高等数学(上)课件：高数第一章 习题课
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f (x y) f (x) f ( y)
若 f (x) 在x=0处连续，证明函数对一切 x R 连续。
练习17. 求
f (x) (1 x) sin x x (x 1)( x 1)
的间断点及其类型
练习18. 设f(x)是[0,1]上的连续函数，且 f (x) [0,1]
x [0,1] ，证明：在[0,1]上存在一点t，使
练习4：设函数
f
(x)
3x x,
1
,
x x
11,
求 f [ f (x)] .
f
[
f
(x)]
9x 4 , 3x 1,
x0 0 x 1
x ,
x 1
练习5：设
其中
求 f (x)
一、函 数
练习6. 已知 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x) 及其定义域。
f (t) t
高等数学（上） 一、函数与极限(复习课)
本章知识结构
研究对象：函数
函 数
➢ 定义 ➢ 特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性 ➢ 反函数、复合函数、初等函数
与
➢ 函数的连续性与间断点
极
➢ 闭区间连续函数的性质
限
基于极限工具定义
研究工具：极限
➢ 数列极限定义、函数极限定义
➢ 极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则
三、连 续
1. 函数连续的等价形式
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0)
0, 0, 当 x x0 时, 有
f (x) f (x0)
第一类间断点：可去、跳跃 2. 函数间断点
(1)
f (x) xx, ,
x0 x0
(3)
f
(x)
2, 4,
x 1 x 1
(1) x2
(2) x2 , x
(4) 1 x6 , x R
x0
(2) f (x) 11,,
x0 x0
(4)
f
(x)
1 x3 ,
1
x3
,
x0 x0
(x 1)2 (3) 3
x 1
x 1
一、函 数
❖ 分段函数与复合函数
❖ 函数的要素：定义域、对应规则、值域
练习1：下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为 什么?
(1) y 1
不是
sin x 1
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
一、函 数
练习2：下列各组函数是否相同 ? 为什么?
练习7. 已知
f
(
x)
x f
3, [ f (x
5)]
,
x8 , 求 f (5) .
x8
练习8. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
6. (x) ln(1 x) , x (,0]
7. 6
8. f(x)=x2-3
二、极 限
1. 极限定义的等价形式 (以 x x0 为例 )
第二类间断点：无穷、振荡
三、连 续
3. 闭区间上连续函数的性质 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
练习14. 设函数
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
练习15. 设函数 及可去间断点
有无穷间断点
试确定常数 a 及 b 。 0， e
三、连 续
练习16. 设函数 f (x) 定义于R，且对任意 x, y R 有
" "
(即 f (x) A 为无穷小)
有 2. 极限存在准则及极限运算法则
二、极 限
3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x～x ;
～
～ arcsin x～ x ;
ex 1～ x ;
～
1
cos
x～
1 2
x
2
;
～
(1 x) 1～ x;
4. 两个重要极限 5. 求极限的基本方法 6. 判断极限不存在的方法
二、极 限
练习9. 求下列极限：
(1) lim (sin x 1 sin
x
(2)
lim
x1
1 x 2
sin x
练习10. 确定常数 a , b , 使
x)
(3)
lim
x0
1 x 1 x
cot x
练习11. 当 x 0时, 3 x2 x 是 的几阶无穷小?
9 (1) 0 (2) 2
(3) e2
10. -1,0
11. 1/6
二、极 限
练习12. 求下列极限
1
lim (1 2x 3x ) x
x
lim [
x2
]x
x (x a)( x b)
练习13. 设
a
0,
x1
0,
xn1
1 2
(
x
n
a ), n 1,2,3,... xn
（1）证明数列{xn}单调且有下界； （2）求数列{xn}的极限。
2. 函数的特性
有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数
为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 ，经有限次四则运算与复
复合而成的一个表达式的函数。
一、函 数
(1) f (x) cos(2arccos x) 与(x) 2x2 1, x [1,1]
(2)
f (x)
ax
, ,
相同
x x
a a
Biblioteka Baidu
与 ( x)
1a
2
x
(a x)2
相同
(3)
f
(x)
x0
, ,
x0 x0
与(x) f [ f (x)]
相同
一、函 数
❖ 初等函数
练习3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?
➢ 无穷小、无穷大 ✓ 无穷小量乘以有界变量
✓ 极限四则运算法则
➢ 求极限的方法
✓ 复合函数极限运算法则 ✓ 两个重要极限
✓ 等价无穷小代换
✓ 利用初等函数的连续性进行运算
1. 函数的概念 定义: 设
一、函 数
函数为特殊的映射:
定义域 其中
值域
图形:
y
y f (x)
( 一般为曲线 )
o
D
x
一、函 数
若 f (x) 在x=0处连续，证明函数对一切 x R 连续。
练习17. 求
f (x) (1 x) sin x x (x 1)( x 1)
的间断点及其类型
练习18. 设f(x)是[0,1]上的连续函数，且 f (x) [0,1]
x [0,1] ，证明：在[0,1]上存在一点t，使
练习4：设函数
f
(x)
3x x,
1
,
x x
11,
求 f [ f (x)] .
f
[
f
(x)]
9x 4 , 3x 1,
x0 0 x 1
x ,
x 1
练习5：设
其中
求 f (x)
一、函 数
练习6. 已知 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x) 及其定义域。
f (t) t
高等数学（上） 一、函数与极限(复习课)
本章知识结构
研究对象：函数
函 数
➢ 定义 ➢ 特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性 ➢ 反函数、复合函数、初等函数
与
➢ 函数的连续性与间断点
极
➢ 闭区间连续函数的性质
限
基于极限工具定义
研究工具：极限
➢ 数列极限定义、函数极限定义
➢ 极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则
三、连 续
1. 函数连续的等价形式
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0)
0, 0, 当 x x0 时, 有
f (x) f (x0)
第一类间断点：可去、跳跃 2. 函数间断点
(1)
f (x) xx, ,
x0 x0
(3)
f
(x)
2, 4,
x 1 x 1
(1) x2
(2) x2 , x
(4) 1 x6 , x R
x0
(2) f (x) 11,,
x0 x0
(4)
f
(x)
1 x3 ,
1
x3
,
x0 x0
(x 1)2 (3) 3
x 1
x 1
一、函 数
❖ 分段函数与复合函数
❖ 函数的要素：定义域、对应规则、值域
练习1：下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为 什么?
(1) y 1
不是
sin x 1
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
一、函 数
练习2：下列各组函数是否相同 ? 为什么?
练习7. 已知
f
(
x)
x f
3, [ f (x
5)]
,
x8 , 求 f (5) .
x8
练习8. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
6. (x) ln(1 x) , x (,0]
7. 6
8. f(x)=x2-3
二、极 限
1. 极限定义的等价形式 (以 x x0 为例 )
第二类间断点：无穷、振荡
三、连 续
3. 闭区间上连续函数的性质 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
练习14. 设函数
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
练习15. 设函数 及可去间断点
有无穷间断点
试确定常数 a 及 b 。 0， e
三、连 续
练习16. 设函数 f (x) 定义于R，且对任意 x, y R 有
" "
(即 f (x) A 为无穷小)
有 2. 极限存在准则及极限运算法则
二、极 限
3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x～x ;
～
～ arcsin x～ x ;
ex 1～ x ;
～
1
cos
x～
1 2
x
2
;
～
(1 x) 1～ x;
4. 两个重要极限 5. 求极限的基本方法 6. 判断极限不存在的方法
二、极 限
练习9. 求下列极限：
(1) lim (sin x 1 sin
x
(2)
lim
x1
1 x 2
sin x
练习10. 确定常数 a , b , 使
x)
(3)
lim
x0
1 x 1 x
cot x
练习11. 当 x 0时, 3 x2 x 是 的几阶无穷小?
9 (1) 0 (2) 2
(3) e2
10. -1,0
11. 1/6
二、极 限
练习12. 求下列极限
1
lim (1 2x 3x ) x
x
lim [
x2
]x
x (x a)( x b)
练习13. 设
a
0,
x1
0,
xn1
1 2
(
x
n
a ), n 1,2,3,... xn
（1）证明数列{xn}单调且有下界； （2）求数列{xn}的极限。
2. 函数的特性
有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数
为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 ，经有限次四则运算与复
复合而成的一个表达式的函数。
一、函 数
(1) f (x) cos(2arccos x) 与(x) 2x2 1, x [1,1]
(2)
f (x)
ax
, ,
相同
x x
a a
Biblioteka Baidu
与 ( x)
1a
2
x
(a x)2
相同
(3)
f
(x)
x0
, ,
x0 x0
与(x) f [ f (x)]
相同
一、函 数
❖ 初等函数
练习3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?
➢ 无穷小、无穷大 ✓ 无穷小量乘以有界变量
✓ 极限四则运算法则
➢ 求极限的方法
✓ 复合函数极限运算法则 ✓ 两个重要极限
✓ 等价无穷小代换
✓ 利用初等函数的连续性进行运算
1. 函数的概念 定义: 设
一、函 数
函数为特殊的映射:
定义域 其中
值域
图形:
y
y f (x)
( 一般为曲线 )
o
D
x
一、函 数