结构动力学解题思路及习题解答

第一章 单自由度系统

1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、 牛顿第二定律法

适用围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；

（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m

,得到系统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法

适用围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；

（2） 利用动量距定理J ∑=M θ

,得到系统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法：

适用围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程

θθ

∂∂-

∂∂∂L

L dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、 能量守恒定理法

适用围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即

0)

(=+dt

U T d ，进一步得到系统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。

（2）由对数衰减率定义 )ln(

1

+=i i

A A δ， 进一步推导有 2

12ζ

πζδ-=

，

因为ζ较小， 所以有

π

δζ2=

。 方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：

单自由度系统的幅频曲线

（2）分析以上幅频曲线图，得到：

4/22/max 2,1ζββ==；

于是

2

21)21(n ωζω-=；

进一步

222)21(n ωζω+=；

最后

()n n ωωωωωζ2/2/12∆=-=；

1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。

方法一：幅频（相频）曲线法 当单自由度系统在正弦激励t F ωsin 0作用下其稳态响应为：

)sin(αω-=t A x ,

其中： (

)()2

2

2

2

2

20

20

414ω

ζ

ωω

ωω+-=

+-=

st

n

x n m

F A ； (1)

()()21/2arctan ωωζα-= (2)

从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比ζ。 方法二：功率法：

（1） 单自由度系统在t F ωsin 0作用下的振动过程中，在一个周期， 弹性力作功为 0=c W 、

阻尼力做功为 2A W c d πω-=、 激振力做作功为 απsin 0F W f -=；

（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期所作功为零， 即： c W +d W +0=f W ；

于是 παsin 0F -02=A c πω 进一步得： ωαc F A sin 0=； （3） 当ωω=n 时，1sin =α， 则 ζ2max st x A =，

得 ζβ21max =, max 2βζ=。

1.4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。

（a ）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k 1

简支梁刚度为 23

48EI

k l =； 等效刚度为k; 则有

2

11

11k k k +

=； 则固有频率为：(

)

m

l k EI EIl m

k

3

13

4848+==

ω； （b ）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:

3148l

EI

k k +=1k

则固有频率为

:

3

3

148ml EI

l k m k +==

ω

(c)系统的等效刚度

1133

33EI EI

k k k l l

=+

=+ 则系统的固有频率为

ω==

（d ）由动量距定理

()θ

I F m =∑得：

（l k l l k l 2121212111⋅⋅+⋅⋅θθ）=θ 221ml 得： 021=

+θθ

m

k ， 则 m

k 21

=

ω 。

1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A 半径R,重物B 的重量为P/2,弹簧刚度为k.

解：以θ 为广义坐标，则 系统的动能为

(

)2

022

121θ I x m T T T +=+=）（轮子重物 ()2

22

2244)21(21221x

g P x g P R x R g P x g P +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=）（ 2

2x g

P = 系统的势能为：

21

2

U U U Px kx =+=+重物弹簧

－ ；

拉格朗日函数为

L=T-U ;

由拉格朗日方程

0)(=∂∂-∂∂∂x L

x L dt 得P x kx P g

+= 则，0ω=

P

kg 所以：系统的固有频率为

P

kg 1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R ，质量为M ，作纯滚动。弹簧刚度为K 。

解：磙子作平面运动，