高考高中数学均值

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人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课复习(均值不等式)

人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课复习(均值不等式)

答案:14
1 2
栏目 导引
对均值不等式的理解 下列结论正确的是( ) A.若 x∈R,且 x≠0,则4x+x≥4 B.当 x>0 时, x+ 1x≥2 C.当 x≥2 时,x+1x的最小值为 2 D.当 0<x≤2 时,x-1x无最大值
第二章 等式与不等式
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则 x=±1,均不满足 x≥2;对于选项 D,x-1x在 0<x≤2 的范
围内单调递增,有最大值 2-12=32. 【答案】 B
栏目 导引
第二章 等式与不等式
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应用均值不等式时的三个关注点
栏目 导引
第二章 等式与不等式
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-2 (2-x)2-4 x+2=-2, 当且仅当 2-x=2-4 x,得 x=0 或 x=4(舍去),
即 x=0 时,等号成立.
故 y=x+x-4 2的最大值为-2.

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A.2
B.2 2
C.3
D.4
)
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高中数学选择性必修三 7 3 1 离散型随机变量的均值

高中数学选择性必修三 7 3 1  离散型随机变量的均值

P(Y≤6 | X≥300)=P(X<900 | X≥300)= ( ≤ < ) = . =
( ≥ )
.

故在降水量至少是300 mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是

.
课堂练习
7.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6的六个球.
(1)从中任意取出两个球,求这两个球的编号之和为偶数的概率;
例题讲解
例4 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为
0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到
小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元;
方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;
(3)写出分布列;
(4)利用E(X)的计算公式计算E(X).
例题讲解
例1 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分. 如果某运动员罚球
命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?
解:因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,
所以E(X)=0 x 0.2 + 1 x 0.8=0.8.
7.3.1 离散型随机变量的均值
人教A版(2019)
选择性必修第三册
新知导入
甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X
甲射中的环数
7
0.1
8
0.2
9
0.3
10
0.4
乙射中的环数
0.15
0.25
0.4
0.2
思考:如何比较甲、
乙两人射箭水平的高
低?

均值不等式构造“定”的技巧

均值不等式构造“定”的技巧

均值不等式构造“定”的技巧用均值不等式求函数的最值是高中数学的一个重点,也是近几年高考的一个热点。

使用均值不等式的三个条件“一正二定三相等”更是考题的焦点。

“正”和“相等”通常很容易获得解决,“定”却常常被设计为一个难点,怎样构造“定”是解题成败的关键。

今天我们就教你构造“定”的技巧!就教你构造“定”的技巧!总体思路我们先看一下均值不等式:我们先看一下均值不等式:1212......n nn a a a a a a n+++³(当且仅当12...n a a a ===时取等号)下面我们看看具体怎样来构造“定”这个条件:下面我们看看具体怎样来构造“定”这个条件:第一步:“一正二定三相等”,先判断是否“正”能够满足。

一般题目已知中会告诉各字母是正的,所以通常这个条件是满足的。

字母是正的,所以通常这个条件是满足的。

第二步:观察所求函数的形式:例如函数是1212...n k k k na a a ,则在已知条件中将1a 等分拆为1k 项,将2a 等分拆为2k 项,将n a 等分拆为n k 项。

这就是我们拆分构造“定”的关键,记住了,我们是从所求函数的形式出发,只要做好了这一步,均值不等式就能用的恰到好处!了这一步,均值不等式就能用的恰到好处!第三步:第三步:验证,验证,看各项相等时能否成立,看各项相等时能否成立,若能成立,若能成立,若能成立,则均值不等式运用成功,则均值不等式运用成功,则均值不等式运用成功,若不成立,若不成立,则只好再想别的辙了:)不过一般情况下绝对不会出现不成功的,题目想考的就是这个嘛!例题设x ,y ,z>0z>0,且,且,且x+3y+4z=6x+3y+4z=6x+3y+4z=6,求,求23x y z 的最大值。

的最大值。

思路: 一看题目,已知和,求积,看来可以运用均值不等式。

一看题目,已知和,求积,看来可以运用均值不等式。

过程: 第一步:题目中已经说了x ,y ,z>0z>0,所以可以运用均值不等式。

高考数学利用均值不等式求圆锥曲线中的最值(解析版)

高考数学利用均值不等式求圆锥曲线中的最值(解析版)

利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查,且难度较大,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐,其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题,求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想.二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值,一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值,如根据椭圆中PF 1 +PF 2 为定值,可求PF 1 PF 2 的最大值,二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用基本不等式求最值,求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.【例1】(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ,F 1,F 2是椭圆Γ的左、右焦点,点A 1,32 在椭圆Γ上,点P 4,0 在椭圆Γ外,且PF 2 =4-3.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若B 1,-32,点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点,过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点,并与直线PA ,PB 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,记△OMN ,△PMN 的面积分别为S 1,S 2,求S 21-S 1S 2+S 22的最小值.【解析】(1)因为点A 1,32 在椭圆Γ上,所以1a 2+34b 2=1,①因为点P 4,0 在椭圆Γ外,且PF 2 =4-3,所以c =3,即a 2-b 2=c 2=3,②由①②解得a 2=4,b 2=1,故椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,设直线MN :x =my +t ,由椭圆性质以及点C 的横坐标大于1可知,t >2,将直线MN 代入方程x 24+y 2=1并化简可得,my +t 2+4y 2-4=0,即m 2+4 y 2+2mty +t 2-4=0,因为直线l 与椭圆有且仅有一个交点,所以Δ=4m 2t 2-4m 2+4 t 2-4 =0,即t 2=m 2+4.直线AP 的方程为:x =4-23y ;直线BP 的方程为l BP :x =4+23y ,联立方程x =my +t ,x =4-23y ,得y 1=4-t 23+m ,同理得y 2=t -423-m,所以y 1-y 2=4-t -43 m 2-12=43t +4,所以S 1=12t y 1-y 2 ,S 2=124-t y 1-y 2 ,所以S 21-S 1S 2+S 22=14t 2y 1-y 2 2-t 4-t 4y 1-y 2 2+14(4-t )2y 1-y 22=14y 1-y 2 2t 2-4t +t 2+16-8t +t 2 =14×48t +4 23t 2-12t +16 =36-489t +8 t 2+8t +16,令9t +8=λλ>26 ,则S 21-S 1S 2+S 22=36-48×81λ+282λ+56≥97,当且仅当λ=28,即t =209时,不等式取等号,故当t =209时,S 21-S 1S 2+S 22取得最小值97.【例2】已知椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为32,且过点1,2 .(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 被圆x 2+y 2=a 2截得的弦长为26,设直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)e =32,b a =a 2-c 2a =1-e 2=12,由椭圆过点1,2 得4a 2+1b 2=1,解得a 2=8,b 2=2,∴椭圆C 的方程为y 28+x 22=1.(2)直线l 被圆x 2+y 2=8截得的弦长为26,则圆心到直线l 的距离d 满足6 2=22 2-d 2,解得d =2,当l 的斜率存在时,设l :y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,圆心为原点则有d =m 1+k 2=2,∴m 2=2k 2+1.将l 方程代入椭圆方程中整理得:k 2+4 x 2+2mkx +m 2-8=0,∴x 1+x 2=-2mk k 2+4,x 1x 2=m 2-8k 2+4,AB =k 2+1⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=k 2+1⋅42k 2+8-m 2k 2+4=46⋅k 2+1k 2+4,∴S △OAB =12AB d =43×1k 2+1+3k 2+1≤2,当且仅当k 2+1=3k 2+1,即k =±2时取等号.当l 的斜率不存在时,则l :x =±2,过椭圆的左、右顶点,此时直线l 与椭圆只有一个交点,不符合题意.∴△OAB 面积的最大值为2.(二)把距离或长度用单变量表示,然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式,把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数,然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圆C 过定点A (0,p )(p >0),圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动,若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦,设|AM |=m ,|AN |=n ,∠MAN =θ.(1)当点C 运动时,|MN |是否变化?试证明你的结论;(2)求m n +n m的最大值.【解析】(1)设C x 0,x 202p ,则AC =x 20+x 202p -p 2,故圆C 的方程x -x 0 2+y -x 202p2=x 20+x 202p -p2 ,令y =0有x -x 0 2+x 404p 2=x 20+x 404p 2-x 20+p 2,故x -x 0 2=p 2,解得x 1=x 0+p ,x 2=x 0-p ,故MN =x 1-x 2 =2p 不变化,为定值(2)由(1)不妨设M x 0-p ,0 ,N x 0+p ,0 ,故m =x 0-p 2+p 2,n =x 0+p 2+p 2,故m n +nm=m 2+n 2mn =x 0-p 2+p 2+x 0+p 2+p 2x 0-p 2+p 2x 0+p 2+p 2=2x 20+4p 2x 20+2p 2 2-4p 2x 2=2x 20+2p 2 x 40+4p 4=21+4x 20p 2x 40+4p 4=21+4p 2x 20+4p 4x 2≤21+4p 22x 20⋅4p 4x 20=22,当且仅当x 2=4p 4x 20,即x 0=±2p 时取等号.故m n +nm 的最大值为22(三)把面积表示为单变量函数,然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数,然后利用均值不等式求最值.【例4】(2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0)且经过点P (3,2).(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)【解析】(1)由椭圆的定义,可知2a =PF 1 +PF 2 =(23)2+4+2=4+2=6解得a =3,又b 2=a 2-(3)2=6.∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 26=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ,联立椭圆方程,得5x 2+6mx +3m 2-18=0,△=36m 2-60m 2+360>0,得-15<m <15设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-6m 5,x 1⋅x 2=3m 2-185,∴|AB |=2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2⋅36m 225-12m 2-725=435⋅15-m 2,点O (0,0)到直线l :x +y -m =0的距离d =|m |2,∴S △AOB =12|AB |⋅d =12×435×15-m 2×|m |2=6515-m 2 ⋅m2≤6515-m 2+m 22 2=65×152=362.当且仅当15-m 2=m 2,(-15<m <15),即m 2=152,m =±302时取等号;∴△AOB 面积的最大值为362.(四)把面积用双变量表示,然后利用均值不等式求最值求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系,然后利用和或积为定值,借助均值不等式求最值.【例5】(2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的离心率为e =32,Q 2,22 为椭圆上一点.直线l 不经过原点O ,且与椭圆交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点.(1)求椭圆的方程;(2)求△OAB 面积的最大值,并求当△OAB 面积最大时AB 的取值范围.【解析】(1)∵e =c a =32,a 2=b 2+c 2,∴a 2=43c 2,b 2=c 23,∴3x 24c 2+3y 2c 2=1.将Q 2,22 代入得32c 2+32c2=1⇒c =3⇒a 2=4,b 2=1,∴椭圆方程为x24+y 2=1.(2)设l :x =ty +m m ≠0 ,与椭圆联立得:t 2+4 y 2+2tmy +m 2-4=0,所以y 1+y 2=-2tm t 2+4,y 1y 2=m 2-4t 2+4,Δ=16t 2+4-m 2 >0.则S △OAB =12m ⋅y 1-y 2 =2m t 2+4-m 2t 2+4=2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ,因为t 2+4-m 2>0,故0<m 2t 2+4<1,所以2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ≤m 2t 2+4+1-m 2t 2+4 =1当且仅当m 2t 2+4=12时取等号,此时Δ=16m 2>0,符合题意.所以S △OAB ≤1,即△OAB 面积的最大值为1.当t 不存在时,设l :y =h h ≠0 ,则S △OAB =21-h 2⋅h ≤1,当h =22时取等号.综上,△OAB 面积的最大值为1当△OAB 面积最大时:若t 存在,则此时t 2=2m 2-4≥0⇒m 2≥2,则AB =1+t 2⋅4t 2+4-m 2t 2+4=22-3m 2∈2,22 ,若t 不存在,则此时AB =41-h 2=22.综上,AB ∈2,22 ..(五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率,然后利用函数或不等式知识求解,二是设出直线的点斜式或斜截式方程,利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例6】(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2.(1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ =9QF,求直线OQ 斜率的最大值.【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ,准线方程为x =-p2,由题意,该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2,所以该抛物线的方程为y 2=4x ;(2)设Q x 0,y 0 ,则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ,所以P 10x 0-9,10y 0 ,由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ,即x 0=25y 20+910,据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925,所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9,当y 0=0时,k OQ =0;当y 0≠0时,k OQ =1025y 0+9y 0,当y 0>0时,因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30,此时0<k OQ ≤13,当且仅当25y 0=9y 0,即y 0=35时,等号成立;当y 0<0时,k OQ <0;综上,直线OQ 的斜率的最大值为13.(六)与数量积有关的最值问题求解与数量积有关的最值问题,通常利用数量积的定义或坐标运算,把数量积表示成某个变量的函数,然后再利用均值不等式求最值.【例7】设椭圆x 25+y 24=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ,曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ,且与C 分别切于A 、B 两点,求PA ⋅PB的最小值.【解析】设椭圆的两切线为l 1,l 2.①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时,对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴,可知切点为;②当l 1与x 轴不垂直且不平行时,x ≠±5,设l 1的斜率为k ,则k ≠0,l 2的斜率为-1k,并设l 1,l 2 的交点为x 0,y 0 ,则l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ,联立x 25+y 24=1,得:5k 2+4 x 2+10y 0-kx 0 kx +5y 0-k 0x 0 2-20=0 ,∵直线与椭圆相切,∴Δ=0,得5y 0-kx 0 2k 2-5k 2+4 y 0-kx 0 2-4 =0,∴x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0,∴k 是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的一个根,同理-1k是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的另一个根,∴k ⋅-1k =y 20-4x 20-5得x 20+y 20=9,其中x ≠±5,∴交点的轨迹方程为:x 2+y 2=9x ≠±5 ,∵±5,±2 也满足上式;综上知:轨迹C 方程为x 2+y 2=9;设PA =PB =x ,∠APB =θ,则在△AOB 与△APB 中应用余弦定理知,AB 2=OA 2+OB 2-2OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =PA 2+PB 2-2PA ⋅PB ⋅cos ∠APB ,即32+32-2⋅3⋅3cos 180°-θ =x 2+x 2-2x ⋅x ⋅cos θ ,即x 2=91+cos θ1-cos θ,PA ⋅PB =PA ⋅PB cos ∠APB =x ⋅x cos θ=91+cos θ cos θ1-cos θ,令t =1-cos θ∈0,2 ,则cos θ=1-t ,PA ⋅PB =92-t 1-t t =9t 2-3t +2 t =9⋅t +2t-3 ≥9⋅2t ⋅2t -3 =922-3 ,当且仅当t =2t,即t =2时,PA ⋅PB 取得最小922-3 ;综上,PA ⋅PB 的最小为922-3 .三、跟踪检测1.(2023届山东省青岛市高三上学期检测)在平面直角坐标系Oxy 中,动圆P 与圆C 1:x 2+y 2+2x -454=0内切,且与圆C 2:x 2+y 2-2x +34=0外切,记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程;(2)不过圆心C 2且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ,M 两个不同的点,连接AC 2交轨迹E 于点B .(i )若直线MB 交x 轴于点N ,证明:N 为一个定点;(ii )若过圆心C 1的直线交轨迹E 于D ,G 两个不同的点,且AB ⊥DG ,求四边形ADBG 面积的最小值.【解析】(1)设动圆P 的半径为R ,圆心P 的坐标为x ,y由题意可知:圆C 1的圆心为C 1-1,0 ,半径为72;圆C 2的圆心为C 21,0 ,半径为12.∵动圆P 与圆C 1内切,且与圆C 2外切,∴PC 1 =72-RPC 2 =12+R⇒PC 1 +PC 2 =4>C 1C 2 =2∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点的椭圆,设其方程为:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),其中2a =4,2c =2,∴a =2,b 2=3从而轨迹E 的方程为:x 24+y 23=1(2)(i )设直线AB 的方程为y =k x -1 k ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则M x 1,-y 1 由y =k x -1x 24+y 23=1可得:4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0∴x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3直线BM 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ,令y =0可得N 点的横坐标为:x N =x 2-x 1y 2+y 1y 1+x 1=k x 2-x 1 x 1-1 k x 1+x 2-2+x 1=2x 1x 2-x 1+x 2 x 1+x 2-2=2×4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4∴N 为一个定点,其坐标为4,0(ii )根据(i )可进一步求得:AB =1+k 2x 2-x 1 =1+k 2×x 2+x 12-4x 1x 2=1+k 2×8k 24k 2+3 2-4×4k 2-124k 2+3=12k 2+1 4k 2+3.∵AB ⊥DG ,∴k DG =-1k,则DG =12k 2+13k 2+4∵AB ⊥DG ,∴四边形ADBG面积S=12AB×DG=12×12k2+14k2+3×12k2+13k2+4=72k2+124k2+33k2+4(法一)S=72k2+124k2+33k2+4≥72k2+124k2+3+3k2+422=28849等号当且仅当4k2+3=3k2+4时取,即k=±1时,S min=288 49(法二)令k2+1=t,∵k≠0,∴t>1,则S=72t212t2+t-1=72-1t2+1t+12=72-1t-122+494当1t=12,即k=±1时,S min=288492.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点3,-32,且椭圆的离心率e=12,过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点A,B及C、D.(1)求椭圆的方程;(2)求证:1|AB|+1|CD|为定值;(3)求|AB|+916|CD|的最小值.【解析】(1)由e=ca=12,得c2a2=14,∴a2=4c2=4(a2-b2),∴3a2=4b2.①,由椭圆过点3,-3 2知,3a2+34b2=1②.联立①②式解得a2=4,b2=3.故椭圆的方程是x24+y23=1.(2)1|AB|+1|CD|为定值712.证明:椭圆的右焦点为F(1,0),分两种情况.1°不妨设当AB的斜率不存在时,AB:x=1,则CD:y=0.此时|AB|=2b2a=3,|CD|=2a=4,1|AB|+1|CD|=712;2°当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k(x-1)(k≠0),则CD:y=-1k(x-1).又设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组y=k(x-1)3x2+4y2=12 ,消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,∴x1+x2=8k24k2+3,x1∙x2=4k2-124k2+3,∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+k2∙(x1+x2)2-4x1x2=1+k2∙64k4-16(k2-3)(4k2+3)(4k2+3)2=12(k2+1)4k2+3,由题知,直线CD的斜率为-1 k,同理可得|CD |=12(1+k 2)4+3k 2所以1|AB |+1|CD |=7k 2+712(k 2+1)=712为定值.(3)解:由(2)知1|AB |+1|CD |=712,∴|AB |+916|CD |=127|AB |+916|CD | 1|AB |+1|CD |=1272516+916|CD ||AB |+|AB ||CD |≥1272516+2916|CD ||AB |×|AB ||CD |=214,当且仅当916|CD ||AB |=|AB ||CD |,即|AB |=34|CD |,即|AB |=3,|CD |=4时取等号,∴|AB |+916|CD |的最小值为214.3.(2023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试)已知离心率为12的椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点1,32,抛物线C 2:y 2=2px p >0 .(1)若抛物线C 2的焦点恰为椭圆C 1的右顶点,求抛物线方程;(2)若椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为A ,过A 但不经过原点的直线l 交椭圆C 1于B ,交抛物线C 2于M ,且AM =MB,求p 的最大值,并求出此时直线l 的斜率.【解析】(1)由c a =12设a 2=4c 2,b 2=3c 2,所以将点1,32 代入椭圆C 1:x 24c 2+y 23c 2=1得:椭圆C 1:x 24+y 23=1,所以C 1的右顶点为2,0 ,依题意p 2=2,所以抛物线C 2方程为y 2=8x ;(2)设直线l 的方程为x =my +t t ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,M x 0,y 0 ,联立x =my +t x 24+y 23=1,消去x 整理得3m 2+4 y 2+6mty +3t 2-12=0,显然Δ>0则y 1+y 2=-6km 3m 2+4,所以y 0=y 1+y 22=-3km 3m 2+4,x 0=my 0+t =4t3m 2+4;联立x =my +t y 2=2px,消去x 整理得y 2-2pmy -2pt =0,∴Δ>0,且y 1y 0=-2pt∴y 1=-2pty 0=2p 3m 2+4 3m由抛物线方程得x 1=y 212p =2p 3m 2+4 29m 2,所以点坐标为A 2p 3m 2+4 29m 2,2p 3m 2+4 3m,将点A 代入椭圆方程3x 2+4y 2=12有:32p 3m 2+429m 22+42p 3m 2+4 3m 2=12整理得:27p2=133m +4m 4+43m +4m 2,令t =3m +4m2,则t ≥23m ⋅4m 2=48,当且仅当3m =4m即m =43,即直线l 的斜率k =32时t ≥48取等号,所以27p2=13t 2+4t ≥20×48,∴p 2≤9320,∴p ≤3540,即p 的最大值为3540,此时直线l 的斜率为32.4.平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为26,过焦点的最短弦长为 2.(1)求椭圆的标准方程;(2)斜率为12的直线与椭圆交于A ,B 两点,P 为椭圆上异于A ,B 的点,求△PAB 的面积的最大值.【解析】(1)由题意得2c =26,2b 2a =2a 2-b 2=c 2⇒a 2=8,b 2=2,故椭圆的标准方程为x 28+y 22=1;(2)设直线AB 的方程为y =12x +m ,则x 28+y 22=1y =12x +m⇒x 2+2mx +2m 2-4=0,,Δ=16-4m 2>0⇒-2<m <2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1+x 2=-2m x 1x 2=2m 2-4AB =16-4m 2×1+14=5×4-m 2,当-2<m ≤0时,当P 到AB 的距离最大时,点P 在第二象限且过P 点的切线正好与AB 平行,设切线方程为y =12x +n ,n >0,x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0,由Δ=16-4n 2=0得n =2,此时P (-2,1),P 到AB 的距离最大为d =m -21+14=2m -2 5,故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m -2 5=4-m 2×m -2 ,则S 2=(2+m )(2-m )3=13(6+3m )(2-m )3≤13×6+3m +6-3m 4 4=27,故S ≤33,当且仅当m =-1时取等号. 当0<m <2时,当P 到AB 的距离最大时,点P 在第四象限且过P 点的切线正好与AB 平行,设切线方程为y =12x +n ,n <0,x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0,由Δ=16-4n 2=0得n =-2,此时P (2,-1),P 到AB 的距离最大为d =m +21+14=2m +2 5,故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m +2 5=4-m 2×m +2 ,则S 2=(2-m )(2+m )3=13(6-3m )(2+m )3≤13×6-3m +6+3m 4 4=27,故S ≤33,当且仅当m =1时取等号. 所以△PAB 的面积的最大值为33.5.平面直角坐标系中,过点(1,0)的圆C 与直线x =-1相切.圆心C 的轨迹记为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)设A ,B 为曲线Γ上的两点,记AB 中点为M ,过M 作AB 的垂线交x 轴于N .①求x N -x M ;②当AB =10时,求x N 的最大值.【解析】(1)设C (x ,y ),由题意,则C 到(1,0)的距离等于C 到x =-1的距离,故C 的轨迹为抛物线y 2=4x ;(2)设A y 124,y 1 ,B y 224,y 2 ,则M y 12+y 228,y 1+y 22,①k AB =y 1-y 2y 124-y 224=4y 1+y 2故k MN=-y 1+y 24,MN :y -y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228,令y =0,得0-y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228,故x N =y 12+y 228+2,即xN -x M =2,②由题意y 124-y 2242+(y 1-y 2)2=10,即40=(y 1-y 2)2[(y 1+y 2)2+16]≤(y 1-y 2)2+(y 1+y 2)2+162=y 12+y 22+8,故x N =y 12+y 228+2≥6.6.已知点F 1、F 2分别为椭圆Γ:x 22+y 2=1的左、右焦点,直线l :y =kx +t 与椭圆Γ有且仅有一个公共点,直线F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ,垂足分别为点M 、N .(1)求证:t 2=2k 2+1;(2)求证:F 1M ⋅F 2N为定值,并求出该定值;(3)求OM +ON ⋅ OM -ON的最大值.【解析】(1)联立l :y =kx +t 与Γ:x 22+y 2=1得:2k 2+1 x 2+4ktx +2t 2-2=0,由直线与椭圆有一个公共点可知:Δ=4kt 2-42k 2+1 2t 2-2 =0,化简得:t 2=2k 2+1;(2)由题意得:F 1-1,0 ,F 21,0 ,因为F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ,所以F 1M ∥F 2N ,故F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N ,其中F 1M =-k +tk 2+1,F 2N =k +tk 2+1,所以F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N =-k +t k 2+1⋅k +t k 2+1=t 2-k 2 k 2+1=2k 2+1-k 2k 2+1=1,F 1M ⋅F 2N为定值,该定值为1;(3)OM +ON =OF 1 +F 1M +OF 2 +F 2N =F 1M +F 2N =F 1M +F 2N ,由题意得:点F 1,F 2在直线l 的同侧,所以F 1M +F 2N =-k +t k 2+1+k +t k 2+1=2t k 2+1,OM -ON =NM =F 1F 2 ⋅MNMN=F 1F 2 cos α=2k 2+1,(其中α为F 1F 2 ,MN 的夹角),由此可知:OM +ON ⋅ OM -ON =4t k 2+1=8t t 2+1=8t +1t ≤82t ⋅1t=4,当且仅当t =1t即t =1,k =0时,等号成立,所以OM +ON ⋅ OM -ON 的最大值为4.7.(2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =22,且点P 2,1 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若点A ,B 都在椭圆C 上,且AB 中点M 在线段OP (不包括端点)上.求△AOB 面积的最大值.【解析】(1)离心率e =c a =22,将P 代入椭圆方程,可得4a 2+1b2=1,又a 2-b 2=c 2 ,∴联立上述方程,可得:a =6, b =c =3,∴椭圆方程为x 26+y 23=1;(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 可得:x 21+2y 21=6,x 22+2y 22=6,相减可得:x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,由题意,k OM =k OP =12,即y 1+y 2x 1+x 2=12,∴直线AB 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22y 1+y 2=-12×2=-1,故可设直线AB 为y =-x +t ,代入椭圆方程可得:3x 2-4tx +2t 2-6=0,由Δ=16t 2-12(2t 2-6)>0,解得-3<t <3,∴x 1+x 2=4t 3,x 1x 2=2t 2-63,AB =2⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2⋅16t 29-8t 2-243=439-t 2,又O 到AB 的距离为d =t2,∴△AOB 面积为S =12AB d =23t 29-t 2≤23⋅t 2+9-t 22=322,当且仅当t 2=9-t 2,即t =±322时,S 取得最大值322.8.(2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点为B 0,1 ,过点2,0 且与x 轴垂直的直线被截得的线段长为233.(1)求椭圆Γ的标准方程﹔(2)设直线l 1交椭圆Γ于异于点B 的P ,Q 两点,以PQ 为直径的圆经过点B ,线段PQ 的中垂线l 2与x 轴的交点为(x 0,0),求x 0的取值范围.【解析】(1)由已知条件得:b =1,令x =2,得y =±1-2a2,由题意知:21-2a 2=233,解得a =3,∴椭圆的标准方程为x 23+y 2=1,(2)①当直线PQ 的斜率不存在时,显然不合题意;②当直线PQ 斜率存在时,设PQ :y =kx +m ,当k =0时,此时P ,Q 关于y 轴对称,令P (x ,y ),Q (-x ,y ),∴BP =(x ,y -1),BQ =(-x ,y -1)且BP ⋅BQ=0,则(y -1)2=x 2,又x 2=3-3y 2,∴2y 2-y -1=0,解得y =-12或y =1(舍),则P 32,-12 ,Q -32,-12符合题设.∴此时有x 0=0;当k ≠0时,则y =kx +mx 2+3y 2=3,得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0,Δ=36k 2+12-12m 2>0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,则y =kx +mx 2+3y 2=3,得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0,Δ=36k 2+12-12m 2>0,且x 1+x 2=-6km 1+3k2x 1x 2=3m 2-31+3k 2,由BP ⋅BQ=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =0,即1+k 2 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2=0,∴1+k 2 ⋅3m 2-31+3k 2-k m -1 ⋅6km 1+3k 2+m -1 2=0,整理得2m 2-m -1=0,解得m =-12,m =1(舍去),代入Δ=36k 2+12-12m 2>0得:k ∈R ,∴PQ 为y =kx -12,得:x M =x 1+x 22=3k 21+3k 2 ,y M =-121+3k 2 ,则线段的PQ 中垂线l 2为y +121+3k 2 =-1k x -3k 21+3k 2,∴在x 轴上截距x 0=k 1+3k 2,而x 0=k 1+3k 2≤k 2×3k=36,∴-36≤x 0≤36且x 0≠0,综合①②:线段PQ 的中垂线l 2在x 轴上的截距的取值范围是-36,36.9.(2022届河北省高三上学期12月教学质量监测)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1-1,0 ,F 21,0 ,点P 满足PF 1 +PF 2 =22,点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程;(2)不过F 1的直线l 与C 交于A 、B 两点,若直线l 的斜率是直线AF 1、BF 1斜率的等差中项,直线AB 和线段AB 的垂直平分线与y 轴分别交于P 、Q ,求PQ 的最小值.【解析】(1)由椭圆的定义知,点P 在以F 1,F 2为焦点且a =2的椭圆上,所以其方程为:x 22+y 2=1(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0.直线l 的方程为y =kx +b ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线方程与椭圆方程联立得x 2+2y 2=2y =kx +b得1+2k 2 x 2+4kb x +2b 2-2=0,所以Δ=4kb 2-41+2k 2 2b 2-2 >0得k 2+1>b 2x 1+x 2=-4kb 1+2k 2,x 1x 2=2b 2-21+2k 2由题意得2k =y 1x 1+1+y 2x 2+1,即2k x 1+1 x 2+1 =kx 1+b x 2+1 +kx 2+b x 1+1整理得b -k x 1+x 2 =2k -b∵直线l 不过F 1,∴b ≠k ,x 1+x 2=-2∴-4kb 1+2k 2=-2,∴b =1+2k 22k ∵b 2<k 2+1,∴1+2k 22k 2<k 2+1,解得k >22或k <-22线段AB 的中点为-1,b -k ,线段AB 中垂线方程为y -b -k =-1kx +1 当x =0时,y Q =-1k-k +b ,直线AB 与y 轴交点的纵坐标y P =b PQ =y P -y Q =k +1k,k >22或k <-22当k =±1时,PQ 最小,最小值为2.10.已知两圆C 1:(x -2)2+y 2=54,C 2:(x +2)2+y 2=6,动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1内切,和圆C 2外切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程;(2)过点A 3,0 的直线与曲线C 交于P ,Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ,求△ARQ 面积的最大值.【解析】(1)依题意,圆C 1的圆心C 12,0 ,半径r 1=36,圆C 2的圆心C 2-2,0 ,半径r 2=6,设圆M 的半径为r ,则有MC 1 =r 1-r ,MC 2 =r 2+r ,因此,MC 1 +MC 2 =r 1+r 2=46>4=C 1C 2 ,于是得点M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,长轴长2a =46的椭圆,此时,焦距2c =4,短半轴长b 有:b 2=a 2-c 2=20,所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为:x 224+y 220=1.(2)显然直线PQ 不垂直于坐标轴,设直线PQ 的方程为x =my +3(m ≠0),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由x =my +35x 2+6y 2=120消去x 得:(5m 2+6)x 2+30my -75=0,则y 1+y 2=-30m 5m 2+6,y 1y 2=-755m 2+6,点P 关于x 轴的对称点R (x 1,-y 1),S △PQR =12⋅|2y 1|⋅|x 2-x 1|,S △APR =12⋅2y 1⋅ 3-x 1 ,如图,显然x 1与x 2在3的两侧,即x 2-x 1与3-x 1同号,于是得S △AQR =S △PQR -S △APR =y 1 x 2-x 1- 3-x 1 =y 1⋅ x 2-x 1 -3-x 1=|y 1|⋅|x 2-3|=|y 1|⋅|my 2|=|my 1y 2|=75|m |5m 2+6=755|m |+6|m |≤7525|m |⋅6|m |=5304,当且仅当5|m |=6|m |,即m =±305时取“=”,因此,当m =±305时,(S △AQR )max =5304,所以△ARQ 面积的最大值5304.11.已知椭圆C :x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22,分别过左、右焦点F 1,F 2作两条平行直线l 1和l 2.(1)求l 1和l 2之间距离的最大值;(2)设l 1与C 的一个交点为A ,l 2与C 的一个交点为B ,且A ,B 位于x 轴同侧,求四边形AF 1F 2B 面积的最大值.【解析】(1)∵椭圆C :x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22,且b =1,∴a =2,b =1,c =1,∴x 22+y 2=1,设直线l 1:x =ty -1;直线l 2:x =ty +1.∴l 1和l 2之间距离d =21+t 2≤2,当t =0时,d max =2;(2)根据题意,不妨设直线l 1与椭圆C 交于A 、D 两点,直线l 2与椭圆C 交于B 、N 两点,则AD ∥BN ,且AD =BN ,即四边形ABND 为平行四边形,∴四边形AF 1F 2B 面积为四边形ABND 面积的一半,由(1)知,d =21+t 2,联立方程x =ty -1x 2+2y 2=2 ,则2+t 2 y 2-2ty -1=0,∴Δ=8t 2+1 >0,y 1+y 2=2t 2+t 2,y 1y 2=-12+t 2,∴AD =1+t 2y 1-y 2 =22t 2+1 2+t 2,∴12S ▱ABND =12d ⋅AD =12×21+t 2×22t 2+1 2+t 2=221+t 22+t 22,令u =1+t 2≥1,12S ▱ABND =22u u +1 2=221u +1u+2,∵u ≥1,∴u +1u+2≥4,∴12S ▱ABND ≤2,当且仅当t =0时,取等号.故四边形AF 1F 2B 面积的最大值2.12.(2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟)设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过M 1,32 ,N 3,12 两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA ⊥OB若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)将M ,N 的坐标代入椭圆E 的方程得1a 2+34b 2=13a 2+14b 2=1 ,解得a 2=4,b 2=1.所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.(2)假设满足题意的圆存在,其方程为x 2+y 2=R 2,其中0<R <1,设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点,当直线AB 的斜率存在时,令直线AB 的方程为y =kx +m ,①将其代入椭圆E 的方程并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0,由韦达定理得x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1,②因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,③将①代入③并整理得1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=0,联立②得m 2=451+k 2 ,④因为直线AB 和圆相切,因此R =|m |1+k 2,由④得R =255,所以存在圆x 2+y 2=45满足题意.当切线AB 的斜率不存在时,易得x 12=x 22=45,由椭圆方程得y 12=y 22=45,显然OA ⊥OB ,综上所述,存在圆x 2+y 2=45满足题意.当切线AB 的斜率存在时,由①②④得AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+k 2x 1-x 2 2=1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-8km 4k 2+1 2-4×4m 2-44k 2+1=1+k216+64k 2-16m 21+4k 22=4551+k 21+16k 21+4k 22=45516k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1=4551+9k 216k 4+8k 2+1=4551+916k 2+1k2+8,由16k 2+1k 2≥8,得1<1+916k 2+1k2+8≤54,即455≤AB ≤5.当切线AB 的斜率不存在时,易得AB =455,所以455≤AB ≤5.综上所述,存在圆心在原点的圆x 2+y 2=45满足题意,且455≤AB ≤5.13.(2022届上海市青浦区高三一模)已知抛物线y 2=x .(1)过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,求OA ∙OB 的值(其中O 为坐标原点);(2)过抛物线上一点C x 0,y 0 ,分别作两条直线交抛物线于另外两点P x p ,y p 、Q x Q ,y Q ,交直线x =-1于A 1-1,1 、B 1-1,-1 两点,求证:y p ⋅y Q 为常数(3)已知点D 1,1 ,在抛物线上是否存在异于点D 的两个不同点M 、N ,使得DM ⏊MN ?若存在,求N 点纵坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题知,直线斜率不为0,故可设过焦点F 的直线为x =my +14,联立y 2=xx =my +14得y 2-my -14=0,y 1+y 2=my 1⋅y 2=-14,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则OA ∙OB =x 1x 2+y 1y 2=y 21⋅y 22+y 1y 2=-316;(2)由题可设过点C x 0,y 0 的一条直线交抛物线于P x p ,y p ,交直线x =-1于A 1-1,1 ,另一条直线交抛物线于Q x Q ,y Q ,交直线x =-1于B 1-1,-1 ,则k A 1C ≠0,k B 1C ≠0,k A 1C =y 0-1x 0+1,k B 1C =y 0+1x 0+1,直线A 1C 方程可表示为:y =y 0-1x 0+1x +1 +1,直线B 1C 方程可表示为:y =y 0+1x 0+1x +1 +1,联立直线A 1C 与抛物线方程y 2=xy =y 0-1x 0+1x +1+1可得y 2-x 0+1y 0-1y +x 0+1y 0-1+1 ,故y 0+y p =x 0+1y 0-1,即y p =x 0+1y 0-1-y 0,同理联立直线B 1C 和抛物线方程化简可得y 2-x 0+1y 0-1y +1-x 0+1y 0-1=0,故y 0+y Q =x 0+1y 0+1,y Q =x 0+1y 0+1-y 0,即y p ⋅y Q =x 0+1y 0-1-y 0 x 0+1y 0+1-y 0 =y 20+1y 0-1-y 0 y 20+1y 0+1-y 0=y 0+1y 0-1⋅1-y 0y 0+1=-1(3)假设存在点D 满足DM ⏊MN ,设M y 23,y 3 ,N y 24,y 4 ,DM =y 23-1,y 3-1 ,MN =y 24-y 23,y 4-y 3 ,则DM ⋅MN =y 23-1 ⋅y 24-y 23 +y 3-1 y 4-y 3 =0,易知y 3≠1,y 4≠y 3,化简得y 3+1 y 4+y 3 +1=0,即y 4=-1y 3+1+y 3 =-1y 3+1+y 3+1 -1,当y 3+1<0时,y 4=-1y 3+1-y 3+1 +1≥2-1y 3+1⋅-y 3+1 +1=3,当且仅当y 3=-2时取到等号,故y 4≥3;当y 3+1>0时,y 4=-1y 3+1+y 3+1 -1 ≤-21y 3+1⋅y 3+1 -1 =-1,当且仅当y 3=0时取到等号,因为y 3≠1,故y 3+1≠2,令t =y 3+1,则t +1t ≠52,但t =y 3+1=12能取到,此时t +1t =52,故y 4∈-∞,-1 ;故y 4∈-∞,-1 ⋃3,+∞ .。

高中数学高考复习离散型随机变量的均值与方差(理)完美

高中数学高考复习离散型随机变量的均值与方差(理)完美

EX)2 的期望,并称之为随机变量 X 的方差,记为 DX . 方差越小,则随机变量的取值就越 集中 在其均值周 围;反之,方差越大,则随机变量的取值范围就越 分散.
2.常见分布的均值与方差 (1)若 X 服从二点分布,则 EX= p ,DX= p(1-p) ; (2)若 X~B(n,p),则 EX= np ,DX= np(1-p) ; (3)若 X 服从参数为 N,M,n 的几何分布,则 EX= nM N .
0.56<DX,乙稳定.
5.(2011· 上海理,9)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表: x P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?
请小牛同学计算 ξ 的数学期望,尽管“!”处完全无法看 清, 且两个“?”处字迹模糊, 但能断定这两个“?”处的数 值相同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ=________.
[答案]
2
[解析]
nM 4×5 EX= N = 10 =2.
7.已知某运动员投篮命中率 p=0.6. (1)求一次投篮命中次数 ξ 的均值; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数 η 的均值.
[解析] (1)投篮一次,命中次数 ξ 的分布列为 ξ P 则 Eξ=p=0.6. (2)由题意,重复 5 次投篮,命中次数 η 服从二项分布, 即 η~B(5,0.6).则 Eη=5×0.6=3. 0 0.4 1 0.6
课堂典例讲练
离散型随机变量的均值
[例 1]
袋中有同样的 5 个球, 其中 3 个红球, 2 个黄球,
现从中随机且不返回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球 都被摸到时,即停止摸球,记随机变量 X 为此时已摸球的次 数. (1)求随机变量 X 的概率分布列; (2)求随机变量 X 的均值. [分析] 解题的关键是确定随机变量的取值和应用排列

第8关: 均值不等式问题—拼凑8法

第8关: 均值不等式问题—拼凑8法

第8关:均值不等式问题—拼凑8法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。

在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。

均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。

以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种拼凑方法。

笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。

一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。

例1已知,求函数的最大值。

解:。

当且仅当,即时,上式取“=”。

故。

评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。

例2 求函数的最大值。

解:。

因,当且仅当,即时,上式取“=”。

故。

评注:将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元,为“拼凑定和”创造条件。

例3已知,求函数的最大值。

解:。

当且仅当,即时,上式取“=”。

故,又。

亲爱的老师们:我有一套非常好的word资料,叫“高考数学常考问题-大闯关(36关)”,但是部分内容是图片的不能编辑,为了更好的使用本资料,本人打算将这套资料翻录一下与愿意翻录的老师共享,所谓翻录就是重新用公式编辑器将资料中的图片录入成可以正常显示便于编辑的公式,每个老师录入1-2关,完全按照已有文档录入,在半天之内就可以完成。

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高考数学常考问题-大闯关(36关)目录第1关:极值点偏移问题--对数不等式法第2关:参数范围问题—常见解题6法第3关:数列求和问题—解题策略8法第4关:绝对值不等式解法问题—7大类型第5关:三角函数最值问题—解题9法第6关:求轨迹方程问题—6大常用方法第7关:参数方程与极坐标问题—“考点”面面看第8关:均值不等式问题—拼凑8法第9关:不等式恒成立问题—8种解法探析第10关:圆锥曲线最值问题—5大方面第11关:排列组合应用问题—解题21法第12关:几何概型问题—5类重要题型第13关:直线中的对称问题—4类对称题型第14关:利用导数证明不等式问题—4大解题技巧第15关:函数中易混问题—11对第16关:三项展开式问题—破解“四法”第17关:由递推关系求数列通项问题—“不动点”法第18关:类比推理问题—高考命题新亮点第19关:函数定义域问题—知识大盘点第20关:求函数值域问题—7类题型16种方法第21关:求函数解析式问题—7种求法第22关:解答立体几何问题—5大数学思想方法第23关:数列通项公式—常见9种求法第24关:导数应用问题—9种错解剖析第25关:三角函数与平面向量综合问题—6种类型第26关:概率题错解分类剖析—7大类型第27关:抽象函数问题—分类解析第28关:三次函数专题—全解全析第29关:二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点第30关:解析几何与向量综合问题—知识点大扫描第31关:平面向量与三角形四心知识的交汇第32关:数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想第33关:函数零点问题—求解策略第34关:求离心率取值范围—常见6法第35关:高考数学选择题—解题策略第36关:高考数学填空题—解题策略二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段,变为“和”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,配项凑定积,创造运用均值不等式的条件例4设,求函数的最小值。

三种常用分布均值、方差公式的应用

三种常用分布均值、方差公式的应用

三种常用分布均值、方差公式的应用摘要:高中数学选修2-3中,介绍了三种典型分布。

笔者通过已知分布特征,求其均值;求实际问题中特殊分布的均值;求实际问题中特殊分布的方差;求实际问题分布的方差。

并用知识点结合例析的方式进行研究。

关键词:两点分布二项分布超几何分布分布特征均值方差在高中数学选修2~3中,介绍了三种典型分布。

即两点分布。

超几何分布和二项分布,在高考中以选填题的考察为主,但在实际问题的处理过程中也会出现解答题,笔者现以例析的方式谈谈它们的应用:一、已知分布特征,求其均值欲求教学期望,首先要得到分布如果题中离散型随机变量符合两点分布。

二项分布,超几何分布,可直接代入公式求得期望。

常见的三种分布的均值,设p为一次试验中成功的概率,则①两点分布E(x)=P。

②二项分布E(x)=np ③超几何分布E(x)=例1:若随机变量X~B(100,0.1),则E(X)=解析. X~B(100,0.1) E(x)=100×0.1=10例2:若随机变量X服从n=2.M=3. N=6的超几何分布。

则E(x)=解析:由E(x)=知E(x)= =1二、求实际问题中特殊分布的均值在实际问题中要分清两点分布与二项分布,它们的相同点是在一次试验中要么发生要么不发生,它们的不同点是:a.随机变量的取值不同,两点分布中随机变量的取值为0.1,二项分布中随机变量的取值x=0,1,2……n.b.它们试验次数不同,两点分布一般只有一次试验,二项分布则进行几次试验。

在处理问题中先审清题意,确认分布类型,若是特殊分布,借助相应的均值公式求其均值。

例3:甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队三人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分,假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中三人答对的概率分别为、、,且各人回答的正确与否相互之间不影响,(1)若用表示甲队的总得分,求的教学期望。

解析,由题得知的可能取值分别为0,1,2,3则服从二项分布,不是两点分布。

高中数学离散型随机变量的分布列、均值与方差

高中数学离散型随机变量的分布列、均值与方差

离散型随机变量的分布列、均值与方差 结 束
抓高考命题的“形”与“神” 离散型随机变量均值与方差的计算
1.均值与方差的一般计算步骤 (1)理解X的意义,写出X的所有可能取的值; (2)求X取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,由均值的定义求出均值E(X),进一步由公
n
式D(X)= xi-EX2pi=E(X2)-(E(X))2求出D(X).
突破点一
突破点二
课时达标检测
离散型随机变量的分布列、均值与方差 结 束
[易错提醒] 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此 时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.
突破点一
突破点二
课时达标检测
离散型随机变量的分布列、均值与方差 结 束
求离散型随机变量的分布列 [例2] 某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
i=1
了随机变量X与其均值E(X)的_平__均__偏__离__程__度__,其算术平方根 DX为随机变量X的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=_a_E__(X__)+__b__, (2)D(aX+b)=_a_2_D_(_X_)_ (a,b为常数).
突破点一
突破点二
课时达标检测
考点贯通
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求 随机变量X的分布列.
突破点一
突破点二
课时达标检测
离散型随机变量的分布列、均值与方差 结 束
[解] (1)由已知,有P(A)=C31CC41+120 C23=13.
所以事件A发生的概率为13.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=C23+CC21320+C24=145,
突破点一

高中数学:均值不等式的应用

高中数学:均值不等式的应用

高中数学:均值不等式的应用均值不等式是高中数学中非常重要的基本定理,应用十分广泛。

一、求最值例1. 已知,则有()A. 最大值B. 最小值C. 最大值1D. 最小值1解析:因为所以,当且仅当时等号成立,故选D。

小结:运用均值不等式是求解函数最值的方法之一,解题的关键是将分式拆成满足均值定理条件的式子,应特别注意不等式成立的条件。

二、求取值范围例2. 如图1,P是抛物线C:上一点,直线l过点P,且与抛物线C交于另一点Q,若直线l不过原点,且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围。

图1解:设直线,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b),又设P(x1,y1)、Q(y2,y2)由P、Q、T三点共线,得即则即,于是。

分别过P、Q作PP”⊥x轴,QQ”⊥x轴,垂足分别为P”、Q”,则∵,∴的取值范围是(2,)小结:本题的解题关键是根据题设条件将化简,运用均值定理求出最值,进而求出其取值范围。

三、比较大小例3. 已知函数(a>0,且a≠1,),若,判断的大小,并加以证明。

分析:由于,联想到利用基本不等式可知两对数的真数的大小,再由对数函数的单调性,可知大小解:由已知得,(当且仅当时取“=”号)。

当。

即有,(当且仅当时取“=”号);当。

即有(当且仅当时,取“=”号)。

四、解实际应用题例4. 某单位用木料制作如图2所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x,y分别为多少(精确到0.001m)时,用料最省?图2解:由题意得,即。

于是,框架用料长度为。

当时等号成立,此时,,故当x为2.343m,y为2.828m 时,用料最省。

小结:本题是应用问题考查的一道起步试题,解题的关键是先建立数学模型,得到相应的解析式后,再利用均值不等式去求函数的最小值。

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第二章-2.2.4-均值不等式及其应用高中数学必修第一册人教B版

第二章-2.2.4-均值不等式及其应用高中数学必修第一册人教B版
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
教材帮|必备知识解读
知识点1 均值不等式
例1-1 已知, ∈ ,且 > 0,则下列结论恒成立的是( D
2
2
A. + > 2
1
C.

B. + ≥ 2
1

+ >
)
2


D.


+

≥2
【解析】对于A,当 = 时,2 + 2 = 2,所以A错误;
需要的代数式)
∵ > 1,∴ − 1 > 0,
∴≥2
−1
当且仅当 − 1 =
9

−1
+ 2 = 2 × 3 + 2 = 8,
9
,即
−1
故当 = 4时,min = 8.
= 4时取等号.
(3)若,是正数,则
【解析】
1 2
+
2
1 2
+
2
1 2
+ +
2
1 2
4
) 的最小值是 ___.
列不等式恒成立的是( AD
1
A.


1
4
1
B.

1
+

)
≤1
【解析】由 + = 4,得 ≤
由 ≤ 2得 ≤ 4,∴
1


1
D. 2 2
+
C. ≥ 2
+
2
4
2
= = 2,故C错误;

高中数学《均值不等式及其应用》题型战法试题及答案

高中数学《均值不等式及其应用》题型战法试题及答案

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.1 均值不等式及其应用(题型战法)知识梳理1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数,a b ,数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值. 2.均值不等式 如果,a b都是正数,那么2a b+≥,当且仅当=a b 时,等号成立. 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正:各项必须为正。

二定:要求积的最大,其和必为定值,要求和的最小,其积必为定 三等:必须验证等号成立的条件。

4.均值不等式相关拓展推式:(12112a b a b++(2)ab b a 222≥+(3))0(21>≥+a a a(4)()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一 均值不等式的内容及辨析典例1.下列不等式恒成立的是( ) A .12x x+≥B.a b +≥C .22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D .222a b ab +≥变式1-1.已知x ,y 都是正数,且x y ≠,则下列选项不恒成立的是( ) A.2x y+B .2x yy x+>C .2xyx y<+D .12xy xy +>变式1-2.已知0x >,0y >,则下列式子一定成立的是( )A2+≥x yB .2+≥x y C .2≥+xy x y D 22≥+x y变式1-3.对于0s <,0t <,下列不等式中不成立的是( )A .11s t +≥B .2st t s+≥C .22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D .22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭变式1-4.若a >0,b >0,且a ≠b ,则( )A.2a b +B 2a b +C 2a b +D 2a b +题型战法二 均值不等式的简单应用典例2.若0a >,0b >且4a b +=,则ab 的最大值为( ) A .4 B .2C .12D .14变式2-1.已知0a >,0b >且2510a b +=,则ab 的最大值为( ) A .2 B .5 C .32D .52变式2-2.已知0a >,0b >,2a b +=,则lg lg a b +的最大值为( ) A .0B .13C .12D .1变式2-3.设0a >,0b >,若lg a 和lg b 的等差中项是0,则a b +的最小值为( )A .1B .2C .4D .变式2-4.已知0x >,0y >,23x y +=,则93x y +的最小值为( )A .27B .C .12D .题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用典例3.已知正数a ,b 满足222a b +=,则下列结论错误..的是( ). A .1ab ≤ B .2a b +≤ C2 D .112ab+≤变式3-1.若0,0a b >>,且4a b +=,则下列不等式恒成立的是( ) A.112ab > B .228a b +≥ C 2 D .111a b+≤变式3-2.若0a >,0b >,且1a b +=,则( )A .2212a b +≤ B 12C .14ab≥ D .114a b+≤变式3-3.已知A .B .C .D .变式3-4.已知0a >,0b >,4a +=,则下列各式中正确的是( ) A.11ab+≤14B .11a b+>1C ≤2D .1ab≥1题型战法四 均值不等式“1”的妙用典例4.已知0x >,0y >,21x y +=,则11xy+的最小值为( )A .3+B .12C .8+D .6变式4-1.已知正数a ,b 满足1a b +=,则19ab +的最小值为( ) A .6 B .8 C .16 D .20变式4-2.若正实数x ,y 满足12+=y x,则4x y+的最小值是( )A .4B .92C .5D .9变式4-3.已知0x >,0y >,且420x y xy +-=,则2x y +的最小值为( ) A .16 B .8+C .12 D .6+变式4-4.设m ,n 为正数,且2m n +=,则4111m n +++的最小值为( ) A .134B .94C .74D .95题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别典例5.下列结论正确的是( ) A .当0x >且1x ≠时,1ln 2ln x x +B .当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,4sin sin x x +的最小值为4C .当0x >2D .当0ab ≠时,2baa b +变式5-1.下列不等式中,一定成立的是( ) A .44x x+≥ B .1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D .222x x -+≥变式5-2.已知函数()4(0)f x x x x=+<,则下列结论正确的是( )A .()f x 有最小值4B .()f x 有最大值4C .()f x 有最小值4-D .()f x 有最大值4-变式5-3.若12x -<<,则12x x +-的( )A .最小值为0B .最大值为4C .最小值为4D .最大值为0变式5-4.已知1≥x 时,函数4y x x=+的最小值为( ) A .6 B .5C .4D .3题型战法六 分式最值问题典例6.已知52x ≥,则()2452x x f x x -+=-有A .最大值52B .最小值52C .最大值2D .最小值2变式6-1.若0x <,则231x x +-的最大值是( )A .2B .2-C .4D .4-变式6-2.若11x -<<,则22222x x y x -+=-有( )A .最大值1-B .最小值1-C .最大值1D .最小值1变式6-3.设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=,则xyz的最大值为( ) A .0 B .2C .1D .3变式6-4.已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=,则58xyz-的最小值是( ) A .6B .5C .4D .3题型战法七 均值不等式的综合应用典例7.已知直线()100ax by ab +-=>过圆()()22122022x y -+-=的圆心,则11a b+的最小值为( ) A .3+B .3- C .6 D .9变式7-1.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若()22243a b c =-,当角A取最大值时,则sin C =( )A B C D变式7-2.等比数列{}n a 的各项都是正数,等差数列{}n b 满足98b a =,则( ) A .313612a a b b +>+ B .313612a a b b +≥+ C .313612a a b b +≠+ D .大小不定变式7-3.函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A .0 B .1 C .2 D .-1变式7-4.如图,在ABC 中,D 是线段BC 上的一点,且4BC BD =,过点D 的直线分别交直线AB ,AC 于点M ,N ,若AM AB λ=,(0,0)AN AC μλμ=>>,则1λμ-的最小值是( )A .21B .4 C.4 D .2第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.1 均值不等式及其应用(题型战法)知识梳理1.算术平均值与几何平均值给定两个正数,a b ,数2a b+称为,a b ,a b 的几何平均值. 2.均值不等式如果,a b 都是正数,那么2a b+≥,当且仅当=a b 时,等号成立.3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正:各项必须为正。

高中数学必修5解不等式习题精选精讲----均值定理的拓广

高中数学必修5解不等式习题精选精讲----均值定理的拓广

均值定理的拓广在高中数学教材中,均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节,且在每年的高考题中常考常新,其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现,在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等式的适用条件及适用情境。

高中教材中对均值定理的叙述是:(1)定理:如果a 、b 是正数,那么ab ba ≥+2(当且仅当a=b 时取“=”号) (2)定理:如果a 、b 、c 是正数,那么33abc c b a ≥++(当且仅当a=b=c 时取“=”号) 我们称2b a +(3c b a ++)为a 、b (a 、b 、c )的算术平均数,称ab (3abc )为a 、b(a 、b 、c)的几何平均数,因而这一定理又可叙述为“两个(或三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

”事实上,由数学归纳法可把这一定理拓广为“n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。

用均值不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,在运用均值定理求函数的最大(小)值时,往往需要掌握“凑”(凑项、凑因子)的技巧,其目的(一)是创造一个应用不等式的情境;(二)是使等号成立的条件。

例1.边长为c b a ,,的三角形,其面积等于41,而外接圆半径为1,若c b a t c b a S 111,++=++=,则S 与t 的大小关系是( ) A. t S >B. t S =C. t S <D.不确定(1986年全国高中数学联赛题)解:在三角形中,由正弦定理和面积公式可得C C R C sin 2sin 2==,又∵41sin 21==C ab S ,∴1=abc ∴ab ac bc cb a t ++=++=111∴)()()(2ac bc bc ab ac ab t +++++=S c b a bc a abc c ab 2)(2222222=++=++≥∵1====R c b a 不可能成立故上式取不到等号,∴S t >即t S <,故选C例2.若正数b a ,满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是 (1999年全国高考题第15题)解:∵+∈R b a ,,∴ab b a 2=+,∴323+≥++=ab b a ab ∴032≥--ab ab ,∴0)1)(3(≥+-ab ab ∴1-≤ab (舍去)或3≥ab ∴3≥ab然而有些题由于解析式自然,从形态上看根本凑不出定值,或虽凑出定值而其等号又不能成立,对于这样的题目,学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策。

如何使用均值定理求函数的最值

如何使用均值定理求函数的最值

均值定理是高中数学中重要的内容,在高考中占有很重要的地位,成为高考的高频考点,它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出,成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。

因此,如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。

我们知道使用均值定理时,一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。

下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法,以供参考。

1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ,16)已知a,b,c分别为ΔABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ΔABC面积的最大值为______。

解析由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,也即a2=b2+c2-bc。

由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,所以A=60°。

又因为a=2,所以4=b2+c2-bc,又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,所以bc≤4,所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√,也即面积ΔABC的最大值为3√。

点评在解题中通过配凑,直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab (a,b∈R)达到了求最值的目的。

例2若函数f(x)=-1b e ax(a>0,b>0)的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是()A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′(x)=-a b e ax,所以所求切线的斜率为k=f′(x)|x=0= -a b。

因为f(0)=-1b,所以切点为(0,-1b),则切线方程为l:y-(-1b)=-a b(x-0),也即ax+by+1=0。

因为直线l与圆相切,所以1a2+b2√=1,则a2+b2=1。

因为a2+b2≥12(a+b)2,所以(a+b)2≤2(a2+b2)=2,所以0≤a+b≤2√,也即(a+b)max=2√,故选D。

高三数学均值不等式

高三数学均值不等式
运用均值不等式的过程中,忽略了“正数” 这个条件.
2.已知函数 f (x) x 3 (x 2) , x2
求函数的最小值.
用均值不等式求最值,必须满足“定值”这 个条件.
3 求函数y sin 4 其中 (0, ]
sin
2
的最小值。
解:y sin 4 2 sin • 4
sin
3.已知x<0,求函数 f (x) x 2 的最大值.
x
4
2 2
已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
1 y
的最小值.
32 2
; 戒赌吧 ;
间静止の运用,他前不久花费了三年半时候也感悟了出来.不过肯定没有黑衣老者威力那么大,能笼罩数十里の范围. "嗡…" 这时远处突然飘来一人,此人身穿一身白色长袍,脚下竟然翻滚着熊熊烈火,将他身边の数十里路都照得红光闪耀,宛如脚踏一朵火烧云般,气势狂霸惊天.他人之所过, 下面の海水纷纷气化,冒起了滚滚水汽,更加将他滔天の气势衬托の强悍了几分. 两人没有废话,白衣人面目阴沉直接一挥手,前面闪耀出一片红光,红光闪电般辐散而去,直接朝黑衣人蔓延而去. 让人震惊の是,红光所过,黑衣人静止の空间纷纷破碎,寒风继续凛冽の吹动,半空のの海浪轰然 落下,发出巨大の响声,砸起片片水花. "火系玄奥?" 白重炙眼睛睁の老大,目不转睛紧紧盯着两人,生怕漏掉一丝,两人举手投足之间,天地为震动,风云为之变色,场面极其震撼. 红光快速辐散而来,眨眼间就达到了黑衣人前方数里.黑衣人却面不改色,将手中の白色竹棍对着前方の空间一 指,一条涟漪般の波动随着从他竹棍前方辐射而去.而前方の红光在被这涟漪拂过,再次被定在了半空中,而整个海面在这波动之下,顷刻间恢复了风平浪静. "这是空间锁定!"白重炙眼中精光暴涨,这空间锁定他无比清楚,并且还用の很是熟练.但是明显这人の空间锁定比他强太多,他可没 办法锁定一片大海の海水,这需要多大能量啊! "哼!" 白衣人俨然动了真怒了,冷哼一声,突然闭上了眼睛,双手张开,他脚下の火焰在那一刻翻滚の更加厉害了,下方冒起の水汽也将他の身影完全覆盖了进去,他の四周全部是白茫茫一片. 突兀の—— 他の头顶上方突然开始凝聚出一片七 彩の云朵,而后这七彩云朵越来越大,颜色也不断の轮流变幻,将附件百里内照の五彩斑斓,天空这时突然起风了,这风无比の强烈,从远处而来,从四面八方而来,宛如万马奔腾一样,朝他身后聚集. 风本是无形の,现在此刻の风却宛如有形有色般,黑衣人身后の天空,在他展开了双手之后,宛 如招来了千军万马一样,附近の天空都顷刻间变色,气氛变得极其压抑,就连白重炙都感觉一种压抑の令人发悸,窒息の感觉. "俺の意志不可抗拒!" 白衣人睁开了眼睛大喝一声,随着他一声大喝,头顶の七彩云朵土崩瓦解,化成一粒粒各种颜色の微尘,随后和白衣人身后の狂风,形成了一股 股骇人心魄の七彩气流,铺天盖地,霸觉一切朝前狂啸而来. 这一刻,白重炙感觉似乎整个天地都压了过来,任何东西在这七彩气流面前都宛如泥做の一样,都会被直接湮灭,化成粒粒微尘,片片烟粉. 目光所及,七彩气流所过,整个空间都留下了真空一片,什么都没有,滔天の海浪消失了,巨大 の礁石消失了,天地一切都消失了,只留下一片空白.宛如色彩斑斓の图画中,突兀の出现了一抹纯白,这感觉非常の别扭,别扭の让人有种吐血の冲动. "意志之威竟然恐怖如斯?" 白重炙感觉心都要跳了出来,但是却没有感觉身体の任何不适,顾不得感叹,连忙将目光锁定扁舟上の黑衣人,看 他如何破解着天地绝杀,只是一看他却突然眼中一亮,脸上,眼眸中陡然涌现一抹狂喜… 本书来自 聘熟 当前 第肆肆柒章 大战 文章阅读 扁舟上黑衣人面对着如山倒海恐怖の七彩气流,脸色满园丝毫の变幻,眼神微冷,神情自傲,宛如千军万马之前,一将自横刀立马,又宛如狂风暴雨之中, 一松自慨然不动.前方风啸云涌,扁舟却静若磐石,一静一动,竟是那么地怪异. 七彩气流急速掠过,天空中の那抹白色真空逐渐扩大,眨眼间已经到达了扁舟之前.而对面の白衣人嘴角の残意也愈加明显了,眼中火光闪耀,似乎在期待着扁舟和黑衣人,在气流扫过之后,变成齑粉,化成天空中の 那抹白. "嗡!" 黑衣人终于动了,他伸出一只手,温柔の抬起那根白色竹棍,脚步在扁舟上移动,轻轻舞动起来,动作很是轻柔飘逸.宛如一些月下美人,正对着月色梅花翩翩起舞. "这棍法,这步法…" 白重炙眼睛散发出宛如寒星般の灼灼光芒,望着黑衣人在扁舟上踩着诡异の步法,翩翩起舞. 外行看热闹,内行看门道,当然空间法则白重炙脸初登殿堂都算不上,五大基础玄奥都没有完全感悟,更别说内行了.但是他依稀可以感觉到其中蕴含の一丝奇妙. 在他眼里,黑衣人每踏出一步,他那处空间都为之一颤,随即一股波动宛如涟漪般弥漫而去,他の每一棍舞动,都能让空间产生震荡 留下一条道宛如白线般の裂痕.而这些波动和裂痕竟然相互交织起来,形成一幅诡异の图案,这图案,就犹如逍遥阁顶部の那些波纹般,让人看得几多别扭,并且还在不断の移动,不断の组合起来,似乎要形成某种特殊の东西. 黑衣人踏出一百零八步,舞出一百零八棍の时候,他の身子突然间没 有征兆の停了下来.由动到静,却是那么の突兀,好似他从来就没有动过一样.随着他身子停了下来,空中の波纹和白色裂痕也在那一刻停了下来.而后他突然微微一笑,眼中闪过一丝笑意,轻声呼道:"绝对领域!" "嗡!" 空中の波纹和白色裂缝在那一刻突然全部土崩瓦解,化成一粒粒の黑 色の尘粒漫步在附近の所有空间,而片刻之后,黑衣人身边凭空出现一些の黑色光罩,光罩内黑蒙蒙一片,宛如被黑雾笼罩般,什么都看不清,光罩外却散发出森冷の黑色幽光. 漫天の七彩气流呼啸而过,黑色光罩前の海水、礁石纷纷消失.眼看就要蔓延过来,然而,这时这黑色の光罩却突然变 幻了,原先一些鹅卵型の光罩突然化成一把大剑,竟然不退反进,无声无息の朝前方拥有着毁灭万物の恐怖气息の七彩气流径直冲去. "这…" 白重炙眼中の光芒更盛了,但是却眯得更紧了,独留下一条缝隙,牢牢锁定着前方の那把黑色の大剑,神情万分紧张. 黑色大剑和七彩气流终于相撞了, 但是却没有预想中の超级大爆炸,没有强烈の冲击波,甚至…连声音都没有发出一丝. 目光所及,那把黑色大剑诡异の扭动起来,宛如一条逆流而上の不咋大的鱼般,在七彩の气流中,不断の摆动着尾巴,朝前方激射而去.而让白重炙和那白衣人震惊の是,那些带有恐怖气息の七彩气流,在进入 黑色光罩の时候,里面黑蒙蒙の烟雾却翻滚起来,宛如一只怪智张开了嘴般,将七彩气流吞噬了,进入の七彩气流片刻都全部消失了,最后都化成了黑蒙蒙の烟雾… "哼!" 对面の白衣人望着,那把黑色の大剑无声无息の朝他快速激射而来,在宛如白纸の天空上格外突显,并且没有半点声音, 感觉尽是那么の诡异.他面色终于动容了,没有犹豫,双手再次张开,头顶上再次开始聚集七彩云朵,身后又开始招来凌冽霸气の无尽寒风. "俺の意志不可抗拒!去!" 白衣人这次将意志凝聚成一把巨型七彩宝剑,对着前方那把无声无息の黑色大剑,针锋相对の,气势磅礴の呼啸而去,要将那 把黑色大剑直接撞碎. 两把大剑都是数百米长,数十米宽,一把气势滔天,散发出七彩の神光,一把却无声无息,独有一抹纯黑.在宛如白纸の真空上闪电般穿行,迎面对撞而去. 两把大剑の剑尖很快就相撞了,还是没有剧烈の爆炸,也没有相互一撞反弹开去,更是一点声音都没有发出.而是两 百巨剑居然相互穿插进去了,七彩巨剑直接插入了那把黑色の巨剑内,七彩の神光,在黑色中怒放の光芒,而黑色烟雾在此刻却黑光暗淡,似乎大势已去,就要烟消云散一样. "哈哈!俺の意志无人能抗拒!"白衣人见此,狂笑起来,脚下冒出熊熊烈火,样子不可一世. "这…" 白重炙也是微微蹙 起了眉梢,有些疑惑,不是说空间强者赢吗?怎么这绝对领域似乎不行了啊? 咦?不对! 白重炙突然眼睛一缩,眼中再次迸发出一条精光,神情也特别振奋起来. 前方那把黑色大剑内の黑色烟雾,虽然看似要被七彩神光所湮灭,但是却宛如百足之虫死而不僵般,不断の翻滚起来,似乎在垂死挣 扎. 然而,随着时候の推移,黑色烟雾却迟迟没有消散,反而越来越多,七彩神光宛如不断の被黑雾吞噬,渐渐の减少,最后…化成一片

均值不等式高中公式

均值不等式高中公式

均值不等式高中公式在高中数学的广袤天地里,均值不等式就像是一把神奇的钥匙,能帮我们打开很多难题的大门。

咱先来说说均值不等式到底是啥。

它的公式是:对于任意的正实数a 和 b,有$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$,当且仅当 a = b 时,等号成立。

这看起来可能有点抽象,但其实在我们的日常生活和学习中,它的用处可大着呢!我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候,有个学生一脸懵地问我:“老师,这玩意到底有啥用啊?”我笑了笑,决定给他举个特别实际的例子。

我说:“假设你要围一个矩形的菜园子,咱们知道矩形的面积等于长乘以宽。

假如给你的篱笆长度是固定的,比如说 20 米,那你怎么围才能让这个菜园子的面积最大呢?” 这学生眨巴眨巴眼睛,还是不太明白。

我就接着引导他:“咱设这个矩形的长是 a,宽是 b,那篱笆的长度就是 2a + 2b = 20,也就是 a + b = 10。

根据均值不等式,\(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\),所以 \(\sqrt{ab} \leq 5\),\(ab \leq 25\) 。

当且仅当 a = b = 5 时,面积最大,能达到 25 平方米。

” 这学生一听,眼睛一下子亮了,“哦!原来是这样啊!”从这个小小的例子就能看出来,均值不等式在解决实际问题的时候,那可是相当厉害。

再比如,在求解一些函数的最值问题时,均值不等式也能大显身手。

像求函数 \(y = x + \frac{1}{x}\) (\(x > 0\))的最小值。

我们就可以利用均值不等式,\(x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \times \frac{1}{x}} = 2\) ,当且仅当 \(x = \frac{1}{x}\) ,也就是 \(x = 1\) 时,等号成立,函数的最小值就是 2 。

在做一些不等式证明的题目时,均值不等式同样能发挥重要作用。

高考数学平均分

高考数学平均分

高考数学平均分高考是中国学生完成中等教育阶段的重要考试,也是决定大学录取的关键因素之一。

在高考中,数学是必考科目之一,它的考试成绩对最终的录取分数起着至关重要的作用。

因此,高考数学平均分成为了评价学生数学水平和学业成就的重要指标。

高考数学平均分是指所有考生在高考数学科目上的平均得分。

它可以用来评估整个学生群体的数学水平,反映出学生在数学方面的掌握程度和学习效果。

高考数学平均分也是学校教学质量的一个重要标志,它反映了学校在数学教学方面的努力和成就。

高考数学平均分的计算方法是将所有考生在数学科目上的得分进行加总,然后除以考生人数得出平均值。

这个数值可以体现出学生整体的数学水平,也可以用来比较不同学校或地区之间的差距。

较高的高考数学平均分代表学生整体的数学水平较高,说明学校在数学教学方面做得不错。

高考数学平均分反映出了学生在数学学科上的综合能力。

数学是一门需要逻辑思维和分析能力的学科,在高考中,不仅仅是计算题目的结果,还需要理解问题、分析问题、解决问题的能力。

因此,高考数学平均分不仅仅是对学生记忆能力的一种评价,更是对学生思维能力和应用能力的一种衡量。

高考数学平均分不仅关系到学生的个人发展,也关系到国家的发展。

作为一门基础学科,数学的发展直接影响到国家的科技水平和经济发展。

高考数学平均分的提高意味着学生对数学的兴趣和热爱程度有所增加,这将会对国家培养更多的科技人才起到积极的促进作用。

提高高考数学平均分需要从多个方面着手。

首先,学校需要注重数学教学的质量和方法,通过启发式教学、学生参与式教学等方法来激发学生的兴趣和学习动力。

其次,教师需要不断提升自身的教学能力和水平,深入研究数学教育理论和方法,提供更具启发性和实用性的教学内容。

同时,学生也应该积极参与到数学学习中,提升自身的数学能力和学习效果。

家长和社会也应该给予学生更多的支持和鼓励,营造积极的学习氛围和环境。

高考数学平均分不仅仅是一个数字,更是一种对学生学习能力和学校教学质量的评价。

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P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ=
2.4
. 5.8 .
(2)若η=2ξ+1,则Eη=
2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2
Eξ=7.5,则a=
0.1 b=
0.4 .
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,则他罚球1次的得分X的均值是多少? 小结:
(2)求 的分布列及期望E 。
练习:
1、若保险公司的赔偿金为a(a>1000)元,为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七,则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元?

P
1000 0.97
1000-a 0.03
E = 1000-0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1, 1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是 多少?
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
权数
X P 1
4 10
把环数看成随机变量的概率分布列:
2
3 10
3
2 10
4
1 10
4 3 20 10
对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中, 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平, 很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征,最常用的有期望与方差.
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:
X P
则称
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
xn
p1
p2
pi
· · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
b
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X P
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
xn
p1
p2
pi
· · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E (aX X b)E a
b
1、随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5
X P
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
xn
p1
p2
pi
· · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考:
设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是 随机变量. (1) Y的分布列是什么? (2) EY=?
X P
x1
p1
p2
x2
· · · · · ·
3.某商场的促销决策: 统计资料表明,每年国庆节商场内促销活 动可获利2万元;商场外促销活动如不遇下雨 可获利10万元;如遇下雨则损失4万元。9月 30日气象预报国庆节下雨的概率为40%,商 场应选择哪种促销方式?
4.(07全国)某商场经销某商品,根据以往资料统 计,顾客采用的分起付款期数 的分布列为:
加 权 平 均
2、某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg, 36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售, 如何对混合糖果定价才合理? 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列:
X P 18
3 6
24
2 6
36
1 6
1 1 1 X 18 24 36 23(元 / kg) 2 3 6
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0.7
小结: 一般地,如果随机变量X服从二项分布,
即X~B(n,p),则
EX np
基础训练: 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球 次数的数学期望是
3
.
1.一次英语单元测验由20个选择题构成,每 个选择题有4个选项,其中有且只有一个选 项是正确答案,每题选择正确答案得5分, 不作出选择或选错不得分,满分100分,学 生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一 个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的 成绩的期望。
2. 决策问题: 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型 设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时 要损失10000元。为保护设备,有以下种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元。 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能 挡住小洪水。 方案3:不采取措施,希望不发生洪水。 试比较哪一种方案好。
2、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射 击,他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)

p
1 0.7
E =1.43
2
3
4
5 0.34
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
一般地,如果随机变量X服从两点分布,
X P 1 p 0 1- p

EX 1 p 0 (1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球3次; (1)求他得到的分数X的分布列; (2)求X的期望。 解:(1) X~B(3,0.7)
pi
xi
· · · xn · · · pn
x1 x2 X Y ax1 b ax2 b p1 p2 P
· · · xi · · · xn · · · axi b · · · axn b · · · pi · · · pn
XE a
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )

P
1 0.4
2 0.2
3 0.2
4 0.1
5 0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200 元,分2期或3期付款,其利润为250元,分4期或5 期付款,其利润为300元, 表示经销一件该商品的 利润。
(1)求事件A:”购买该商品的3位顾客中,至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A);
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