空间向量及其运算测试题答案

新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代

号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，

11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）

A ．c b a ++-2121

B ．c b a ++2

121

C ．c b a +-2121

D ．c b a +--2

1

21

2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）

A ．OC O

B OA OM --=2 B ．O

C OB OA OM 2

1

3151++=

C ．=++MC MB MA 0

D ．=+++OC OB OA OM 0

3．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，

''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）

A ．85

B ．85

C ．52

D ．50

4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31

，1，1）

B ．（－1，－3，2）

C ．（－21，2

3

，－1）

D ．（2，－3，－22）

5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）

A ．0

B ．

2

π

C ．π

D ．

32

π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，

a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．c

b a 213221+- B ．

c b a 21

2132++-

C ．c b a 212121-+

D ．c b a 2

13232-+

7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，

AC AB ，则BCD 是（ ）

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定

图

8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，AOB=

AOC=600，则cos BC ，

OA = （ ）

A ．2

1

B ．

22 C ．

2

1 D ．0

9．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（ ）

A ．3

B ．32

C ．6

D ．

2

6

10． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ）

A ．

5

5 B ．

5

55 C ．

5

5

3 D ．

5

11 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线

段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}

OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ． 13．已知点A(1，

2，11)、B(4，2，3)，C(6，

1，4)，则

ABC 的形状是 ．

14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '

上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,2

1,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；

（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值

O'

N M

D'C'B'

A'

C B

A

D

z

y x 图

17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直． 18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积； 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.

（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .

20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.

（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=

2

3

，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当

1

CC CD

的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.