统计学相关分析讲义与回归分析
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统计学相关分析和回归分析ppt课件
23
计算积距相关系数， 连续性变量才可采用
图8－1 Bivariate Correlations 对话框
。
计算Kendall秩相关
系数，适合于定序变
量或不满足正态分布
假设的等间隔数据。 计算Spearman秩相
关系数，适合于定序
见图 8－2
变量或不满足正态分
关布。不还假清是设楚负的变相等量关间之时隔间选数是择据正此相项 。
没有关系
9
8.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需
要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r；
相关系数r的取值在-1～+1之间 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变
量存在负的线性相关关系 r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存
在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示
。 （4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双
边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率 p值。 （5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果 中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明 变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。 （6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Crossproduct deviations and covariances表示输出两变量的 离差平方和协方差。
例如，在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间 的线性关系时，需求量和价格之间的相关关系实际还包含 了消费者收入对价格和商品需求量的影响。在这种情况下 ，单纯利用相关系数来评价变量间的相关性显然是不准确 的，而需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变量间 的相关。偏相关的意义就在于此。
计算积距相关系数， 连续性变量才可采用
图8－1 Bivariate Correlations 对话框
。
计算Kendall秩相关
系数，适合于定序变
量或不满足正态分布
假设的等间隔数据。 计算Spearman秩相
关系数，适合于定序
见图 8－2
变量或不满足正态分
关布。不还假清是设楚负的变相等量关间之时隔间选数是择据正此相项 。
没有关系
9
8.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需
要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r；
相关系数r的取值在-1～+1之间 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变
量存在负的线性相关关系 r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存
在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示
。 （4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双
边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率 p值。 （5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果 中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明 变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。 （6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Crossproduct deviations and covariances表示输出两变量的 离差平方和协方差。
例如，在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间 的线性关系时，需求量和价格之间的相关关系实际还包含 了消费者收入对价格和商品需求量的影响。在这种情况下 ，单纯利用相关系数来评价变量间的相关性显然是不准确 的，而需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变量间 的相关。偏相关的意义就在于此。
统计学-相关分析与回归分析
回归分析结论
回归分析用于预测一个变量（因变量）基于另一个或多个变量（自变量）的值。通过回归分析，我们可以建立一 个模型来描述变量之间的关系，并用于预测未来的趋势或结果。
未来研究方向展望
深入研究变量关系
尽管我们在相关分析和回归分析中取得了一些结 论，但未来可以进一步深入研究变量之间的关系 。例如，可以探索更多的潜在变量，以及它们与 目标变量之间的复杂关系。
示弱相关或无相关。
相关关系检验
01
相关关系检验是用于判断两个变量之间是否存在显著的相关关系的统计方法。
02
常用的相关关系检验方法有t检验和F检验，其中t检验适用于样本量较小的情况 ，F检验适用于样本量较大的情况。
Байду номын сангаас
03
在进行相关关系检验时，需要先确定显著性水平，通常取0.05或0.01，然后根据检 验统计量的值和对应的p值来判断是否拒绝原假设，即两个变量之间不存在显著的 相关关系。
数据的拟合程度。
显著性检验
采用F检验、t检验等方法，检 验回归模型中自变量对因变量 的影响是否显著。
共线性诊断
检查自变量之间是否存在共线 性问题，以避免对回归结果的 误导。
模型预测性能评估
通过交叉验证、预测误差等指 标，评估回归模型的预测性能
。
04
相关分析与回归分析比较
联系与区别
联系
相关分析和回归分析都是研究变量间 关系的统计方法，相关分析是回归分 析的基础和前提，回归分析则是相关 分析的深入和延伸。
回归方程求解
参数估计
01
采用最小二乘法、最大似然估计等方法，对回归模型中的参数
进行估计，得到参数的估计值。
方程求解
02
回归分析用于预测一个变量（因变量）基于另一个或多个变量（自变量）的值。通过回归分析，我们可以建立一 个模型来描述变量之间的关系，并用于预测未来的趋势或结果。
未来研究方向展望
深入研究变量关系
尽管我们在相关分析和回归分析中取得了一些结 论，但未来可以进一步深入研究变量之间的关系 。例如，可以探索更多的潜在变量，以及它们与 目标变量之间的复杂关系。
示弱相关或无相关。
相关关系检验
01
相关关系检验是用于判断两个变量之间是否存在显著的相关关系的统计方法。
02
常用的相关关系检验方法有t检验和F检验，其中t检验适用于样本量较小的情况 ，F检验适用于样本量较大的情况。
Байду номын сангаас
03
在进行相关关系检验时，需要先确定显著性水平，通常取0.05或0.01，然后根据检 验统计量的值和对应的p值来判断是否拒绝原假设，即两个变量之间不存在显著的 相关关系。
数据的拟合程度。
显著性检验
采用F检验、t检验等方法，检 验回归模型中自变量对因变量 的影响是否显著。
共线性诊断
检查自变量之间是否存在共线 性问题，以避免对回归结果的 误导。
模型预测性能评估
通过交叉验证、预测误差等指 标，评估回归模型的预测性能
。
04
相关分析与回归分析比较
联系与区别
联系
相关分析和回归分析都是研究变量间 关系的统计方法，相关分析是回归分 析的基础和前提，回归分析则是相关 分析的深入和延伸。
回归方程求解
参数估计
01
采用最小二乘法、最大似然估计等方法，对回归模型中的参数
进行估计，得到参数的估计值。
方程求解
02
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
统计学相关与回归分析法PPT精选文档
15
第二节 简单线性相关分析
相关关系的测定
是依据研究者的理论知识和实践经 定性分析 验，对客观现象之间是否存在相关
关系，以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
16
相关表和相关图
相关表
将现象之间的相互关系，用 表格的形式来反映。
方法上：相关分析通过编制相关表、绘制 相关图、计算相关系数；回归分析通过建立 回归模型。
14
局限性：
无法准确地判断客观现象内在联系的有无，及 确定何种现象为因，何种现象为果。
因此在应用相关和回归分析对客观现象 进行研究时，一定要注意把定性分析和 定量分析结合起来，在定性分析基础上 开展相关和回归的定量分析。
18
分组相关表
20个同类工业企业固定资产原值与平均每昼夜产量
平均每昼
固定资产原值（百万元）
夜产量
（吨）
35～40 40～45 45～50 50～55 55～60 60～65 65～70
fY
600～650
11
550～600
12
3
500～550
21
3
450～500
151
7
400～450
22
4
350～400
10
二、回归与回归分析
回归分析的概念和内容
用合适的数学模型来近似表达具有相 回归分析 关关系的变量间关系的具体形式。
内容：
对具有相关关系的变量，建立一个合适的 数学模型来近似表达变量之间关系的具体形 式。 评价所建立模型对实际现象的拟合程度。
11
第二节 简单线性相关分析
相关关系的测定
是依据研究者的理论知识和实践经 定性分析 验，对客观现象之间是否存在相关
关系，以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
16
相关表和相关图
相关表
将现象之间的相互关系，用 表格的形式来反映。
方法上：相关分析通过编制相关表、绘制 相关图、计算相关系数；回归分析通过建立 回归模型。
14
局限性：
无法准确地判断客观现象内在联系的有无，及 确定何种现象为因，何种现象为果。
因此在应用相关和回归分析对客观现象 进行研究时，一定要注意把定性分析和 定量分析结合起来，在定性分析基础上 开展相关和回归的定量分析。
18
分组相关表
20个同类工业企业固定资产原值与平均每昼夜产量
平均每昼
固定资产原值（百万元）
夜产量
（吨）
35～40 40～45 45～50 50～55 55～60 60～65 65～70
fY
600～650
11
550～600
12
3
500～550
21
3
450～500
151
7
400～450
22
4
350～400
10
二、回归与回归分析
回归分析的概念和内容
用合适的数学模型来近似表达具有相 回归分析 关关系的变量间关系的具体形式。
内容：
对具有相关关系的变量，建立一个合适的 数学模型来近似表达变量之间关系的具体形 式。 评价所建立模型对实际现象的拟合程度。
11
统计学相关分析与回归分析
Adjusted R S0q.u9a3r9e2399
标准误差 41.078969
观测值
17
方差分析
回归分析 残差 总计
df
SS
MS
F Significance F
2 420740.67 210370.34 124.66526 1.201E-09
14 23624.744 1687.4817
16 444365.42
36.42
13
629
6.675
36.58
14
602.7
5.543
37.14
15
656.7
6.933
41.3
16
778.5
7.638
45.62
17
877.6
7.752
47.38
第七合章计回归分析
9054 101.268
471.1
例：某地区玻璃销 售量与汽车产量、 建筑业产值资料如 左，试建立回归模
型。
3
337.5
6.666
14.5
4
404.5
5.338
15.75
5
402.1
4.321
16.78
6
452
6.117
17.44
7
431.7
5.559
19.77
8
582.3
7.92
23.76
9
596.6
5.816
31.61
10
620.8
6.113
32.17
11
513.6
4.258
35.09
12
606.9
5.591
第七章 回归分析
统计学原理第八章相关与回归分析
相关分析的内容 1.判断现象之间是否存在相关关系； 2.如果存在相关关系，则要进一步判断相
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
统计学06第六章相关与回归分析课件
31
3.1 一元线性回归模型的建立
消费 支出
βˆ 1 βˆ 2
120
ˆy 1.8946 1.3595 x
10消0 费支出 15 20 30 40 42 53 60 65 70 78
80
可60 支配收入 18 25 45 60 62 75 88 92 99 98
40
20
0
0
20
40
60
80 可支配收入
相关分析与回归分析联系
相关关系
回归分析
判定相关关系及密切程 建立数学模型—平均变
联度
化关系
系 回归分析的前提和基础 相关分析的深入和继续
区 变量间的关系是对等
自、因变量划分不同， 回归方程也不同
别 自、因变量—随机变量 因变量是随机变量
2024/8/5
第六章 相关与回归分析
11
1.5 相关分析与回归分析的关系
βˆ 1 n βˆ1
Q
βˆ 2
x
2
βˆ 1
yi βˆ 1 βˆ 2 x
x βˆ 2
yi
βˆx12
βˆβˆ2 2x
x
0
y
0
xy
2024/8/5
第六章 相关与回归分析
35
3.2 一元线性回归模型的参数估计
0.436
2024/8/5
第六章 相关与回归分析
18
2.2 相关系数x 的 64特7元征，及y 判0.5别813标 58准.13%
x
280 320 390 530 650 670 790 880 910 1050
6470
y
0.683 0.675 0.662 0.649 0.567 0.602 0.544 0.490 0.505 0.436
统计学中的相关分析与回归分析
统计学中的相关分析与回归分析统计学中的相关分析与回归分析是两种重要的数据分析方法。
它们帮助研究人员理解和解释变量之间的关系，并预测未来的趋势。
在本文中，我们将深入探讨相关分析和回归分析的定义、应用和原理。
第一部分：相关分析相关分析是用来衡量和评估两个或更多变量之间相互关系的统计方法。
通过相关系数来量化这种关系的强度和方向。
相关系数的取值范围在-1到+1之间，其中-1表示完全负相关，+1表示完全正相关，0表示没有相关性。
相关分析通常用于发现变量之间的线性关系。
例如，研究人员想要了解身高和体重之间的关系。
通过相关分析，他们可以确定是否存在正相关关系，即身高越高，体重越重。
相关分析还可以帮助确定不同变量对某一结果变量的影响程度。
第二部分：回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来预测和解释变量之间关系的方法。
它可以用来预测因变量的值，并了解自变量对因变量的影响程度。
回归分析可分为简单回归和多元回归两种类型。
简单回归分析适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。
例如，研究人员想要预测一个人的体重，他们可以使用身高作为自变量。
通过建立线性回归模型，他们可以得到身高对体重的影响，从而预测一个人的体重。
多元回归分析适用于有多个自变量和一个因变量的情况。
例如，研究人员想要了解影响一个城市房价的因素，他们可以考虑多个自变量，如房屋面积、地理位置、房龄等。
通过建立多元回归模型，他们可以确定每个因素对房价的影响程度，并进行预测。
第三部分：相关分析与回归分析的应用相关分析和回归分析在各个领域都有广泛的应用。
在医学研究中，相关分析可以帮助确定两个疾病之间的关联性，并为疾病的预防和治疗提供依据。
回归分析可以用来预测患者的生存率或疾病的发展趋势。
在经济学中，相关分析可以用来研究经济变量之间的关系，如GDP 与通货膨胀率之间的关系。
回归分析可以用来预测经济增长率，并评估政治和经济因素对经济发展的影响。
在市场营销中，相关分析可以帮助企业了解产品销售和广告投放之间的关系，并制定有效的市场推广策略。
《统计学原理与应用》课件第07章 相关与回归分析
74.4 172.0 248.0 418.0 575.0 805.2 972.0 1,280.0
104,214
4,544.6
统计学基础
第七章 相关与回归分析
根据计算结果可知：Βιβλιοθήκη x 36.4y 880
n8
x2 207.54
y2 104,214
xy 4,544.6
Fundamentals of Statistics
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
公式7—3
公式7—3是实际工作中使用较多的计算公式
Fundamentals of Statistics
统计学基础
第七章 相关与回归分析
（四）相关系数的运用
（1）相关系数有正负号，分别表示正相关和负相关。
（2）相关系数的取值范围在绝对值的0 之1 间。其值大小 反映两变量之间相关的密切程度。
统计学基础
第七章 相关与回归分析
二、相关关系的种类
3.相关关系按照相关的方向分为正相关和负相 关 正相关：是指一个变量的数量变动和另一个变 量的数量变动方向一致.
负相关：当一个变量的数量变动与另一个变量 的数量变动方向相反时,称为负相关.
Fundamentals of Statistics
统计学基础
统计学基础
第七章 相关与回归分析
二、相关关系的测定 （一）相关系数的含义：
相关系数是在直线相关的条件下，用来说明两个 变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。
Fundamentals of Statistics
统计学基础
第七章 相关与回归分析
（二）相关系数的作用
1.说明直线相关条件下,两变量的相关关系的密切程 度的高低. (见教材第159页说明)
统计学 相关分析与回归分析
Regression 的原始释义
回归分析与相关分析
联系：
理论和方法具有一致性； 无相关就无回归，相关程度越高， 回归越好； 相关系数和回归系数方向一致，可 以互相推算。
回归分析与相关分析
区别 ：相关分析中x与y对等，回归分析中x与y
要确定自变量和因变量； 相关分析中x、y均为随机变量，回归分 析中只有y为随机变量； 相关分析测定相关程度和方向，回归分 析用回归模型进行预测和控制。
决定系数为：
R2 SSR ( yˆi y)2 1 ( yi yˆi )2
SST
( yi y)2
( yi y)2
决定系数的取值
• R2的取值范围是[0，1]。 • R2越接近于1，表明回归平方和占总离差平
方和的比例越大，回归直线与各观测点越 接近，回归直线的拟合程度就越好。 • 在一元线性回归中，相关系数r的平方等于 判定系数，符号与自变量x的系数一致。因 此可以根据回归结果求出相关系数。 • 所有的回归程序都会给出R2的值.
－1 ≤ r ≤ 1
r 1，两个变量完全相关
r 0，两个变量不存在线性相关关系
0 r 1，两个变量存在一定程度线性相关关系
＜0.3 弱相关
0.3～0.5 低度相关
|r|
0.5～0.8 显著相关
0.8～1 高度相关
r 0，两个变量正相关
r0， 两个变量负相关
• 调查50个房地产公司，房屋销售面积与广告费用 之间的相关系数为0.76，这说明（ ）
消费支出和可支配收入的相关系数 23个家庭调查
• 计算结果：
• t检验值为
消费支出 可支配收入
消费支出
可支配收入
第九章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
［公式9—4］
r xy n • xy
x y
［公式9—5］
返回到内容提要
第三节 回归分析的一般问题
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
现象之间的相关关系，虽然不是严格 的函数关系，但现象之间的一般关系值， 可以通过函数关系的近似表达式来反映， 这种表达式根据相关现象的实际对应资料， 运用数学的方法来建立，这类数学方法称 回归分析。
单相关是指两个变量间的相关关系，如 自变量x和因变量y的关系。
复相关是指多个自变量与因变量间的相关 关系。
(二)相关关系从表现形态上划分，可分为 直线相关和曲线相关
直线相关是指两个变量的对应取值在坐标 图中大致呈一条直线。
曲线相关是指两个变量的对应取值在坐 标图中大致呈一条曲线，如抛物线、指数曲线、 双曲线等。
0.578
a y b x 80 0.578 185 3.844
n
n7
7
yˆ 3.844 0.578x
二、估计标准误差 (一)估计标准误差的概念与计算 估计标准误差是用来说明回归直线方程 代表性大小的统计分析指标。其计算公式为：
Syx
y yˆ 2
n
［公式9—8］
实践中，在已知直线回归方程的情况下， 通常用下面的简便公式计算估计标准误差：
［例９—２］ 根据相关系数的简捷公式计算有：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
7 218018580
0.978
7 5003 1852 7 954 802
再求回归直线方程：
yˆ a bx
b
n xy x y
n x2 x2
7 2180 18580 7 50031852
统计学中相关分析与回归分析基础知识
R²与调整后R² R²：多元决定系数用来度量多元回归方程对样本数据的拟合程度 R²的设计缺陷 若在模型中添加更多的变量，则R²会增大 如果全部变量都放入模型中得到最大的R²，具有最佳拟合度的多元回归方程 不一定需要所有变量 调整后R² 考虑变量个数和样本量调整后的多元决定系数
虚拟变量与逻辑回归 虚拟变量：只有0和1的变量，用于表示定性变量中的两个不同类别 逻辑回归：如果虚拟变量为响应变量，那么应当使用逻辑回归的方法
假设检验 假设检验：当检验两个变量之间是否存在显著关系的线性关系时，可以建立关于 p的原假设和备择假设 原假设：p=0
备择假设：p≠0 检验统计量
用t检验统计量 t=r/[（1-r²）/（n-2）]^0.5 子主题 2
置换检验 相关系数的置换检验是基于变量间不存在相关性的原假设。通过固定x值不变， 可以无放回随机抽取y值与x值配对
相关系数r的性质 r值在-1和1之间，即-1≤r≤1 改变变量值的单位，r值不受影响 交换所有的x和y，r值不受影响 r值仅度量线性关系的强度，并不适用于非线性关系 r值对异常值敏感
关于相关性的常见错误 假设相关性具有因果关系 使用基于均值的数据，个体差异会夸大相关系数 忽略可能得非线性关系：如果不存在线性相关性，则可能存在其他非线性相 关性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线性回归
回归的基本概念 给定一组成对的数据，回归线是其对应散点图中电的最佳拟合线 回归线中的自变量x被称为解释变量或预测变量，因变量y被称为响应变量
关键要素 条件 配对样本时简单随机样本 对应的散点图中的点近似为直线 公式:y=b1x+b0 斜率b1=r*Sy/Sx 截距b0=y-b1x
模型预测 效果差的模型：对于拟合效果不佳的模型而言，对y的最佳预测值是其样本均 值。而样本均值明显不是最佳预测值，因此不建议将其用于模型预测 效果好的模型：只有当散点图上的回归线可以证实其与数据拟合程度较高时，才 能使用回归方程进行预测 相关性：只有在r证实两个变量之间存在相关性的情况下，才能使用回归方程进 行预测
虚拟变量与逻辑回归 虚拟变量：只有0和1的变量，用于表示定性变量中的两个不同类别 逻辑回归：如果虚拟变量为响应变量，那么应当使用逻辑回归的方法
假设检验 假设检验：当检验两个变量之间是否存在显著关系的线性关系时，可以建立关于 p的原假设和备择假设 原假设：p=0
备择假设：p≠0 检验统计量
用t检验统计量 t=r/[（1-r²）/（n-2）]^0.5 子主题 2
置换检验 相关系数的置换检验是基于变量间不存在相关性的原假设。通过固定x值不变， 可以无放回随机抽取y值与x值配对
相关系数r的性质 r值在-1和1之间，即-1≤r≤1 改变变量值的单位，r值不受影响 交换所有的x和y，r值不受影响 r值仅度量线性关系的强度，并不适用于非线性关系 r值对异常值敏感
关于相关性的常见错误 假设相关性具有因果关系 使用基于均值的数据，个体差异会夸大相关系数 忽略可能得非线性关系：如果不存在线性相关性，则可能存在其他非线性相 关性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线性回归
回归的基本概念 给定一组成对的数据，回归线是其对应散点图中电的最佳拟合线 回归线中的自变量x被称为解释变量或预测变量，因变量y被称为响应变量
关键要素 条件 配对样本时简单随机样本 对应的散点图中的点近似为直线 公式:y=b1x+b0 斜率b1=r*Sy/Sx 截距b0=y-b1x
模型预测 效果差的模型：对于拟合效果不佳的模型而言，对y的最佳预测值是其样本均 值。而样本均值明显不是最佳预测值，因此不建议将其用于模型预测 效果好的模型：只有当散点图上的回归线可以证实其与数据拟合程度较高时，才 能使用回归方程进行预测 相关性：只有在r证实两个变量之间存在相关性的情况下，才能使用回归方程进 行预测
统计学原理第八章相关分析与回归分析
21
例1：P354页，第1题
企业 产量 X 单位成 XY
X2
Y2
序号 （4件） 本(元)Y
1
2
52
104
4
2704
2
3
54
162
9
2916
3
4
52
208
16
2704
4
4
48
192
16
2304
5
5
48
240
25
2304
6
6
∑
24
46
276
36
2116
300
1182
106 15048
即：∑X=24，∑Y=300， ∑XY=1182，
• 2） X倚Y的直线方程的确定
• 根据最小平方法的原理：(x xc )2 最小值
• 将xc = c + dy代入上述公式中，分别对c和d 求一阶偏导数，并令偏导数等于0，就可以
得出两个正规方程：
x nc dy yx cy dy2
d
nyx y n y2 (
x
y )2
c x dy
举例：P355，第4题。
• 偏相关：在复相关中，当假定其他变量不 变时，其中两个变量间的相关关系称为偏 相关。例如，在假定人们收入水平不变的 条件下，某种商品的需求与其价格水平的 关系就是一种偏相关。
9
三、相关分析与回归分析
• （一）相关分析 • 是用一个指标（相关系数）来表明现象
之间相互依存的密切程度。 • （二）回归分析 • 是根据相关关系的具体形态，选择一个
• 曲线相关：如果现象之间的相关关系近似 地表现为某种曲线形式时，就称这种相关 关系为曲线相关。
统计学：相关分析与回归分析.docx
统计学：相关分析与回归分析1.相关分析的主要内容相关分析的目的在于分析现象间相关关系的形式和亲密程度以及依存变动的规律性，在实际工作中，有特别广泛的应用。
主要内容如下。
（1）确定变量之间有无相关关系，以及相关关系的表现形式。
这是相关分析的动身点，有相关关系才能用相应的方法去分析，否则，只会得出错误的结论。
相关关系表现为何种形式就用什么样的方法分析，若把本属于直线相关的变量用曲线的方法来分析，就会产生熟悉上的偏差。
（2）确定相关关系的亲密程度。
对于这个问题，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，相关系数的用途很广泛。
（3）选择合适的数学方程式。
确定了变量之间的确有相关关系及其亲密程度，就要选择合适的数学方程式来对变量之间的关系近似描述，并用自变量的数值去推想因变量的数值，称之为回归分析。
假如变量之间为直线相关，则采用直线方程，称之为线性回归；假如变量之间为曲线相关，则采用曲线方程，称之为非线性回归。
（4）测定变量估计值的精确程度。
在相关分析中，第三步建立了数学方程式，并用方程式对因变量进行估值。
因变量的估计值和实际值之间进行对比，因变量估计值的精确程度可以用估计标准误差来衡量。
（5）对回归方程进行显著性检验。
对前几步变量之间建立的回归方程，要进行显著性检验。
检验变量之间是否真的具备这样的关系，这种关系是不是因为数据的选取而偶然形成的。
2.回归分析的主要内容回归分析是在研究现象之间相关关系的基础上，对自变量和因变量的变动趋势拟合数学模型进行测量和推算的一种统计分析方法。
进行回归分析，要以现象之间存在相关关系为前提；然后对自变量和因变量的变动拟合回归方程，确定其定量关系式；再对拟合的回归方程进行显著性检验；最终利用所求得的关系式进行推算和预估。
相关分析与回归分析在实际应用中有亲密关系。
然而在回归分析中，所关心的是一个随机变量y对另一个（或一组）随机变量x的依靠关系的函数形式。
而在相关分析中，所争论的变量的地位一样，分析侧重于随机变量之间的种种相关特征。
统计学(本科)教学课件第九章相关分析和回归分析
二、回归分析与相关分析的关系
1.两者的区别 (1)相关分析的两个变量的地位对等，不做因果变
量区分。而回归分析则必须要确定自变量和因变 量。
(2)相关分析对两个变量x与y只能计算一个相关系 数。而回归分析以x为自变量，y为因变量, 可以建 立两个不同的回归方程。
(3)相关分析涉及的两个变量都是随机变量。而在 回归分析的两个变量中，自变量是给定的，因变 量则是随机的。
2.两者的联系
(1)相关分析是回归分析的基础。只有通过 相关分析，在确认两变量之间有较高的相 关程度之后，才可以进行回归分析。
(2)回归分析是相关分析的延续。相关分析 仅仅帮助我们认识了两变量之间的相关方 向和程度。而回归分析则是在此基础上将 两变量相关关系的方向和形态，以近似的 数学模型描绘出来，然后用此模型指导我 们进行回归预测。
(1)分析现象之间是否存在相关关系 并确定其相关形式；
(2)研究现象间相关关系的密切程度； (3)建立回归模型； (4)分析因变量估计值误差的程度；
第二节 回归分析
一、回归分析的概念
回归分析是指对具有相关关系的现象， 根据其相关形态，选择一个合适的数 学模型(回归方程)，用来近似地表示 两个变量之间平均变化关系，并利用 这种关系进行推算和预测的一种统计 分析方法。
三、一元线性回归分析
一元线性回归模型是根据两变量的相关 方向和线性形态拟合地反映两个变量之 间平均变化关系的标准直线。当两变量 之间为单向因果关系时，线性回归模型 为=a+bx；当两变量之间互为因果关系 时，线性回归模型有两个：一是yx型， 即=a+bx；另一是xy型，即=c+dy。
步骤
（一）建立回归方程； （二）利用回归方程进行预测； （三）估计标准误差；
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
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精品
统计学相关分析与回归分析
本章学习目的
通过本章的学习要求理解相关分析 和回归分析的有关概念，掌握计算相 关系数和配合回归方程的方法，并能 结合实际资料对变量进行相关和回归 分析。
本章教学内容
第一节 相关分析 第二节 简单线性回归分析 第三节 多元线性回归模型
比较下面两种现象间的依存关系
函数关系 ⒈ 出租汽车费用与行驶里程（：确定性关系）
例如：消费支出与收入的关系； 学习成绩与学习时间的关系等。
相关关系的种类（四种）
按涉及变量多少
单相关 复相关
按相关的表现形式
线性相关（直线相关） 非线性相关（曲线相关）
正相关 按相关的方向（直线相关）
负相关 完全相关（函数关系） 按相关的程度 不完全相关 不相关
相关关系的测定
是依据研究者的理论知识和实践经 定性分析 验，对客观现象之间是否存在相关
• 计算结果：
• t检验值为
tr n20.99682157.1981 1r2 10.99682
临界值t（21）＝2.08，故拒绝H0，认为相关系
数显著。
注意：相关关系≠因果关系！
• 典型的错误推断：
–统计分析表明，庆祝生日次数越 多的人越长寿。因此，庆祝生日有利于健康。
–调查表明，世界各国人均电视机拥有量与预期 寿命存在很强的正相关性。因此，电视机拥有量 越高，预期寿命越长。
–对小学各年级学生的抽样调查表明，学生的识 字水平与他们鞋子的尺寸高度正相关。因此， 学生穿的鞋越大，他的识字水平就越高。
9．2 一元线性回归分析
• 总体回归函数 、样本回归函数 • 一元线性回归模型的估计 • 一元线性回归模型的检验
趋向中间高度的回归
• 回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及他们的父母的身 高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们 的孩子也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父 母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的 孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父 母的平均身高高。 Galton把这种孩子的身高向中 间值靠近的趋势称之为一种回归效应，而他发展的 研究两个数值变量的方法称为回归分析。
r0， 两个变量不存在线性相关关系
0r1，两个变量存在一定程度线性相关关系
＜0.3 弱相关
0.3～0.5 低度相关
|r|
0.5～0.8 显著相关
0.8～1 高度相关
r 0 ， 两个变量正相关
r 0 ， 两个变量负相关
• 调查50个房地产公司，房屋销售面积与广告费用 之间的相关系数为0.76，这说明（ ）
关系，以及何种关系作出判断
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数 与判定系数等方法，来判断现象之
间相关的方向、形态及密切程度
对相关关系的分析是统计学的重要研究内容。 主要研究方法：相关分析和与回归分析。
相关分析与回归分析
• 相关分析（Correlation Analysis）研究变量之间相关的方向 和相关的程度，但无法给出变量间相互关系的具体形式， 因而无法从一个变量推测另一个变量。
• 回归分析（Regression) 可以确定变量之间相互关系的具体 形式（回归方程），确定一个变量对另一个变量的影响程 度，并根据回归方程进行预测。
自变量和因变量
• 如果两个变量中一个变量是另一个变量变化的结 果，那么 –代表原因的变量称为自变量 [Independent (Explanatory) Variable]， –代表结果的变量称为因变量 [Dependent (Response) Variable] 。
350
300
250
200
150
100
50
0
2
468源自相关系数的显著性检验检验的步骤是：
1、提出假设：H0： ；H1： 0
2、 计算检验的统计量：
t r n2 ~t(n2) 1r2
3、 确定显著性水平，并作出决策 • 若 t >t，拒绝H0 • 或者：若p值< ，拒绝H0
消费支出和可支配收入的相关系数 23个家庭调查
y
y
y
y
正 相 关 x 负 相 关 x 曲线相关 x 不 相 关 x
相关系数
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r
2 xy
xx yy n
xy
2
2
xx n yy n
nxyxy
nx2 x2 ny2 (y)2
－1 ≤ r ≤ 1
r 1 ，两个变量完全相关
• 在散点图中习惯上把因变量绘制在纵 轴上。
相关表
将现象之间的相互关系，用 表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
适用于所观察的样本单位数 较多标志变异又较复杂，需 要分组的情况
用散点图观察变量之间的相关关系
用直角坐标系的x轴代表自变量，y轴代表因 变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标 点的形式描绘出来，用以表明相关点分布状 况的图形。
注意
我们不能把回归分析看作是在变 量间建立一个因果关系的过程。 回归分析只能表明，变量是如何 或者是以怎样的程度彼此联系在 一起的。有关因果关系的任何结 论，必须建立在理论分析的基础 之上。
Regression 的原始释义
回归分析与相关分析
联系：
理论和方法具有一致性； 无相关就无回归，相关程度越高， 回归越好； 相关系数和回归系数方向一致，可 以互相推算。
回归分析与相关分析
区别 ：相关分析中x与y对等，回归分析中x与y
要确定自变量和因变量； 相关分析中x、y均为随机变量，回归分 析中只有y为随机变量； 相关分析测定相关程度和方向，回归分 析用回归模型进行预测和控制。
• A.二者之间有较强的正相关关系 • B.平均看来，销售面积的76％归因于其广告费用 • C.如要多销售1万平方米的房屋，则要增加广告费用7600
元 • D.如果广告费用增加1万元，可以多销售7600平方米的房
屋
样本能代表总体吗？
• 如果红色的点碰巧为你的样本，则样本相关 系数为0.907，总体相关系数为0.00005
总费用=行驶里程 每公里单价
GKP
相关关系
（非确定性关系
⒉ 家庭收入与恩格尔系数： ）
家庭收入高，则恩格尔系数低。
在自然界和社会现象中，客观现象之间的数量关系通
常有两种类型，即：
函数关系 s r2
客观存在、确定性、 严格的数量对应关系
相关关系（相关分析的对象） 现象（变量）之间客观存在的、 非确定性的数量对应关系。
统计学相关分析与回归分析
本章学习目的
通过本章的学习要求理解相关分析 和回归分析的有关概念，掌握计算相 关系数和配合回归方程的方法，并能 结合实际资料对变量进行相关和回归 分析。
本章教学内容
第一节 相关分析 第二节 简单线性回归分析 第三节 多元线性回归模型
比较下面两种现象间的依存关系
函数关系 ⒈ 出租汽车费用与行驶里程（：确定性关系）
例如：消费支出与收入的关系； 学习成绩与学习时间的关系等。
相关关系的种类（四种）
按涉及变量多少
单相关 复相关
按相关的表现形式
线性相关（直线相关） 非线性相关（曲线相关）
正相关 按相关的方向（直线相关）
负相关 完全相关（函数关系） 按相关的程度 不完全相关 不相关
相关关系的测定
是依据研究者的理论知识和实践经 定性分析 验，对客观现象之间是否存在相关
• 计算结果：
• t检验值为
tr n20.99682157.1981 1r2 10.99682
临界值t（21）＝2.08，故拒绝H0，认为相关系
数显著。
注意：相关关系≠因果关系！
• 典型的错误推断：
–统计分析表明，庆祝生日次数越 多的人越长寿。因此，庆祝生日有利于健康。
–调查表明，世界各国人均电视机拥有量与预期 寿命存在很强的正相关性。因此，电视机拥有量 越高，预期寿命越长。
–对小学各年级学生的抽样调查表明，学生的识 字水平与他们鞋子的尺寸高度正相关。因此， 学生穿的鞋越大，他的识字水平就越高。
9．2 一元线性回归分析
• 总体回归函数 、样本回归函数 • 一元线性回归模型的估计 • 一元线性回归模型的检验
趋向中间高度的回归
• 回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及他们的父母的身 高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们 的孩子也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父 母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的 孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父 母的平均身高高。 Galton把这种孩子的身高向中 间值靠近的趋势称之为一种回归效应，而他发展的 研究两个数值变量的方法称为回归分析。
r0， 两个变量不存在线性相关关系
0r1，两个变量存在一定程度线性相关关系
＜0.3 弱相关
0.3～0.5 低度相关
|r|
0.5～0.8 显著相关
0.8～1 高度相关
r 0 ， 两个变量正相关
r 0 ， 两个变量负相关
• 调查50个房地产公司，房屋销售面积与广告费用 之间的相关系数为0.76，这说明（ ）
关系，以及何种关系作出判断
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数 与判定系数等方法，来判断现象之
间相关的方向、形态及密切程度
对相关关系的分析是统计学的重要研究内容。 主要研究方法：相关分析和与回归分析。
相关分析与回归分析
• 相关分析（Correlation Analysis）研究变量之间相关的方向 和相关的程度，但无法给出变量间相互关系的具体形式， 因而无法从一个变量推测另一个变量。
• 回归分析（Regression) 可以确定变量之间相互关系的具体 形式（回归方程），确定一个变量对另一个变量的影响程 度，并根据回归方程进行预测。
自变量和因变量
• 如果两个变量中一个变量是另一个变量变化的结 果，那么 –代表原因的变量称为自变量 [Independent (Explanatory) Variable]， –代表结果的变量称为因变量 [Dependent (Response) Variable] 。
350
300
250
200
150
100
50
0
2
468源自相关系数的显著性检验检验的步骤是：
1、提出假设：H0： ；H1： 0
2、 计算检验的统计量：
t r n2 ~t(n2) 1r2
3、 确定显著性水平，并作出决策 • 若 t >t，拒绝H0 • 或者：若p值< ，拒绝H0
消费支出和可支配收入的相关系数 23个家庭调查
y
y
y
y
正 相 关 x 负 相 关 x 曲线相关 x 不 相 关 x
相关系数
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r
2 xy
xx yy n
xy
2
2
xx n yy n
nxyxy
nx2 x2 ny2 (y)2
－1 ≤ r ≤ 1
r 1 ，两个变量完全相关
• 在散点图中习惯上把因变量绘制在纵 轴上。
相关表
将现象之间的相互关系，用 表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
适用于所观察的样本单位数 较多标志变异又较复杂，需 要分组的情况
用散点图观察变量之间的相关关系
用直角坐标系的x轴代表自变量，y轴代表因 变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标 点的形式描绘出来，用以表明相关点分布状 况的图形。
注意
我们不能把回归分析看作是在变 量间建立一个因果关系的过程。 回归分析只能表明，变量是如何 或者是以怎样的程度彼此联系在 一起的。有关因果关系的任何结 论，必须建立在理论分析的基础 之上。
Regression 的原始释义
回归分析与相关分析
联系：
理论和方法具有一致性； 无相关就无回归，相关程度越高， 回归越好； 相关系数和回归系数方向一致，可 以互相推算。
回归分析与相关分析
区别 ：相关分析中x与y对等，回归分析中x与y
要确定自变量和因变量； 相关分析中x、y均为随机变量，回归分 析中只有y为随机变量； 相关分析测定相关程度和方向，回归分 析用回归模型进行预测和控制。
• A.二者之间有较强的正相关关系 • B.平均看来，销售面积的76％归因于其广告费用 • C.如要多销售1万平方米的房屋，则要增加广告费用7600
元 • D.如果广告费用增加1万元，可以多销售7600平方米的房
屋
样本能代表总体吗？
• 如果红色的点碰巧为你的样本，则样本相关 系数为0.907，总体相关系数为0.00005
总费用=行驶里程 每公里单价
GKP
相关关系
（非确定性关系
⒉ 家庭收入与恩格尔系数： ）
家庭收入高，则恩格尔系数低。
在自然界和社会现象中，客观现象之间的数量关系通
常有两种类型，即：
函数关系 s r2
客观存在、确定性、 严格的数量对应关系
相关关系（相关分析的对象） 现象（变量）之间客观存在的、 非确定性的数量对应关系。