上海建桥学院高等数学(经管类) 期末考试答案

上海建桥学院2012-2013学年第一学期期终考试（2013年1月） 2012 级 经管类 专业 本科《高等数学（上）（经管类）》试卷A 卷

参考答案及评分标准

（本卷考试时间：120分钟）

(本试卷满分100分，除填空题和单项选择题，要求写出解题过程，否则不予计分)

一．填空题 （每小题2分，共10分）

1． 12 ． 2． 1y = ．3． 222,e ⎛⎫

⎪⎝⎭ ．

4

5． 2cos x x C + ．

二．单项选择题 （每小题2分，共10分）

6． ( D ） 7． ( B ） 8．（ C ）． 9．（ C ） 10． ( A

)． 三．解下列各题：（每小题6分，共60分）

11．解：0lim ()x f x →=201lim sin x x →-（1分）2201(5)

2lim x x x →--=52=（4分）， 因为(0)f k =，要使()f x 在点0=x 处连续，5

2k =.（6分）

12. 解：定义域D ：()1,-+∞

111x

y x x x '=-=++，令0y '=，驻点0x =，

（y '不存在点1x D =-∉），（2分）

（5 所以0x =时，y 有极小值(0)0y =（6分）

13. 解：原式=01

lim (1)x x x x e x e →-+-（1分）201

lim x x x e x →-+=（3分）

0001lim 2x

x e x →-01

lim 22x x

x →-==-．（6分）

14．解：23dx t dt =，2dy t dt =，（2分）22233dy

dy t dt dx dx t t

dt

===，（3分）， 123

t dy dx ==（4分） 点()1,2，（5分），23k =，切线2340x y -+=．（6分） （15-17题，若不定积分常数C 都不加者合计扣1分）

15．解：原式121(3ln 2)(3ln 2)3

x d x -=++⎰（3分）

C =（6分） 16

．解：设t =321,3x t dx t dt =-= 原式2131

t dt t =+⎰（2分） 22

11133(1)3(ln 1)112

t t dt t dt t t C t t -+==-+=-+++++⎰⎰（5分）

1C =+（6分）

17. 解：原式22(sec 1)sec x x dx x xdx xdx =-=-⎰⎰⎰（1分）

(tan )tan tan xd x xdx x x xdx xdx =-=--⎰⎰⎰⎰（4分）

2

tan ln cos 2

x x x x C =+-+.（6分） 18．解：令sin x t =，(,)22t ππ∈-

，cos dx tdt =，且0,0x t ==；1,26x t π==（2分） 原式26

0sin cos cos t tdt t π=⎰260sin tdt π=⎰60

1(1cos 2)2t dt π=-⎰（4分）

60

11(sin 2)2212t t ππ=-=（6分） 19．解：令30

()f x dx A =⎰，则()2x f x e A =-， 两端积分得33

002x A e dx A dx =-⎰⎰，（3分） 3

02(3)x A e A =-,317e A -=,即3301()7e f x dx -=⎰．（6分）

20．解：由于2

cos 3x x x +在[]2,2-为奇函数，得222cos 03x x dx x -=+⎰，（2分） 由于2

3x x +在[]2,2-为偶函数， 原式2

2

023x dx x =+⎰（4分） 22201(3)3d x x =++⎰220ln(3)ln 7ln 3x =+=-．（6分） 四．应用题：（本题共15分）

21．（本题8分）解：（1）曲线1y x =

与直线4y x =，2x =的交点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1

22

1

0214A xdx dx x

=+⎰⎰（4分）122210212ln 2ln 22

x x =+=+.（6分） （2）21

222

1021(4)x V x dx dx x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

⎰⎰.（8分）

22．（本题7分）解：（1）收入函数20()(2800)800Q

R Q t dt Q Q =-+=-+⎰，（2分）

利润函数2()()()7902000L Q R Q C Q Q Q =-=-+-．（3分）

（2）()2790L Q Q '=-+，（4分）

令()0L Q '=，驻点395Q =，（5分）又()20L Q ''=-<，()L Q 有极大值，（6分） 惟一驻点，应用问题，故()L Q 有最大值，即产量为395个单位时，利润最大．（7分）

五.证明题：（本题5分）

23

．证：2001()()2x dx f x dx =

⎰⎰（1

分）22011()()22f x x x df x =-⎰（2分）

22

222201sin 1sin (2)22x t x x dt x dx t x

=-⎰⎰ （4分）

22012x dx =-

⎰21cos 2x =1(cos 21)2

=- （5分）