李雅普诺夫直接法

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暂态稳定分析的直接法

Vcr ( P
s
u
( 3) e
Pm )d
面积（B+C）
稳定判别如下：当 Vc Vcr，即面积（A+B）<面积（B+C），则系统第一摆稳定；若 Vc Vcr ，则系统不稳定； c Vcr 时系统为临界 V 状态这里假定系统有足够的阻尼，若第一摆稳定，则以后作衰减振荡，趋于S点。

d
Page 16
02 单机无穷大系统的直接法暂态稳定分析
由运动方程可知，在故障切除后系统运动轨迹上， d M Pm Pe(3) ，故其运动轨上 dV 0 ，V const. ，
dt
即故障切除后系统运动轨迹必为上述定常能量曲线族中的一支。
Page 17
02 单机无穷大系统的直接法暂态稳定分析
Vp c ( P
0
c
( 3) e
Pm )d 面积B
系统在扰动结束时总暂态能量 V 为
Vc V k c V p
c
面积（A+B)
Page 12
1 2 Mc 2
(Pe
s
c
(3 )
Pm ) d
02 单机无穷大系统的直接法暂态稳定分析
若将系统处于不稳定平衡点U时，系统以S点为参考点的势能作为临界能量 Vcr ，则
Page 4
01 直接法的简单概念
Vcr mgH
V 若忽略容器壁的摩擦，扰动结束时， Vcr ，小球最终将滚出容器，失去稳定性；反之， V Vcr ，则小球将在摩擦力作用下，能量逐步减少，最终静止于SEP。
实际系统要解决的两个问题： ☆如何在实际系统中构造暂态能量函数，大小应能够反应系统失去稳定的严重性。 ☆如何确定临界稳定时的能量值。

第5章李雅普诺夫稳定性分析

3
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第五章李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限，也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的原点）内是正定的。
24
第5章李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷

非线性地流-2-李雅普诺夫第二法(直接法)

问题：1、 v(x) 应具有什么性质。（如何才能构造） 2、怎样用 v(x) 判别稳定性。
问题1：V(x)应具有什么性质。（如何才能构造）
二、李雅普诺夫函数性质：（1）是以状态向量 x(t)为自变量的标量函数。
（∵能量只能有数量的概念）
（2）若 x e 0 是系统平衡状态，则 V(xe ) V(0) 0 ，
系统在xe = 0处是不稳定的。
例1-4 设系统的状态方程为
x1 x2 x2 x1 x2
试确定其平衡状态的稳定性。
v(x) = x12 + x22 > 0
v( x) 2x1x12 2x2 x2 2x22 0
当 v( x)0时，x2 = 0， x1 = 0。当x1=任意值，x2 = 0时，v( x)=0，但不会恒等于零。按照定理，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当‖x‖时， v(x)，故xe=0也是大范围渐近稳定的。
稳定性定理小结
• 下V面(x)将前面讨论的V李’(x雅) 普诺夫稳定性的结论判定
方正定法(>作0) 一小结负定(<0)
该平衡态渐近稳定
正定(>0)
半负定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
该平衡态渐近稳定
正定(>0)
半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解)
该平衡态稳定但非渐近稳定
dx dx
(0.5x
2x x
x2
)
令 dx ，0则求得系统的两个奇点
dx 0
x1 x1
0 0
x x
2 2
2 0
为确定奇点类型，需计算各奇点处的一个阶偏导数及增量
线性化方程。
奇点（0，0）处
f (x, x) 2

李雅普诺夫第二方法简介

正定
正定函数 V(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的曲线。C 1 ＜ C 2 ＜ C 3 ＜ C 4 ＜ C 5 ＜ C 6 ＜ C 7
C7
C6
C5
C2 C1
C4
C3
一些记号： 0 :正定 0：半正定 0 :负定 0：半负定
李雅普诺夫第二方法简介
为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方法:
第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。
第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性，因此又称为直接法。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。
0
0
则易于验证它是正定对称阵。首先，
P T P；其次，注意到
xT P xxTeA T tQ eA td tx(eA tx)T Q (eA tx)d t
0
0
且 (eAtx)TQ(eAtx)0x0。又由于 A阵均具负实部，故积分有界， P必正定。因此方程 (?)成立。
x 1 2(t) x2 2(t) x 1 2(t0) x2 2(t0)。
例：考虑小阻尼线性振动系统：
x1 x 2 x 2 x1 x 2
研究其平衡状态 x 1 0 , x 2 0 的稳定性。若取 v(x)x1 2x2 2,则有
v x v 1 x 1 x v 2 x 2 2 x 1 x 2 2 x 2 ( x 1 x 2 ) 2 x 2 2 0

现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)

1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ ≠0 ⎣ x2 ⎦ ⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ =0 ⎣ x2 ⎦
V (x ) > 0 V (x ) = 0
前页
3
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎧ x1 = x2 ⎪ x=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
在零平衡状态 xe=0 的邻域内
5,
x ≠ 0,
V (x ) > 0 V (x ) = 0 V (x ) < 0
⇒ V (x ) 不定
前页
10
5
例：已知 x = [x1 x2 x3 ]，确定标量函数的定号性
T
2 2 (1) V (x ) = x14 + 2 x2 + x3
解： x = 0, V (x ) = 0
下页
2 返回
1
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& m&& = −kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦
返回
⎡x ⎤
⎡ x⎤
k
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
系统能量
V (x ) =
⇔ λp < 0 ⇔ λp ≤ 0
17
例：确定下列二次型的定号性。
2 2 V (x ) = x12 + 2 x2 − x3

第四章稳定性与李雅普诺夫方法

平衡状态的定义：若对所有t，状态x满足
x0 ，
则称该状态x为平衡状态，记为：x e ，满足下式：
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
x f ( xe , t ) ，平衡状态的各分量相对时间不再发生
变化。由平衡状态在状态空间确定的点，称为平衡点。平衡状态的求法：线性定常系统 x Ax 的平衡状态 a.线性系统
x e 应满足 Ax 0 。
x Ax
xR
n
0 xe 0 A奇异：Axe 0 有无穷多个 xe
A非奇异：Axe
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
b.非线性系统
x f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe
eg.
x1 x1
3 x2 x1 x2 x2
yi (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
对于多输入—多输出系统来说，输入量u(t)和输出量y(t)的有界涵义，可以等效地按其每个分量值的模的有界性来表征，即若：
u(t ) u1 (t ), u2 (t ),, un (t )
y(t ) y1 (t ), y2 (t ),, yn (t )
则有界的涵义为
T
T
ui (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
yi (t ) m j , j 1,2,, n,0 m j , t 0
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
，若任意给定实数
0, ,都存在
( , t ) 0 ，使得： x0 xe ，从初始状态 x 0 出发的解
x(t , x0 , t0 )

鲁棒控制

V ( x) 2 x P( ) x(t ) x [ A ( ) P( ) P( ) A( )]x(t ) 0
T T T

计算李雅普诺夫函数式（4.200）沿系统方程的导数，有

（4.201）显然要判断 V 0 是比较困难的，一种有效的方式是将 V 表示成 l
B1 D11 D21
B2 D12 D22
与 H 状态反馈控制问题相比，测量输出y的描述和输出反馈控制律是不相同的，控制器K 是动态输出反馈补偿器，其状态空间描述为（5.5a） Ak Bk y （5.5b） u Ck Dk y 即根据2.2.1节的讨论，如图所示的闭环系统由 w到z的闭环传递函数矩阵为
C C1 D12 FL Dk C2
D D11 D12 FL Dk C21
FL ( I Dk D22 )1 EL ( I D22 Dk )
1
D12 FLCk
5.1.3基于状态观测器的H 控制问题

如图所示基于状态观测器的 H 控制问题。假设广义的控制对象由（5.4）描述，控制器K 由状态观测器及基于这个状态观测器的状态反馈控制律构成。对于与广义控制对象同维数的状态观测器，有 x A x B1 y B 2 u（5.8）对于降维观测器有：
V

i 1 i
i
i
的形式，这样，只要 0, i 1, , l ，就能保证 V 0,从而判定系统的稳定性。事实上，由系统方程（4.191）引入自由矩阵，对任意合适维数的矩阵T1 , T2 ，有

[ x T1 x T2 ][ x(t ) A( ) x(t )] 0 （4.203）

李雅普诺夫第二法

12/23/2012
2 V ( x) ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2x1x1 x2 x2 ( x12 x2 )
当 x 时， ( x) ，所以系统在其原点处大范围 V 渐近稳定。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
x1 x1 x2 例4-8 系统的状态方程为 x2 x1 x2
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据定理设系统的状态方程为
x f ( x),
如果平衡状态 xe 0, 即， f ( xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足：
1） V ( x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V ( x) 是正定的；
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
例设 x x1
x2
x3
T
2 1) V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为V（0） 0，而且对非零向量，有x a，a， T 0, x （ - 0）也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2 2) V ( x) x12 x2因为V（0） 0，而且对非零向量，有x 0， a） 0, x （ 0， T 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量，二次型标量函数可写为
p11 p V ( x) xT Px x1 x2 xn 21 pn1 其中，P为实对称矩阵。 p12 p22 p1n x1 x2 pnn xn

克拉索夫斯基定理与李雅普诺夫直接方法的关系

克拉索夫斯基定理与李雅普诺夫直接方法的关系1莫尔克拉索夫斯基定理莫尔克拉索夫斯基定理是概率论中的一条重要定理，由俄国数学家安德烈·莫尔克拉索夫斯基于1920年提出。

它表明，在如果给定事件A和B，若事件A与事件B相关，则对于所有事件C，都有: $$P(A∩C)P(B∩C)=P(A∩B)P(C)$$其中P(A∩C)表示A和C同时发生的概率，P(B∩C)表示B和C同时发生的概率，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率，而P(C)则表示事件C发生的概率。

具体来说，可以用它来确定两个不相关的事件的概率，以及相关的事件的相关度。

2李雅普诺夫直接方法李雅普诺夫直接方法是一种用于计算两个事件之间关联性的经典统计方法，由俄罗斯统计学家V.A.Liapunov于1922年发明。

该方法将两个事件之间的关系表示为一个数字，从而方便对数据进行分析。

计算公式为：$$M=\frac{P(A∩B)-P(A)P(B)}{[P(A)[1-P(B)]+P(B)[1-P(A)]}$$其中M表示事件A和B之间的相关性，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)则表示事件B发生的概率，而P(A∩B)则表示A和B同时发生的概率。

M的取值范围为[-1,+1],该值越接近1,则表明A和B越相关，取值越接近-1表明A和B越不相关。

3莫尔克拉索夫斯基定理与李雅普诺夫直接方法的关系莫尔克拉索夫斯基定理和李雅普诺夫直接方法都是用来研究两个或多个事件之间的相关性，但可以看到它们有着明显的不同。

莫尔克拉索夫斯基定理是一种可以计算概率的等式，它能够检验两个事件是否相关，但它不能提供相关程度的统计指标。

而李雅普诺夫直接方法则允许用户计算出两个事件之间的相关性，并且能够得到一个相关系数，可以更清晰地识别两个事件之间的相互影响程度。

因此，我们可以看到莫尔克拉索夫斯基定理和李雅普诺夫直接方法是相辅相成的。

总之，莫尔克拉索夫斯基定理和李雅普诺夫直接方法是两种研究两个或多个事件之间相关性的常用方法，可以有效的研究和区分出不同事件之间的关联性。

稳定性与李雅普诺夫方法幻灯片PPT

三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
四、对李亚普诺夫函数的讨论
一、李雅普诺夫第二法(直接法)的基本思路
► 由于系统的复杂性和多样性，一般不容易到一个能量数来描述系统的能量关系；
► 李亚普诺夫定义一个正定的标量函数V(x)，作
为虚构的广义能量函数，根据
•
V(x)dV (x)/dt
的符号特征来判断系统的稳定性；
►李亚普诺夫函数：对于一个正定的标量函数V(x)，V• (x) 是负定的，则这个系统是稳定的。这个 V(x) 叫做李亚普诺夫函数；
●经典控制理论中对控制系统稳定性判据劳斯判据、胡维茨判据、奈奎斯特稳定性判据等。对于非线性系统和时变系统，经典控制理论的这些判据方法就
李亚普诺夫第一法(间接法) 通过求解系统解微分方程，然后根据解的性质来判断系统稳定性。
李亚普诺夫第二法（直接法）特点是不解系统微分方程，而是通过一个叫李亚普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性，此方法可用于线性系统，也可用于非线性系统，可用于定常系统，也可用于时变系统。特别试用于那些难于求解微分方程的非线性系统和时变系统。该方法是本章论述的重点。
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
－
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
4-2 李雅普诺夫第一法(间接法)
非线性系统的稳定性判据：
4-2 李雅普诺夫第一法(间接法)

现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)

c et c y前页返回2 2c aet c y()xV&22xμ−=返回前页求出系统的李雅普诺夫第二法的基本思想ce tcy 1x 返回前页定理3渐近稳定cae tcy ()00≠=但x V&返回前页定理3⎪⎩⎪⎨⎧−−==21221x m x m k x x xμ&&⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00e x 渐近稳定et c y返回前页1 xca e tcy ⎪⎩⎪⎨⎧−==1221x m k x x x &&⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00e x 返回前页定理4李雅普诺夫意义下稳定cet c y1x返回前页定理3不稳定ca e tcy ()00≡=但x V&返回前页定理3⎪⎩⎪⎨⎧+−==21221x m x m k x x x μ&&⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00e x 不稳定状态平面图状态仿真曲线注意tcy 前页返回前图？李氏函数选择不当！cet c y返回前页定理3et c y返回前页e虚构atcae tcy ()=V x ()02221>+=x x V x ()0 ≡x V &()0222≤−=x V x &ec ayt c etcy 返回前页定理4cae tcy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0n πe x ⎪⎩⎪⎨⎧−== x L gx x x1221sin &&状态仿真曲线李雅普诺夫意义下稳定返回前页tcy 0≡返回前页定理3cae tcy 状态平面图状态仿真曲线()00≡=但x V&⎪⎩⎪⎨⎧−== x L g x x x1221sin &&2Dx −()L ,,,nn πe 2100±±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 垂直向下渐近稳定前页返回cae tcy 相平面图θL。

《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析

向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ，则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统传递函数为：系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为

稳定性判据

0 （4）若 i 0 0 i为偶数 i为奇数，则 P 0 . in
7
三、稳定性判据： dV ( x ) 计算 V ( x ) 沿状态轨线的时间导数： V( x ) dt f [ x] xe 0 设系统： x 若存在一个李雅普诺夫函数 V ( x ) ，满足： ( x ) 0 ，则 x e 0 为李雅普诺夫意义下的稳定； (1) 若 V
∵ ∴
x 时，有 V(x )
系统大范围渐近稳定。
V( x ) 的选择非唯一，但不影响结论。即，只要
能找到满足条件的 V( x ) ，系统稳定性判别的结论
是一致的。
10
四、线性定常连续系统的稳定判据
( t ) Ax( t ) 系统： x 平衡状态 x e 0 为大范围渐近稳定的充要条件为：对于任意给定正定实对称矩阵Q，必存在正定实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程：
( x ) 0 ，故允许选取Q为半正定。 x 0 时， V
则,由解得：
AT P PA Q
1 0 P 0 0 1
V(x) x T Px x1 x 2 0
13
2
2
∴ 系统在 x e 0 大范围渐近稳定。
五、线性定常离散系统的稳定判据系统： x(k 1) Gx (k) 在平衡状态 x e 0 大范围渐近稳定的充要条件为：任意给定正定矩阵Q，必存在正定对称矩阵P，满足：
p11 p P 12 p1n p12 p 22 p 2n
p11
p12
p1i
p12 i (i 1,2,, n) 为P的各阶主子行列式： i p1i
p 22 p 2i p 2i p ii

李雅普诺夫稳定性分析

第四章
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李雅普诺夫第一法；直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明，当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范数，其几何意义是空间距离的尺度。例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)

(完整版)李雅普诺夫直接法

W x，当x=0时有W0 0 。若函数
W x 沿着状态方程
•
x
f x的解轨道的
时间导数是 dWx 是正定函数，而且在任意接近平衡点处至少有一点 x1
，使得Wx1 >0,d则t 原点是不稳定平衡点。
例题6.4（课本p165-p167）
谢谢大家！
• 1、适用情形
• 当非线性电路的平衡点是非双曲平衡点，即其对应线性化后的矩阵A 的特征值至少有一个是零实部时，平衡点的稳定性可以采用李雅普诺夫直接法（Liapunov direct methord）判定。
• 2、平衡点按李雅普诺夫意义稳定的定义
•
设描述电路的微分方程为
•
x
f
x，其中
x
是一个列向量，xs
线。电路中的总储能会随着时间的推移不断地减少，最终到达电路的
• 唯一平衡点—原点。
通过以上事实，可以用下述方法来证明一个平衡点是渐近稳定的；若
能找到一个标量函数W，使在所研究的平的增加在沿该平衡点附近的所有轨道移动时，W总是减
小的，那么该平衡点就是渐近稳定的。
如果原点是平衡点且在其邻域中，正定函数W x 沿着状态方程
普诺夫意义稳定的。若还有 limxt xs 成立，则称平衡点是按李雅普诺 t
夫意义渐近稳定的。如果不存在，称平衡点为不稳定的。
• 二阶系统稳定的几何意义如图所示，粗黑线代表平衡点位置，始终有
• ， xt 0 曲线x x(x0,t) 为在平衡点邻域内从起始点 x0 出发的轨道。圆柱体
半径 0，在相平面上的投影为圆；若原点是稳定的，则从内开始的轨道不会到达圆柱的柱面上，更不会穿过圆柱面；若原点为渐近稳定，则当t 时，xx0,t 0；若不稳定，则当 t 时，将到达柱面或穿过柱面跑到外面去，其中是一个有限的时间。

李雅普诺夫稳定性(2)

x f (x)
的任何轨迹线的时间导数是半负定的，即
V dV (x) V x V f (x) 0 dt x x
那么称V (x) 为系统的李雅普诺夫函数。
x2
x2
V V3
V V2
V
V V1
0
V1 V2 V3 x1
x1
x(t)
x(t)
李雅普诺夫理论基础
几何解释：表示 V(x) 值的点总是指向杯底，或指向越来越小的V (x)值等高线。
R a 1
李雅普诺夫理论基础
x1
极限环
从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的 R 为足够小，使得半径为 R 的圆完全落入极限环的封闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线最终将越出这个圆,因此原点是不稳定的。
李雅普诺夫理论基础
2、渐近稳定性与指数稳定性
李雅普诺夫理论基础
例：对于一阶系统 x ax bx5
原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的
线性化是：
x ax
应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳
定性性质：
（1）a 0 渐近稳定；（2）a 0 不稳定；
（3）a 0 不能从线性化说明系统稳定性性源自。在第三种情况下，非线性系统为
征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的（对实际的非线性系统）；
2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果 A的所有特征
值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳定的（对实际的非线性系统）；
3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果 A 的所有特
征值都在左半复平面内，但至少有一个在 j 轴上），那么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者是不稳定的）。

李雅普诺夫直接方法与间接方法的对比

李雅普诺夫直接方法与间接方法的对比
李雅普诺夫直接法与间接法是相对的两种教学方法, 在一定的教育学理论、教
学过程或者教学活动上常被提及且使用。

首先，直接法的本质是一种“教师-中心”，又叫“讲授式教学”，是以教师为主导，采取一种更为统一、集中、有计划、有步骤的有序教学活动,全程讲授，强调听，
空中想象，考察，发言等。

而间接法的教学活动以活跃的学习形式来响应学生的学习要求。

教学内容以涉及学生的现实生活和未来的行为技能为主，在教学活动中，采取分组交流方式，培养学生合作动手、学以致用的能力,注重启发性教学，关注
学生主体性，充分调动学生的积极性等教学形式。

其次，直接法得好处在于能够快速达到教学目标,容易被学生所接受和理解，
缺点是容易导致学生缺乏自主性、失去创造力和学习兴趣;而间接法的优势在于由
于有效的拓展学生的空间，可以挖掘出其创造才智，激发学生的自主学习兴趣，缺点是实现教学目标时受到时间和实验条件的限制，不易达到完全的较快效果。

最后，从上文可见，直接法和间接法两者都有各自的独特的优势和不同的特点，而在具体的教学实践中，不同场景下要采取不同的策略，根据学生的实际情况，对两种教学方法有一定的智能把握，以达到有效学习与教学效果。