据自变量所属的范围，结合题中所给分段函数的解析式，代入求得结果.∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()223l log 22og 9(3)log 3log 4224f f ++=-+==2+9=11．故选B ．6. 设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A. B.C.D.B根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案.1()ln 1xf x x x +=-定义域为：(1,1)-11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 7. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A. 14-B. 38+-C. 14-D. 48-C先求出1cos 4ACB ∠=，再根据二倍角余弦公式求出cos144，然后根据诱导公式求出sin 234.由题意可得：72ACB ︒∠=，且112cos 4BCACB AC ∠==，所以2211cos1442cos 7212144︒︒⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()sin 234sin 14490cos144︒︒︒︒=+==，故选：C 8. 若23121==>x y z ，则48++x yz xy的取值范围是（ ） A. []1,4 B. [)1,+∞C. ()+∞D. [)4,+∞D首先利用指对互化，得到211x y z +=，变形48++x yz xy后，利用基本不等式求最值.设23121x y x k ===>，所以2log 0x k =>，3log 0y k =>，12log 0z k =>，1log 2k x =，1log 3k y =，1log 12k z=，所以211x y z +=，所以12444z z y x z ⎛⎫++=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2z =时，等号成立.故选：D二、多项选择题9. 已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是（ ） A. 复数z 的虚部为5- B. 复数z 的共轭复数15=-z iC. z =D. z 在复平面内对应的点位于第三象限ACD首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项.()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-， 因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得：1a =-， 所以15z i =--，A.复数z 的虚部是-5，正确；B.复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C.()()221526z =-+-=，正确；D.z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确.故选：ACD10. 南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”．下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{220s ts t +≤<，且s ，}t Z ∈中所有的数从小到大排列的数列，13a =，25a =，36a =，49a =，510a =…下列结论正确的是（ ）A. 第四行的数是17，18，20，24B. ()11232-+=⋅n n n aC.()11221-+=+n n a n D. 10016640a =ABD采用逐一验证的方法，利用(,)s t 来表示每一项，寻找规律，可得结果 对于A ：用(,)s t 来表示每一项，则 第一行：3(0,1)， 第二行：5(0,2),6(1,2)， 第三行：9(0,3),10(1,3),12(2,3)，第四行：17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4)，故A 正确； 对于B ：()12n n a +表示第n 项第n 列，则()11122232n n n n n a -+-=+=⋅，故B 正确； 对于C ：()112n n a -+表示第n 项第1项，则()10122212n n nn a -+=+=+，故C 错误；对于D ：100a 第14行第9项，所以1100842216640=+=a ，故D 正确，故选：ABD.11. 一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A. a =7B. a =11C. b =12D. b =9BD根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E (X )，D (X )，进而求得平均值a ，方差b .12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，设()123,,,,n X x x x x =⋯，∴(21)2()17E X E X +=+=，得E (X )=3，D (2X +1)=4D (X )=4，则D (X )=1，12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ， ∴a =E (3X +2)=3E (X )+2=11，b =D (3X +2)=9D (X )=9.故选：BD .12. 在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ）A. x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数B. x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C. f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D. 函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2ACA ，由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判断选项A ；B ，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B ；C ，先利用辅助角公式可得()())4f g πθθθ+=+，再结合正弦函数的值域即可得解；D ，2cos sin2t θθ=+，[0θ∈，2]π，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 解：由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确；()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=+=+，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<，∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得极大值，为1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为2，即D 错误．故选：AC ． 三、填空题 13. 设随机变量()2,N ξμσ，且()()310.2P P ξξ<-=>=，则()11P ξ-<<=______.0.3.本题首先可根据()()31P P ξξ<-=>得出1μ=-，然后根据正态分布的对称性即可得出结果. 因为()2,N ξμσ，且()()310.2P P ξξ<-=>=，所以1μ=-，()110.50.20.3P ξ-<<=-=， 故答案为：0.3.14. 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有______种 150每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，当5名学生分成3，1，1时，根据分类计数原理得到结果． 当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有2235331902C C A =种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有3135231602C C A =种结果，∴根据分类计数原理知共有9060150+=种.故答案为：150．15. 已知0a >，1a ≠，若函数()()2log a f x ax x =-在[]3,4是增函数，则a 的取值范围是______．()1,+∞对参数a 分类讨论，结合对数函数单调性和二次函数单调性，即可列出不等式求得结果，注意函数定义域即可.当1a >时，log a y x =是单调增函数，要满足题意， 则有：2t ax x =-在[]3,4是单调增函数，且其最小值大于零.故132a≤且930a ， 解得13a >，又1a >，故此时()1,a ∈+∞；当01a <<时，log a y x =是单调减函数，要满足题意， 则须：2t ax x =-在[]3,4是单调减函数，且其最小值大于零. 故142a≥，且1640a ->， 不等式无解.综上所述，()1,a ∈+∞. 故答案为：()1,+∞.16. 设m ，n R ∈，那么22()()n m m e n e -+-的最小值是__________． 2由题意，令ln n t =，原式可化为22()(ln )m m t e t -+-，其几何意义是动点(,)m m e 和(,ln )t t 的距离的平方，分别曲解曲线x y e =和曲线ln y x =上的切线方程，根据两平行线之间的距离公式，即可求解．由题意，令ln n t =，原式可化为22()(ln )m m t e t -+-，其几何意义是动点(,)m m e 和(,ln )t t 的距离的平方，又曲线x y e =与曲线ln y x =关于直线y x =对称，过曲线x y e =上的点且平行于直线y x =的切线为1y x =+，过曲线ln y x =上的点且平行于直线y x =的切线为1y x =-，则两切，故22()()n m m e n e -+-的最小值是2. 四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2c f C ==，向量(1,)m a =与向量(2,)n b =共线，求,a b 的值．（1）,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b ==.（1）应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得增区间；（2）由()2f C =求得C ，再由向量共线得,a b 关系同，然后由余弦定理可得,a b 值．（1）∵函数21()cos sin ,2f x x x x x R =++∈，12cos 21sin(2)126f x x x x π∴-+=-+（） 令222,,26263k x k k -x k πππππππππ-≤-≤+≤≤+解得所以函数的单调递增区间为,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （开闭区间都可以） （2）C =sin(2)126f C π-+=（），sin(2)16C π-=，∵110,2,266662C C C ππππππ<<∴-<-=-=，解得3C π= ∵向量(1,),(2,)m a n b ==共线，∴2b a =①由余弦定理，得222222cos,33c a b ab a b ab π=+-∴+-=，②由①②得1,2a b ==．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，(6,0),(1,3)A C ，点M满足12OM OA =，点P 在线段BC 上运动（包括端点）.（1）求OCM ∠的余弦值；（2）是否存在实数λ，使()OA OP CM λ-⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由. （17；（2）12(,12][,)7λ∈-∞-+∞．（1）由题意求得(2,3),(1,3)CM CO =-=- ，再根据cos cos ,||||CO CMOCM CO CM CO CM ⋅∠=<>=，运算即求得结果；（2）设(3)P t ，其中15t ≤≤，由()OA OP CM λ-⊥ ，得=0()OA OP CM λ-⋅ ，可得(23)12t λ=﹣．再根据33[1,)(,5]22t ∈，求得实数λ的取值范围：．（1）由题意可得1(6,0),(1,3),(3,0)2OM OA OC OA ====，(2,3),(1,3)CM CO =-=-，故7cos cos ,=||||CO CM OCM CO CM CO CM ⋅∠=<>=； （2）设(3)P t ，其中15,(3)t OP t λλλ≤≤=，(6,3),(2,3)OA OP t CM λλλ-=--=，若()OA OP CM λ-⊥ ，则=0()OA OP CM λ-⋅ ，即12230t λλ-+=，可得(23)12t λ=﹣， 若32t =，则λ不存在，若32t ≠，则1233=,[1,)(,5]2322t t λ∈-， 故12(,12][,)7λ∈-∞-+∞.19. 我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“321++”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[)15,45称为中青年，年龄在[)45,75称为中老年），并把调查结果制成下表：（1）请根据上表完成下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A ：“恰有一人年龄在[)45,55”发生的概率.（1）填表见解析；有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（2）47. （1）根据调查结果填写列联表即可（其中频数指各年龄段调查人数），利用卡方检验公式求卡方值，并与参考表的值比较即可确定是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关；（2）由分层抽样概念知8人中年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人，结合古典概型的概率公式求概率即可； 解：（1）依题意，22⨯列联表如图所示，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人.从8人中抽取2人的方法有2828C =种，其中恰有一人年龄在[)45,55被抽中的方法有114416C C ⨯=种.所以()164287P A ==. 20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，13a = ，且对任意*n N ∈ ，2n a 为213n a ++ 和1的等比中项，数列{}n b 满足()2*1n n b a n N =-∈.（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 通项公式；（2）若2log n n c b =，{}n c 的前n 项和为n T ，求使n T 不小于360的n 的最小值.（1）证明见解析，n a =；（2）18.（1）根据等比中项的定义列方程并化简，从而判断{}n b 为等比数列，写出{}n b 的通项公式，由此求得数列{}n a 的通项公式；（2）写出数列{}n c 的通项公式与前n 项和公式n T ，计算n T 不小于360时n 的取值范围，从而求得n 的最小值．（1）证明：对任意*n N ∈，2n a 都为213n a ++和1的等比中项， 所以221(2)(3)1n n a a +=+⨯，即221(2)(3)1n n a a +=+⨯，也即22143+=-n n a a ；所以222211431444(1)n n n n a a a a +-=--=-=-，因为21=-n n b a ，所以14n n b b +=，所以数列{}n b 成等比数列，首项为21118=-=b a ，公比为4，所以122211·4822n n n n b b --+==⨯=； 所以22112+-=n n a ，又{}n a 为正项数列，所以n a =（2）解：由2122log log 221n n n c b n +===+， 所以12(211)(221)(21)n n T c c c n =++⋯+=⨯++⨯++⋯++2(123)n n =+++⋯++(1)22n n n +=⨯+ 22n n =+；由n T 不小于360，即22360n T n n =+，即223600n n +-， 也即(20)(18)0n n +-，解得18n 或20n -（不合题意，舍去）； 所以n T 不小于360的n 的最小值为1821. 为了解某地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.751r≤≤，则认为y与x线性相关性很强；0.30.75x≤≤，则认为y与x线性相关性一般，0.25r≤，则认为y与x线性相关性较弱）（2）求y与x的线性回归方程，并预测该地区2019年足球特色学校的个数（精确到个位）参考公式：()()ni ix x y yr--=∑()()2211,10, 3.6056n ni ii ix x y y==-=-=≈∑∑；()()()121,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑（1）3.63.6056r=；y与x的线性相关性很强；（2）线性回归方程y=0.36x-724.76，预测A地区2019年特色学校208个（1）求出,x y，代入公式计算即可；（2）根据公式求出回归方程，根据回归方程计算预测结果.解：（1）2016521120.30.61 1.4 1.72016,155x y⨯--++++++====，()()3.60.753.6056ni ix x y yr--===>∑所以y与x线性相关很强；（2）5151()()(2)(0.7)(1)(0.4)10.420.70.3641014()iii i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑，120160.36724.76a y bx =-=-⨯=-， y 关于x 的线性回归方程y =0.36x -724.76， 当x =2019时，y =2.08，即A 地区2019年特色学校208个. 22. 已知函数2()8ln ().f x x x a x a R =-+∈（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有21111ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围．（Ⅰ）6a =，1x =为极大值点（Ⅱ）1t ≤-.（Ⅰ）求出函数的导数，求出a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为111x x -[2lnx 1211(1)t x x -+]＞0，根据0＜x 1＜1时，111x x -＞0.1＜x 1＜2时，111x x -＜0．即h （x ）＝2lnx 2(1)t x x-+（0＜x ＜2），通过讨论t 的范围求出函数的单调性，从而确定t 的范围即可．（Ⅰ）()228(0)x x af x x x-+=>'，()10f '=，则6a = 从而()()()213(0)x x f x x x--=>'，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以1x =为极大值点. （Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，有两个极值点1x ，212()x x x <，则()2280t x x x a =-+=在()0,+∞上有两个不等的正实根，所以08a <<，由12121242x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩可得()1110224x a x x <<⎧⎨=-⎩从而问题转化为在102x <<，且11x ≠时()21111ln 431a x t x x x >+--成立. 即证()()111211124ln 431x x x t x x x ->+--成立.即证()11112ln 11x x t x x >+- 即证()11112ln 101x xt x x -+>- 亦即证 ()21111112ln 01t x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦. ①令()()212ln (02)t x h x x x x-=+<<则()222(02)txx th x x x++<<'= 1)当0t ≥时，()0h x '>，则()h x 在()0,2上为增函数且()10h =，①式在()1,2上不成立. 2)当0t <时，244t ∆=-若0∆≤，即1t ≤-时，()0h x '≤，所以()h x 在()0,2上为减函数且()10h =，111x x -、()211112ln t x x x -+在区间()0,1及()1,2上同号，故①式成立. 若0∆>，即10t -<<时，22y tx x t =++的对称轴11x t =->，令1min ,2a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则1x a <<时，()0h x >，不合题意.综上可知：1t ≤-满足题意.。
辽宁省重点六校协作体2020-2021学年高三上学期期中考试数学(理)试题
辽宁省重点六校协作体2020-2021学年高三上学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合,M N I ⊂，若M N N ⋂=，则（ ） A ．I I C M C N ⊇ B ．I M C N ⊆C ．I I C M C N ⊆D ．I M C N ⊇2．不等式1021x x +≤-的解集为（ ） A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．][1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭3．ππππcossin cos sin 12121212⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12D ．24．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且向量a ，b 的夹角为4π，若a b λ-与b 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．12-B ．12C ．4-D 5．设0x >，y R ∈，则“x y >”是“ln ln x y >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知在等差数列{}n a 中，918,S =240,n S =()4309,n a n -=>则项数n 为()A ．10B ．14C ．17D ．157．若函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数2()4sin()sin cos(22)3f x x x x πωωπω=-+-在区间3[,]22ππ-上单调递增，则正数ω的最大值为（ ） A ．18B ．16C ．14D ．139．已知函数()()()3,0,{2,0,log x x f x f x x -<=--≥则()2017f =（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．32log10．已知实数x 、y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为A ．94B ．272C ．9D ．27411．已知过点(0,1)-与曲线323()6(0)2a f x x x x x =-+->相切的直线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．(0,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,0)-∞12．定义在R 上的奇函数f (x )满足条件(1)(1)f x f x +=-，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若函数g (x )＝()f x －a e －在区间2018,[]2018-上有4 032个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(0，1) B ．(e ，e 3) C ．(e ，e 2) D ．(1，e 3)二、填空题13．已知ABC 中，c =1a =，cos cos a B b A =，则ABC 面积为______14．已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．15．已知2x >，求()122f x x x =+-的最小值__________． 16．已知数列223211,12,122,1222,,1222n -++++++++++，其前n 项和1024n S >，则n 的最小值是________.三、解答题17．已知()2sin(2)cos26f x x a x π=++（a R ∈），其图象在3x π=取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当(0,)3πα∈，且6()5f α=，求sin 2α值．18．设函数()344f x ax x =-+过点()3,1P（1）求函数() f x 的单调区间和极值；（2）求函数() f x 在[1,3]-上的最大值和最小值.19．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos c C ⋅是cos a B ⋅与cos b A ⋅的等差中项． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2c =，求ABC ∆周长的最大值．20．已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 满足：111a b ==，22a b =，3321a b -=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21．已知函数()42ln af x ax x x=--. （1）当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围； （3）设函数6()eg x x=,若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.23．已知函数()21f x x x a =---，a R ∈. (1)当1a =时，解不等式()1f x <；(2)当()1,0x ∈-时，()1f x >有解，求a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】作出韦恩图，根据图形判断结论． 【详解】∵M ∩N=N ，∴N ⊆M ，若把I 看作全集，作出韦恩图如图所示： ∴N 的补集包含M 的补集， 故选C ．【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查韦恩图的应用，属于基础题． 2．A 【分析】根据分式不等式解法，化为一元二次不等式，进而通过穿根法得到不等式解集． 【详解】 不等式1021x x +≤-可化简为()()1210x x +-≤ 且12x ≠根据零点和穿根法，该分式不等式的解集为112x -≤<所以选A 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，切记不能直接去分母解不等式，属于基础题． 3．D 【分析】利用余弦差的公式进行合并即可． 【详解】22πππππππcos sin cos sin cos sin cos 12121212121262⎛⎫⎛⎫-+=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 【点睛】本题属于基础题，考查三角特殊值的余弦公式的计算． 4．D 【分析】根据a b λ-与b 垂直得到（a b λ-）·b =0，再利用向量数量积的运算法则化简即得解. 【详解】根据a b λ-与b 垂直得到（a b λ-）·b =0，所以20,12cos 40,44a b b πλλλ⋅-=∴⨯⨯-=∴=. 故答案为D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 5．B 【分析】ln ln x y >等价于0x y >>,与0x >且x y >比较，根据两种条件下对应的集合关系，利用“谁的范围小谁充分，谁的范围大谁必要”原则，可得答案. 【详解】ln ln x y >等价于0x y >>，其所构成的集合{}(,)0A x y x y =>0x >，y R ∈且x y >所构成的集合{}(,),0B x y x y x =>，A B ⊆且BA∴“x y >”是“ln ln x y >”的必要而不充分条件故选B. 【点睛】本题考查充要条件的判断，运用集合关系判断充要条件的方法是解题关键.6．D 【分析】由等差数列的性质和题意可得a 5＝2，故a 5+a n ﹣4＝32，而S n ()()15422n n n a a n a a -++===240，代入可得答案． 【详解】由等差数列的性质可得S 9()19599222a a a +⨯===18， 解得a 5＝2，故a 5+a n ﹣4＝32， 而S n ()()15422n n n a a n a a -++===16n ＝240，解得n ＝15，故选D ． 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，利用性质整体代入是解决问题的关键，属于基础题． 7．C 【分析】由函数()xxf x a a-=-在R 上为减函数，可知01a << ，判断函数log (||1)a y x =-的定义域和单调性即可得解 【详解】由函数()xxf x a a-=-在R 上为减函数，可知01a <<函数log (||1)a y x =-的定义域为{|1x x >或1}x <-，故排除A ，B又log (1),1log (1)log (1),1a aa x x y x x x ->⎧=-=⎨--<-⎩，可知log (||1)a y x =-在(1,)+∞单调递减，故排除D 故选：C 【点睛】本题考查了具体函数的图像判断，考查了学生综合分析，数形结合，分类讨论的能力，属于中档题. 8．B【分析】由()()24sin sin cos 223f x x x x πωωπω⎛⎫=-+-⎪⎝⎭21x ω=+在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，利用正弦函数的单调性能求出正数ω的最大值． 【详解】因为22()4sin cos cos sin sin cos 233f x x x x x ππωωωω⎛⎫=-+⎪⎝⎭2cos 2sin cos 2x x x x ωωωω=++1cos 222cos 22xx x ωωω-=+⋅+21x ω=+.由函数()y f x =在区间33,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增知，所以332222Tπππω⎛⎫--≤= ⎪⎝⎭，即32ππω≤，结合0>ω，可得106ω<≤.所以正数ω的最大值为16，故选B. 【点睛】本题考查三角函数中参数值的最大正值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角的正弦公式、正弦函数单调性的合理运用． 9．B 【分析】本题可以对分段函数进行分开讨论，0x ≥时，函数是一个周期函数，0x <时，函数是对数函数． 【详解】当0x ≥时，()()2f x f x =--，即有()()24f x f x -=--， 两式合并，可得()()()4f x f x f x =-，是周期为4的函数， 既()()()2017120161f f f =+=，()()()1121f f f =--=-- 当0x <时，()()3f x log x =-，既()()3110f log -== 综上所述，()()201710f f =--=． 【点睛】若函数满足()()f x f x a =--，则函数为周期函数，周期为2a ． 10．D 【分析】首先画出不等式所表示的平面区域，其面积转化为三角形面积的计算． 【详解】满足约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩表示的可行域如图所示：可知其平面区域表示一个三角形（阴影部分），其面积为132733224S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.故选D ． 【点睛】在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定界，点定域”的方法来表示平面区域，即先作直线Ax By C 0++=，再在它将平面分成的两个区域中任一个区域内选取一个点的坐标，将它代入直线Ax By C 0++=，确定它的符号，从而确定一元二次不等式所示的平面区域，在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线经过原点，则取（1，0）即可，这样能简化运算过程． 11．A 【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，得到切线方程，代入(0,-1) ,利用方程.由两个不相同的实数解，构造函数通过函数的导数，利用函数的极值转化求解即可. 【详解】由曲线323()6(0)2a f x x x x x =-+->，可设切点坐标为()323,602a t t t t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，且2()336f x x ax '=-+-，即切线的斜率2336k t at =-+-可得切线方程为()()322363362a y t t t t at x t =-+-+-+--， 又因为切线过点(0,1)-，即()()3223163362a t t t t at t -=-+-+-+--，整理得324320t at -+=题中相切的直线有且仅有两条等价于方程324320t at -+=由两个不相同的正实数解； 令()32432h t t at =-+，即函数有两个正的零点因()21260h t t at '=-=，可解得0,2a t t ==又()3102;2024a h h a ⎛⎫==-+<⎪⎝⎭，可得2a > 所以实数a 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A 【点睛】本题考查由转化思想将曲线的切线条数转化为方程的根进而转化为函数的零点问题处理，还考查了利用导数求曲线的切线方程，属于较难题. 12．B 【分析】根据满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数，可周期为4，当[0,1]x ∈时，()f x x =，根据()()m x f x =与()xn x ae -=图像，判断在一个周期内的焦点情况即可求解．【详解】因为()f x 满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数， 函数()(2)()f x f x f x =-=--，∴()f x 周期为4， ∵当[0,1]x ∈时，()f x x =，作()()m x f x =与()xn x ae -=图像，函数()()xg x f x ae-=-在区间2018,[]2018-上有4032个零点，即()()m x f x =与()xn x ae -=在[0,4]且仅有两个交点，∴(1)(1)(3)(3)m n m n <⎧⎨>⎩即3e a e <<.点睛：本题主要考查了函数的基本性质的应用及不等式的求解，周期的求解等知识点应用，其中正确合理运用函数的基本性质是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．13【分析】由已知及正弦定理可得sin （A ﹣B ）=0，结合A ，B 的范围，可求﹣π＜A ﹣B ＜π，进而求得A ﹣B=0，可得a=b=1，利用余弦定理可求cosA ，同角三角函数基本关系式可求sinA ，根据三角形面积公式即可计算得解． 【详解】 ∵acosB=bcosA ，∴由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA ，可得：sin （A ﹣B ）=0， ∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，可得：﹣π＜A ﹣B ＜π， ∴A ﹣B=0，可得：a=b=1，∴cosA=2222b c a bc+-sinA=12，∴S △ABC =12bcsinA=11122⨯【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 14．12【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题． 15．4+【分析】 化简()()11222422f x x x x x =+=-++--，利用基本不等式可得结果. 【详解】2,20x x >∴->，()()11222422f x x x x x ∴=+=-++--44≥=，当且仅当()1222x x -=-，即22x =+时取等号， ∴函数()f x 的最小值为4+,故答案为4. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.16．10 【分析】依题意数列每一项都是一个等比数列的和，进而得出数列的通项公式和前n 项和公式，进而求出n S ,根据1024n S >求出n 的范围. 【详解】由题可知，数列的每一项都是一个等比数列的和 所以数列的通项公式是()1122112n n na -==--则()23121222222212n n n nS n n n +-=+++⋅⋅⋅+-=-=---因为1024n S >，1021024=，且当9n =时，10922910111024S =--=<故10n ≥ 故答案为：10 【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，还考查了由前n 项和的大小求项数的最小值，属于简单题. 17．（1）()2sin(2)6f x x π=-；（2. 【分析】（1）先根据两角和正弦公式展开，再根据最值取法得a ，最后根据配角公式化为基本三角函数，（2）先根据条件()65f α=得3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据两角和正弦公式求sin2α值. 【详解】（1）()2sin 2cos26f x x a x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 2sin2cos 2cos2sin cos266x x a x ππ=++()1cos2x a x ++由在3x π=取得最大值，()221cos 333f a πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭∴ ()220a +=，即2a =-，经检验符合题意∴ ()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．（2）由0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 2,662πππα⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()62sin 265f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴ 3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得20,62ππα⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴ sin2sin 2+sin 22sin 666666cos cos ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯=． 【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．18．（1）增区间(,2)-∞-，(2,)+∞，减区间(2,2)-，极大值28(2)3f -=，极小值4(2)3f =-．（2）最大值233，最小值43-．【分析】（1）将点代入函数解析式即可求得a ，对函数求导，分析导函数的正负，确定单调区间及极值；（2）分析函数在此区间上的单调性，由极值、端点值确定最值. 【详解】（1）∵点()3,1P 在函数()f x 的图象上,∴()3271242781f a a =-+=-=,解得13a =,∴()31443f x x x =-+,∴()()()2'422f x x x x =-=+-,当2x <-或2x >时,()'0f x >,()f x 单调递增;当22x -<<时, 0fx,()f x 单调递减.∴当2x =-时,()f x 有极大值,且极大值为()()128288433f -=⨯-++=,当2x =时, ()f x 有极小值,且极小值为()14288433f =⨯-+=-（2）由1可得:函数()f x 在区间[)1,2-上单调递减,在区间[]2,3上单调递增.∴()min f x()423f ==-,又()12314433f -=-++=,()391241f =-+=,∴()max f x()2313f =-=【点睛】本题考查函数单调区间、极值和最值的求法，求极值与单调区间都要分析导函数的零点，但是注意导函数的零点并非一定是极值点，要结合零点两侧的单调性进行判断. 19．(1)60°；(2)6. 【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得1cos 2C =，即可求解角C 的大小； 法二：由题意，利用余弦定理化简得到2cos c c C =，即1cos 2C =，即可求解角C 的大小； （2）法一：由余弦定理及基本不等式，得4a b +≤，进而得ABC 周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得4sin(30)2a b c A ++=++，进而求解ABC 周长的最大值.详解：（1）法一：由题，cos cos 2cos a B b A c C +=， 由正弦定理，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即()sin 2sin cos A B C C +=，解得1cos 2C =，所以60C =． 法二：由题，由余弦定理得：222222cos cos 22a c b b c a a B b A c c+-+-+=+2cos c c C ==， 解得1cos 2C =，所以3C π=． （2）法一：由余弦定理及基本不等式，()222243c a b ab a b ab ==+-=+- ()()222324a b a b a b ++⎛⎫≥+-=⎪⎝⎭， 得4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故ABC 周长a b c ++的最大值为6．法二：由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ===故周长)sin sin 2a b c A B ++=++ ()sin sin 602A A ⎤=+++⎦3sin 22A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭()4sin 302A =++ ∵()0,120A ∈，∴当60A =时，周长a b c ++的最大值为6．法三：如图，延长BC 至D 使得CD AC =，则030CAD ADC ∠=∠=，于是，在ABD 中，由正弦定理：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，即()24sin30sin 30a b A +==+，故周长()4sin 302a b c A ++==++，∵()0,120A ∈，∴当60A =时，周长a b c ++的最大值为6．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20．（1）1n n a b ==或21n a n =-，13n n b -=（2）n S n =或(1)31nn S n =-⨯+【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式将所有已知化为首项与公差和公比的方程，解方程组求得基本量，即可求得答案； （2）由错位相减法求数列的前n 项和.（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 由已知可得212(12)1d qd q +=⎧⎨+-=⎩，解得01d q =⎧⎨=⎩或23d q =⎧⎨=⎩. 从而1n n a b ==或21n a n =-，13n n b -=.（2）①当1n n a b ==时，1n c =，所以n S n =；②当21n a n =-，13n n b -=时，1(21)3n n c n -=-⨯，2311335373(21)3n n S n -=+⨯+⨯+⨯++-⨯， 23433335373(21)3n n S n =+⨯+⨯+⨯++-⨯，从而有231(13)123232323(21)3n n n S n --=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯2112(333(21)3n n n -=++++--⨯13(13)12(21)32(1)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--，故(1)31nn S n =-⨯+.综合①②，得n S n =或(1)31nn S n =-⨯+.【点睛】本题考查等差数列等比数列的基本量求通项公式，还考查了错位相减法求和，属于简单题. 21．(1) 3y x = (2) 1[,)2+∞（3）28(,)41ee +∞-【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出f′（1），f （1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a 的具体范围；（3）构造函数ϕ（x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，e]，只需ϕ（x ）max ＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x ）max ，从而求出a 的范围．（1）解: 当1a =时,()142ln f x x x x =--,()1412ln13f =--=, ()212'4f x x x=+-, 曲线()f x 在点()()1,1f 处的斜率为()'13f =, 故曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x -=-,即3y x =（2）解: ()222242'4a ax x a f x a x x x-+=+-=. 令()242h x ax x a =-+,要使()f x 在定义域()0,+∞内是增函数,只需()h x ≥0在区间()0,+∞内恒成立. 依题意0a >,此时()242h x ax x a =-+的图象为开口向上的抛物线,()211444h x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其对称轴方程为()10,4x a =∈+∞,()min 14h x a a =-,则只需14a a -≥0,即a ≥12时,()h x ≥0,()'f x ≥0,所以()f x 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）解: 构造函数()()()x f x g x φ=-,[]1,x e ∈,依题意()max 0x φ>, 由（2）可知a ≥12时,()()()x f x g x φ=-为单调递增函数, 即()1642ln e x a x x x x φ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,e 上单调递增, ()()max 1480x e a e eφφ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭,则2288214142e e a e e e >>=>-, 此时,()()()0e f e g e φ=->,即()()f e g e >成立. 当a ≤2841e e -时,因为[]1,x e ∈,140x x->, 故当x 值取定后,()x φ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则()x φ≤281642ln 41e e x x e x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭,[]1,x e ∈, 故()x φ≤281642ln 041e ee e e e e⎛⎫---= ⎪-⎝⎭,即()f x ≤()g x ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是28,41e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．（1）2(2x y ααα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩是参数）. （2）11,(3,4). 【解析】试题分析：（1）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到圆C 的直角坐标方程，从而可得圆C 的一个参数方程；（2）由（1）可设点(2,2)P ϕϕ++，借助辅助角公式即可得2x y +，从而可得2x y +的最大值及点P 的直角坐标.试题解析：(1)因为24(cos sin )3ρρθθ=+-，所以22+4430x y x y --+=，即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为2(2x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由(1)可知点P的坐标可设为(2,2)ϕϕ，则224x y ϕϕ+=+++65sin()6ϕϕϕα=++=++其中cos ,sin 55αα==，当2x y +取最大值时，sin()1ϕα+=，2,2k k Z πϕαπ+=+∈，此时cos cos()sin 25πϕαα=-==，sin sin()cos 2πϕαα=-==所以2x y +的最大值为11，此时点P 的直角坐标为()3,4.23．（1）()1f x <的解集为{}11x x -<< （2）a 的取值范围为[]3,1-【详解】分析：(1)将1a =代入函数解析式，里用零点分段法，将函数解析式中的绝对值符号去掉，分段讨论，求得结果；（2）问题转化为min (3)a x >且max ()a x <-，根据函数的单调性求出a 的范围即可.详解：（1）当1a =时，()211f x x x =--- 1,2132,12,1x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩，当12x ≤时，11x x -<⇔>-，∴112x -<≤； 当112x <≤时，3211x x -<⇔<，∴112x <<； 当1x >时，1x <，无解； 综上，不等式()1f x <的解集为{|11}x x -<<.（2）当()1,0x ∈-时，()1f x >有解2x a x ⇔-<-有解22x x a x ⇔<-<-有解3x a x ⇔<<-有解，∵33x >-，1x -<，∴31a -<<.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的过程中，第一问应用零点分段法，将其转化为多个不等式组求得结果；第二问将不等式有解问题向最值靠拢，即可求得结果.。
辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高三上学期期中考试试题
D
本题先对 求导，然后设曲线C上任意一点P坐标为 ，则曲线C在点 处 切线斜率为 ，代入 ，计算出 的取值范围，即可得到 的取值范围，从而可得倾斜角 的取值范围，得到正确选项．
解：由题意可知， ，
曲线C在点 处的切线斜率为 ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，
∴ ，即 ，∴ ．故选：D．
设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，
因此 ，
所以 ，
所以数列 的前50项的和为
.
故答案为： .
15.已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，又当 时， ，则 的值等于______.
由题可知函数的周期为2，结合奇函数性质可得 ，代入解析式即可求解.
， 是周期为2的函数，
， ，
是定义在 上的奇函数，
不等式 恒成立的条件是 ， ，故A不正确；
当a为负数时，不等式 成立.故B正确；
由基本不等式可知C正确；
对于 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故D正确.故选：BCD.
10.函数 在一个周期内的图象如图所示,则( )
A. 该函数的解析式为
B. 该函数的对称中心为
C. 该函数的单调递增区间是
D. 把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,可得到该函数图象
（1） ； （2）
（1）利用 求得数列 的通项公式.由 求得 ，由此求出数列 的公比，进而求得数列 的通项公式.
（2）先判断出 ，结合等差数列前 项和公式以及等比数列前 项和公式，求得 的前20项和.
（1）∵ ，
∴当 且 时 .
又 也符合上式，∴ .
∵ ， ，
∴等比数列 的公比为2，
辽宁省六校协作体2020年上学期高三数学第一次联考试卷答案
又 ，
所以事件 的概率估计为 ．。。。。。。。6分
（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为 ， ，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为 ，
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，
故利润估计为 元．
（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，
辽宁省六校协作体2020年上学期高三数学第一次联考试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1-8: A BCC DBDB
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9：AB；10：BD ；11：BD；12：AC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.0.414.－280
cos(2α－ )＝－ cos 2α＋ sin 2α＝－ .。。。。。。。10分
18.解：（1） ，所以 ，
所以 ，检验，此时 ， ，
所以 ， 为偶函数；。。。。。。。4分
（2） ，令 ，所以，
设 在 上有最小值，所以 ，m<0；。。。。8分
（3） ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ．
（1） 即m≥0，解集为R；
因为
递增， 的值域为
（i）当 时， 在 上单调递增，
又 ，
所以 在[1,e]上的值域为 ,
所以
即 ，
（ii）当 时，因为 时， 递减， 时， 递增，且 ，
所以只需
即 ，所以
（iii）当 时，因为 在 上单调递减，且 ，
所以不合题意.
综合以上，实数 的取值范围是 .。。。。。12
所以函数的单调递减区间为[ ]（k∈Z）．。。。。6分
辽宁省辽西联合校2021届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
2020～2021学年度上学期辽西联合校高三期中考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
3.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语与不等式、函数与导数、三角函数、解三角形、数列、平面向量与复数。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A－{x|1<≤2)，B＝{x|x>－2}，则A∪B＝A.(－2，－1)B.(－2，－1]C.(－4，＋∞)D.[－4，＋∞)2.设复数31ii-+，则z＝A.－1＋2iB.－1－2iC.1＋2iD.1－2i3.已知a>0，则m＝a＋4a的最小值为A.2B.3C.4D.54.已知数列{a n}是公比大于1的等比数列，若a2a4＝16，a1＋a5＝17，则a1＋a2＋…＋a8＝A.34B.255C.240D.5115.已知sin(π＋α)＝35，则sin()cos()sin()2απαπα---＝A.－45B.45C.－35D.356.直线l：y＝x＋m与圆x2＋y2＝2相交于A、B两点，O为坐标原点，则“mOAB为正三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则f(x)＝A.sin(πx ＋6π) B.sin(πx ＋3π) C.sin(πx －6π) D.sin(πx －3π) 8.已知函数f(x)＝231x x +，则不等式f(log ，x1)≤f(3)的解集为A.[4，＋∞) B(12，4) C.[18，16] D[14，16] 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学(理)试卷(有答案)
辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合2{}230{|24}A x x x B x x =-->=<<，，则()U C A B = （ ） A ．[1,4]- B ．[1,4)-C ．[2,3)D ． (2,3]2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”3. 若22)4sin(2cos -=-παα，则cos sin αα+的值为（ ）A ．12 B ．12- C． D ．4. 已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且＝（ ）A ．－3B ． 1C ．－1D ．35. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为（ ） A ．3π B. 6π C. 2πD. 23π6. ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1= B ．⊥ C ． 1a b ⋅= D ．()4C a b +⊥B7.若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ）(),()f x g x 32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8 8.等差数列333log (2),log (3),log (42),x x x +的第四项为( )A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249.已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=， 若(1)2,f =则20191()i f i ==∑( )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m11. 设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>,已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,有下述四个结论：①()f x 在(0,2)π恰好有3次取到最大值 ②()f x 在(0,2)π恰好有2次取到最小值③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[,)510其中所有正确结论．．．．．．的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③12. 已知函数有两个零点，，，则下面说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 有极小值点，且二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13. 函数lg 10x y =的值域是_________.14.若向量(1,2),(1,1),a b ==- 则2a b +与a 夹角的正弦值等于________. 15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______. 16. 如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠ 的平分线，且1,2AB AD AC ===. 则BDDC的值为_______， ABC ∆的面积为_______________.（本题第一空2分，第二空3分．）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数f (x )在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.18.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．19.（本小题满分12分）辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 满足1,211==b a ，且1111434(2)434n n n n n n a a b n b a b ----=++⎧≥⎨=++⎩（1）令,,n n n n n n c a b d a b =+=-证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；)（2）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．21.（本小题满分12分）已知函数x ax ax x f ln 221)(2+-=有两个极值点1x 、2x ，且2121>⋅x x ． （1）求实数a 的取值范围M ； （2）若]2,221[0+∈∃x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀ 恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=． （1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点， 求22||||||OM OM ON +的最大值．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设0,0,0a b c >>>，1ab bc ca ++=． （1）求证：111a b c bc ca ab a b c++≥++．（2）求证：a b c ++≥．数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13、 (0,)+∞ 14、10 15、 23 16、1,12三、解答题17. 解：（1），…………（3分）因为，所以最小正周期，…………（5分）令，所以对称轴方程为，.…………（6分）（2）令，得，，…………（8分） 设，{|,}36B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知，…………（10分）所以，当时，在区间上单调递增； 在区间上单调递减. …………（12分）18. （1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． ()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1cos 2cos 22sin 226x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭2ω=2Tππω==2=62x k πππ++62k x ππ=+k Z ∈222262k x k πππππ-+≤+≤+36k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,46AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此60B ︒=．…………（4分）（2）由正弦定理，2sin sin sin a c b A C B ===，所以2sin ,2sin a A c C == ， ABC ∆的面积11sin 2sin 2sin 22S ac B A C ==⋅⋅sin A C=2sin()3A A π=-213sin )sin cos 22A A A A A A =+=+31cos2sin 242A A -=+)6A π=-…………（8分） 因为ABC ∆为锐角三角形，所以022032A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，因此62A ππ<<.…………（10分） 所以52666A πππ<-<，1sin(2)126A π<-≤S <≤， 因此ABC ∆的面积的取值范围是. …………（12分）19. 解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………（2分） 这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=…………（4分）（2）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140）的人数为0.210020⨯=人，…………（6分） X 可取0,1,2，021********(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===，X 的分布列…………（10分） ∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=．…………（12分）（注：或用超几何分布的期望公式计算：这里X 服从参数为30,10,2N M n ===的超几何分布，因此102()2.303M E X n N =⋅=⨯=） 20.（1）证明：由题设得114()4()8n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，因此12(2)n n c c n --=≥，又1113c a b =+=， 所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列. …………（2分） 又由题设得114()2()n n n n a b a b ---=-， 即112()n n n n a b a b ---=-，因此11(2)2n n d d n -=≥，又1111d a b =-=， 所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列. …………（4分） (2)由（1）知1121,().2n n n c n d -=+=即1211()2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),().2222n n n na nb n =++=+-…………（6分） （3）2211()()(21)().2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+0221111113()57()(21)()(21)()22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅23111111135()7()(21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ 2311211111132[()()()](21)()22222211[1()]12232(21)()1212115()(21)()22n nn n nn nS n n n ---=+⨯++++-+⋅⨯-=+⨯-+⋅-=--+⋅两式相减得， 所以1110(25)()2n n S n -=-+⋅.…………（12分）21. 解：（1）)0(1212)(2>+-=+-='x xax ax x a ax x f ， ………………（2分）0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>+>-=∆≠210044021212x x x x a a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>>-≠2110204402a a a a ， ………………（4分）解得a 的取值范围)2,1(=M ． ………………（6分）（2）由0122=+-ax ax ，解得aaa a x a a a a x -+=--=2221,，而)(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增 ∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ．∴)(x f 在]2,221[+上单调递增， ∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(max +-==a f x f ． ………………（7分） ∴“]2,221[0+∈∃x ，使2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a b a a 恒成立”，即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+b a ba a 对任意的a （21<<a ）恒成立． ………………（8分） 令12ln )1ln()(2+-+--+=b a ba a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a aba ba ba a a g ． ①当0≥b 时，0122)(2<+---='a aba ba a g ，)(a g 在)2,1(上递减．0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0<b 时，1)211(2)(+++-='a b a ba a g ，∵21<<a ，若1)211(>+-b，即041<<-b 时，则)(a g 在)2,1(上先递减，∵0)1(=g ，∴21<<a 时，0)(>a g 不能恒成立；若1)211(≤+-b ，即41-≤b 时，则)(a g 在)2,1(上单调递增， ∴>)(a g 0)1(=g 恒成立，∴b 的取值范围为]41,(--∞． ………………（12分）22. 解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=，所以l 极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ． 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．…………（5分）（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin 2)14OM OM ON αααα+=-=-+．因为ππ2α<<，当7π8α=时，所以22||||||OM OM ON +1．…………（10分）23. 证明：（1）因为2a b bc ca c +≥=，同理2b c ca ab a +≥，2a c bc ab b +≥， 所以111a b c bc ca ab a b c++≥++． …………（5分） （2）由（1）得222a b c ab bc ca ++≥++．因为1ab bc ca ++=， 所以2221a b c ++≥．因为2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++．所以2()3a b c ++≥，即a b c ++≥． …………（10分）。
2019-2020学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷2（含答案解析）
2019-2020学年辽宁省六校协作体⾼三（上）期中数学试卷2（含答案解析）2019-2020学年辽宁省六校协作体⾼三（上）期中数学试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|2x 2?3x ?2=0}，集合B ={x|x >1}，则A ∩(?U B)=( )A. {2}B. {x|x ≤1}C. {?12}D. {x|x ≤1或x =2}2. 袋内分别有红、⽩、⿊球3，2，1个，从中任取2个，则互斥⽽不对⽴的两个事件是( )A. ⾄少有⼀个⽩球；都是⽩球B. ⾄少有⼀个⽩球；⾄少有⼀个红球C. 恰有⼀个⽩球；⼀个⽩球⼀个⿊球D. ⾄少有⼀个⽩球；红、⿊球各⼀个3. 若cos2αsin(α?π4)=?√22，则sinα+cosα的值为_______ ．A. ?√72B. ?12 C. 12D. √724. 已知定义在上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满⾜：g (2)=a ，f (x )+g (x )=a x ?a ?x +2(a >0，且a ≠1)，则f (2)=( )A. 2B. 154 C. 174 D. a 25. 在△ABC 中，若bsinA =acosB ，则⾓B 的值为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45° 6. 在△ABC 中，AB ⊥AC ，CD =(√2?1)BC ，AC ????? ?AD =4√2，则|AC |= A. 1 B. √2 C. 2 D. 2√2 7. 已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，⽅差是2，则xy 的值为( )A. 88B. 96C. 108D. 110 8. 若lg2,lg(x ?1),lg(x +3)成等差数列，则x 的值等于( )A. 0B. 5C. ?1D. 5或?19. 已知函数f(x)满⾜：f (1)=14，4f(x)f(y)=f(x +y)+f(x ?y)(x,y ∈R)，则f(2010)=_________A. 18B. 14C. 12D. 110. 如图，在湖⾯上⾼为10m 处测得天空中⼀朵云的仰⾓为30°，测得湖中之影的俯⾓为45°，则云距湖⾯的⾼度为(精确到0.1m)( )A. 2.7mB. 17.3mC. 37.3mD. 373m11.函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间(π6,π2)上有唯⼀极⼤值点，则ω的取值范围是()A. (1,3)∪(5,9]B. (1,3)∪[9,12]C. (3,12]D. (5,9]12.已知函数f(x)=e?x?|lnx|的两个零点分别为x1，x2，则()A. 0B. x1x2=1C. 1D. x1x2>e⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.函数y=log2x的定义域是[1,64)，则值域是______14.设向量a?与b? 的夹⾓为θ，a?=(3,3)，2b? ?a?=(?1,1)，则cosθ=______．15.已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，当事件A，B相互独⽴时，P(A∪B)=________，P(A|B)=________．16.在△ABC中，∠B=π6，AC=√5，D是AB边上⼀点，CD=2，△ACD 的⾯积为2，∠ACD为锐⾓，则BC=______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.已知函数f(x)=sin(2x?π6)?2cos2x.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当f(x)在[0,π2]上的值域．18.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x?1．(1)求f(x)的最⼤值及取得最⼤值时x的集合；(2)若锐⾓三⾓形ABC的三个内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，b=√6，求△ABC的⾯积．19.某校100位学⽣期中考试语⽂成绩的频率分布直⽅图如图所⽰，其中成绩分组区间是：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x：：y1：12：13：44：5a(2)根据频率分布直⽅图，估计这100名学⽣语⽂成绩的中位数；(3)若这100名学⽣的语⽂成绩某些分数段的⼈数x与数学成绩相应分数段的⼈数y之⽐如下表所⽰，求数学成绩在[50,90)之外的⼈数．(分数可以不为整数)20.数列{a n}满⾜a n+1?a n=2，a1=2，等⽐数列{b n}满⾜b1=a1，b4=a8．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．21.已知函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平⾏于直线6x+2y+5=0，求函数f(x)的解析式．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知曲线C的参数⽅程为{x=1 2 ty=3?t(t为参数)，在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D的极坐标⽅程为ρ(1+sinθ)=2.求曲线C的普通⽅程与曲线D 的直⾓坐标⽅程。
2019-2020学年辽宁省六校协作体高三(上)期中数学试卷试题及答案(理科)
2019-2020学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合2{|230}A x x x =-->，{|24}B x x =<<，则()(U A B =ð )A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，3)D ．(2，3]2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球” 3．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为( ) A． B ．12-C ．12D4．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(= ) A ．3-B ．1-C ．1D ．35．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为( ) A ．3πB ．6πC ．2πD ．23π 6．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是( ) A ．||1b =B ．a b ⊥C ．1a b =D ．(4)a b BC +⊥7．若样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则对于样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +，下列结论正确的是( )A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为88．等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯的第四项等于( ) A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249．已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若f （1）2=，则20191()(i f i ==∑ )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．1)mB ．1)m -C ．1)m -D ．1)m -11．设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，12x x <，则下面说法正确的是( ) A ．122x x +< B ．a e <C ．121x x >D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．函数10lgx y =的值域是 ．14．若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b +与a 夹角的正弦值等于 ． 15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ． 16．如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1,2AB AD AC ===．则BDDC的值为 ，ABC ∆的面积为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数2()2cos cos(2)13f x x x π=-+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 在[,]44ππ-上的单调性．18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =，求ABC ∆面积的取值范围．19．辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．20．已知数列{}n a 、{}n b 满足12a =，11b =，且1111434(2)434nn n n n n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩…． （1）令n n n c a b =+，n n n d a b =-，证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．21．已知函数21()22f x ax ax lnx =-+有两个极值点1x 、2x ，且1212x x >．（Ⅰ）求实数a 的取值范围M ； （Ⅱ）若0[1x ∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是tan ()2y x πααπ=<<，曲线1C 的参数方程是cos (sin x a a y a ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=． （1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于O ，M 两点，l 与2C 交于O ，N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设0a >，0b >，0c >，1ab bc ca ++=． （1）求证：111a b c bc ca ab a b c++++…．（2）求证：a b c ++．2019-2020学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合2{|230}A x x x =-->，{|24}B x x =<<，则()(U A B =ð )A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，3)D ．(2，3]【解答】解：全集U R =，集合2{|230}{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >， {|13}U A x x =-剟ð，又集合{|24}B x x =<<， 所以(){|23}(2U A B x x =<=…ð，3]．故选：D ．2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球” 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A 、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，与“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于B 、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至多有1个红球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，不是互斥事件，不符合题意； 对于C 、“恰有1个白球”即“一白一红”，与“恰有2个白球”是互斥不对立事件， 对于D 、“至多有1个白球”包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，和“都是红球”不是互斥事件，不符合题意； 故选：C ．3．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为( ) A． B ．12-C ．12D【解答】解：cos 2cos )sin()4αααπα==+=-， ∴1cos sin 2αα+=， 故选：C ．4．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(= ) A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解：由32()()1f x g x x x -=++，将所有x 替换成x -，得32()()1f x g x x x ---=-++，根据()()f x f x =-，()()g x g x -=-，得32()()1f x g x x x +=-++，再令1x =，计算得，f （1）g +（1）1=．故选：C ．5．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为( ) A ．3πB ．6πC ．2πD ．23π 【解答】解：在ABC ∆中，cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠，sin 1A ∴=， ∴由于A 为三角形内角，可得2A π=．故选：C ．6．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是( )A ．||1b =B ．a b ⊥C ．1a b =D ．(4)a b BC +⊥【解答】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，又AC AB BC =+，∴b 的方向应该为BC 的方向．所以12a AB =，b BC =， 所以||2b =，12cos1201a b =⨯⨯︒=-，4412cos1204a b =⨯⨯⨯︒=-，24b =，所以240a b b +=，即(4)0a b b +=，即(4)0a b BC +=，所以(4)a b BC +⊥；故选：D ．7．若样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则对于样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +，下列结论正确的是( )A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【解答】解：样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2， 则数据1x ，2x ，3x ，⋯，n x 的平均数是9，方差是2；所以样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +的平均数是22920+⨯=，方差为2228⨯=． 故选：D ．8．等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯的第四项等于( ) A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 24【解答】解：等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯， 333log (2)log (42)2log (3)x x x ∴++=，(4)0x x ∴-=，又20x >，4x ∴=，∴等差数列的前三项分别是3log 8，3log 12，3log 18，3333log 12log 82d log =-=， ∴第四项为333318log 2732log log +==． 故选：A ．9．已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若f （1）2=，则20191()(i f i ==∑ )A ．2019-B ．0C ．2D ．2019【解答】解：因为(1)(1)0f x f x --+=，所以函数()f x 的对称轴为1x =，又因为(1)(1)0f x f x --+-=，所以(2)()0f x f x -+=，即(2)()f x f x -=-，(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，因为(1)(1)(1)(1)f x f x f x f x --+-=--+，所以(1)(1)f x f x --=-+，所以函数()f x 关于原点对称，令1x =-，(1)(1)f x f x --=-+，所以(0)0f =，所以(0)f f =（2）f =（4）0=， f （3）(1)f f =-=-（1）2=-，所以f （1）f +（2）f +（3）f +（4）0=，因为201950443=⨯+，所以20191()i f i f ==∑（1）f +（2）f +（3）20(2)0=++-=，故选：B ．10．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．1)mB ．1)m -C ．1)m -D ．1)m -【解答】解：如图，15DAB ∠=︒， tan 45tan 30tan15tan(4530)21tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==+︒︒．在Rt ADB ∆中，又60AD =，tan1560(2120DB AD ∴=︒=⨯-=-．在Rt ADC ∆中，60DAC ∠=︒，60AD =，tan 60DC AD ∴=︒=．(1201)()BC DC DB m ∴=-=--=-．∴河流的宽度BC 等于1)m -．故选：B ．11．设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【解答】解：当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，2]5ππω+， ()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点， 5265πππωπ∴+<…，∴1229510ω<…，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+， 若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<，1229510ω<…，故③正确． 故选：D ．12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，12x x <，则下面说法正确的是( ) A ．122x x +< B ．a e <C ．121x x >D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<【解答】解：212121212()2()2()x x ln a x x lna ln x x ln x x +==+>+，取22e a =，f （2）220e a =-=，22x ∴=，(0)10f =>，101x ∴<<，122x x ∴+>，A 不正确；()x f x e ax =-，()x f x e a ∴'=-，令()0x f x e a '=->，①当0a …时，()0x f x e a '=->在x R ∈上恒成立， ()f x ∴在R 上单调递增．②当0a >时，()0x f x e a '=->，0x e a ∴->，解得x lna >，()f x ∴在(,)lna -∞单调递减，在(,)lna +∞单调递增．函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <， ()0f lna ∴<，0a >， 0lna e alna ∴-<，a e ∴>，B 不正确；(0)10f =>，101x ∴<<，121x x >不一定，C 不正确；()f x 在(,)lna -∞单调递减，在(,)lna +∞单调递增， ∴有极小值点0x lna =，且12022x x x lna +<=，D 正确．故选：D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．函数10lgx y =的值域是 (0,)+∞ ．【解答】解，依题意，函数10lgx y =的定义域为{|0}x x >， 所以10lgx y x ==，值域为(0,)+∞， 故答案为：(0,)+∞．14．若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b +与a 【解答】解：2(3,3)a b +=，(1,2)a =，设2a b +与a 的夹角为θ，则(2)cos|2|||32a b a a b a θ+===+⨯，且0θπ剟，sin θ∴===． 15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 3． 【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p ，则由题意可得3142p ⨯=，解得23p =， 故答案为：23． 16．如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1,2AB AD AC ===．则BD DC 的值为 2，ABC ∆的面积为 ．【解答】解：在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AB BDADB BAD=∠∠，在ACD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠， sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠， ∴12BD AB DC AC ==．设BAD α∠=，则11sin 2ABD S α∆=⨯=12sin 2ACD S α∆=⨯=， 112sin 22sin cos 2ABC S ααα∆=⨯⨯⨯=，∴2sin cos αα=，∴解得cos α=4πα=， 1sin sin 212ABC S AB AC BAC α∆∴=∠∠==． 故答案为：12，1．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数2()2cos cos(2)13f x x x π=-+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 在[,]44ππ-上的单调性． 【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）21()2cos cos(2)1cos 2cos 22sin(2)3326f x x x x x x x ππ=-+-=-+=+⋯分 2ω=，∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==，5⋯分 令262x k πππ+=+，k Z ∈，解得：26k x ππ=+，k Z ∈， ∴对称轴方程为：26k x ππ=+，7k Z ∈⋯分（Ⅱ）令222262k x k πππππ-++剟，k Z ∈，解得：36k xk ππππ-++剟，k Z ∈，设[,]44A ππ=-，{|36B x k x k ππππ=-++剟，}k Z ∈，可得：[4A B π=-，]6π，9⋯分 ∴当[,]44x ππ∈-时，()f x 在区间[4π-，]6π上单调递增；在区间[6π，]4π上单调递减14⋯分 18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC∆为锐角三角形，且b =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解答】解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠， 所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ++=︒， 可得sin cos 22A C B+=， 故cos2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B≠， 故1sin22B =， 因此60B =︒．（2）ABC∆为锐角三角形，且边b =，60B =︒， ∴由正弦定理2sin sin a cA C===，可得2sin c C =，22sin 2sin()sin 3a A C C C π==-=+， 1sin 2ABC S ac B ∆∴==sin )2sin C C C =+⨯23sin cos 2C C C =+3sin 224C C =)6C π=-， 由022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得(6C π∈，)2π，可得2(66C ππ-∈，5)6π，1sin(2)(62C π∴-∈，1]，可得)6ABC S C π∆=-， ABC ∴∆面积的取值范围是． 19．辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．【解答】解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是： 1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）数学成绩在[100，140)之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=，∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140)的人数为0.210020⨯=人， X 可取0，1，2，02102023038(0)87C C P X C ===， 11102023040(1)87C C P X C ===， 2010202303(2)29C C P X C ===， X 的分布列∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=． 20．已知数列{}n a 、{}n b 满足12a =，11b =，且1111434(2)434nn n n n n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩…． （1）令n n n c a b =+，n n n d a b =-，证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列； （2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ． 【解答】解：（1）证明：由12a =，11b =，且1111434(2)434nn n n n n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩…， 相加得114()4()8n n n n a b a b --+=++， 即112n n n n a b a b --+=++，又n n n c a b =+，因此12(2)n n c c n --=…， 又1113c a b =+=，所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列；相减可得114()2()n n n n a b a b ---=-， 即112()n n n n a b a b ---=-， 又n n n d a b =-，因此11(2)2n n d d n -=…，又1111d a b =-=， 所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列； （2）由（1）知1121,()2n n n c n d -=+=，即1211()2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),()2222n n n n a n b n =++=+-；（3）2211()()(21)()2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+，0221111113()57()(21)()(21)()22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-++，23111111135()7()(21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-++， 两式相减可得11111132()(21)22422n n n S n -=+++⋯+-+111(1)12232(21)1212n n n --=+-+-，化简可得1110(25)()2n n S n -=-+．21．已知函数21()22f x ax ax lnx =-+有两个极值点1x 、2x ，且1212x x >．（Ⅰ）求实数a 的取值范围M ； （Ⅱ）若0[1x ∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对函数求导可得，2121()2(0)ax ax f x ax a x x x -+'=-+=>，⋯（2分）令()0f x '=可得2210ax ax -+=∴21212044012a a a x x x x ≠⎧⎪=->⎪⎪⎨+>⎪⎪>⎪⎩，即2044020112a a a a ≠⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，⋯（4分） 解得a 的取值范围(1,2)M =． ⋯（6分）（Ⅱ）由2210ax ax -+=，解得12x x ==而()f x 在1(0,)x 上递增，在1(x ，2)x 上递减，在2(x ，)+∞上递增 12a <<，∴211x =+< ()f x ∴在[1，2]单调递增 ∴在[1+，2]上，()max f x f =（2）22a ln =-+． ⋯（7分）0[1x ∴∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立， 等价于不等式222(1)(1)(1)22a ln ln a b a a ln -+++>--++恒成立即不等式2(1)210ln a ba a b ln +--+-+>对任意的(12)a a <<恒成立．⋯（8分）令g （a ）2(1)21ln a ba a b ln =+--+-+，则g （1）0=．，12(1)2()1ba a b g a a -++'=+，①当0b …时，12(1)2()01ba a b g a a -++'=<+，g （a ）在(1,2)上递减．g （a ）g <（1）0=，不合题意．②当0b <时，12(1)2()1ba a b g a a -++'=+，12a <<若1(112b -+>，即104b -<<时，则g （a ）在(1,2)上先递减， g （1）0=，12a ∴<<时，g （a ）0>不能恒成立；若1(1)12b -+…，即14b -…时，则g （a ）在(1,2)上单调递增， g ∴（a ）g >（1）0=恒成立，b ∴的取值范围为(-∞，1]4-⋯请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是tan ()2y x πααπ=<<，曲线1C 的参数方程是cos (sin x a a y a ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=． （1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于O ，M 两点，l 与2C 交于O ，N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．【解答】解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=， l ∴极坐标方程是(,)2R πθαραπ=∈<<．1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=； （2）1:cos C ρθ=，2:2sin C ρθ=，将θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．222||||||2cos 2cos sin OM OM ON ααα∴+=-sin(2)14πα=-+．2παπ<<，∴当78πα=时，22||||||OM OM ON +1+． [选修4-5：不等式选讲]23．设0a >，0b >，0c >，1ab bc ca ++=． （1）求证：111a b c bc ca ab a b c++++…．（2）求证：a b c ++．【解答】证明：（1）2a b bc ca c+=…， 同理2b c ca ab a +…，2a c bc ab b+…，∴111a b c bc ca ab a b c++++…； （2）由（1）得222a b c ab bc ca ++++…． 1ab bc ca ++=，2221a b c ∴++…． 2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++． 2()3a b c ∴++…，即a b c ++．。
2020-2021学年辽宁省重点高中协作校高一(上)期中数学试题Word版含解析
2020-2021学年辽宁省重点高中协作校（上）期中考试高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设P={质数}，Q={偶数}，则P∩Q等于（）A．{2} B．2 C．N D．∅2．（5分）若a＞0且a≠1，那么函数y=a x与y=log a x的图象关于（）A．原点对称 B．直线y=x对称 C．x轴对称D．y轴对称3．（5分）无论a取何值，函数f（x）=log a x﹣2的图象必过（）点．A．（0，﹣2）B．（1，0）C．（1，﹣2）D．（0，2）4．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=lgx4，g（x）=4lgx B．，C．，g（x）=x+2 D．，5．（5分）已知f（x）是一次函数，且3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x﹣2 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x﹣36．（5分）下列说法正确的是（）A．对于任何实数a，都成立B．对于任何实数a，都成立C．对于任何实数a，b，总有ln（a•b）=lna+lnbD．对于任何正数a，b，总有ln（a+b）=lna•lnb7．（5分）已知集合A={0，1}，B={x，y，z}，则从集合A到集合B的映射可能有（）种．A．6 B．8 C．9 D．128．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B． C．D．9．（5分）函数y=（x≥1）的值域是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，1）C．（﹣1，1] D．（﹣1，1）10．（5分）若x0是函数f（x）=2的一个零点，x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞011．（5分）下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0时也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若m=log a2，n=log b2且m＞n，则a＜b；（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤﹣3；（4）y=log（x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞）．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x2，对于不相等的实数x1，x2，设m=，n=，则下列说法正确的有（）①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＜0；②对于任意不相等的实数x1，x2，都有n＜0；③存在不相等的实数x1，x2，使得m=n．A．①B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且f（a）f（b）＜0，用二分法求相应方程的根时，若f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，则取有根的区间为．14．（5分）设函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，则函数f（﹣2）的定义域为．15．（5分）若函数y=ln为奇函数，则a= ．16．（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A=[2，log2t]，集合B={x|y=}，（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b﹣a，若A的区间“长度”为3，试求实数t的值．（2）若A⊊B，试求实数t的取值范围．18．（12分）化简：（1）•（）；（2）（lg2）•[（ln）﹣1+log5]．19．（12分）设全集U=R，A={x|2x2﹣x=0}，B={x|mx2﹣mx﹣1=0}，其中x∈R，如果（∁U A）∩B=∅，求m的取值范围．20．（12分）如图所示的函数F（x）的图象，由指数函数f（x）=a x与幂函数g（x）=x b“拼接”而成．（1）求F（x）的解析式；（2）比较a b与b a的大小；（3）已知（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b，求m的取值范围．21．（12分）某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=x+（x＞0，m＞0）和函数g（x）=a|x﹣b|+c（x∈R，a＞0，b＞0）．问：（1）证明：f（x）在（，+∞）上是增函数；（2）把函数g1（x）=|x|和g2（x）=|x﹣1|写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出g2（x）的图象是如何由g1（x）的图象得到的．请利用上面你的结论说明：g（x）的图象关于x=b对称；（3）当m=1，b=2，c=0时，若f（x）＞g（x）对于任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．2020-2021学年辽宁省重点高中协作校（上）期中考试高一数学试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016秋•辽宁期中）设P={质数}，Q={偶数}，则P∩Q等于（）A．{2} B．2 C．N D．∅【分析】通过唯一的质偶数是2，与Q集合求出交集即可．【解答】解：因为P={质数}，Q={偶数}，P中唯一的偶数是2，所以P∩Q={2}．故选A．【点评】本题考查集合的交集的求法，质数与偶数的定义，基本知识的应用．2．（5分）（2016秋•辽宁期中）若a＞0且a≠1，那么函数y=a x与y=log a x的图象关于（）A．原点对称 B．直线y=x对称 C．x轴对称D．y轴对称【分析】利用互为反函数的图象关于直线y=x对称即可得出．【解答】解：∵a＞0且a≠1，那么函数y=a x与y=log a x互为反函数，因此其图象关于直线y=x对称．故选：B．【点评】本题考查了互为反函数的图象关于直线y=x对称的性质，属于基础题．3．（5分）（2016秋•辽宁期中）无论a取何值，函数f（x）=log a x﹣2的图象必过（）点．A．（0，﹣2）B．（1，0）C．（1，﹣2）D．（0，2）【分析】根据对数函数的性质，令x=1，求出f（1）的值即可．【解答】解：令x=1，得：f（x）=﹣2，故函数f（x）过（1，﹣2），故选：C．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数求值问题，是一道基础题．4．（5分）（2016秋•辽宁期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=lgx4，g（x）=4lgx B．，C．，g（x）=x+2 D．，【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可【解答】解：对于A：f（x）=lgx4的定义域是{x|x≠0}，而g（x）=4lgx的定义域是{x|x＞0}，定义域不相同，∴不是同一函数；对于B：=|x|，，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C：的定义域是{x|x≠2}，而g（x）=x+2的定义域是R，定义域不相同，∴不是同一函数；对于D：的定义域是{x|﹣1≤x≤1}，而g（x）=的定义域是{x|1≤x或x≤﹣1}，定义域不相同，∴不是同一函数；故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．5．（5分）（2016秋•辽宁期中）已知f（x）是一次函数，且3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x﹣2 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x﹣3【分析】根据题意，设f（x）=kx+b，利用3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，求出k，b的值即可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意：f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，∵3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，可得：3k+3b﹣4k﹣2b=﹣5，2b+k﹣b=1，解得：k=3，b=﹣2．所以得f（x）的解析式为f（x）=3x﹣2故选：A．【点评】本题考查了函数的解析式的求法和计算能力．属于基础题．6．（5分）（2014•埇桥区校级学业考试）下列说法正确的是（）A．对于任何实数a，都成立B．对于任何实数a，都成立C．对于任何实数a，b，总有ln（a•b）=lna+lnbD．对于任何正数a，b，总有ln（a+b）=lna•lnb【分析】利用排除法，举反例即可得正确结果．【解答】解：∵≠|﹣3|，排除B∵a=﹣2，b=﹣3时ln（a•b）=ln6，但lna、lnb无意义，排除C∵a=1，b=1时ln（a+b）=ln2≠0 而lna•lnb=0，排除D故选A【点评】本题考查了根式的性质、对数的运算性质，属基础题7．（5分）（2016秋•辽宁期中）已知集合A={0，1}，B={x，y，z}，则从集合A到集合B的映射可能有（）种．A．6 B．8 C．9 D．12【分析】运用分步计数原理求解．【解答】解：集合A中的元素0在集合B中有3种不同的对应方式（x，y，z三选一），集合A中的元素1在集合B中也有3种不同的对应方式（x，y，z三选一），根据“分步计数原理（乘法原理）”，集合A到集合B的映射共有N=3×3=9，故选C．【点评】本题主要考查了映射的概念，以及两集合间构成映射个数的确定，可用列举法，也可用乘法计数原理，属于基础题．8．（5分）（2016秋•辽宁期中）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B． C．D．【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性分别判断即可．【解答】解：对于A：y==，是偶函数，递增，不合题意；对于B：y==，是奇函数，不合题意；对于C：函数在（0，+∞）递增，不合题意；对于D：y==是偶函数，在（0，+∞）递减，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，是一道基础题．9．（5分）（2016秋•辽宁期中）函数y=（x≥1）的值域是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，1）C．（﹣1，1] D．（﹣1，1）【分析】利用分离常数法求函数的值域．注意定义域范围．【解答】解：由题意：函数y===﹣1∵∴y≠﹣1又∵x≥1，∴0＜．则：y=﹣1∈（﹣1，1]，所以得函数y的值域为（﹣1，1]，故选C．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．注意定义域范围．10．（5分）（2016•大庆一模）若x0是函数f（x）=2的一个零点，x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0【分析】因为x0是函数f（x）的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x﹣的一个零点，∴f（x0）=0，又∵f′（x）=2x ln2+＞0，∴f（x）=2x﹣是单调递增函数，且x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）．故选：D．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题11．（5分）（2016秋•辽宁期中）下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0时也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若m=log a2，n=log b2且m＞n，则a＜b；（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤﹣3；（4）y=log（x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞）．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据函数的单调性以及对数函数、二次函数的性质分别判断即可．【解答】解：对于（1），例如f（x）=﹣在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数；但f（x）在定义域上不是增函数，故（1）错；对于（2）若m=log a2，n=log b2且m＞n，则a＜b；故（2）正确；对于（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，若函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，则1﹣a=4，解得：a=﹣3，则实数a的取值范围是a=﹣3；故（3）错误；对于（4）由y=x2+x﹣2＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，对称轴x=﹣，故y=x2+x﹣2在（1，+∞）递增，故y=log（x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞），（4）正确；故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查对数函数以及二次函数的性质，考查复合函数的性质，是一道中档题．12．（5分）（2016秋•辽宁期中）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x2，对于不相等的实数x1，x2，设m=，n=，则下列说法正确的有（）①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＜0；②对于任意不相等的实数x1，x2，都有n＜0；③存在不相等的实数x1，x2，使得m=n．A．①B．①③ C．②③ D．①②③【分析】画出函数的图象，以及根据m，n的几何意义即可判断．【解答】解：分别画出函数f（x），g（x）的图象，则m=表示曲线f（x）上两点的斜率，n=表示曲线g（x）上两点的斜率，由图象可知，①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＜0，故①正确，对于任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0或n＜0，故②错误，存在不相等的实数x1，x2，使得m=n，故③正确，故选：B【点评】本题考查了函数图象的画法和函数图象的几何意义，属于基础题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016秋•辽宁期中）设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且f（a）f（b）＜0，用二分法求相应方程的根时，若f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，则取有根的区间为．【分析】根据零点存在定理即可判断【解答】解：f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，∴f（a）•f（）＞0，取有根的区间为：，故答案为：，【点评】本题考查二分法，考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（5分）（2016秋•辽宁期中）设函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，则函数f（﹣2）的定义域为[4，9] ．【分析】由f（x+1）的定义域求出f（x）的定义域，再由﹣2在f（x）的定义域范围内求得x的取值范围得答案．【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，即﹣1≤x≤0，∴0≤x+1≤1，即函数f（x）的定义域为[0，1]，由0，解得4≤x≤9，∴函数f（﹣2）的定义域为[4，9]．故答案为：[4，9]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题．15．（5分）（2016秋•辽宁期中）若函数y=ln为奇函数，则a= 2 ．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程进行求解即可．【解答】解：若函数y=ln为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则ln+ln=0，则ln（•）=0，则•=1，即（ax+1）（ax﹣1）=（2x﹣1）（2x+1），则a2x2﹣1=4x2﹣1，即a2=4，则a=2或a=﹣2，当a=﹣2时，f（x）=ln=ln（﹣1）无意义，当a=2时，f（x）=ln，满足条件．故答案为：2【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．16．（5分）（2016秋•辽宁期中）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是 4 ．【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4，故答案为：4．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•辽宁期中）已知集合A=[2，log2t]，集合B={x|y=}，（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b﹣a，若A的区间“长度”为3，试求实数t的值．（2）若A⊊B，试求实数t的取值范围．【分析】（1）由已知列关于t的等式求得t值；（2）求函数的定义域得到B，再由A⊊B，分类求解得答案．【解答】解：（1）由题意可得，log2t﹣2=3，即log2t=5，∴t=25=32；（2）A=[2，log2t]，由（x﹣2）（5﹣x）≥0，得（x﹣2）（x﹣5）≤0，得2≤x≤5，∴B=[2，5]，∵A⊊B，∴若log2t＜2，即0＜t＜4，符合题意；若t≥4，则log2t≤5，得t≤32，∴4≤t≤32．综上，实数t的取值范围为（0，32]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了集合的包含关系及其应用，考查数学转化思想方法，是中档题．18．（12分）（2016秋•辽宁期中）化简：（1）•（）；（2）（lg2）•[（ln）﹣1+log5]．【分析】（1）利用根式以及有理指数幂化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）•（）==；（2）（lg2）•[（ln）﹣1+log5]=lg2（2+2log 25）=2lg2（log22+log25）=2lg2×=2．【点评】本题考查有理指数幂的运算以及对数运算法则的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•辽宁期中）设全集U=R，A={x|2x2﹣x=0}，B={x|mx2﹣mx﹣1=0}，其中x∈R，如果（∁A）∩B=∅，求m的取值范围．U【分析】把集合A化简后，求其补集，然后根据（∁U A）∩B=∅选取m的取值范围．【解答】解：由题意，因为（∁U A）∩B=∅，所以B⊆A，当B=∅时，当m=0，符合题意，当m≠0时，△=m2+4m＜0，解得﹣4＜m＜0，符合题意，当B≠∅时，当B中只有一个元素时，△=0，即m2+4m=0，解得m=0（舍），m=﹣4，检验，此时，符合题意；当B中有两个元素时，由题意，将0，代入方程可知此时无解．综上所述，m的取值范围为﹣4≤m≤0．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是熟练交、并、补集的概念，同时注意端点值得选取，属易错题．20．（12分）（2016秋•辽宁期中）如图所示的函数F（x）的图象，由指数函数f（x）=a x与幂函数g（x）=x b“拼接”而成．（1）求F（x）的解析式；（2）比较a b与b a的大小；（3）已知（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b，求m的取值范围．【分析】（1）根据图象过点（，），求出a，b，可得F（x）的解析式；（2）根据指数函数和幂函数的图象比较即可；（3）根据幂函数的单调性，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得解得，∴因（2）为，所以，即a b＜b a．（3）由题意，所以解得，所以m的取值范围是．【点评】本题考查了指数函数和幂函数图象和性质，关键是求出a和b，属于中档题．21．（12分）（2016秋•辽宁期中）某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．【分析】（1）能根据图象知时，有，即可求出k、b的值；（2）能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．【解答】解：（1）由图可知时，有解得（2）当P=Q时，得，解得．令，∵x≥9，∴，在中，对称轴为直线，，且图象开口向下，∴时，t取得最小值，此时x=9．【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！22．（12分）（2016秋•辽宁期中）已知函数f（x）=x+（x＞0，m＞0）和函数g（x）=a|x﹣b|+c（x∈R，a＞0，b＞0）．问：（1）证明：f（x）在（，+∞）上是增函数；（2）把函数g1（x）=|x|和g2（x）=|x﹣1|写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出g2（x）的图象是如何由g1（x）的图象得到的．请利用上面你的结论说明：g（x）的图象关于x=b对称；（3）当m=1，b=2，c=0时，若f（x）＞g（x）对于任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用函数单调性的定义可直接证明f（x）在是增函数．；（2）由题意知g2（x）的图象是由g1（x）的图象向右平移1个单位得到的；根据函数的性质与平移可证明g（x）的图象关于x=b对称；（3）利用转化思想：由题意可知对于任意的x＞0恒成立．当x≥2时，不等式化为，即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0对于任意x≥2恒成立．【解答】证明：（1）在内任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，，因为，，所以x1x2＞m＞0，又有x2﹣x1＞0，所以△y＞0，所以f（x）在是增函数．解：（2），；g2（x）的图象是由g1（x）的图象向右平移1个单位得到的，先考虑函数h（x）=a|x|+c（x∈R，b＞0），在h（x）的定义域内任取一个实数x，则﹣x也在其定义域内，因为h（﹣x）=a|﹣x|+c=a|x|+c=h（x），所以函数h（x）是偶函数，即其图象的对称轴为x=0，由上述结论，g（x）的图象是由h（x）的图象向右平移b个单位得到，所以g（x）的图象关于x=b对称．（3）由题意可知对于任意的x＞0恒成立．当x≥2时，不等式化为，即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0对于任意x≥2恒成立，当a﹣1=0时，即a=1，不等式化为2x+1＞0，满足题意；当a﹣1≠0时，由题意进而对称轴，所以（a﹣1）22﹣2a•2﹣1＜0，解得0＜a＜1；结合以上两种情况0＜a≤1．当0＜x＜2时，不等式，即（a+1）x2﹣2ax+1＞0对于任意0＜x＜2恒成立，由题意进而对称轴，所以△=4a2﹣4（a+1）＜0，即a2﹣a﹣1＜0，解得，所以．综上所述，a的取值范围为（0，1]．【点评】本题主要考查了函数单调性的定义法证明，函数图形的平移与函数性质以及恒等转化问题，属中等偏上题．。
2020-2021学年沈阳市城郊市重点联合体高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年沈阳市城郊市重点联合体高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合，，则( ) A.B.C.D.2.下列命题推断错误的是( )A. 命题“若x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题为真命题B. 若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题C. “x =−1”是“x 2−5x −6=0”的充分不必要条件D. 命题p ：存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1<0，则非p ：任意x ∈R ，都有x 2+x +1≥03.函数f(x)=3x +x −3的零点所在的区间是( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)4.已知角α的终边与单位圆交于P(−12,√32)，则cos(α−π2)的值为( )A. √32B. −√32C. 12D. −125.函数f(x)=sin(π3−x)，则要得到函数y =cos(x +2π3)的图象，只需将函数y =f(x)的图象( )A. 向左平移2π3个单位 B. 向左平移π2个单位 C. 向右平移2π3个单位D. 向右平移π2个单位6.等差数列{a n }的前 n 项和为{S n }，若S 8−S 4=36，a 6=2a 4，则a 1=( )A. −2B. 0C. 2D. 47.设M 是△ABC 内一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°，设f(M)=(m,n ，p)，其中m 、n 、p 分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积．若f(M)=(12,x,y)，则x 2+2y xy的最小值是( )A. 3B. 4C. 2+2√2D. 88.已知D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边长的边BC 、CA 、AB 的中点，且，，，则①，②，③，④中正确的等式的个数为( )(A)1(B)2(C)3(D)4A. AB. BC. CD. D9.定义在R上的偶函数满足，且在[−1,0]上单调递增，设，，，则大小关系是()A. B. C. D.10.已知函数f(x)=(cos2xcosx+sin2xsinx)sinx，x∈R，则函数f(x)性质的以下判断中正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为3π2B. 函数f(x)的单调增区间是[kπ−π2,kπ+π2]，k∈ZC. 函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称D. 函数g(x)=f(x−π3)的图象关于直线x=π12对称11.在△ABC中，已知c=2acosB，且A=45°，则角B的度数是()A. 90°B. 60°C. 45°D. 40°12.函数f(x)=12x3+sinx+2x的定义域为R，数列{a n}是公差为d的等差数列，且a1+a2+a3+ a4+⋯a2015<0，记m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯f(a2015)，关于实数m，下列说法正确的是()A. m恒为负数B. m恒为正数C. 当d>0时，m恒为正数；当d<0时，m恒为负数D. 当d>0时，m恒为负数；当d<0时，m恒为正数二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(cosx,−1)，b⃗ =(√3sinx,−12)，若a⃗//b⃗ ，则|a⃗|=__________．14.已知{a n}是各项均非零且公比不等于1的等比数列，若满足a1+a2+⋯+a2018=20，1a1+1a2+⋯+1a2018=10，则a1a2018=______．15.抛物线y=x2−4x−3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为______ ．16. 各项为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，且S n+1=a 2S n +a 1, n ∈N ∗，当且仅当n =1，n =2时S n <3成立，那么a 2的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=a >0，前n 项和为S n ，S n =a1+a (1+a n ). (1)求证：{a n }是等比数列；(2)记b n =a n 1n|a n |(n ∈N ∗)，当a =√155时是否存在正整数n ，都有b n ≤bm ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．18. 已知函数f(x)=2sin(12x −π6)，x ∈R ． (1)求f(0)的值； (2)求f(x)的最小正周期；(3)设α，β∈[0,π2]，f(2α+π3)=65，f(2β+4π3)=2413.求sin(α−β)的值．19. 已知{a n }是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b n }满足b 1=1，b n+1=b n +2a n ． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．20. 设f(x)=e x (ax 2+x +1)，且曲线y =f(x)在x =1处的切线与x 轴平行． (Ⅰ)求a 的值，并求f(x)的极值；(Ⅱ)k(k ∈R)如何取值时，函数y =f(x)+kx 2e x 存在零点，并求出零点．21. 已知sin(α+π2)=−√55,α∈(0,π)．(1)求cos 2(π4+α2)−cos 2(π4−α2)sin(π−α)+cos(3π+α)的值；(2)求cos(2α−3π4)的值．22. 已知函数f(x)=−1a +2x (x >0)(1)判断f(x)在(0,+∞)上的增减性，并证明你的结论(2)解关于x的不等式f(x)>0．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：因为，所以，即。
辽宁省六校2021届高三上学期期中联考数学试卷
1 2020-2021学年度（上）省六校高三期中联考 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,R a b ∈，则“20a b +="是“2a b =-”成立的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2.已知函数()131,2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是() A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C.12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．235x B ．220x C ．470x D ．435x4. 数列{}n a 满足11a =，对任意*N n ∈的都有11n n a a n +=++，则1299111...a a a +++=（ ） A.9998 B.2 C.9950 D.991005.设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()23log 3f f -+=( ) A.9B.11C.13D.15 6.设函数1()ln 1x f x x x+=-,则函数的图像可能为() A. B. C. D.7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。
例：。
2020届辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学(理)试卷(PDF版)
2020届辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U R =，集合2{}230{|24}A x x x B x x =-->=<<，，则()U C A B = （ ）A ．[1,4]-B ．[1,4)-C ．[2,3)D ． (2,3]2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”3. 若22)4sin(2cos -=-παα，则cos sin αα+的值为（ ）A ．12 B ．12- C．．4. 已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝（ ）A ．－3B ． 1C ．－1D ．35. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若co s c o s s i n b C c B a A +=，则角A 的值为（ ）A ．3π B. 6π C. 2πD. 23π6. ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1= B ．b a ⊥ C ． 1a b ⋅= D ．()4C a b +⊥B 7.若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8 8.等差数列333log (2),log (3),log (42),x x x +的第四项为( )A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249.已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若(1)2,f =则20191()i f i ==∑( )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ）A．1)m B．1)m C．1)m D．1)m 11. 设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>,已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,有下述四个结论：①()f x 在(0,2)π恰好有3次取到最大值②()f x 在(0,2)π恰好有2次取到最小值 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[,)510其中所有正确结论．．．．．．的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④ C ．①④ D ．①③12. 已知函数()xf x e ax =-有两个零点1x ，2x ， 12x x <，则下面说法正确的是（ ）A ．122x x +<B ． a e <C ．121x x >D ． 有极小值点0x ，且1202x x x +< 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13. 函数lg 10xy =的值域是_________.14.若向量(1,2),(1,1),a b ==- 则2a b +与a 夹角的正弦值等于________. 15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______. 16. 如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠ 的平分线，且1,23AB AD AC ===. 则BDDC的值为_______， ABC ∆的面积为_______________.（本题第一空2分，第二空3分．）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程； （2）讨论函数f (x )在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.18.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =，求ABC ∆面积的取值范围．19.（本小题满分12分）辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 满足1,211==b a ，且1111434(2)434n n n n n n a a b n b a b ----=++⎧≥⎨=++⎩（1）令,,n n n n n n c a b da b =+=-证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列； （2）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；)（3）求数列22{}n n a b -的前n 项和公式n S ．21.（本小题满分12分）已知函数x ax ax x f ln 221)(2+-=有两个极值点1x 、2x ，且2121>⋅x x ． （1）求实数a 的取值范围M ； （2）若]2,221[0+∈∃x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀ 恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=． （1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点， 求22||||||OM OM ON +的最大值．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设0,0,0a b c >>>，1ab bc ca ++=． （1）求证：111a b c bc ca ab a b c++≥++．（2）求证：a b c ++≥数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13、 (0,)+∞ 14、10 15、 23 16、1,12三、解答题17. 解：（1）()22cos cos 213fx x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1cos 2cos 22sin 226x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，…………（3分）因为2ω=，所以最小正周期2Tππω==，…………（5分）令2=62x k πππ++，所以对称轴方程为62k x ππ=+，k Z ∈.…………（6分）（2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， …………（8分） 设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，{|,}36B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知,46AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，…………（10分）所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； 在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. …………（12分）18. （1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此60B ︒=．…………（4分）（2）由正弦定理，2sin sin sin a c b A C B ====，所以2sin ,2sin a A c C == ， ABC ∆的面积11sin 2sin 2sin 22S ac B A C ==⋅⋅sin A C=2sin()3A A π-213sin )sin cos 22A A A A A A =+=31cos 2sin 242A A -=)6A π=+-…………（8分） 因为ABC ∆为锐角三角形，所以022032A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，因此62A ππ<<.…………（10分） 所以52666A πππ<-<，1sin(2)126A π<-≤S <≤， 因此ABC ∆的面积的取值范围是. …………（12分）19. 解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………（2分）这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=…………（4分）（2）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140）的人数为0.210020⨯=人，…………（6分）X 可取0,1,2，021********(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===，X 的分布列…………（10分） ∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=．…………（12分）（注：或用超几何分布的期望公式计算：这里X 服从参数为30,10,2N M n ===的超几何分布， 因此102()2.303M E X n N =⋅=⨯=） 20.（1）证明：由题设得114()4()8n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，因此12(2)n n c c n --=≥，又1113c a b =+=， 所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列. …………（2分） 又由题设得114()2()n n n n a b a b ---=-， 即112()n n n n a b a b ---=-，因此11(2)2n n d d n -=≥，又1111d a b =-=， 所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列. …………（4分） (2)由（1）知1121,().2n n n c n d -=+=即1211()2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),().2222n n n na nb n =++=+-…………（6分） （3）2211()()(21)().2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+0221111113()57()(21)()(21)()22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅23111111135()7()(21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅2311211111132[()()()](21)()22222211[1()]12232(21)()1212115()(21)()22n nn n nn nS n n n ---=+⨯++++-+⋅⨯-=+⨯-+⋅-=--+⋅两式相减得，所以1110(25)()2n n S n -=-+⋅.…………（12分）21. 解：（1）)0(1212)(2>+-=+-='x xax ax x a ax x f ， ………………（2分） 0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>+>-=∆≠210044021212x x x x a a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>>-≠2110204402a a a a ， ………………（4分）解得a 的取值范围)2,1(=M ． ………………（6分）（2）由0122=+-ax ax ，解得aaa a x a a a a x -+=--=2221,，而)(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增 ∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ．∴)(x f 在]2,221[+上单调递增， ∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(m ax +-==a f x f ． ………………（7分） ∴“]2,221[0+∈∃x ，使2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a b a a 恒成立”，即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+b a ba a 对任意的a （21<<a ）恒成立． ………………（8分） 令12ln )1ln()(2+-+--+=b a ba a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a aba ba ba a a g ．①当0≥b 时，0122)(2<+---='a aba ba a g ，)(a g 在)2,1(上递减． 0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0<b 时，1)211(2)(+++-='a b a ba a g ，∵21<<a ，若1)211(>+-b，即041<<-b 时，则)(a g 在)2,1(上先递减，- 11 - ∵0)1(=g ，∴21<<a 时，0)(>a g 不能恒成立； 若1)211(≤+-b ，即41-≤b 时，则)(a g 在)2,1(上单调递增， ∴>)(a g 0)1(=g 恒成立，∴b 的取值范围为]41,(--∞． ………………（12分）22. 解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=，所以l 极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ． 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．…………（5分）（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin sin(2)14OM OM ON αααα+=-=-+． 因为ππ2α<<，当7π8α=时，所以22||||||OM OM ON +1．…………（10分） 23. 证明：（1）因为2a b bc ca c +≥=，同理2b c ca ab a +≥，2a c bc ab b+≥， 所以111a b c bc ca ab a b c++≥++． …………（5分） （2）由（1）得222a b c ab bc ca ++≥++．因为1ab bc ca ++=，所以2221a b c ++≥．因为2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++．所以2()3a b c ++≥，即a b c ++≥…………（10分）。