浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧
浅谈用放缩法证明不等式
目录引言 (2)1.放缩法的常用技巧……………………………………………………………………（3）1.1增减放缩法………………………………………………………………………（3）1.2公式放缩法………………………………………………………………………（5）1.3利用函数的性质…………………………………………………………………（6）1.4综合法……………………………………………………………………………（9）1.5数列不等式的证明………………………………………………………………（11）2.放缩法要放缩得恰到好处……………………………………………………………（12）2.1调整放缩量的大小………………………………………………………………（12）2.2限制放缩的项和次数……………………………………………………………（13）2.3将不等式的一边分组进行放缩…………………………………………………（14）总结 (16)致谢 (17)参考文献 (18)浅谈用放缩法证明不等式学生：指导老师：淮南师范学院数学与计算科学系摘要：本文介绍了放缩法的基本概念, 在此基础上总结出增减放缩法、公式放缩法、利用函数的性质放缩和综合法等用放缩法证明不等式的常用技巧,以及数列不等式证明中放缩法的应用,并进而从三个方面阐述使用放缩法过程中如何使放缩适当的问题.这对证明不等式很有帮助。
关键词：不等式;放缩法;技巧;适当Proving the Inequity by Amplification and MinificationStudent：Guide teacher：Huainan Normal University Department of MathematicsAbstract:This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification method. And on the basis of this, it sums up some commonly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence inequality. In addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three aspects. They do much help to demonstrating inequality.Key words:inequality; amplification and minification; skill; appropriate引言在证明不等式的过程中,我们的基本解题思路就是将不等式的一边通过若干次适当的恒等变形或不等变形(放大或缩小),根据等式的传递性①和不等式的传递性②逐步转化出另外一边.与等式的证明相比较,不等式的证明最大特色就是在变形过程中它有“不等的”变形,即对原式进行了“放大”或“缩小”.而这种对不等式进行不等变形,从而使不等式按同一方向变换,达到证明目的的特有技巧我们称之为放缩法.因其技巧性强,方法灵活多变,同学们一直较难掌握.想要很好的在不等式证明中运用放缩法,应当注意以下两点：①掌握放缩法的一些常用策略和技巧；②放缩法要放缩得恰到好处,才能达到证题的目的.本文着重就这两点举例加以说明.1 放缩法的常用技巧1.1 增减放缩法1.1.1 增加（减去）不等式中的一些正（负）项在不等式的证明中常常用增加（减去）一些正(负)项,从而使不等式一边的各项之和变大(小),从而达到证明的目的.例1 设c b a ,,都是正数,1=++ca bc ab ,求证：3≥++c b a . 证明：()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++()()()[]()ca bc ab a c c b b a +++-+-+-=321222 ()33=++≥ca bc ab,3≥++∴c b a 当且仅当33===c b a 时取等号.1.1.2 增大（减小）不等式一边的所有项将不等式一边的各项都增大或减小,从而达到放缩的目的.例2[1](02年全国卷理科第21题) 设数列{}n a 满足121+-=+n nn na a a ,且() ,3,2,12=+≥n n a n ,求证：2111111111321≤++++++++n a a a a 证明：由121+-=+n nn na a a ,得：()11+-=+n a a a n n n , 2≥-n a n ,121+≥∴+n n a a ,()01211>+≥+∴+n n a a ,nn a a +⋅≤+∴+1121111,于是有：12112111a a +⋅≤+, 12231121112111a a a +⋅≤+⋅≤+, 13341121112111a a a +⋅≤+⋅≤+,……,1111121112111a a a n n n +⋅≤+⋅≤+--, 21311211211211112121211111111111112321=+⋅≤+⋅--=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≤++++++++∴-a a a a a a nn n1.1.3 增大（减小）不等式一边的部分项在不等式的证明中,有时候增大或减小不等式一边的所有项会造成放缩过度,因此,在考虑这些问题时要根据题目的具体情况进行部分项的放缩.例3 求证()2,2214131212222≥∈-≥++++*n N n n n n. 证明：()11111112+-=+>⋅=n n n n n n n, ()nn n 11111,,413131,312121222-->-->->∴. 把以上（n-2）个不等式相加,得()n n n n 22121114131212222-=->-++++ ()n n nn n n n 22122111413121222222->+->+-++++∴故原不等式成立.1.1.4 增大（减小）分子或分母的值增大或减小不等式一边分数中分子或分母的值,从而达到放缩目的.例4 求证()()*24112125191N n n ∈<++++ . 证明：()()(),111141)1(41112112122≥⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-+<+k k k k k k k()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅<+++∴111312121141121251912n n n,4111141<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n即().41121251912<++++n1.2 公式放缩法即利用已有的大家熟悉的不等式来进行放缩,这里我们主要利用的是均值不等式1以及()b a R m b a ma ma b a <∈++<+,,,,,下面分别举例说明. 1.2.1 均值不等式例5 若,1,*>∈n N n 求证：()()().6121!2nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++< 证明：,2121222222nn n n+++<⋅⋅⋅ 而()()216121222++=+++n n n n故()()121612122++<⋅⋅⋅n n n n n即()()().6121!2nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++< 例6 已知:()13221+⨯++⨯+⨯=n n S n均值不等式：()n i R a n a a a a a a i nnn ,2,1,2121=∈+++≤+.求证:()()21212+<<+n S n n n . 证明:()()211++<+<⨯=n n n n n n n()13221+⨯++⨯+⨯=∴n n S n 2122523+++<n()()21212+<+=n n n 又()13221+⨯++⨯+⨯=n n S n ()2121+=+++>n n n1.2.2()b a R m b a ma m ab a <∈++<+,,,, 例7[4] 若正数c b a ,,满足,c b a >+求证：.111cc b b a a +>+++ 证明：;0,>-+∴>+c b a c b a()(),111111b b a a b a b b a a c b a c c b a c c c +++<+++++=-+++-++<+∴即原不等式成立.1.3 利用函数的性质主要指利用函数的单调性和有界性来进行放缩. 1.3.1 利用特殊函数的单调性这里的特殊函数主要指一些已知单调性的函数,如指数函数和对数函数等. 例8 求证：.4log 3log 32> 证明：我们先给出常规解法；,3lg 2lg 4lg 2lg 3lg 3lg 4lg 2lg 3lg 4log 3log 232⋅⋅-=-=-,3lg 29lg 28lg 24lg 2lg 4lg 2lg 2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⋅.4log 3log ,04log 3log 3232>∴>-∴另外,还有更简便的方法..4log 16log 16log 27log 3log 39882=>>=1.3.2 利用特殊函数的有界性这里的特殊函数主要指一些大家熟知有界性的函数,如0,1|cos |,1|sin |2≥≤≤x x x 等. 例9[5] 已知βα,为整数,并且,πβα≤+求证：.2sin2sin 1sin 1222βαβα+≥+证明： ,,0,0πβαβα≤+>>()(),1cos cos ,0sin ,0sin ≤-<+>>∴βαβαβα()()().2sin2cos 14cos cos 4sin sin 2sin 1sin 1222βαβαβαβαβαβα+=+-≥+--=≥+∴(当且仅当βα=时取等号).1.3.3 利用一般函数的性质利用一般函数的单调性和有界性进行放缩.例10 求证3≤a 时,.,521312111N n a n n n ∈->++++++ 证明：令()(),1312111N n n n n n f ∈++++++= ()()()()().04323132114313312311>+++=+-+++++=-+n n n n n n n n f n f()(),1n f n f >+∴()n f 是增函数,其最小值为()()(),12134131211,1min =++==f n f f故对一切自然数,()11213>≥n f ； 再由3≤a ,知,152≤-a 比较得：当3≤a 时,.,521312111N n a n n n ∈->++++++ 例11 设定义在R 上的函数()ax xx f +=2,求证：对任意的R y x ∈,,()()1||<-y f x f 的充要条件是.1>a证明：利用求导数、均值不等式或判别式法均可求得：()().21,21min max ax f ax f -==根据()(),21,21min max ax f ax f -==得()(),11a y f x f a≤-≤-即()(),1||max ay f x f =-故对,,R y x ∈()()()().1111||1||max >⇔<⇔<-⇔<-a ay f x f y f x f例12 已知n n n n T t t t a ],2,21[,121∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=是{}n a 的前n 项和 求证:nn n T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<222. 证明:令()⎪⎭⎫⎝⎛+=n n t t t f 121,则: ()⎪⎭⎫⎝⎛+='+-1112n n t t n t f 令()0='t f ,得1=t .当121<≤t 时, ()0<'t f ；当21≤<t 时, ()0>'t f ; 从而可知()t f 在]1,21[上递减,在]2,1[上递增,故：(){}()n n f f t f 2122,21max max +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=()n n t f 212+≤∴ 即 ,2,1,212=+≤n a n n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++≤nn n T 2121212222122 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=nn2112112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=nn211212 nn ⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅->2112212nn ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2221.4 综合法对于比较复杂的不等式证明,有时需要综合以上两种放缩手法进行不止一次的放缩.例13[7](1985年高考题)()()()()N n n n n n n ∈+<+++⋅+⋅<+,2113221212证明：()n n n n =≥+21()()212113221+=+++≥++⋅+⋅n n n n n ① 而()()211+<+n n n n()()2123222113221++++++<++⋅+⋅∴n n n n2122523212122523++++<+++=n n②()()().212211212+=⋅+++=n n n 在①中运用了增减放缩法,②运用了公式放缩法和增减放缩法.例14 数列{}n a 满足11=a 且()1211121≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n a n n a n n n(Ⅰ)用数学归纳法证明()22≥≥n a n ； (Ⅱ)已知不等式()x x <+1ln 对0>x 成立. 证明：(Ⅰ)用数学归纳法证明,略； (Ⅱ)用递推公式及(Ⅰ)的结论有()1,21112111221≥⎪⎭⎫⎝⎛+++≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n a n n a n n a n n n n n 两边取对数并利用已知不等式得：n n n a n n a ln 2111ln ln 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤+ nn n n a 211ln 2+++≤ ()1,211ln ln 21≥++≤-∴+n n n a a n n n上式从1到1-n 求和可得： ()12121212111321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-∴n n n n n a a 211211211113121211-⎪⎭⎫⎝⎛-+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=nnn221111<-+-=n n 证明过程中分别运用了增减放缩法和利用特殊函数性质的放缩法.1.5 数列不等式的证明在数列不等式的证明中,我们大量采用放缩法,在这里我们把它单独提出来说明.而这里的数列主要指“叠加”模型的数列不等式,可以利用放缩法对叠加的数列进行化简,从而达到证明的目的.这里“叠加”模型指的是形如：()n f a a a n ≤+++ 21,这里的≤也可以是≥、<或>.例15 已知N n n ∈≥,2,证明n n n113121222-≤+++ 证明：2111211212-=⋅<； 3121321312-=⋅<；……()nn n n n 1111112--=-<； 各式相加,得：n n n n11113121222-≤-<+++ 例16 若*,131211N n nS n ∈++++=求证：()n S n n 2112<<-+ 证明：()121221--=-+<+=k k k k k k k又()k k k k kk k -+=++>+=121221当n n k ,1,,3,2,1-= 时, ()()01211122-<<-()()12221232-<<-……()()2121112---<-<--n n n n n()()12112--<<-+n n nn n将上式相加,得到：()n S n n 2112<<-+.在数列不等式的放缩中,放缩的主要目的是使不等式裂项相消,也可以组成等差、等比数列,利用公式求和,或者运用根式有理化后的放缩,探索n 项相加的递推式,然后逐项相消.2 放缩法要放缩得恰到好处2.1 调整放缩量的大小放缩量的大小,即放缩的“精确度”,直接影响到是否能达到欲证明的目标.放大多少,缩小多少,把握“度”的火候,要因题适宜.例17 已知nS n 131211++++= ,求证：(Ⅰ)n S n ≥； (Ⅱ)()112-+>n S n ； (Ⅲ)n S n 2<. 证明：(Ⅰ) nS n 131211++++=n nn nnn =⋅=+++≥1111 ；(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,为此需调整放缩幅度, 12221++>=k k kk()n k k k ,,3,2,1,12 =-+=nS n 131211++++=∴()()()n n -+++-+->12232122().112-+=n(Ⅲ)改变放缩方向,故12221-+<=k k kk()n k k k ,,3,2,1,12 =--=nS n 131211++++=∴()()()12122012--++-+-<n n().2n =例18 求证(Ⅰ)2!1!21!11<+++n ；(Ⅱ) ().,47!1!21!11N n n ∈<+++证明：(Ⅰ)()()1222112211!1⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅--= n n n n ()3211≥=-n n∴左边132212121!211-+++++<n 1212--=n(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,将放缩间距调整小些,得到：()()12333112211!1⋅⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅--= n n n n ()43212≤⋅=-n n 则左边232321321321!31!211-⋅++⋅+⋅+++<n 473121472<⋅-=-n2.2 限制放缩的项和次数若对不等式中的每一项都进行放缩,很可能造成放得过大或缩得太小,若限制放缩的项,保留一些特定项不变,可以通过这样来调整放缩的“度”,逼近欲证明的目标,这与第一部分的1.1.3也是相通的.例19 求证().,31366112111*222N n n n n∈≥-<+++ 证明：这是一个常见问题的改编题,我们先给出一般算法：()n n n 1132121111121112222-+⨯+⨯+<+++ n12-= 由nn 1366112->-,显然放得过大,要减少放大的项； 先试试减少一项：()n n n 1143132121111211122222-+⨯+⨯++<+++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n 11141313121411 n147-= 由nn 13661147->-.再试试减少两项：()n n n 1143131211112111222222-+⨯+++<+++ n13661-=如此可得出,放缩时减少两项可以得到欲证目标. 2.3 将不等式的一边分组进行放缩把不等式的一边进行分组,将有关联的项放在一起进行放缩,不仅可以减少放缩的项,还可以有效地控制放缩的“度”,减少误差,并且更有方向性,尽量避免放缩的盲目性和随意性.例20 已知数列的通项公式是()nn n a 23--=(Ⅰ)求证：当k 为奇数时,113411++<+k k k a a ；(Ⅱ)求证：()*2121111N n a a a n ∈<++ . 证明：(Ⅰ) 略(Ⅱ) 当n 为偶数时,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-n n n a a a a a a a a a 1111111111432121 n34343434642++++< 2131121<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n 当n 为奇数时,因为011>+n a ,则：121211111111++++<++n n n a a a a a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+14321111111n n a a a a a a 164234343434+++++<n 21311211<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n 例21 求证1021413121510<++++<证明：由于122121213121=⋅=+<+；14414141414171615141=⋅=+++<+++；…… ……12212121211211212199299910999=⋅=+++<-++++； 由12110<,将上面的不等式两边相加,得到： 102141312110<++++又由于2121=；2124141414131=⋅=+>+；214818181818181716151=⋅=+++<+++；…… ……92101010109921212121221121+++<+++++ 21221910=⋅=； 将上面的不等式两边相加,得到：52141312110>++++ ； 于是,综上得到1021413121510<++++< .总 结综上可知,放缩法的技巧千变万化,灵活多样.而事实上,放缩法贯穿于整个不等式的证明过程中,不等式证明的每一步几乎都与“放”与“缩”密切相关.在证明的过程中要注意几点：(1)在放缩过程中不等号的方向必须一致；(2)运算时要注意总结规律,有些不等式用特定的放缩方法可以使计算简便,而有些不等式可以用很多种方法解决；(3)不等式的放缩法在不等式的证明中应用广泛,但是遇到具体题目时不能生搬硬套,必须根据实际情况考虑是用什么方法.另外,用放缩法证明不等式关键就是“度”的把握,如果放得过大或太小就会导致解题失败,而如果放缩不适当要学会调整,一些实用的技巧可以帮助我们把握放缩中的“度”,而具体怎样放缩才适度,需要我们在解题过程中去体会.放缩法有着高度的灵活性和极强的技巧性,放缩方法更是多种多样,要能恰到好处的想到具体解题中的放缩方法,需要积累一定的不等式知识,同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧.致谢感谢我的导师，她在我的论文写作过程中倾注了大量心血，从选题开始到开题报告，从写作提纲到一遍遍的指出稿中的具体问题，每一个工作她都做得那么的细致认真，她的严谨的态度和工作风深深的感动着每一个了解她的人。
用放缩法证明方法与技巧
二、常见的放缩法技巧 １、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩
b bm (m 0, a b) . 2、糖水不等式放缩： a am
3、添（减）项放缩 4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） 5、逐项放大或缩小：
三、常用公式
1 1 1 1． 2 k (k 1) k k (k 1)
0, a t a, a t a
n 1 n ， 2 n n n 1 ， n 1 1 n 1 ， n(n 1) n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 （3） 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 （4） 2( n 1 n ) 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1 a a a am , （5）若 a, b, m R ，则 b bm b b 1 1 1 1 1 1 1 2 n 1 （6） 1 2! 3! n! 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) （7） （因为 ） 22 32 n2 2 2 3 n 1 n n 2 (n 1)n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 （7） n 1 n 2 n 3 2n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 或 n 1 n 2 n 3 2n 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1 1 1 1 n n 等等。 （8） 1 2 3 n n n n n
一、放缩法原理 为了证明不等式 A B ， 我们可以找一个或多个中间变量 C 作比较， 即若能判定 A C, C B 同时成立， 那么 A B 显然正确。 所谓 “放” 即把 A 放大到 C,再把 C 放大到 B；反之，由 B 缩小经过 C 而变到 A, 则称为“缩” ，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必 须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及” 。
用放缩法证明不等式
用放缩法证明不等式 Prepared on 22 November 2020利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。
设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。
证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑ =113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
证明：（I ）1111111()2322122n n T T n n n n n n+-=+++-++++++++ 11121221n n n =+-+++10(21)(22)n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+1221122n n T T T T S --=+++++由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥，又11217,1,212T S T ===，即当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
放缩法是一种常见的证明数列不等式的策略，在数学竞赛和数学研究中被广泛应用。
放缩法的基本思想是通过对数列的放缩，得到一个和原数列有关的数列，然后通过比较这两个数列的性质来证明原数列的不等式性质。
放缩法可以分为两种情况：上界放缩和下界放缩。
上界放缩即找到一个比原数列大的数列，而下界放缩则是找到一个比原数列小的数列。
根据具体的问题和数列的性质，可以选择合适的放缩方法。
对于上界放缩，一种常见的方法是通过迭代构造一个比原数列大的数列。
假设原数列为a_n，我们希望找到一个数列b_n满足b_n > a_n。
可以通过递推的方式定义数列b_n，即b_1, b_2, b_3, \ldots。
首先选择b_1 > a_1作为初始条件，然后通过递推关系b_{n+1} = f(b_n)构造数列b_n。
递推关系f(b_n)的具体选择需要根据问题的要求和数列的性质来确定。
一般来说，递推关系应该满足b_{n+1} > a_{n+1}，即b_n比a_n要大。
放缩法的关键是构造合适的递推关系，具体的方法可以根据问题的要求来选择。
常见的递推关系有加减法、乘除法等。
证明数列不等式的关键在于比较两个数列的性质，可以通过数学归纳法、反证法、构造法等方式进行。
放缩法的优点是可以简化复杂的数列不等式问题，通过找到合适的放缩数列，可以将问题转化为更简单的形式，更容易证明。
放缩法也有一定的局限性，仅适用于一些特定的问题和数列。
例谈放缩法证明不等式的基本策略
03
放缩法证明不等式的案例分析
案例一：利用逐步调整法证明不等式
总结词
详细描述
逐步调整法是一种通过逐步调整不等 式的两边，以达到证明不等式目的的 方法。
逐步调整法通常需要找到一个可调整 的不等式，通过逐步调整该不等式的 两边，使不等式的左边逐渐增大，右 边逐渐减小，从而证明原不等式成立 。
实例
例如。要证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} > \ln(n + 1)$。可以先从左边减去 $\frac{1}{n}$。再从右边加上 $\frac{1}{n}$
构造函数法
总结词
构造函数法是一种通过构造满足某种性质的函数或序列，从而证明不等式的方法。
详细描述
构造函数法的核心思想是，根据题目条件和目标形式构造一个满足特定性质的函数或序列。通过对这个函数或序列的分析 和计算，达到证明不等式的目的。构造函数法在函数不等式证明中较为常用。
示例
例如，在证明“当$x > 0$时，$e^{x} > x + 1$”时，可以使用构造函数法进行
• 示例：例如，在证明$\sqrt{2} < 1 + \frac{1}{n}$时，可以通过逐步调整法进行调整 • 首先，我们将不等式的两边同时加上$1 - \sqrt{2}$，得到$1 - \sqrt{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})$。 • 然后，我们将左边的不等式两边平方，得到$(1 - \sqrt{2})^{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})^{2}$。 • 进一步展开$(1 - \sqrt{2})^{2}$，得到$3 - 2\sqrt{2} < \frac{3}{n} - 2\sqrt{2}$。 • 最后，我们将右边的不等式两边除以$n$，得到$\frac{3}{n} < \frac{3}{n} + \frac{2\sqrt{2}}{n}$。 • 整理后，得到$\frac{3}{n} < 3 + 2\sqrt{2}$，从而证明了原不等式。
用“放缩法”证明不等式的基本方法
用“放缩法”证明不等式的基本方法放缩法是一种常用的证明不等式的方法，其基本思想是通过对不等式的各项进行放缩来证明原不等式。
下面我将详细介绍放缩法的基本方法。
首先，我们需要明确放缩法的基本原则：不等式放缩法（缩放法）的基本思想是通过构造一个比原不等式更简单或更明显的不等式，然后再通过适当选择放缩参数的取值来证明原不等式成立。
放缩方法常常被用于求解带有未知参数的不等式。
下面，我将分为三个部分详细介绍放缩法的具体方法。
第一部分：确定放缩参数1.首先，我们需要确定一个或多个放缩参数，这些参数通常是未知数或表达式，我们需要通过合理地选择参数的取值范围来达到证明不等式的目的。
2.选择放缩参数时需要考虑以下因素：-参数的变化范围是否与不等式的条件相符。
例如，如果不等式的条件是x>0，那么我们需要选择的放缩参数在x>0的范围内变化。
-参数的取值是否能够使得不等式的其中一项更加简化，或者使得整个不等式更加明显。
第二部分：构造放缩不等式1.通过放缩参数我们可以构造一个新的不等式，这个不等式通常比原不等式更简单或更明显。
2.构造方法有多种，常见的有：- 使用平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2>=0，可以得到a^2+b^2>=2ab。
这个放缩方法常用于证明关于平方的不等式，例如证明a^2+b^2>=2ab的形式不等式。
- 使用柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
这个放缩方法常用于证明关于多个变量的不等式，例如证明(x1^2+x2^2+...+xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=(x1y1+x2y2+...+xnyn)^2的形式不等式。
第三部分：选择放缩参数取值1.在得到放缩不等式之后，我们需要通过适当选择放缩参数的取值来证明原不等式。
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，以达到证明结果的方法。
但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。
比如：证a ＜b ，可先证a ＜h 1，成立，而h 1＜b 又是可证的，故命题得证。
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。
“放缩法”可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。
做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。
一、用放缩法证明不等式的基本策略1、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩． 例1、若a ，b ，c ，d 是正数．求证：12a b c d a b ca b db c da c d<+++<++++++++证明：a b c d a b c a b db c d a c d+++++++++++1abc da b c d a b c d a b c d a b c d>+++=++++++++++++又2a b c d a b c da b c a b d b c d a c d a b a b c d c d+++<+++=++++++++++++ 或a b c d a b ca b d b c da c d +++++++++++2a bb ca cb d a bcd a b c da b c da b c d++++<+++=++++++++++++（利用(0)a a mm b b m+<>+） ∴12a bcda b ca b d b c d a c d <+++<++++++++例2、求证：213121112222<++++n证明：∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222111111*********232231nn nn++++<+-+-++-=-<-【变式】2222111171234n++++<∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222211111111151171()()1232231424nn nn++++<++-++-=+-<-本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
用放缩法证明不等式时如何放缩
ｎ ＋ Ｃ 以 十Ｄ
又 因 为 ２ ＝（ １ ＋ １ ） ｃ ｎ ｏ ＋ ｃ ＋ｃ Ａ＋ｃ ＋ｃ １ ＋
十 八 槲１ ＞ ２ 川， 所 以 ｎ ） ＞ 者 。
３ “ 添舍” 放缩
＜ ２。
通过对 不等 式的一 边进行 添项 或减项 以达 到解题 目的 ， 这是常规思路 。
的氛 围 ， 为开展探究活 动做好思 想上 、 心理上 的准备。在探 究 解决 了学生 的学习态度 、 学习 习惯 问题 ， 使教 学质 量的提高和 过程 中 ， 教师 要通 过巡视 、 观察 、 参 与讨 论等方 式给 学生 以积 学生 学习能力 的发 展有了可靠保证 。 同时 ， 也 创设了富有生机
１ 分 式 放 缩
一
证明： 由题意 知 ， （ ， ｚ ） 一 ｎ 丁＝
＂ 十 ｌ
， ’ 十
Ｉ
一 ｎ 丁＝ （ １ 一
＂十 ｌ
， ＿ 十
ｌ
） 一
ｒ 一 ： ： 二 １ 丝 ± ２
３ ， 所 以只须证 ２ 一 ＞２ ｎ ＋１ ，
ｎ ＋ ｌ
ｎ ＋ ｌ ２ １ （ ｎ ＋ １ ） （ ２ １ ）’
个分式若 分子变大则 分式值变 大 ，若分 母变大 则分式
又因为 ｎ ＥＡ ｒ 且
值 变小 ， 一个真 分式 ， 分子、 分母 同时 加上 同一个 正数 则分式 值 变大 ， 利用这些 性质 ， 可达到证题 目的 。 例 １ ：已知 ａ 、 ｂ 、 ｃ为三 角 形 的三 边 ，求 证 ： １ ＜ Ｌ ＋
，
—
证明 ： 由题 设得 ａ ２ ＋ ａ ｂ ＋ ｂ ａ ＋ ｂ， 于是（ 口 ＋ ） ＞ａ ２ ＋ａ ｂ ＋ ＋— ＋ — ， 又 口 ， ｂ ， ｃ为三 角形 的 边 ， 故 ＋ ａ ＋ｂ ＋ｃ ’ａ ＋ｂ ＋ｃ 。 ａ＋ｂ ＋ｃ ’ ～ “’ ’ 。 — — ｎ 工’ 。 ｂ ２ ＝ａ ＋ ｂ ， 又ａ ＋ ｂ ＞０ ， 得 ｎ ＋ ＞ｌ ， 又 ＜ １（ 日 ＋ ６ ） ｉ ｌ ｉ ｉ （ 日 ＋ ６ ） ＝
例谈证明不等式的四种常用措施
=
cos2 a, a
∈
(0,
π 2
)
，
æ è
x
+
1 x
öøæèç
y
+
1 y
ö
÷
ø
=
æ
ç
sin2
a
è
+
1 sin2a
öæ
֍
cos2
a
øè
+
1 cos2a
ö
÷
ø
=
sin4 a
+
cos4a - 2 sin2a 4 sin22a
cos2 a
+
2
，
( ) =
4 - sin2a 2 + 16 ， 4 sin22a
(x)
=
(
cos sin
α β
)x
+
(
cos sin
β α
)x,
且x < 0,
α,β ∈
æ è
0,
π 2
öø，若
f (x) > 2, 求证：α + β >
π 2
.
证明：假设0
<
α
+
β
≤
π 2
,
由α, β
∈
（0，π2 ）可得0
<
α
≤
π 2
-
β
≤
π 2
，
则
cos
α
≥
cosæè
π 2
-
β
ö ø
=
sin
β
>
1)
=
2n2
+
放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略
放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。
处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。
放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。
对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。
1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。
2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。
3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：<<（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11n n n n -<+； 假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221n nn n +>-； （3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>+； （4）二项式定理放缩：如2121(3)nn n -≥+≥；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。
4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。
这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
高考数学放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M<A时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M放大为N1,当我们能够证明N1<A,也间接证明了M<A.切不可将M缩小为N2,即使能够证明N2<A,M与A的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M>A时,这时我们可以将多项式M缩小为N1,当我们能够证明N1>A,也间接证明了M>A.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.常见的放缩形式:(1)1n2<1n-1n=1n-1-1n n≥2；(2)1n2>1n n+1=1n-1n+1；(3)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1；(5)1n =2n+n<2n-1+n=2-n-1+nn≥2；(6)1n =2n+n>2n+n+1=2-n+n+1；(7)1n =2n+n<2n-12+n+12=222n-1+2n+1=2-2n-1+2n+1；(8)2n2n-12=2n2n-12n-1<2n2n-12n-2=2n-12n-12n-1-1=12n-1-1-12n-1n≥2；(12)12n-1<2n-12n-1-12n-1=12n-1-1-12n-1n≥2.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证112+122+132+.....+1n2<2【解析】因为1n2<1n2-n=1n n-1=1n-1-1n n≥2,所以112+122+132+.....+1n2<112+1 22-2+132-3+.....+1n2-n=1+1-12+12-13+.....+1n-1-1n=2-1n<2,所以原式得证.为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证112+122+132+.....+1n 2<74【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2,所以112+122+132+....+1n 2<112+122-1+132-1+....+1n 2-1=1+121-13+12-14+13-15....+1n -1-1n =1+121+12-1n -1n +1 <74,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证112+122+132+.....+1n 2<53【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2 ,所以112+122+132+....+1n 2<112+122+132-1+....+1n 2-1=1+122+1212-14+13-15+14-16+....+1n -1-1n =1+14+1212+13-1n -1n +1 =53-121n +1n +1 <53,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n ,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知a n =n 2,b n =n 2,设c n =1a n +b n,求证:c 1+c 2+⋯+c n <43. 【解析】已知a n =n2,b n=n 2,因为c n =22n 2+n=2n (2n +1)=42n (2n +1)<4(2n -1)(2n +1)=212n -1-12n +1 所以c 1+c 2+⋯+c n <23+213-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1 =23+23-22n +1<43,故不等式得证.【经典例题3】已知数列a n 满足a 1=1，a n -1=n -1na n (n ≥2,n ∈N *)，(1)求a n ;(2)若数列b n 满足b 1=13，b n +1=b n +1a 2n(n ∈N *)，求证：b n <2512．【答案】(1)a n =n ；(2)证明见解析．【详解】(1)由题意a n a n -1=nn -1(n ≥2)，∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n a n -1=1×21×32×⋯×n n -1=n ，a 1=1也适合．所以a n =n (n ∈N *)；(2)由已知b 1=13<2512，b 2=b 1+1=43<2512，b 3=b 2+122=43+14=1912<2512，当n ≥3时，b n +1-b n =1n2<1n (n -1)=1n -1-1n ，因此b n +1=b 3+(b 4-b 3)+(b 5-b 4)+⋯+(b n +1-b n )<1912+12-13 +13-14 +⋯+1n -1-1n=2512-1n <2512，则b n =b n +1-1n2<2512综上，b n <2512．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.【经典例题4】证明:121-1+122-1+123-1+...+12n -1<53【解析】令a n =12n -1,则a n +1a n =2n -12n +1-1<2n -12n +1-2=12⇒a n +1<12a n又因为a 1=1,a 2=13,由于不等式右边分母为3,因此从第三项开始放缩,得a 1+a 2+⋯+a n <a 1+a 2+12a 2+⋯+12 n -2a 2=1+131-12n -1 1-12<53故不等式得证.【经典例题5】已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=2a n +2n +1，n ∈N *.(1)求证a n2n 是等差数列并求a n ；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)求证：1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅+1a n +1-a n <12.【答案】(1)证明见解析，a n =n ⋅2n ；(2)S n =(n -1)2n +1+2；(3)证明见解析.【详解】(1)证明：a n +12n +1-a n 2n =2a n +2n +12n +1-a n 2n =2a n 2n +1+1-a n2n=1，∴a n 2n 是首项为a 121=1，公差为1的等差数列，∴a n 2n =1+(n -1)1=n ，∴a n =n ⋅2n .(2)∵S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n ，∴2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n +1，两式相减得：-S n =21+22+23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅2n -n ⋅2n +1，-S n =21-2n1-2-n ⋅2n +1，∴S n =(n -1)2n +1+2.(3)证明：∵a n =n ⋅2n ，∴a n +1=(n +1)⋅2n +1，∴a n +1-a n =(n +2)⋅2n ，当n ∈N *时，n +2>2，∴(n +2)⋅2n >2n +1，∴1(n +2)⋅2n <12n +1，∴1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅1a n +1-a n <122+123+124+⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n +1=141-12 n 1-12=121-12 n <12.【练习1】已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且当n ≥2时，满足a n =S 2nS n -1．(1)求证：数列1S n 是等差数列；(2)证明：S 21+S 22+⋯+S 2n <74．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)当n ≥2时，S n -S n -1=S 2nS n -1，S n -1-S n =S n S n -1，即1S n -1S n -1=1从而1S n 构成以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n =1S 1+n -1 ×1=n ，∴S n =1n ．则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-1=121n -1-1n +1 ．故当n ≥2时S 21+S 22+⋯+S 2n <1+121-13 +1212-14 +⋯+121n -1-1n +1=1+121+12-1n -1n +1 <1+12⋅32=74又当n =1时，S 21=1<74满足题意，故S 21+S 22+⋯+S 2n <74．法二：则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-n=1n -1-1n ，那么S 21+S 22+⋯+S 2n <1+14+12-13 +13-14 +⋯1n -1-1n =74-1n <74又当n =1时，S 21=1<74，当时，S 21=1<74满足题意.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12na n+a n -1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列2a 2n的前n 项和为T n ，证明：T n <32．【答案】(1)a n =n +1n ∈N * ．(2)见解析【解析】(1)当n =1时，S 1=12a 1+a 1-1，即a 1=2，当n ≥2时，S n =12na n +a n -1①，S n -1=12n -1 a n -1+a n -1-1②，①-②，得：2a n =na n -n -1 a n -1+2a n -2a n -1，即na n =n +1 a n -1，∴a n n +1=a n -1n ，且a 12=1，∴数列a n n +1 是以每一项均为1的常数列，则a nn +1=1，即a n =n +1n ∈N * ；(2)由(1)得a n =n +1，∴2a 2n =2n +12<2n n +2 =1n -1n +2，∴T n <1-13+12-14+13-15+⋯+1n -1n +2=1+12-1n +1-1n +2<32.【练习3】已知函数f (x )=x 3-2x ，数列a n 中，若a n +1=f (a n )，且a 1=14.(1)求证：数列1a n-1是等比数列；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)由函数f (x )=x3-2x ，在数列a n 中，若a n +1=f (a n )，得：a n +1=a n 3-2a n，上式两边都倒过来，可得：1a n +1=3-2a n a n =3a n-2，∴1a n +1-1=3a n -2-1=3a n -3=31a n -1 ．∵1a 1-1=3．∴数列1a n -1 是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)，可知：1a n -1=3n ，∴a n =13n +1，n ∈N *．∵当n ∈N *时，不等式13n +1<13n 成立．∴S n =a 1+a 2+⋯+a n =131+1+132+1+...+13n +1<131+132+...+13n =13⋅1-13n 1-13=12-12•13n <12．∴S n <12．【练习4】已知函数f (x )=x 2-2x ，数列a n 的前n 项和为S n ，点P n n ,S n 均在函数y =f x 的图象上．若b n=12a n +3 (1)当n ≥2时，试比较b n +1与2b n的大小；(2)记c n =1b n n ∈N *试证c 1+c 2+⋯+c 400<39.【答案】(1)b n +1<2bn ；(2)证明见解析.【详解】(1)∴f (x )=x 2-2x ，故S n =n 2-2n ，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -3，当n =1时，a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n -3n ∈N * .从而b n =n ,b n +1=n +1,2b n=2n ，当n ≥2时，2n =1+1 n =C n 0+C n 1+⋯>n +1故b n +1<2b n=2n(2)c n =1b n =1n，c 1=1，1n =2n +n <2n +n -1=2(n -n -1)n ∈N *,n ≥2 c 1+c 2+...+c 400<1+22-1 +23-2 +...+2400-399 =2400-1=39.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数f (n )的不等关系,即a 1+a 2+⋯+a n <f (n )或者数列前n 项积与函数f (n )的不等关系,即a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n <f (n )的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将f (n )看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对a n 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列a 1=32,a n +1=3a n -1,n ∈N *(1)若数列b n 满足b n =a n -12,求证:数列b n 是等比数列。
多样性放缩巧证不等式
数学篇思维之锥再借助“反函数定义域是原函数值域”这一性质，确定原函数的值域。
例２求函数y ＝e x－１e x ＋１的值域．解先证明y ＝e x－１＋１有反函数，为此，可设x １＜x ２，且x １，x ２∈Ｒ，y １－y ２＝e x １－１e x １＋１－e x ２－１e x ２＋１＝２（e x １－e x ２）（e x １＋１）（e x ２＋１）＜０所以函数y 为增函数，存在反函数，这样即可求出其反函数为y －１＝Ｉｎ１＋x １－．此函数的定义域为x ∈（－１，１），故原函数的值域为y ∈（－１，１）．评注函数与它的反函数的定义域和值域是一种互逆关系，通过反函数的定义域可以明确出原函数的值域。
“正难则反”策略表现形式三：命题———逆否命题法逆否命题法，即通过证明它的逆否命题成立，从而达到证明原命题成立的一种证明方法。
在判断某些命题的真假时，若判断原命题的真假存在困难，此时，可以转换思维方向，通过变更命题形式，从逆否命题入手，判断出它的逆否命题的真假，从而明确原问题的真假。
例３已知f （x ）为Ｒ上的增函数，（１）证明：命题“若a ＋b ≥０，则f （a ）＋f （b ）≥f （－a ）＋f （－b ）”为真命题；（２）写出（１）中命题的逆命题并判断其真假，且加以证明。
证明（１）∵a ＋b ≥０∴a ≥－b ，b ≥－a ∵f （x ）为Ｒ上的增函数∴f （a ）≥f （－b ），f （b ）≥f （－a ），∴f （a ）＋f （b ）≥f （－a ）＋ｆ（－b ）故命题“若a ＋b ≥０，则f （a ）＋f （b ）≥f （－a ）＋f （－b ）”为真命题。
（２）（１）的逆命题为“已知函数f （x ）为Ｒ上的增函数，若f （a ）＋f （b ）≥f （－a ）＋f （－b ），则a ＋b ≥０”为真命题。
要判断该逆命题的真假，只需判断该逆命题的否命题“若a ＋b ＜０，则f （a ）＋f （b ）＜f （－a ）＋f （－b ）”的真假即可。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略引言在证明数列不等式时，我们经常会运用放缩法，即通过将式子中的某些项进行放大或缩小，使得不等式成立更为明显。
当然，在使用该方法时，我们还需结合数列的性质，进行适当的变形和分析，才能达到较好的证明效果。
下面，我们具体介绍几种常见的放缩法策略：策略一：拉格朗日中值定理对于一个函数f(x)，如果它在[a,b]上满足连续，在(a,b)上满足可导，那么必有f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a,b)我们利用此定理，可以将数列的两个相邻项联系起来，以达到证明的目的。
具体步骤如下：考虑一个数列{an}，我们可以将其中的某两项相减，得到：an - an-1接下来，我们可以将这个式子转化成函数的形式，即 a(n) = an - an-1，f(x) = x，则在[a(n-1), a(n)]上，我们可以应用拉格朗日中值定理得到：这样我们就将{an}中的两项连了起来，从而达到证明需要的形式。
举例来说，考虑等比数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1=1,an=2n，我们要证明a1/a2 + a2/a3 + ... + an-1/an >= (n-1)/n + 1/2n我们可以将左边每一项都化为一个通项公式，即根据拉格朗日中值定理，我们将a(n-1)/a1拉到[1,2^(n-2)]上，将a1/an拉到[2^(n-2),2^(n-1)]上，由于等比数列的性质，可以得到：展开后化简就能得到所需的不等式。
策略二：柯西不等式对于一个数列{an}和{bn}，我们可以运用柯西不等式将它们联系起来，得到一个新的不等式关系。
对于两个n维向量a=(a1,a2,...an)和b=(b1,b2,...,bn)，有：|a·b| <= ||a|| ||b|| （其中a·b表示向量的内积，||a||表示向量的模长）|a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn| <= sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)化简一下，就有：举例来说，考虑证明数列{an}的下列不等式：根据柯西不等式，我们可以将{an}和{bn}构造为：将其代入柯西不等式，展开后可以得到所需的不等式。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
数学所有不等式放缩技巧及证明方法第一篇：数学所有不等式放缩技巧及证明方法高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩例1.(1)求例2.(1)求证:1+(2)求证:/ 7 ∑4kk=1n22-1的值;(2)求证:∑k=1n15<3k2.11171++Λ+>-(n≥2)22262(2n-1)35(2n-1)111111+++Λ+2<-4163624n4n(3)求证: 11⋅31⋅3⋅51⋅3⋅5⋅Λ⋅(2n-1)+++Λ+<2n+1-1 22⋅42⋅4⋅62⋅4⋅6⋅Λ⋅2n(4)求证：2(n+1-1)<1+1+1+Λ+1<2(2n+1-1)23n例3.求证:例4.(2008年全国一卷)设函数6n1115≤1+++Λ+2<(n+1)(2n+1)49n3a-bf(x)=x-xlnx.数列{a}满足0<a1<1.an+1=f(an).设b∈(a1，1)，整数k≥1.证na1lnb明:ak+1>b.mmmmm+1m+1n,m∈N,x>-1,S=1+2+3+Λ+nn<(m+1)S<(n+ 1)-1.例5.已知,求证: +mn例6.已知n例7.已知x1=1,xna=4-2nn32nT+T+T+Λ+T<,Tn=,求证:1.23n2a1+a2+Λ+an111⎧n(n=2k-1,k∈Z)++Λ+>2(n+1-1)(n∈N*)=⎨,求证:4x⋅x4x⋅x4xxn-1(n=2k,k∈Z)⎩23452n2n+1ln2ln3ln4ln3n5n+6二、函数放缩例8.求证：+++Λ+n<3n-(n∈N*).23436ln2αln3αlnnα2n2-n-1(n≥2)例9.求证:(1)α≥2,α+α+Λ+α<2(n+1)23n 例10.求证:例11.求证:(1+2n-3(1+1⨯2)⋅(1+2⨯3)⋅Λ⋅[1+n(n+1)]>e例12.求证:/ 7 11111++Λ+<ln(n+1)<1++Λ+23n+12n111111)(1+)⋅Λ⋅(1+)<e 和(1+)(1+)⋅Λ⋅(1+2n)<e.2!3!n!9813例14.已知a1=1,an+1=(1+例16.(2008年福州市质检)已知函数三、分式放缩例19.姐妹不等式:(1+1)(1+)(1+)Λ(1+11an)a+.n2n证明n+n2<e2.f(x)=xlnx.若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).13151)>2n+1和(1-1)(1-1)(1-1)Λ(1+1)<1也可以表示成为2n-12462n2n+112n+1 1⋅3⋅5⋅Λ⋅(2n-1)2⋅4⋅6Λ⋅2n<>2n+1和2⋅4⋅6⋅Λ⋅2n1⋅3⋅5⋅Λ⋅(2n-1) 例20.证明:(1+1)(1+)(1+)Λ(1+四、分类放缩例21.求证:1+例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数1，0].若数列{bn}满足bn=14171)>33n+1.3n-2111n++Λ+n>232-12f(x)=x2+bx+c(b≥1,c∈R)，若f(x)的定义域为[－1，0]，值域也为[－f(n)*(n∈N)，记数列{bn}的前n项和为Tn，问是否存在正常数A，使得对于任意正3n整数n都有Tn<A？并证明你的结论。
浅析如何用放缩法证明不等式
浅析如何用放缩法证明不等式在数学中，放缩法是一种常用的证明不等式的方法。
它通过将不等式中的一方进行放缩处理，使得证明过程更加简洁、直观。
下面我们将从两个方面对放缩法进行浅析，包括扩大法和缩小法。
一、扩大法扩大法就是通过扩大不等式中的其中一项或几项，使得不等式成立。
其中一个常用的方法是通过平方或开方来进行扩大。
1.平方扩大法：如果我们发现在不等式中有一个含有平方项的部分，我们可以将其进行平方扩大，这样可以使得不等式更加紧凑。
举个例子：证明当$a>0, b>0$时，有$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$分析：我们可以观察到$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2\geq 0$将上述不等式改写，得到$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$进一步得到 $(a+b)^2 \geq 4ab$通过开根号得到$a+b \geq 2\sqrt{ab}$所以，我们证明了$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$2.开方扩大法：类似于平方扩大法，如果我们发现在不等式中有一个含有开方项的部分，我们可以将其进行开方扩大，这样也可以使得不等式更加紧凑。
举个例子：证明当$a>0, b>0$时，有$a + b \geq 2\sqrt{ab}$分析：我们可以观察到$2\sqrt{ab} \leq a + b$通过平方得到$4ab \leq (a + b)^2$所以，我们证明了$a + b \geq 2\sqrt{ab}$二、缩小法缩小法是指通过缩小不等式的其中一项或几项，使得不等式成立。
其中一个常用的方法是通过使用约束条件进行缩小。
1.约束条件缩小法：有时候在不等式的约束条件中，我们可以根据不等式的性质，将一些项进行缩小，从而得到一个更简洁的不等式。
举个例子：证明当$x>0, y>0, z> 0$时，有$\frac{x}{y+z} +\frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}$分析：根据柯西-施瓦茨不等式，我们有$(y+z)(z+x) \geq(\sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2 = (y + z)(x + z)$通过约束条件$x>0, y>0, z> 0$，我们可以得到$\frac{1}{y+z}\geq \frac{1}{x+y}$，$\frac{1}{z+x} \geq \frac{1}{y+z}$，$\frac{1}{x+y} \geq \frac{1}{z+x}$将上述不等式应用于原不等式中，可以得到$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq(\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y}) (\frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y})$$\geq (\sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{z+x}} +\sqrt{\frac{z}{x+y}})^2 \geq \frac{3}{2}$所以，我们证明了$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} +\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}$以上是浅析如何用放缩法证明不等式的两个方面，通过扩大法和缩小法，我们可以将复杂的不等式变得更加简洁明了。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略放缩法是数学分析中常用的重要证明方法之一，它可以通过对不等式中的某些项进行放缩操作，将原不等式转化为更为简单的形式，从而便于进行进一步的推导和证明。
在数列不等式证明中，放缩法同样具有重要作用，通过巧妙地运用放缩法，可以有效地解决数列不等式问题。
下面就来简要地介绍一些关于用放缩法证明数列不等式的策略。
一、确定放缩目标在运用放缩法证明数列不等式时，首先需要明确的是放缩目标，即要将原不等式中的哪些项进行放缩操作，将其转化为更为简单的式子。
一般来说，放缩目标应当具有以下特点：一是需要能够通过放缩将不等式中的某些项化简为“好看”的形式，便于进行后续的推导；二是放缩过程中要注意不应当改变原不等式的基本属性，比如不等式的符号方向、不等式的等号成立条件等。
二、选择合适的放缩方式在确定放缩目标后，接下来就是选择合适的放缩方式。
放缩方法有很多种，可以根据具体的情况选择不同的放缩方式。
常见的放缩方式包括以下几种：1. 引理放缩：根据已知的一些数学结论，将原不等式中的某些项进行代换或简化操作，使得原不等式变得容易推导证明。
比如，常见的幂平均不等式、均值不等式等就是通过引理放缩来证明的。
2. 手工放缩：通过手工的方式，对不等式中的某些项进行展开、化简、移项、分组等基本操作，将原不等式化简为更为简单的形式。
这种方法需要具有较强的数学功底和逻辑思维能力。
3. 对称放缩：对于一些对称的不等式，可以通过对称放缩的方式来进行证明。
具体来说，就是将原不等式中的某些项根据对称性进行调整，使其符合对称性条件，从而便于证明。
4. 引入辅助不等式：有时候，对于一些复杂的不等式，可以引入一些辅助的不等式，从而辅助进行证明。
这种方法需要选择合适的辅助不等式，使其能够起到化简、重组原不等式的作用，从而推导出结论。
三、注意放缩过程中的细节问题在运用放缩法证明数列不等式时，还需要注意一些细节问题，以确保证明的正确性和完整性。
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浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧
黄荟宇
放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。
常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。
常用的放缩技巧还有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2）
,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),
0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1
).1n n (2n
1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+>（4）
+++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++ （7）n n n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。
用放缩法证明下列各题。
例1 求证：.133lg 3lg <⋅
证明：因为,)2b a (ab 2+≤所以左边
,)299lg ()233lg 3lg (22=+≤[因为99＜100（放大）]＜,1)2100lg (
2=所以.133lg 3lg <⋅
例2 （2000年海南理11）若,2n ,N n >∈求证：.1)1n (log )1n (log n n ≤+⋅- 证明：因为,11n ,2n >->所以,0)1n (log ,0)1n (log n n >+>-因为
4)]1n ([log ]2)1n (log )1n (log [)1n (log )1n (log 2
2n 2n n n n -=++-≤+⋅-［因为22n 1n <-（放
大），所以,n log )1n (log 2n 2n <-又,2n >所以x log n 是增函数］，所以
14)n (log 4)]1n ([log 2
2n 22n =<-，所以.1)1n (log )1n (log n n <+⋅-
例3 （2001年云南理1）求证：).N n ,1n )(2n (log )1n (log 1n n ∈>+>++ 证明：n log )2n (log )1n (log )2n (log 1n 1n n 1n +++⋅+=++=左边右边（因为1a log b log b a =⋅）
21n 21n 1n ]2)2n (n log []2
n log )2n (log [+=++≤+++
［又因为2)1n ()2n (n +<+（放大）］，所以,1]2)1n (log []2)2n (n log [221n 21n =+<+++所
以).2n (log )1n (log 1n n +>++
例4 已知,0b a >>求证：.b a b a -<-
证明：因为⇒>>0b a
.
b a b a b a )b a (b a ),(b a b a ,0b a ,b a 2-<-⇒-<-⇒⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+<->->两边同乘放大
例5 求证：.2b a )2b a (2
22+≤+
证明：因为4b ab 2a )2b a (222++=+（因为22b a ab 2+≤）4b b a a 2
222+++≤（放大）
.2b a 22+=所以.2b a )2b a (2
22+≤+
例 6 （2000年湖南省会考）求证：当0a >时，函数
c bx ax y 2++=的最小值是;a 4b ac 42-当0a <时，函数c bx ax y 2++=的最大值是.a 4b ac 42
- 证明：因为原函数配方得,a 4b ac 4)a 2b x (a y 2
2-++=又因为
,0)a 2b x (a 0)a 2b x (,0a 22≥+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+>所以a 4b ac 4a 4b ac 4)a 2b x (a y 222-≥-++=（缩小），所以
函数y 的最小值是a 4b ac 42-。
当,0)a 2b x (a 0)a 2b x (,0a 22≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+<所以
a 4
b a
c 4a 4b ac 4)a 2b x (a y 222-≤-++=（放大），所以函数y 的最大值是.a 4b ac 42
-
例7 求证：
)
N n )(n 1n (2n 1
∈-+> 证明：因为n 1n 2n n 2n
1
++>+=（分母有理化）),n 1n (2-+=所以原不
等式成立。
例8 （2002年贵州省理21）若,0b a >≥求证：
)N n (a )b a (n b a b )b a (n 1n n n 1n ∈-≤-≤---
证明：因为
),b b a b a a )(b a (b a 1n 23n 2n 1n n n ----++++-=- 而,0b a >≥所以),N n (b a n n ∈≥所以,na )b a ()a a a a a )(b a (b a 1n 1n 23n 2n 1n n n ------=++++-≤- 同理可证n n 1n b a b
)b a (n -≤--（当且仅当b a =时，取等号）。
例9 已知a 、b 、c 分别是一个三角形的三边之长，求证：.2a c b c b a b a c <+++++
证明：不妨设,0c b a >≥≥据三角形三边关系定理有：,0a c b >>+便得
++++c b a b a c ,2c b a 1c a b c b a c b c a c b <++=+++++≤+所以原不等式成立。
例10 （1999年湖南省理16）求证：)N n (1n 212n 11n 121∈<+++++≤ 证明：因为,21n n n n n 1n n 1n n 1n n 12
n 11n 1=+=+++++≥++++++ 又,1n n n 1n 1n 1n n 12n 11n 1==+++<++++++ 所以原不等式成立。
例11 求证：
.2n 321132112111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+ 证明：因为左边
++-+-+-+=-++⨯+⨯+≤ )4131()3121()211(1n )1n (13212111,2n 12)n 11n 1(<-=--证毕。
例12 求证)N n (1!n 1!41!31!21∈<++++ 证明：因为,2122211k 3211!k 11k -=⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯= 所以左边
+++=
32212121.1)21(1211n 1n <-=+--
注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,D C ,C B ,B A >>>则D A >。
2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。
3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。
常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。