超市最短路径运输配送问题
初中数学八年级上册课题学习_最短路径问题练习题含答案
初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的动点，则DE+EF+FD的最小值为（）A.4.8B.6C.10D.无法确定2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在矩形内部，且满足S PCD=1 4S长方形ABCD，则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为( )A.8B.10C.14D.2√133. 如图，直线l表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河l 上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（）A. B. C. D.4. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )A. B.C. D.5. 如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，当点C停止，过点P作PQ//BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数关系图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是（）cm．A.5√2B.√2C.4√2D.3√26. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15∘，P为CD上的动点，则|PA−PB|的最大值是（）A.4B.5C.6D.87. 如图，一个实心圆柱高8cm，底面周长为30cm，一只蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）)cm C.√161cm D.2√241cmA.17cmB.(8+30π8. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）A.√3B.3C.2D.√229. 如图，在长方体中，AB=5，BC=4，CC1=3，动点从A1出发沿长方体的表面运动到达C点，则动点的最短距离是()A.√90B.√80C.√78D.√7410. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.1211. 一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是(π取3)________．AC，AB=8，E是AB上12. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=30∘，∠C=90∘．AD=14任意一点，F是AC上任意一点，则折线DEFB的最短长度为________．13. 小明在广场上散步，先向东走12m后，再向北又走了9m，现要以最短距离________m回到原地．14. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=45∘，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于2，则AB=________．15. 对于平面直角坐标系中的线段MN及点Q，给出如下定义：若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“对称点”；当QM=QN=MN时，称点Q为线段MN的“完美对称点”．（1）如图1，点A坐标为(4,0)，有点Q1(0,4),Q2(2,−4)，Q3(1,√3)，则线段OA的“对称点”是________．（填“Q1”"Q2"或 "Q3"）(2)如图2，已知Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，D为线段OQ的中点，B为线段OA 的一个“对称点”，则BO+BD的最小值为________．16. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________.17. 圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是________．18. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF 交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为________．19. 如图，已知蚂蚁沿着长为2的正方体表面从点A出发，经过3个侧面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此经过3个侧面的最短路径长为________．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(3,0)，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为________.21. 如图，若∠AOB=30∘，点P在∠AOB内，且OP=2cm，分别在OA、OB上找一点E，F使△PEF的周长最小，并求△PEF的周长最小值．22. 如图，有一个圆柱高为6cm，底面半径为2cm，圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底边与点A相对B处的食物，需要爬行的最短路程是多少(π取3)？23. 在直线m上找一点C，使CA+CB的值最小．24. 如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．25. 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图所示，在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．（1）蜘蛛要从点Q处沿圆柱体表面去吃点P处的苍蝇，请在图中大致画出蜘蛛爬行的最短路径；（2）求蜘蛛爬行的最短路径长．(π取3)26. 如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0, 2)的距离27. 已知抛物线y=14x2+1上一个与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(√3,3)，P是抛物线y=14动点．(1)若PF=5，求点P的坐标；(2)求△PMF周长的最小值.28. 同学们在灯管上缠绕5cm彩带．已知灯管长100cm，灯管截面圆的周长是15cm，彩带至少应剪多长？29. 如图所示，P、Q是△ABC中AB、AC边上的点，你能在BC边上确定一点R，使△PQR的周长最小吗？30. 如图，Q为马厩甲，AB为草地边缘（下方为草地），CD为一河流，放牧人欲从马厩甲牵马先去草地M处让马吃草，然后到河边N处饮水，最后回到马厩乙P．请你帮他确定一条最佳行走路线QM→MN→NP，使其所走路程最短.31. 判断说理：元旦联欢会上，八年级(1)班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．32. 如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=12cm，P是AB上的动点，Q是AD上的动点．P以1cm/s的速度从B到A，Q以2cm/s的速度从A到D，P到A（或Q到D）时停止运动．求PQ+QC最小值．33. 如图，A，B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．34. 如图，在四边形ABCD中，P为BC的中点，试在CD边上找一点Q，使△APQ的周长最小．35.作图题：现要在形如△ABC的地面范围内建一中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．（要求：保留作图痕迹，并用适当的文字说明作图方法）36. 如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？(π取3)37. 在一条笔直公路上分布A，B，C，D，E五个工厂（各相邻工厂之间的距离均不相等），为方便这些工厂的员工，现要在公路上设一个汽车站，使各工厂到汽车站的距离之和最小．【简化分析】(1)假若由三个工厂A，B，C时，汽车站的位置有五种情形：①A厂门口，②AB之间，③B厂门口，④BC之间，⑤C厂门口.【分类讨论】①当车站设在A工厂门口时，则A厂到汽车站的距离为0，B厂到汽车站的距离为AB，C厂到汽车站的距离为AB＋BC，所以各工厂到车站的距离之和为________②当车站设在A，B两工厂之间的P点时，则A厂到汽车站的距离为AP，B厂到汽车站的距离为BP，C厂到汽车站的距离为BP+BC，所以各工厂到车站的距离之和为_________③当车站设在B工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为_________④当车站设在B，C两工厂之间的Q点时，则各工厂到汽车站的距离之和为_________⑤当车站设在C工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为________【总结归纳】综上可知：汽车站设在________时，各工厂到汽车站的距离之和最小.【问题解决】 (2)当有A，B，C，D，E五个工厂时，汽车站设在哪里，才能使各工厂到汽车站的距离之和最小？请说明理由.38. 如图，A,B,C,D为四家超市，其中超市D距A,B,C三家超市的路程分别为25km，10km，5km.现计划在A,D之间的道路上建一个配货中心P，为避免交通拥堵，配货中心与超市之间的距离不少于2km.假设一辆货车每天从P出发为这四家超市送货各次，由于货车每次仅能给一家超市送货，因此每次送货后均要返回配货中心P，重新装货后再前往其他超市.设P到A的路程为xkm，这辆货车每天行驶的路程为ykm.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)直接写出配货中心P建在什么位置，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少?39. 如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？40. 下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）参考答案与试题解析初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图作F关于直线AB的对称点M，作F关于直线BC的对称点N，连接BM，BN，BF，EF，EN，DE，DM．∵∠MBA=∠FBA，∠CBN=∠CBF，∠ABF+∠CBF=90∘，∴∠MBF+∠FBN=180∘，∴M、B、N共线，∵DF+DE+EF=DM+DE+EN，∵DM+DE+EN≥MN，∴当D、E、M、N共线时，且BF⊥AC时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2BF，∵BF⊥AC，∴12⋅AC⋅BF=12⋅AB⋅AC，∴BF=AB⋅BCAC =125=2.4，∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选A．2.【答案】B【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：∵S PCD=14S长方形ABCD，设△PCD的CD边上的高为ℎ∴12CD⋅ℎ=14CD⋅AD，又AD=8，∴ℎ=4,∴动点P在与CD平行且与CD的距离为4的直线l上，如图，作D关于直线l的对称点A，连接AC，则AC的长就是所求的最短距离.在Rt△ADC中，CD=AB=6，AD=8∴AC=√AD2+CD2解得AC=10.故选B.3.【答案】B【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连结QP′交直线l于M，根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．故选B.4.【答案】D【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连结QP′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，所需管道最短．故选D．5.【答案】A【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA−PB|的值最大的点，|PA−PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，根据三角形的内角和得到∠ACD=75∘，于是得到∠CAA′=15∘，根据轴对称的性质得到A′C=BC，∠CA′A=∠CAA′=15∘，推出△A′BC是腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA−PB|的值最大的点，|PA−PB|=A′B，连接A′C，∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∴∠CAB=∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，∵∠BCD=15∘，∴∠ACD=75∘，∴∠CAA′=15∘，∵AC=A′C，∴A′C=BC，∠CA′A=∠CAA′=15∘，∴∠ACA′=150∘，∵∠ACB=90∘，∴∠A′CB=60∘，∴△A′BC是等腰三角形，∴A′B=BC=4．故选A．7.【答案】A【考点】平面展开-最短路径问题【解析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．【解答】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．×30＝15(cm)，∠C＝90∘，BC＝8cm，在Rt△ABC中，∵AC=12∴AB=√AC2+BC2=17(cm)．故选：A．8.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【解答】解：∵BA=BC=2，∴平行四边形ABCD为菱形．∴∠ABD=∠CBD，∴BD是∠ABC的平分线．作E关BD的对称点E′，连接CE′，PE，则PE=PE′，此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，CE′即为PE+PC的最小值．∵∠ABC=60∘，又∵BE′=BE，∴△E′BE为正三角形，EE′=1，∠ABE=60∘，故EE′=EC，∠EE′C=∠ECE′=30∘，∴∠BE′C=60∘+30∘=90∘，在Rt△BCE′中，CE′=√22−12=√3．故选：A．9.【答案】D【考点】平面展开-最短路径问题【解析】连接AC1，求出AC1的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时AC1的长，再找出最短的即可．【解答】解：展开成平面后，连接AC1，则AC1的长就是绳子最短时的长度，分为三种情况：如图1，AB=5，BC=4，CC1=BB1=3，在Rt△ABC′中，由勾股定理得：AC1=√AB2+(BB1+B1C1)2=√25+49=√74；如图2，AC=5+4=9，CC1=3，在Rt△ACC1中，由勾股定理得：AC1=√AC2+CC12=√81+9=√90>√74，如图3，同法可求AC1=√(3+5)2+42=√80>√74，即绳子最短时的长度是√74，故选D．10.【答案】C【考点】轴对称——最短路线问题【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF 的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD＝16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+1BC=8+1×4=8+2=10．故选C.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】30cm【考点】平面展开-最短路径问题【解析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC =3×16÷2=24，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB =√AC 2+BC 2=√242+182=30cm ．故答案为：30cm ．12.【答案】 √67【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用轴对称求最短路径的方法，重新构造直角三角形，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：作D 点关于AB 的对称点D′，B 点关于AC 的对称点B′，连接D′B′分别交AB 于点E ，AC 于点F ，作B′R ⊥AB ，过点D′作D′W ⊥B′R 于点W ，∵ ∠CAB =30∘，∠C =90∘．AD =14AC ，AB =8， ∴ BC =4，AC =4√3，则AD =√3，BB′=8，B′R =4√3，∴ DT =12AD =√32，AT =√AD 2−DT 2=32，BR =4， ∴ RW =√32，D′W =8−32−4=52， ∴ B′W =9√32，B′D′=√D′W 2+B′W 2=(52)(9√32)=√67．故答案为：√67．13.【答案】15【考点】勾股定理路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设小明散步原地为O，则先向东走12m到达A点后，再向北又走了9m到达B点，则要回到原地，最短行走距离为OB的距离，根据勾股定理可得OB=√122+92=15m.故答案为：15.14.【答案】2√2【考点】轴对称——最短路线问题【解析】先找出点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知E′F为PE+PF的最小值的最小值，过点B作BG⊥AD 于G，解直角三角形求出AB即可．【解答】解：如图，点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，即E′F为PE+PF的最小值.过点B作BG⊥AD于G，易知BG=FE′=2，在Rt△ABG中，∠BAG=45∘，∴AB=BG÷sin45∘=2√2.故答案为：2√2.15.【答案】Q22．【考点】图形间的距离定义新图形路径最短问题坐标与图形性质【解析】（1）找到OA的垂直平分线即可找到对应的点．（2）利用“完美对称点”的特征，作出图象，从而确定最小值．【解答】解：(1)当点Q满足QO=QA时，Q为OA的“对称点”，∴ Q在线段OA的垂直平分线上，∵ A(4,0)，∴ 线段OA的垂直平分线是直线x=2，∵Q2(2,−4)，∴ 线段OA的“对称点”是Q2.故答案为：Q2．∵ Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，∴ QO=OA=QA，∴ △QOA是等边三角形，过点Q作QH⊥OA于H，则直线QH为线段AO的垂直平分线，如图：∵ B为线段OA的一个“对称点”，∴ BO=BA，∴ B是直线QH上的一点，显然，当Q、B重合时，BQ+BD有最小值，此时BQ+BD=BD，∵ Q(2,2√3)，∴ OQ=√22+(2√3)2=4，∵ D为线段OQ的中点，∴ DQ=12OQ=12×4=2，∴ BD=2，∴ BQ+BD的最小值为2. 故答案为：2.16.【答案】7【考点】轴对称——最短路线问题根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴B，C关于EF对称.设AC交EF于点D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∴△ABP周长的最小值是4+3=7.故答案为：7.17.【答案】【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】6cm【考点】轴对称——最短路线问题【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，解得AD=6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴BM+DM最小值为6cm.故答案为：6cm．19.2√17【考点】平面展开-最短路径问题【解析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√82+22=2√17，故答案为：2√17．20.【答案】2【考点】勾股定理路径最短问题【解析】【解答】解：当PQ//x轴时QB长度最小，设Q(m，n)，P(0，n)，△APQ为等边三角形，∴1+n2=(m−1)2+n2，解得m=2或m=0（舍），∴PQ=PA=m=2，∴1+n2=4，解得n=√3，故BQ=√3+1=2.故答案为：2.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30∘，∴∠P1OP2=60∘．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2cm．∴△PEF周长的最小值是2cm．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小，然后根据∠AOB=30∘，点P在∠AOB内，点E、F分别在边OA、OB上移动，如果OP=2cm，可求出值．【解答】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30∘，∴∠P1OP2=60∘．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2cm．∴△PEF周长的最小值是2cm．22.【答案】需要爬行的最短路程是6√2cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】要想求得最短路程，首先利用BC长等于底面圆的一半，即可求出BC的长．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【解答】解：利用展开图，根据题意可得：BC=2π≈6cm，AC=6cm，AB=√BC2+AC2=6√2(cm)，23.【答案】解：如图，点C即为所求．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B交直线m于点C，则CA+CB的值最小．【解答】解：如图，点C即为所求．24.【答案】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296<√320<√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】根据题意画出不同数值的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的AB，再比较即可．【解答】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296<√320<√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．25.【答案】蜘蛛爬行的最短路径长是3√5cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】（1）划出符合条件的QP即可；（2）展开后构造直角三角形，根据勾股定理求出线段QP的长即可．【解答】解：（1）如图：（2）如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，连接QP，则PM=8−3−2=3(cm)，QM=A1B1=1×2×π×2=6(cm)，2在Rt△QMP中，由勾股定理得：PQ=√QM2+PM2=√32+62=3√5(cm)，答：蜘蛛爬行的最短路径长是3√5cm．26.【答案】解：（1）如图所示：∵正方形的棱长为2，∴AC=2AB=4，CG=2，AG=√AC2+CG2=√16+4=√20=2√5，∴蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5；（2）如图所示：由题意可知：AN=AB+BN=3，MN=2，∴AM=√AN2+MN2=√32+22=√13，∴蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是√13．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】（1）根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可．（2）把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．【解答】解：（1）如图所示：∵正方形的棱长为2，∴AC=2AB=4，CG=2，AG=√AC2+CG2=√16+4=√20=2√5，∴蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5；（2）如图所示：由题意可知：AN=AB+BN=3，MN=2，∴AM=√AN2+MN2=√32+22=√13，∴蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是√13．27.【答案】解：(1)由题意可知，当PF=5时，P到x轴的距离为5，∴P(x,5)，将P(x,5)代入y=14x2+1，得5=14x2+1，解得，x=±4，∴点P的坐标为(4,5)或(−4,5).(2)过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示：∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF=√(√3−0)2+(3−2)2=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．【考点】路径最短问题二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征点到直线的距离垂线段最短【解析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F＝P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，【解答】解：(1)由题意可知，当PF=5时，P到x轴的距离为5，∴P(x,5)，将P(x,5)代入y=14x2+1，得5=14x2+1，解得，x=±4，∴点P的坐标为(4,5)或(−4,5).(2)过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示：∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF=√(√3−0)2+(3−2)2=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．28.【答案】彩带至少应剪125cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】将灯管上缠的彩带展开，得到直角三角形，用勾股定理解答即可．【解答】解：如图，展开后可得AB=15×5=75cm，BC=100cm，AC=√AB2+BC2=√752+1002=125cm．29.【答案】解：如图所示：作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，R点即为所求．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，由两点之间线段最短可知△PQR 周长最小即为所求点．【解答】解：如图所示：作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，R点即为所求．30.【答案】解：使其所走路程最短的最佳行走路线QM→MN→NP如图：【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：使其所走路程最短的最佳行走路线QM→MN→NP如图：31.【答案】解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用轴对称得出找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．【解答】解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．32.【答案】解：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，∵AB=6cm，AD=12cm，∴AP=AP′=6−t，AQ=2t，QD=12−2t，∵AB // CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴AP′CD =AQQD，即6−t6=2t12−2t，整理得，t2−18t+36=0，解得t1=9−3√5，t2=9+3√5（舍去），所以，BP′=AB+AP′=6+(6−9+3√5)=3+3√5，所以，P′C=√BP′2+BC2=√(3+3√5)2+122=3√22+2√5，即PQ+QC最小值是3√22+2√5．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，表示AP′、AQ、QD，然后根据△AP′Q和△DCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出t，再表示出BP′，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，∵AB=6cm，AD=12cm，∴AP=AP′=6−t，AQ=2t，QD=12−2t，∵AB // CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴AP′CD =AQQD，即6−t6=2t12−2t，整理得，t2−18t+36=0，解得t1=9−3√5，t2=9+3√5（舍去），所以，BP′=AB+AP′=6+(6−9+3√5)=3+3√5，所以，P′C=√BP′2+BC2=√(3+3√5)2+122=3√22+2√5，即PQ+QC最小值是3√22+2√5．33.【答案】解：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+ BP是最小的．路径最短问题作图—应用与设计作图线段垂直平分线的性质【解析】根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解．【解答】解：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+ BP是最小的．34.【答案】解：如图所示，点Q即为所求点．【考点】轴对称——最短路线问题作PH⊥CD于点H，延长PH到点P′，使P′H=PH，连接AP′交CD于点Q，连接PQ，则D点Q就是△APQ的周长最小的点．【解答】解：如图所示，点Q即为所求点．35.【答案】【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答36.【答案】解：如图所示，∵圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，∴AC=2π×1.5≈9cm，∴AB=√AC2+BC2=√92+122=15(cm)．答：蚂蚁所走过的最短路径是15cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】根据题意画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，。
送货员最短路径模型论文
送货路线设计模型摘要如今，随着网络的逐渐普及，网购已经成为一种常见的消费方式，同时也带动了物流业的发展。
为了解决最佳送货路线一系列问题，本文建立了求最短H am ilton圈问题。
利用Floyd算法【2】求出顶点间最短路，构造连接各顶点的一个无向赋权完备图（矩阵）。
找出该完备图最短的H am ilton圈。
对于问题一：借助M atlab等数学工具，使用模拟退火算法（SA）求出最优解。
对于问题二：加入了时间限制，我们根据需求到达时间的不同，对整个路线图进行了片区的划分，然后对于不同的片区便转化为一个新的求最短H am ilton 圈问题。
由于我们考虑到各分段距离最短并不代表总和最短，所以我们对最短H am ilton圈问题进行了优化，最终整理为本文中的辅助途中的最短H am ilton圈问题。
利用辅助途中的最短H am ilton圈问题的求解方法，我们得到了最佳解。
关键词H am ilton圈Floyd算法模拟退火算法（SA）划分片区一、问题重述现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员往往一人送多个地方，他们怎么样才能以最快的速度及时将货物送达是个十分重要的问题，本文将就送货路线设计问题展开分析和讨论。
现有一快递公司，库房在图1（图略）中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，需要设计适当的送货方案，使所用时间最少。
该地形图的示意图见图1（图略），各点连通信息见表3（表略），送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。
各件货物的相关信息见表1（表略），50个位置点的坐标见表2（表略）。
假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。
送货员的平均速度为24公里/小时。
假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。
现在送货员要将100件货物送到50个地点。
1：若将1~30号货物送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
超市物流-配送路径优化-PPT
B
配送线路优化
方案１和方案２有什么区别？
• 往返发货与巡回发货车辆行走距离 • ∆l=[2(l1+l2)]-(l1+l2+l3)=l1+l2-l3 • 方案２中的两种算法有什么区别？ • 是应该先送Ａ还是先送Ｂ呢？ • 提示：Q1=2、Q2=1.5
配送线路优化
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配送线路优化
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枚举法 即例举出所有可能的线路和里程，选择 其中最小者。
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路径
里程（km）
15 19 15 13
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1-2-5-7 1-2-５-６-7
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1-2-4-6-7 1-2-4-6-5-7
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配送线路优化
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• • • •
我们该用何种方法解决这个问 题呢？
？ ？？ ？？？ －－－破圈法
配送线路优化
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什么是破圈法呢？
• 破圈法——任取一个圈，从圈中去掉一条 权最大的边（如果有两条或两条以上的边 都是权最大的边，则任意去掉其中一条）。 在余下的图中，重复这个步骤，直到得到 一个不含圈的图为止，这时的图便是最小 树。
６ ９ ９ ２ ８ ７ ３ ２ ５ ４ ９ ６ １１ ９ １２ ２
配送线路优化
11
案例4 （破圈法）
• 如图1所示，数码电 子器材配送中心(P1) 需将一批个人电脑 送往某数码城(P7) , 连线上方数字表示 线路长度(km)，如 何将货物最快送达？
配送路线的原则和优缺点 -回复
配送路线的原则和优缺点-回复配送路线是指在货物从供应链的起点（通常是生产厂商或仓库）运送到终点（通常是客户或零售商）的过程中，按照一定的路线和顺序进行规划和执行的活动。
配送路线的优化可以大大提高物流运输的效率和减少成本。
本文将探讨配送路线的原则和优缺点，为读者提供有关配送路线优化的基本认识。
2. 基本原则（1）最短路径原则：最短路径是指从起点到终点所经过的总距离最短的路径。
在规划配送路线时，选择最短路径可以减少行驶距离和时间，从而提高配送效率，并降低运输成本。
（2）最优停靠点原则：最优停靠点是指在配送过程中选择最佳的点进行停靠和卸货。
最优停靠点应尽量接近终点，以减少货物在途中的损耗和运输时间。
此外，最优停靠点还应考虑交通状况和设施条件等因素。
（3）最小成本原则：最小成本指配送过程中所需的最小消耗和费用。
优化配送路线应该以最小化成本为目标，减少燃油消耗、人力成本、维护成本等。
3. 优点（1）提高物流效率：配送路线的优化可以使货物在最短的时间内到达目的地，减少运输时间和中转次数，提高物流效率。
（2）降低运输成本：优化配送路线可以减少行驶距离和时间，从而减少燃油消耗和人力成本，降低运输成本。
（3）减少交通拥堵：配送路线的优化可以避开交通拥堵的路段，减少车辆等待时间，提高运输效率，缓解交通拥堵。
（4）提高客户满意度：优化配送路线可以准时送达客户，提高客户满意度，增强企业竞争力。
4. 缺点（1）复杂性：当考虑到多个因素如交通状况、货物特性、服务标准等时，配送路线的优化会变得非常复杂，需要使用复杂的算法和技术进行计算和规划。
（2）人力资源需求增加：为了实施配送路线的优化，企业需要投入更多的人力资源进行规划、执行和监控。
（3）信息技术投入：为了实现配送路线的优化，企业需要投入大量的信息技术设备和系统来进行监控和管理，增加了投资成本。
（4）外部因素的不确定性：配送路线的优化可能会受到外部因素的影响，如天气状况、道路施工等，这些因素可能导致配送计划的调整和变动。
配送路线的原则和优缺点
配送路线的原则和优缺点
1. 最短路径原则：选择从起点到终点的最短路径，可以减少运输时间和成本。
优点是可以提高配送效率，降低运输成本；缺点是可能忽略了其他因素，如道路状况、交通拥堵等，导致实际配送时间延长。
2. 最低成本原则：综合考虑运输成本、时间成本和人力成本等因素，选择总成本最低的路线。
优点是可以全面考虑各种成本因素，优化配送效率；缺点是计算复杂，需要充分考虑各种因素。
3. 考虑路况原则：选择路况较好、交通流畅的路线，以减少运输时间和风险。
优点是可以提高配送的准时性和安全性；缺点是可能会增加运输成本。
4. 客户需求原则：根据客户的需求和时间要求，选择最合适的路线。
优点是可以提高客户满意度，增强客户忠诚度；缺点是可能会增加运输成本和复杂度。
5. 多目标优化原则：综合考虑多个目标，如成本、时间、客户需求等，通过数学模型或算法找到最优解。
优点是可以全面考虑各种因素，找到最佳的平衡；缺点是计算复杂，需要专业的技术和工具支持。
不同的配送路线选择原则各有优缺点，具体应根据实际情况进行选择和权衡。
在实际操作中，可以结合多种原则进行综合考虑，以找到最适合的配送路线。
同时，还应不断优化和调整配送路线，以适应业务发展和客户需求的变化。
超市物流-配送路径优化-教案
学科超市物流授课班级物流专业日期. 课题配送线路优化-(2) 授课类型新授课时 2 教材超市物流任课教师课序教学目标认知目标1.认识到本课程的重要性，2.明确配送路线确定的目标条件3.掌握配送路线的确定原则4.熟悉破圈法以及里程节约法的基本思想能力目标1.培养学生的数学建模的能力2.掌握破圈法的要点并能够熟练运用3.熟悉节约法的基本思想，以设计最佳配送路线。
4.熟练运用利用节约里程法,查找最佳配送路线。
情感目标1.激发学生对本课程的兴趣和能动性2.培养学生提出问题、分析问题、解决问题的思维方式3.培养学生动脑筋的习惯，通过层层深入把握事物本质，提高科学素养。
4.让学生通过协作体会到团队合作的优势，培养学生的团队协作意识，提高学生团队协作的能力教学重点1. 熟练掌握数学建模方式及使用破圈法解决实际问题2. 利用节约里程法对配送路线进行合理优化教学难点1.数学建模2.破圈法3.节约里程法教学方法讲解法、演示法、动手操作法、举例验证法、观察法、练习法、讨论法课前准备教案、案例、PPT设计意图本课程的教学对象为中职学校物流专业学生，在前面的学习中已经了解了配送的基本概念、配送中心的功能和基本作业，熟悉配送运输的特点及其影响因素，了解配送运输的基本作业流程，以及掌握了配送车辆的装货配货技术。
本课中的亮点部分在于通过非常简单的“任务”引入教学，通过“小组讨论“充分调动一部分同学的积极性，使得学生有参和其中的感觉,一方面及时地将学生的注意力吸引回到课堂，另一方面也打消了学生的畏难情绪。
其次，由简到繁，由易到难的内容设置，恰当运用典型案例,层层深入，提出需要学生思考的问题，进而引出所授章节的基本理论和主要知识点。
学生在分析问题的过程中不但掌握了知识要点也提高了自身的学习能力,取得了良好的教学效果。
难度上有所取舍，着重讲授破圈法和节约里程法，本课题是对已学知识的综合运用，也为后续的学习打下基础。
配送线路优化是配送管理中为数不多的技术性较强的分析工具之一，理论和实操高度结合，能够综合培养学生抽象思维和动手能力。
最短路径算法在货物配送中的应用
最短路径算法在货物配送中的应用货物配送是现代商业运作中的一个重要环节。
在日益发展的电子商务和物流行业中，如何合理安排货物配送路线、提高物流效率成为了一个严峻的挑战。
最短路径算法作为一种常用的路线规划方法，可以在一定程度上解决这个问题。
本文将探讨最短路径算法在货物配送中的应用，并介绍其中的几种典型算法。
一、最短路径算法简介最短路径算法是一种用于计算两点之间最短路径的方法。
在货物配送中，最短路径即为货物从起始地到目的地所需行驶的最短路线。
根据不同的场景和需求，可以选择不同的最短路径算法，常用的有迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法和A*算法等。
二、迪杰斯特拉算法在货物配送中的应用迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种广泛应用于计算网络中最短路径的算法。
它以起始点为中心，逐步扩展搜索范围，直到找到目的地为止。
在货物配送中，可以将城市或地区抽象成一个由节点和边构成的图，节点表示不同的配送点，边表示两点之间的距离或时间成本。
运用迪杰斯特拉算法可以通过计算最短路径，确定货物配送的最佳路线，以减少行驶距离和时间。
三、弗洛伊德算法在货物配送中的应用弗洛伊德算法（Floyd's algorithm）是一种解决任意两点间最短路径问题的动态规划算法。
与迪杰斯特拉算法不同的是，弗洛伊德算法能够计算任意两点之间的最短路径，适用于规模较小的配送网络。
在货物配送中，如果需要同时考虑多个配送点之间的关系，可以使用弗洛伊德算法得出最佳的整体路线规划。
四、A*算法在货物配送中的应用A*算法（A-star algorithm）是一种启发式搜索算法，常用于解决图上的最短路径问题。
它结合了迪杰斯特拉算法和贪婪算法的优点，通过估计加权函数对搜索路径进行评估，从而找到最短路径。
在货物配送中，A*算法可以快速找到从起始点到目的地的最短路径，并且具有较高的搜索效率。
五、最短路径算法的优势与挑战最短路径算法在货物配送中有着诸多优势。
物流论文-配送中心车辆最短路径问题的研究
刘孝配：配送中心车辆最短路径问题的研究
参考文献...................................................................................................................... 31 附录 A........................................................................................................................... 32 附录 B........................................................................................................................... 33
II
山东交通学院毕业设计（论文）
目 录
前 言.............................................................................................................................. 1 1 绪论............................................................................................................................ 2 1.1 研究的背景及意义......................................................................................... 2 1.2 论文研究现状................................................................................................. 3 1.3 论文研究的内容.............................................................................................. 4 2 配送中心车辆最短路径问题概述............................................................................ 5 2.1 配送中心概述................................................................................................. 5 2.1.1 配送中心的概念................................................................................... 5 2.1.2 配送中心的功能................................................................................... 5 2.2 最短路径问题介绍......................................................................................... 5 2.3 最短路径问题的相关概念.............................................................................. 6 2.3.1 图论相关定义...................................................................................... 6 2.3.2 最短路径.............................................................................................. 7 2.4 最短路径问题的常用解决方法——Dijkstra 算法................................... 10 2.4.1 介绍..................................................................................................... 10 2.4.2 Dijkstra 算法思想.......................................................................... 10 2.4.3 Dijkstra 算法步骤.......................................................................... 10 2.4.4 Dijkstra 算法缺陷........................................................................... 11 3 配送中心车辆最短路径算法的实现...................................................................... 13 3.1 SPFA 算法解决最短路径问题...................................................................... 13 3.1.1 SPFA 算法介绍................................................................................... 13 3.1.2 SPFA 算法的理论基础....................................................................... 13 3.2 lingo 软件解决最短路径问题.................................................................... 17 3.2.1 软件概述............................................................................................ 17 3.2.2 利用 lingo 软件解决最短路径问题................................................. 18 4 案例分析及其结果分析.......................................................................................... 21 4.1 案例................................................................................................................ 21 4.1.1 案例说明............................................................................................ 22 4.1.2 案例分析............................................................................................ 23 4.2 SPFA 算法计算.............................................................................................. 23 4.3 Lingo 软件运行............................................................................................ 26 结 论............................................................................................................................ 29 致 谢............................................................................................................................ 30
超市物流配送效率的优化方法
超市物流配送效率的优化方法超市作为现代零售行业的重要组成部分，物流配送效率的优化对于提高运营效益至关重要。
本文将探讨超市物流配送效率优化的几种方法，以供参考。
一、优化运输路线合理规划运输路线是提高配送效率的重要手段。
超市物流部门可以通过运输网络的设计优化，合理划分配送区域，降低配送距离和时间。
同时，可以依托高新技术，利用地理信息系统（GIS）等工具进行路线规划，选取最短路径，减少行驶时间和交通拥堵。
二、建立合理的仓储管理系统超市的仓储管理系统对于保证物流配送效率至关重要。
通过合理规划仓库布局，优化货物存储和仓储流程，减少仓储时间和物料损耗。
同时，采用先进的仓储管理技术和自动化设备，提高仓库操作效率，降低人工成本，缩短出库时间。
三、有效利用信息技术手段信息技术在物流领域的应用对于提高超市物流配送效率具有重要作用。
超市可以引入物流管理系统，实现订单管理、运输跟踪和库存管理的信息化。
通过物流信息系统的建立，可以实时监测货物的运输状态，提高配送效率和准确性。
此外，超市还可以利用电子商务平台建立与供应商和客户的在线交流和协作平台，优化配送过程中的沟通和协调。
四、合理配置配送车辆合理配置配送车辆是提高运输效率的关键之一。
超市可以根据订单量和货物种类合理配置不同类型的配送车辆，如小型货车、中型货车和大型货车。
此外，还可以采用多式联运的方式，将不同运输方式（如公路运输、铁路运输和水路运输）相结合，进一步提高配送效率。
五、加强供应链协同管理供应链协同管理是提高超市物流配送效率的关键环节。
超市物流部门应与供应商、制造商和客户建立紧密的合作关系，进行信息共享和业务协同，通过提前预测需求、减少库存和加快物流流程等方式，实现供应链的高效运作。
同时，超市还可以通过采购批发、共同配送和共享物流资源等方式降低运营成本，提高整体效益。
总结起来，超市物流配送效率的优化方法包括优化运输路线、建立合理的仓储管理系统、有效利用信息技术手段、合理配置配送车辆和加强供应链协同管理。
配送路线优化(里程节约法)
5
P4
P5 2.4 10 16 18 16 12 P5
节约里程法
第2步：按节约里程公式求得相应的节约里程数
需求量 P0
1.5 8
P1
12 1.7 8
4
13 0.9 6
1
15 1.4 7
0
16 2.4 10
2
P2
4
10
P3
9
5
6
8
P4
18
16
12
0
0
5
P5
节约里程法
第 3 步：将节约里程按从大到小顺序排列
（0.9）
P3
4
（1.7）
P2
5
6
8
（1.4）
P4
7
P0
10
8
P5
（2.4）
P1 (1.5)
节约里程法
（0.9）
P3
4
5
（1.4）
P4
配送线路1
7
P0
10
（1.7）
P2
8
8
P5
（2.4）
P1 (1.5)
节约里程法 （0.9）
P3
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（1.4）
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配送线路1
7
P0
10
（1.7）
P2
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8
P5
P1 (1.5)
请为百家姓配送中心制定最优的配送方案。
第一步：计算最短距离。根据配送网络中的已知条件， 计算配送中心与客户及客户之间的最短距离，结果见表 11-11。 第二步：计算节约里程sij,结果见表11-12。
第三步：将节约sij,进行分类，按从大到小的顺序排 列，得表11-13
超市物流-配送路径优化-教案
学 科 超市物流 授课班级 物流专业 日期 .课 题 配送线路优化-(2) 授课类型 新授 课时 2 教 材 超市物流 任课教师 课序教学目标 认知目标1.认识到本课程的重要性，2.明确配送路线确定的目标条件3.掌握配送路线的确定原则4.熟悉破圈法以及里程节约法的基本思想能力目标1.培养学生的数学建模的能力2.掌握破圈法的要点并能够熟练运用3.熟悉节约法的基本思想，以设计最佳配送路线。
4.熟练运用利用节约里程法,查找最佳配送路线。
情感目标1.激发学生对本课程的兴趣和能动性2.培养学生提出问题、分析问题、解决问题的思维方式3.培养学生动脑筋的习惯，通过层层深入把握事物本质，提高科学素养。
4.让学生通过协作体会到团队合作的优势，培养学生的团队协作意识，提高学生团队协作的能力教学重点 1. 熟练掌握数学建模方式及使用破圈法解决实际问题2. 利用节约里程法对配送路线进行合理优化教学难点 1.数学建模2.破圈法3.节约里程法教学方法 讲解法、演示法、动手操作法、举例验证法、观察法、练习法、讨论法 课前准备教案、案例、PPT设计意图本课程的教学对象为中职学校物流专业学生，在前面的学习中已经了解了配送的基本概念、配送中心的功能和基本作业，熟悉配送运输的特点及其影响因素，了解配送运输的基本作业流程，以及掌握了配送车辆的装货配货技术。
本课中的亮点部分在于通过非常简单的“任务”引入教学，通过“小组讨论“充分调动一部分同学的积极性，使得学生有参和其中的感觉,一方面及时地将学生的注意力吸引回到课堂，另一方面也打消了学生的畏难情绪。
其次，由简到繁，由易到难的内容设置，恰当运用典型案例,层层深入，提出需要学生思考的问题，进而引出所授章节的基本理论和主要知识点。
学生在分析问题的过程中不但掌握了知识要点也提高了自身的学习能力,取得了良好的教学效果。
难度上有所取舍，着重讲授破圈法和节约里程法，本课题是对已学知识的综合运用，也为后续的学习打下基础。
数学模型最短路径问题(物流问题)
东北大学秦皇岛分校数学模型结课报告最短路径问题（物流路线设计）学院数学与统计学院小组成员513210 喻翔5133107赖巧明5133117楚文玉教师评语：指导教师签字：2015年12月14日1摘要现今社会网络越来越普及,网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛,每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，即高质量高速度的完成送货任务,针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了反复验证,得出如下结果：问题1:根据所给问题与数据，我们将题目中给出的城市,及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图,采用了求这个图最小生成树的办法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正,然后我们再采用穷举法对问题结果进行验证,结果相吻合。
最终得到如下路线：（下横线不停靠）北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。
（最短时间为61小时）问题2:要求问题1的花费最少,只需对前面模型做进一步优化即可,经过优化计算我们得到如下结果：最少花费为584250（元），路线如下：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京关键词：关键字：最短路径送货线路优化赋权连通简单无向图最小生成树2问题重述2.1 问题的背景现今社会网络越来越普及,网购已成为一种常见的消费方式,随之物流行业也渐渐兴盛,每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位,现有实业公司,该实业公司专业生产某专用设备产品,专用设备产品每件重达5吨（其长5米,宽4米,高6米）,该实业公司库房设在北京,所有货物均由一货机送货,该机种飞机翼展88.40米（机身可用宽20米）,机长84米（可用长50米）,机高18.2米（可用14米）,最多可装载250吨货物,起飞全重达600吨,平均速度为900公里/小时，将货物送至全国各个省辖市（图1所示红色圆点，除北京之外共19个省辖市），假定货机只能沿这些连通线路飞行,而不能走其它任何路线.但由于受重量和体积限制,货机可中途返回取货.经过的各个省市都要一定的停靠费用和停靠时间（停靠时间为常量2小时）,假设经过某个省市的停靠费用为：停靠费用=5000元×该省市的消费指数.2.2相关数据1．各城市之间的通路和权数图11．1上图1描述了中国各个省市之间的航班以及权重以图中标注为准；1．2有些省市之间是没有航班,需要中转.2．城市消费指数表表11．若图示中19个省辖市每个省辖市只要一件产品,请设计送货方案,使所用时间最少,标出送货线路。
最短路径问题在城市超市选址中的应用资料
毕业论文（设计）最短路径问题在城市超市选址中的应用院系: 数学与计算机学院专业: 数学与应用数学年级（班级）: 2010级姓名: 陈妹珠学号: 20104041011指导教师: 谭秋月职称: 讲师完成日期: 2014年5 月20 日摘要对于最短路径问题的探索研究,向来都是数学界和计算机科学界所热衷研究的一个方向.它不仅在学术上具有重要的理论意义,更对于实际生活的生产有着举足轻重的实用价值.例如在医疗安全上的应急急救系统、政府的城市规划系统、卫星电子导航系统等其他领域.同时,最短路径问题又可以进一步引申为最少时间问题、最低费用问题等,但它们的核心解题算法都是最短路径算法.本文利用了图论中最短路径问题的相关知识及重要定理,对若干最短路径算法进行归纳,同时研究城市超市选址的影响因素,最后将最短路径问题的部分知识应用到了城市超市选址中,建立数学模型并求解,由此解决了超市经营的首要前提——选址.关键词: 图论;最短路径;超市;选址AbstractThe research and exploration of the shortest path problem is always be a hot spot for passionate about maths and computer science. It not only has important theoretical significance in academic, but also has significant practical value for the actual production of life. Such as emergency first aid system on medical safety, the government's urban planning system, electronic navigation satellite system and other fields. At the same time, the shortest path problem and can be further extended to a minimum time problem, the minimum cost problem, etc. But for the core of the algorithm, it's the shortest path algorithm.In this paper, the use of the shortest path problem in graph theory knowledge and the important theorem, the number of shortest path algorithms are summarized, at the same time, study for the influence factors of city supermarket site selection, the final will be applied to the shortest path problem of city supermarket site selection, establish mathematical model and solving, thus solved the first premise of supermarket business - location.Keywords: Graph theory; The shortest path; The supermarket; Site selection目录1 引言 (1)2 相关概念 (2)2.1图的相关定义 (2)2.2最短路径 (3)3 最短路径问题的相关介绍 (4)3.1单源单汇最短路径问题 (4)3.2单源多汇最短路径问题 (4)3.3多源多汇最短路径问题 (5)4 最短路径问题的相关算法 (6)4.1Dijkstra算法 (6)4.2SPFA算法 (7)4.3Floyd算法 (8)5 选址问题 (10)5.1相关知识 (10)5.2引用定理: (11)6 最短路径问题在超市选址中的应用 (12)6.1问题提出 (12)6.2问题分析 (13)6.3模型假设 (14)6.4符号说明 (14)6.5模型原理 (14)6.6模型建立与求解 (16)6.7模型结果 (20)7 结论 (21)谢辞 (22)参考文献 (23)最短路径问题在城市超市选址中的应用1 引言最短路径问题是图论中关于网络优化的一个重要组成部分.作为许多网络中选择最优问题的基础,在政府的城市规划系统、卫星电子导航系统、道路交通运输系统等科学领域中都占据着主导地位.生活中许多的实际问题,都可以通过数学语言,抽象为图论意义下的网络模型,然后利用图论逐步的对最短路径问题求解.对于最短路径问题的探索研究,是数学界和计算机科学界一直所热衷的话题.以数学语言描述最短路径,便是在网络上所有的有效路径中寻求一条距离最短的路径.一般来讲,口头上常说的最短路径不单单是指空间距离上的距离最短,这个意义可以延伸到其他度量上,比如时间用时最少,费用花费最低,路线容量最小等.应用最短路径问题相关知识解决城市超市选址问题,进一步的可以将其拓展到生活中的其他实际问题选址中去.因此,对于最短路径问题的研究无论在学术上还是实用中都具有十分重要的意义.本文将要在城市超市选址的问题中考虑影响选址的关键因素,并利用图论中最短路径问题的相关知识确定超市选址的位置,为投资者创造更高的经济效益.2 相关概念2.1 图的相关定义对事物以点表示,并以任意点点之间的连线表示事物之间存在的某种关系,换句话说就是集合论中描述二元关系的图,这样构成的图即为图论中的图]1[.图不能简单的看做是几何学中的三角形、多边形等这些几何图形,几何图形与图论意义中图的本质区别就是只关注在于点点之间是否有连线,而对于点的位置以及连线的曲直不关心]1[.由于图对各科学领域中的问题都能够进行恰当的描述与建模,所以图在各领域中都起到重要的作用.定义2.1.1]1[ 一个无向图是一个有序的二元组<V ,E>,记作G ,其中（1）V ≠φ称为顶点集,其元素称为顶点或结点.（2）E 称为边集,它是无序积V&V 的多重子集,其元素称为无向边,简称为边.定义2.1.2]1[ 一个有向图是一个有序的二元组<V ,E>,记作D ,其中（1）V 同无向图.（2）E 为边集,它是笛卡尔积V ⨯V 的多重子集,其元素称为有向边,简称边. 对于有向图与无向图的定义,人们常用小圆圈表示顶点,顶点之间的连线表示无向边,具有方向的连线表示有向边.定义2.1.3]1[ 设G=<V ,E>为一无向图,∀v ∈V ,称v 作为边的端点次数之和为v 的度数,简记为度,记作)(v d G ,在不发生混淆时,简记为d(v).设D=<V ,E>为有图,∀v ∈V ,称v 作为边的始点的次数之和为v 的出度,记作)(v d D +,简记做)(v d +.称v 作为边的终点的次数之和为v 的入度,记作)(v d D -,简记作)(v d -,称)(v d ++)(v d -为v 的度数,记作的d(v).定义2.1.4]1[ 给定图G=<V ,E>（G 为有向图或无向图）,设W:R E →(R 为实数集),对G 中任意的边e=),(j i v v (G 为有向图时,e =<j i v v ,>),设W （e ）=ij w ,称实数ij w 为边e 上的权,并将ij w 标注在边e 上,称G 为带权图,此时常将带权图G 记作<V ,E,W>.设G G ⊆',称∑'∈)()(G E e e W 为G '的权,并记作W (G '),即W (G ')=∑'∈)()(G E e e W . 定义2.1.5]2[ 对于无向图G ,其邻接矩阵A=v v ij a ⨯)(,其中:⎩⎨⎧=不相邻与若，相邻与若j i j i ij v v v v a 0,1对有向图G=<V ,E>,其邻接矩阵A=v v ij a ⨯)(,其中:⎩⎨⎧∉∈=E v v E v v a j i j i ij ),,0),,1若（若（ 对有向赋权图G ,其邻接矩阵A =v v ij a ⨯)(,其中:⎪⎩⎪⎨⎧∉∞=∈=E v v j E v w a j i ij j i ij ij ),,i ,0w ,),v ,若（若为其权且若（2.2 最短路径定义2.2.1]2[ 在无向图G=(V ,E,ψ)中:（1）顶点与边相互交错且i i i v v e 1)(-=ψ（i =,2,1…k ,)的有限非空序列w=(2110e v e v …k k k v e v 1-)称为一条从0v 到k v 的通路,记为k v v W 0.（2）边不重复但顶点可重复的通路叫做道路,记为k v v T 0.（3）边与顶点均不重复的通路叫做路径,记为k v v P 0定义2.2.2]2[ 在赋权图G 中,从顶点u 到顶点v 的具有最小的路P*(u,v),称为u 到v 的最短路.3 最短路径问题的相关介绍最短路径问题]3[是图论问题中的典型代表.对于一个网络,每条边都有一个权值（如长度、成本、时间等）存在,在图中寻求一顶点到另一互异的顶点之间路径,并使该路径的总权值和最小,则所寻求出的路径即叫做最短路径.图中边的权值可多种,也可以同时存在多种,只是最后根据比例,算出边的综合权值.一般将最短路径问题作如下的3种情况分类.3.1 单源单汇最短路径问题单源单汇最短路径问题]4[就是寻求从一固定初始点u 到另一固定目标点v 之间的最短路径.如图3-1所示,求5v 到2v 的最短路径问题即为单源单汇最短路径问题.图3-1单源单汇最短路径问题是学会解决最短路径问题的基础,只有对这类问题能够熟悉应用,才能够进一步的将之扩展到更深层次的问题,如图中一固定点到其余顶点的最短路径,或者是图中任意两顶点间的最短路径.3.2 单源多汇最短路径问题单源多汇最短路径问题就是寻求从一固定初始点u 到剩余点的最短路径. 如图3-2所示,求4v 到其余顶点的最短路即为单源多汇的最短路径问题.图3-2对于单源单汇最短路径问题,一般常见到的就是出发点为已知,或者是终点为已知,这两种情况在无向图里是没有区别的,可以等同为同一种情形.只有在有向图中才有区别,并且只要把关于确定出发点的最短路径问题中所有路径方向做一个反转,通过这样的方式就可以得到关于确定终点这类情形的最短路径问题.3.3多源多汇最短路径问题多源多汇最短路径问题就是对于给定的节点集合,寻求其中任意两节点间的最短路径.如图3-3所示,求任意两顶点间的最短路即为多源多汇最短路径问题.图3-3对于多源多汇最短路径问题,有时候可以将它分解成多个单源多汇最短路题,以每一个顶点为出发点来进行对单源多汇最短路径问题的求解.4 最短路径问题的相关算法最短路径问题是在全体网络最优化问题中被研究极普遍的一类课题,它常应用于通信工程等领域中.对于最短路径问题求解的作法有许多种,包括早期将限制环境作为根据的深度优先寻求方法,将有向无环图作为根据的动态规划法,将邻接表作为根据的A*算法,最大相关边法等,以及如今发展比较活跃的Dijkstra 算法（迪科斯彻算法）]5[、SPF A 算法和Floyd 算法（弗洛伊德算法）.根据不同的网络图特性,实际的软硬件环境与应用需要,以及算法复杂度等方面,运用不同的最短路径算法得以实现.就最短路径问题,给出了当前运用比较广泛的最短路径理论算法Dijkstra 算法、SPF A 算法和Floyd 算法,下面依次介绍.4.1 Dijkstra 算法Dijkstra 算法有些人将它称为单源最短路径法,有些人是将它称为标号法]6[.由计算机科学家荷兰人艾兹格⋅迪科斯彻于1959年所提的解决最短路径问题的寻求方法.该算法的作用就是用于求解单源点最短路径,在如今的这个21世纪里,它仍然是大家所公认的在网络中,解决从一固定点为起始点,到其它随意而取的顶点的最短路径问题的极佳算法.Dijkstra 算法是运用贪心算法的计策,从源点出发,不断地连续通过相连通的点去寻求出到其他顶点的最短距离,它的基本思想是设立一个顶点集合S ,逐步地向外探寻,从而不断的扩充这个集合.一个顶点属于集合S 当且仅当从源点到该点的最短路径已寻求到,从而S 存放在已求到其最短路径的顶点,则未曾确立到的最短路径的顶点集合为V-S ,其间V 是网中全部顶点集合.开始时S 中仅存在源点,同时修改V-S 中点的最短路径的长度值,寻求当前最短路径点,根据最短路径长度值逐步递增的顺序逐个用V-S 中的顶点将其加入到集合S 中,直到S 中将全部顶点包含,而V-S 为空.Dijkstra 算法步骤为:已知赋权有向图D=（V ,A ）.（a ）设起始点为V ,则S 是只包含顶点V 的集合,同时令W=V-S ,则W 是除V 以外,包含图中所有其它顶点的集合.V 所对应的的相应距离值为0,即D[1v ]=0.W 中顶点所对应的相应距离值是规定符合如下要求的:如果图中有弧1k v ,v <>存在，则V 顶点的相应距离是该弧的权值,否则就为.（b ）再从W 中找到一个顶点k v ,使它到S 的路径最短,同时将k v 从W 中剔除,然后使k v 加入到S 中去,即当前所求到的由S 到k v 的路径即为S 到k v 的最短路径.（c ）每次再S 中加入一个顶点k v 后,就要对W 中各个顶点的距离值全部再一次修改.如果加入到k v 作为一个中间顶点,从而使1k v ,v <>+k j v ,v <>的值小于1j v ,v <>的值,则原先v 的距离值由1k v ,v <>+k j v ,v <>所替换,即表明新生成的最短路径的长度比原来计算那条来的更短,那么就要更新这个距离以及最短路径.（d ）重复第（b ）步骤和第（c ）步骤,使在被修改过的W 中选取距离值最小的那个顶点加入到S 中,同时调整W 中的各个顶点距离值,以此循环进行,直至S 中将图中所有顶点全部包含才得以停止,即S=V .此时的D[n]即由顶点1v 出发,到顶点n v 的最短路径长度值.4.2 SPFA 算法SPFA 算法]7[是1994年由段凡丁发布的关于求单源最短路径的一种算法.在好多时候,给定的图也是有存在负权边的,此刻对于与Dijkstra 算法类似的算法便无法解决,也就没有了用武之地,则此时SPFA 算法便适合派上用场了.这是一种具有高效的解决最短路径问题的算法.SPFA 算法的基本思想是用动态逼近法:先设置一个先进先出的队列来存储那些用来待优化的顶点,在优化的时候每次取出队的首顶点u ,同时将对离开u 点所指向的顶点v 根据u 目前所有的最短路径估算值做松弛操作.假如v 点的最短路径估算值有些变化或调整,并且v 点不存在于当前的队列中,就将v 点置于队尾.依据此方法,不断从队列中取出节点以松弛方式进行操作,直到队列变空停止.此方法能够保证只要存在最短路径,以上SPF A 算法必将能求出路径最小值.SPFA 算法不仅可以求解出最短路径,同时也可以对网络图进行判断是否存在负环.如果某个点已经不止N 次进入到队列,则负环存在,而SPFA 对于处理带负环的图是无计可施的,即无法求解.因此在该算法执行前,可以实行一次拓扑排序,从而判断负权回路在图中是否存有.在对SPFA 算法的具体步骤说明前,作如下说明:dist[i]的意思是从源点0v 到顶点i v 的最短路径长度.SPFA 算法的步骤为:（a ）初始化,将源点0v 加入到队列中,dist[0v ]=0,其他点dist[i v ]=+∞.（b ）每次在队列中掏取首个元素,以此点作为一个中间点,并对与该点存在边相连的点进行松弛操作.如果松弛成功,则调整dist[i v ]的值,同时在队列中将点iv加入.（c ）重复执行步骤（b ）,直至队列为空.4.3 Floyd 算法通常在某些问题里,对图需要确定任意两点间的最短路径长度.解决此问题的一个有效方法是采用贪心策略的dijkstra 算法]8[求解,将每一个顶点依次轮流的作为源点,将dijkstra 算法重复执行n 次,从而求出每对顶点间存在的最短路径,这样所用的总的时间复杂度则为)(03n ]9[.程序越复杂,计算量越大,这显然过于繁琐.并且一个有向图里,当节点间权值为负数时,dijkstra 算法就行不通了,斯坦福大学计算机科学系教授floyd 对此提出了另外一个求图中任意两顶点之间最短路径的算法,即floyd 算法.其是一种用来对给定的加权图搜索它顶点间最短路径的算法]10[,它是依靠权矩阵,对随意而选取的两点直接寻求最短路径.对于稠密图,处于它紧凑的三重循环结构,而比执行dijkstra 算法|V |次的效率还高,虽然时间复杂度为)(03n ,空间复杂度为)(2n O ,不适合计算大量数据,但其算法的形式更简单,易于理解.且floyd 算法对边的权值条件不做任何限制,即可正可负,只要图中不存在负环就可以算出任意两个节点之间的最短路径长度.floyd 算法的基本思想是以随意而取的两个互异顶点i v 和j v 组成的距离带权邻接矩阵开始,在插入一个中间点k v 时,将以上已知得到的i v 和j v 组成的距离带权邻接矩阵中最短路径同插入k v 形成的i v 和j v 可能形成的路径做个对比,然后选取最小值形成一个新距离矩阵.根据此方法,依次插入中间点,,21v v …n v ,构造出对应矩阵,,)2()1(D D …)(n D ,在每个顶点都作为随意而取的两个互异顶点i v 到j v 的中间点时,得到的那个最后矩阵)(n D 即为图的距离矩阵.相应的由此可以看出任意两点之间存在的最短路径.构造图G 的距离矩阵过程是:（a ）对一个具有n 个顶点的图G ,将顶点用n 个整数（即为1,2,…,n ）进行编号,将G 的带权邻接矩阵D 作为距离矩阵的初值,换句话也就是说)0(D =(0)ij n n d )⨯（=D .若两点间有边时,则i j d （0） 与边的权相等.如果两点之间边不存在时,则i j d （0）∞=.其中当i=j 时,i j d （0）=0.（b ）构造)1(D =(1)ij n n d )⨯（,而i j d （1）=min （i j d （0）,i j d （0）+i j d (0)）是从i v 到j v 的只允许以 1v 作为它们中间点的所有路径中最短路长度.（c ）将k i j d （）=min （(k 1)i j d -,(k 1)ik d -+(k 1)k j d -）,n k ≤≤2作为依据,逐步的构造,,,)3()2( D D (k)D ,而其中kij d 表示的是以i v 为出发点,以j v 为最终点的只允许最短路的长度是根据1v 、2v 、… 、k v 作为中间点的路径.即是从以i v 为出发点,以j v 为最终点 ,同时中间可插入随意选择的一个顶点的路径中最短路的长度.（d ）此时就构造出来了图G 的距离矩阵(n )D .5 选址问题5.1 相关知识选址]4[即是在一定区域内为某种服务设施选择确定它的位置,并使其达到它指标最优值,解决的是服务设施与服务对象间的联系效益或效益问题.而其中的区域即可通过图来表示服务设施所服务的范围及其联系.所谓的服务设施可以是公共服务设施（如医院、消防中心等）,也可以说是生产服务设施（仓库、配送中心等）.选址问题的类型多样,如社会服务型与经营型、离散型与连续型、单服务设施与多服务设施.其中的社会服务型又可分为普通型选址（如学校、银行等）和紧急服务型选址（如紧急医疗救助中心、消防中心等）.在此介绍服务设施和服务对象都位于同一个图上顶点的单服务设施问题.对于单服务设施问题,可以将其整体的划分为如下两类,即重心问题、中心问题.5.1.1 重心问题在服务对象有相对集中的区域位置时,通过网络反应各对象间的联系关系.对于服务设施(如学校、图书馆等非紧急型服务)的选址,要求的是设施到所有服务对象点的最短路径距离的总和最小,通常情况下则考虑人口密度问题,从而使全体被服务对象的来往平均路程最小]4[.对此问题的求解算法为:(a )求距离矩阵D(b )计算各顶点作为超市时的总路程:),,()()(1j z d v q v m nj ji ⨯=∑= 其中d （z ，j ）表示在网络中以顶点z 为起始点,到顶点j v 的最短距离.顶点z 或许在网络的顶点上,也或许是位于某一边上.若z 在边（a,b ）上,且距顶点i v 的比例是c ,则),()1(),,(m in{),(j b d d c j a d d c j z d ab ba +⨯-+⨯=,若网络为有向,则∞=ab d .(c )求k v ,使)}({min )(1i ni k v m v m ≤≤=,即k v 就是超市选址的最优点.此点称为图G 的重心点或中位点.5.1.2 中心问题对于服务设施（如医院,消防中心等紧急服务设施）的选址,关键在于网络中处于最远位置的被服务点与服务设施的距离尽可能的小]4[.对此问题求解的算法为:(a )求距离矩阵D(b )计算各顶点作为超市时的最大服务距离:)},(max{)(j i i v v d v S =(c )求k v ,使)}(min{)(i k v s v S =,即k v 就是超市选址的最优点.此点称为图G 的中心点.5.2 引用定理定理5.2.1]4[ 重心问题的最优解一般是坐落在网络的某一顶点上.定理5.2.2]4[ 网络的中心,必位于网络中最长的路的中点.6 最短路径问题在超市选址中的应用某种服务设施在一个确立的区域内选定它的位置,同时使其某一指标达到最优值,就是常在实际生活中所要研究的选址问题]11[.随着社会的繁荣发展和国民生活水平的逐渐提高,人们对生活的便捷度也要求的越来越高,而作为以经营大众化衣、食、日用品为主,为人们生活提供各种需求产品的超市,其选址问题倍受关注[.12]超市作为一种非紧急型的公共服务设施,一般主要考虑人口密度问题,建立在居民周围]13[.作为消费者,对超市服务点设置的选址莫过于在质量保证的前提下对距离远近的要求,追求购物便利.那么这就涉及到了上面所提到的最短路径问题.超市如何选址建立,能使得居民购物方便,是每个投资所考虑的问题.6.1问题提出对于超市的经营,其主要目的就是创造经济效益,而选址是影响经济效益的首要因素.具备有利的地理位置将会吸引永不截断的顾客,其选择恰当,就意味着享有“地利”,将会与竞争对手在产品类似、服务水平基本相同等条件下获取更好的经济效益]14[.因此,超市在分析经济效益时,应注重超市地址的影响效果,根据对超市选址产生重大影响的重要因素进行量化分析]15[,与图论中最短路径问题结合,对超市的选址提出有益且有效的建议.以武夷山市武夷学院超市选址为例,如图6-1所示:图6-1 武夷山市武夷学院图6.2 问题分析首先,应该明确店址选择的重要性.其合适的选址,将会与竞争对手在规模类似、产品质量、服务水平等基本等同条件下享受更好的经济效益,提高超市的销售业绩.而销售业绩的提高主要在于超市对于居民市场吸引力的大小,即超市将那些优先选择本超市作为消费产地的有效顾客所分布的位置区域]1615[ .若市场吸引力越大则客流量越多,从而带动销售业绩.否则超市的营业将会变的萧条.在分析出顾客与超市市场吸引力的关系后,则需要分析影响市场吸引力的因素,进行量化分析,求出各个选址影响因素的综合指标Y ,以此作为一个地址点的影响有效区域,成为该点的权值.并由实际城市环境,用最短路径问题的算法求出各顶点间的最短路径的距离矩阵.再以各顶点的权值加权,从而求出每个顶点到其他剩余顶点的最短路径长度的加权和,最后对此进行判断,选出网络的重心点即为建立超市的最佳位置.6.3 模型假设（1）超市物品齐全,可以容纳全部进来消费的顾客以及满足她们的需求;（2）人们选址购物消费的地点都是距离自己最近的超市;（3）不考虑政府政策影响.6.4 符号说明 S :竞争者营业面积 BK :商业繁荣程度I :该市场吸引力区域内第i 居民区 BD :城市规划系数i d :居民区到超市的距离 TC :需求指数CLI :影响指数 PI :增长估计RDP :消费人口数目 CI :竞争指数ADP :人均购买力 CL :竞争者与本店址距离的长远 PDI :人均可支配收入 MI :未来可预见的人口搬迁率CPI :消费价格指数 SS :未来可能出现的威胁指数 BII :竞争者品牌强度指数 FS :未来一年内竞争者营业面积 ),(m m i y x D :便捷函数 FBII :未来一年内竞争者品牌强度 ),(m m y x :该居民区在地图上的坐标),(m m y x :该居民区在地图上的坐标;),(m m i y x l :点),(m m y x 到超市所在位置（a,b ）的最短实际距离FL :未来一年内竞争者与本店址距离的长远6.5 模型原理将影响市场吸引力因素分成收入与成本两类,本市场内各个居民点所具备的购买力是收入类主要考虑的方向;各居民点到连锁网点的距离以及连锁网点之间的竞争状况是成本类主要考虑的方向,以同一市场区域内同行竞争者数目或营业面积之和表示.由于以郝夫模型为基本而提出来的市场引力模型,考虑的因素比较与实际情况相符,且可验性强,所以本论文选用市场引力模型进行研究. 市场引力模型]15[为:其中Y 表示超市所处位置的市场吸引力, m 代表该市场吸引力区域内居民点个数,j I 表示区域内各个居民点的购买力,j D 代表各个居民点到超市的距离,n 表示同一区域内同行业竞争者的个数.对选址产生影响的因素]15[,主要考虑以下几类:（a ） 城市规划.对城市规划进行分析,研究是否会有街道拓宽、大型商业中心开发等建设,从而预期店址周围环境变化,对市场吸引力做出合理估计与措施,并预测超市的长远发展.（b ） 交通便捷度.由于现代人逐渐追求绿色环境,则对便捷度的分析主要考虑自行车、机动车的停放位置方便度和公交乘坐的方便度.若未来超市选址处于交通方便位置,将会有源源不断的客流.（c ） 人口需求.对人口需求的影响主要动态分析备选店址周边是否有光大居住人口、人均购买力以及消费习惯等.同时预测人口增长、收入增长等变化的增长性. （d ） 同行业竞争.对同行业竞争的分析主要考虑对竞争者营业面积、与本店址距离的长远、品牌强度指数、未来可能出现威胁等所表现的竞争抗衡力.（e ） 商业繁荣程度.对商业繁荣程度的分析主要考虑备选店址所处的商业环境繁华程度,比例商店数目、客流量、营业面积等,从而判断属于城市中心、二区、三区或郊区环境.对选址因素的量化分析:a) 量化城市规划和商业繁荣程度.以影响指数CLI 表示城市规划系数BD 和商业繁荣程度BK 的量化,且CLI=BD ⨯BK .若处于商业中心,BD 设为3;若处于城市二区,BD 设为2;若处于普通街道,BD 设为1.本论文BK 指两年城市规划影响下肯增加的商业繁荣系数.b) 量化人口需求.以需求指数TC 表示本区域内人口需求的量化.包括消费人口数目（RDP ）,人均购买力（ADP ）和增长估计（PI ）.人均购买力（ADP ）可由人均可支配收入（PDI ）除以消费价格指数（CPI ）求得,即 A DP=PDI/CPI .（PDI 、CPI 、RDP 可查询统计年鉴得到）其中的增长估计（PI ）是指该区域在未来可预见的经营期内的人口自然增长（NR ）,人口搬迁率（MI ）以及人均购买力增长对该区域消费需求的影响的估计PDII , PI=（NR+MI ）×PDII .c) 量化交通便捷度.以便捷函数),(m m i y x D 表示对交通便捷度的量化.。
零售连锁超市物流配送现状及对策探讨
二、目前常用配送模式的分析
１ 自建 配送 中心 的 自营配 送 模 式 零售 业 巨 人沃 尔玛 在 配 送 方面 的成 功 说 明 了配 送 中心 的 重要
售连 锁 超 市不 论 大 小都 青 睐 于 自建 配 送 中心 自营 配送 据相 关资 作 用 。 在我 国商 业 连 锁 经营 中 ． 有 一 定规 模 的 超 市 、 综合 商 场 具 料 ． ２ ０ 年 底 ， 国 零 售连 锁 超 市 的配 送 中心 已近 ２０ 家 其 等 都十 分 重 视 配送 环 节 继 建立 了配送 中心 。实 力较 强 的连 到 ０７ 我 ５０ 也 相
送 中心 资 源 的浪 费 和人 员的 闲置 ． 得 配送 中心 的 费用 和 物流 运 使 营成 本 偏 高 。只 有 分店 规 模 扩 大使 配 送 中心 正 常运 转 所 取得 的数 量 折 扣 和 加速 资金 周 转 的效 益 ， 以抵偿 配 送 中心 建 设 和设 备 所 足 花 费 的成 本 ，才 能 取得 预 期 的经 济效 益 。 ２ 供 应 商直 接 配 送 模式 在 中 国连 锁 店 发展 初期 多连 锁 店 都 采 取 了把 供 应 商 直送 许 方 式 简 单 地 组 合 成 物 流 配 送 体 系 实践 证 明 这种 方 式 有许 多弊
主 同时 中 自建 的 就达 １０ 多 家 。 多超 市 没 有考 虑 到 自 身的 规 模原 来 就 锁超 市 自建 配送 中心 要是 为本 企 业 的连 锁 分店 进 行 配货 ， ０ ５ 很
小 ．没有 充分 的资 金 来 建设 和 运 作配 送 中心 ， 而 导 致 许 多配 送 也 可 以 为其 他 企 业提 供 货物 ． 够 创造 更大 的经 济 效益 和 社 会 效 从 能 中心 根 本 不能 达 到超 市 配送 的需 求 。不 仅导 致 配 送效 率 低 统 一 益 。而 且这 种 做 法也 符 合企 业 的 长 期利 益 和 战略 发 展 需要 。连 锁 配送 率 不 高 ． 浪 费 了许 多的 物流 资源 笔 者对 身边 的 部分 零 售 企业都各有 自己的经营特色 ， 还 白建配送 中心有利于协调 与连锁店 铺 之 间 的关 系 ， 保证 这 种 经 营特 色 不 受 破 坏和 改 变 。 连 锁超 市 进 行 了调 查 结 果 也 实证 了这 一 结论 （ 下表 ） 见 。
物流配送网络优化分析及最短路径算法
物流配送网络优化分析及最短路径算法1.网络结构优化：通过对物流配送网络的结构进行分析和调整，来优化网络的布局和设计。
包括确定物流配送中心的位置、确定供应商和客户之间的关系等。
优化网络结构可以减少运输距离和时间，提高运输效率。
2.路线优化：在物流配送网络中，确定最佳路线是非常重要的。
通过优化路线可以减少运输的距离和时间，降低运输成本。
常用的路线优化方法包括最短路径算法、遗传算法等。
3.车辆配送和调度优化：在物流配送过程中，如何有效地安排车辆的配送和调度也是一个关键问题。
通过优化车辆配送和调度可以减少等待时间和空载率，提高运输效率。
最短路径算法是一种解决在物流配送网络中寻找最短路径的方法。
常用的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法和A*算法等。
1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）：迪杰斯特拉算法主要用于解决单源最短路径问题，即从一个顶点到其他顶点的最短路径。
它基于贪心策略，逐步确定起点到其他顶点的最短路径。
具体步骤如下：(1)初始化起点到各个顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0。
(2)选择一个未访问的顶点，计算起点到该顶点的距离。
(3)更新其他未访问的顶点的距离。
(4)标记该顶点为已访问。
(5)重复步骤2-4，直到所有顶点都被访问过。
2. 弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）：弗洛伊德算法可以解决任意两点之间的最短路径。
该算法使用动态规划的思想，通过逐步迭代来更新路径的长度。
具体步骤如下：(1)初始化各个顶点之间的路径长度。
(2)逐步迭代更新路径长度，直到找到最短路径。
3. A*算法（A-star algorithm）：A*算法是一种基于启发式的最短路径算法。
该算法通过引入启发函数来评估当前节点到目标节点的代价，然后选择代价最小的节点进行扩展。
具体步骤如下：(1)初始化起点节点和终点节点。
(2)根据启发函数评估每个节点的优先级。
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天津大学管理与经济学部夏令营学术论文展示学校：四川大学姓名：赵欢专业：工程管理申请专业：管理科学与工程研究方向：工程管理申请类型：学术型硕士一、研究目的1. 了解配送中心运输配送系统相关的数量方法在管理决策中的有效运用。
2. 锻炼运用节约算法法处理实际问题的能力3. 加强商业调查能力的训练二、研究内容与研究步骤1、数据调查我选择的调查对象是成都市的红旗连锁红旗超市, 成都红旗连锁有限公司成立于2000年6月。
2010年5月20日，成都红旗连锁股份有限公司正式创立。
公司现已发展成为中国西部地区最具规模的以连锁经营、物流配送、电子商务为一体的商业连锁企业。
目前在四川省内已开设上千家连锁超市，就业员工上万人，累计上缴税收6亿以上;拥有两座现代化的物流配送中心;与上千家供货商建立了良好的互利双赢的商业合作关系。
我就近选择了位于成都市武侯区簇马路2段11号的配送中心，对其半径三公里范围内的红旗超市配送进行了具体的数据调查和记录。
红旗连锁配送中心：成都市武侯区簇马路2段11号（选址如图1，A 为该配送中心）配送范围：半径3000m图1：2、模型建立第一步：据调查出的配送中心及网点分布图，绘制出配送网点模型图如下：图2：第二步：由实地咨询及资料查阅后收集到的各网点和配送中心之间的路程数据，给出配送中心与分店，商店与商店之间的距离，0表示配送中心（完整数据见附表1：网点距离表）第三步：车辆数分析（完整数据见附表1：车辆调度情况）第四步：分店需求量分析（完整数据见附表1：每个分店平均每天的需求量）三、背景据介绍，自红旗连锁成立以后，其公司决策层就提出为适应市场发展需要，必须跟上先进零售企业信息化管理的步伐，完成对各分店的POS/MIS 自动化管理系统，实现配送中心与财务中心的联网，以达到对单列商品准确的进、销、存的科学信息化管理，合理安排和使用流动资金，加快商品及资金周转率，以形成一套健全的、高效的商品自动化管理系统，包括商品的进销存管理系统、供应链管理系统，同时逐渐提升公司内部的信息化管理。
据悉，为了实现这一系列的信息化目标，公司每年在信息化上的投入就达到了几百万；公司领导更是亲自着手企业各流程的改造与管理，使企业能够更好的往信息化道路上发展。
业务流程图?该超市配送中心物流管理系统主要包括采购、进货、退货、销售几个方面。
其中与供应商、连锁店、仓库、顾客之间有着实际联系。
图3本次实验是在武侯区的红旗超市店面和配送中心进行的，主要是实地采访、询问的方法，进行路线优化的方法是节约里程计算法。
节约里程算法：节约里程法核心思想是依次将运输问题中的两个回路合并为一个回路，每次使合并后的总运输距离减小的幅度最大，直到达到一辆车的装载限制时，再进行下一辆车的优化。
优化过程分为并行方式和串行方式两种。
利用节约法确定配送路线的主要出发点是，根据配送中心的运输能力和配送中心到各个用户以及各个用户之间的距离来制定使总的车辆运输的吨公里数最小的配送方案。
另还需满足以下条件；（1）所有用户的要求；（2）不使任何一辆车超载；（3）每辆车每天的总运行时间或行驶里程不超过规定的上限；（4）用户到货时间要求。
其基本优化思想是为达到高效率的配送，使配送的时间最小距离最短成本最低，而寻找的最佳配送路线。
假如一家配送中心（DC）向两个用户A、B运货，配送中心到两用户的最短距离分别是La和Lb，A和B间的最短距离为Lab，A、B的货物需求量分别是Qa和Qb，且（Qa+Qb）小于运输装载量Q，如果配送中心分别送货，那么需要两个车次，总路程为：L1=2（La+Lb）。
如果改用一辆车对两客户进行巡回送货，则只需一个车次,行走的总路程为：L2=La+Lb+Lab由三角形的性质我们知道：Lab<（La+Lb）所以第二次的配送方案明显优于第一种，且行走总路程节约：ΔL=（La+Lb）－Lab如果配送中心的供货范围内还存在着：3,4,5，…，n个用户，在运载车辆载重和体积都允许的情况下，可将它们按着节约路程的大小依次连入巡回线路，直至满载为止，余下的用户可用同样方法确定巡回路线，另外派车。
四、过程与分析步骤一：根据附表1：网点距离表中的网点距离图，计算各商店之间的节约里程（完整数据见附表2：节约里程表）节约值矩阵表步骤二：由节约里程表可知，根据最大的里程节约和各点的需求量限制，所以我们把13-14-15-16顺序连接起来，因为8的需求量是3，而货车只能限载5T ，所以不能连在13-14-15-16里。
在节约里程表里把14、15两列和两行的节约里程都改为0。
（完整数据见附表2：节约里程附表1）节约里程附表1：因为12到13节约里程最大△L （12,13）=4050，其次是13到4节约的里程大△L （4,13）=2500，若13连接12点那么根据车辆的限载5T 和各点的需求，只能P-11-12-13-14-15-16-P 和P-4-8-P,此时总的节约里程△L1=22460；若13连接到4，那么线路为①P-4-13-14-15-16-P 和②P-11-12-8-P 。
此时的△L2=23660，因为△L2>△L1所以选择第二种方案： 步骤三：在节约里程表里把4、11、12、13、14、15、16、8的横列和纵列全部改成0得到节约里程附表1。
通过排序得到节约里程顺序附表（完整数据位于附表2：节约里程附表1）。
车辆1：P-4-13-14-15-16-P 车辆2：P-11-12-8-P,总里程=1400+1600+570+430+845+2700=7545m配送量=4.1T 总里程=2200+750+645+1400=4995m配送量=4.5T节约里程附表1：因为18-19节约里程最大，把18-19连接起来，把18-19改为0，得到17-18最大，把17-18连接起来，得到17-18-19,17-18改为0，在这附近，所有的点的需求量Q加起来是10.3，所以为了使里程节约最大和配送量最大，得把边缘的一个点放在其他路线去，根据步骤1，只能把20或者10这两个点中的一个排在外面去。
若把10放在左边区域去，那么20与19连接，10就与21连接，节约的里程为△L10=2500+4000=6500；若把20放到左边区域，那么10与19连接，20与21连接，节约的里程△L20=3985+3100=7085，因为△L20>△L10，所以把20放到左边去。
得到17-18-19-10，此时这几点的需求量Q已经达到了4.7，不能再与其他点连接，所以直接17-P,10-P,得到路线③P-17-18-19-10-P。
此时节约的总里程△L3=4210+4320+3985=12515m车辆3：P-17-18-19-10-P，总里程=2100+2990+680+715+2100=5885m,配送量=4.7T。
程附表1里面把10、17、18、19的横列和纵列都改为0得到节约里程附表2，通过排序得到节约里程顺序附表2。
（完整数据位于附表2：节约里程附表2）节约里程附表2：因为21-22节约里程最大，所以连接21-22，把21-22改为0,7-22最大，连接7-22，得到7-22-21，把7-22变为0，21-20最大，连21-20得到7-22-21-20，此时需求量Q=4.1，不能与附近其他点连接，所以直接与P 连接，得到线路④P-7-22-21-20-P 。
此时节约的总里程为△L4=4205+3610+3100=10915m 。
车辆4：P-7-22-21-20-P ，总里程=1800+890+695+1500+2400=7285m ，配送量=4.1T 。
步骤五：在节约里程附表2里把7、22、21、20的横列和纵列改为0得到节约里程附表3，通过排序得到节约里程顺序附表3。
（完整数据位于附表2：节约里程附表3）节约里程附表3：由节约里程顺序附表3可得，因为6-9节约里程最大，所以连接6-9，车辆4：P-7-22-21-20-P 总里程=1800+890+695+1500+2400=7285m 配送量=4.1T把6-9改为0，,5-9最大，再连接5-9得到6-9-5，把5-9改为0,3-6最大，连接3-6得到3-6-9-5，附近没有需要配送的点，所以与P 连接得到线路⑤P-5-9-6-3-P 。
此时节约的总里程△L5=2830+3040+2230=8100m 。
车辆5：P-5-9-6-3-P ，总里程=1400+470+660+670+1100=4300m ，配送量=5T步骤六：在节约里程附表3里把5、9、6、3的横列和纵列都改为0得到节约里程附表4，按顺序排列得到节约里程顺序附表4。
（完整数据位于附表2：节约里程附表4）节约里程附表4： 由表可得只有1-2，连接1-2，再与P 连接得到线路⑥P-1-2-P 。
此时节约的总里程△L6=56m 。
车辆6：P-1-2-P ，总里程=31+800+825=1656m ，配送量=5T 。
车辆5：P-5-9-6-3-P 总里程=1400+470+660+670+1100=4300m 配送量=5T综上：该模型优化后的最终线路分别是：①P-4-13-14-15-16-P ②P-11-12-8-P ③P-17-18-19-10-P④P-7-22-21-20-P ⑤P-5-9-6-3-P ⑥P-1-2-P 。
总里程L=7545+4995+5885+7285+4300+1656=31666m 。
总节约里程△L=△L2+△L3+△L4+△L5+△L6=23660+12515+10915+8100+56=55246m 。
车辆=6辆总配送量=4.1+4.5+4.7+5+5+4.1=27.4T五、结果总结利用节约里程算法进行路线优化，结合配送中心的运输能力和配送中心到各个用户以及各个用户之间的距离信息，从而制定使总的车辆运输的吨公里数最小的配送方案。
实验小组经过科学、严谨的逻辑推理和计算，得出最佳配送路线为线路分别是：①P-4-13-14-15-16-P ②P-11-12-8-P ③P-17-18-19-10-P ④P-7-22-21-20-P ⑤P-5-9-6-3-P ⑥P-1-2-P。
总里程L=7545+4995+5885+7285+4300+1656=31666m。
总节约里程△L=△L2+△L3+△L4+△L5+△L6=23660+12515+10915+8100+56=55246m。
车辆=6辆总配送量=4.1+4.5+4.7+5+5+4.1=27.4T优化后的结果路线如下如：正确合理地安排车辆的配送线路，实现合理的线路运输，有效地节约了运输时间，增加车辆利用率，从而降低运输成本，提高企业的经济效益与客户服务水平，使企业达到科学化的物流管理，能够更好地提升企业自身竞争力。