2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学校高二上学期期中数学试题(解析版)

重庆市沙坪坝区南开中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知(2,0),M -(2,0),N ||||3PM PN -=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．一条射线

D ．双曲线右边一

支 【答案】D

【解析】根据双曲线的定义直接得到结果. 【详解】

3PM PN MN -= ∴动点P 的轨迹为双曲线的右边一支

故选：D 【点睛】

本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误. 2．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，1） B ．（1，0）

C ．1

(0,

)16

D ．1(

,0)16

【答案】C

【解析】将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标. 【详解】

抛物线2

4y x =的标准方程为2

1

4x y =

，即18

p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上， 故焦点坐标为10,16⎛⎫

⎪⎝⎭

. 故选：C. 【点睛】

本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题. 3．命题“[1,),x ∀∈+∞210x x +-≥”的否定形式是（ ） A ．(,1)x ∃∈-∞，使得210x x +-< B ．[1)x ∃∈+∞，使得210x x +-< C ．(,1)x ∀∈-∞，使得210x x +-≥ D ．[1)x ∀∈+∞，使得210x x +-<

【答案】B

【解析】根据全称量词命题的否定原理可直接得到结果.

根据含全称量词命题的否定原理可知原命题的否定为：[)1,x ∃∈+∞，使得

210x x +-<

故选：B 【点睛】

本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.

4．圆锥曲线22

189

x y m +=+的离心率12e =，则m 的值为（ ）

A ．5

4

-

B ．4

C ．5

4

-

或4 D ．-2或4

【答案】C

【解析】分别在89m +>、089m <+<和80m +<三种情况下，根据椭圆和双曲线离心率的求法构造方程求得结果. 【详解】

若89m +>，则1

2

e =

=，解得：4m =

若089m <+<，则1

2

e =

=

，解得：54m =-

若80m +<，则1

2

e ==，解得：152m =-（舍）

综上所述：5

4

m =-或4 故选：C 【点睛】

本题考查根据离心率求解参数值的问题，易错点是忽略对于曲线类型的讨论，即曲线为焦点在x 轴或y 轴的椭圆、或曲线为双曲线.

5．已知P 为以F 为左焦点的椭圆22

143

x y +=上一点，

M 为线段PF 中点，若1||2OM =（其中O 为坐标原点），则||PF =（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．1或3

【答案】C

【解析】根据三角形中位线性质可求得1PF '=，利用椭圆定义可求得结果.

设椭圆右焦点为F '

,M O Q 分别为,PF FF '中点 11

22

OM PF '∴=

= 1PF '∴= 由椭圆定义可知：4PF PF '+= 413PF ∴=-= 故选：C 【点睛】

本题考查椭圆焦半径的求解问题，关键是能够熟练应用椭圆的定义来进行求解. 6．直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同的交点，则m 的范围是（ ） A

． B

．

C

．2⎛⎫

⎪

⎪⎝⎭

D

．22⎛⎫

⎪

⎪⎝⎭

【答案】A

【解析】将直线方程与圆的方程联立，根据交点位置可得1212

00x x x x ∆>⎧⎪

+>⎨⎪>⎩，由此可解不等

式求得结果. 【详解】

设直线y x m =-+与22

1x y +=交于()11,A x y ，()22,B x y ，则1>0x ，20x >

联立22

1

y x m

x y =-+⎧⎨

+=⎩，消去y 得：222210x mx m -+-= ()

22122

1248100102m m x x m m x x ⎧

∆=-->⎪⎪

∴+=>⎨⎪-⎪=>⎩

，解得：1m << m ∴

的取值范围为( 故选：A 【点睛】

本题考查根据直线与圆的交点个数及位置确定参数范围的问题，关键是能够通过直线与圆方程联立，根据交点位置确定根与系数关系式所满足的不等式.

7

．抛物线2

x =的焦点为F ，其准线与双曲线2

2

21y x b

-=(0)b >相交于A ，B

两点，若ABF V 为等边三角形，则该双曲线渐近线方程为（ ）

A ．y x =± B

．y = C

．y =

D ．2y x =±

【答案】A

【解析】准线方程和双曲线方程联立可求得交点的横坐标，根据等边三角形高与底边的比例关系可构造方程求得b ，得到双曲线方程，进而求得结果. 【详解】

由抛物线方程知：(F

，准线为y =

由2221

y y x b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩

得：12x x ⎧=

⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

ABF ∆Q 为等边三角形

=1b =

∴双曲线方程为221x y -= ∴渐近线方程为y x =±

故选：A 【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程的求解问题，涉及到利用抛物线方程求解交点坐标和准线方程；关键是能够利用等边三角形边与高之间的比例关系构造方程.

8．已知双曲线22

:145

x y C -=的左右焦点分别为1F 、2F 动点A 在双曲线左支上，点B

为圆22

:(2)1E x y ++=上一动点，则2||AB AF +的最小值为（ ）

A

1 B

1 C

3 D

3

【答案】D

【解析】根据双曲线定义将所求距离之和转化为14AB AF ++；由三角形两边之差小于第三边可知当,,A B E 三点共线时AB AE r ≥-；进一步根据两边之和大于第三边可得当1,,F A E 三点共线时11AE AF EF +≥，由此可知213AB AF EF +≥+；利用两点间距离公式求得1EF ，进而得到结果. 【详解】

由题意得：()13,0F -，()23,0F ，圆心()0,2E -，半径1r =