数学建模之排队问题

排队问题
教程
一：复习期望公式
()i i p a X P ==，∑=i
i i p a EX ，()()∑=i
i i p a g X Eg
二：排队问题
单个服务台排队系统问题（比如理发店只有一个理发师情况）：
假定顾客到达时间间隔()λ/1~e X 分钟，每个顾客接受服务的时间长度为
()μ/1~e Y 分钟，假定
1）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客到达的概率为()2t o t ∆+∆λ 2）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客到达的概率为()2t o ∆ 3）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客接受完服务离开概率为()2t o t ∆+∆μ 4）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客离开的概率为()2t o ∆
用()t p n 表示在t 时刻，没有离开的顾客数（由于指数分布无记忆性，正在接受服务的顾客还需要接受的服务时间和任何一个顾客的接受服务时间同分布）。

记t 时刻在服务系统总人数n 的概率为()t p n ，则在t t ∆+时刻在服务系统总人数n 的概率()t t p n ∆+由以下几个不相容部分构成
a)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，也没有顾客离开，概率 ()t p t o t t o t n ))(1))((1(∆-∆-∆-∆-μλ
b)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，有1顾客离开，概率 ()t p t t n ⋅∆⋅∆μλ
c)：t 时刻有n-1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，没有顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(-∆-∆-∆μλ
d)：t 时刻有n+1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，有1个顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(+∆-∆-∆λμ e)：其他情况，概率()t o ∆
由上面分析，
()()()()()()()t o t p t t t p t t p t t t t p ∆+∆-⋅∆+⋅⋅∆-+⋅∆⋅∆=∆+1000111λμλμλ
()()[]()()()t o t p t o t t t p t o t t t t t o t t o t t p t t p n n n n ∆+∆-∆-∆+∆-∆-∆+∆⋅∆+∆-∆-∆-∆-=∆++-11))(1())(1())(1))((1(λμμλμλμλ，1≥n
简写
()()()()()()00111p t t t p t t t p t o t λμλ+∆=-∆⋅+∆⋅-∆+∆
()()[]()()()t o t p t t p t t t t p t t p n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆-∆-=∆++-11)1)(1(μλμλ
即
()()()()()t o t p t t p t t p t t p ∆+⋅∆+⋅∆⋅-=-∆+1000μλ
()()()()()()()t o t p t t p t t t p t p t t p n n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆+-=-∆++-11μλμλ
因此得到
()()()()t p t p t p 100⋅+⋅-='μλ
()()()()()()t p t p t p t p n n n n 11+-⋅+⋅++-='μλμλ
假定()k t k p t p −−
→−∞→，()()0−−→−∞'→t k t p 得到 010=⋅+⋅-p p μλ
()011=⋅+⋅++-+-n n n p p p μλμλ
把0p 当作已知，求解通项n p >
将p(1)用)0(/p μλ代入得()()()n n n n p p p p μλμλλ
μμλμ00
1=→-+-=
再，由
1=∑k
k
p
，我们得到
()
10
=∑∞
=n n
p μλ，
>
因此μλμ-=0p ， n
n
n p p ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μλμλμμλ0 问题1：系统平均有几个人没有离开？
解答：系统有n 个人没有离开的概率n p ，因此，系统中滞留人数平均∑∞
=0n n np
>
问题2：系统中排队等待服务平均有几个人？
()∑∞
=-1
1n n
p
n
>
问题3：系统中平均每个人排队等待时间？
解答：当一个顾客进入系统中，发现前面已经有n 个顾客在系统中，则他排队等
待的平均时间就是这n 个顾客的平均服务时间总和（由于指数分布无记忆特性，不管正在接受服务的顾客已经服务了多少时间，其还要接受的服务时间依然服从相同的指数的分布）
因此系统中平均每个人排队等待时间为
n
n p
n
∑∞
=0
μ
>
问题4：系统中每个顾客逗留时间平均？
解答：每个顾客平均排队用时+每个顾客平均服务用时为所求 >。