8.6 相空间和玻耳兹曼分布律
玻尔兹曼分布律
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
x
xdN
N
xf ( x)dx
g( x)
g( x)dN
N
g( x) f ( x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
热运动使分子趋于均匀分布而重力使之位于低处。 在重力加速度可以认为不变的范围,取地面为势能 零点.分布在高度为h的地方单位体积内的分子数?
上式右方仅与速率有关.与速度方向无关.具有各向同性的特点.
分布在任一速率v ~ v +dv区间的体积是
4v2 dv 17
结论：在平衡态下，当气体分子间的相互作用 可以忽略时，分布在任一速率区间v ~ v +dv 的 分子数占总分子数的比率为
dN v (
m
3
) 2 e mv2 2kT 4v2 dv
§4 玻尔兹曼分布律
4.1 统计分布律与分布函数的概念 • 分布函数
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布 • 等温大气压强公式（高度计原理）
• 玻尔兹曼密度分布律
• 玻尔兹曼分子按能量分布律
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
5.2 麦克斯韦速率分布律
平均速率 v和方均根速率 v2, 最可几速率vp
3
• 分布函数 以伽尔顿板实验为例说明。
设一定量的分子总数为N
dN(x) 表示分布在某区间 x~ x +d x 内的分子数， dN (x) /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数 的比率（或百分比）。
dN(x)/N 是 x 的函数，在不同区间附近取相等的 间隔，此比率一般不相等。
玻尔兹曼速度分布律
分子平均动能与温度的关系
分子平均动能是气体分子动能的平均值，与温度T有关。根据 玻尔兹曼速度分布律，分子平均动能随着温度的升高而增大 。这是因为高温下气体分子运动速度更快，具有更高的动能 。
分子平均动能与温度的关系可以用公式E=3/2kT表示，其中E 是分子平均动能，k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。这个公 式反映了气体分子平均动能与温度的正比关系。
高温高压下的适用性
当温度和压力较高时，玻尔兹曼速度分布律可能不再适用。这是因为高温和高压条件下，气体分子间 的相互作用以及分子与容器壁之间的相互作用变得更加复杂，需要考虑量子效应和相对论效应的影响 。
在高温高压条件下，可能需要采用其他理论模型，如量子统计力学或相对论统计力学，来描述气体分 子的速度分布。
适用范围
玻尔兹曼速度分布律适用于稀薄气体，即在分子数密度较低的情况 下，气体分子的运动行为可以用该定律来描述。
02 玻尔兹曼速度分布律的数 学表达式
表达式概述
玻尔兹曼速度分布律是描述气体分子在平衡态下速度分布的统计规律，其数学表达 式为：f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/2kT)，其中m是分子质量，k 是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。
玻尔兹曼速度分布律
目录
CONTENTS
• 引言 • 玻尔兹曼速度分布律的数学表达式 • 玻尔兹曼速度分布律的物理意义 • 玻尔兹曼速度分布律的应用 • 玻尔兹曼速度分布律的局限性 • 玻尔兹曼速度分布律的发展与展望
01 引言
背景介绍
气体分子运动论
气体分子运动论是物理学的一个重要 分支，主要研究气体分子在空间中的 运动规律和相互作用。
气体分子运动论和热力学基础之玻尔兹曼分布律
kT
)dvx
dvy
dvz
dxdydz
在温度一定时，分子的平均动能是一定的， 所以，分子优先占据势能较低的位置。
如果对坐标 进行积分
N0 n0
V
exp( p )dxdydz
kT
上式就演化为麦克 斯韦速率分布律。
由于对速率的积
分是归一化的
(m 2πkT
)3/ 2
exp(
k kT
)dvxdvydvz
/
2
exp(
kT
)dvx
dvy
dvz
dxdydz
分布律，exp(-ε/kT) 称为概率因子。
其中n0表示εp = 0处单位体积内各种速度的总分子数。
在一定的速度和坐标范围内，在一定的温度下的 平衡状态中，分子的能量越低，分子数就越多态。
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
dN
n0
(
m 2πkT
)3
/
2
exp(
[解析](2)在重力场中，气体分子的密度 随高度的分布可用点的密集程度表示。
不论什么 分子，由 于重力的 作用，分 子数密度 在低空比 较大，在 高空比较 小。
氖气的分 子量比较 小，分子 数密度减 小得比较 慢，在同 样的高度 内，点数 相对比较 均匀。
氧气的 分子量 比较大， 分子数 密度减 小得比 较快， 在高空 比较稀 薄。
由于势能与位置有关，因此分子在空间的分布是不均匀的。
玻尔兹曼认为：气体在一定的温度下处于平衡状态时，在速
度间隔vx~vx + dvx、vy~vy + dvy、vz~vz + dvz和坐标间隔x~x + dx 、
y~ y + dy、z~z + dz中的分子数为
玻耳兹曼分布律
1. 玻尔兹曼分布律 平衡态下（温度一定） 速度区间 vx — vx+dvx vy — vy+dvy vz — vz+dvz
位置区间
x —x+ dx y —y+ dy z —z+ dz
1
*§9.11
求状态区间dvxdvy dvz dxdydz的分子数为?
dxdydz
体积元 dxdydz 中的分子数密度为 dN E p / kT E p / kT n C e n0e dxdydz n0 C ——分子在EP=0处分子的数密度
4
EP=mgh，则
n n0e
mgh / kT
n0e
M mol gh / RT
重力场中气体分子的密度 n随高度h的增加按指数规律而 减小。 1909年的皮兰实验的验证
由理想气体的压强 P= nkT
mg h kT M mol g h RT
P n0e
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P0e
——恒温气压公式
5
dv x dv y dv z dxdydz
3
求体积元 dxdydz 中的分子数 dN
C[ e
2 2 (v2 x v y v z ) / 2 kT
dv x dv y dv z ]e
EP / kT
dxdydz
C与[ ]中的定积分合并为常数C′
dN Ce
E P kT
——玻尔兹曼分布 E / kT e —— 称为玻尔兹曼因子
2
2. 重力场中分子按位置的分布
状态区间dvxdvy dvz dxdydz 分子的总能量
量子统计法 Boltzmann分布律
§4. 量子统计法
自然界的微观粒子分为两大类: 玻色子(Bose particle): 不遵守保利不相容原理; 费米子(Fermi particle): 遵守保利不相容原理.
一、Bose-Einstein统计： Bose子：一个量子态可容纳多个粒子. 宏观体系的热力学平衡态拥有数目极其巨 大的微观运动状态。这些微观运动状态存 在于各种不同的分布中。
分布：在 满足体系宏观条件 (如U、 V、 T等 )
的前提下，粒子在各能级上的分配方式。
• 设体系含N个玻色子, 其在能级上的一种分布 是:﹛Ni﹜ 能级： ∈0, ∈1, … , ∈i … 粒子数： N0, N1, … , Ni … 条件： ∑i Ni∈i = E; ∑i Ni = N W：分布﹛Ni﹜具有的微观运动状态数目. • 首先求某一能级的不同微观状态数(即配容数): 设: 能级的能量： ∈i 能级的简并度: gi 能级的粒子数: Ni
(7)
W =∏i (gi Ni / Ni!)
体系拥有的种微观运动状态数为:
(8) (9)
Ω= ΣW (ΣNi=N;
ΣNii=E)
求最可几分布：
W =∏i (gi Ni / Ni!) lnW=∑i(Nilngi－NilnNi + Ni)
令:
(10)
f =lnW=∑i(Ni lngi－NilnNi + Ni) (11)
• 此状态数的求算是一排列组合问题: • 共有gi + Ni个无素, 如图排列, 方框代表量子态, 圆球表示微观粒子, 方框后面的小球均处于此 方框所代表的量子态：
□ 0 □ □ 0 0 □ □ 0 0 0 □ ……
gi 种选择
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布，概率测量或频率分布。
当存在保守的外力（例如重力场，电场等）时，气体分子的空间位置不再均匀分布，并且在不同位置分子数密度也不同。
玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。
L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。
在相同的宽度范围内，如果E1> E2，则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量，并且状态是粒子优先占据较小的能量，这是玻尔兹曼的重要结果分配法。
经过近一个世纪的传播，物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”，但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。
这时，出现了更强大的科学成就，即热力学的第一定律和第二定律。
热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。
1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德（Ostwald）试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。
他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态，甚至使物质恢复能量。
他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。
在统计中，麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。
它首先被定义并在物理学中用于描述（特别是在统计力学中）粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度，除了粒子与其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。
在这种情况下，粒子是指气态粒子（原子或分子），并且假定粒子系统达到了热力学平衡。
当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时，玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。
粒子速度的概率分布表明哪个速度更有可能：粒子具有从分布中随机选择的速度，并且比其他选择方法更有可能处于速度范围内。
分布取决于系统温度和颗粒质量。
Maxwell Boltzmann分布适用于经典理想气体，这是理想的真实气体。
玻尔兹曼分布律
就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的n0
解 根据玻耳兹曼分布律，在重力场中，存在于x~x+dx ， y~y+dy ， z~z+dz 区间内，具有各种速度的分子数为
dN = ndV = n0e-e p / kTdxdydz
取z 轴垂直向上，地面处 z=0， 可得
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。
解 由气体的状态方程, 有
n
=
p kT
=
1.33 ´ 10-3 1.38 ´10-23 ´ 300
=
3.21´1017 m-3
l=
1 2π d 2n =
1 2π (3´10-10 )2 ´ 3.21´1017
= 7.79 m
12/13
一. 分子的平均碰撞频率 Z
一个分子单位时间内 和其它分子碰撞的平 均次数，称为性小球，分子间的碰撞 为完全弹性碰撞。大量分子中，只有被考察的特定分子A
以平均速率 u 运动，其它分子都看作静止不动。
8/13
·单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为 nπ d 2u
dN (rv,vv) = Ce-e / kTdvxdvydvzdxdydz
式中e =ek+ep 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关 的比例系数。 这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。它给出了 分子数按能量的分布规律。
5/13
例 在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A ， 设柱体
一. 重力场中粒子按高度的分布
dp = -r gdh dp = -nm gdh
平衡态下气体的温度处处 相同，气体的压强为
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
统计力学中的玻尔兹曼分布与平均能量
统计力学中的玻尔兹曼分布与平均能量统计力学是一门研究物质在宏观和微观层面上的统计规律的学科。
玻尔兹曼分布是统计力学中的一个重要概念，它描述了在热平衡状态下，粒子在不同能级上的分布情况。
本文将介绍玻尔兹曼分布的基本原理，并探讨平均能量的计算方法。
在统计力学中，玻尔兹曼分布是描述粒子在不同能级上分布的概率分布函数。
它的形式可以由玻尔兹曼因子推导得出。
玻尔兹曼因子是指在热平衡状态下，粒子在不同能级上的分布比例与能级的能量之间的关系。
根据玻尔兹曼因子的定义，玻尔兹曼分布可以写成以下形式：P(E) = (1/Z) * exp(-E/kT)其中，P(E)表示粒子在能级E上的分布概率，Z是归一化常数，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
从上式可以看出，当能级的能量较高时，分布概率较低；当能级的能量较低时，分布概率较高。
这符合我们的直观认识，因为在热平衡状态下，粒子更倾向于分布在能量较低的状态。
玻尔兹曼分布在统计力学中有着广泛的应用。
它可以用来解释气体的状态方程、热力学性质以及相变等现象。
例如，根据玻尔兹曼分布，我们可以计算出气体的压强、体积和温度之间的关系，从而得到气体的状态方程。
此外，玻尔兹曼分布还可以用来计算气体的熵、内能和自由能等热力学性质。
在统计力学中，平均能量是一个重要的物理量。
它可以用来描述系统的热平衡状态。
平均能量的计算方法可以通过对玻尔兹曼分布函数进行积分得到。
具体来说，平均能量可以表示为以下形式：<E> = ∑ E * P(E)其中，<E>表示平均能量，E表示能级的能量，P(E)表示粒子在能级E上的分布概率。
通过对所有能级的能量乘以其对应的分布概率，并将结果相加，就可以得到系统的平均能量。
平均能量的计算方法可以帮助我们理解系统的热力学性质。
例如，在理想气体模型中，根据玻尔兹曼分布和平均能量的计算方法，我们可以推导出理想气体的内能与温度之间的关系。
这个关系被称为理想气体的内能定理，它表明理想气体的内能与温度成正比。
玻尔玆曼分布定律
玻尔兹曼分布定律是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布的定律，以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼命名。
在物理学和化学中，这个定律被广泛应用于描述气体分子的速度分布。
任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其他粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡状态。
玻尔兹曼分布定律具体说明了处于任何速度范围的粒子数量与系统温度的关系，这个关系由一个数学公式表示。
这个公式表明，随着系统温度的升高，高速运动的粒子数量会增加，而低速运动的粒子数量会减少。
这个定律在物理学中有广泛应用，不仅限于气体分子的研究，还涉及到其他领域如电磁学、热力学等。
此外，它也为统计力学的理论框架提供了基础，使得我们能够更好地理解物质的热性质和动力学行为。
统计物理学中的玻尔兹曼方程分析
统计物理学中的玻尔兹曼方程分析统计物理学是一门研究宏观物质性质和微观粒子行为之间关联的学科。
而在统计物理学中，玻尔兹曼方程是一种重要的工具，用于描述多粒子系统的宏观状态。
本文将重点讨论玻尔兹曼方程的分析和应用。
玻尔兹曼方程最初由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼于1872年引入，它描述了粒子的分布函数在时间和空间上的演化。
分布函数是一个在相空间中定义的函数，描述了不同位置和动量的粒子数目。
在热力学平衡下，粒子分布服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布律，而玻尔兹曼方程则描述了系统从非平衡态演化到平衡态的过程。
玻尔兹曼方程的形式可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_x f = \left(\frac{\partialf}{\partial t}\right)_{\text{coll}}$$其中，$f$是分布函数，$\mathbf{v}$是粒子速度，$x$是位置，$\nabla_x$是位置梯度算符，$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}}$表示碰撞项。
这个方程的左侧描述了粒子在空间中的移动，右侧描述了由于碰撞引起的速度分布的变化。
在分析玻尔兹曼方程时，一种常用的方法是使用玻尔兹曼方程的一维简化形式，即Boltzmann equation in the relaxation time approximation (RTA)，也称为Boltzmann equation with the BGK collision operator。
RTA假设碰撞实际上是一个粒子速度分布函数的指数衰减过程，通过引入碰撞时间常数，使方程更易求解。
玻尔兹曼方程的解决方案一般采用分布函数的累积方式，即将问题转化为求解分布函数的一组守恒方程。
这些守恒方程将分布函数的瞬态行为与宏观观测值联系起来，比如粒子数密度、动量和能量等。
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律是描述气体分子速度分布的一种数学模型。
它是由奥地利物理学家玻耳兹曼在19世纪末提出的，被广泛应用于研究气体动力学、热力学等领域。
玻耳兹曼分布律的基本假设是：气体分子的速度是随机的，且分子之间的碰撞是弹性碰撞。
在这种情况下，气体分子的速度分布服从玻耳兹曼分布律。
玻耳兹曼分布律可以用以下公式表示：
f(v) = (m/(2πkT))^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/(2kT))
其中，f(v)表示速度为v的气体分子的概率密度函数，m表示气体分子的质量，k表示玻尔兹曼常数，T表示气体的温度。
从公式中可以看出，玻耳兹曼分布律与气体分子的质量、温度有关，速度越大的气体分子出现的概率越小。
此外，玻耳兹曼分布律还可以用于计算气体的热容、热传导系数等物理量。
在实际应用中，玻耳兹曼分布律可以用于研究气体分子的速度分布、
温度分布等问题。
例如，在研究气体分子的平均速度时，可以利用玻
耳兹曼分布律计算速度的平均值。
在研究气体的热传导性质时，可以
利用玻耳兹曼分布律计算气体分子的平均自由程。
总之，玻耳兹曼分布律是描述气体分子速度分布的一种重要数学模型，被广泛应用于研究气体动力学、热力学等领域。
它的应用不仅有助于
深入理解气体分子的运动规律，还可以为相关领域的研究提供重要的
理论基础。
Maxwell-Boltzmann分布律
Maxwell-Boltzmann分布律
对于N,V,E确定平衡态体系，有很多可及的能级分布， 根据等几率假设，微观状态数最大的分布出现的概率也最大， 这种分布称为最概然分布
状态7 A: n=1 B: n=0 C: n=3
B: n=1
C: n=3
E 11/2h
9/2h n=0,E=1/2h n=1,E=3/2h 7/2h
n=2,E=5/2h
n=3,E=7/2h n=4,E=9/2h n=5,E=11/2h …… 3/2h 5/2h
1/2h
状态8 A: n=3 B: n=1
i
i ! i (i 1) (i ni 1) in tM B tF D ni ! N! i ni !(i ni )! i i ni !
玻色子分布与费米子分布在非简并条件趋向相同，都趋向 于麦-玻分布，显然N！是粒子不可分辨性代入的校正因子
状态9 A: n=1 B: n=3 C: n=0
状态10 A: n=0 B: n=2 C: n=2
状态11 A: n=2 B: n=0 C: n=2
状态12
A: n=2 B: n=2 C: n=0
状态13 A: n=2 B: n=1 C: n=1
状态14 A: n=1 B: n=2 C: n=1
状态15 A: n=1 B: n=1 C: n=2
Lagrange不定乘数α,β由守恒条件确定
N ni i e i
i i
（ 8）
E ni i ii e i
i i
大学物理第8章第5节-麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)dv
f (v)dv
a
2v 0
v0 v0
f (v)dv
f (v)dv 1
2v 0
0
v0
2v0
v
0
(a v0 )vdv
2v0
v0
[2a (a v0 )v]dv 0dv 1
2v0
a 1 v0
(3) 由图可知, 分布曲线在 v 0 处取极大
0
a v v dv 2 0
7 v0 0.778v0 9
说明: (4)、(5)、(6)中有误.
麦克斯韦速度分布律
2 2 2 m(vx v y vz ) dN m dvx dv y dvz exp N 2 k T 2 k T B B 在 vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz 区 32
值
2a
f (v)
a
0
v0
2v0
v
v p v0
(4) N 个粒子的平均速率
v vf (v)dv
0
v0
(a v0 )v 2 dv v[2a (a v0 )v]dv v 0dv v0
0 v0 2v 0
2v 0
(5) 0~ v0 2 内的粒子数
v0 2
N
0
v0 2
dN
0
v0 2
Nf (v)dv
0
N a N vdv v0 8
(6) v0 2 ~ v0 内分子的平均速率
Boltzmann 分布定律及适用条件
3/ 2
(33-32)
式中 V 为容器体积， m 为子的质量。将式(33-32)代入式(33-31)，即得
N V ⎛ h2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 π m kT ⎟ ⎝ ⎠
3/ 2
e
−ε j / kT
<< 1
(33-33)
由于 e
−ε j / kT
总小于 1，故只要
N V ⎛ h2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2π mkT ⎟ ⎝ ⎠
离域子系统的特征是子可在一定的空间内作平动运动假如系统是单原子气体则由boltzmann分布定律及3331鉴于单原子气体的热运动只有平动运动故在通常的温度范围内式中的q即为平动子的配分函数在专题34中即将介绍子的平动配分函数可由下式表示为容器体积m为子的质量
33
Boltzmann 分布定律及适用条件
(
)
Ni e −ε / kT e −ε / kT = = N q e −ε / kT
i i
∑
i
i
(33-29)
式中下标 i 是指量子态， ε i 是指 i 量子态的能量，
∑
i
是对所有量子态加和， N i / N 是指粒
子占据 i 量子态的概率。由于 j 能级是由 g j 个量子态构成，
∑e ε
−
i
/ kT
(
)
∑
j j
ln
g jN
j
N j! gj
Nj
（定域子）
(33-14)
（离域子）
∑ ln
g=
N j!
∑N
j j
j
−N
j j
(33-15) (33-16)
h=
∑N ε
(
−E
安师大《 热力学统计物理》复习提纲22
《 热力学统计物理》复习提纲21、考试时间：120分钟2、考试题型有：简答题、单项选择题、填空题、计算题、证明题、（或判断题）3、分数分布：25、20、25、18、12/124、复习思考题0、重点和难点：（六）近独立粒子的最概然分布：粒子运动状态的经典描述，量子描述，系统微观运动状态，三种分布。
（6学时）重点：三种分布。
难点：系统微观运动状态。
（七）Boltzman 统计：热力学量的统计表达式，理想气体的物态方程，Maxwell 速度分布律，能量均分定理。
（6学时）重点：热力学量的统计表达式。
难点：Maxwell 速度分布律。
（八）Bose 和Fermi 统计：热力学量的统计表达式。
（2学时）重点：热力学量的统计表达式。
（九）系综理论：相空间，Liuvil 定理，微正则分布，微正则分布的热力学公式，正则分布，正则分布的热力学公式，巨正则分布，热力学公式。
（8学时）重点：微正则、正则和巨正则分布热力学公式。
难点：相空间。
（十）涨落理论：涨落的准热力学理论。
（2学时）重点：涨落的准热力学理论。
难点：布朗运动。
一、填空题1、根据费米分布，温度为T 时处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为 。
2、若过程进行的每一中间态都是平衡态，则此过程称为 过程。
3、最大功定理指的是 。
4、盐的水溶液、水蒸气和冰三相平衡共存时，=ϕ ，=f ，溶液的冰点和饱和蒸气压都取决于盐的浓度x5、理想玻色气体出现凝聚的临界条件为 。
6、盐的水溶液与水蒸气平衡时，=ϕ ；=f ，水蒸气的饱和蒸气压随温度和盐的浓度而变，说明只有温度T 和浓度x 两个独立变量。
7、双原子分子能量中，如果有五个平方项，当温度为T 时，则分子数为N 的双原子分子理想气体的内能=U ；定压热容量=p C 。
9、粒子在三维空间运动，它的自由度为 ，粒子的质量为m ，粒子在任一时刻运动的动量为xm p x =，y m p y =，z m p z =，则此自由粒子的动能：=ε 。
热力学统计物理各章总结
第一章1、与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；2、与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；3、与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；4、平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。
5、参量分类：几何参量、力学参量、化学参量、电磁参量6、温度：宏观上表征物体的冷热程度；微观上表示分子热运动的剧烈程度7、第零定律：如果物体A和物体B各自与处在同一状态的物体C达到热平衡，若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡，这个经验事实称为热平衡定律8、t=T-273.59、体胀系数、压强系数、等温压缩系数、三者关系10、理想气体满足：玻意耳定律、焦耳定律、阿氏定律、道尔11、顿分压12、准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
13、广义功14、热力学第一定律：系统在终态B和初态A的内能之差UB-UA 等于在过程中外界对系统所做的功与系统从外界吸收的热量之和，热力学第一定律就是能量守恒定律.UB-UA=W+Q.能量守恒定律的表述：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量保持不变。
15、等容过程的热容量；等压过程的热容量；状态函数H；P2116、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关。
P2317、理想气体准静态绝热过程的微分方程P2418、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程：等温膨胀过程、绝热膨胀过程、等温压缩过程、绝热压缩过程19、热功转化效率20、热力学第二定律：1、克氏表述-不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；2、开氏表述-不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其它变化,第二类永动机不可能造成21、如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能把它留下的后果完全消除而使一切恢复原状，这过程称为不可逆过程22、如果一个过程发生后，它所产生的影响可以完全消除而令一切恢复原状，则为可逆过程23、卡诺定理：所有工作于两个一定温度之间的热机，以可逆机的效率为最高24、卡诺定理推论：所有工作于两个一定温度之间的可逆热机，其效率相等25、克劳修斯等式和不等式26、热力学基本微分方程：27、理想气体的熵P4028、自由能：F=U-FS29、吉布斯函数：G=F+pV=U-TS+pV30、熵增加原理：经绝热过程后，系统的熵永不减少；孤立系的熵永不减少31、等温等容条件下系统的自由能永不增加；等温等压条件下，系统的吉布斯函数永不增加。
玻尔兹曼分布
在统计力学和数学中，玻尔兹曼分布（或吉布斯分布）是处于各种可能的微观量子状态下的粒子的概率分布，概率测度或频率分布。
具有以下形式，其中，量子态能量（随各个量子态而变化）和（对于玻尔兹曼分布是常数）是玻尔兹曼常数与热力学温度的乘积。
概率分布可以表示为，其中，量子态I的概率，量子态I的能量，玻尔兹曼常数，系统温度以及系统具有的量子态数。
对于两个状态的玻尔兹曼分布的比率，获得了玻尔兹曼因子。
可以看出，这仅与量子态之间的能量差有关。
玻尔兹曼分布取材于路德维希·博尔兹曼，他在1868年研究热平衡气体的统计力学时首次提出了这种分布。
然后在1902年，约西亚·威拉德·吉布斯提出了更为一般化的玻尔兹曼分布形式。
应特别注意Boltzmann分布与Maxwell-Boltzmann分布之间的差异。
前者给出了每个量子态中粒子的分布概率，而后者则用来描述理想气体中粒子的速度分布。
该表达在光谱学中具有重要的应用。
光谱中光谱线的位置表示粒子的量子态转移能量。
为了使谱线强度足够，必须有足够的处于高量子态的粒子。
因此，可以通过上述表达式确定颗粒分布与系统温度和能级差之间的关系，并且可以获得适当的系统参数。
统计力学的应用：玻尔兹曼分布可以应用于具有热平衡的隔离（或近似隔离）系统。
最常见的情况是常规合奏的概率分布，但在某些特殊情况下（源自常规合奏）也有相关应用。
数学的应用：在数学上，玻尔兹曼函数的广义形式是吉布斯测度。
在统计和机器学习中也称为对数线性模型。
MaxwellBoltzmann分布律.ppt
费米系统
离域子、粒子不可分辨、处在同一个量子态上的粒子数只限一个； 讨论能级εi 上ni个粒子放在ωi个量子态上的排列数 第1个粒子有 ωi 第2个粒子有 ωi-1 …… 第ni个粒子有 ωi-(ni-1) 种放法： 进一步考虑粒子不可分辨性，排列数为 则分布｛ni｝拥有的微 观状态数为： 宏观状态（N,V,E） 总的微观状态数 种放法： 种放法：
Lagrange不定乘数α,β由守恒条件确定
i N n e i i i i
（ 8）
i E n e ii i i i i
e
N i e i
i
（ 8）
β的数值现阶段还无法直接求解，以后我们会证明
由于δni受到守恒条件(4)(5)式的限制，应用Lagrange不定乘数法，分别用α、 β乘以(4)(5)两式，并减去(6)式
n i n ( i 1 , 2 , . . . ) i
7/2h
5/2h
3/2h
A： B： C：
1/2h
状态1 A: n=0 B: n=0 C: n=4
状态2 A: n=0 B: n=4 C: n=0
状态3 A: n=4 B: n=0 C: n=0
状态4 A: n=0 B: n=3 C: n=1
状态5 A: n=0
状态6 A: n=3 B: n=0 C: n=1
F D i i i i i n i i M B i i i i i i i i
玻色子分布与费米子分布在非简并条件趋向相同，都趋向 于麦-玻分布，显然N！是粒子不可分辨性代入的校正因子
从前面讨论可以看出：微观状态数Ω是宏观状态的状态函数，可以表示为 Ω(N,V,E)，事实上Ω是以N,V,E为特征变量的特性函数
玻尔兹曼分布适用范围
玻尔兹曼分布适用范围玻尔兹曼分布是一个重要的概率分布函数，它在统计物理学中有着广泛的应用。
它描述了在热平衡状态下，粒子在不同能级上的分布情况。
这个分布函数由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪末提出，并以他的名字命名。
玻尔兹曼分布适用于满足以下条件的系统：系统处于热平衡状态、粒子之间没有相互作用、系统处于外部势场中。
在这种情况下，玻尔兹曼分布可以用来描述粒子在不同能级上的分布概率。
具体来说，玻尔兹曼分布可以用来计算粒子在特定能级上的概率。
它的形式为：P(E) = exp(-E / kT) / Z其中，P(E)表示能级E上的粒子分布概率，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度，Z是归一化常数。
玻尔兹曼分布的应用非常广泛。
在统计物理学中，它被用来描述气体、固体和液体中粒子的分布情况。
在热力学中，它被用来计算系统的熵和自由能。
在量子力学中，它被用来计算电子在原子或分子中的能级分布。
玻尔兹曼分布的应用可以帮助我们理解和解释许多自然现象。
例如，在分子运动中，玻尔兹曼分布可以解释为什么高温下分子运动更加剧烈，低温下分子运动更加缓慢。
在光谱学中，玻尔兹曼分布可以解释为什么原子或分子会吸收和发射特定频率的光。
除了在物理学中的应用，玻尔兹曼分布在其他领域也有着重要的作用。
在生物学中，玻尔兹曼分布被用来描述蛋白质和核酸的折叠状态。
在经济学中，玻尔兹曼分布被用来描述市场中不同产品的分布情况。
玻尔兹曼分布是一个重要的概率分布函数，它在统计物理学和其他领域有着广泛的应用。
它可以帮助我们理解和解释自然现象，并且在许多实际问题中起到了重要的作用。
通过研究和应用玻尔兹曼分布，我们可以更好地理解和描述复杂的系统行为。
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【思考】推导爱因斯坦固体摩尔热容公式
e ΘE h Cm 3 R ，ΘE ΘE T 2 k 1) T (e
2 ΘE T
金刚石
f (r , v)dτ C e kT d ，得
C 1
e
kT
d
kT
平衡态系统中分子的相空间分布函数：
f B ( r , v) e
e
kT
d
玻耳兹曼分布律
物理量 W(r, v) 在温度为 T 的平衡态下的统计 平均值：
W W ( r , v ) f B ( r , v ) d
1 2 2 kT I e d e 2 kT dxdydzdd dv x dv y dv z d 2 2 I mv2 x 2 kT 2 kT d e dxdydzdd dv x dv y dv z d e 2 I 2 m vx
2 mv2 I x
1 1 2 2 kT 2 2 kT I e d I e d 2 0 2 1 2 I 2 2 I I 2 2 kT 2 kT e d e d
8.6 相空间和玻耳兹曼分布律 8.6.1 相空间和分布函数 8.6.2 玻耳兹曼分布律 *8.6.3 能量均分定理的证明 8.6.4 简谐振子的平均能量
8.6.1 相空间和分布函数
分子的状态可以用分子的位置和速度（动量） 作为独立变量来描述。
由位置和速度（动量）构成的空间 相空间： 分子在任一时刻的运动状态，均可用相空间 中的一个点来代表。
dN ( x, y, z, v x , v y , vz ) e
f ( r , v)
dxdydzdv xdv ydvz
Ce
( P k ) kT
dN ( x, y, z, v x , v y , vz ) Ndxdydzdv x dv y dvz
分子的能量： P k f ( r , v) Ce kT 由归一化条件 1
1 1 2 2 动能 u ，势能 k 2 2
u、：相对运动的速度、位移
、k：等效的质量、劲度系数
一个振动自由度对应的平均能量：
1 kT 2 kT 2
i 分子平均能量： kT 2 自由度 ：i t r 2 s
t：平动；r：转动；s：振动
固体晶格点阵上原子沿三个互相垂直的方向 作简谐振动，振动自由度s=3，其他自由度为零， 原子振动的平均能量为3kT。 在温度为 T 的平衡态下，（mole）固体的 内能：
归一化条件 ： f ( r , v )dτ 1
8.6.2 玻耳兹曼分布律
dN ( x , y , z ) e
p kT
dxdydz
dN (v x , v y , vz ) e
k kT
dv x dv ydvz
( P k ) kT
同时按位置和 速度的分布？
近独立粒子系统：位置和速度相互独立，按 概率乘法法则，有
相空间体积元：
d dxdydzdvxdv ydvz
为描述分子同时按位置和按速度的分布，定 义分子相空间分布函数：
dN ( x, y, z, v x , v y , vz ) dN ( x , y , z , v x , v y , v z ) f ( r , v) Ndτ N dxdydz dv x dv ydvz
证明： 由N个频率为的一维简谐振子组成的系统， 达到温度为T的平衡态。 按玻耳兹曼分布律，系 统中能量为n的振子数Nn与总振子数N的比值：
Nn Ce N
n
kT
由归一化条件 N n
n 0
N 1,
求出 C 1
e
n 0
n
kT
Nn e N
n
kT
e
n 0
kT W ( r , v ) e d
e
kT
d
体现统计物理学基本思想：把宏观量看成相 应微观量的统计平均值 玻耳兹曼分布律是气体动理论的基础，适用 于理想气体，也可用于实际气体、液体和固体 等分子之间相互作用力不是很强的经典的热力 学系统。
*8.6.3 能量均分定理的证明 分子在各个自由度上的动能，可以写成相应 的平方项。 例如，刚性双原子分子的能量：
普朗克常量： h 6.63 1034 J s
把h/2取为能量零点，简谐振子的能量只能 是能量单元h 的整数倍：h、2h、3h、… 2. 简谐振子的平均能量 在温度为T的平衡态下，频率为 的一维简谐 振子的平均能量： hν h e kT 1
如果振子频率较低或系统温度较高, h kT, h hν h kT kT , 回到经典情况。 e 1 , h kT 1 1 为什么？ kT
1 2 I 以转动动能 为例，计算平均值。 2
1 2 I 2
1 2 I e kT d 2
e
kT
d
1 2 2 kT I e dxdydzdd dv x dv y dv z d d 2 2 mv2 x I 2 kT dxdydzdd dv x dv y dv z d d e
设 xe
h
，因 x 1 ，则有
2
e
n 0
nh
1 1 1 x x h 1 x 1 e
h
1 hν hνe ln h h h 1 e e 1 1 e
再把 换成1/kT，即证。
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 m v x m v y m v z I I 2 2 2 2 2
相空间体积元：
d dxdydz d d dvxdv ydvz d d
对各个能量平方项求统计平均，如果统计平 均值都等于kT/2，就证明了能量均分定理。
0
2 I
2 I
1 1 I 2 4 ( I 2kT ) 3 1 2
I 2kT
1 kT 2
类似地，对其他平方项求平均，结果也都等 于kT/2。
能量均分定理的一般表述：在温度为 T 的平 衡态系统中，分子能量表达式中每一个平方项 对应的平均能量都等于kT/2。 振动自由度：分子中原子振动可看成简谐振 动，一个振动自由度能量包括两个平方项：
E 3N A kT 3RT
8.6.4 简谐振子的平均能量 简谐振子：作简谐振动的系统 按照经典概念，简谐振子的能量连续变化， 振子的平均能量 kT。实际上，简谐振子的 能量是量子化的。 1. 简谐振子的能级 在 12.6.2 节将会看到，频率为 的一维简谐 振子的能级：
1 n n h , n 0,1,2, 2
n
kT
n Nn , N n 0
n 0
n
kT
n
e
n 1 1 n n h , 设 kT 2
1 ( n 1 2 ) h n h e 2 n 0 ( n 1 2 ) h e
n 0
n h nh e n 0
n 0
e n h
1 h 2
1 nh ln e h n 0 2
把h/2取为能量零点，则有 nh ln e n0
nh ln e n0
dN ( x, y, z, vx , v y , vz ) ：位置处于 r~r+dr 、速度
处于 v~v+dv 的分子数，即状态处于相空间体积 元d 内的分子数。 N：系统的总分子数 f(r,v)：状态处于 (r, v) 附近的单位相空间体 积内的分子数，占系统分子总数的百分比。 或，分子的状态在相空间分布的概率密度。