浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

黄荟宇

放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。

常用的放缩技巧还有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2）

,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),

0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1

).1n n (2n

1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+>（4）

+++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++ （7）n n n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。

用放缩法证明下列各题。

例1 求证：.133lg 3lg <⋅

证明：因为,)2b a (ab 2+≤所以左边

,)299lg ()233lg 3lg (22=+≤[因为99＜100（放大）]＜,1)2100lg (

2=所以.133lg 3lg <⋅

例2 （2000年海南理11）若,2n ,N n >∈求证：.1)1n (log )1n (log n n ≤+⋅- 证明：因为,11n ,2n >->所以,0)1n (log ,0)1n (log n n >+>-因为

4)]1n ([log ]2)1n (log )1n (log [)1n (log )1n (log 2

2n 2n n n n -=++-≤+⋅-［因为22n 1n <-（放

大），所以,n log )1n (log 2n 2n <-又,2n >所以x log n 是增函数］，所以

14)n (log 4)]1n ([log 2

2n 22n =<-，所以.1)1n (log )1n (log n n <+⋅-

例3 （2001年云南理1）求证：).N n ,1n )(2n (log )1n (log 1n n ∈>+>++ 证明：n log )2n (log )1n (log )2n (log 1n 1n n 1n +++⋅+=++=左边右边（因为1a log b log b a =⋅）

21n 21n 1n ]2)2n (n log []2

n log )2n (log [+=++≤+++

［又因为2)1n ()2n (n +<+（放大）］，所以,1]2)1n (log []2)2n (n log [221n 21n =+<+++所

以).2n (log )1n (log 1n n +>++

例4 已知,0b a >>求证：.b a b a -<-

证明：因为⇒>>0b a

.

b a b a b a )b a (b a ),(b a b a ,0b a ,b a 2-<-⇒-<-⇒⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+<->->两边同乘放大

例5 求证：.2b a )2b a (2

22+≤+

证明：因为4b ab 2a )2b a (222++=+（因为22b a ab 2+≤）4b b a a 2

222+++≤（放大）

.2b a 22+=所以.2b a )2b a (2

22+≤+

例 6 （2000年湖南省会考）求证：当0a >时，函数

c bx ax y 2++=的最小值是;a 4b ac 42-当0a <时，函数c bx ax y 2++=的最大值是.a 4b ac 42

- 证明：因为原函数配方得,a 4b ac 4)a 2b x (a y 2

2-++=又因为

,0)a 2b x (a 0)a 2b x (,0a 22≥+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+>所以a 4b ac 4a 4b ac 4)a 2b x (a y 222-≥-++=（缩小），所以

函数y 的最小值是a 4b ac 42-。当,0)a 2b x (a 0)a 2b x (,0a 22≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+<所以

a 4

b a

c 4a 4b ac 4)a 2b x (a y 222-≤-++=（放大），所以函数y 的最大值是.a 4b ac 42

-

例7 求证：

)

N n )(n 1n (2n 1

∈-+> 证明：因为n 1n 2n n 2n

1

++>+=（分母有理化）),n 1n (2-+=所以原不

等式成立。

例8 （2002年贵州省理21）若,0b a >≥求证：

)N n (a )b a (n b a b )b a (n 1n n n 1n ∈-≤-≤---

证明：因为

),b b a b a a )(b a (b a 1n 23n 2n 1n n n ----++++-=- 而,0b a >≥所以),N n (b a n n ∈≥所以,na )b a ()a a a a a )(b a (b a 1n 1n 23n 2n 1n n n ------=++++-≤- 同理可证n n 1n b a b

)b a (n -≤--（当且仅当b a =时，取等号）。

例9 已知a 、b 、c 分别是一个三角形的三边之长，求证：.2a c b c b a b a c <+++++

证明：不妨设,0c b a >≥≥据三角形三边关系定理有：,0a c b >>+便得

++++c b a b a c ,2c b a 1c a b c b a c b c a c b <++=+++++≤+所以原不等式成立。

例10 （1999年湖南省理16）求证：)N n (1n 212n 11n 121∈<+++++≤ 证明：因为,21n n n n n 1n n 1n n 1n n 12

n 11n 1=+=+++++≥++++++ 又,1n n n 1n 1n 1n n 12n 11n 1==+++<++++++ 所以原不等式成立。

例11 求证：

.2n 321132112111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+ 证明：因为左边

++-+-+-+=-++⨯+⨯+≤ )4131()3121()211(1n )1n (13212111,2n 12)n 11n 1(<-=--证毕。

例12 求证)N n (1!n 1!41!31!21∈<++++ 证明：因为,2122211k 3211!k 11k -=⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯= 所以左边

+++=

32212121.1)21(1211n 1n <-=+--

注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,D C ,C B ,B A >>>则D A >。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。