代数式中的规律探索
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代数式中的规律探索
滦县三中 杨伟娜
学习目标
1、认真观察图形、数字，借助画图、列表等方法， 在动手操作的过程中探寻规律。
2、在解决问题的具体情境中，体验 “化难为易”， “由简到繁”发现规律的数学思想方法。
3、培养归纳推理、探索规律的能力，提高数学思 维能力和创新精神。
1、在一条直线上若有2个点，则线段总条数 是1；若有3个点，则线段总条数是3；若有4 个点，5个点呢？……
小结:
像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到一
般地探索这种现象规律的思想方法称为“归纳”，
用归纳的方法进行探索，能够帮助我们解决许多 实际问题！
数字告诉我：
对于与自然数（或正整数）n有关的探索规律的题， 可从具体的、简单的对应情境入手，寻找所得
“结果数”与n(个、次)的具有同一变化形式的关系 式。
……
2015个
2、考考你：（泰州）如下图是小明用火柴棒 搭的1条、2条、3条“金鱼” ······，则搭 n条“金鱼”需要火柴棒 根。
1条
2条
3条
（茂名）下面是用棋子摆成的“上”字：
第一个“上”字
第二个“上”字
第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察可以发现：
（1）第四、第五个“上”字分别需用 和
2
2
4 ×4= 4 + 4，…
3
3
则第5个式子为
，
设n为自然数，则第n个式子可表示
为
。
2、考考你：（荆州）观察下列各式
1 1 4 22 ，2 1 9 32 ，3 1 16 42 ，……
33 3
44 4
55 5
设n为正整数，请用关于n的等式表示这
个
规律为：
+
=
。
观察下列等式: 1 × 3 + 1 = 22 2 × 4 + 1 = 32 3 × 5 + 1 = 42 4 × 6 + 1 = 52 …………
这些等式反映了自然数间的某种规 律,设n表示自然数,用关于n的等式把这 种规律表示出来： _________________
观察下列等式：
9-1=8； 16-4=12； 25-9=16； 36-16=20……
我们常用列表的方法来分析探索.(由特殊到一般)
活动二
1张长方形桌子可坐6人 2张桌子可坐_1_0__人
......
1张长方形桌子可坐6人
2张桌子可坐_1_0_人
桌子张数 3 可坐人数 计算方法
按照这样的方式继续排列桌子，完成下 表
456n
如果按上图方式将桌子拼在一起
（1）2张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n张呢？
1、搭1个三角形需1+2×1=3根火柴棒；
2、搭2个三角形需1+2×2=5根火柴棒；
3、搭3个三角形需1+2×3=7根火柴棒；
4、搭4个三角形需1+2×4=9根火柴棒；
： 按上图的方式，每增加一个三 角形需增加_____根火柴棒。
5、搭10个三角形则需
根火柴棒。
搭建2015个正方形,你能快速准确的 求得所需要根数吗？
这些等式反映出自然数间的某种规 律，设n表示自然数，用n的等式表示 出来：________
数字告诉我：
我们在解决这类规律题时要：
1× 3 + 1 = 22 2× 4 + 1 = 32 3 × 5 + 1 = 42 4 × 6 + 1 = 52
…………
先横向熟悉代数式、算式的 结构； 再纵向观察对比、研究各式 之间的关系，寻求变化规律，
问题：若有n个点（n≥2，且n为整数）则线 段的总条数是多少？请同学们填写下表。
直线上点的个数 2 3 4 5
…… n
图示 ……
共有线段条数 1
……
直线上点 的个数
2 3 4 5 ……
n
图示
……
共有线段条数
1
……
2、在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个 锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3 条不同射线，可得10个锐角；……照此规律， 画10条不同射线，可得________个锐角．则 画n条不同射线，可得________个锐角。
归纳反思：
方法： 1、在解决这类问题时，我们通常先认真观察图形或图案，提取数式信 息，并依照数式的规律来得到结论。
1、我们在解决难题的时候，可以先从简单的入 手，举例子，发现规律。
2、要想使数出的每一个图形中线段或角的总条 数或个数不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、 按照一定的规律去观察、去数。
归纳反思：
方法：
n(n 1)
我们得到公式：
2
反思：当我们遇到握手问题、比赛次数等问题时， 就可以用这个公式来解决。
1、用火柴棒按下列方式搭建三角形：
当三角形的个数为10个时，火柴棒的根数 为多少根？
1、搭1个三角形需 2、搭2个三角形需 3、搭3个三角形需 4、搭4个三角形需
根火柴棒； 根火柴棒； 根火柴棒； 根火柴棒；
反思：数学来源于生活，也应用于生活，我们可以 用数学的方法来解决生活中的问题。
数学就像一颗明珠闪烁着人类智慧的光芒,千 百年来吸引着无数的数学爱好者,让他们在探 索数学的道路上奉献出自己的才华和智慧. 正 如一些数学家所说的那样：“在数学的世界 里,甚至还有一些像诗画一样美丽的风景.” 希 望同学们用你们发现智慧的双眼、聪明的大 脑来探索数学学习中更多的奥秘。
按要求写出答案。
结论
总结
验证
猜想 问题
说明：这是一只求知的眼睛，形象地说明了 探索规律的过程：问题（观察发现特点）——猜想（可能 的规律）——验证（将具体数值代入猜想）——总结——结论 （如果验证不合理则进行重新探索，所以此处是 一个往复过程,如果验证合理，则上升到总结并得 出结论)。
谢谢大家！
（2）第n个“上”字需用 （3）第100个“上”字需用
枚棋子． 枚棋子．
枚棋子；
图形告诉我：
我们常用列表的方法来分析探索规律：
序 号
点的个数
1
2+4×1=6
2
2+4×2=10
3
2+4×3=14
4
2+4×4=18
… …
……
n
2+4n
1、观察下列等式：
2 1
×ຫໍສະໝຸດ Baidu=
2 1
+ 2，
3 ×3= 3 + 3，
（2）教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成 1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子， 共可坐___1_12___人
（3）在（2）中，若改成每8张桌子拼成1张大桌子， 则共个坐__1_00___人
拓展练习 观察: 13 22 1
2 4 32 1 35 42 1
滦县三中 杨伟娜
学习目标
1、认真观察图形、数字，借助画图、列表等方法， 在动手操作的过程中探寻规律。
2、在解决问题的具体情境中，体验 “化难为易”， “由简到繁”发现规律的数学思想方法。
3、培养归纳推理、探索规律的能力，提高数学思 维能力和创新精神。
1、在一条直线上若有2个点，则线段总条数 是1；若有3个点，则线段总条数是3；若有4 个点，5个点呢？……
小结:
像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到一
般地探索这种现象规律的思想方法称为“归纳”，
用归纳的方法进行探索，能够帮助我们解决许多 实际问题！
数字告诉我：
对于与自然数（或正整数）n有关的探索规律的题， 可从具体的、简单的对应情境入手，寻找所得
“结果数”与n(个、次)的具有同一变化形式的关系 式。
……
2015个
2、考考你：（泰州）如下图是小明用火柴棒 搭的1条、2条、3条“金鱼” ······，则搭 n条“金鱼”需要火柴棒 根。
1条
2条
3条
（茂名）下面是用棋子摆成的“上”字：
第一个“上”字
第二个“上”字
第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察可以发现：
（1）第四、第五个“上”字分别需用 和
2
2
4 ×4= 4 + 4，…
3
3
则第5个式子为
，
设n为自然数，则第n个式子可表示
为
。
2、考考你：（荆州）观察下列各式
1 1 4 22 ，2 1 9 32 ，3 1 16 42 ，……
33 3
44 4
55 5
设n为正整数，请用关于n的等式表示这
个
规律为：
+
=
。
观察下列等式: 1 × 3 + 1 = 22 2 × 4 + 1 = 32 3 × 5 + 1 = 42 4 × 6 + 1 = 52 …………
这些等式反映了自然数间的某种规 律,设n表示自然数,用关于n的等式把这 种规律表示出来： _________________
观察下列等式：
9-1=8； 16-4=12； 25-9=16； 36-16=20……
我们常用列表的方法来分析探索.(由特殊到一般)
活动二
1张长方形桌子可坐6人 2张桌子可坐_1_0__人
......
1张长方形桌子可坐6人
2张桌子可坐_1_0_人
桌子张数 3 可坐人数 计算方法
按照这样的方式继续排列桌子，完成下 表
456n
如果按上图方式将桌子拼在一起
（1）2张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n张呢？
1、搭1个三角形需1+2×1=3根火柴棒；
2、搭2个三角形需1+2×2=5根火柴棒；
3、搭3个三角形需1+2×3=7根火柴棒；
4、搭4个三角形需1+2×4=9根火柴棒；
： 按上图的方式，每增加一个三 角形需增加_____根火柴棒。
5、搭10个三角形则需
根火柴棒。
搭建2015个正方形,你能快速准确的 求得所需要根数吗？
这些等式反映出自然数间的某种规 律，设n表示自然数，用n的等式表示 出来：________
数字告诉我：
我们在解决这类规律题时要：
1× 3 + 1 = 22 2× 4 + 1 = 32 3 × 5 + 1 = 42 4 × 6 + 1 = 52
…………
先横向熟悉代数式、算式的 结构； 再纵向观察对比、研究各式 之间的关系，寻求变化规律，
问题：若有n个点（n≥2，且n为整数）则线 段的总条数是多少？请同学们填写下表。
直线上点的个数 2 3 4 5
…… n
图示 ……
共有线段条数 1
……
直线上点 的个数
2 3 4 5 ……
n
图示
……
共有线段条数
1
……
2、在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个 锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3 条不同射线，可得10个锐角；……照此规律， 画10条不同射线，可得________个锐角．则 画n条不同射线，可得________个锐角。
归纳反思：
方法： 1、在解决这类问题时，我们通常先认真观察图形或图案，提取数式信 息，并依照数式的规律来得到结论。
1、我们在解决难题的时候，可以先从简单的入 手，举例子，发现规律。
2、要想使数出的每一个图形中线段或角的总条 数或个数不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、 按照一定的规律去观察、去数。
归纳反思：
方法：
n(n 1)
我们得到公式：
2
反思：当我们遇到握手问题、比赛次数等问题时， 就可以用这个公式来解决。
1、用火柴棒按下列方式搭建三角形：
当三角形的个数为10个时，火柴棒的根数 为多少根？
1、搭1个三角形需 2、搭2个三角形需 3、搭3个三角形需 4、搭4个三角形需
根火柴棒； 根火柴棒； 根火柴棒； 根火柴棒；
反思：数学来源于生活，也应用于生活，我们可以 用数学的方法来解决生活中的问题。
数学就像一颗明珠闪烁着人类智慧的光芒,千 百年来吸引着无数的数学爱好者,让他们在探 索数学的道路上奉献出自己的才华和智慧. 正 如一些数学家所说的那样：“在数学的世界 里,甚至还有一些像诗画一样美丽的风景.” 希 望同学们用你们发现智慧的双眼、聪明的大 脑来探索数学学习中更多的奥秘。
按要求写出答案。
结论
总结
验证
猜想 问题
说明：这是一只求知的眼睛，形象地说明了 探索规律的过程：问题（观察发现特点）——猜想（可能 的规律）——验证（将具体数值代入猜想）——总结——结论 （如果验证不合理则进行重新探索，所以此处是 一个往复过程,如果验证合理，则上升到总结并得 出结论)。
谢谢大家！
（2）第n个“上”字需用 （3）第100个“上”字需用
枚棋子． 枚棋子．
枚棋子；
图形告诉我：
我们常用列表的方法来分析探索规律：
序 号
点的个数
1
2+4×1=6
2
2+4×2=10
3
2+4×3=14
4
2+4×4=18
… …
……
n
2+4n
1、观察下列等式：
2 1
×ຫໍສະໝຸດ Baidu=
2 1
+ 2，
3 ×3= 3 + 3，
（2）教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成 1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子， 共可坐___1_12___人
（3）在（2）中，若改成每8张桌子拼成1张大桌子， 则共个坐__1_00___人
拓展练习 观察: 13 22 1
2 4 32 1 35 42 1