16.1二次根式导学案

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16.1二次根式

16.1.1二次根式的概念学习目标：掌握二次根式的概念和二次根式有意义的条件。

学习过程：一、复习引入1.已知932=，那么3叫做9的，9的平方根是。

用式子表示2.一个正数a 有个平方根，它们，a 的平方根用式子表示3.0有个平方根，负数二、自主学习1.用式子表示下列各数的算术平方根 9 13 S ba 2.二次根式的概念3.判断一个式子是否为二次根式①②③4.判断下列式子是否为二次根式 ①364 ②36 ③13- ④x ⑤12+x ⑥a - ⑦2a - ⑧21x⑨222++x x ⑩1+a5.二次根式有意义的条件6.x 取何值时，下列式子在实数范围内有意义 ①1-x ②32+x ③x -5 ④121+x ⑤x x -+-52三、自学检测1.下列式子是否是二次根式 ①193- ②1-x ③()44-<+y y ④0 ⑤22y x + ⑥332.x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义 ①62--x ②x --2 ③132++x x④x x -+-41 ⑤x x -+-2216.1.2二次根式的性质学习目标：掌握二次根式的性质，能运用二次根式的性质解决问题学习过程：一、复习引入1.二次根式的概念其中a 叫做，a 的取值范围二、自主学习1. 二次根式的“非负性”5是5的，a 是a 的所以总结：之前学过两个具有“非负性”的式子是、若0235322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++c b a ，求c b a ,,的值2.填空：()=29 ，()=20 ，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221 即()=2a ，其中a 必须满足 3.填空：=29 ，=20 ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛221 ()=-29 ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-221那么=2a三、自学检测 1. ①()=223 ②=23.0 ③=⎪⎭⎫ ⎝⎛-271 ④()=--2π ⑤=-210 ⑥()=-22.02.已知2<a 则()=-22a 3.若1<a ，()=---a a 112 4.如果()12122-=-a a ，那么a 的取值范围是5.已知实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：b 0 a。

八年级数学下册16二次根式161二次根式1导学案新人教版

16．1 《二次根式(1)》学习内容：二次根式的概念及其运用学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习（一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．（3，3）．问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．（46 .）（二）学生学习课本知识（三）、探索新知1、知识：如3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如•的式子叫做二次根式，“”称为．例如：形如、、是二次根式。

形如、、不是二次根式。

2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0）．解：二次根式有：；不是二次根式的有：。

例2．当x是多少时，31x-在实数范围内有意义？解：由得：。

当时，31x-在实数范围内有意义．（3）注意：1、形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“a（a≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 三、巩固练习教材练习．四、课堂检测（1）、简答题 1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ 737x 41681x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________．（3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 23x -+3x -2x -．3.2(5)x --x 有（）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数4.已知a 、b 5a -102a -=b+4，求a 、b 的值．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知小强家、体育馆、文具店在同一直线上如图中的图象反映的过程是：小强从家跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步回家．下列信息中正确的是（）A ．小强在体育馆花了20分钟锻炼B ．小强从家跑步去体育场的速度是10km/hC ．体育馆与文具店的距离是3kmD ．小强从文具店散步回家用了90分钟2．为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）中位数众数平均数方差 9.2 9.39.1 0.3A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差3．下列等式不一定成立的是（） A ．2(5)5-= B ．ab a b =C ．2(3)3ππ-=-D ．82233= 4．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（） A ．1，2，3B ．3，4，5C ．5，12，13D ．2，2，35．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．B ．C ．D ．6．下列各组数为勾股数的是（） A ．1,12B ．4,5,6C ．8,9,10D ．5,12,137．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．5 B．6 C．8 D．108．已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣4=0的一个根为m，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．任意实数9．将方程2+=化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）．x x4581A．2x x-+=D．2x x--=4581045810+-= C．245810x xx x++= B．24581010．若a+c=b，那么方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0二、填空题11．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…按如图的方式放置，A1、A2、A3…和点C1、C2、C3…分别在直线y ＝x+2和x轴上，则点∁n的横坐标是_____．（用含n的代数式表示）12．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，则∠AED的度数为_________．13．甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”)14．如图，三个正方形中，其中两个正方形的面积分别是100，36，则字母A所代表的正方形的边长是_____．15．若分式67x--的值为正数，则x的取值范围_____．16．如图，在△ABC中，BC=9，AD是BC边上的高，M、N分别是AB、AC边的中点，DM=5，DN=3，则△ABC 的周长是__．17．已知x=4是一元二次方程x2-3x+c=0的一个根，则另一个根为______．三、解答题18．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：甲林场乙林场购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过1000棵时4元/棵不超过2000棵时4元/棵超过1000棵的部分 3.8元/棵超过2000棵的部分 3.6元/棵设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为元，若都在乙林场购买所需费用为元；（2）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？19．（6分）如图，已知AD=BC，AC=BD．（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．20．（6分）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道有关于自然数的题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”就是说：一个数被2除余2，被5除余2，被7除余2，求这个数．《孙子算经》的解决方法大体是这样的先求被2除余2，同时能被5，7都整除的数，最小为1．再求被5除余2．同时能被2，7都整除的数，最小为62．最后求被7除余2，同时能被2，5都整除的数，最小为20．于是数1+62+20＝222．就是一个所求的数．那么它减去或加上2，5，7的最小公倍数105的倍数，比如222﹣105＝128，222+105＝288…也是符合要求的数，所以符合要求的数有无限个，最小的是22．我们定义，一个自然数，若满足被2除余1，被2除余2，被5除余2，则称这个数是“魅力数”．（1）判断42是否是“魅力数”？请说明理由；（2）求出不大于100的所有的“魅力数”．21．（6分）问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数；（2）如表是y与x的几组对应值x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m …①m等于多少；②若A（n，2018），B（2020，2018）为该函数图象上不同的两点，则n等于多少；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；根据函数图象可得：该函数的最小值为多少；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积等于多少；（4）已知直线y1＝12x﹣12与函数y＝|x|﹣2的图象交于C，D两点，当y1≥y时，试确定x的取值范围．22．（8分）计算：①|3-2|+|3-2|-|2-1| ②38+2(2)--14+（-1）1． 23．（8分）如图，平面直角坐标系中，一次函数142y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点()3C m ，．（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOCBOCSS-的值；（3）一次函数1y kx ＝+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．24．（10分）如图①，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图②为列车离乙地路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系图象．(1)填空：甲、丙两地距离_______千米；(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．25．（10分）如图，分别以ABC的边向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，求证：（1）12AO BC=；（2）AO BC⊥．参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】根据图象信息即可解决问题．【详解】解：A．小强在体育馆花了603030-=分钟锻炼，错误；B．小强从家跑步去体育场的速度是510/0.5km h=，正确；C．体育馆与文具店的距高是532km-=，错误；D．小强从文具店散步回家用了20013070-=分钟，错误；故选：B．【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．2．A【解析】【分析】根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．【详解】如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数．故选A．点睛：本题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义．3．B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质分别化简的得出答案．【详解】A．（2=5，正确，不合题意；B=a≥0，b≥0），故此选项错误，符合题意；C=π﹣3，正确，不合题意；D=故选B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．4．D【解析】分析：欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．详解：A、12+）2=3=2，故是直角三角形，故错误；B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．故选D．点睛：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5．B【解析】【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．据此即可判断．【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；B、只有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，选项符合题意；C、不是整式方程，则不是一元二次方程，选项不符合题意；D、整理后得，最高次数为1，不是二次方程，选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．6．D【解析】分析：根据勾股数组的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数，逐项分析即可.详解：A. 2不是正整数，故1,12不是勾股数；B. ∵42+52≠62，故4,5,6不是勾股数；C. ∵82+92≠102，故8,9,10不是勾股数；D. ∵52+122=132，故5,12,13是勾股数；故选D.点睛：本题考查了勾股数的识别，解答本题的关键是熟练掌握勾股数的定义.7．A【解析】【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．【详解】解：∵AB=AC=10，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，∵E 为AC 的中点，1110522∴==⨯=DE AC ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质,熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．8．C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把x m =代入方程22x mx 40--=得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】把x=m 代入方程2x 2﹣mx ﹣4=0得2m 2﹣m 2﹣4=0，解得m=2或m=﹣2，故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 9．B【解析】【分析】通过移项把方程4x 2+5x=81化成一元二次方程的一般形式．【详解】方程4x 2+5x=81化成一元二次方程的一般形式是4x 2+5x-81=1．故选B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=1（a≠1）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．10．B【解析】解：根据题意：当x =﹣1时，方程左边=a ﹣b +c ，而a +c =b ，即a ﹣b +c =0，所以当x =﹣1时，方程ax 2+bx +c =0成立．故x =﹣1是方程的一个根．故选B ．二、填空题11．122n +-【解析】【分析】观察图像，由直线y ＝x+2和正方形的关系，即可得出规律，推导出C n 的横坐标.【详解】解：根据题意，由图像可知，1(0,2)A ，正方形A 1B 1C 1O 、 A 2B 2C 2C 112C =，直线y ＝x+2的斜率为1，则26C =以此类推，314C =，122n n C +=-【点睛】此题主要考查一次函数图像的性质和正方形的关系，推导得出关系式.12．150【解析】【分析】根据题意先得出AB=BC=BE,EC=BC=DC,并以此求出∠AEB 和∠DEC ，进而利用∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC 即可求出∠AED 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形，∴AB=BC=BE,EC=BC=DC, ∠ABE=∠DCE =90°-60°=30°，∴∠AEB=∠EAB=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DEC=∠EDC=（180°-30°）÷2=75°，∴∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC =360°-75°-75°-60°=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查正方形的性质以及等腰、等边三角形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．13．甲【解析】由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S2甲<S2乙，即两人的成绩更加稳定的是甲．故答案为甲．14．1【解析】【分析】根据正方形的性质可得出面积为100、36的正方形的边长，再利用勾股定理即可求出字母A 所代表的正方形的边长，此题得解．【详解】面积是100的正方形的边长为10，面积是36的正方形的边长为6，∴字母A 所代表的正方形的边长=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．15．x>1【解析】试题解析：由题意得：67x--＞0， ∵-6＜0，∴1-x ＜0，∴x ＞1．16．1【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线求得AB=2DM ，AC=2DN ，结合三角形的周长公式解答．【详解】解：∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，M 、N 分别是AB 、AC 边的中点，∴AB=2DM=10，AC=2DN=6，又BC=9，∴△ABC 的周长是：AB+AC+BC=10+6+9=1．故答案是：1．【点睛】本题考查三角形的中线性质,尤其是:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．17．-1【解析】【分析】另一个根为t ，根据根与系数的关系得到4+t=3，然后解一次方程即可．【详解】设另一个根为t ，根据题意得4+t=3，解得t=-1，即另一个根为-1．故答案为-1．【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于掌握若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=−12b c x x a a=，．三、解答题18．（1）5900，6000；（2）见解析；（3）当0≤x≤1000或x=3000时，两家林场购买一样，当1000＜x ＜3000时，到甲林场购买合算；当x ＞3000时，到乙林场购买合算．【解析】试题分析: （1）由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用；（2）根据分段函数的表示法，甲林场分01000x ≤≤或1000x >两种情况 .乙林场分02000x ≤≤或2000x >两种情况.由由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式；（3）分类讨论，当01000x ≤≤，10002000x <≤时，2000x >时，表示出y 甲、y 乙的关系式，就可以求出结论．试题解析：（1）由题意，得．y 甲=4×1000+3.8（1500﹣1000）=5900元，y 乙=4×1500=6000元；故答案为5900，6000；（2）当01000x ≤≤时，y 甲4,x =1000x >时．y 甲()4000 3.81000 3.8200.x x =+-=+∴y 甲()()4010003.82001000.x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(x 取整数).当02000x ≤≤时，y 乙4,x =当2000x >时，y 乙()8000 3.62000 3.6800.x x =+-=+∴y 乙()()4020003.82002000.x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(x 取整数).（3）由题意，得当01000x ≤≤时，两家林场单价一样，∴到两家林场购买所需要的费用一样．当10002000x <≤时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，∴当10002000x <≤时，到甲林场优惠；当2000x >时，y 甲 3.8200.x =+y 乙 3.6800.x =+当y 甲=y 乙时3.8200 3.6800x x +=+，解得：3000x =．∴当3000x =时，到两家林场购买的费用一样；当y 甲<y 乙时，3.8200 3.6800x x +<+，3000x <．20003000x ∴<<时，到甲林场购买合算；当y 甲>y 乙时，3.8200 3.6800x x +>+，解得：3000x >．∴当3000x >时，到乙林场购买合算．综上所述，当01000x ≤≤或3000x =时，两家林场购买一样，当10003000x <<时，到甲林场购买合算；x 时，到乙林场购买合算．当300019．（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】试题分析：（1）根据SSS定理推出全等即可；（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB．试题解析：（1）证明：∵在△ADB和△BCA中，AD=BC,AB=BA,BD=AC，∴△ADB≌△BCA（SSS）；（2）解：OA=OB，理由是：∵△ADB≌△BCA，∴∠ABD=∠BAC，∴OA=OB．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定20．（1）49不是“魅力数”，理由详见解析；（9）99、59、89．【解析】【分析】（1）验证49是否满足“被9除余1，被9除余9，被5除余9”这三个条件，若全部满足，则为“魅力数”，若不全满足，则不是“魅力数”；（9）根据样例，先求被9除余1，同时能被9，5都整除的数，最小为8．再求被9除余9．同时能被9，5都整除的数，最小为90．最后求被5除余9，同时能被9，9都整除的数，最小为11．于是数8+90+11＝59，再用它减去或加上9，9，5的最小公倍数90的倍数得结果．【详解】解：（1）49不是“魅力数”．理由如下：∵49＝14×9+1，∴49被9除余1，不余9，∴根据“魅力数”的定义知，49不是“魅力数”；（9）先求被9除余1，同时能被9，5都整除的数，最小为8．再求被9除余9．同时能被9，5都整除的数，最小为90．最后求被5除余9，同时能被9，9都整除的数，最小为11．∴数8+90+11＝59是“魅力数”，∵9、9、5的最小公倍数为90，∴59﹣90＝99也是“魅力数”，59+90＝89也是“魅力数”，故不大于100的所有的“魅力数”有99、59、89三个数．【点睛】本题考查了数学文化问题，读懂题意，明确定义是解题的关键．21．（2）①m＝1；②﹣2020；（1）该函数的最小值为﹣2；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是4；（4）当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤1．【解析】【分析】（2）①把x＝1代入y＝|x|﹣2，即可求出m；②把y＝2018代入y＝|x|﹣2，即可求出n；（1）画出该函数的图象即可求解；（4）在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝12x﹣12与函数y＝|x|﹣2的图象，根据图象即可求出y1≥y时x的取值范围．【详解】（2）①把x＝1代入y＝|x|﹣2，得m＝1；②把y＝2018代入y＝|x|﹣2，得2018＝|x|﹣2，解得x＝﹣2020或2020，∵A（n，2018），B（2020，2018）为该函数图象上不同的两点，∴n＝﹣2020；（1）该函数的图象如图，由图可得，该函数的最小值为﹣2；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是12×4×2＝4；（4）在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝12x﹣12与函数y＝|x|﹣2的图象，由图形可知，当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤1．故答案为：（2）①m＝1；②﹣2020；（1）该函数的最小值为﹣2；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是4；（4）当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤1．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征．正确画出函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键．22．①32；②4.5.【解析】【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果.（2）本题涉及三次根式、二次根式化简、平方3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．根据实数运算法则即可得到结果.【详解】3-2323232+12382(2)-14（-1）1=2+2-0.5+1=4.5.【点睛】（1）本题考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.（2）本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握三次根式、二次根式、平方等考点的运算．23．（1）m=2；2l 的解析式为：32y x =；（2）8；（3）k 的值为12-或32或1 【解析】【分析】（1）将点C 坐标代入142y x =-+即可求出m 的值，利用待定系数法即可求出l 2的解析式；（2）根据一次函数142y x =-+，可求出A （8,0），B （0,4），结合点C 的坐标，利用三角形面积的计算公式即可求出AOC BOC S S -的值；（3）若1l ，2l ，3l 不能围成三角形，则有三种情况，①当l 1∥l 3时；②当l 2∥l 3时；③当l 3过点C 时，根据得出k 的值即可．【详解】解：（1）将点()3C m ，代入142y x =-+得1342m =-+，解得m=2， ∴C （2,3）设l 2的解析式为y=nx ，将点C 代入得：3=2n ， ∴32n =， ∴2l 的解析式为：32y x =；（2）如图，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，作CF ⊥x 轴于点F ，∵C （2,3）∴CE=2，CF=3，∵一次函数142y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点， ∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=8，∴A （8,0），B （0,4），∴OA=8，OB=4， ∴1111834282222AOC BOC OA CF OB CE S S =⋅-⋅=⨯-⨯-⨯⨯=（3）①当l 1∥l 3时，1l ，2l ，3l 不能围成三角形，此时k=12-； ②当l 2∥l 3时，1l ，2l ，3l 不能围成三角形，此时k=32； ③当l 3过点C 时，将点C 代入1y kx ＝+中得：321k =+，解得k=1，综上所述，k 的值为12-或32或1．【点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．24． (1) 1353；（2）y ＝-300900(03)300900(3 3.5)x x x x +≤≤⎧⎨-≤⎩. 【解析】【分析】（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：2+153=1353（千米）；（2）分两种情况：当3≤x≤1时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，把（3，2），（1，3）代入得到方程组，即可解答；根据确定高速列出的速度为133（千米/小时），从而确定点A 的坐标为（1．5，153），当1＜x≤1．5时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为：y=k 1x+b 1，把（1，3），（1．5，153）代入得到方程组，即可解答．【详解】解：（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：2+153=1353（千米），故答案为2．（2）当3≤x≤1时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，把（3，2），（1，3）代入得：90030b k b =⎧⎨+=⎩，解得：k 300b 900=-⎧⎨=⎩， ∴y=﹣133x+2，高速列出的速度为：2÷1=133（千米/小时），153÷133=3．5（小时），1+3．5=1．5（小时）如图2，点A 的坐标为（1．5，153）当1＜x≤1．5时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为：y=k 1x+b 1，把（1，3），（1．5，153）代入得：1111303.5150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：11300900k b =⎧⎨=-⎩，∴y=133x ﹣2， ∴300900(03)300900(3 3.5)x x y x x -+⎧=⎨-<⎩．考点：一次函数的应用．25．（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．根据全等三角形的性质得到AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，根据三角形的内角和得到∠MGA+∠GAE=180°，根据正方形的性质得到AG=AB ，AE=AC ，∠BAG=∠CAE=90°，根据全等三角形的性质得到AM=BC ，等量代换即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠M=∠EAO ，∠M=∠ACB ，等量代换得到∠EAO=∠ACB ，求得∠AHC=90°，根据垂直的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．∵O 为EG 的中点， ∴OG=OE ，在△AOE与△MOG中，AO OMAOE MOGOE OG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE≌△MOG（SAS），∴AE=MG，∠MGO=∠AEO，∴∠MGA+∠GAE=180°，∵四边形ABFG和四边形ACDE是正方形，∴AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，∴AC=GM，∠GAE+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠AGM，在△AGM与△ABC中，AG ABAGM BACGM AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGM≌△ABC（SAS），∴AM=BC，∵AM=2AO，∴12AO BC=；（2）由（1）知，△AOE≌△MOG，△AGM≌△ABC，∴∠M=∠EAO，∠M=∠ACB，∴∠EAO=∠ACB，∵∠CAE=90°，∴∠OAE=∠CAH=90°，∴∠ACB+∠CAH=90°，∴∠AHC=90°，∴AH⊥BC．即AO BC⊥.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在0∽35（微克/立方米）的空气质量等级为优．将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表，这组PM2.5数据的中位数是（）天数 3 1 1 1 1 PM2.51820212930A ．21微克/立方米B ．20微克/立方米C ．19微克/立方米D ．18微克/立方米2．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+1的是( ) A ．x 2−1 B ．x 2−2x+1 C ．x(x−2)+(x−2) D ．x 2+2x+13．在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，若3AB =，且点E 与点B 不重合，则AE 的长可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．64．在平面直角坐标系xOy 中，函数23y x =--的图象经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫从点A 开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是( )A ．点FB ．点EC ．点AD ．点C6．如图，将△ABC 绕点B 逆时针旋转α，得到△EBD ，若点A 恰好在ED 的延长线上，则∠CAD 的度数为（）A ．90°﹣αB ．αC ．180°﹣αD ．2α7．一个正多边形的每一个外角的度数都是60°，则这个多边形的边数是：（）A ．8B ．7C ．6D ．58．河堤横断面如图所示，斜坡AB 的坡度=1：3，BC=5米，则AC 的长是（）米．A ．53B ．5C ．15D ．1039．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD =1500m ，小敏行走的路线为B →A →G →E ，小聪行走的路线为B →A →D →E →F ，若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为（）m ．A ．3100B ．4600C ．3000D ．360010．已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，那么m 的取值范围为（） A ．m ＞－6且m≠2 B ．m ＜6C ．m ＞－6且m≠－4D ．m ＜6且m≠－2二、填空题11．抛物线2y ax bx c =++与x 轴的公共点是()()4,0,6,0-，则这条抛物线的对称轴是__________． 12．如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为CD 的中点，BD=6，则△DOE 的周长为 _________ ．13．如图，在▱ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，连接 EF ．若EF=3，则CD 的长为_____________．14．表①给出了直线l 1上部分（x ，y ）坐标值，表②给出了直线l 2上部分点（x ，y ）坐标值，那么直线l 1和直线l 2的交点坐标为_______.15．因式分解：x 2﹣9y 2= ． 16．已知2334b a b =-，则a b=________ 17．在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点123A A A 、、、 …在直线l 上，点123C C C 、、、 …在y 轴正半轴上，则点n B 的横坐标是__________________。

新人教版八年级数学下册《十六章二次根式 16.1 二次根式章前引言及二次根式》教案_27

16.1.1二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：a ≥0）的意义解答具体题目．过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重难点1．重点：理解二次根式的概念；2．难点：确定二次根式中字母的取值范围教法：讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。

2、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT 课件，展台。

学习过程一、展示学习目标：1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性二．设置问题情境，引入新课：1求下列各数的平方根和算术平方根（1）9（2）0.64（3）0总结：a （a ≥0）的平方根是a （a ≥02．解决问题（1）面积为 S 的正方形边长为________。

（2）．面积为 b －5 的正方形边长为________。

（3）．圆桌的面积为 S ，则半径为________（4）．若圆桌的面积为 S ＋3，则半径为________（5）关系式 h = 5t 2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表示 t ，则 t = ________。

总结以上式子有何特征二次根式的概念：a像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。

因此，一般地，我们把形如（a≥0三．探究新课1．指出二次根式有意义的条件被开方数大于等于零。

提问：二次根式在什么情况下无意义学生讨论后得出：被开方数小于零2．指出下列哪些是二次根式？学生自主完成小练习：辨别下列式子，哪些是二次根式？三．练习四．小结1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性五．作业课本第5页第一题。

新人教版八年级数学下册导学案(全册136页)

第十六章二次根式16．1 《二次根式(1)》学案课型: 新授课上课时间：课时： 1学习内容：二次根式的概念及其运用学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习（一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．（3，3）．问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．（46.）（二）学生学习课本知识（三）、探索新知 1、知识：如3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做二次根式，“”称为．例如：形如、、是二次根式。

形如、、不是二次根式。

2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）．解：二次根式有：；不是二次根式的有：。

例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？解：由得：。

当时，31x -在实数范围内有意义．（3）注意：1、形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“a （a ≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

16.1二次根式性质(教案)

4.培养学生的数学建模能力：通过解决实际生活中的问题，让学生学会运用二次根式建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
5.增强学生的数学应用意识：将二次根式知识与实际应用相结合，使学生体会数学在生活中的广泛应用和价值。
本节课将围绕这些核心素养目标展开教学，帮助学生全面提升数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-针对乘除法则的难点，设计对比练习题，让学生区分√a * √b和√(a * b)的区别，以及何时使用除法法则。
-对于化简复杂二次根式，举例说明如何将√(75)化简为5√3，强调寻找平方因子的方法。
-在实际问题中，如计算正方形的对角线长度，指导学生如何将问题转化为二次根式的计算，突破建模难点。
四、教学流程
本节课的教学重点主要包括以下几点：
（1）理解二次根式的定义：学生需掌握二次根式的概念，即形如√a（a≥0）的数。
（2）掌握二次根式的性质：包括非负性、平方等于被开方数、乘法法则和除法法则。
（3）熟练运用二次根式的化简与运算：学生需要学会将二次根式进行化简，并进行加减乘除运算。
（4）实际应用：学生需要学会将二次根式应用于解决实际问题。
16.1二次根式性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十六章第一节，主要围绕“16.1二次根式性质”展开。内容包括：
1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的数称为二次根式。
2.二次根式的性质：
（1）二次根式具有非负性，即√a≥0。
（2）二次根式的平方等于被开方数，即（√a）^2 = a。
（3）二次根式的乘法法则：√a * √b = √(a * b)。
举例：
-重点强调二次根式乘法法则：√a * √b = √(a * b)，通过具体例子解释说明。

16.1(2)二次根式学案

16.1(2)二次根式一、课前练习1.(1)二次根式x 21-中的字母x 的取值范围是__________;(2)二次根式321+x 中字母x 的取值范围是___________. 2.计算: (1)2)32(=____; (2)(9)2 _____; (3)2)525(-=____; (4)(-9)2=_____; (5)16=_______; (6)2)5(-=______.3.求下列二次根式的值: (1)=-2)14.3(π ; (2)=-2)23( .4.数a,b 在数轴上的位置如图,则(1)=2a ; (2)=-2)(b a .二、阅读理解1.阅读教材P4～5.2.二次根式的性质:性质3 ab = ( ).性质4 ba = ( ). 18与23相等吗?为什么? 2623与相等吗?为什么?在二次根式的运算或变换中,上述两个性质可以据此从左到右或从右到左进行转化.3.把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为______________________.4.阅读中遇到的问题有三、新课探索例题1 化简下列各题: (1)24; (2)48; (3)54; (4)72.例题2 化简85 和274.例题3 化简二次根式:)0(18)2(;12)1(23≥x x a .例题4 化简二次根式: )0(9)3(;25)2(;3)1(2〉b a b x a .四、课内练习1.下列等式一定成立吗?如果成立,需要添加什么条件? (1)mn =m ·n ; (2)n m =nm ; (3)mn =m -·n - .2.化简: ._______272)9(_______;125)8(_______;34)7(_______;108)6(_______;75)5(_______;50)4(_______;32)3(_______;21.1)2(_______;49)1(========= 3.化简下列二次根式: (1)227x (x ≥0); (2)22421mn (n ≥0);(3)4a ; (4)6312xy .4.下面各式成立吗?.94)9()4()1(⨯=-⨯- ( ) .2144116)2(= ( ) .12131213)3(2222-=- ( ).)4(22b a b a +=+ ( )试一试:化简242550m m +.16.1(2)二次根式一、填空题1、当x ________________时，x x x x -⋅+=-+21)2)(1（ 2、当x ________________时，1212--=--x x x x 3、直接写出答案：=258____________；=x 121____________；=1252____________； =x 43_________；=5xy _________；=944_________；=452p __________； =3258x _________；cab 243（b ≥0，c ＞0）=_________；3248b a （a ＞0）=_________；4、当a ＜0时，化简：aa 3-=_____________ 5、当a ＞0时，化简：32b a -- =______________6、若=+-=+x x x x x 则,3323____________二、选择题1、若b a ab ∙-=，则a 、b 的取值范围是（）（A ）a ≥0，b ≥0 （B ））a ≥0，b ≤0 （C ）a ≤0， b ≤0 （D ）a ≤0，b ≥02、当x ＜0时，把x x --根号外的因式变形后移入根号内，它等于（）（A ）3x （B ））3x -- （C ）3x - （D ）3x - 三、简答题1、化简：x x x x 116412⋅- 2、化简：y x 3150 （y ＜0）3、化简：2510)2()3(222+-+-++x x x x （1-＜x ＜3）。

16.1二次根式概念性质教案2022-2023学年人教版数学八年级下册

16.1 二次根式概念性质教案教学目标1.了解二次根式的概念和性质。

2.掌握二次根式的化简与计算方法。

3.能够应用二次根式解决相关问题。

4.培养学生的逻辑思维和推理能力。

教学准备1.PowerPoint课件。

2.教材《数学》八年级下册。

3.白板和黑板笔。

4.学生练习册。

教学过程Step 1 引入教学在黑板上写下下面的问题：“对于一个正数a，当什么样的非负数x满足x^2=a？”请学生思考一分钟后，师生进行讨论。

Step 2 二次根式的概念1.引导学生回顾正整数的平方根的概念，即如果b是一个正整数，并且满足b^2=a，那么可以说b是a的一个平方根。

2.提出二次根式的概念：对于一个正数a，如果x满足x^2=a，那么可以说x 是a的一个二次根式。

3.通过几个具体的例子，引导学生理解二次根式的概念。

Step 3 二次根式的性质1.介绍二次根式的性质：–性质1：非负数的平方根是非负数。

–性质2：二次根式的平方等于原数。

–性质3：二次根式可以进行加减运算。

–性质4：二次根式可以进行乘除运算。

2.通过实例演示和练习，让学生掌握二次根式的性质。

Step 4 二次根式的化简与计算1.引导学生回忆整数的加减乘除法则，介绍二次根式的化简与计算方法。

2.通过几个具体的例子，引导学生掌握二次根式的化简与计算方法。

Step 5 应用解决问题1.设计一些实际问题，让学生应用二次根式解决问题，并进行讨论和分享。

2.引导学生总结应用二次根式解决问题的方法和技巧。

总结与拓展1.对本节课的内容进行总结，并强调学生掌握的重点和难点。

2.给学生布置一些相关的练习题，以便巩固所学的知识，并提高运用能力。

3.可以推荐一些优质的学习资源，供有兴趣的学生进一步拓展学习。

以上是16.1二次根式概念性质教案的大致内容。

希望能够帮助到您！。

16.1 二次根式导学案

16.1 二次根式导学案(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是。

（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x2、计算：(1) 2)4( (2) 2)5.0( （3）（4）2)31(根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是。

3、当a 为正数时指a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。

（三）合作探究2)3(________)(2=a 41、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x③2、（1有意义，则a 的值为___________．（2在实数范围内有意义，则x为（）。

A.正数B.负数C.非负数D.非正数（四）拓展延伸 1、(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.(3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案(新版)新人教版

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案（新
版）新人教版
16、1二次根式学习目标
1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题、重点形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念难点利用
“（a≥0）”解决具体问题、预习引导活动
4、思考下列问题：①的运算结果是3，是不是二次根式？3是不是？②定义中为什么要加≥0？若a<0，表示什么？有无意义？③当 a=0时，表示什么？结果是什么？当 a>0时，表示什么？可不可能为负数？(≥0)是什么样的数呢？
问题导学课本思考
1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
，，课本思考2：当x是怎样的实数时，，有意义？
1、若，则x和m的取值范围是x_____；m______、
2、已知，求的值各是多少？活动
5、完成课本探究1活动
6、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变、练习：课本例2活动
7、完成课本探究2活动
8、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数、练习：课本例3补充练习：
1、化简：，；
2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，则式子-与式子有什么关系？当堂检测作业P5习题
1、2
3、4板书设计知识与方法的建构教师学生反思小结。

人教版数学八年级下册16.1二次根式(教案)

四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算非整数的平方根的情况？”（例如，计算一个边长为$\sqrt{5}$的正方形的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
4.培养学生的数学抽象素养：让学生从具体的二次根式实例中抽象出一般规律，提升对数学概念的理解和抽象思维能力。
5.激发学生的数学探究精神：鼓励学生在二次根式学习中积极思考、探索，培养他们的创新意识和探究精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的定义：理解二次根式的概念，明确根号下仅含非负实数的表达式。
-二次根式的性质：掌握二次根式的乘除、平方等运算性质，如$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
-二次根式的化简：学会通过因式分解、提取公因数等方法化简二次根式，如$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$。
-二次根式的乘除法：熟练运用性质进行二次根式的乘除运算，如$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）。
1.培养学生的逻辑推理能力：通过二次根式的性质与运算法则的学习，使学生能够运用逻辑推理分析问题，提高解题的条理性和逻辑性。
2.提升学生的数学运算能力：让学生掌握二次根式的化简、乘除与加减运算，培养他们在数学运算中的准确性和熟练度。
3.增强学生的数学建模意识：通过解决实际问题，使学生能够运用二次根式知识构建数学模型，提高解决实际问题的能力。

新课标人教版第十六章二次根式导学案

2.熟练进行二次根式的乘除法运算；
3.理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算；
4.了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式；
【重点难点】
二次根式的计算和化简；二次根式的混合运算.
【知识回顾】
1.二次根式的概念：形如
的式子叫做二次根式。
2.二次根式的性质：
⑴ a 0(a≥0)
1.二次根式乘法运算的法则：
2.化简：
⑴ 200 =
3.计算：
⑵ x3 x2 y =
1
⑴ × 24 =
2
⑵ a3 · ab =
【自主学习】 1.计算并用“>”、“<”或“=”填空.
⑴9 16
9
⑵ 25
16
36
25
⑶ 49
36
64
【合作探究】
1.已知 9 x 9 x ，且 x 为偶数，求 x 1 x2 5x 4 的值．
2
m 3n 2 3m2
⑶· ·
3 mnn
⑵ 1 3 ×2 3 ×（- 1 10 ）
5
2
2
⑷
xy5 ×（- 3
x3y ）×3
x
y
2
y5
16.3 二次根式在加减（1）【学习目标】
1.理解和掌握二次根式加减的法则； 2.会利用二次根式在加减法则进行计算. 【重点难点】二次根式在加减法则；熟练进行二次根式在加减运算. 【旧知回顾】 1.最简二次根式：
⑴ 6 8 3
⑵ 4 6 3 2 2 2
⑶
5
6 3
5
⑷
2
5
3 2 5
3
⑸ 3 2 2 2
⑹ 2 5 2 2

沪科版数学八年级下册16.1二次根式教学设计

难点：如何引导学生从具体实例中抽象出二次根式的概念，以及如何激发学生的创新意识。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过生活中的实例，如勾股定理的应用、面积计算等，引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.分层次教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
此外，学生在解决实际问题时，可能会对二次根式的应用感到陌生，难以将理论知识与实际问题相结合。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，通过生动的实例和丰富的教学活动，帮助学生克服恐惧心理，提高解决问题的能力。
同时，八年级学生的思维逐渐由具体形象思维向抽象逻辑思维转变，教师应抓住这一特点，引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和创新意识。在这个过程中，教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，使他们在探索中获得成就感，从而提高学习兴趣和自信心。
4.利用数形结合的方法，帮助学生理解二次根式的性质和运算法则，培养学生的直观想象能力。
5.引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情，使学生在二次根式的学习中感受到数学的魅力。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极的态度，增强克服困难的信心。
2.应用题：结合实际情境，设计一些需要运用二次根式解决问题的题目。这些题目旨在培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力，增强学生对数学实用性的认识。
例题：小华家的花园是一个矩形，长比宽多2米，如果花园的面积为48平方米，求花园的长和宽。
3.提高题：设置一些具有一定难度的题目，要求学生运用所学的二次根式性质和运算法则，进行混合运算。这类题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和解题技巧。

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中八年级下册数学学案

二次根式1．二次根式的概念(1)一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④4是二次根式，虽然4＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.分析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，a＋10，a2－1不是二次根式．解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．【例1－2】x是怎样的实数时，式子x－3在实数X围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子x－3在实数X围内有意义．2．二次根式的性质(1)a(a≥0)是一个非．负数．．a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________．解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，ba b＝(－3)2＝9.答案：9(2)(a)2＝a(a≥0)由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即(a)2＝a(a≥0)．【例2－2】化简：①(23)2＝__________；②(x－3)2(x≥3)＝__________.解析：①直接利用公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(23)2＝23；②因为x ≥3，所以x －3≥0，所以由公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(x －3)2＝x －3(x ≥3)．答案：①23②x －3(3)a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).由算术平方根的定义，可得a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).a 2＝a (a ≥0)表示非负数a 的平方的算术平方根等于a .【例2－3】计算：(1)(－1.5)2；(2)(a －3)2(a ＜3)；(3)(2x －3)2(x ＜32)．a (a ≥0).(1)(a )2＝a 的前提条件是a ≥0；而a 2＝|a |中的a 为一切实数．(2)a (a ≥0)，|a |，a 2是三个重要的非负数，即a (a ≥0)≥0，|a |≥0，a 2≥0，在解题时应用较多．(3)a 2＝(a )2成立的条件是a ≥0，否则不成立．(4)(a )2＝a (a ≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．(5)在利用a 2进行化简时，要先得出|a |，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值X 围由二次根式的意义可知，a 的取值X 围是：a 当a ≥0时，a 有意义，是二次根式；当a ＜0时，a 无意义，不是二次根式．(1)确定形如a 的式子中的被开方数中的字母取值X 围时，可根据式子a 有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a (a ≥0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式．(1)a 2＋b 2；(2)－3x ；(3)12x ；(4)－32－x.分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．解：(1)因为a ，b 为任意实数时，都有a 2＋b 2≥0，所以当a ，b 为任意实数时，a 2＋b 2是二次根式．(2)－3x ≥0，x ≤0，即当x ≤0时，－3x 是二次根式．(3)12x≥0，且x ≠0，所以x ＞0. 当x ＞0时，12x是二次根式． (4)－32－x≥0，故x －2≥0且x －2≠0，所以x ＞2. 当x ＞2时，－32－x是二次根式． 4．二次根式非负性的应用(1)在实数X 围内，我们知道式子a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题．巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：①|a |≥0；②a 2≥0；③a ≥0(a ≥0)．【例4－1】已知x ，y 都是实数，且满足y ＝5－x ＋x －5＋3，求x ＋y 的值．分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x 的不等式组．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －5≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥5，∴x ＝5. 当x ＝5时，y ＝5－5＋5－5＋3＝3.∴x ＋y ＝5＋3＝8.两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义．【例4－2】已知x ，y 为实数，且y ＝12＋8x －1＋1－8x ，则x ∶y ＝__________.解析：因为y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数．实际上，若a 和－a 都有意义，则a ⎩⎪⎨⎪⎧8x －1≥0，1－8x ≥0.解得x ＝18，于是y ＝12＋0＋0＝12.故x ∶y ＝1∶4.答案：1∶4,5．式子(a )2的意义和运用二次根式的一个性质是：(a )2＝a (a ≥0)．因为2＝(2)2，35＝(35)2，所以上面的性质又可以写成：a ＝(a )2(a ≥0)．可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．二次根式中的23表示2×3，这与带分数212表示2＋12是不一样的，因此，以后遇到32×3应写成323，而不能写成1123.【例5－1】计算：(1)(23)2；(2)(－212)2；(3)(－5×3)2. 解：(1)(23)2＝22×(3)2＝12.(2)(－212)2＝(－2)2×(12)2＝2.(3)(－5×3)2＝(－1)2×(5×3)2＝15.【例5－2】把多项式n 5－6n 3＋9n 在实数X 围内分解因式．分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n 5－6n 3＋9n 提取公因式，得n (n 4－6n2＋9)，再利用完全平方公式分解，得n (n 2－3)2，要求在实数X 围内分解，所以可以将3写成(3)2，再运用平方差公式进行因式分解．解：n 5－6n 3＋9n ＝n (n 4－6n 2＋9)＝n (n 2－3)2＝n (n ＋3)2(n －3)2.6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a |≥0，b ≥0(b ≥0)，c 2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：|a |＋b ＝0⇒a ＝0，b ＝0；|a |＋c 2＝0⇒a ＝0，c ＝0； b ＋c 2＝0⇒b ＝0，c ＝0；|a |＋b ＋c 2＝0⇒a ＝0， b ＝0，c ＝0.【例6－1】若|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，则(a ＋b )2 011＝______. 解析：|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数， ∴|a －b ＋1|＋a ＋2b ＋4＝0. 而|a －b ＋1|≥0，a ＋2b ＋4≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋1＝0，a ＋2b ＋4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴(a ＋b )2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011.答案：－32 011【例6－2】若a 2＋b －2＝4a －4，求ab 的值．分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a －2)2＋b －2＝0，由二次根式的性质可知b －2≥0，由完全平方数的意义可知(a －2)2≥0，而它们的和为零，则a －2＝0，b －2＝0，从而可求出a ，b 的值．解：由a 2＋b －2＝4a －4，得a 2－4a ＋4＋b －2＝0，即(a －2)2＋b －2＝0.∵(a －2)2≥0，b －2≥0且(a －2)2＋b －2＝0， ∴a －2＝0，b －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. ∴ab ＝2，即ab 的值为2.7．二次根式(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |的区别、运用(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．(1)正确理解(a )2与a 2的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道a ≥0(a ≥0)，即a 是一个非负数，a 是非负数a 的算术平方根，那么(a )2就是非负数a 的算术平方根的平方，但只有当a ≥0时，a 才能有意义．对于a 2，则表示a 2的算术平方根，由于a 2中的被开方数是一个完全平方式，所以a 无论取什么值，a 2总是非负数，即a 2总是有意义的．(2)(a )2与a 2的区别和联系区别：①表示的意义不同．(a )2表示非负实数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．(a )2是先求非负实数a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a 2则是先某某数a 的平方，再求a 2的算术平方根．③取值X 围不同．在(a )2中，a 只能取非负实数，即a ≥0；而在a 2中，a 可以取一切实数．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤结果不同．(a )2＝a (a ≥0)，而a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＞0)，0(a ＝0)，－a (a ＜0).联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算． ②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2.如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________【例7－1】已知x ＜2，则化简x 2－4x ＋4的结果是( )． A ．x －2B ．x ＋2C ．－x －2D ．2－x解析：x 2－4x ＋4＝(x －2)2＝(2－x )2，因为x ＜2,2－x ＞0，所以x 2－4x ＋4＝2－x .答案：D【例7－2】化简1－6x ＋9x 2－(2x －1)2得( )． A ．－5x B ．2－5x C ．x D ．－x【例7－3】若m 满足关系式3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝x －199＋y ·199－x －y ，试确定m 的值．分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．解：由算术平方根的被开方数的非负性，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －199＋y ≥0，199－x －y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥199，x ＋y ≤199.∴x ＋y ＝199. ∴x －199＋y ·199－x －y ＝0. ∴3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝0.再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y －2－m ＝0，2x ＋3y －m ＝0.①②由①－②，得x ＋2y ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝199，x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝396，y ＝－197. ∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×(－197)＝201.点拨：(1)运用二次根式的定义得出：x ≥a 且x ≤a ，故有x ＝a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝0推出a ＝b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之。

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第16章二次根式
第1课时 16.1 二次根式导学案（1）
【学习目标】1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
【学习重点】理解二次根式的概念
【学习难点】利用a（a≥0）的意义解答具体题目
一、学前准备
1、什么叫做平方根?如何表示?
2、什么叫做一个数的算术平方根?如何表示?
3、填空：
(1)面积为5的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为。

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为140m2，则它的宽为m。

(3)圆形的面积为2π,则半径为_______.
(4)h=6t2,则t=_______
二、探索思考
1、思考：你认为所得的各式有哪些共同点？
2、二次根式的概念：把形如•的式子叫做二次根式，
“”称为；a叫做 3、思考2：二次根式的概念包含了哪些内容？
练习一：下列式子中,是二次根式的有 ___________________(填序号)
4、思考3：当x 是多少时，31
x-在实数范围内有意义？
解：由得：∴当时，31
x-在实数范围内有意义．
练习二：当x是怎样的实数时,下列式子在实数范围内有意义?
三、典例分析
例1.例1.当x是怎样的实数时,下列式子在实数范围内有意义?
例2、已知a.b为实数且满足
，你能求出a+b 的值吗？
练习二、已知
四、当堂反馈
1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2、3
3、
1
x
、x（x>0）、0、42、-2、1
x y
+
、x y
+（x≥0，y•≥0）．二次根式有：；不是二次根式的有：。

2．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长
应是
3、当x是多少时，23
x++
1
1
x+
在实数范围内有意义？
4、(1)已知y=2x
-+2
x-+5，求x
y
的值．
五、学习反思
3
25
(7)
,
a
，(6)
y
(x,
xy
(5)
,
0)
(m
m
-
(4)
,
12
(3)
6,
(2)
,
32
(1)1
+
≤
-异号）
1
2
1
1
2+
-
+
-
=b
b
a
的值
求
y
x
x
x
y,5
3
3+
-
+
-
=
3
2)6(
)5(
5
)4(
)3(
3
2
)2(
1
)1(x
x
x
x
x
x-
-
+
-
1
)4(
3
1
)3(
3
1
)2(
2
3
8
)1(2+
-
-
+
-
-
x
x
x
x
x
x
(2)已知a、b为实数，且5
a-+2102a
-=b+4，
求a、b的值．
第2、3课时 16.1 二次根式导学案（2）
【学习目标】 1、理解a （a≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a≥0），并利用它进行计算和化简． 2、通过具体数据的解答，探究2a =a （a≥0），并利用这个结论解决具体问题．【学习重点】（a ）2=a （a≥0）,2a =a （a≥0）的理解与运用【学习难点】 a a =2
的理解与运用
一、学前准备
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，a 叫？当a<0时，a 有意义吗？为什么？
二、探索思考
（一）a （a≥0）是一个数。

（正数、负数、零）因为。

（二）探索1：根据算术平方根的意义填空：
（4）2=_______；（2）2=_______；（3
1）2=______；（0）2=_______；
结论：（
a ）2
= （a≥0）
练习一、1计算：①（
32）2 = ②（35）2 = ③（56
）2 = ④（72）2 ＝
2．据)0()(2
≥=a a a ，把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5= （2) 3.4= （3） = （4) x （x ≥0）=
(三）探索2：填空
22=___；
20.01= ； 21()10
= ；
22()3
=___；
20= ；
结论：即=2
a
练习二：1、化简 2、计算
（四）思考三、能力提升
例1.已知变式1.已知
例2、化简下列各式:
例4、（1）已知n -15是整数，求自然数n 的所有可能的值。

（2）已知n 12是整数，求正整数n 的最小值。

四、当堂反馈
1、计算下列各式的值：（
18）2= （
23）2= （94）2= （478
）2 = 22(35)(53)-=
2、已知x ＜y ，化简2)(y x x y ---为_______.
3、若a a =2，则a _________；若a a -=2，则a ________.
4、若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．
5、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值
6、已知实数a 满足2(2008)2009a a a -+-=，求22008a -的值是多少？
五、学习反思
.,08)2(2的值求ab b a =-+-.ab ,02b 4a 4a 2
的值求=-++-1
6
=-2)2(=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-2
32=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101=-2)01.0()0(2≥=a a a )
0(2<-=a a a 2225)4()5()3()5()2(16)1(----?
)(2
2有区别吗与a a ()()()()()2
22
210.4.371.23.0.1---⎪⎭⎫ ⎝⎛-π)
0,0()4()8(6416)3()5()5()2()32()23)(1(222222
2<<<+-+-+b a b a m m m 2
2)
()(,,,3c a b c b a ABC c b a +----化简的三边长为△、已知例
【学习目标】
【学习重点】
【学习难点】
一、学前准备
二、探索思考
三、典例分析
四、当堂反馈
五、学习反思
x-=0，求x y的值．
3．已知1
-++3
x y
若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+2
x++21025
(3)
-+
x x。