正交试验的分类 (2)
正交试验设计讲义(2)
素 C 1(1) 2(1.5) 3(2) 2 1 2 3 3 0.24 0.161 0.115 0.223 试验号 1 2 3 4 因 A 1(90) 1 1 2(88) B 1(40) 2(45) 3(50) 1 试验结果Yi 空列 粕中游离棉酚(%) 粕中残油率(%) 1.17 0.65 0.42 0.41
河南工业大学
因素 试验号 1 2 3 4 5 6 A 1 B 2 C 3
shiyanshujuchulishiyongfangfa
D 4 试验指标 I 17.8 12.2 6.2 8 4.5 4.1
II 29.8 41.3 59.9 24.3 综合评分 y 59.4 51.2 45.5 32.2
五、试验方案及结果分析(1)试验方案与试验结果表
河南工业大学
shiyanshujuchulishiyongfangfa
例3.2 白地雷核酸生产工艺的试验
一、试验目的： 原来生产中核酸的得率太低，成本太高，甚至 造成亏损。试验目的是提高含量，并寻找最好的工 艺条件。 二、因素与水平
因素 水平
1 2 3 白地雷核酸含量 腌制时间 加热时 加水量
A（％）
事实上，通过进一步的试验证明，上述最优条
件效果很好。投产后核酸质量得到显著提高，做到
了不经提纯一次可以入库。
河南工业大学
趋势图
指标
shiyanshujuchulishiyongfangfa
50 45 40 35 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3
因素
指标（得分）－因素图
7.4 8.4 6.2
B(小时)
24 4 0
C(PH值)
正交实验
正交实验设计1．概述任何生产部门，任何科学实验工作，为达到预期目的和效果都必须恰当地安排实验工作，力求通过次数不多的实验认识所研究课题的基本规律并取得满意的结果。
例如为拟定一个正确而简便的分析方法，必然要研究影响这种分析方法效果的种种条件，诸如试剂浓度和用量、溶液酸度、反应时间以及共存组分的干扰等等。
同时，对于影响分析效果的每一种条件，还应通过试验选择合理的范围。
在这里，我们把受到条件影响的反系方法的准确度、精密度以及方法的效果等叫做指标；把试验中要研究的条件叫做因素；把每种条件在试验范围内的取值（或选取的试验点）叫做该条件的水平。
这就是说我们常常遇到的问题可能包括多种因素，各种因素又有不同的水平，每种因素可能对分析结果产生各自的影响，也可能彼此交织在一起而产生综合的效果。
正交试验设计就是用于安排多因素实验并考察各因素影响大小的一种科学设计方法。
它始于1942年，之后在各个领域里都得到很快的发展和广泛应用。
这种科学设计方法是应用一套已规格化的表格——正交表来安排实验工作，其优点是适合于多种因素的实验设计，便于同时考查多种因素各种水平对指标的影响通过较少的实验次数，选出最佳的实验条件，即选出各因素的某一水平组成比较合适的条件，这样的条件就所考查的因素和水平而言，可视为最佳条件。
另一方面，还可以帮助我们在错综复杂的因素中抓住主要因素，并判断那些因素只起单独的作用，那些因素除自身的单独作用外，它们之间还产生综合的效果。
数理统计上的实验设计还能给出误差的估计。
2. 试验设计的基本方法2.1 全面试验法正交设计的方法，首先应根据实验的目的,确定影响实验结果的各种因素，选择这些影响因素的试验点，进而拟出实验方案，之后按所拟方案进行实验并对实验结果作出评估。
必要时再拟出进一步的实验方案，使实验工作更趋完善，所得结果也更为可靠。
如在研究某一显色反应时，为选择合适的显色温度、酸度和显色完全的时间，可作如下的试验安排。
《正交实验法》课件
临床试验设计
正交实验法可用于设计临 床试验方案，优化试验参 数，提高试验的可靠性和 效率。
医学诊断方法优化
通过正交实验法，可以优 化医学诊断方法，提高诊 断的准确性和可靠性。
PART 04
正交实验法的扩展与改进
多因素正交实验设计
பைடு நூலகம்
定义
优点
多因素正交实验设计是正交实验法的 一种扩展，它用于研究多个因素对实 验结果的影响。
对于非水平因素或非参数实验 ，正交实验法可能不适用。
正交表的选择和实验设计需要 经验积累，否则可能导致实验
结果不准确。
PART 02
正交实验法的基本原理
正交表的概念与分类
总结词
正交表是正交实验法中的核心工具，用于安排多因素多水平的实验。
详细描述
正交表是一张预先制定的表格，用于安排实验并记录实验结果。根据实验因素的数量和每个因素的水平数，可以 选择不同的正交表。正交表有多种类型，如L4(2^3)、L8(2^7)等，其中L表示正交表，括号内数字表示实验因素 数和每个因素的水平数。
农药配制
通过正交实验法，可以找 到最佳的农药配方，有效 防治病虫害，同时减少对 环境的负面影响。
种植技术优化
正交实验法可以帮助农业 科研人员优化种植技术， 提高作物的生长速度和抗 逆性。
医学研究中的应用
新药研发
在药物研发过程中，正交 实验法可用于筛选最佳的 药物配方和剂量，提高药 物的疗效和安全性。
交互效应和水平间的差异。
优点
能够同时研究不同水平因素之间 的交互作用，更全面地了解实验
系统的特性。
正交实验与其他实验设计方法的比较
与单因素实验设计比较
单因素实验设计只考虑单个因素对实验结果的影响，无法全面了解多因素之间 的交互作用。正交实验设计能够同时研究多个因素，更全面地了解实验系统的 特性。
正交试验
结束!
正交试验
一、正交试验定义
正交试验是研究与处理多因素试验的 一种 科学方法。它是按照数理统计提供的一系列规格 化的正交表来安排试验。由于正交表具有均衡搭 配的特点，从而能够提供样本含量较少、代表行 强的均衡设计，从中找到最优或较优的条件。
二、正交表的表示形式
正交表的表示形式是 L试验次数（水平数因素数），L是正交表的代号。 例如：L8（27），就表示7个因素，各取两个 水平，共进行8次试验。
L8（27）正交表
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1 列 4 1 2 1 2 1 2 1 2 号 5 1 2 1 2 2 1 2 1 6 1 2 2 1 1 2 2 1 7 1 2 2 1 2 1 1 2
正交实验简介
表的总自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作
用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有 重复正交试验来估计试验误差。
等水平正交表 La（bc）
因素个数，列数 正交设计
La（bc）
试验总次数，行数 因素水平数
正交表选择依据：
列：正交表的列数c≥因素所占列数+交
互作用所占列数+空列。
自由度：正交表的总自由度（a-1）≥因
例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳
定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。 A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因 素是pH值，设B1、B2、B3 3个水平；C因素为杀菌温度， 设C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各
因素的水平之间全部可能组合有27种 。
试验结果极差分析
试验结果方差分析
绘 制 因 素 标 趋 势 图
计 算 K 值
计 算 k 值
计 算 极 差 R
计算各列偏差平方和、 自由度 列方差分析表， 进行F 检验 分析检验结果， 写出结论
优水平 优组合
因素主次顺序
结 论
实例：为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺 制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最 佳工艺条件。
个水平为宜。对主要考察的试验因素，可以多取水平，但不宜过
多（≤6），否则试验次数骤增。因素的水平间距，应根据专业
知识和已有的资料，尽可能把水平值取在理想区域。
上一张 下一张 主 页 退 出
对本试验分析，影响山楂液化率的因素很多， 如山楂品种、山楂果肉的破碎度、果肉加水量、原 料pH 值、果胶酶种类、加酶量、酶解温度、酶解 时间等等。经全面考虑，最后确定果肉加水量、加 酶量、酶解温度和酶解时间为本试验的试验因素， 分别记作A、B、C和D，进行四因素正交试验，各 因素均取三个水平，因素水平表见表10-3所示。
第五章 正交试验设计
0.18
0.30 0.50 0.80
C A B
优方案
C1A3B1
隶属度计算方法：
指标隶属度 指标值 - 指标最小值 指标最大值- 指标最小值
若两个指标的重要性不一样，取代度和酯化率 的权重分别为0.4和0.6，每号试验的综合分数 =取代度隶属度×0.4+酯化率隶属度×0.6，满 分为1.00。
2
3 4 5
1
1 2 2
2
3 1 2
2
3 2 3
2
3 3 1
2.18
2.45 2.70 2.49
40.36
54.31 41.09 56.29
0.00
0.35 0.67 0.40
0.00
0.55 0.03 0.63
0.00
0.47 0.29 0.54
6
7 8 9 K1 K2 K3 极差R 因素主次
2
3 3 3 1.47 1.01 1.60 0.59
5.1.3 正交试验设计的基本步骤
（1）明确试验目的，确定评价指标
任何一个试验都是为了解决某一个（或某些）问题，或为 了得到某些结论而进行的，所以任何一个正交试验都应该 有一个明确的目的，这是正交试验设计的基础。 挑选的因素不易过多，一般以3~7个为宜； 确定因素的水平数时，一般重要的因素可多取一些水平， 各水平的数值应适当拉开，以利于试验结果的分析。当因 素的水平数相等时，可方便试验数据处理。
第五章 正交试验设计
任课教师：王凤花 现代农业工程学院
第五章 正交试验设计
5.1 概述 5.2 正交试验设计结果的直观分析法 5.3 正交试验设计结果的方差分析法 5.4 本章习题
正交试验2
什么是正交试验设计正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分析因式设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行3^3 = 27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(3)正交表安排实验，只需作9次，按L18(3)正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
正交表是一整套规则的设计表格，用L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。
例如L9(3)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。
一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×2)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。
正交试验设计表[1]正交试验因素水平表正交试验设计方案及试验结果极差分析表(或指标与因素关系图) 方差分析表(简单分析时可无)正交表的性质(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。
例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。
(2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。
例如在两水平正交表中，任何两列(同一横行内)有序对子共有4种：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。
每种对数出现次数相等。
在三水平情况下，任何两列(同一横行内)有序对共有9种，1.1、1.2、 1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每对出现数也均相等。
正交试验
1×50° 1.5×30° 1×30° 1.5×30° 1×30° 1×50° 1×30° 1×50° 1.5×30°
d 按试验方案进行试验 试验安排好之后，就必须严格按照各号试验条件进行试验，不能随便更改，并认真测量、记录下 各号试验的数据。注意千万不要把数据和符号等搞乱或搞错了，否则，试验安排得再好，也是没有意 义的。至于各号试验进行的顺序，要按随机顺序进行，以致使试验中得到的随机误差均匀分配到各次 试验中。
3) 对计算结果进行分析 ⑴ 各因子对指标的影响程度 从表5-5中的极差值R可知，第2列和第4列较大，第1列最小。这反映了因子B、D的水平变动时，指 标波动较大，因子A的水平变动，指标波动很小。由此，可得因子主次顺序如下： B；D、C；A 我们将R值相接近的因子用“、”号隔开，而R值相差较大的因子用“；”号隔开。值得注意的是， 因子的主次程度与其选取的水平有关的。如果因子的水平选取改变了，因子的主次也可能发生改变。 ⑵ 各因子选取的水平 各因子水平的选取，应根据指标的要求，依据该列I、II、III之值的大小来决定。如果要求的指标越 大越好，则应取I、II、III中最大者所对应的那个水平，反之亦然。本例的目的是提高拉脱力，所以应 该挑选每个因子I、II、III中最大的那个水平，即A3B2C1D3。 ⑶ 较优生产条件的选取 原则上说，将各因子的较好水平组合在一起，就是较优生产条件。但在实际工作中，主要因子是 影响指标大的因素，应该按实际计算结果选出的好水平。而对于一些次要的因子，可以在保证指标 的前提下，按照优质、高产、低耗的原则来选取水平，这样就可以得到更为结合生产实际要求的较 好生产条件。 本例中的B、D是主要因子，一定要选它们的好水平，即B2，D3。而A、C是次要因子，其水平可 按实际情况进行选取。我们取A1、C1，故得较优生产条件是：A1B2C1D3。即：柱塞头外径15.1mm， 高度11.8mm，倒角1mm×50°，收口油压2.0Mp。
正交试验法
80
抛出速度 D
2(50) 1(30) 3(65)
1 3 2 3 2 1 90
40
100
试验结果 弯曲率%
30 20 10 50 30 0 60 10 20
检验：
Ⅰ+ Ⅱ +Ⅲ＝
230
10
60
结果分析：
⑴各因素对结果影响的程度
ADBC
⑵直观分析：较好方案A3B2C1D2
⑶计算分析：较优方案A3B1C2D2
试验号
A
1
1(1110)
2
2(1140)
3
3(1170)
4
1
5
2
6
3
7
1
8
2
9
3
位级Ⅰ结果 140 之和
位级Ⅱ结果 60 之和
位级 Ⅲ结
30
果之和
R
110
压下量 B
1(20) 1 1
2(30) 2 2
3(35) 3 3 60
80
90
30
咬入速度 C
3(35) 1(15) 2(25)
2 3 1 1 2 3 80
3、水平（位级）：水平是指因素在试验中所处的状态 或条件。常用阿拉伯数字在因素字 母的下标用1、2、3……来表示。 如A1、A2、A3、B1、B2、B3
（四）正交表的特点：
1、均衡分散性：每一列中各种字码出现的次数相
同，保证试验条件均衡地分散在配合完全的位级组合之 中，因而代表性强，容易出现好条件。
◆如果较好方案与较优方案不一致，应补充试验“算 一算的好条件”
◆画趋势图，展望下次试验方向 ◎从趋势图可以分析指标与因素的变化规律。 ◎趋势图的画法是否正确：
正交试验设计及其应用
正交试验设计及其应用正交试验设计是一种高效合理的研究手段，广泛应用于自然科学、社会经济等领域。
本文将介绍正交试验设计的基本概念、类型及其应用，旨在帮助读者更好地了解这一重要的研究方法。
1、什么是正交试验设计正交试验设计是一种试验设计方法，它通过运用正交表来安排多因素多水平的试验，以实现对各因素效应的快速、准确地检测。
正交试验设计具有均衡分散、整齐可比、易于操作等优点，因此被广泛应用于各种科学研究中。
在正交试验设计中，试验的因素和水平通常是已知的，试验者需要选择合适的正交表来安排试验。
通过正交试验设计，可以有效地减少试验次数，同时保证试验结果的准确性和可靠性。
2、正交试验设计的类型正交试验设计可以根据不同的标准进行分类。
其中，最常见的分类方式是根据试验的完整性和验证方式不同来进行区分。
完全正交试验设计是一种完整的正交试验设计，它对所有可能的组合都进行了试验。
这种设计方法适用于试验因素和水平都不太多，且对所有组合都进行试验可行的情况。
部分正交试验设计则是对完全正交试验设计的一种简化。
它通过选取部分代表性组合进行试验，以达到在减少试验次数的同时，仍能有效地获取各因素效应的目的。
部分正交试验设计通常适用于因素和水平较多，不可能对所有组合都进行试验的情况。
交叉验证是另一种常见的正交试验设计类型。
它主要用于对新模型或新方法的性能进行评估。
在交叉验证中，将数据集分成若干份，每次使用不同的数据份来训练和验证模型或方法，以获取更准确的性能指标。
3、正交试验设计的应用正交试验设计的应用范围非常广泛，以下列举几个主要领域：自然科学领域：在自然科学领域，正交试验设计常被用于研究物理、化学、生物等实验科学。
例如，在化学反应中，通过正交试验设计可以快速找到最佳的反应条件；在生物学研究中，正交试验设计可以用于筛选最优的实验条件或寻找某些生物因素之间的相互作用。
社会经济领域：在社会经济领域，正交试验设计也发挥着重要作用。
例如，政府和企业可以利用正交试验设计进行政策制定和决策分析；在金融领域，正交试验设计可以用于风险评估和投资组合优化；在市场营销中，正交试验设计可以帮助企业了解客户需求，优化产品设计和营销策略。
第六章正交试验
例6.1
因子 列号 水平 实验号 1 2 3 4 5 6 7 8
A 1 B 2 3
表6—1
C 4 D 5 F 6 7
yi
1 (300) 1 1 1 2 (320) 2 2 2
1 (20) 1 2 (30) 2 1 1 2 2
1 1 2 2 2 2 1 1
1 (200) （250) 2 1 2 1 2 1 2
三、正交表的特性 正交表具有均衡搭配的特点，也即具有正交性， 这是指它有如下两个特征： （1）表中任何一列中不同数字出现的次数相等， 如：L4 ( 23 ) ，每列中不同数字1,2, 它们各出现2次。 （2）表中任意两列的横行组成有序数对，每种数对
出现的次数是相等的，如：L ( 23 ) ，任两列横行序数 4 对 (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) 都出现一次。 由于正交表具有这两条性质，用它来安排试验时，
三、水平 因素对试验指标的影响主要是表现在因素所处的状态 发生了变化时，试验指标也随之有变化。称试验中因素 用表示因素的大写字母 所处的状态（或位级）为因素水平 。 下加足标表示该字母所表示的因素的不同水平。比如： 因素A，有4个水平，记为 A1 , A2 , A3 , A4 。 因素水平分为可控制和不可控制的两种。比如：在工 业的化学中，反应在实验室内温度是人为可以控制的。 而在农业试验中，大自然中日平均温度人就不能控制了。 试验设计只是对可控制的因素水平在试验中作出设计。 只考虑一个试验因素，称为单因素试验设计，考虑两 个试验因素，称之为双因素试验设计，考虑多于两个试 验因素，称为多因素试验设计。
D B A C F 因素 水平 反映温度(C 0 ) 反映时间(小时) 压力(大气压) 催化剂 碱液用量（升）
试验设计与正交试验(2)
外加剂量kg m
m 1(2.0) m2(2.5) m3(3.0)
2.2 研究技术路线的建立
实例1
水平
1 2 3
因素 符号
表1 因素水平表
温度℃
压力Pa
T T1 (80 ) T2(100) T3(120)
p p1(5.0) p2(6.0) p3(7.0)
是标示因素； d.机械设备的差别和操作人员的差别等。
（2）区组因素
区组因素: 持有水平，但在技术上不能指定水平，同时在 不同时间、空间还可能影响其他因素效应的因素。他与主 效应和交互作用无关，是为了减少试验分析误差而确定的。
实例3：加工某种零件时，如果由不同操作者、不同班次， 使用不同原材料批号，在不同环境条件下和不同设备上进 行时，则这些人员、班次、原材料批号、环境、条件、设 备等，就是区组因素。
实例2：试验指标——水泥胶砂强度 (1) 抗折强度: 3个平均值，其中超出平均值±10%的剔除后 再取平均值，数据记录至0.1 MPa，计算精确至0.1MPa。 (2)抗压强度:六个算术平均值，其中超出平均值±10%的应 剔除，而以剩下五个平均数为结果。如果五个测定值中再有 超过它们平均值±10%的，则此组结果作废。抗压强度结果 的计算也精确至0.1MPa。
最好，因此认为因素p应取p３水平。
（3）定p３和m2，变T ，三次实验发现T 宜取T2水平。
为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为m2p3T2 。
信号因素
试验 因素
误差因素
区组因素
（1）标示因素
一般指不能轻易改变或选择的因素，简言之，就是 维持环境与使用条件的水平，但不能选择水平的因素。 往往对这些因素的研究着眼于与可控因素交互作用的 关系。包括如下几种：
正交实验
应用实例-2：
• 过去生产乙酰胺苯，产率一直保持在65%
左右，为了提高产量，根据工人经验，提 出反应温度、反应时间、硫酸浓度和操作 方法四个因素(子)的两个水平的研究题目。
•
1、正交表选择
• 根据原则，确定最少需超过实验次数=(21)×4+(2-1)(2-1）×1+1＝6，也由于研究 条件A，B，C，D因子均是2水平的，因此 选入L8(27)表较为适宜。
表头设计
• 表头设计原则： • 第一，注意不要让主效应之间、主效应
实 例 分 析
因素 A —— 人 参 B —— 白 术 C —— 干 姜 D —— 甘 草 （k-1）m +1=5
交互作用 人参与白术 —— A×B 人参与干姜 —— A×C 1+1+1=3
白术与干姜 —— B×C n=8
L8 (27 ) 确定正交表
n=8
2、表头设计 要求： 没有交互作用时，可随意安排因素在各列中； ① ②有交互作用时，不能随意安排，要优先安排 具有交互作用的因素，A、B、C因素先考虑；
交互作用的定义 ——
在影响试验结果的诸因素中，有些因素不仅单独对效应 起作用，而且还与其它一个或多个因素联合起来影响响应值 （效应值）。这种联合作用就称为“交互作用”。如果两个 因素联合则称为双因子交互作用；如果三个因素联合则称为 叁因子交互作用；如果多个因素联合则称为多因子交互作用， 或称为高级交互作用；一般情况下，高级交互作用通常可以 忽略。
表示正交表意思
L4 (23 )
L8 (27 )
L9 (34 )
常见正交表
L8 (41 24 )
L (61 36 ) 18
常见正交表
考察最小试验组数
正交试验
全面试验：可以分析各因素的效应 ，交互 作用，也可选出最优水平组合。但全面试 验包含的水平组合数较多，工作量大 ，在 有些情况下无法完成 。
若试验的主要目的是寻求最优水平组合， 则 可利用正交表来设计安排试验。
15
如对于上述3因素3水平试验若不考虑 交互作用，可利用正交表L9(34)安排， 试验方案仅包含9个水平组合，就能反 映试验方案包含27个水平组合的全面 试验的情况，找出最佳的生产条件。
39
40
R越大表明该因素对依据极差大小，写出因 子的主次顺序
掌握生产实验过程中主次因子对 生产有一定的指导意义。
41
产品质量特性有三种：
望目特性 产品指标有一个目标值 望大特性 产品指标越大越好 望小特性 产品指标越小越好
42
（1）直接从数据中看出好条件 ？ （2）通过计算得出好条件 ？ （3）算一算一般比计算的好，最后确定那 一个好，要通过实践验证。
主题思想：它是由试验因素的全部水 平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进 行试验的，通过对这部分试验结果的分析了 解全面试验的情况，找出最优的水平组合。
5
例如，某化工厂想提高某化工产品的质量 和产量，对工艺中三个主要因素各按三个 水平进行试验。试验的目的是为提高合格 产品的产量，寻求最适宜的生产条件 。
20
21
各列水平均为2的常用正交表有： L4（23），L8（27），L12（211）， L16（215），L20（219），L32（231） 各列水平数均为3的常用正交表有： L9（34），L27（313） 各列水平数均为4的常用正交表有： L16（45）
22
正交表
正交实验法详解
正交实验法的由来一、正交表的由来拉丁方名称的由来古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族代表，每列也要有一个民族的代表。
数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。
什么是n阶拉丁方？用n个不同的拉丁字母排成一个n阶方阵（n<26 ），如果每行的n个字母均不相同，每列的n个字母均不相同，则称这种方阵为n*n拉丁方或n阶拉丁方。
每个字母在任一行、任一列中只出现一次。
什么是正交拉丁方？设有两个n阶的拉丁方，如果将它们叠合在一起，恰好出现n2个不同的有序数对，则称为这两个拉丁方为互相正交的拉丁方，简称正交拉丁方。
例如：3阶拉丁方（图1）用数字替代拉丁字母：（图2）二、正交实验法正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(33) 正交表按排实验，只需作9次，按L18(37) 正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
利用因果图来设计测试用例时, 作为输入条件的原因与输出结果之间的因果关系,有时很难从软件需求规格说明中得到。
往往因果关系非常庞大,以至于据此因果图而得到的测试用例数目多的惊人，给软件测试带来沉重的负担，为了有效地,合理地减少测试的工时与费用,可利用正交实验设计方法进行测试用例的设计。
正交实验设计方法:依据Galois理论,从大量的（实验）数据（测试例）中挑选适量的、有代表性的点（例），从而合理地安排实验（测试）的一种科学实验设计方法。
《试验设计与数据处理》讲稿_第6章_正交试验设计
第6章正交试验设计主要内容：一、概述二、正交试验设计结果的直观分析法三、正交试验设计结果的方差分析法正交试验法：在优选区内利用正交表科学地安排试验点，通过试验结果的数据分析，缩小优选范围，或者得到较优点的多因素试验方法。
6.1 概述引例—多因素的试验设计问题•指标—收率•因素—(1)原料A的用量 (2)原料B的用量(3)液固比C (4)反应温度D(5)反应压力E (6)催化剂的用量F(7)反应时间G (8)搅拌强度H•水平—8个因素各取3个水平•进行全面搭配的试验次数为： 38=6561 次•科学问题：能否只做其中一小部分试验，通过数据分析来达到全面试验的效果呢？6.1.1 正交表（一）正交表的代号及含义常用正交表的形式为：L（r m）n式中，L ──正交表的符号；n ──要做的试验次数；r ──因素的水平数；m ── 最多允许安排的因素个数。
（27）完全试验次数：128如：L8L（313）完全试验次数：1594323（二）正交表的形式（1）等水平正交表：指各个因素的水平数都相等的正交表。
如L8（27），L27（313）（2）混合水平正交表：指试验中各因素的水平数不相等的正交表如L8（41×24），L24（3×4×24）（三）正交表的特点（1）每一列中，不同的数字出现的次数相等，即对任何一个因素，不同水平的试验次数是一样的。
（2）任意两列中，同一横行的两个数字构成有序数对，每种数对出现的次数是相同，即任何两个因素之间都是交叉分组的全面试验。
（三）正交试验设计的分类6.1.2 正交试验设计的优点①能在所有试验方案中均匀地挑选出代表性强的少数试验方案。
②通过对这些少数试验方案的结果进行统计分析，可以推出较优的方案，而且所得到的较优方案往往不包含在这些少数试验方案中。
③对试验结果作进一步的分析，可以得到试验结果之外的更多信息。
例如，各试验因素对试验结果影响的重要程度、各因素对试验结果的影响趋势等。
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2.正交实验的建立
2.1试验方案设计:
(1)明确试验目的 确定试验指标
定性指标:如颜色、口感、光泽 定量指标:强度、硬度、 产量、 出品率、成本
9
（2） 选因素、定水平 因素：应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的
因素、尚未完全掌握其规律的因素为先。
水平：确定每个因素的水平，一般以2-4个水平为宜。
r
y i －A的水平Ai结果的平均值 r－因素A的水平数；
s－因素A的每个水平的实验次数
1 n s ; n rs ; y K K i i iA iA s
KiA－第j列上水平好为i的给试验结果之和
17
（2）自由度分解：
f f f T 因素 空列（ 误列 )
因素的自由度
fj ＝m 1 ， m 为因素水平个数
对主要考察的试验因素，可以多取水平，但不宜过多 （≤6）。
（3） 选择合适的正交表
正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作
用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次 数。 10
正交表选择依据：
列：正交表的列数q≥因素所占列数+交互作用所占列数+
空列。 自由度：正交表的总自由度（n-1）≥因素自由度+交 互作用自由度+误差自由度
注：所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个 或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一 列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。
12
（5）编制试验方案，按方案进行试验，记 录试验结果。
把正交表中安排各因素的列（不包含欲考
察的交互作用列）中的每个水平数字换成该因
素的实际水平值，便形成了正交试验方案。
正交试验设计方法
1
目 录
1.正交试验简介
2.正交试验的建立
3.正交试验分析方法
4.正交试验设计的应用举例
5.正交软件的应用介绍
1 正交试验简介
1.1 什么是正交试验法
正交试验方法也叫正交试验设计法，它是用 “正交表”来安排和分析多因素试验的一种 数理统计方法。
3
正交试验是从全面试验中挑选出部分 代表性的点进行试验，这些点具有“均匀” 和“整齐”的特点。是部分因子设计的主 要方法，具有很高的效率及广泛的应用。
Kjm为第j列因素m水平所对 应的试验指标和，kjm为Kjm 平均值。由kjm大小可以判断 第j列因素优水平和优组合。
1. 计算
Kjm，kjm Rj 因素主次
（一）极差分析法－R法 2. 判断 计算简便，直 观，简单易懂
优水平 优组合
16
i
（二）方差分析 基本思想是将数据的总变异分解成因素 引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统计量，作 F检验，即可判断因素作用是否显著。
14
3.2 数据处理方法:
进行试验，记录试验结果
↓
试验结果极差分析 计 算 K 值 计 算 k 值 计 算 极 差 R
绘 制 因 素 指 标 趋 势 图
试验结果方差分析
计算各列偏差平方和、自由度
列方差分析表，进行F 检验
优水平
因素主次顺序
分析检验结果，写出结论
优组合
结 论
15
Rj为第j列因素的极差，反映了 第j列因素水平波动时，试验指 标的变动幅度。Rj越大，说明 该因素对试验指标的影响越大。 根据Rj大小，可以判断因素的 主次顺序。
6
（二）正交表的分类
正交表
饱和正交表 列数已达最大值 如Ltu(tq) q=(tu-1)/(t-1)
L4k(24k-1)
非饱和正交表 例如：L18(37), L32(49),
混合水平正交表 各列水平数 不完全相同 如：L8(4×24)
7
表1—1 正交表
表1—1中为一个3因素2水平的正交表。表中有4行3列，由数 码“1”，“2”组成。它具有两个特点: (1)每个直列中， “1”，“2”出现的次数相同，都是两次。 (2)任意两直列，横向形成4各数个对中,(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) 均出现一次，即任意两列的数码“1”，“2”搭配是均衡的。 共需做4次实验。
18
（3）方差和（均方和）：
S S 因素 误差 V ＝ ， V ＝ 因素 误差 f f 因素 误差
当有些因素对实验结果的影响明显的不显著时，应把这 些因素所在列的Sj 并入误差平方和Se中。通常当Vj﹤Ve,就可 将Sj并入Se中。得新的Se△= Se+ Sj,新fe△=fe+fj. （4）构造F统计量：
（4 ）试验安排
⑴ 不考虑交互作用 把预先确定的因素任意安排在选定的正交表的各列上, 并根据因素所占各列的水平来决定每次试验（对应表中的 行）的试验条件（各因素应取的水平）。
11
⑵ 考虑交互作用 为了避免混杂，借助交互作用列表进行表 头的设计，那些主要因素，重点要考察的因素， 涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次 要因素，不涉及交互作用的因素后安排
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3.正交试验结果分析方法
3.1分析内容
（1）分清各因素及其交互作用的主次顺序； （2）找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合；
（3）判断因素对试验指标影响的显著程度；
（4）分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时， 试验指标是 如何变化的。为进一步试验指明方向； （5）确定置信区间,找出最优方案实验结果的变化范围； （6）估计试验误差的大小；
自 由 度＝m n 1， m 、 n 为因素水平
因素的自由度
f j＝m 1 ， m 为因素水平个数
t为交互 t为交互 重复次数
因子相交 互作用
(m1 )(n 1 )， m 、 n为因素水平个 因素交互自由度 f ＝
总和的自由度
f ＝m n t 1， m 、 n 为因素水平个数 t 交互作用的 T
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
S S S T 因素 空列（误差）
2 T 2 (y y ) y i i S T n i 1 i 1 n 2 n
其中
1 n y yi n i 1
T
y
i 1
n
i
2 n ( y y ) i i S A i 1
4
1.2 正交实验流程
确定影响因素
单因素实验
确定个因素的 的试验范围
建立正交实验表
进 行 试 验 确定最佳实验方案
验证实验
分析实验数据
5
1.3 正交实验表
（一）正交实验表 记号Ln(tq)中： L—正交表代号 n—正交表行数，表示要做的试验次数为n次 t—表中数码数，表示因素的水平为t q—正交表列数，最多可安排q各因素