初中数学完全平方公式的综合应用综合测试卷(含答案)
(典型题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABCD 中，AB AD ≠，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，若ABE △的周长为12cm ，则ABCD 的周长是（ ）A ．24cmB ．40cmC ．48cmD ．无法确定 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB=6，BC=10，则EF 长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.53．如图，作ABC 关于直线对称的图形A B C '''，接着A B C '''沿着平行于直线l 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（ ）A ．对应点连线相等B ．对应点连线互相平行C ．对应点连线垂直于直线lD ．对应点连线被直线平分4．已知如图：为估计池塘的宽度BC ，在池塘的一侧取一点A ，再分别取AB 、AC 的中点D 、E ，测得DE 的长度为20米，则池塘的宽BC 的长为（ ）A ．30米B ．60米C ．40米D ．25米 5．如图，设M 是ABCD 边AB 上任意一点，设AMD ∆的面积为1S ，BMC ∆的面积为2S ，CDM ∆的面积为S ，则（ ）A ．12S S S =+B ．12S S S >+C ．12S S S <+D ．不能确定 6．在四边形ABCD 中，若∠A 与∠C 之和等于四边形外角和的一半，∠B 比∠D 大15°，则∠B 的度数等于（ ）A ．150°B ．97.5°C ．82.5°D ．67.5° 7．如图，平行四边形ABCD 的周长为36cm ，若点E 是AB 的中点，则线段OE 与线段AE的和为（ ）A ．18cmB ．12cmC ．9cmD ．6cm 8．在ABCD 中，6AB =，4=AD ，则ABCD 的周长为（ ） A ．10B ．20C ．24D ．12 9．已知在四边形ABCD 中，3AB =，5CD =，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则线段MN的取值范围是（ ）A ．14MN <<B ．14MN <≤C ．28MN <<D ．28MN <≤ 10．某三角形三条中位线的长分别为3、4、5，则此三角形的面积为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．48 11．已知长方形的长和宽分别为a 和b ，其周长为4，则222a ab b ++的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 12．在Rt ABC 中，45A ∠=︒，90C ∠=︒，点D 在BC 边上(不与点C ，B 重合)，点P 、点Q 分别是AC ，AB 边上的动点，当DPQ 的周长最小时，PDQ ∠的度数是( )A ．70°B ．90°C ．100°D ．120°二、填空题13．已知，如图，//,AB DC AF 平分,BAE DF ∠平分CDE ∠，且AFD ∠比∠E 的2倍多30°，则AED =∠_____度．14．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．15．如图，ABC 的中线AD 与高CE 交于点F ，AE EF =，2FD =，24ACF S =△，则AB 的长为__________．16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．17．已知平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线交BC 于点E ，若AB ＝AE ，则∠BAD ＝_____度．18．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是__．19．将正三角形、正方形、正五边形，按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则123∠+∠+∠=__________度．20．如图，1角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是________．三、解答题21．如图，在ABC 中，,AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：ADF 是等腰三角形；（2）若5AF BF ==，2BE =，求线段DE 的长．22．如图，已知1,23180BDE ︒∠=∠∠+∠=．（1）证明：//AD EF ．（2）若DA 平分BDE ∠，FE AF ⊥于点F ，140∠=︒，求BAC ∠的度数． 23．综合与实践图形变换的基本方式有：平移变换、旋转变换、轴对称变换在数学综合与实践课上，张老师将两块含30°角的全等三角尺按图1方式摆放在一起，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°同时，要求班内各小组对图形进一步操作变换并提出问题，请你帮各小组进行解答，（独立思考）（1）张老师首先提出问题：图1中，四边形ABCD 是平行四边形吗？说明理由； （提出问题）（2）如图2．“励志”小组将Rt BCD 沿射线DB 方向平移到Rt B C D '''的位置，分别连接,AB DC ''，进一步提出问题：四边形AB C D ''是平行四边形吗？说明理由；（拓展延伸）（3）“慎密”小组提出的问题是：如图3，两个全等的三角尺重叠放在△ABD 的位置，将其中一个三角尺绕着点B 按逆时针方向旋转至△C D B 的位置，使点A 恰好落在边CB '上，AD 与BB '相交于点F ，若AD=8cm ，求BF 的长．24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，连接EC ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）若EF ⊥AC ，△BEC 的周长是10，求平行四边形ABCD 的周长．25．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠BAF ＝∠DCE ．求证：BE ＝DF ．26．已知，在四边形ABCD 中，160A C ︒∠+∠=，BE ，DF 分别为四边形ABCD 的外角CBN ∠，MDC ∠的平分线．（1）如图1，若//BE DF ，求C ∠的度数；（2）如图2，若BE ，DF 交于点G ，且//BE AD ，//DF AB ，求C ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质，及OE BD ⊥交AD 于E 可以证明OE 是线段BD 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，可以得到BE DE =，再利用线段间的关系可以证明ABCD 的周长为ABE △周长的两倍.【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AO CO =，BO DO =；∵OE BD ⊥交AD 于E ；∴OE 是线段BD 的垂直平分线，∴BE DE =；∴AE ED AE BE +=+；∴ABE △的周长为12AE BE +=∴ABCD 的周长为2()21224AB AD +=⨯=.故选：A.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和垂直平分线的性质，具有一定的综合性，属于中等题型. 2．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC ∠=∠，由角平分线可得ABF FBC ∠=∠，所以AFB ABF ∠=∠，所以6AF AB ==，同理可得6DE CD ==，则根据EF AF DF AD =+-即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，10AD BC ==，6DC AB ==，∴AFB FBC ∠=∠，∴BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，∴AFB ABF ∠=∠，∴6AF AB ==，同理可得6DE DC ==，∴66102EF AF DE AD =+-=+-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线＋平行线＝等腰三角形”转化线段．3．D解析：D【分析】作点A 关于直线l 的对称点D ，交直线l 于F ，将点D 向下平移得到点A '，连接A A '交直线l 于E ，则AD 被对称轴垂直平分，利用EF 是△A A 'D 的中位线，得到AE=E A '， 同理可知：图形中对应点连线被直线平分．【详解】根据题意，作点A 关于直线l 的对称点D ，交直线l 于F ，将点D 向下平移得到点A '，连接A A '交直线l 于E ，∵A 、D 关于直线l 对称，∴AD 被对称轴垂直平分，又∵EF ∥A 'D ，∴EF 是△A A 'D 的中位线，∴AE=E A '，即A A '被对称轴平分，同理可知：图形中对应点连线被直线平分，故选：D ．．【点睛】此题考查平移的性质，轴对称的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理可得DE=12BC ，代入数据可得答案． 【详解】解：∵线段AB ，AC 的中点为D ，E ，∴DE=12BC ， ∵DE=20米，∴BC=40米，故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．5．A解析：A【分析】如图（见解析），过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ，先根据平行四边形的判定可得四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得．【详解】如图，过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ，四边形ABCD 是平行四边形，//,//AB CD AD BC ∴，////AD BC MN ∴，∴四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，12,DMN CMN S S SS ∴==， 12DMN CMN S S SS S ∴=+=+，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．6．B解析：B【分析】根据∠A与∠C之和等于四边形外角和的一半，四边形的外角和为360°，得到∠A+∠C=180°，根据四边形的内角和为360°∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°①，根据∠B 比∠D大15°，得到∠B-∠D=15°②，所以①+②得：2∠B=195°，所以∠B=97.5°．【详解】解：∵∠A与∠C之和等于四边形外角和的一半，四边形的外角和为360°，∴∠A+∠C＝180°，∴∠B+∠D＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°①，∵∠B比∠D大15°，∴∠B﹣∠D＝15°②，①+②得：2∠B＝195°，∴∠B＝97.5°．故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记四边形的内角和与外角和．7．C解析：C【分析】结合已知证明EO是△ABC的中位线，进而得出答案．【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为36cm，∴AB+BC＝18cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又∵点E是AB的中点，∴EO是△ABC的中位线，∴EO＝12BC，AE＝12AB，∴AE+EO ＝12×18＝9（cm ）． 故选：C ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质和中位线定理，熟知“平行四边形的对角线互相平分”和“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”是解题关键．8．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质得出ABCD 的周长为：2AB+2AD ，求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD=6，AD=BC=4， ∴ABCD 的周长为：2AB+2AD=2(6+4)=20，故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．9．B解析：B【分析】利用中位线定理作出辅助线，利用三边关系可得MN 的取值范围．【详解】连接BD ，过M 作MG ∥AB ，连接NG ．∵M 是边AD 的中点，AB=3，MG ∥AB ，∴MG 是△ABD 的中位线，BG=GD ，1322MG AB ==； ∵N 是BC 的中点，BG=GD ，CD=5，∴NG 是△BCD 的中位线，1522NG CD ==，在△MNG 中，由三角形三边关系可知NG-MG ＜MN ＜MG+NG ，即53532222MN -<<+， ∴14MN <<，当MN=MG+NG ，即MN=4时，四边形ABCD 是梯形，故线段MN 长的取值范围是1＜MN≤4．故选B ．【点睛】 解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答． 10．C解析：C【分析】先根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即求出原三角形的边长分别为6、8、10，再根据勾股定理的逆定理判断原三角形的形状，即可根据三角形面积公式求得面积．【详解】解：∵三角形三条中位线的长为3、4、5，∴原三角形三条边长为3264285210⨯=⨯=⨯=，，，2226810+=，∴此三角形为直角三角形，168242S ∴=⨯⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理，属于基础应用题，熟知性质定理是解题的关键．11．B解析：B【分析】由题意可以得到a+b 的值，再利用完全平方公式可以得到答案．【详解】解：由题意可得：2(a+b)=4,∴a+b=2，∴()2222224a ab b a b ++=+==, 故选B ．【点睛】本题考查长方形周长与完全平方公式的综合应用，灵活应用有关知识求解是解题关键 ．12．B解析：B【分析】作D关于AC的对称点E，作D关于AB的对称点F，连接EF交AC于P，交AB于Q，则此时△DPQ的周长最小，根据四边形的内角和得到∠EDF=135°，求得∠E+∠F=45°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】作D关于AC的对称点E，作D关于AB的对称点F，连接EF交AC于P，交AB于Q，则此时△DPQ的周长最小，∵∠AGD=∠ACD=90°，∠A=45°，∴∠EDF=135°，∴∠E+∠F=45°，∵PE=PD，DQ=FQ，∴∠EDP=∠E，∠QDF=∠F，∴∠CDP+∠QDG=∠E+∠F=45°，∴∠PDQ=135°-45°=90°，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，正确的作出图形是解题的关键．二、填空题13．60【分析】过F作FG∥AB即可得出AB∥GF∥CD再根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到∠AFD=∠3+∠4依据四边形内角和等于360°即可得出∠AED的度数【详解】解：如图所示过F作FG∥解析：60【分析】过F作FG∥AB，即可得出AB∥GF∥CD，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AFD=∠3+∠4，依据四边形内角和等于360°，即可得出∠AED的度数．【详解】解：如图所示，过F 作FG ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴AB ∥GF ∥CD ，∴∠1=∠DFG ，∠2=∠AFG ，∴∠AFD=∠1+∠2，∵AF 平分∠BAE ，DF 平分∠CDE ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，设∠E=α，则∠AFD=2α+30°，∴∠AFD=∠3+∠4=2α+30°，∵四边形AEDF 中，∠E+∠3+∠4+∠AFD=360°，∴α+2（2α+30°）=360°，解得α=60°，故答案为：60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及四边形内角和的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用四边形内角和进行计算求解．14．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键 解析：360︒【分析】根据//AE BC 求出180A B ∠+∠=︒，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．【详解】∵//AE BC ，∴180A B ∠+∠=︒，∵五边形内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴C D E ∠+∠+∠=540180︒-︒=360︒，故答案为：360︒．【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．15．【分析】延长AD 作交于点H 过点D 作根据题意可证明是等腰直角三角形结合中位线的性质证明继而证明是等腰直角三角形由勾股定理解得再根据三角形面积公式解得CH 的值设EF=x 由线段和差关系得到从而解出x 的值即 解析：62【分析】延长AD ，作AH CH ⊥交于点H ，过点D 作DQ CF ⊥，根据题意可证明AEF 是等腰直角三角形，结合中位线的性质，证明//DQ BE ，继而证明FDQ 是等腰直角三角形，由勾股定理解得2FQ DQ ==，再根据三角形面积公式解得CH 的值，设EF=x ，由线段和差关系得到EF FQ FC FQ +=-，从而解出x 的值即可．【详解】延长AD ，作AH CH ⊥交于点H ，过点D 作DQ CF ⊥，CE AB ⊥且AE=AF ，AEF ∴是等腰直角三角形，45EAF EFA ∴∠=∠=︒又90DQC BEC ∠=∠=︒，D 为BC 中点，//DQ BE ∴，且Q 为CE 中点EQ CQ ∴= 即：EF+FQ=FC-FQ45AEF ∠=︒45QFD ∴∠=︒FDQ ∴是等腰直角三角形，又2FD =2FQ DQ ∴==设EF=x ，在等腰直角三角形AEF 中，AE=EF=x ，2AF x =1242ACF S AF CH ∴=⋅⋅= 242CH x ∴=在等腰直角三角形FHC 中，48CF x∴= EF FQ FC FQ +=-48x x ∴=2248480x x ∴=∴+-=x ∴=x =-（舍去）EF AE ∴==1//,2QE BE QE BE =BE ∴=AB ∴==故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、中位线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键．16．10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=45°再利用三角形的内角和求解【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=×90°=45°∴∠ADC解析：10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA ′D=50°，∠ACD=∠A ′CD=45°，再利用三角形的内角和求解．【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=12×90°=45°， ∴∠ADC=∠A′DC=180°−45°−50°=85°，∴∠A′DB=180°−85°×2=10°．故答案为：10°．【点睛】本题利用对折考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 17．120【分析】由平行四边形的性质和已知条件易证△ABE 为等边三角形则∠BAE ＝60°进而可求出∠BAD 的度数【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠EAD ＝∠AEB ∵AE 平分∠BAD解析：120【分析】由平行四边形的性质和已知条件易证△ABE为等边三角形，则∠BAE＝60°，进而可求出∠BAD的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵AB＝AE，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠BAD＝2∠BAE＝120°，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定和性质，正确证明△ABE是等边三角形是解题关键．18．12【分析】多边形的外角和为360°而多边形的每一个外角都等于30°由此做除法得出多边形的边数【详解】∵360°÷30°=12∴这个多边形为十二边形故答案为：12【点睛】本题考查了多边形的内角与外角解析：12【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．【详解】∵360°÷30°=12，∴这个多边形为十二边形，故答案为：12．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．关键是明确多边形的外角和为360°．19．102°【分析】根据领补角的定义正多边形的内角和及三角形内角和进行求解即可【详解】解：由题意得如图所示正五边形的每个内角为108°正方形的每个内角为90°正三角形的每个内角为60°所以因为所以可得故解析：102°【分析】根据领补角的定义、正多边形的内角和及三角形内角和进行求解即可．【详解】 解：由题意得，如图所示，正五边形的每个内角为108°，正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，所以2418010872∠+∠=︒-︒=︒，3618060120∠+∠=︒-︒=︒，151809090∠+∠=︒-︒=︒，因为54+6180∠+∠∠=︒，所以可得1+2372+120+90180102∠∠+∠=︒︒︒-︒=︒． 故答案为102°．【点睛】本题主要考查三角形内角和、正多边形的内角，关键是根据图形得到角之间的等量关系，然后利用三角形内角和进行求解即可．20．140°【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和再求出每一个内角的度数【详解】解：该正九边形内角和=180°×（9-2）=1260°则每个内角的度数=故答案为：140°【点睛】本题主要考解析：140°【分析】先根据多边形内角和定理：180(2)n ︒•-求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【详解】解：该正九边形内角和=180°×（9-2）=1260°，则每个内角的度数=12601409︒=︒． 故答案为：140°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n-2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）321DE =．【分析】（1）根据等边对等角和直角三角形两锐角互余可得∠D=∠BFE ，再等量代换可得∠D=∠AFD ，根据等角对等边即可证明；（2）过A 作AH ⊥BC ，根据中位线定理可得EH=2，根据三线合一可得EC ，再根据勾股定理可求．【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵DE ⊥BC ， ∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°，∴∠D=∠BFE ，又∵∠BFE=∠AFD ，∴∠D=∠AFD ，∴AD=AF ，即△ADF 为等腰三角形；（2）过A 作AH ⊥BC ，∵5AF BF ==，DE ⊥BC ，∴EF//AH ，∴EF 是△BAH 的中位线，∵BE=2，∴EH=2，∵AB=AC ，∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，∵DA=AF=5，AC=AB=10，∴DC=AD+AC=15，∴22156321DE =-=．【点睛】本题考查中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等．（1）中注意等边对等角，以及等角对等边的使用；（2）中能正确作出辅助线是解题关键．22．（1）见解析；（2）70°【分析】（1）根据平行线的判定得出AC//DE ，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE ，求出∠3+∠ADE=180°，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠BDE 的度数，求出∠2的度数，求出∠3的度数，根据四边形的内角和定理求出∠B ，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】（1）证明：∵∠1=∠BDE ，∴AC//DE ，∴∠2=∠ADE ，∵∠2+∠3=180°，∴∠3+∠ADE=180°，∴AD//EF ；（2）∵∠1=∠BDE ，∠1=40°，∴∠BDE=40°，∵DA 平分∠BDE ，∴∠ADE=12∠BDE=20°， ∴∠2=∠ADE=20°，∵∠2+∠3=180°∴∠3=160°，∵FE ⊥AF ，∴∠F=90°，∴∠B=360°-90°-160°-40°=70°，在△ABC 中，∠BAC=180°-∠1-∠B=180°-40°-70°=70°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，多边形的内角和定理，角平分线的定义，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．23．（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）【分析】（1）根据全等三角形性质得，AB=CD ．AD=BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形；（2）根据平移的性质得//,BC B C BC B C ''''=，故//,AD B C AD B C ''''=，可得四边形AB C D ''是平行四边形；（3）根据直角三角形性质可证60,30,90ABC ABF AFB ︒︒︒∠=∠=∠=，根据勾股定理可得BF =【详解】解：(1)四边形ABCD 是平行四边形理由：因为两块三角尺全等，所以AB=CD ．AD=BC所以四边形ABCD 是平行四边形（2）四边形AB C D ''是平行四边形理由：四边形ABCD 是平行四边形，所以AD//BC ，AD=BC由平移的性质得//,BC B C BC B C ''''=//,AD B C AD B C ''''∴=所以四边形AB C D ''是平行四边形．(3)因为∠ADB=∠CB'D'=30°．∠ABD=∠B'D'C=90°．所以∠C=∠BAD=60°，．因为AD=8．所以AB=BC=4．所以60BAC ︒∠=．60,30,90ABC ABF AFB ︒︒︒∴∠=∠=∠=在Rt ABF ∆中，根据勾股定理得，BF =所以BF的长为【点睛】考核知识点：平行四边形判定．理解平行四边形的判定方法是关键．24．（1）证明见解析；（2）20.【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OD=OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO=∠EBO ，证△DFO ≌△BEO 即可；（2）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AD=BC ，OA=OC ，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE ，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出平行四边形ABCD 的周长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO=∠EBO ，在△DFO 和△BEO 中，{FDO EBOOD OB FOD EOB∠=∠=∠=∠，∴△DFO ≌△BEO （ASA ），∴OE=OF ．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC ，OA=OC ，∵EF ⊥AC ，∴AE=CE ，∵△BEC 的周长是10，∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，∴平行四边形ABCD 的周长=2（BC+AB ）=20．25．详见解析．【分析】利用平行四边形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD 然后证明△ABF ≌△CDE ，进而可得BF ＝DE ，再利用等式的性质进行计算即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CDE ，在△ABF 和△CDE 中BAF DCE AB CD ABF EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△CDE （ASA ），∴ED ＝BF ，∴BD ﹣CF ＝BD ﹣DE ，∴BE ＝DF ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．26．（1）80C ∠=︒；（2）120C ∠=︒．【分析】（1）如图1，过点C 作CH ∥DF ，根据四边形的内角和为360°，求出∠MDC+∠CBN=160°，利用角平分线的定义可得：∠FDC+∠CBE=80°，最后根据平行线的性质可得结论；（2）如图2，连接GC 并延长，同理得：∠MDC+∠CBN=160°，∠FDC+∠CBE=80°，求出∠DGB=40°，可得结论．【详解】（1）如图1，过点C 作CH ∥DF ，∵BE ∥DF ，∴BE ∥DF ∥CH ，∴∠FDC=∠DCH ，∠BCH=∠EBC ，∴∠DCB=∠DCH+∠BCH=∠FDC+∠EBC ，∵BE ，DF 分别为四边形ABCD 的外角∠CBN ，∠MDC 的平分线，∴∠FDC=12∠CDM，∠EBC=12∠CBN，∵∠A+∠BCD=160°，∴∠ADC+∠ABC=360°-160°=200°，∴∠MDC+∠CBN=160°，∴∠FDC+∠CBE=80°，∴∠DCB=80°；（2）如图2，连接GC并延长，同理得∠MDC+∠CBN=160°，∠MDF+∠NBG=80°，∵BE∥AD，DF∥AB，∴∠A=∠MDF=∠DGB=∠NBG=40°，∵∠A+∠BCD=160°，∴∠BCD=160°-40°=120°．【点睛】本题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用多边形的内角和公式和平行线的性质是解题关键．。
初中数学 完全平方公式 综合提高专题专练(word解析版)
完全平方公式 综合提高专题专练一、选择题.1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（ ）A ．xB ．3xC ．6xD ．9x【答案】C ．【解析】①x 2若为平方项，则加上的项是：±2x×3=±6x ；②若x 2为乘积二倍项，则加上的项是：（）2=，26x436x③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x 2或-9．故为：6x 或-6x 或或-x 2或-9．436x 故选C ．2.若二项式9m 2+1加上一个含m 的单项式后是一个关于m 的完全平方式，则符合要求的单项式的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B ．【解析】①9x 2是平方项时，9x 2±6x+1=（3x±1）2，∴可添加的项是6x 或-6x ，②9x 2是乘积二倍项时，x 4+9x 2+1=（x 2+1）2，81492∴可添加的项是x 4，814综上所述，可添加的项是6x 或-6x 或x 4．814故选B ．3. 计算（-a+b ）2的结果正确的是（ ）A ．a 2+b 2B ．a 2+ab+b 2C ．a 2+2ab+b 2D ．a 2-2ab+b 2【答案】D ．【解析】（-a+b ）2=a 2-2ab+b 2，故选D ．4. 下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．（a+1）（-a+1）B ．（a+b ）（b-a ）C ．（-a+b ）（a-b ）D ．（a-b ）（a+b ）【答案】C ．【解析】A 、（a+1）（-a+1）=-（a+1）（a-1），可利用平方差公式计算，此选项错误；B 、（a+b ）（b-a ）=（b+a ）（b-a ），可利用平方差公式计算，此选项错误；C 、（-a+b ）（a-b ）=-（a-b ）（a-b ）=-（a-b ）2，可利用完全平方公式计算，此选项正确；D 、（a-b ）（a+b ）可利用平方差公式计算，此选项错误；故选C ．5.若（x+3y ）2=（x-3y ）2+M ，则M 为（ ）A ．6xyB ．12xyC ．-6xyD ．-12xy 【答案】B ．【解析】根据题意，M=（x+3y ）2-（x-3y ）2=（x+3y+x-3y ）（x+3y-x+3y ）=2x•6y=12xy ，故选B ．6. 若xy=12，（x-3y ）2=25，则（x+3y ）2的值为（ ）A ．196B ．169C ．156D ．144【答案】B ．【解析】（x+3y ）2=（x-3y ）2+12xy=25+12×12=169；故选B ．7. 已知x+=5，那么x 2+=（ ）1x 21x A ．10 B ．23 C ．25D ．27【答案】B ．【解析】x+=5，1x ，221()5x x +=，222125x x ++=．22123x x +=故选B ．8. 计算（-a+b ）（a-b ）等于（ ）A ．a 2-b 2B ．-a 2+b 2C ．-a 2-2ab+b 2D ．-a 2+2ab-b 2【答案】D ．【解析】（-a+b ）（a-b ）=-（a-b ）2=-a 2+2ab-b 2．故选D ．9. 如果（a+b）2-（a-b）2=4，则一定成立的是（ ）A．a是b的相反数B．a是-b的相反数C．a是b的倒数D．a是-b的倒数【答案】C．【解析】∵（a+b）2-（a-b）2=4，而（a+b）2-（a-b）2，=a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2），=4ab，∴得4ab=4，则得ab=1，故ab互为倒数．故选C．二、填空题10. 若4a2-（k-1）a+9是一个关于a的完全平方式，则k= ．【答案】13或-11【解析】∵4a2-（k-1）a+9是一个关于a的完全平方式，∴k-1=±12，解得：k=13或-11.11. 若x2-16x+m是一个完全平方式，那么m的值是；若x2+mx+16是一个完全平方式，那么m的值是．【答案】64；±8.【解析】若x2-16x+m是一个完全平方式，那么m的值是64；若x2+mx+16是一个完全平方式，那么m的值±8.12. 已知m＞0，如果x2+2（m-1）x+16是一个完全平方式，那么m的值为 ．【答案】5．【解析】∵m＞0，如果x2+2（m-1）x+16是一个完全平方式，∴m-1=4，即m=5．13. 小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果4x2+20xy+（ ），但最后一项不慎被污染了，这一项应是 ．【答案】25y2．【解析】∵20xy=2×2x•5y，∴另一平方项是（5y）2，即25y2．14. 已知三项式4x2+——+1是一个完全平方式，但是其中一项看不清了，你认为这一项应该是 （写出所有你认为正确的答案）．【答案】4x，-4x，4x4.【解析】根据题意得：4x2+4x+1=（2x+1）2；4x2-4x+1=（2x-1）2；4x2+4x4+1=（2x2+1）2.15. 如果x2+2（k-3）x+16是一个完全平方式，那么k= ．【答案】7或-1【解析】∵x2+2（k-3）x+16是一个完全平方式，∴2（k-3）=±8，解得：k=7或-1．三、解答题.16.已知关于x的多项式4x2+3（m-3）x+9是完全平方式．（1）求m的值；（2）当m取负值时，m的值是关于x的方程ax-3=2x的解，求此时代数式a2013的值．【答案】（1）m=7或m=-1．（2）-1.【解析】（1）∵4x2+3（m-3）x+9是完全平方式，∴3（m-3）x=±2×2x•3，∴m=7或m=-1．（2）将x=-1代入方程得：-a-3=-2．解得：a=-1．a2013=（-1）2013=-1．17.若（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）+a是一个完全平方式，求a的值．【答案】25．【解析】原式=（x2+x-2）（x2+x-12）+a=（x2+x）2-14（x2+x）+a+24，由结合为完全平方式，得到a+24=49，解得：a=25．18.（1）已知多项式x2+1与一个单项式的和是一个整式的完全平方，请你找出一个满足条件的单项式，并将它与原多项式组成的式子分解因式．（2）当k取何值时，100x2-kxy+49y2是一个完全平方式？【解析】（1）单项式为2x，x2+2x+1=（x+1）2，（2）∵（10x±7y）2=100x2±140xy+49y2，当k=±140时，100x2-kxy+49y2是一个完全平方式．。
初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)
初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)初中数学平方差完全平方公式练题一、单选题1.下列各式添括号正确的是(。
)A.x y(y x)B.x y(x y)C.10m5(2m)D.32a(2a3)2.(1y)(1y)(。
)A.1+y2B.1y2C.1y2D.1y23.下列计算结果为2ab a2b2的是(。
)A.(a b)2B.(a b)2C.(a b)2D.(a b)24.5a24b2=()25a416b4，括号内应填(。
)A.5a24b2B.5a24b2C.5a24b2D.5a24b25.下列计算正确的是(。
)A.(x y)2x22xy y2B.(m2n)2m24n2C.(3x y)2=9x2-6xy+y2D.x5x25x25/46.多项式15m3n25m2n20m2n3各项的公因式是(。
)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn27.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是(。
)A.a2b 2B.5m220mnC.x2y2D.x298.化简(x3)2x(x6)的结果为(。
)A.6x9B.12x9C.9D.3x99.下列多项式能用完全平方公式分解的是(。
)A.x2x 1B.12x x2C.a2a1/2D.a2b22ab10.计算(3a bc)(bc3a)的结果是(。
)A.b2c29a2B.b2c23a2C.b2c29a2D.9a2b2c211.如果x2(m1)x9是一个完全平方式，那么m的值是(。
)A.7B.7C.5或7D.5或512.若a,b,c是三角形的三边之长，则代数式a22bc c2b2的值(。
)A.小于0B.大于0C.等于0D.以上三种情况均有可能二、解答题13.计算：1）-3x2-5y/（x2-5y）；2）9x2+1(1-3x)(-3x-1)。
解：（1）-3x2-5y/（x2-5y）= -3x2/(x2-5y) - 5y/(x2-5y) = -3 - 5y/(x2-5y)。
2）9x2+1(1-3x)(-3x-1) = 9x2+1(9x2+3x-x-1) = (3x+1)(3x-1)。
初中数学提取公因数完全平方公式平方差公式综合练习题(附答案)
初中数学提取公因数完全平方公式平方差公式综合练习题一、单选题1.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )A.()22a b +-B.2520m mn -C.22x y --D.29x -+2.下列分解因式正确的是( )A.()244x x x x -+=-+B.()2x xy x x x y ++=+C. ()()()2x x y y y x x y -+-=-D.()()24422x x x x -+=+- 3.下列各因式分解正确的是( )A.()288x x x x -+=-+B.()22211x x x +-=-C.()2244121x x x -+=-D.()()24222x x x x -=+- 4.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )A.21x x ++B.221x x +-C.21x -D.21025x x -+5.已知216x x k ++是完全平方式，则常数k 等于( )A.64B.48C.32D.166.下列各式中,不能用公式法分解因式的是( )A.269x x -+B.22x y -+C.224x x ++D.222x xy y -+-7.分解因式244a a -+正确的是( )A.()22a -B.()22a +C.()()22a a -+D.()241a a -+ 8.把多项式2816x x -+因式分解,结果正确的是( )A.()24x -B.()28x - C.()()44x x +- D.()()88x x +- 9.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是( )A.21a -B.24a +C.221a a ++D.244a a --10.分解因式:42816a a -+.11.分解因式:1.2232128x xy xy -+；2.()()211x a x a -+-.14.分解因式:()()143p p p +-+= .15.若22425x axy y ++是一个完全平方式，则a =________.16.若225x kx ++是一个完全平方式，则k = .17.若()22316x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m = . 18.分解因式:322x y x y xy -+= . 参考答案1.答案：D解析：A 选项，2a 与()2b -符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A 选项错误;B 选项，2520m mn -()54m m n =-，不能用平方差公式分解因式，故B 选项错误;C 选项，2x 与2y 符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C 选项错误;D 选项，22293x x -+=-+，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D 选项正确.故选D.2.答案：C解析：A.()244x x x x -+=--，故此选项错误；B.()21x xy x x x y ++=++，故此选项错误；C.()()()2x x y y y x x y -+-=-，故此选项正确；D.()22442x x x -+=-，故此选项错误.故选C3.答案：C解析：()288x x x x -+=--，故选项A 错误；原式不能分解因式，故选项B 错误；()2244121x x x -+=-，故选项C 正确；()244x x x x -=-，故选项D 错误.故选C 4.答案：D解析：A ，B 两项不能分解因式，故A ，错误；选项C 可用平方差公式分解因式，()()2111x x x -=-+；选项D 符合套用完全平方公式的式子特点，()2210255x x x -+=-.故C 错误；D 符合完全平方公式的特征，故D 正确解析：1628x x =，2864k ∴==.故选A6.答案：C 解析：选项A 中,原式()23x =-,不符合题意;选项B 中,原式()()y x y x =+-,不符合题意;选项C中,原式不能用公式法分解因式,符合题意;选项D 中,原式()2x y =--,不符合题意.7.答案：A解析：()22442a a a -+=-.8.答案：A解析：()228164x x x -+=-.9.答案：C解析：A 选项,21a -不符合完全平方公式分解因式的特点,故错误;B 选项,24a +不符合完全平方公式分解因式的特点,故错误;C 选项,()22211a a a ++=+,故正确;D 选项,()224428a a a --=--,不符合完全平方公式分解因式的特点,故错误.故选C.10.答案：()()()2222422a a a =-=+-原式 解析：11.答案：1.()223232128264x xy xy x x y y -+=-+2.()()211x a x a -+-()()211x a x a =---()()11x a x =--.解析：12.答案：()231x -解析：()()22236332131x x x x x -+=-+=- 13.答案：()29a -解析：()29a =-原式14.答案：()()22p p +-解析：()()143p p p +-+2343p p p =--+24p =-()()22p p =+-. 15.答案：20±解析：因为222(25)42025x y x xy y ±=±+，所以20a =±.16.答案：10±解析：225x kx ++是一个完全平方式，10k ∴=±.17.答案：1m =-或7解析：()22316x m x +-+是关于x 的完全平方式，()238m ∴-=±，解得1m =-或7.18.答案：()21xy x -解析：原式()()22211xy x x xy x =-+=-.。
初中数学八年级上册乘法公式练习题含答案
初中数学八年级上册乘法公式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列各式能用平方差公式进行计算的是（）A.(x−3)(−x+3)B.(a+2b)(2a−b)C.(a−1)(−a−1)D.(x−3)22. 若x2+2(m−5)x+16是完全平方式，则m的值是( )A.5B.9C.9或1D.5或13. 下列等式中:① (a−b)2n=(b−a)2n (n为正整数);② (−1+2x)(−1−2x)=4x2−1；③(a−b)2=−(b−a)2；④(ab−2b)(−ab−2b)=2b2−a2b2；正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 如图a，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小明将图a的阴影部分拼成了一个矩形，如图b，这一过程可以验证（）A.a2+b2−2ab＝(a−b)2B.a2+b2+2ab＝(a+b)2C.2a2+b2−3ab＝(2a−b)(a−b)D.a2−b2＝(a+b)(a−b)5. 如图能验证的公式是()A.(a−b)(a+b)=a2−b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a−b)2=a2−2ab+b2D.a2−b2=(a−b)(a+b)6. 已知a 3+b 3=9，a +b =3，则ab =( )A.2B.3C.4D.67. 下列运算中，错误的运算有（ ）①(2x +y)2=4x 2+y 2，②(a −3b)2=a 2−9b 2，③(−x −y)2=x 2−2xy +y 2，④(x −12)2=x 2−2x +14．A.1个B.2个C.3个D.4个8.的计算结果为() A.B. C. D.9. 使m 2+m +7是完全平方数的所有整数m 的积是（ ）A.84B.86C.88D.9010. 下列乘法公式的运用，不正确的是( )A.B. C.D.11. 观察右边的图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来进行乘法运算的公式，这个公式是________．12. 分解因式：(2x −3y)3+(3x −2y)3−125(x −y)3=________．13. 计算：(x +2y)(x −2y)=________．14. 已知，ab =6，则a 2+b 2的值是________ ．15. 有一个完全平方数44 (44)⏟2014个4.88 (89)⏟2013个8，它是________的平方．16. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证________（填写序号）．①(a+b)2=a2+2ab+b2②(a−b)2=a2−2ab+b2③a2−b2=(a+b)(a−b)④(a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2．17. 已知n2是完全平方数，n3是立方数，则n的最小正数值是________．18. 化简：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)+1=________．19. (x−y+9)(x+y−9)=________．20. 如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若a=3.6，b=0.8，则剩余部分的面积为________．21. 是否存在这样一个正整数，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数？若存在，请求出这个正整数；若不存在，请说明理由．22. 乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是________（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算：10.3×9.7(x+2y−3)(x−2y+3)．23. 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线MN和EF，分别平行于AB、BC，交两组对边于点M、N、E、F，则四边形PFDN、PEBM都是正方形，四边形PEAN、PMCF都是矩形，设正方形PEBM的边长为a，正方形PFDN的边长为b(a<b)．（1）用代数式分别表示正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和以及矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和，并判定两个面积之和的大小．（2）当点P在什么位置时，它们的面积之和相等？（3）用含a、b的代数式表示S△EMD．24. 求证：四个连续自然的积与1之和必定是一个完全平方数．25. 有-块边长为a m的正方形空地，现准备将这块空地的四周均留出b m宽修筑围坝，中间建喷水池．请计算出喷水池的面积．26. 图(1)是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图(2)的形状拼成一个正方形．（1）你认为图(2)中阴影部分的正方形的边长等于多少？________；（2）请用两种不同的方法求图(2)中阴影部分面积．方法一：________；方法二：________；（3）观察图(2)，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)2，(m−n)2，4mn．________；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求(a−b)2的值．27. 已知x=2007，求(23x+3)(3−23x)+(23x−1)(23x+1)的值．28. 已知x+y=7，xy=6，试求：(1)x−y的值；(2)x3y+xy3的值.29. 用简便方法计算：(1)20122−4024×2011+20112(2)20192−2018×2020.30. 计算：(2x−y)(4x2+y2)(2x+y)31. 三个两位的完全平方数连在一起写，得到一个六位的完全平方数，求所有这样的六位完全平方数．32. 将甲、乙两人现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数，这个数为完全平方数，再过31年，将他们的年龄已同样的方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数．试求出甲、乙现在的年龄．33. 如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）按要求填空：①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________；②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：方法1：________；方法2：________；③观察图②，直接写出三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系：________；（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝6，mn＝4，求(m−n)2的值．34. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形(a>b)，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.（1）观察图1、图2，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，可以获得一个因式分解公式，则这个公式是________；（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用(1)中的公式，求a，b的值.35. 如图，求阴影部分的面积，它可以验证哪个公式？36. 利用乘法公式简便计算：20072−2006×2008．37. 阅读理解：若x满足(30−x)(x−10)=160，求(30−x)2+(x−10)2的值．解：设30−x=a，x−10=b，则(30−x)(x−10)=ab=160，a+b=(30−x)+(x−10)=20，(30−x)2+(x−10)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×160=80.解决问题：(1)若x满足(2020−x)(x−2016)=2，则(2020−x)2+(x−2016)2=________；(2)若x满足(2021−x)2+(x−2018)2=2020，求(2021−x)(x−2018)的值；(3)如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E，F是BC，CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为________平方单位．38. (x−2y)(2y+x)39. 请你求出2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)的值．40. 运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102−2011×2009．参考答案与试题解析初中数学八年级上册乘法公式练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】平方差公式【解析】本题是平方差公式的应用，在所给的两个式子中，必须有一项完全相同，有一项相反才可用平方差公式．【解答】解：A、B中不存在相同的项，C、−1是相同的项，互为相反项是a与−a，所以(a−1)(−a−1)=1−a2．D、(x−3)2符合完全平方公式．因此A、B、D都不符合平方差公式的要求；故选C．2.【答案】C【考点】完全平方公式【解析】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2(m−5)=±8，∴m=9或1．【解答】解：∵(x±4)2=x2±8x+16，∴在x2+2(m−5)x+16中，2(m−5)=±8，解得：m=9或1．故选C．3.【答案】A【考点】完全平方公式与平方差公式的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：①(a−b)2n=[(b−a)2]n=(b−a)2n (n为正整数)，故①正确；②(−1+2x)(−1−2x)=1−4x2，故②错误；③(a−b)2=(b−a)2，故③错误；④(ab−2b)(−ab−2b)=4b2−a2b2；故④错误.所以正确的等式有1个.故选A.4.【答案】D【考点】平方差公式的几何背景【解析】利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为a2−b2，根据矩形面积公式可知阴影部分面积为(a+b)(a−b)，二者相等，即可解答．【解答】如图b，阴影部分的面积＝(a+b)(a−b)；如图a，阴影部分的面积＝a2−b2；这一过程可以验证：a2−b2＝(a+b)(a−b)．5.【答案】C【考点】完全平方公式的几何背景【解析】由大正方形的面积-小正方形的面积=剩余部分的面积，进而可以证明平方差公式．【解答】解：S I=a2−2S II−S III，即(a−b)2=a2−2(a−b)b−b2=a2−2ab+b2．故选：C．6.【答案】A【考点】立方公式【解析】首先利用立方差公式得出原式=(a+b)(a2−ab+b2)，进而利用完全平方公式得出关于a+b与ab的形式，求出即可．【解答】解：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)，=(a+b)(a2+2ab+b2−3ab)，=(a+b)[(a+b)2−3ab]，∵a3+b3=9，a+b=3，∴3×(32−3ab)=9，解得：ab=2．故选A.7.【答案】D【考点】完全平方公式【解析】直接利用完全平方公式分别判断各式得出答案即可．【解答】解：①(2x+y)2=4x2+y2+4xy，故此选项错误；②(a −3b)2=a 2−6ab +9b 2，故此选项错误；③(−x −y)2=x 2+2xy +y 2，故此选项错误；④(x −12)2=x 2−x +14，故此选项错误．故错误的有4个．故选：D ．8.【答案】A【考点】平方差公式完全平方公式与平方差公式的综合【解析】首先把199×1999变为(1992−1)(1992+1)，然后利用平方差公式化简，最后合并即可求出结果．【解答】解：19922−199+1993=19922⋅(1992−1)(1992+1)=19922−19922+=故选A ．9.【答案】A【考点】完全平方数【解析】因为m 2+m +7是完全平方数，所以可设m 2+m +7=k 2（k 为正整数），则m 2+m +7−k 2=0，解得m =−1±√4k 2−272，由m 为整数，应有4k 2−27=n 2（n 为正整数），据此求解．【解答】解：设m 2+m +7=k 2（k 为正整数），则m 2+m +7−k 2=0，解得，m =−1±√4k 2−272，∵ m 为整数，∴ 4k 2−27=n 2（n 为正整数），∴ (2k +n)(2k −n)=27，∴ {2k +n =272k −n =1或{2k +n =92k −n =3， 解得{n =13k =7或{n =3k =3， ∴ m 1=−7，m 2=6，m 3=−2，m 4=1，∴ m 1m 2m 3m 4=−7×6×(−2)×1=84．故选A ．10.【答案】D【考点】平方差公式完全平方公式完全平方公式与平方差公式的综合【解析】分别利用平方差公式及完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【解答】解：A选项运用平方差公式(2a+b)(2a−b)=(2a)2−b2=4a2−b2B选项运用平方差公式(−2a+3)(3+2a)=32−(2a)2=9−4a2C选项是运用了完全平方公式计算正确；D选项运用完全平方公式计算(−1−3x)2=(1−3x)2=1+6x+9x2，所以D选项错误．故选D．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2【考点】完全平方公式的几何背景【解析】此题观察一个正方形被分为四部分，把这四部分的面积相加就是边长为a+b的正方形的面积，从而得到一个公式．【解答】解：由图知，大正方形的边长为a+b，∴大正方形的面积为，(a+b)2，根据图知，大正方形分为：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，两个长为b，宽为a的长方形，∵大正方形的面积等于这四部分面积的和，∴(a+b)2=a2+2ab+b2，故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2．12.【答案】15(2x−3y)(3x−2y)(y−x)【考点】立方公式【解析】利利用立方差公式A3+B3+C3−3ABC=(A+B+C)(A2+B2+C2−BC−CA−AB)，从而得出A3+B3+C3=3ABC，即(2x−3y)3+(3x−2y)3−125(x−y)3符合上述公式，即可得出答案．【解答】解：∵A3+B3+C3−3ABC=(A+B+C)(A2+B2+C2−BC−CA−AB)，若A+B+C=0，便有A3+B3+C3=3ABC，令A=2x−3y，B=3x−2y，C=5y−5x，则符合上述条件，易得A3+B3+C3=3ABC．∴(2x−3y)3+(3x−2y)3−125(x−y)3=3(2x−3y)(3x−2y)[5(y−x)]，=15(2x−3y)(3x−2y)(y−x)，故答案为：15(2x−3y)(3x−2y)(y−x)．13.【答案】x2−4y2【考点】平方差公式【解析】符合平方差公式结构，直接利用平方差公式计算即可．【解答】解：(x+2y)(x−2y)=x2−4y2．故答案为：x2−4y2．14.【答案】244【考点】完全平方公式完全平方公式与平方差公式的综合【解析】已知第一个等式左边利用完全平方公式展开，将ab的值代入计算即可求出a2+b2的值．【解答】(a+b)2=a2+2ab+b2=256,ab=6∴a2+b2=24A故答案为24415.【答案】13(2×101007+10−1007)【考点】完全平方数【解析】先将式子变形为19×(4×102014+4+10−2014)，再根据完全平方公式即可得到原式=[13(2×101007+10−1007)]2．依此即可求解．【解答】解：44 (44)⏟2014个4.88 (89)⏟2013个8=4×11...11+8×0.11...1+0.00...1(2014个1)=49×(99...9)+89×(0.99...9)+0.00...1(2014个9)=49×(102014−1)+89×(1−0.00...1)+0.00 (1)=49×102014−49+89−89×10−2014+10−2014=19×(4×102014+4+10−2014)=[13(2×101007+10−1007)]2．故答案为：13(2×101007+10−1007)．16.【答案】③【考点】平方差公式的几何背景【解析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2−b2；第二个图形阴影部分是一个长是(a+b)，宽是(a−b)的长方形，面积是(a+b)(a−b)；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2−b2，图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a−b)，而两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)．故可以验证③．故答案为：③．17.【答案】648【考点】完全平方数立方公式【解析】根据n2是完全平方数、n3是立方数即可设n=2m2=3k3（m，k是正整数），则k是偶数，即可求得n的最小正数值，即可解题．【解答】解：∵n2是完全平方数，n3是立方数，∴设n=2m2=3k3（m，k是正整数）．由此k应是偶数，又要求n的最小正数值，∴只需取k=2，4，6试算，再注意m为3的倍数，即n为9的倍数，∴只需从6，12，试算即可，当k=6时，n=648即为所求．故答案为：648．18.【答案】732【考点】平方差公式【解析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：原式=(7−1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)+1=(72−1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)+1=(74−1)(74+1)(78+1)(716+1)+1=(78−1)(78+1)(716+1)+1=(716−1)(716+1)+1=732−1+1=732．故答案为：73219.【答案】x2−y2+18y−81【考点】平方差公式完全平方公式【解析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后根据完全平方公式展开即可．【解答】解：原式=[−(y−9)][x+(y−9)]=x2−(y−9)2=x2−y2+18y−81，故答案为：x2−y2+18y−81．20.【答案】10.4【考点】完全平方公式的几何背景【解析】直接利用已知图形，用总面积减去4个正方形面积进而得出答案．【解答】解：由题意可得：剩余部分的面积为：a2−4b2=(a+2b)(a−2b)，将a=3.6，b=0.8代入上式可得：原式=(3.6+2×0.8)(3.6−2×0.8)=10.4．故答案为：10.4．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：假设存在这样的正整数m，由题意得：m+100=x2①；m+129=y2②，②-①得y2−x2=29．所以(y+x)(y−x)=29×1．只有当x +y =29，y −x =1时，成立，即{x +y =29y −x =1， 解得：{y =15x =14， 所以m =x 2−100=142−100=196−100=96，∴ 存在正整数96，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数．【考点】完全平方数【解析】利用分解因式求不定方程的整数解，再求m 的值，进而得出答案．【解答】解：假设存在这样的正整数m ，由题意得：m +100=x 2①；m +129=y 2②，②-①得y 2−x 2=29．所以(y +x)(y −x)=29×1．只有当x +y =29，y −x =1时，成立，即{x +y =29y −x =1， 解得：{y =15x =14， 所以m =x 2−100=142−100=196−100=96，∴ 存在正整数96，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数．22.【答案】a 2−b 2a −b ,a +b ,(a +b)(a −b)(a +b)(a −b)=a 2−b 2（4）10.3×9.7=(10+0.3)(10−0.3)=100−0.09=99.91；(x +2y −3)(x −2y +3)=[x +(2y −3)][x −(2y −3)]=x 2−(2y −3)2=x 2−(4y 2−12y +9)=x 2−4y 2+12y −9．【考点】平方差公式的几何背景【解析】（1）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，据此即可写出；（2）宽是第一个图中的矩形的宽，长是两矩形的长的和，根据矩形的面积公式即可得到；（3）根据（1）（2）表示的两个图形的面积相等，即可得到公式；（4）10.3×9.7=(10+0.3)(10−0.3)，(x +2y −3)(x −2y +3)=[x +(2y −3)][x −(2y −3)]，再利用（3）得到的公式，即可计算．【解答】解：（1）a 2−b 2；（2）宽是：a−b，长是：a+b，面积是：(a+b)(a−b)；(3)(a+b)(a−b)=a2−b2；（4）10.3×9.7=(10+0.3)(10−0.3)=100−0.09=99.91；(x+2y−3)(x−2y+3)=[x+(2y−3)][x−(2y−3)]=x2−(2y−3)2=x2−(4y2−12y+9)=x2−4y2+12y−9．23.【答案】解：（1）正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和为：a2+b2；矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和为：ab+ab=2ab；a2+b2−2ab=(a−b)2>0，∴正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和大于矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和；（2）当点P在中点时，它们的面积之和相等；（3）S△EMD=12(a+b)2−12b(a+b)−14a2=12a2+ab+12b2−12ab−12b2−14a2=1 4a2+12ab．【考点】完全平方公式的几何背景【解析】（1）根据正方形及矩形的面积公式即可得出答案；（2）当a=b时面积相等；（3）根据直角三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和为：a2+b2；矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和为：ab+ab=2ab；a2+b2−2ab=(a−b)2>0，∴正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和大于矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和；（2）当点P在中点时，它们的面积之和相等；（3）S△EMD=12(a+b)2−12b(a+b)−14a2=12a2+ab+12b2−12ab−12b2−14a2=1 4a2+12ab．24.【答案】证明：设最小的自然数为n，则有n×(n+1)×(n+2)×(n+3)+1=[n×(n+3)]×[(n+1)×(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2．故四个连续自然的积与1之和必定是一个完全平方数．【考点】完全平方数【解析】可设最小的自然数为n，则四个连续自然数的积加l，可以写成n×(n+1)×(n+ 2)×(n+3)+1，再转化为[n×(n+3)]×[(n+1)×(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+ 3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2．从而得以证明．【解答】证明：设最小的自然数为n，则有n×(n+1)×(n+2)×(n+3)+1=[n×(n+3)]×[(n+1)×(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2．故四个连续自然的积与1之和必定是一个完全平方数．25.【答案】(a2−4ab+4b2)m2或(a−2b)2m2．【考点】完全平方公式的几何背景【解析】利用正方形的面积减去四周围坝的面积，四个角处都多减了一次，所以再加上四个边长为b的小正方形的面积就是喷泉水池的面积，即可得出答案．【解答】解：喷泉水池的面积为：a2−4ab+4b2或(a−2b)2．26.m−n，(m−n)2，(m+n)2−4mn，(m−n)2=(m+n)2−4mn．m−n,(m−n)2,(m+n)2−4mn(m+n)2−4mn=(m−n)2(4)(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×5=29．【考点】完全平方公式的几何背景【解析】（1）根据观察图形，可得小正方形的边长；（2）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二；（3）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；（4）根据规律，可得答案．【解答】解：（1）图(2)中阴影部分的正方形的边长等于多少？m−n；（2）请用两种不同的方法求图(2)中阴影部分面积．方法一：(m−n)2；方法二：(m+n)2−4mn；（3）观察图(2)，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)2，(m−n)2，4mn．(m+n)2−4mn=(m−n)2；(4)(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×5=29．27.【答案】解：(23x+3)(3−23x)+(23x−1)(23x+1)，=9−49x2+49x2−1，=8，所以，x=2007时，原式=8．【考点】平方差公式【解析】利用平方差公式计算，再把x=2007代入进行计算即可得解．【解答】解：(23x+3)(3−23x)+(23x−1)(23x+1)，=9−49x2+49x2−1，=8，所以，x=2007时，原式=8．28.解：(1)(x−y)2=(x+y)2−4xy=25∴x−y=±5.(2)x2+y2=(x+y)2−2xy=37，所以原式=xy(x2+y2)=222.【考点】完全平方公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)(x−y)2=(x+y)2−4xy=25∴x−y=±5.(2)x2+y2=(x+y)2−2xy=37，所以原式=xy(x2+y2)=222.29.【答案】解：(1)原式=20122−2×2012×2011+20112 =(2012−2011)2=1.(2)原式=20192−(2019−1)×(2019+1)=20192−(20192−1)=1.【考点】完全平方数平方差公式完全平方公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)原式=20122−2×2012×2011+20112 =(2012−2011)2=1.(2)原式=20192−(2019−1)×(2019+1)=20192−(20192−1)=1.30.【答案】解：原式=(2x−y)(2x+y)(4x2+y2)=(4x2−y2)(4x2+y2)=16x4−y4．【考点】平方差公式先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式=(2x−y)(2x+y)(4x2+y2)=(4x2−y2)(4x2+y2)=16x4−y4．31.【答案】解：两位的完全平方数只有：16，25，36，49，64，81，如果一个数的十位数字是奇数且是完全平方数，则个位数字一定是6，也就是16在个位和十位位置，完全平方数具有：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型，且根据是8的倍数的特征是整数末三位是8的倍数，而任意三个两位的完全平方数连在一起写，是8的倍数的只有166464，646416，故所有这样的六位完全平方数是：166464，646416．【考点】完全平方数【解析】首先得出所有的两位的完全平方数，再利用完全平方数的特征奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型，进而得出答案．【解答】解：两位的完全平方数只有：16，25，36，49，64，81，如果一个数的十位数字是奇数且是完全平方数，则个位数字一定是6，也就是16在个位和十位位置，完全平方数具有：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型，且根据是8的倍数的特征是整数末三位是8的倍数，而任意三个两位的完全平方数连在一起写，是8的倍数的只有166464，646416，故所有这样的六位完全平方数是：166464，646416．32.【答案】解：设甲年龄为x岁，乙年龄为y岁，可得，100x+y=m2，100(x+31)+y+31=n2，两式相减得100×31+31=n2−m2，31×101=(n−m)(n+m)，∴{n+m=101n−m=31，解得，{n=66m=35，∴100x+y=352=1225，∴x=12，y=25，故甲年龄为12+31=42岁，乙年龄为25+31=56岁．【考点】完全平方数【解析】设甲年龄为x岁，乙年龄为y岁，可得100x+y=m2，100(x+31)+y+31=n2，两式相减因式分解后得到31×101=(n−m)(n+m)，得到方程组后解答即可．解：设甲年龄为x 岁，乙年龄为y 岁，可得，100x +y =m 2，100(x +31)+y +31=n 2，两式相减得100×31+31=n 2−m 2，31×101=(n −m)(n +m)，∴ {n +m =101n −m =31， 解得，{n =66m =35， ∴ 100x +y =352=1225，∴ x =12，y =25，故甲年龄为12+31=42岁，乙年龄为25+31=56岁．33.【答案】m −n ,(m −n)2,(m +n)2−4mn ,(m +n)2−(m −n)2＝4mn(m −n)2的值为20【考点】完全平方公式的几何背景【解析】（1）①根据拼图即可得图②中的阴影部分的正方形的边长；②根据正方形和长方形的面积即可用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： ③结合图②，即可写出三个代数式(m +n)2，(m −n)2，mn 之间的等量关系；（2）根据（1）题中的等量关系，若m +n ＝6，m ＝4，即可求(m −n)2的值．【解答】①观察图②中的阴影部分的正方形的边长为：m −n ．故答案为m −n ；②两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：方法1：(m −n)2；方法2：(m +n)2−4mn故答案为：(m −n)2、(m +n)2−4mn ；③观察图②，三个代数式(m +n)2，(m −n)2，mn 之间的等量关系：(m +n)2＝(m −n)2+4mn ．故答案为：(m +n)2＝(m −n)2+4mn ；根据（1）题中的等量关系：把m +n ＝6，m ＝4代入：(m +n)2＝(m −n)2+4mn ，∴ (m −n)2＝36−16＝20．答：(m −n)2的值为20．34.【答案】a 2−b 2=(a +b)(a −b)解：由题意可得：a −b =3.∵ a 2−b 2=(a +b)(a −b)=57.∴ a +b =19.∴ {a +b =19,a −b =3.解得{a =11,b =8.∴a，b的值分别是11，8.【考点】平方差公式的几何背景【解析】（1）根据两个图形的面积即可列出等式；（2）根据题意得到a−b=3，由面积相差57得到a+b=19，解a与b组成的方程组求解即可．【解答】解：（1）图1阴影面积=a2−b2，图2的阴影面积=(a+b)(a−b)a2−b2=(a+b)(a−b)故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)35.【答案】解：由图可得：(a−b)2=a2−2ab−b2．【考点】完全平方公式的几何背景【解析】观察图形可以看出，阴影部分是一个正方形，阴影部分的面积=(a−b)2；从图中还可以发现，阴影部分是一个大正方形减两个长方形减一个小正方形得到的，阴影部分的面积=大正方形的面积−2个长方形的面积-小正方形的面积，即可解答．【解答】解：由图可得：(a−b)2=a2−2ab−b2．36.【答案】解：原式=20072−(2007−1)(2007+1)=20072−20072+1=1．【考点】平方差公式【解析】原式变形后，利用平方差公式即可得到结果．【解答】解：原式=20072−(2007−1)(2007+1)=20072−20072+1=1．37.【答案】12(2)设2021−x=c，x−2018=d，则(2021−x)2+(x−2018)2=c2+d2=2020，c+d=(2021−x)+(x−2018)=3，∴2(2021−x)(x−2018)=2cd=(c+d)2−(c2+d2)=32−2020=−2011，∴(2021−x)(x−2018)=cd=−2011.2384【考点】完全平方公式的几何背景完全平方公式【解析】1【解答】解：(1)设2020−x=a，x−2016=b，则(2020−x)(x−2016)=ab=2，a+b=(2020−x)+(x−2016)=4，∴(2020−x)2+(x−2016)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=42−2×2=12.故答案为：12.(2)设2021−x=c，x−2018=d，则(2021−x)2+(x−2018)2=c2+d2=2020，c+d=(2021−x)+(x−2018)=3，∴2(2021−x)(x−2018)=2cd=(c+d)2−(c2+d2)=32−2020=−2011，∴(2021−x)(x−2018)=cd=−2011.2(3)由题意得，CF=20−x，CE=12−x，CF⋅CE=(20−x)(12−x)=160，∴图中阴影部分的面积和为：(20−x)2+(12−x)2.设20−x=e，12−x=f，则(20−x)(12−x)=ef=160，e−f=(20−x)−(12−x)=8，(20−x)2+(12−x)2=e2+f2=(e−f)2+2ef=82+2×160=384.故答案为：384.38.【答案】解：(x−2y)(2y+x)=x2−(2y)2=x2−4y2．【考点】平方差公式【解析】根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2进行计算即可．解：(x−2y)(2y+x)=x2−(2y)2=x2−4y2．39.【答案】解：2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)，=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)，=(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)，=(34−1)(34+1)(38+1)，=(38−1)(38+1)，=316−1，．【考点】平方差公式【解析】根据平方差公式，可把2看成是(3−1)，再根据平方差公式即可算出结果．【解答】解：2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)，=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)，=(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)，=(34−1)(34+1)(38+1)，=(38−1)(38+1)，=316−1，．40.【答案】解：（1）1001×999+1=(1000+1)×(1000−1)+1=10002−12+1=1000000；（2）20102−2011×2009=20102−(2010+1)×(2010−1)=20102−(20102−1)=1．【考点】平方差公式【解析】（1）把所求式子中1001变形为(1000+1)和999变形为(1000−1)，得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的2001变形为(2000+1)，2009变形为(2000−1)，得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：（1）1001×999+1=(1000+1)×(1000−1)+1=10002−12+1=1000000；（2）20102−2011×2009=20102−(2010+1)×(2010−1)=20102−(20102−1)。
完全平方公式和平方差公式综合应用
完全平方公式和平方差公式综合应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One111月13日1．4a 2＋4a ＋3＝（2a ＋1）2＋_______．2．（a －b ）2＝（a ＋b ）2－________．3． （－2m －3n ）2 4. （41s ＋31t 2）25. （－2a ＋4b ）2；6. （41a －32c ）2；7.（5x －3y －2）（5x ＋3y －2）； 8.（x －2y ）（x 2+4y 2）（x ＋2y ）；9.（a ＋3）2＋（3a －5）2； 11. （2a ＋3）2＋（3a －2）2（6）（a －b ＋5c －2）（a ＋b －5c －2）；（7）（－s +2t ）（－s －2t ）－（－s －2t ）2；（8）（t －4）2（t ＋4）2（t 2＋16）2．2．用简便方法计算：（1）1982； （2）3022；（3）1992－198×200； （4）49×51－502．3．已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4．已知16x x -=，求221x x+的值。
5观察下列各式的规律．;)121(2)21(12222+⨯=+⨯+;)132(3)32(22222+⨯=+⨯+;)143(4)43(32222+⨯=+⨯+…（1）写出第2007行的式子；（2）写出第n 行的式子，并说明你的结论是正确的．6．试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
7如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形．（1）如图1，连接AG 、CE ，判断AG 和CE 的数量关系和位置关系并证明．（2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG 、CE 相交于点M ，连接MB ，求出∠EMB 的度数．（3）若BE=2，BC=6，连接DG ，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），则在这个旋转过程中线段DG 长度的取值范围 （直接填空，不写过程）．。
2020—2021年北师大版初中数学七年级下册完全平方公式测试题及答案精品试卷.docx
《完全平方公式》习题一、选择题1．下列等式成立的是()A.（-1）3=-3B.（-2）2×（-2）3=（-2）6C.2a-a=2D.（x-2）2=x2-4x+42．若(2x-5y)2=(2x+5y)2+m，则代数式m为()A.-20xyB.20xyC.40xyD.-40xy3．下列计算中，正确的是()A.x2•x5=x10B.3a+5b=8abC.（a+b）2=a2+b2D.（-x）6÷（-x）4=x24．下面各运算中，结果正确的是()A.2a3+3a3=5a6B.-a2•a3=a5C.（a+b）（-a-b）=a2-b2D.（-a-b）2=a2+2ab+b25．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为()A.12B.6C.3D.06．不论x，y为何有理数，x2+y2-10x+8y+45的值均为()A.正数B.零C.负数D.非负数二、填空题7．已知：a-b=3，ab=1，则a2-3ab+b2=_____．8．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值为_____．9．若a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，则a+b的值为_____．10．填上适当的整式，使等式成立：(x-y)2+_____=(x+y)2．三、解答题11．已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小，并说明理由．12．已知(a+b)2=24，(a-b)2=20，求：(1)ab的值是多少？(2)a2+b2的值是多少？13．已知2(x+y)=-6，xy=1，求代数式(x+2)-(3xy-y)的值．14．计算：①29.8×30.2；②46×512；③2052．15．计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c)．参考答案一、选择题1．答案：D解析：【解答】A：（-1）3=（-1）×（-1）×（-1）=-1，故选项A错误；B：（-2）2×（-2）3=（-2）2+3=（-2）5，故选项B错误；C：2a-a=（2-1）a=a，故选项C错误；D：（x-2）2=x2-2•x•2+22=x2-4x+4，故选项D正确．故选：D【分析】根据同底数幂的乘法运算，底数不变指数相加，以及有理数的乘方，完全平方公式算出即可．2．答案：D解析：【解答】（2x-5y）2=（2x+5y）2+m，整理得：4x2-20xy+25y2=4x2+20xy+25y2+m，∴-20xy=20xy+m，则m=-40xy．故选：D【分析】利用完全平方公式化简已知等式，根据多项式相等的条件即可求出m．3．答案：D解析：【解答】A、因为x2•x5=x2+5=x7，故本选项错误；B、3a和5b不是同类项的不能合并，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（-x）6÷（-x）4=（-x）6-4=（-x）2=x2．正确．故选D．【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．4．答案：D解析：【解答】A、原式=5a3，故选项错误；B、原式=-a5，故选项错误；C、原式=-（a+b）2=-a2-2ab-b2，故选项错误；D、原式=（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项正确．故选D．【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式变形后，利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．5．答案：A解析：【解答】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．故选A．【分析】根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．6．答案：A解析：【解答】x2+y2-10x+8y+45，=x2-10x+25+y2+8y+16+4，=（x-5）2+（y+4）2+4，∵（x-5）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x-5）2+（y+4）2+4＞0，故选A．【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．二、填空题7．答案：8解析：【解答】∵（a-b）2=32=9，∴a2-3ab+b2=（a-b）2-ab=9-1=8【分析】应把所给式子整理为含（a-b）2和ab的式子，然后把值代入即可．8．答案：16解析：【解答】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=16．【分析】原式利用完全平方公式化简，将a+b的值代入计算即可求出值．9．答案：2或-2解析：【解答】∵a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，∴a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，∴a2b2-2ab+1+a2+b2-2ab=0，∴（ab-1）2+（a-b）2=0，∴ab=1，a-b=0，∴a=b=1或-1，∴a+b=2或-2．【分析】首先把2ab移到等式的左边，然后变为a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．10．答案：4xy解析：【解答】（x+y）2-（x-y）2=（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）=4xy．【分析】所填的式子是：（x+y）2-（x-y）2，化简即可求解．三、解答题11．答案：见解答过程解析：【解答】xy＞x+y，理由是：∵x＞2，y＞2，∴xy＞2y，xy＞2x，∴相加得：xy+xy＞2y+2x，∴2xy＞2（x+y），∴xy＞x+y．【分析】根据已知得出xy＞2y，xy＞2x，相加得出xy+xy＞2y+2x，即可求出答案．12．答案：（1）ab=1；（2）a2+b2=22．解析：【解答】∵（a+b）2=24，（a-b）2=20，∴a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，（1）①-②得：4ab=4，则ab=1；（2）①+②得：2（a2+b2）=44，则a2+b2=22．【分析】由（a+b）2=24，（a-b）2=20，可以得到：a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，通过两式的加减即可求解．13．答案：-4．解析：【解答】∵2（x+y）=-6，即x+y=-3，xy=1，∴（x+2）-（3xy-y）=x+2-3xy+y=（x+y）-3xy+2=-3-3+2=-4．【分析】将所求式子去括号整理变形后，把x+y与xy的值代入计算，即可求出值．14．答案：①899.96；②1012；③42025．解析：【解答】①29.8×30.2=（30+0.2）（30-0.2）=302-0.22=900-0.04=899.96；②46×512=212×512=（2×5）12=1012；③2052=（200+5）2=40000+2000+25=42025．【分析】①首先将原式变为：（30+0.2）（30-0.2），然后利用平方差公式求解即可求得答案；②利用幂的乘方，可得46=212，然后由积的乘方，可得原式=（2×5）12=1012；③首先将205化为：200+5，然后利用完全平方公式求解即可求得答案．15．答案：a2-4b2+12bc-9c2解析：【解答】（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2+12bc-9c2．【分析】首先将原式变为：[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]，然后利用平方差公式，即可得到a2-（2b-3c）2，求出结果．。
初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)
8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。
3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一： ；方法二： ；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。
初中数学《完全平方式与完全平方公式》专项练习(含答案)
完全平方式与完全平方公式姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题1.设x 为正整数，若1x +是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）A.xB.1x -C.1x -D.2x -2.如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）A.1a +B.21a +C.221a a ++D.1a +二 、填空题3.若243(2)25x a x --+是完全平方式，那么a 的值为 ．4.已知2216m km ++是完全平方式，则______k =5.若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ．6.⑴若2414039x x -+=，则x =⑵若228x xy k ++是一个完全平方式，则k = ⑶若224m kmn n ++是一个完全平方式，则k =7.求224243a b a b +--+的最值．8.已知2(1)()5a a a b ---=-，则222a b ab +-的值为 9.⑴如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为 ⑵如果多项式24x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为10.若a ，b 为有理数，且2222480a ab b a -+++=，则ab = ．11.若214x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是12.若式子294x M ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式M ．三 、解答题 13.已知3a b +=，12ab =，求下列各式的值：⑴22a b +；⑵22a ab b -+；⑶2()a b -14.计算：⑴222(30.5)a b ab + ⑵2(1113)m n a b - ⑶2(25)(52)(25)x x x ----15.⑴先化简后求值：2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.⑵计算：(22)(22)x y y x -+-+.16.若243(2)25x a x --+是完全平方式，求a 的值．17.求下列式子的最值：⑴当x 为何值时，249x x -+有最小值；⑵当x 为何值时，2615x x -+-有最大值.18.计算：⑴22(2)(2)x x +-；⑵(59)(59)x y x y +--+； ⑶()()a b c a b c ++--； ⑷先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-19.计算：⑴2(35)x y z -+；⑵2(59)x y --； 填空：⑶2222111111(__________________)9164643a b c ab bc ca +++++=++； ⑷22224164816(____________4)m n p mn np pm p ++--+=-+完全平方式与完全平方公式答案解析一 、选择题1.D ；设21y x =+，则y =22(1)21112y y y x x -=-+=+-=-，故选D ．2.D ；∵自然数a 是一个完全平方数，∴a a 的算术平方根大11+，∴这个平方数为：21)1a =+．故选D ．二 、填空题3.222243(2)25(2)3(2)5(25)x a x x a x x --+=--+=± 即2243(2)2542025x a x x x --+=-+或2243(2)2542025x a x x x --+=++ 故3(2)20a --=或3(2)20a --=-，解得：143a =-或263a = 4.∵2216m km ++是完全平方式，∴28km m =±，解得4k =±5.222244a ab b a -+++22222244()(2)0a ab b a a a b a =-++++=-++=，所以2a b ==-，则2216a b ab +=-．6.（1）16（2）4y ±（3）4±7.22224243(1)(21)11a b a b a b +--+=-+-+≥，所以有最小值1． 8.由条件得5a b -=，222()25222a b a b ab +--== 9.完全平方：2222()a ab b a b ±+=±， ⑴参看公式我们可以发现23k =±，学生在此极易少答案；⑵4k =±． 10.()()()222222248240a ab b a a b a -+++=-++=， 所以4a =-，122b a ==-，(4)(2)8ab =-⨯-=．11.1±12.若把M 视为2ab 这一项，22294(3)2x M x M ++=++，此时M 可以为12x ±； 若把29x 视为2ab 这一项，2229942224x M M x ++=++⨯⨯，此时M 可以为48116x ； 若把4视为2ab 这一项，22294(3)233x M x M x x ++=++⨯⨯，此时M 可以为249x（舍），M 还可以是29x -、4-．综上所述M 为：12x ±或48116x 或29x -或4- 三 、解答题 13.⑴22222222()232(12)33a b a ab b ab a b ab +=++-=+-=-⨯-=⑵2222223()345a ab b a ab b ab a b ab -+=++-=+-=⑶222222()224()457a b a ab b a ab b ab a b ab -=-+=++-=+-=14.⑴222423324(30.5)930.25a b ab a b a b a b +=++；⑵222(1113)121286169m n m m n n a b a a n b -=-+；⑶22222(25)(52)(25)(25)(25)2(25)84050x x x x x x x x ----=----=--=-+-.15.⑴222222()()()2(2)2(22)2x y x y x y x x xy y x y x x xy x x y ⎡⎤-++-÷=-++-÷=-÷=-⎣⎦又3x =， 1.5y =，故原式3 1.5 1.5x y =-=-=.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y x x y x x x y ⎡⎤-++-÷=-⋅÷=-=⎣⎦⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+- 16.222243(2)25(2)3(2)5(25)x a x x a x x --+=--+=±即2243(2)2542025x a x x x --+=-+或2243(2)2542025x a x x x --+=++ 故3(2)20a --=或3(2)20a --=-，解得：143a =-或263a = 17.⑴2249(2)55x x x -+=-+≥，故最小值为5；⑵222615(69)6(3)66x x x x x -+-=--+-=----≤，故最小值为6-.18.(1)[]2222242(2)(2)(2)(2)(4)816x x x x x x x +-=+-=-=-+；(2)22(59)(59)(59)x y x y x y +--+=--2222(259081)259081x y y x y y =--+=-+-. (3)原式[][]22222()()()2a b c a b c a b c a b c bc =++-+=-+=---(4)2222(32)(32)5(1)(21)9455(441)95x x x x x x x x x x x +-----=--+--+=- 又13x =-，故原式=1959()583x -=⨯--=-19.⑴2222(35)92561030x y z x y z xy yz zx -+=++--+；⑵222(59)2581109018x y x y xy y x--=++-+-.⑶13a，14b，12c；⑷2m，n.。
初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)
初中数学平方差完全平方公式练习题一.单选题1•下列各式添括号正确的是()2. (l + y)d-y) = ()3•下列计算结果为Iab-Cr-Iy 的是(4.(-5√+4⅛2)( ) = 25/-16庆，括号内应填()6.多项式15∕7ΓH 2 +5〃,死一20〃円F 各项的公因式是()D. 5mn 2 7.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是()&化简(—3)2 -X(X-6)的结果为()9 •下列多项式能用完全平方公式分解的是(10•计算(3"-址)(-加- ％)的结果是()11•如果X 2+(,H-I)X+ 9是一个完全平方式，那么m 的值是(12•若么处 是三角形的三边之长，贝IJ 代数式√÷2bc -c 2-∕r 的值(二.解答题13. 讣算：(1) (-3x 2-5y)(3x 2-5y):(2) (9X 2+1)(1-3Λ∙)(-3X -1)・14. 因式分解.(1 ) 2m(x 一 y) 一 3〃 (X - y) A. -A e — >= —(y -A) B.x-y = _(X + y)C. 10 一〃ι = 5(2 一加)D. 3 —2z∕ = —(2a — 3)A.l + y 2B.-ι-rC.1 -y 2D.-l + y 2A. ("-b)2B ∙(-α-∕√ C.-(" + b)2 D.-(α-Z√ A.5Λ2 ÷4∕?2 B. 5√-4∕?2 C. -5/-劲2 D. -5Π2+4/?25•下列计算正确的是()A. (-A - y)2 = -X 2 一 2Q - y 2B.G∏÷2∕?)2 =W 2÷4H 2C. (一3x + y)2 = 3Λ2 _ 6xy + y 2D.丄 x +5 = iχ2+5x + 25 A. 5/zz/zA .∏2+(→)2 B.5〃厂-20〃〃? C.-x D ∙-F+9A.6Λ-9B.-12x+9C.9D.3x + 9A. .v -x+1c ∙"2+"+l D.-σ2+ 庆-2ab A.∕22C 2 +9Λ2B.b 2c 2-3aC.-h 2c 2-9a 2D.-9α2+fe 2c 2 A.7B.-7C.-5或 7D.—5 或 5 A •小于0B •大于0C •等于0D •以上三种情况均有可能(2)-18√+12<r-2</15.用提公因式法将下列各式分解因式：(1 ) -4Π½2^∖2a2b-4ab :(2) (/ -") + C(U -b):(3 ) (3a一 4ft)(7" —Sb) + (Ila一 1 ”)(7“ 一Sb)・16.分解因式：(1)4Λ-2-4X+1:(2)4宀20肋+ 25几(3)9(α-b)2+42(α-b) + 49:(4)(x-2y)2 + 8ΛT ・17.分解因式：(1 ) a】(a_b) + b】(b_a)：(2)x2 -y2 ^2x-2y;(3)x4-16/•18.先化简,再求值:a(a-2) - (a+l) (a - 1)■其中G =-丄219•先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1 + .¥ + X(X +1) + X(X +1)2=(1+ X)[1+ X + X(Λ∙+Γ)J=(1+ X)2(1+Λ)= d + √.(1)±述分解因式的方法是________ ,共应用___________ 了次；(2)若分解1÷A∙÷Λ∙(X÷1)÷X(Λ÷1)2÷..→Λ∙(X÷1)201∖则需应用上述方法________ 次，结果是(3)分解因式：1 ÷A∙÷X(X + 1) + X(X÷I)2 + ∙∙∙ + x(Λ∙ + ∖)n ( H为正整数)・三、填空题20•已知=-3, x+y = 2,贝IJ代数式x2y÷√的值是_____________ ・21•若√7巨+ //_% + 1 = 0,贝IJa = ________ , b = __________ .22.____________________________________________________ 已知(/?? 一* = 40,(W ^n)2 = 4000 ,则m2 + n2的值是 _______________________________________ ・23.己知a-b = 4,ab = —2,则Cr + 4ub + Iy的值为_________ ・24.计算(4 + √7)(4-√7)的结果等于____________ .25.计算：("一b)(α + b)(/ +Z?2)= ________ .参考答案1.答案：D解析：-x-y = -(x+y),故A错误：x-y = -{-x + y)t故B错误；易知C错误.故选D.2.答案：C解析：本题考查平方差公式•由平方差公式可得(i+y)(i->')=ι2-r = ι-r.故选c∙3.答案：D解析：(a -by =cι2 -2ab + b~,{-a-by =(a + b)2 =a2 +2ah + b2 ,-(a + b)2 =-cι2 - 2ab - b~ ,-(a - bγ =-a2+2αZ?-"'.故选 D.4.答案：C解析：∙.∙(-5c, +4⅛2)(-5α2-4b2) = (5α2 -4/,)(5,, + 4h2) = 25α4-16fe4,.∖括号内应填-5a2 -Ab2 . 故选C.5.答案：D解析：(-V- y)2 = X2 + 2xy + y2 ,故 A 错误;(∕n + 2n)2≈m2 + 4mn+ 4zι2,故 B 错误;(-3 A + y)2 = 9X2-6xy, + y2» 故 C 错误：GX+ 5∣ =∙^F+5x + 25,故 Dl匸确.故选 D.6.答案：C解析：多项式15∕√7Γ+5AH2Π-2O∕H V中，各项系数的最大公约数是5,各项都含有的相同字母是加,”，字母m的最低次数是2,字母n的最低次数是1,所以各项的公因式是5m2n .故选C.7.答案：D解析：A选项，/与(_方)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误:B选项，5m2-20nu j=5m(m-4n),不能用平方差公式分解因式，故B选项错误;C选项，F与尸符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误:D选项，-X2+9=-A-2+32,两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D 选项正确.故选D.8.答案：C解析:(X- 3)2 - X(X - 6) = x2 - 6.r + 9 - A2 + 6x = 9.故选 C.9.答案：B解析：A,C.D项不符合完全平方式的形式，故不能用完全平方公式分解因式：B项，1-2A + A∙2 =(x-l)2,能用完全平方公式分解因式.故选B.10.答案：D解析:(3a—bc)(-bc — 3a) = -(3a-bc)(3a+be) = -9a2 + b2c2 .故选 D.11.答案：C解析：TX2 +(Zn-I)X+ 9是一个完全平方式，伽—l)x = ±2 ∙ X - 3 ,.■-加一1 = ±6，.∙. m = 一5或7 ,故选：C.12.答案:B解析：a2 + TbC-C2— b2 =Cr - ^b I—2lκ' + c2) = Cr — (h — c)2 = [a + (b —c)][t∕ —(b — c)] = (a + h-C)(U + c-b) ,因为三角形的任意两边之和大于第三边，所+ h-c>0, a + c-b>O,因此原式大于0•故选B.13.答案：(1) (-3√ -5y)(3x2 -5y)=(-5>,- 3X2 ) (-5 V + 3Λ2)= (-5y)2-(3A-2)2=25V2-9Λ4.(2) (9∕+I)(1-3Λ)(-3Λ∙-T)=(-3X÷1)(-3X-1)(9Λ∙2+1)=[(-3X)2-12](9√+1)=(9X2-1)(9√+1)=(^)2-I2= 81√-L解析：14•答案:(I)(X-y)(2π∕+ 3/?)⑵略解析：15・答案：(1) -4a3b2 + ∖2a2b-4ab=-(Aah ∙ Crh - Aah ∙ Sa + 4")= -4πb(∕b-3d +1)・(2) (C -+ C(U-b)= a(a-b) + c(a-h)=(a - h)(a + c).(3 ) (3d - 4b)C7a一Sb) + (IkI 一 1 ”)(7“ 一 8/?) =(7 a—8b)(3“ — 4b+ Ila一∖2b)= (7α-8b)(14α-16b)=2(7"-8历(7“-8方)= 2(7d-8b)2.解析：16.答案：(1) 4f —4Λ÷ 1 = (2Λ*-1)-・(2 ) 4O2-20ah + 25b2 = (Ia -5b)2 .(3)9(α-b)2+42(α-b) + 49= [3(a-b) + l]2=(3a — 3b + 7)~・(4)(x-2>y+8小=X2 - 4xy + 4y2 + SXy=x2 +4x}* + 4y2= (x + 2y)1・解析：17.答案：(1) a2(a-b) + b2(b-a)=Cr (U - b) - b' (U — b)=(U _ b)^a2 _ ZΛ)=(U一b)(a一b)(a + b)=(U- b)2 (a + b).(2)x2-y2+2A∙-2y=(X2-√) + (2x-2y)= (x + y)(x-y) + 2(x-y)= (x-y)(x+y + 2).(3)Λ4-16∕=(-)2-(<√)2= (x2+4√)(x2-4y2)= (x2 + 4y2)(A∙ + 2y)U- 2y).解析：18.答案：化简得-2a+l ;2解析：19.答案：(1)提公因式法；2(2)2018：(l÷x)2°,9(3) 1 + X + X(X +1) + X(X +1)2÷・・・ + X(X + Ir= (l + x)[l + x + xα + l)+ x(x + Γ)2+-. + x(Λ∙ + l)^r=(1+ X)2[1+Λ∙+Λ∙(X +1)+ X(X+1)2+…+ x(x + iy,'2J• • ♦= (l + x)n+1.解析：20.答案：-6解析：因为x = -3, x + y = 2,所以X2y + x)2 = Xy(X + y) = -3×2 = -6 .21.答案：-2 1解析：∙.∙√<∕ + 2 + 0-l)2 =0 , /. α + 2 = O.1=0, α = -2,b = l22.答案：2020解析：(m-n)2 =m2 -2mn + n2= 40,(∕n + n)2 = m2 + 2tnn+n2 = 4000 ,两等式相加，得2(异 + “2 ) = 4040 ,所以m2 + I r = 2020 .23.答案：4解析：∙.t a-b = 4,Ub = -2, Cr +b' =(a_b)‘ +2ab =42+2×(-2) = 12, .,.a2 +4nb+b2= 12+4×(-2) = 4.故答案为4.24.答案：9解析：根据平方差公式得，原式=4? - (J7)2=16 - 7=9.25.答案：a -Z?4解析：原式= (Cr -Z>2)(α2+⅛2) = α4-^4.。
第一章第6讲 平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²a b-③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=44④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²a b-⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=44⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)知识点02完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和(a +b )²=a ²+2ab +b ²完全平方差(a -b )²=a ²-2ab +b ²（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a ²+b ²=(a +b )²-2ab ；②a ²+b ²=(a -b )²+2ab ；③(a +b )²=(a -b )²+4ab ；④(a -b )²=(a +b )²-4ab ⑤(a +b )²-(a -b )²=4ab知识点03平方差和完全平方差区别平方差公式:(a +b )(a -b )=a ²-b ²完全平方差公式：(a -b )²=a ²-2ab +b ²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍题型01判断是否可用平方差公式运算.【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）1．下列能使用平方差公式的是（）A ．()()33x x ++B ．()()x y x y -+-C ．()()55m n m n +--D ．()()33m n m n +-2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()22x y x y -+B ．()()x y x y -+-C ．()()b a b a -+D ．()()x y y x ---题型02运用平方差公式进行运算.【变式训练】题型03利用平方差公式进行简便运算.【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：(1)498502⨯(2)2202220232021-⨯【变式训练】题型04平方差公式与几何图形.【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．(1)图1中图形的面积为22a b -，图2中图形的面积为(2)由（1）可以得到等式：．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：2268.531.5-．②若42m n +=，求()()()222212121m m n n --+++-【变式训练】（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：4995011⨯+；（4）计算：22222111111111123420232024⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．A ．()2a ab a a b +=+B ．()()22a b a b a b -=-+C ．()2222a ab b a b -+=-(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知22424a b -=，26a b +=，则2a b -=______；②计算：222222229897.1.....43009921-+-++-+-；③计算：()()()()()2222222221212.....4321223n n n n n -+-+-+----+≥题型05运用完全平方公式进行运算【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()22x y z x y z +--+；(2)()2523a b c +-；(3)()()532536a b c a b c +--+．题型06利用完全平方公式进行简便运算【变式训练】1．用简便算法计算(1)2201720162018-⨯(2)2220220219698⨯++题型07通过对完全平方公式变形求值【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：3a b +=-，2ab =，求下列各式的值：(1)22a b +；(2)2()a b -．【变式训练】1．已知4m n -=-，2mn =，求下列代数式的值．(1)22m n +(2)()()11m n +-题型08求完全平方式中的字母系数题型09完全平方式在几何图形中的应用【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式()2222a b a ab b ±=±+的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式245x x ++的最小值．解答如下：解：()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x +≥，∴当2x =-时，()22x +的值最小，最小值是0，∴()2211x ++≥，∴当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1，∴245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当x =______时，代数式2415x x -+的最小值是______；(2)知识运用：若2615y x x =-+-，当x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若25100x x y -+++=，求y x +的最小值．【变式训练】1．例：求代数式245x x +-的最小值.解： ()22245444529x x x x x +-=++--=+-，()220x +≥，∴()2299x +-≥-，∴当2x =-时，代数式245x x +-有最小值9-，(1)代数式241-+有最（填大或小）值，这个值x x(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为①用含x的式子表示花圃的面积；题型10完全平方公式在几何图形中的应用【例题】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：【变式训练】2．如图①，正方形ABCD是由两个长为一、单选题A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题9．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）设四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③(-的序号是．10．（2023上·甘肃兰州·七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式定一种新运算：a a c db b dc =-．根据这一规定，计算三、解答题11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)()243x y -；(2)()()11x y x y +++-；(3)()()()22322x y x y x y +-+-；(4)()()325x y xy -⋅．12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题(1)()()22m n m n ---(2)()23x y -+(3)2210397+16．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，则1S =______，2S =______（请用含a ，b 的代数式表示，只需表示，不必化简）．(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______(3)运用（2）中得到的公式，计算：()()()()24821212121+⨯+⨯+⨯+．17．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片多少张，B 号卡片多少张，C 号卡片多少张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2021)(2023)20x x -+-=，求2022x -的值．18．（2023上·河南周口·八年级校考期中）若x 满足()()604020x x --=，求()()226040x x +--的值．解：设60x a -=，40x b -=，则20ab =，604020a b x x +=-+-=．∴()()226040x x +--22a b =+。
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用（习题）➢ 例题示范例1：已知12x x -=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ⋅=，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题；② “x ”即为公式中的a ，“1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x⋅=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．【过程书写】例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ➢ 巩固练习1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．3. 已知2310a a -+=，求221a a +，441a a +的值.4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______个，分别是________________________________________．6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？8. 求224448x y x y +-++的最值．➢ 思考小结1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题：若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=， 由222()2a b a ab b +=++得，2222()2102(204)508a b a b ab +=+-=-⨯-=，即22(210)(200)x x -+-的值为508．根据以上材料，请解答下题：若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=，则(2015)(2013)x x --=______．【参考答案】➢ 例题示范例1．解：12x x -=∵ 214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴ 2221112426x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭=+=∴222136x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ 2422422111236234x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭=-=∴例2：1-3 ➢巩固练习 1.9 13 2.5 17 3.7 47 4. ±6 ±245. 5 24x - -4 8x -8x 4x6. 87. 4a =时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3➢ 思考小结1. 不相等，相差2()4a b - 2. 2 014。
初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除1.6完全平方公式-章节测试习题(1)
章节测试题1.【题文】化简求值．（）求的值，其中．（）若，求的值．【答案】(1)22;(2)6【分析】（1）根据平方差公式，单项式乘多项式的运算法则，进行运算，然后和合并同类项后把的值代入进行计算即可得解；根据完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则进行运算，然后和合并同类项后,把已知式子的值整体代入即可得解；【解答】解：（），，，∵，∴原式，，．（），，，∵，∴，∴原式．2.【题文】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到(a+b)²=a²+2ab+b²．图1 图2 图3（1）写出由图2所表示的数学等式：_____________________；写出由图3所表示的数学等式：_____________________；（2）利用上述结论，解决下面问题：已知a+b+c=11，bc+ac+ab=38，求a²+b²+c²的值．【答案】（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc 45【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，bc+ac+ab=38，作为整式代入即可求出．【解答】解：(1)根据题意,大矩形的面积为：小矩形的面积为：(2)由（1）得3.【题文】已知，求：（1）的值；（2）的值；（3）的值.【答案】（1）-30；（2）；（3）【分析】（1）提公因式，然后将a+b=5和ab=-6整体代入求值；（2）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答；（3）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答．【解答】解：（1）∵，∴；（2）；（3），故.4.【题文】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．【答案】（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．【解答】解：∵大正方形的面积= a2还可以表示为5.【题文】先化简，再求值：(1)(9x3y－12xy3＋3xy2)÷(－3xy)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝－2；(2)(m－n)(m＋n)＋(m＋n)2－2m2，其中m、n满足方程组【答案】(1) －2x2－y，0;(2) 2mn，-6.【分析】（1）根据多项式除以单项式和平方差公式化简，然后代入求值；（2）根据完全平方公式和平方差公式化简，然后解方程组求出m、n的值后再代入求值.【解答】解：(1)原式＝－3x2＋4y2－y－4y2＋x2＝－2x2－y.当x＝1，y＝－2时，原式＝－2＋2＝0.(2)①＋②，得4m＝12，解得m＝3.将m＝3代入①，得3＋2n＝1，解得n＝－1.故方程组的解是(m－n)(m＋n)＋(m＋n)2－2m2＝m2－n2＋m2＋2mn＋n2－2m2＝2mn，当m＝3，n＝－1时，原式＝2×3×(－1)＝－6.6.【题文】已知a2+b2=1,a-b=,求a2b2与(a+b)4的值.【答案】【分析】把目标代数式化成包含已知代数式的形式.【解答】解：因为a2+b2=1,a-b=,所以(a-b)2=a2+b2-2ab.所以ab=- [(a-b)2-(a2+b2)]=.所以a2b2=(ab)2=.因为(a+b)2=(a-b)2+4ab.=,所以(a+b)4=[(a+b)2]2=.7.【题文】请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；并由此得到怎样的等量关系？请用等式表示；（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a－b 的值．【答案】（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)①9;②5.【分析】（1）两个阴影部分的面积可以用阴影部分面积相加和用总面积减去非阴影部分面积来表示。
平方差公式与完全平方公式试题含答案
乘法公式的复习一、复习:a+ba-b=a 2-b 2 a+b 2=a 2+2ab+b 2 a-b 2=a 2-2ab+b 2归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式：① 位置变化,xyyxx 2y 2 ② 符号变化,xyxyx 2y 2 x 2y 2③ 指数变化,x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化,2ab 2ab 4a 2b 2⑤ 换式变化,xyzmxyzmxy 2zm 2 x 2y 2z 22zm +m 2x 2y 2z 22zmm 2⑥ 增项变化,xyzxyzxy 2z 2 x 22xy y 2z 2⑦ 连用公式变化,xyxyx 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4⑧ 逆用公式变化,xyz 2xyz 2xyzxyzxyzxyz2x 2y 2z 4xy 4xz例1．已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值;解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值;解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式;解：19992-2000×1998 =19992-1999+1×1999-1=19992-19992-12=+1 =1例4：已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和a-b 2的值;〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解;解：a 2+b 2=a+b 2-2ab=4-2=2a-b 2=a+b 2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2,y-z=2,x+z=14;求x 2-z 2的值;〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值,比较麻烦,考虑到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的,所以只要求出x-z 的值即可;解：因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x 2-z 2=x+zx-z=14×4=56; 例6：判断2+122+124+1……22048+1+1的个位数字是几〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一定的规律可循;观察到1=2-1和上式可构成循环平方差;解：2+122+124+1……22048+1+1=2-122+124+1……22048+1+1=24096=161024因为当一个数的个位数字是6的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是6,所以上式的个位数字必为6;例7．运用公式简便计算11032 21982解：1103210032 10022100332 100006009 106092198220022 20022200222 400008004 39204例8．计算1a 4b 3ca 4b 3c 23xy 23xy 2解：1原式a 3c 4ba 3c 4ba 3c 24b 2a 26ac 9c 216b 22原式3xy 23xy 29x 2 y 24y 49x 2y 24y 4例9．解下列各式1已知a 2b 213,ab 6,求ab 2,ab 2的值;2已知ab 27,ab 24,求a 2b 2,ab 的值;3已知aa 1a 2b 2,求222a b ab +-的值; 4已知13x x -=,求441x x +的值; 分析：在公式ab 2a 2b 22ab 中,如果把ab ,a 2b 2和ab 分别看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个;解：1∵a 2b 213,ab 6ab 2a 2b 22ab 132625 ab 2a 2b 22ab 132612∵ab 27,ab 24a 22abb 27 ① a 22abb 24 ②①②得 2a 2b 211,即22112a b +=①②得 4ab 3,即34ab =3由aa 1a 2b 2 得ab 24由13x x -=,得19x x 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 即22129x x +-= 22111x x ∴+= 221121x x 2⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 即4412121x x ++= 441119x x += 例10．四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗为什么分析：由于1234125522345112111234561361192…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1,都是平方数; 解：设n ,n 1,n 2,n 3是四个连续自然数则nn 1n 2n 31 nn 3n 1n 21 n 23n 22n 23n 1n 23nn 23n 21 n 23n 12∵n 是整数, n 2,3n 都是整数 n 23n 1一定是整数n 23n 1是一个平方数 四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数;二、乘法公式的用法一、套用:这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础,同时能提高学生的观察能力;例1. 计算：()()53532222x y x y +-解：原式()()=-=-53259222244x y x y二、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题;例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a解：原式()()()=-++111224a a a例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--解：原式()()[]()()[]=-++--+25312531y z x y z x三、逆用:学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题;例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+解：原式()()[]()()[]=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c四、变用: 题目变形后运用公式解题;例5. 计算：()()x y z x y z +-++26解：原式()[]()[]=++-+++x y z z x y z z 2424五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题;这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力; 例6. 已知a b ab -==45，,求a b 22+的值;解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22解：原式()()[]()()[]=++-++--b c a d b c a d 22三、学习乘法公式应注意的问题一、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”．例1 计算-2x 2-52x 2-5分析：本题两个因式中“-5”相同,“2x 2”符号相反,因而“-5”是公式a +ba -b =a 2-b 2中的a ,而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=-5-2x 2-5+2x 2=-52-2x 22=25-4x 4．例2 计算-a 2+4b 2分析：运用公式a +b 2=a 2+2ab +b 2时,“-a 2”就是公式中的a ,“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为4b -a 22时,则“4b ”是公式中的a ,而“a 2”就是公式中的b ．解略二、注意为使用公式创造条件例3 计算2x +y -z +52x -y +z +5．分析：粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x ”、“5”两项同号,“y ”、“z ”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔2x +5+y -z 〕〔2x +5-y -z 〕=2x +52-y -z 2=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．例5 计算2+122+124+128+1．分析：此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项2-1,则可运用公式,使问题化繁为简．解：原式=2-12+122+124+128+1 =22-122+124+128+1=24-124+128+1=28-128+1=216-1三、注意公式的推广计算多项式的平方,由a +b 2=a 2+2ab +b 2,可推广得到：a +b +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ．可叙述为：多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍．例6 计算2x +y -32解：原式=2x 2+y 2+-32+2·2x ·y +2·2x -3+2·y -3=4x 2+y 2+9+4xy -12x -6y ．四、注意公式的变换,灵活运用变形公式例7 2已知：x +2y =7,xy =6,求x -2y 2的值．分析：粗看似乎无从下手,但注意到乘法公式的下列变形：x 2+y 2=x +y 2-2xy ,x 3+y 3=x +y 3-3xyx +y ,x +y 2-x -y 2=4xy ,问题则十分简单．解：2x -2y 2=x +2y 2-8xy =72-8×6=1．例8 计算a +b +c 2+a +b -c 2+a -b +c +b -a +c 2．分析：直接展开,运算较繁,但注意到由和及差的完全平方公式可变换出a +b 2+a -b 2=2a 2+b 2,因而问题容易解决．解：原式=a +b +c 2+a +b -c 2+c +a -b 2+c -a -b 2=2a +b 2+c 2+2c 2+a -b 2=2a +b 2+a -b 2+4c 2=4a 2+4b 2+4c 2五、注意乘法公式的逆运用例9 计算a -2b +3c 2-a +2b -3c 2．分析：若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方差公式,则能使运算简便得多． 解：原式=a -2b +3c +a +2b -3ca -2b +3c -a +2b -3c =2a -4b +6c =-8ab +12ac ．例10 计算2a +3b 2-22a +3b 5b -4a +4a -5b 2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便．解：原式=2a +3b 2+22a +3b 4a -5b +4a -5b 2=2a +3b +4a -5b 2=6a -2b 2=36a 2-24ab +4b 2． 四、怎样熟练运用公式：一、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．二、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算x +2y －3z 2,若视x +2y 为公式中的a ,3z 为b ,则就可用a －b 2=a 2－2ab +b 2来解了;三、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点．常见的几种变化是：1、位置变化 如3x +5y 5y －3x 交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．2、符号变化 如－2m －7n 2m －7n 变为－2m +7n 2m －7n 后就可用平方差公式求解了思考：不变或不这样变,可以吗3、数字变化 如98×102,992,912等分别变为100－2100+2,100－12,90+12后就能够用乘法公式加以解答了．4、系数变化 如4m +2n 2m －4n 变为22m +4n 2m －4n 后即可用平方差公式进行计算了． 5、项数变化 如x +3y +2zx －3y +6z 变为x +3y +4z －2zx －3y +4z +2z 后再适当分组就可以用乘法公式来解了四、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算a 2+12·a 2－12,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便．即原式=a 2+1a 2－12=a 4－12=a 8－2a 4+1．对数学公式只会顺向从左到右运用是远远不够的,还要注意逆向从右到左运用．如计算1－2211－2311－241…1－2911－2101,若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题． 即原式=1－211+211－311+31×…×1－1011+101=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=2011． 有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=a +b 2－2ab ,a 2+b 2=a －b 2+2ab 等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m +n =7,mn =－18,求m 2+n 2,m 2－mn + n 2的值．面对这样的问题就可用上述变式来解,即m 2+n 2=m +n 2－2mn =72－2×－18=49+36=85,m 2－mn + n 2= m +n 2－3mn =72－3×－18=103．下列各题,难不倒你吧1、若a +a1=5,求1a 2+21a ,2a －a 12的值． 2、求2+122+124+128+1216+1232+1264+1+1的末位数字．答案：1.123；221．2. 6五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：a ＋ba －b=a 2－b 2,a ±b=a 2±2ab ＋b 2,a ±ba 2±ab ＋b 2=a 3±b 3．第一层次──正用即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用．例1计算 2－2x －y2x －y ．2原式=－y －2x －y ＋2x=y 2－4x 2．第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用．例2计算119982－1998·3994＋19972；解1原式=19982－2·1998·1997＋19972 =1998－19972=1 第三层次──活用 ：根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件,灵活应用公式．例3化简：2＋122＋124＋128＋1＋1．分析直接计算繁琐易错,注意到这四个因式很有规律,如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解．解原式=2－12＋122＋124＋128＋1＋1=22－122＋124＋128＋1＋1=216．例4计算：2x－3y－1－2x－3y＋5分析仔细观察,易见两个因式的字母部分与平方差公式相近,但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：－1=2－3,5=2＋3,使用公式巧解．解原式=2x－3y－3＋2－2x－3y＋3＋2=2－3y＋2x－32－3y－2x－3=2－3y2－2x－32=9y2－4x2＋12x－12y－5．第四层次──变用：解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2＋b2=a＋b2－2ab,a3＋b3=a＋b3－3aba＋b等,则求解十分简单、明快．例5已知a＋b=9,ab=14,求2a2＋2b2和a3＋b3的值．解：∵a＋b=9,ab=14,∴2a2＋2b2=2a＋b2－2ab=292－2·14=106,a3＋b3=a＋b3－3aba＋b=93－3·14·9=351第五层次──综合后用：将a＋b2=a2＋2ab＋b2和a－b2=a2－2ab＋b2综合,可得 a＋b2＋a－b2=2a2＋b2；a＋b2－a－b2=4ab；等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．例6计算：2x＋y－z＋52x－y＋z＋5．解：原式=142x+y-z+5+2x-y+z+52-142x+y-z+5-2x-y+z+52=2x＋52－y－z2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种三个乘法公式：平方差公式：a+ba-b=a2-b2、完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2；a-b2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们;假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式;如图1,两个矩形的面积之和即阴影部分的面积为a+ba-b,通过左右两图的对照,即可得到平方差公式a+ba-b=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为a+b2与a-b2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2与a-b2=a2-2ab+b2;2、乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦;例1、运用乘法公式计算：1-1+3x-1-3x； 2-2m-12解：1-1+3x-1-3x=-1-3x-1+3x=1-3x1+3x=12-3x2=1-9x2.2 -2m-12=-2m+12=2m+12= 4m 2+4m+1.②改变顺序：运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显.例2、 运用乘法公式计算：1错误!错误!; 2x-1/2x 2+1/4x+1/2解：1错误!错误!=错误!错误!=错误!错误!=错误!= 错误!2 x-1/2x 2+1/4x+1/2= x-1/2 x+1/2x 2+1/4=x 2-1/4 x 2+1/4= x 2-1/16.③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a 2-b 2 = a+ba-b,逆用积的乘方公式,得a n b n =ab n ,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果;例3、 计算：1x/2+52-x/2-52 ; 2a-1/22a 2+1/4 2a+1/22解：1x/2+52-x/2-52 =x/2+5+x/2-5 x/2+5-x/2-5=x/2+5+x/2-5 x/2+5-x/2+5=x ·10=10x.2a-1/22a 2+1/4 2a+1/22=a-1/2a 2+1/4 a+1/2 2 =a-1/2 a+1/2 a 2+1/4 2=a 2-1/4 a 2+1/4 2 =a 4-1/16 2 =a 8-a 4/8+1/256.④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组；符号相反的项放在后面,视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算;计算：1x+y+11-x-y; 22x+y-z+52x-y+z+5.解：1 x+y+11-x-y=1+x+y1-x-y= 1+x+y1-x+y=12-x+y 2=1-x 2+2xy+y 2= 1-x 2-2xy-y 2.22x+y-z+52x-y+z+5=2x+5+y-z2x+5-y+z= 2x+5+y-z2x+5-y-z= 2x+52-y-z 2 =4x 2+20x+25-y 2-2yz+z 2= 4x 2+20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x 2-y 2-z 2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容,是今后学习的基础,应用极为广泛;尤其多项式乘多项式,运算过程复杂,在解答中,要仔细观察,认真分析题目中各多项式的结构特征,将其适当变化,找出规律,用乘法公式将其展开,运算就显得简便易行;一. 先分组,再用公式例1. 计算：()()a b c d a b c d -+-----简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开,则显得非常繁杂;通过观察,将整式()a b c d -+-运用加法交换律和结合律变形为()()--++b d a c ；将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+b d a c ,则从其中找出了特点,从而利用平方差公式即可将其展开;解：原式[]()()[]=--++---+()()b d a c b d a c 二. 先提公因式,再用公式例2. 计算：8244x y x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪简析：通过观察、比较,不难发现,两个多项式中的x 的系数成倍数,y 的系数也成倍数,而且存在相同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数2出来,变为244x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪,则可利用乘法公式; 解：原式=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪24444x y x y 三. 先分项,再用公式例3. 计算：()()232236x y x y ++-+简析：两个多项中似乎没多大联系,但先从相同未知数的系数着手观察,不难发现,x 的系数相同,y 的系数互为相反数,符合乘法公式;进而分析如何将常数进行变化;若将2分解成4与-2的和,将6分解成4与2的和,再分组,则可应用公式展开; 解：原式=[]()()[]()()24232423x y x y +--++- 四. 先整体展开,再用公式例4. 计算：()()a b a b +-+221简析：乍看两个多项式无联系,但把第二个整式分成两部分,即[]()a b -+21,再将第一个整式与之相乘,利用平方差公式即可展开;解：原式[]=+-+()()a b a b 221五. 先补项,再用公式例5. 计算：331313131842+++++()()()()简析：由观察整式()31+,不难发现,若先补上一项()31-,则可满足平方差公式;多次利用平方差公式逐步展开,使运算变得简便易行;解：原式=+++++-331313131312842()()()()() 六. 先用公式,再展开例6. 计算：11211311411102222-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪… 简析：第一个整式1122-⎛⎝ ⎫⎭⎪可表示为11222-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,由简单的变化,可看出整式符合平方差公式,其它因式类似变化,进一步变换成分数的积,化简即可;解：原式=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪11211211311311411411101110… 七. 乘法公式交替用例7. 计算：()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222简析：利用乘法交换律,把第一个整式和第四个整式结合在一起,把第二个整式与第三个整式结合,则可利用乘法公式展开;解：原式[][]=+++-+-()()()()x z x xz z x xz z x z 222222 八、中考与乘法公式1. 结论开放例1. 02年济南中考请你观察图1中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是______________;分析：利用面积公式即可列出()()x y x y x y +-=-22或()()x y x y x y 22-=+-或()x y x xy y -=-+2222在上述公式中任意选一个即可;例2. 03年陕西中考如图2,在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形a b >,把余下的部分剪成一个矩形,如图3,通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是______________;分析：利用面积公式即可列出()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22-=+-2. 条件开放例3. 03年四川中考多项式912x +加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式可以是____________填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况;分析：解答时,可能习惯于按课本上的完全平方公式,得出 ()9163122x x x ++=+ 或()9163122x x x +-=-只要再动点脑筋,还会得出 9191222x x +-= 故所加的单项式可以是±6x ,或8144x ,或-1,或-92x 等; 3. 找规律例4. 01年武汉中考 观察下列各式：由猜想到的规律可得()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________;分析：由已知等式观察可知 ()()x x x x x x n n n n -+++++=---+111121…4. 推导新公式例5. 在公式()a a a +=++12122中,当a 分别取1,2,3,……,n 时,可得下列n 个等式 将这n 个等式的左右两边分别相加,可推导出求和公式：123++++=…n __________用含n 的代数式表示 分析：观察已知等式可知,后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边,将已知等式左右两边分别相加,得：()n n n +=+⨯+⨯++⨯+112122222… 移项,整理得：例6. 04年临汾中考阅读材料并解答问题：我们已经知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些等式也可以用这种形式表示,例如：()()22322a b a b a ab b ++=++ 就可以用图4或图5等图表示;1请写出图6中所表示的代数恒等式____________；2试画出一个几何图形,使它的面积能表示：3请仿照上述方法另写一个含有a,b 的代数恒等式,并画出与之对应的几何图形; 解：1()()2222522a b b a a b ab ++=++2如图7。
七年级数学上册综合算式专项练习题整式的完全平方公式应用
七年级数学上册综合算式专项练习题整式的完全平方公式应用整式的完全平方公式是初中数学中的重要内容之一。
它可以帮助我们快速求解一元二次方程，简化计算步骤，提高解题效率。
在本文中，我们将针对七年级数学上册的综合算式进行专项练习，探讨整式的完全平方公式的应用。
练习一：计算下列各式的值。
1. $(x+2)^2$2. $(2x-3)^2$3. $(x-1)^2$4. $(3x+4)^2$解答：1. $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$2. $(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$3. $(x-1)^2 = x^2 - 2x+ 1$4. $(3x+4)^2 = 9x^2 + 24x + 16$练习二：求解下列方程。
1. $x^2 + 6x + 9 = 0$2. $x^2 - 10x + 25 = 0$3. $x^2 - 2x - 3 = 0$4. $x^2 + 8x + 16 = 0$解答：1. $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 = 0$解得 $x = -3$2. $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 = 0$解得 $x = 5$3. $x^2 - 2x - 3$应用求根公式得 $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$化简可得 $x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$即 $x = \frac{2 \pm 4}{2}$解得 $x_1 = 3, x_2 = -1$4. $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 = 0$解得 $x = -4$练习三：根据完全平方公式，求解下列方程。
1. $x^2 - 16 = 0$2. $4x^2 - 9 = 0$3. $9x^2 - 100 = 0$4. $16x^2 - 225 = 0$解答：1. $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) = 0$解得 $x = 4, x = -4$2. $4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3) = 0$解得 $x = \frac{3}{2}, x = -\frac{3}{2}$3. $9x^2 - 100 = (3x - 10)(3x + 10) = 0$解得 $x = \frac{10}{3}, x = -\frac{10}{3}$4. $16x^2 - 225 = (4x - 15)(4x + 15) = 0$解得 $x = \frac{15}{4}, x = -\frac{15}{4}$通过以上的练习题，我们可以看到整式的完全平方公式在解题过程中的应用。
完全平方公式的综合应用(知二求二)(二)(人教版)(含答案)
完全平方公式的综合应用（知二求二）（二）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若，，则的结果为( )A.7B.13C.94D.106答案：D解题思路：由题可知，相当于公式里的，相当于公式里的，与之间相差．题中给出，因此求出的值即可．故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用2.若，，则的结果为( )A. B.19C. D.10答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用3.若，，则的结果为( )A.45B.39C.15D.21答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用4.若，，则的结果为( )A.20B.112C.-40D.80答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用5.若，，则的值为( )A.112B.12C.72D.176答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用6.若，则的结果为( )A.5B.11C.7D.1答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用7.若，则与的值分别为( )A.11；119B.11；123C.7；83D.7；47答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用8.若，则的值为( )A.21B.23C.25D.27答案：B解题思路：①分析：观察所求，可以化为，这是平方和的形式，若在的两边同时除以，可以得到，结合，可知这是一个知二求二问题．②解题过程：故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用9.若，则的值为( )A.256B.196C.194D.322答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用10.若，则的结果为( )A.40B.5C.10D.20答案：B解题思路：可以把和分别当作一个整体，就是一个平方和的形式，相当于公式里的，相当于公式里的，与之间相差．故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：填空：问题2：已知，，求的值．思路分析：①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_________________________________；③将，代入求解即可．所以=__________．问题3：已知，求的值．思路分析：①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_____________________；③观察知x≠0，对其进行处理得____________，然后代入，得=__________．。
初中数学模拟试卷含答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-9C. √-1D. √2答案：A2. 已知a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. 2a > 2bD. 2a - 2 > 2b - 2答案：D3. 若一个等腰三角形的底边长为5cm，腰长为8cm，则该三角形的周长为（）A. 15cmB. 20cmC. 25cmD. 30cm答案：C4. 已知函数y = kx + b（k ≠ 0），若该函数图象过点（2，3），且斜率k > 0，则下列说法正确的是（）A. b > 0B. b < 0C. k > b答案：A5. 若一个数的平方根是3，则这个数是（）A. 9B. -9C. 9或-9D. 0答案：C6. 下列各式中，完全平方公式应用错误的是（）A. (a + b)² = a² + 2ab + b²B. (a - b)² = a² - 2ab + b²C. (a + b)(a - b) = a² - b²D. (a + b)² = a² - 2ab + b²答案：D7. 下列各图中，平行四边形是（）A.B.C.D.答案：A8. 已知等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的面积是（）A. 24cm²B. 36cm²D. 64cm²答案：C9. 若一个数的立方根是-2，则这个数是（）A. -8B. 8C. -8或8D. 0答案：A10. 已知函数y = -2x + 3，若该函数图象过点（0，3），则下列说法正确的是（）A. 斜率k > 0B. 斜率k < 0C. b > 0D. b < 0答案：D二、填空题（每题3分，共30分）11. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-9C. √-1D. √2答案：A12. 已知a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. 2a > 2bD. 2a - 2 > 2b - 2答案：D13. 若一个等腰三角形的底边长为5cm，腰长为8cm，则该三角形的周长为（）A. 15cmB. 20cmC. 25cmD. 30cm答案：C14. 已知函数y = kx + b（k ≠ 0），若该函数图象过点（2，3），且斜率k > 0，则下列说法正确的是（）A. b > 0B. b < 0C. k > bD. k < b答案：A15. 若一个数的平方根是3，则这个数是（）A. 9B. -9C. 9或-9D. 0答案：C16. 下列各式中，完全平方公式应用错误的是（）A. (a + b)² = a² + 2ab + b²B. (a - b)² = a² - 2ab + b²C. (a + b)(a - b) = a² - b²D. (a + b)² = a² - 2ab + b²答案：D17. 下列各图中，平行四边形是（）A.B.C.D.答案：A18. 已知等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的面积是（）A. 24cm²B. 36cm²C. 48cm²D. 64cm²答案：C19. 若一个数的立方根是-2，则这个数是（）A. -8B. 8C. -8或8D. 0答案：A20. 已知函数y = -2x + 3，若该函数图象过点（0，3），则下列说法正确的是（）A. 斜率k > 0B. 斜率k < 0C. b > 0D. b < 0答案：D三、解答题（每题10分，共40分）21. 解下列方程：（1）3x - 5 = 2x + 1（2）2(x + 3) - 5 = 3(x - 2)答案：（1）x = 6（2）x = 122. 解下列不等式：（1）2x - 3 < 5（2）3x + 4 ≥ 2x - 1答案：（1）x < 4（2）x ≥ -523. 已知一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，求该三角形的面积。
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初中数学完全平方公式的综合应用综合测试卷一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知,则ab与的值分别为( )
A.10;29
B.-10;29
C.10;58
D.-10;58
答案：A
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题
2.若,,则值为( )
A.100
B.36
C.6
D.10
答案：B
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题
3.若,,则值为( )
A.252
B.140
C.136
D.152
答案：C
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题
4.若,则与的值分别为( )
A.11;119
B.11;123
C.7;83
D.7;47
答案：A
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题
5.若,则a的值为( )
A.3
B.-3
C.±3
D.±9
答案：C
试题难度：三颗星知识点：平方差公式
6.若,则m的值为( )
A.-20
B.20
C.-10
D.±20
答案：A
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
7.若是完全平方式,则m的值为( )
A.3
B.-3
C.±3
D.±9
答案：C
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
8.已知是一个完全平方式,则k的值是( )
A.8
B.±8
C.16
D.±16
答案：D
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
9.若,则m与n的值分别为( )
A. B.
C. D.
答案：D
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式凑配公式
10.已知,,,则代数式的值为( )
A.12
B.13
C.25
D.26
答案：B
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式凑配公式。