第3章 理想流体介质中声波的传播(3-1,3-6)

由于P随坐标变化,在 x 内变化量为 P 对EFGH面: F2 ( P0 p P)yz x 方向的合力为: Fx F1 F2 Pyz
体元的加速度 体元的质量
du x u x dt t
m V xyz
由牛顿第二定律得
u x Pyz xyz t
第三章 理想流体介质中声波的传播
§3-1 引言 ○ 内容: – 1、声音传播的本质； – 2、表征声场的声学量; – 3、研究理想流体介质中声传播所作出的假设.
声音是一种机械振动状态的传播现象,它的传播与 弹性介质相联系,因此声波不能在真空中传播.（例 如在真空容器中振动的铃就传不出声音） 产生声波的条件:
3-1-1表征声场的声学量 声场:声波传播的空间称为声场. 本章主要讨论平衡状态下的物质系统内的声学现 象,在平衡态时系统可用体积V0,压强P0及温度T0等 状态参量描述.
在平衡状态下,组成介质的分子等微粒虽然不断的 运动,但就任一个体积远讲,时间t内流入的质量等于 流出的质量,因而体积元的质量不随时间变化.
牛顿第二定律
质量守恒定律 状态方程
运动方程:
连续性方程 状态方程
v p
v
p
y
3-2-1运动方程 声场中取小体元ABCDEFGH
V xyz
F1
A D
C
y
G
H
F2
B z E F x
介质静止时 u0 0 有声波作用时压强为 P0 p 对ABCD面:
z
x
F1 ( P0 p)yz
即
[ ( u x ) ( u y ) ( u z )] t x y z
lim t 0 t t
连续性方程:
[ ( u x ) ( u y ) ( u z )] t x y z
小振幅声波:
§3-2理想流体介质中的三个基本方程 ○ 重点: – 1、运动方程； – 2、连续方程; – 3、状态方程; – 4、声传播速度的计算. ○ 难点: – 1、运动方程； – 2、连续方程; – 3、状态方程;
三个基本物理定律 思想:目的是推导某一参量(如声压)的波动方程, 但 是声扰动过程中,各参量声压,密度增量及振速等的 变化是相互关联的,首先要找出各参量之间的关系. 声振动满足三个基本物理定律:

小振幅声场中:
d 1 0
P0 P0 2 2 p dP P P0 d c d c 0 0
dp 2 d ' c 状态方程: 描述声场中声压与微小密度变化 dt dt
3-2-4 声传播速度 ○ c0反映了介质受声扰动时的压缩特性,介质的压缩 特性在声学上通常表现为声波传播的快慢. ○ 介质的可压缩性较大（气体）,则一个体积元状态 的变化需要经过较长的时间才能传到周围和相邻 的体积元,声扰动传播的速度就慢； ○ 介质的可压缩性较小（液体）,压强的改变引起密 度变化较小,按定义c小;物理上一个体积元状态的 变化很快传相邻的体积元,声扰动传播的速度很快; ○ 理想刚体内,介质不可压缩一个体积元的变化立刻 传给其他的体积元,c趋于无穷大.
声波的传播速度 介质中振动传播过程的时间滞后现象说明声波在 介质中传播有一定的时间,称为声波的传播速度. 声波在空气中的传播速度是330m/s,在水中的传播速 度为1500m/s在钢块中的传播速度是5500m/s. 声波的分类 超声波（频率20KHZ以上） 可听声（20Hz-20Khz） 次声波（20Hz以下） 各种声波本质是一样的,只是振动频率高低不同而已.
对连续性方程 对t求导
0 u t
' u ( 0 ) 0 2 t t
2
将运动方程带入上式
得到:
u p 0 t
2 ' (p) 0 2 t
由
d ' ' ' dx ' dy ' dz dt t x dt y dt z dt ' (u x u y uz ) ' t x y z
0 u t
声场介质中的连续性方程
3-2-3 状态方程 仍然考察一小体积元.设它在没有声扰动时状态为
P0 ,
0 , T0
一般情况下,当声波传过来时它们会发生变化,三个 量的变化不是独立的,而是相互联系的. 由于在理想流体的假设下,声波过程进行较快,介质还 来不及与旁边的介质进行热量交换,因而声波过程可 以认为是绝热过程,即温度T0不变.这样,就可认为压 强P仅仅是密度的函数,即:
2.振速 u ( x, y, z, t )
质点位移对时间的变化率,一般为矢量. u t 3.密度压缩量 ( x, y, z, t ) 有声波时的密度和静密度的变化量,即 0 密度压缩量
( x, y , z , t ) 0 ( x, y , z ) s ( x, y , z , t ) 0 ( x, y , z )
研究x方向流动.
Δt时间内介质由ABCD面流入体元ΔV的质量为
ux yzt
u x 为单位时间通过单位面积的质量
同一时间从EFGH面流出的质量:
[ u x ( u x )x ]yzt x
D y
C
y
G
H F x 2 E
x方向体元质量的增加为: F 1
( u x )xyzt x
一般流体压强和密度的关系比较复杂,不可能写 出类似于理想气体那样的物态方程的解析表达 式.这时常通过介质的体积压缩系数来求得c. 体积的相对增量
dV V
(dV V ) s s dP
表示在绝热情况下,单位压强变化引起的体积相 对变化.负号表示压强和体积的变化方向相反.
dP KS s (dV V ) s
P 得到: c
2
源自文库
P


const
dP c 2 d
对于小振幅声波,压强及密度变化很小,近似得:
c P0 0
2
理想气体的绝热状态方程: PV P0V0

对一定质量理想气体: m const , 0V0 V 得:
0 d P0 P P0 d P0 P0 0 0 0
A B z
F
x
z
同理y方向,z方向使体元的质量增加为
( u y )xyzt y
( u z )xyzt z
根据质量守恒定律:
m xyz [ ( u x ) ( u y ) ( u z )]xyzt x y z
1
为绝热体积弹性系数；
c
2
1
s 0

Ks
0
上述结果表明,c通常还是 的函数 海水中的声速与温度,盐度和静压力有关
c0 1450 4.21t 0.037t 2 1.14( s 35) 0.0018h
t温度,s盐度,h深度
3.3理想流体中小振幅波传播的波动方程 ○ 波动方程的导出 ○ 声速度势
p pm cos t ,
有效声压 :在一定时间间隔内,瞬时声压对时间取 均方根值称为有效声压:
1 T 2 pe 0 p dt T
简谐振动
pe
pm 2
T 代表取平均的时间间隔,它可以是一个周期或比 周期大的多的时间间隔
声压的大小反 映了声波的强 弱, 单位:Pa帕. 有时也用bar(巴) 1bar=100KPa；
3-3-1 波动方程的导出 理想流体介质的三个基本方程 运动方程 连续性方程
u p 0 t 0 u
t
状态方程
dp 2 d ' c dt dt
利用上述三个关系式,消掉任意两个量,就可以得到 任意一个量的时空关系式.
由于声压p是标量,又容易测量,因此我们常采用声压 描述声场:
（ 1）有作机械振动的物体－－声源
（2）有能传播机械振动的弹性介质
声波可以在一切弹性介质中传播,空中－－陆地 －－地层都能传播声波. 声波的传播与介质本身的弹性及惯性有关:即具 有施加压力时会收缩,施加张力时会膨胀,压力 和张力去掉后会恢复原状的性质.
振动的传播过程 介质质点的机械 振动由近及远的 传播称为声振动 的传播或声波. 声波是一种机械波, 适当的频率和强弱的 声波传到人的耳朵, 人们就感觉到了声音.
理想气体中小振幅声波的声传播速度:
P0 c 0
2
1.402 1.103 105 c 331.6m / s 1.293
由于声速与介质平衡状态的参数有关,温度改 变,声速不同
c0 (t 0c) 331.6 0.6t
(m/s)
液体中的小振幅声波 c
2 0
1
s 0
βs绝热体积压缩系数
线性近似:忽略二级以上的小量,得
dP P＝P(0 ) ( )S,0 ( 0 ) d
微分:
dP p dP ( ) S , 0 d d
对于一定介质,绝热压缩时,压强和密度都增加, dp>0, d>0;绝热膨胀时,压强和密度都减小,dp<0, d<0;因此dP/d>0.
欧拉方程
p p p p i j k x y z
欧拉方程描述了声场中声压和振速之间的关系.
3-2-2 连续性方程 根据质量守恒定律,连续介质中,任意一处体积元中 流进和流出的质量不等,必然引起该体积元介质密 度的变化.
仍取小体元分析,某一瞬时,质点振速为 u ( x, y, z, t )
P＝P( )
一般说, 压强 P 与密度 的函数关系很复杂,但 在小振幅条件下,小体积元体积变化比较小,因而, 密度 相对静态密度 0 的变化也很小,
P=P()在 0 附近展开成泰勒级数
dP 1 d 2P P＝P(0 ) ( )S,0 ( 0 ) ( 2 )Ｓ,０ ( 0 ) 2 d 2! d
0
u x ( u x ) ( 0u x ) 0 x x x
u y ( u y ) 0 y y
u z ( u z ) 0 z z
简化得:
u x u y u z 0 ( ) t x y z
P P lim x 0 x x
u x P 0 x t
u z P 0 z t
同理可得:
u y P 0 y t
合并:
u P 0 t
P p
由
u p 0 t
i j k x y z
dP 令: c ( ) S , 0 得到声扰动的状态方程. d
2
dP c d
2
比例系数 c 实际上代表声传播的速度.它在一般情况 下不是常数,仍可能是压强或密度的函数,其值决定 于具体介质情况下压强 P 对密度 的依赖关系.
理想气体中传播的声速 理想气体的绝热状态方程 PV const 对一定质量的气体
当有声波作用时,微粒杂乱无章的运动加了一个 有规律的运动,使得体积元内有时流入的质量多 于流出的质量,有时反过来,即体积元一会稠密,一 会又稀疏,即介质中的物质发生有规则的波动,这 样的变换过程可用体积元内的压强、密度、以 及质点速度等表示.
1.声压 体积元受到声扰动后压强由P0变为P,这种由声扰 动产生的逾量压强称为声压.
P P0 p
当声传播过程中,同一时刻,不同体积元内的压强不 同；同一体积元内不同时间压强也不同,因此声压 是时间和空间的函数:
p ( x, y , z , t )
相比振速而言,声压的测量更容易实现,因此声压已 成为目前最为广泛采用的描述声波性质的物理量.
声压的瞬时值:某一瞬时的声压. 峰值声压:在一定时间间隔中最大的瞬时声压值称 为峰值声压或巅值声压;如果声压随时间的变化是 按简谐规律的,则峰值声压也就是声压的振幅；