空间向量及其运算测试题答案
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为。
【答案】为ｚ轴，则【解析】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１（），，，（）。
所以，。
因为，所以，由此推出。
又，，从而有。
【考点】(1)空间向量的坐标运算及空间两点间距离公式的应用；（2）利用二次函数思想求最值。
2.是坐标原点，设，若，则点的坐标应为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设点B(x,y,z),由于，且，故可知点的坐标应为，故选B.【考点】空间向量的坐标运算点评：主要是考查了空间中向量的坐标的代数运算，属于基础题。
3.已知向量，若,则______。
【答案】【解析】因为，所以，显然所以【考点】本小题主要考查共线向量的数量关系，考查学生运用公式的能力.点评：向量共线是空间向量的常考内容，记清楚关系直接代入计算即可，难度不大.4.已知，，则的最小值是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为，，则则利用二次函数的性质得到最小值为，选C5.在直三棱柱中，，已知G与E分别为和的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若，则线段DF长度的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，1 2 ），G（ 1 2 ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）∴ GD =(-，y，-1)， EF =(x，-1，- )∵GD⊥EF，∴x+2y-1=0，∴x=1-2yDF2= x2+y2 = (1-2y)2+y2 = 5y2-4y+1 =" 5(y-2" 5 )2+1 5 ∵0＜y＜1∴当y="2" 5 时，线段DF长度的最小值是又y=1时，线段DF长度的最大值是 1而不包括端点，故y=1不能取；故线段DF的长度的取值范围是：[ ，1)．故选A．6.已知a=（1,1,0），b=（-1,0，2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（）.A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以7.空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为（）A．平面B．直线C．圆D．线段【答案】D【解析】解：因为A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则说明A,B，C三点共线，解：设点C的坐标为（x，y，z ），由题意可得（x，y，z ）=（3α-β，α+3β，0 ），再由α+β="1" 可得x=3α-β=3-4β，y=α+3β=1+2β，故有 x+2y-5=0，故点C的轨迹方程为x+2y-5=0，则点C的轨迹为直线，故选B.8.在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（x，4，3）为顶点的是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为。
空间向量及其线性运算练习题及答案
【巩固练习】 一、选择题1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）①||⋅=a a a ②()()(,)m m m λλλ⋅=⋅∈R a b a b ③()()⋅+=+⋅a b c b c a④22=a b b aA ．4B ．3C ．2D ．12.①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++ (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.（2015秋 衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF 与AB 、CD 的关系是（ ）A ．1122EF AB CD =+ B ．1122EF AB CD =-+ C ．1122EF AB CD =- D ．1122EF AB CD =--4．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=5.（2014秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若1BE AA xAB yAD =++，则（ ）A ．12x =-，12y = B ．12x =，12y =- C ．12x =-，12y =- D ．12x =，12y =6．（2015 四川校级模拟） 已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)+0,|AB |sin B ||sin AB ACOP OA AC Cλλ=+∈+∞（），则点P 的轨迹一定通过ΔABC 的（ ）A. 外心B.内心C. 重心D.垂心7．已知空间向量A ，B ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）．A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 二、填空题8.如果两个向量→-a ，→-b 不共线，则→-p 与→-a ，→-b 共面的充要条件是____________。
空间向量及其加减运算
空间向量及其加减运算（45分钟100分）一、选择题（每小题6分，共30分）1.对于空间向量，有以下命题：①单位向量的模为1,但方向不确定；②如果一个向量和它的相反向量相等，那么该向量的模为0;③若a〃b,b〃c,则a〃c;④若ABCD-ABCD为平行六面体，则错误味找到引用源。
二错误!未找到引用源。
. 其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.在平行六而体ABCD-AECD中，能与向量错误味找到引用源。
相等的向量有（）A. 0个B. 3个C. 6个D. 9个3.在空间四边形0ABC中,错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
等于（）A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
4.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，下列各式中运算结果为向量错误!未找到引用源。
的是Ci©（AB+BC ）+CG ;② （A A i +/\ i D ］） + Di Ci ；③ （AB + M ） + 1^?!；④ （丽+ /而）+応.A.①③B.②④C.③④D.①②③④ 5. （2013・成都高二检测）设A, B, C, D 是空间不共面的四个点,且满足错误!未找到引用源。
•错误!未找到引用源。
二0,错误!未找到引用源。
•错误!未找到引用源。
二0,错误!未找到引用源。
•错误!未找到引用源。
=0,则ABCD 的形状是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定二、填空题（每小题8分，共24分）6. 在正方体ABCD-AbCD 中，向量表达式错误味找到引用源。
-错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
的化简结果是 ___________ •7. 在平行六面体ABCD-A-B'C-D*中,错误!未找到引用源。
二a,错误!未找到引用源。
二b,错误味找到引用源。
二c,则错误!未找到引用源。
二 _______________ ,错误!未找到引用源。
空间向量的直角坐标运算(含答案)
空间向量的直角坐标运算一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1)B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3)2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是( ) A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2) D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B .532 C.532 D.1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( )A ．4B ．－4 C.12D ．－6 6．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( )A.65B.652C ．4D ．8 二、能力提升7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝__________.8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________.9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC →与BD 1→夹角的余弦值是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值． 11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE →与SC →的夹角．三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围．答案1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A7．(－4,2，－4)8．120°9．－3707010．解 ∵a 与c 的夹角为π4.∴cos π4＝a·c |a||c |＝(x ，y ，0)·(1，1，1)x 2＋y 2·3＝22.化简得x ＋y ＝62·x 2＋y 2.①又|a |2＝x 2＋y 2＝1，②将②代入①，得x ＋y ＝62，从而(x ＋y )2＝32，∴xy ＝14.11．解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)． 12．解 建立如图所示的空间直角坐标系．由于AB ＝3，SA ＝2，可以求得SO ＝22.则B ⎝⎛⎭⎫32，32，0，A ⎝⎛⎭⎫32，－32，0，C ⎝⎛⎭⎫－32，32，0，S ⎝⎛⎭⎫0，0，22.由于E 为SA 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫34，－34，24，所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－34，－334，24，SC →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，－22，因为BE →·SC →＝－1，|BE →|＝2，|SC →|＝2，所以cos 〈BE →，SC →〉＝－12×2＝－12，所以〈BE →，SC →〉＝120°. 13．解 由已知得a·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25 ＝3t －525. ∵a 与b 的夹角为钝角，∴a·b <0且〈a ，b 〉≠180°. 由a·b <0，得3t －525<0，∴t <5215. 若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)，即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝λ·(－2)3＝λt 1＝λ·⎝⎛⎭⎫－25，解得t ＝－65. 所以t 的范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215.。
高二空间向量练习题及答案
高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。
下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。
一、选择题1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：A. -11B. 11C. -9D. 9答案：A2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：C3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：A. -17B. 17C. -3D. 3答案：B4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：A. 23i+2j-13kB. -23i-12j+13kC. 23i-12j+13kD. -23i+2j+13k答案：C5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。
A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31答案：D二、填空题1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。
答案：7i+j-3k2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为________。
答案：-1/√143. 设向量a=3i-4j+2k，向量b=2i-3j+k，求a×b的结果为________。
答案：-5i-4j-1k4. 设向量a=-i+2j+k，d是一条过点A(1，2，3)且与向量a垂直的直线方程，则d的方程为_______。
答案：x-2y+z-3=05. 已知平行四边形的两条对角线的向量分别为a=2i-j+k和b=-3i+4j-2k，求平行四边形的面积为_______。
1.1空间向量及其运算-高二数学上学期习题测试(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
高二数学上学期同步课堂习题测试 （人教A 版2019选择性必修第一册）1.1空间向量及其运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】A 【分析】利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出BM 即可. 【详解】11BM BB B M =+， 12c BD =+，()12c BA BC =++， 1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.2．与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是( )A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭ D ．-3,-)【答案】C 【分析】根据向量共线定理判定即可． 【详解】对于A ，由于()11,1,11,3,333⎛⎫=⎪⎝⎭，所以与向量a 不共线，故A 不正确． 对于B ，由题意得向量()1,3,2--与向量a 不共线，故B 不正确．对于C ，由于()131,,11,3,2222⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，所以与向量a 共线，故C 正确．对于D ，由题意得向量,-3,-与向量a 不共线，故D 不正确． 故选C ．3．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c -- B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +- D ．111442a b c -++ 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点， 且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D.4．设向量a ，b ，c 是空间基底，x y z R ∈，， ，有下面四个命题： 1p ：若0xa yb zc ++= ，那么0x y z === ；2p ：若0a l ⋅= ，0b l ⋅= ，则a b ；3p ：a b c +- ，a b c -+，a b c ++也是空间基底；4p ：若1111n x a y b z c =++，2222n x a y b z c =++，则121212120n n x x y y z z ⊥⇔++= .其中真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p【答案】A 【详解】由题意得，1:p 若0xa yb zc ++=，根据向量相等可得0x y z ===是正确的；2:p 若0,0a l b l ⋅=⋅=，当0l =时，a 与b 不一定是共线向量，所以不正确；3:p 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量,,a b c a b c a b c +--+++ 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所以是正确的；4:p 中，只有当向量,,a b c 是三个两两垂直的单位向量时，才能使得12n n ⊥⇔1212120x x y y z z ++=成立，所以不正确，故选A ．5．如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ==＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN （ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c -+- 【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可． 【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B6．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．34D ．18【答案】B 【分析】由向量的加法运算结合数量积运算得出11AB BC ⋅，进而由数量积公式得出AB1与BC1所成角的余弦值. 【详解】令底面边长为1，则高也为1，1111,AB AB BB BC BC CC =+=+()()1111112111cos12012AB BC AB BB BC CC AB BC BB CC ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯⨯︒+=又112AB BC ==1111cos ,4AB BC ∴==故选：B ．7．已知向量AB ，AC ，BC 满足=AB AC BC +，则（ ）A ．AB ＝AC ＋BCB ．AB ＝－AC －BCC ．AC 与BC 同向D ．AC 与CB 同向【答案】D 【分析】利用向量加法的意义，判断AC 与CB 同向.【详解】由向量加法的定义AB ＝AC ＋CB ，故A 、B 错误由=AB AC BC AC CB +=+，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC 与CB 同向．故D 正确，C 错误. 故选：D.8．若a b ，均为非零向量，则“··a b a b =”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项． 【详解】解：··cos 1a b a b a b ⇒=＝〈，〉，所以a 与b 的夹角为0， 所以a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，··a b a b =-． 所以“··a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件， 故选：A ．9．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ）A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能 【答案】A 【分析】作a b +与a b -的数量积即可. 【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直． 故选: A10．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量(),,0n a b R λμλμλμ=+∈≠，则（ ）A ． //m nB ．m n ⊥C ．,m n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能 【答案】B 【分析】由条件可以得到0m n ⋅=，即可选出答案. 【详解】因为()0m n m a b m a m b λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅=，所以m n ⊥ 故选：B 二、多选题11．(多选)下列命题中，真命题是（ ） A ．向量AB 与BA 的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【分析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】共线的单位向量方向相同或相反，只有D 错误． 故选：ABC12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【分析】利用空间向量的加法和减法法则运算即可．【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC故选：ABC13．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A ．()()2211111113A A A D A B A B ++=B ．()11110AC A B A A ⋅-=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是120° D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD ⋅⋅【答案】ABC 【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ． 【详解】由向量的加法得到：111111A A D A AC A B ++=，221113AC A B =，∴()()2211111113A A A D A B A B ++=，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110AC AB ⋅=，即()11110AC A B A A ⋅-=，故B 正确； 1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA ⋅=，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（ ）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【答案】ACD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】∵O 为正方体的中心，∵1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+， 同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∵A 、C 正确；∵OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，∵OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∵B 不正确； ∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-， ∵()11OA OA OC OC -=--，∵D 正确. 故选：ACD 三、填空题15．已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__． 【答案】1 【分析】利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值． 【详解】由题意，点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ）， 所以(1,1,1),(1,1,2)AB BC λ=---=---,若A ，B ，C 三点共线，则//AB BC ，即112111λ---==---，解得1λ=. 故答案为：1． 16．给出下列命题：∵若||||a b =，则a b =或a ＝－b ；∵若向量a 是向量b 的相反向量，则||||a b =；∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，11AC AC =； ∵若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =．其中正确命题的序号是________． 【答案】∵∵∵ 【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可. 【详解】对于∵，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故∵错；对于∵，根据相反向量的定义知||||a b =，故∵正确；对于∵，根据相等向量的定义知，11AC AC =，故∵正确； 对于∵，根据相等向量的定义知∵正确． 故答案为：∵∵∵17．设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【答案】－8 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=-又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 故答案为：－818．已知2360a b a b ===︒，，， ，则|23|a b -=____________．【分析】根据2222||()23234129a b a b a a b b -=-=-⋅+和向量数量积运算可得答案． 【详解】解：222222232341294912cos ||1(606)a b a b a a b b a b a b -=-=-⋅+=⨯+⨯-⨯⋅⋅︒= ，所以|23|a b -=．19．如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA '相等的向量有______；与向量A B ''相反的向量有______.(要求写出所有适合条件的向量)【答案】BB '，CC '，DD ' B A ''，BA ，CD ，C D '' 【分析】根据平行六面体的定义和向量的概念进行求解【详解】解：因为多面体ABCDA′B′C′D′为平行六面体，所以与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'，与向量A B''相反的向量有B A''，BA，CD，C D''故答案为：BB'，CC'，DD'；B A''，BA，CD，C D''20．在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设AB a=，AC b=，AD c=，用a，b，c表示向量DM=______，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.【答案】1(2)2a b c+-16【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;(2) 设异面直线DM与CN所成角为θ,将,DM CN用基底a，b，c表示,代入公式计算得出答案.【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则(1) 11()(2)22DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-. (2)由(1) 1(2)2DM a b c =+-，又11(2)22CN AN AC a b a b =-=-=-. 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.设异面直线DM 与CN 所成角为θ,则|22|cos |2||2|DM CN DM CN θ⋅==⋅2111212222412336a ab a b b ac b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅===. 故答案为:1(2)2a b c +-;1621．如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．1 23【分析】∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--=，即可得出λ．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒==．1λ∴=．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==， ∴11123A N A D =．则23λ=．1，23．22．已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)u m n =-，若l α⊥，则m =______ ，n =______．【答案】-6 -10【分析】根据直线与平面垂直的条件为直线的方向向量与平面的法向量平行，再结合两个向量平行的条件，求得结果. 【详解】l α⊥，//d u ，且(2,3,5)d =，(4,,)u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-. 故答案为：∵6-；∵10-. 四、解答题23．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AC =90ACD ∠=︒，沿着它的对角线AC 将ACD△折起，使AB 与CD 成60︒角，求此时B ，D 之间的距离．【分析】根据AB 与CD 成60︒角，得到,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>，然后由BD BA AC CD =++，两边平方求解. 【详解】因为90ACD ∠=︒，所以0AC CD ⋅=，0AC BA ⋅=． 因为AB 与CD 成60︒角，所以,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>．因为BD BA AC CD =++，所以2222||||||||222BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD =+++⋅+⋅+⋅，所以2222||2(2)20222cos ,0108cos ,BD BA CD BA CD =++++⨯⨯⨯+=+<><>．当,60BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos 6014BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||14BD =；当,120BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos1206BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||6BD =综上，可知B ，D ．24．已知正四棱锥P ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值． （1）OQ PQ yPC zPA =++；（2）PA xPO yPQ PD =++【答案】（1）12y z ==-；（2）x ＝2，y ＝－2． 【分析】（1）由平行四边形法则以及三角形法则得出1122OQ PQ PC PA =--，从而得出,y z ； （2）由平行四边形法则得出2,2PA PO PC PC PQ PD =-=-，进而得出22PA PO PQ PD =-+，从而得出,x y 的值. 【详解】（1）如图，()111222OQ PQ PO PQ PA PC PQ PC PA =-=-+=⋅--12y z ∴==-（2）∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点2,2PA PC PO PC PD PQ ∴+=+=2,2PA PO PC PC PQ PD ∴=-=-22PA PO PQ PD ∴=-+2,2x y ∴==-25．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===， ,,0,0AC AD mAB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）利用向量加减及数运算找到AC EG 、的关系，证明AC EG ∥；（3）利用向量加减及数运算可得.【详解】证明：（1）,0AC AD mAB m =+≠，∵A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∵E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.26．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：（1）E ，F ，G ，H 四点共面;（2）BD //平面EFGH ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.（2）用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．（2）因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD，且E，H，B，D四点不共线，所以EH∵BD．又EH∵平面EFGH，BD∵平面EFGH，所以BD∵平面EFGH．。
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。
选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB yAD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，_ _ D_ A_ P_ N _ B_ M0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.C 1 B 1 A 1B A3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42B ．32C ．33D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ _ A_S_ F_ B参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，EN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去）， 111,.A C C BD ∴=⊥1CD 时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示_ C_ D_ A_P_ N _ B_ M _ EA1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0） A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有13(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=∴<1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t =设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅7可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)3,0),3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,3BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，），303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DS a =，平面DAC 的一个法向量600a OS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且2626),(0,)DS CS ==（. 设,CE tCS = 则226(,(1),)222BE BC CE BC tCS a a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.作 者 于华东 责任编辑 庞保军_ C_ A_S_ F_ BO。
高中数学空间向量及运算测试题及答案
高中数学空间向量及运算测试题及答案高二数学空间向量及运算人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：空间向量及运算二. 教学目标：1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。
2. 了解空间向量基本定理。
3. 掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。
三. 重点、难点：重点：空间向量的基本定理，数量积。
难点：应用向量解决一些立体几何问题。
四. 重要知识点：1. 共线向量定理：2. 共面向量定理：3. 空间向量基本定理：4. 两空间向量的数量积：性质：运算律：【典型例题】例1. 判断题解：（1）正确。
例2. 的值（x、y、zR）同理可证B、C均为锐角。
△ABC为锐角三角形。
例7. 已知在平行六面体ABCDABCD中，AB=AD=3，AA=5，BAD=90，BAA=DAA=60。
（1）求证ACBD；（2）AC的值。
证：【模拟试题】基础巩固题1. 给出下列命题：（1）a=“从南昌往正北平移6km”，b=“从北京往正北平移3km”，那么a=2b；（2）；（3）把正方形ABCD平移向量m到的轨迹所形成的几何体，叫做正方体；（4）有直线，且，在上有点B，若，则。
其中正确的命题是（）A. （1）（2）B. （3）（4）C. （1）（2）（4）D. （1）（2）（3）2. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于的表达式中错误的是（）A.B.C.D.3. 以下四个命题正确的是（）A. 若，则P、A、B三点共线B. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底C.D. △ABC为直角三角形的充要条件是4. 给出下列命题（1）已知，则；（2）A、B、M、N为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；（3）已知向量，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；（4）已知向量是空间的一个基底，则基向量a和b可以与向量构成空间另一个基底。
其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个向量的数量积？（）A. B.C. D.6. 已知a，b是异面直线，，且，CD=1，则a与b所成的角是（）A. 30B. 45C. 60D. 90强化提高题7. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，M是CC1上一点且，N是上一点且，P为的中点，则 _______。
习题-1.1空间向量及其线性运算
1.1.1 空间向量及其线性运算 1、判断正错 (1)零向量没有方向．( ) (2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．( )(3)平面内所有的单位向量是相等的．( )(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．( )(5)任何两个向量均不可以比较大小( )2.已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A.a ＋b －cB.－a －b ＋cC.－a ＋b ＋cD.－a ＋b －c3.下列说法中错误的个数为( )①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；①若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →；①若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →为相反向量；①AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.A.1B.2C.3D.44．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( )A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3 5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( ) A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝146．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN→等于( ) A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －12cD ．－23a ＋23b －12c7、如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？①试写出模为5的所有向量．①试写出与向量AB →相等的所有向量．①试写出向量AA ′--→的所有相反向量．8.如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OG →.9、如图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形.10、已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.【参考答案】1、× × × × √2、C 【解析】 CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c .3、 C 【解析】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ①错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.①正确.AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.①错误.由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.4、D 【解析】 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等、方向相反，故选D.5．D 【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14． 6、B 【解析】 MN →＝ON →－OM →＝ 12 (OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c ． 7、解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′--→，A ′A --→，BB ′--→，B ′B ---→，CC ′---→，C ′C ---→，DD ′---→，D ′D ---→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个． ①由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′---→，D ′A ----→，A ′D ---→，DA ′---→，BC ′----→，C ′B ----→，B ′C ----→，CB ′---→.①与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′----→，DC →及D ′C ′----→.①向量AA ′---→的相反向量有A ′A ---→，B ′B ---→，C ′C ---→，D ′D ---→.8. 解：OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC →＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤OB →－12OA →＋12(OC →－OB →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . 9、 解：①E ，H 分别是AB ，AD 的中点，①AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →， ①EH →①FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上，①四边形EFGH 是梯形.10、解：如图：(1)由已知，得OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，①OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，①MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →.①向量MA →，MB →，MC →共面.(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M ，①M ，A ，B ，C 四点共面，①点M 在平面ABC 内.。
空间向量及其运算(习题及答案)
空间向量及其运算(习题及答案)例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为上底面A1B1C1D1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x，y的值分别为（）。
解析：由于E为上底面A1B1C1D1的中心，所以AE的长度为A1E的长度的一半，即AE=1/2A1E。
又因为A1E的方向向量为1/2(AB+AD)，所以AE=1/2(AA1+AB+AD)。
将AE=AA1+xAB+yAD代入，得到x=1/2，y=1/2，故选D。
例2：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，则AC1·BD1=（）。
解析：由于AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，所以它们构成一组正交基底。
设AB=a，AD=b，AA1=c，则AC1=AB+BC1+CA1=a+b/2+c/2，BD1=BD=AD+DC1+CB1=b+a/2+c/2.将AC1·BD1代入，得到AC1·BD1=(a+b/2+c/2)·(b+a/2+c/2)=ab+ac/2+bc/2+a^2/4+b^2/4+c^2/4+ac/4+bc/4，化简得到AC1·BD1=ab+ac+bc+1/4(a^2+b^2+c^2)，代入数值计算得到AC1·BD1=5/2，故选B。
例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE与DF所成角的余弦值。
解析：以DA，DC。
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B(1，1，0)，E(1，1/2，1)，D(0，0，0)，F(0，1/2，1)。
由于BE的方向向量为(0,-1,1)，DF的方向向量为(0,1,1)，所以BE·DF=0*(-1)+(-1)*1+1*1=0，即BE与DF所成角的余弦值为0，故选A。
1.在三棱锥O-ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示MN，则MN=1/2√(2a^2+2b^2-2c^2)。
1 空间向量及其线性运算(原卷版)
专题1.1 空间向量及其线性运算【玩前必备】知识点一 空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.4．几类特殊的空间向量知识点二 空间向量的线性运算知识点三 1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .【玩转题型】【题型1 空间向量概念的理解】【例1】（2020秋•仙桃期末）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a →，b →满足|a →|＝|b →|，则a →=b →；④若空间向量m →，n →，p →满足m →=n →，n →=p →，则m →=p →；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【变式1-1】（2020秋•红岗区校级期中）下列说法中正确的是（ ） A ．若|a →|＝|b →|，则a →、b →的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a →是向量b →的相反向量，则|a →|＝|b →|C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →+AD →=AC →【变式1-2】[多选题]（2020秋•江阴市校级月考）下面的命题正确的有（ ） A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等C ．若a →，b →满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →D ．若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →=DC →”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【变式1-3】[多选题]下列命题中为真命题的是（ ） A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【题型2 空间向量的加减运算】【例2】（2020秋•南开区校级月考）若A ，B ，C ，D 为空间任意四个点，则AB →+DA →−DC →=（ ） A ．CB →B ．BC →C ．BD →D ．AC →【变式2-1】[多选题]（2020秋•龙岩期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是（ ） A ．AA 1→−B 1C 1→+D 1C 1→B ．AB →+BC →+CC 1→C ．AB →−C 1C →+B 1C 1→D ．AA 1→+DC →+B 1C 1→【变式2-2】在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，化简：DA →−DB →+B 1C →−B 1B →+A 1B 1→−A 1B →= ． 【变式2-3】在四棱柱ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式． （1）AB →+BB′→−D′A′→+D′D →−BC →． （2）AC′→−AC →+AD →−AA′→．【题型3 空间向量的线性运算】【例3】（2020秋•仓山区校级期末）已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于（ ）A ．12（b →+c →−a →） B ．12（a →+b →+c →）C ．12（a →−b →+c →） D ．12（c →−a →−b →）【变式3-1】（2021春•成都期中）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足EG GF=12，若SA →=a →，SB →=b →，SC →=c →，则SG →=（ ）A ．13a →−12b →+16c → B ．13a →+16b →+16c → C ．16a →−13b →+12c → D ．13a →−16b →+12c →【变式3-2】（2020秋•长安区校级期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱CC 1的中点，连结B 1M ，BC 1交于点P ，则（ ）A ．AP →=23AB →+23AD →+AA 1→B ．AP →=AB →+23AD →+23AA 1→C ．AP →=23AB →+AD →+23AA 1→D ．AP →=AB →+12AD →+12AA 1→【变式3-3】（2020秋•西夏区校级月考）如图，在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a →，b →，c →表示向量MN →= ．【题型4 空间向量的线性运算（求参数）】【例4】（2020秋•栖霞区校级月考）如图所示，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．若EF →=x AB →+y AD →+z AA 1→，则x +y +z 等于（ ）A ．﹣1B ．0C ．13D ．1【变式4-1】（2020秋•新市区校级期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→=aAB →+2bAD →+3cA 1A →，则abc 的值等于（ ） A ．16B ．56C ．76D ．−16【变式4-2】（2020秋•唐山期末）在三棱锥P ﹣ABC 中，点M 为线段BC 的中点，AM →=xPA →+yPB →+zPC →，则x +y +z ＝（ ） A ．0B ．12C ．1D ．﹣1【变式4-4】（2020秋•和平区校级期中）如图，在空间四边形ABCD 中，AB →=a →−2c →，CD →=5a →+6b →−8c →，棱AC ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，G ，若FE →=−3a →−3b →+λc →，则λ＝ ．【题型5 向量共线的判定及应用】【例5】满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是（ ） A ．AB →+BC →=AC →B ．AB →−BC →=AC →C ．AB →=BC →D ．|AB →|＝|BC →|【变式5-1】（2020秋•南昌期末）已知非零向量a →、b →，且AB →=a →+2b →，BC →=−5a →+6b →，CD →=7a →−2b →，则一定共线的三点是（ ） A ．A 、B 、DB ．A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【变式5-2】（2020秋•镜湖区校级期末）在四面体O ﹣ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →=13OA →+x4OB →+x4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．23D ．43【变式5-3】（2020秋•河西区校级月考）设e 1→，e 2→是空间两个不共线的向量，已知AB→=e 1→+k e 2→，BC→=5e 1→+4e 2→，DC →=−e 1→−2e 2→，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝ ． 【题型6 向量共面的判定及应用】【例6】（2020秋•运城期末）O 为空间任意一点，A ，B ，C 三点不共线，若OP →=13OA →+12OB →+16OC →，则A ，B ，C ，P 四点（ ） A ．一定不共面B ．不一定共面C ．一定共面D ．无法判断【变式6-1】（2020秋•渭滨区期末）已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA →=23PB →−xPC →+16BD →，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．−13C ．16D ．−16【变式6-2】（2020秋•隆德县期末）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →=15OA →+23OB →+λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝ ． 【变式6-3】如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）证明：A ，E ，C 1，F 四点共面； （2）试用AB →，AD →，AA 1→表示EF →．【课后检测】一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021春•秦淮区校级期中）如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且CN ＝2NB ，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →−13c → B ．−13a →+12b →+23c → C ．23a →−12b →+13c →D ．−12a →+23b →+13c →2．（3分）（2021春•青铜峡市校级月考）在三棱锥O ﹣ABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，AM →=2MO →，N 为BC 中点，则MN →=（ ） A ．12a →−23b →+12c →B ．−13a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．13a →+23b →−12c →3．（3分）（2020秋•沈阳期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC →+DD 1→−AB →=（ ） A ．BD 1→B ．D 1B →C ．DB 1→D ．B 1D →4．（3分）如图所示空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则MG →−AB →+AD →等于（ ）A ．32DB →B ．3 MG →C ．3 GM →D ．2 MG →5．（3分）（2020秋•肥城市期中）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '，点E 是CC '的中点，下列结论中错误的是（ ）A ．AB →+AD →=AC →B ．AB →−AA′→=BA′→C ．AB →+AD →+AA′→=AC′→D ．AB →+BC →+12CC′→=AE →6．（3分）（2020秋•淄博期末）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若AF →=x AD →+y AB →+z AA 1→，求x +y +z ＝（ ）A ．1B ．32C ．2D ．527．（3分）（2020秋•宁波期末）已知O ﹣ABC 为空间四面体，P 为底面ABC 上一点，且满足2AP →=xOA →+yOB →+zOC →，则以下等式一定成立的是（ ） A ．x +y +z ＝1B ．x +y +z ＝0C ．x +y +z ＝﹣1D ．x +y +z =128．（3分）（2020秋•聊城期中）在四面体OABC 中，空间的一点M 满足OM →=12OA →+16OB →+λOC →，若MA →，MB →，MC →共面，则λ＝（ ） A ．12B ．13C ．512D ．712二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2020秋•菏泽期中）在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，与向量AB →相等的向量有（ ） A ．CD →B ．A′B′→C ．D′C′→D ．BC →10．（4分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC 1的中点为O ，则下列互为相反向量的是（ ）A ．OA →+OD →与OB 1→+OC 1→B ．OB →−OC →与OA 1→−OD 1→C ．OA 1→−OA →与OC →−OC 1→D ．OA →+OB →+OC →+OD →与OA 1→+OB 1→+OC 1→+OD 1→11．（4分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是（ ） A ．AB →+BC →+CC 1→B ．AA 1→+B 1C 1→+D 1C 1→C ．AB →−C 1C →+B 1C 1→D ．AA 1→+DC →+B 1C 1→12．（4分）（2020秋•天宁区校级期中）下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（ ） A ．PC →=13PA →+23PB →B ．OP →=13OA →+13OB →+13OC →C ．OP →=OA →+OB →+OC →D ．OP →+OA →+OB →+OC →=0→三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•西夏区校级月考）如图，在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a →，b →，c →表示向量MN →= ．14．（4分）（2020春•上饶校级期中）已知点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →=−2OA →+OB →+λOC →，则λ＝ ．15．（4分）（2020秋•泰安期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若 AC 1→=a AB →+2b AD →+3c A 1A →，则abc ＝ ． 16．（4分）（2020秋•都匀市校级期中）设e 1→，e 2→是两个不共线的空间向量，若AB→=2e 1→−e 2→，BC→=3e 1→+3e 2→，CD →=e 1→+ke 2→，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为 ．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，E ，F 分别是边AC ．BD 的中点，设AB →=a →−2c →，CD →=5a →+6b →−8c →，试用a →，b →，c →表示EF →．18．（6分）如图，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →=23CB →，CG →=23CD →．用向量法求证：四边形EFGH 是梯形．19．（8分）已知A ，B ，C 三点不共线，点O 是平面ABC 外的任意一点，若点P 分别满足下列关系：（1）OA →+2OB →=6OP →−3OC →；（2）OP →+OC →=4OA →−OB →．试判断点P 是否与点A ，B ，C 共面．20．（8分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设M 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心．（1）化简AA 1→+12（AD →+AB →）； （2）若BM →=x AB →+y AD →+z AA 1→，求实数x ，y ，z 的值．21．（8分）（2020秋•沈河区校级月考）如图，在空间四边形SABC 中，AC 、BS 为其对角线，O 为△ABC的重心，试证：（1）OA →+OB →+OC →=0→；（2）SO →=13(SA →+SB →+SC →)．22．（8分）（2020秋•德州期中）如图所示，已知几何体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体．（1）化简12AA 1→+BC →+23AB →结果用EF →表示并在图上标出该结果（点明E ，F 的具体位置）；（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N =14C 1B ， 设MN →=αAB →+βAD →+γAA 1→，试求α，β，γ的值．。
空间向量及其运算(含答案解析)
空间向量与立体几何知识梳理1、共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使___________推论：A 、P 、B 三点共线⇔______________________中点公式．1()2OP OA OB =+ 2、共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y使__________推论：空间一点P 位于平面ABC 内⇔_______________________________________3、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使________________________4、向量的数量积：______________________________________ 特别的，_______,__________⇔⊥=∙b a a a 数量积的运算律：（1）_____________________(2)___________________________(3)___________________________5、),,(),,,(321321b b b a a a ==，则______________;____________;__________==-=+λ如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DC 的中点.(1)求AE 与D 1F 所成的角；(2)证明AE ⊥平面A 1D 1F .●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) 例3图____________________==∙b aA.OC OB OA OM --=2B. 213151++= C.0=++MC MB MA D.0=+++OC OB OA OM2.与向量a =(12,5)平行的单位向量是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--135,1312 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312135,1312或 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛±±135,1312 3.若向量｛a ， b ，c ｝是空间的一个基底，向量m ＝a +b ，n ＝a -b ，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是( )A.aB.bC. cD.2a4. a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］ C.(0，π) D.［0，π］ 5.若a 与b 是垂直的，则a ²b 的值是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定6.向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( )A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对7. A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( )A.1B.2C.3D.48. m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( )A.0B.25C.221 D.8 9. a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( )A.0B.6C.-6D.±610. A (2，-4，-1)，B (-1，5，1)，C (3，-4，1)，令a ＝，b ＝，则a +b 对应的点为( ) A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)11. a ＝(2，-2，-3)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角为( )A.arc cos 85854B.8569arcsinC.85854arccos -π D.90° 12.若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则212121z z y y x x ==是a 与b 同向或反向的( )A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件二、思维激活13.已知向量a , b , c 满足a +b +c =0,|a |=3,| b |=1,| c |=4.则ab +bc +ca = .14.已知|a |＝22，|b |＝22，ab ＝-2，则a 、b 所夹的角为 . 15.已知空间三点A 、B 、C 坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P 在xOy 平面上且PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则P 点坐标为 .16.已知a ＝｛8,-1,4｝，b ＝｛2,2,1｝，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为 .三、能力提高17.已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且与α所成的角是30°，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 之间的距离.18.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、B 1C 1中点，若AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，试用向量法求： (1)CF E A 与1的夹角的大小.(2)直线A 1E 与FC 所夹角的大小.19.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、DC 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .20.如图所示,已知ABCD ,O 是平面AC 外的一点,OD OD OC OC OB OB OA OA 2,2,2,21111====,求证:A 1,B 1,C 1,D 1四点共面.第11课 空间向量及其运算习题解答1.C 由向量共线定义知.2.C 设此向量为(x ,y ),∴⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 512122， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13513121351312y x y x 或 3.C4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.5. B 当a ⊥b 时，a ²b =0(cos 〈a , b 〉=0)6.C a =(1,2,-2)=-21²b ∴a ∥b . 7.C |AB |=222)21()11()11(++-+-=3.8.C ∵m ∥n ,故(8,3,a )=k (2b ,6,5)， ∴8=2bk ,3=6k ,a =5k ， ∴k =21 故a =25,b =8,∴a +b =25+8=221 9.B ∵a ⊥b ∴1²m +5²2-2(m +2)=0. ∴m =6.10.B CA =(-1,0,-2),CB =(-4,9,0)，∴a +b =(-5,9,-2).11.C cos(a ²b )=2222242)3()2(24322+∙-+-+⨯-⨯=-85854854-=. 12.A 若212121z z y y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立. 13.-13 ∵a +b +c =0,∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca )=0, ∴ab +bc +ca =-21(a 2+b 2+c 2)=-21(9+1+16)=-13. 14.π43 cos 〈a , b 〉=22222222-=∙-=∙-b a .∴a ,b 所夹的角为43π. 15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得. 16.95 S=|a ||b |sin 〈a , b 〉求得.17.如图，由AC ⊥α，知AC ⊥AB .过D 作DD ′⊥α，D ′为垂足，则∠DBD ′＝30°， 〈BD CA ,〉＝１２０°，∴|CD |2= 2)(++=∙BD AB BD CA AB CA BD ∙+∙+∙++2222＝b 2+a 2+b 2+2b 2cos120°＝a 2+b 2.∴CD ＝22b a +点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.18.如图，建立空间坐标系，则D (0，0，0)、A (2，0，0)，B (2，2，0) 、C (0，2，0)、A 1(2，0，4)、B 1(2，2，4)、C 1(0，2，4).由题设可知E (2，1，0)，F (1，2，4).(1)令CF E A 与1的夹角为θ，则cos θ1716-=. ∴CF E A 与1的夹角为π-arccos 1716.(2)∴直线A 1E 与FC 的夹角为arccos 171619.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ， 以i 、j 、k 的坐标向量建立空间直角坐标系D —xy z ， 则AD ＝（－１，0，０），F D 1＝(0,21,-1)，AD ²F D 1＝(-1，0，0)²(0，21，-1)＝0，∴AD ⊥D 1F. 又AE ＝(0，1，21)，F D 1＝(0，21，-1)， ∴²D 1＝(0，1，21)²(0，21，-1)＝21-21＝0.∴A E ⊥D 1F ，又AE ∩AD ＝A ， ∴D 1F ⊥平面AD E.点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.20.证明：∵)(22)(2221111AD AB AC OA OC OA OC OA OC C A +==-=-=-= =2[])22()22(()(-+-=-+-=11111111)()(D A B A OD OB +=-+-∴A 1,B 1,C 1,D 1四点共面.本资料来源于《七彩教育网》。
高考数学复习空间向量及其运算理专题训练(含答案)
高考数学复习空间向量及其运算理专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模。
以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。
一、填空题1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3. [答案] 共面2.(2019济南调研)在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.其中不正确的命题是________(填序号).[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.[答案]3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则=________.(用a，b，c表示)[解析] =-=(+)-=b+c-a.[答案] b+c-a4.(2019上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号)(a+b)c=ac+b(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(ab)c=a(bc).[解析] (ab)c=|a||b|cos c，a(bc)=|b||c|cos a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错.[答案] (4)5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2++，则=________.[解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++=1，=-.[答案] -6.若向量a=(1，，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则等于________.[解析] 由已知得==，解得=-2或=.[答案] -2或7.(2019徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是________.[解析] 点Q在直线OP上，设点Q(，，2)，则=(1-，2-，3-2)，=(2-，1-，2-2)，=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=62-.当=时，取得最小值-.此时=.[答案]图768.如图76所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为________.[解析] 设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(c-b)=ac-ab=|a||c|-|a||b|=0，即〈〉=，所以cos〈，〉=0.[答案] 0二、解答题9.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，(1)求以，为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=，且a分别与，垂直，求a的坐标.[解] (1)由题意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，cos〈，〉===，sin〈，〉=，以，为边的平行四边形的面积为S=2||||sin〈，〉=14=7.(2)设a=(x，y，z)，由题意得解得或向量a的坐标为(1,1,1)或(-1，-1，-1).图7710.(2019张家港调研)如图77，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线;(2)试证：A1C平面BC1D.[证明] (1)=++=++，可以证明：=(++)=，∥，即A1，G，C三点共线.(2)设=a，CD=b，=c，则|a|=|b|=|c|=a，且ab=bc=ca=0，=a+b+c，=c-a，=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0，因此，即CA1BC1，同理CA1BD，又BDBC1=B，A1C平面BC1D.要练说，得练看。
高中数学选修一1.1 空间向量及其运算(精炼)(解析版)
1.1 空间向量及其运算（精炼）【题组一 概念的辨析】1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中： ①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错． 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面，故④错．综上，选A ．2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ） A ．若a b =，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则a b =C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += 【答案】B【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A 错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B 正确. 对于C,减法结合律指的是()()a b c a b c --=--,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C 错误.对于D 满足AB AD AC +=的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D 错误. 综上可知,正确的为B ，故选:B3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题： ①若空间向量,a b 满足a b =，则a b =； ②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅，则a b =； ④在向量的数量积运算中()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅. 其中假．命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】对于①，空间向量,a b 的方向不一定相同，即a b =不一定成立，故①错误； 对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；对于③，取()0,0,0a =，()1,0,0b =，()0,1,0c =，满足0a c b c ⋅=⋅=，且0c ≠，但是a b ≠，故③错误；对于④，因为a b ⋅和b c ⋅都是常数，所以()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅表示两个向量，若a 和c 方向不同则()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅不相等，故④错误.故选：D.4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论： ①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确； ②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④【题组二 空间向量的线性运算】1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线A 1B 与B 1D 1的中点,若DA =a ,DC =b ,1DD =c ,则MN =（ ）A ．1()2c b a +- B ．1()2a b c +- C ．1()2a c - D ．1()2c a - 【答案】D【解析】根据向量的线性运算11MN MA A N =+ 1111122BA AC =+=()()111111122BA AA A B B C =+++()()1122b c b a =-++- ()12c a =-所以选D 2．（2020·全国高二）在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）A ．112223EF AC AB AD =+- B ．112223EF AC AB AD =--+ C ．112223EF AC AB AD =-+ D ．112223EF AC AB AD =-+- 【答案】B【解析】()1211223223EF EB BA AF AB AC AB AD AC AB AD =++=--+=--+.故选：B 3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221b 332a c -+- 【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++.故选：B4．（2020·山东德州.高二期末）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ，设AB a =，AD b =，1AA c =，则下列选项中与向量1MC 相等的是（ ）A ．1122a b c --- B ．1122a b c ++C ．1122a b c -- D ．1122a b c +- 【答案】B【解析】如图所示，11MC MC CC =+，12M C C A =，AC AB AD =+，AB a =，AD b =，1CC c =， ()1111121122212MC AB CC AB AD AD b CC a c ∴=++=++++=， 故选：B ．5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图，在空间四边形ABCD 中，E ，M ，N 分别是边BC ，BD ，CD 的中点，DE ，MN 交于F 点，则1122AB AC EF ++=（ ）A ．ADB ．AFC ．FAD ．EM【答案】B【解析】E 是边BC 的中点，∴1122AB AC AE +=；∴1122AB AC EF AE EF AF ++=+=；故选：B ．6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体1111ABCD A B C D -中，12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ．1,32,323B ．2,31,323C ．2,32,313D ．2,31,223【答案】C【解析】12,A M MC = 112,3A M AC ∴=()111,AC AC AA AB AD AA -==+- 1112222,3333A M AC AB AD AA ∴=+-= 111221333AM AA A M AB AD AA +∴=+=+,221333x y z ==∴=，，.故选:C. 7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是对边,OB AC 的中点，点G 在线段MN 上，2MG GN =，现用基向量,,OA OB OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）A ．111333x y z ===，， B ．111336x y z ===，， C ．111363x y z ===，， D ．111633x y z ===，， 【答案】D 【解析】()1212121223232323OG OM MG OA MN OA MA AN OA OA AN=+=+=++=+⨯+()525221636332OA AB BN OA AB BC =++=++⨯()()521111633633OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=++ 16x ∴=，13y =，13z =故选：D8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB ＋BC )＋CC 1；②(1AA ＋11A D )＋11DC ；③(AB ＋1BB )＋11B C ；④(1AA ＋11A B )＋11B C .其中运算的结果为1AC 的有___个. 【答案】4【解析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB ＋BC )＋1CC ＝AC ＋1CC ＝1AC ； ②(1AA ＋11A D )＋11DC ＝1AD ＋11DC ＝1AC ；③(AB ＋1BB )＋11B C ＝1AB ＋11B C ＝1AC ； ④(1AA ＋11A B )＋11B C ＝1AB ＋11B C ＝1AC . 所以4个式子的运算结果都是1AC . 故答案为：4.9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记→→=AB a ，AD b →→=，AC c →→=，则AG →=______.【答案】111244a b c →→→++【解析】在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，则AG AB BG→→→=+12AB BE →→=+11()22AB BC BD →→→=+⨯+1()4AB AC AB AD AB →→→→→=+-+-111442AB AC AD AB →→→→=++- 111244AB AD AC →→→=++.故答案为：111244a b c →→→++. 10．（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且1AF AD mAB nAA =+-则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12【答案】A【解析】由于11111()222AF AD DF AD DC DD AD AB AA =+=++=++，所以11,22m n ==-.故选：A【题组三 空间向量的共面问题】1．（2020·涟水县第一中学高二月考）,,,A B C D 是空间四点，有以下条件： ①11OD OA OB OC 23=++； ②111234OD OA OB OC =++； ③111OD OA OB OC 235=++； ④111OD OA OB 236OC =++，能使,,,A B C D 四点一定共面的条件是______ 【答案】④【解析】对于④111OD OA OB 236OC =++，1111236++=，由空间向量共面定理可知,,,A B C D 四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.故答案为：④2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点O 和不共线三点A B C ，，，且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，若,,,P A B C 四点共面，则x y z ++=______． 【答案】1【解析】因为,,,P A B C 四点共面，三点A B C ，，不共线， 所以,,,m n R PA mAB nAC ∃∈=+()(),(1)OA OP m OB OA n OC OA OP m n OA mOB nOC -=-+-∴=++--因为OP xOA yOB zOC =++，因为O 是任意一点，故,,OA OB OC 可不共面，所以1,,x m n y m z n =++=-=-， 故1x y z ++=.故答案为：13．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（ ）A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面【答案】B【解析】因为623OP OA OB OC =++，所以()()23OP OA OB OP OC OP -=-+-，即23AP PB PC =+，根据共面向量基本定理，可得AP ，PB ，PC 共面， 所以，P ，A ，B ，C 四点共面．故选：B ．4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（ ）A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面 【答案】B【解析】由已知得111632OP OA OB OC =++，而1111632++=，∴四点P 、A 、B 、C 共面． 故选：B ．5．（2020·四川阆中中学高二月考（理））O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111326OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点（ ）A ．一定不共面B ．不一定共面C ．一定共面D ．无法判断【答案】C【解析】因为OP =111326OA OB OC ++，且1111326++=，所以,,,A B C P 四点共面. 6．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =++B ．111333OM OA OB OC =++ C ．1123OM OA OB OC =++ D ．2OM OA OB OC =--【答案】B【解析】若111333OM OA OB OC =++， 故可得1111110333333OM OA OM OB OM OC -+-+-=即1110333AM BM CM ++=， 则AM BM CM =--，故AM AM AB AM AC =-+-+整理得1133AM AB AC =+ 又因为,AB AC 共面，故可得,,AM AM AM 共面，而其它选项不符合， 即可得,,,A B C M 四点共面. 故选：B.7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点（ ）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B【解析】由若 OP a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅＝ ，当且仅当1a b c ++= 时，P A B C ，，， 四点共面．311488OP OA OB OC =++ ，而 311 1 488++= 故P A B C ，，， 四点共面，故选B 【题组四 空间向量的数量积】1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，160DAA ∠=︒，则1AC =（ ）A ．1B ．2C D【答案】D【解析】11AC AB AD AA =++，2221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA ∴=+++⋅+⋅+⋅1111112112112112222⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1AC ∴=故选：D2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，17AA =，3BAD π∠=，114BAA DAA π∠=∠=，则1AC 的长为_____．【解析】平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，17AA =，3BAD π∠=，114BAA DAA π∠=∠=，11AC AB BC CC =++，()211221AC AC AB BC CC ==++2221112cos2cos2cos344AB BC CC AB BC BC CC AB CC πππ=+++⋅+⋅⋅+⋅12594925323725798222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+1198AC AC ∴==3．（2020·全国高二课时练习）如图，M N 、分别是四面体OABC 的棱OA BC 、的中点，P Q 、是MN 的三等分点．（1）用向量OA ，OB ，OC 表示OP 和OQ ．（2）若四面体OABC 的所有棱长都等于1，求OP OQ 的值．【答案】（1）111633OP OA OB OC =++,111366OQ OA OB OC =++（2）1336.【解析】（1）AB OB OA =-，BC OC OB =-∴1111()2222MN MA AB BN OA AB BC OA OB OA OC OB =++=++=+-+- 111222OA OB OC =-++121111111232333633OP OM MP OA MN OA OA OB OC OA OB OC∴=+=+=-++=++111111111232666366OQ OM MQ OA MN OA OA OB OC OA OB OC ∴=+=+=-++=++（2）四面体OABC 的所有棱长都等于1，各面为等边三角形,,,,3OA OB OB OC OC OA π∴<>=<>=<>=，OB ，OC111111()()633366OP OQ OA OB OC OA OB OC ∴=++++222111111111++++++1818183636918918OA OB OC OA OB OA OC OB OA OB OC OC OA OC OB =++11111111113++++++18181872721836183636=++= 4.．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【答案】（1）1BC a c b =+-；（2【解析】解：（1）111111111BC BB BC BB AC A B a c b =+=+-=+-， 又11cos 11cos602a b a b BAA ⋅=∠=⨯⨯︒=， 同理可得12a cbc ⋅=⋅=， 则221||()2222BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=．（2）因为1AB a b =+，所以221||()23AB a b a b a b =+=++⋅=，因为211()()1AB BC a b a c b a a c a b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅-⋅+⋅+⋅-=，所以111111cos ,6||||2AB BC AB BC AB BC ⋅<>===．则异面直线1AB 与1BC 5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________【解析】三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，设棱长为1，则111cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=，1111cos602AB AA ︒⋅=⨯⨯=， 1111cos602AC AA︒⋅=⨯⨯=. 又11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-，所以()()1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-22111111*********AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅=+-++-= 而()222111123AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=，()2111BC AA AC AB =+-==所以111111cos 2AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>===⋅. 故答案为：6. 6.如图3-1-22所示，在空间四边形OABC 中，OA ，OB ，OC 两两成60°角，且OA ＝OB ＝OC ＝2，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，试求E ，F 间的距离．图3-1-22【答案】 2【解析】EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝－12OA →＋12OB →＋12OC →，所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝⎛⎭⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝⎛⎭⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2. ∴|EF →|＝2，即E ，F间的距离为 2.7.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．【答案】2 2【解析】∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD →＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.。
空间向量及其运算(习题及答案)
1 1空间向量及其运算（习题）➢ 例题示范例 1：如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E 为上底面 A 1B 1C 1D 1−−→ −−→ −−→ −−→的中心，若 AE = AA 1 + x AB + y AD ，则 x ，y 的值分别为（ ） A ． x = 1，y = 1 C ． x = 1 ，y = 1 2 2B ． x = 1，y = 1 2 D ． x = 1 ，y = 1 2 思路分析：−−→−−→ −−→AE = AA 1 + A 1E−−→ = −−→ −−→ AA 1 + 2 (A 1B 1 + A 1D 1 )−−→ =−−→ −−→ AA 1 + 2 ( AB + AD ) −−→ = 1 −−→ 1 −−→AA 1 + 2 AB + 2 AD −−→ −−→ −−→ −−→∵ AE = AA 1 + x AB + y AD ， ∴ x = 1 ，y = 1 ，故选 C ．2 2例 2：如图，在平行六面体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，AB =2，AA 1=2，−−→ −−→AD =1，且 AB ，AD ，AA 1 两两之间的夹角都是 60°，则 AC 1 ⋅ BD 1 = ．过程示范：−−→ −−→ −−→ 设 AB = a ， AD = b ， A A 1 = c ，−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→则 AC 1 = AB + BC + CC 1 = AB + AD + AA 1 = a + b + c ，1思路分析：平行六面体中 AB ，AD ，AA 1 的长度和夹角都清楚，选取 AB ，AD ， AA 1 作为一组基底，表达 AC 1 和 BD 1 ，利用数量积的运算法则进行计算．−−→ −−→ −−→ −−→ −−→17 17 17 BE DF BE ⋅ D F 思路分析： 利用空间向量，将线线角转化为直线的方向向量的夹角问题． 例 3：如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别是 A 1B 1， C 1D 1 的一个四等分点，求 BE 与 DF 所成角的余弦值．过程示范：设正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，−−→ −−→ −−→如图，以 DA ，DC ，DD 1 为单位正交基底建立空间直角坐标系D -xyz ，则 B (1，1，0)，E (1， 3 ，1)，D (0，0，0)，F (0， 1 ，1)，4 4∴ −−→ =(1， 3 ，1) - (1，1，0)=(0， - 1 ，1)， 4 4−−→ =(0， 1 ，1) - (0，0，0)=(0， 1 ，1)， 4 −−→4−−→ 则 BE −−→ ⋅ = ， DF 4 −−→ =0×0+( - 1 = ， 4 1 15 ， BE DF × )+1×1= 4 4 16cos < −−→ −−→ −−→ −−→ BE ，DF > = 15 = 16 = 15 ， −−→ BE −−→ DF ⨯ 17 4 4 即 BE 与 DF 所成角的余弦值为15 ．17➢ 巩固练习1.如图，在三棱锥 O -ABC 中，M ，N 分别是 AB ，OC 的中点， −−→ −−→ −−→ −−→ −−→设 OA = a ，OB = b ，OC = c ，用 a ，b ，c 表示MN ，则MN = （ ）A ． 1 (b +c -a )B ． 1 (a +b -c )2 2 C ． 1 (a -b +c ) D ． 1 (c -a -b )2 22 172. 如图，在斜四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，各面均为平行四边形，−−→ −−→ −−→设 AA 1 = a ，AB = b ，AD = c ，M ，N ，P 分别是 AA 1，BC ，C 1D 1−−→的中点，试用 a ，b ，c 表示以下向量： AP = ， −−→ −−→ MP + NC 1 = ．3. 下列等式：−−→ −−→ −−→ −−→① OP = OA - AB - AC ；−−→ ② OP =−−→ OA + −−→ OB + 1−−→OC ；6 3 2 −−→ −−→ −−→③ PA + PB + PC = 0 ；−−→ −−→ −−→ −−→④ OP + OA + OB + OC = 0 ．其中使 P ，A ，B ，C 四点共面的是 ．（填写序号）4. 已知向量 a =(2，-3，1)，b =(2，0，3)，c =(0，0，2)，则a + b - c = ； a ⋅ (b + c ) = ．5. 已知向量 a =(1，0，-1)，则下列向量与 a 成 60°夹角的是（ ）A ．(-1，1，0)B ．(1，-1，0)C ．(0，-1，1)D ．(-1，0，1)6. 已知向量 a =(2，-1，3)，b =(-4，2，x )，若 a ⊥b ，则 x 的值为 ．7. 已知{a ，b ，c }是空间向量的一组基底，{a +b ，a -b ，c }是另一组基底，若向量 p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)， 则 p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为 ．38. 如图，已知空间四边形 ABCD 的每条边及对角线的长都为 a ，1 1E，F，G 分别是AB，AD，CD 的中点，则−−→−−→AB ⋅AC = ；−−→−−→AD ⋅DB = ；−−→−−→GF ⋅AC = ；−−→−−→EF ⋅BC = ；−−→−−→FG ⋅BA = ；−−→−−→GE ⋅GF = ．9. 已知向量a=(1，0，-1)，b=(-1，1，2)．①a-b 与a 的夹角的余弦值为；②若k a+b 与a-2b 平行，则k 的值为；③若k a+b 与a+3b 垂直，则k 的值为．10.已知点M(-3，-2，0)在平面α内，且平面α的一个法向量是n=(6，-3，6)，则下列点在平面α内的是（）A．(2，3，3) B．(-2，0，1)C．(-4，-4，0) D．(3，-3，4)11.已知两不重合直线l1，l2 的方向向量分别为v1=(1，-1，2)，v2=(0，2，1)，则l1，l2 的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不确定412.给出下列命题：①若直线l 的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m 的方向向量为b=(2，1， 1)，则l⊥m；2②若直线l 的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α的一个法向量为n=(1，-1，-1)，且l⊄α，则l⊥α；③若平面α的一个法向量为n1=(0，1，3)，平面β的一个法向量为n2=(1，0，2)，则α∥β；④若平面α经过A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)三点，且向量n=(1，u，t)是平面α的一个法向量，则u=1，t=0．其中属于真命题的是（）A．②③B．①④C．③④D．①②13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱AA1，BB1 的中点，求CM 与D1N 所成角的余弦值．5【参考答案】➢巩固练习1. D2. a +1b +c ，3a +1b +3c 23. ①②③2 2 24. (4，-3，2)，95. B6. 1037. (3，1，3)8. 1a2 ，-1a2 ，-1a2 ，1a2 ，-1a2 ，1a2 2 2 2 4 4 49. ①5 7 ；②-1 ；③1514 2 710.C11.C12. 413. B14. 196。
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新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85B ．85C ．52D ．504．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1）B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．cb a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定图8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，AOB=AOC=600，则cos BC ，OA = （ ）A ．21B ．22 C ．21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（ ）A ．3B ．32C ．6D ．2610． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ． 13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是 ．14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,21,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值O'N MD'C'B'A'C BADzy x 图17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直． 18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积； 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0． 5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ； 二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：OC OB OA OA OC OB OA OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=．14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=． 16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17． 证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得： 223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0， ∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18． （1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 图评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO （a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c∴CO ·211=O C （a +b ）·［21（a +b ）－c ］=41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2， 则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。